मान लीजिए कि 5 त्रिज्या वाला एक वृत्त C,x-अक् | vedclass

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Question

(C) दी गई रेखाएं $L_{1}: 4x + 3y + 2 = 0$ और $L_{2}: 3x - 4y - 11 = 0$ हैं। इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ स्पर्श बिंदु है।समीकरणों को हल करने

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$11$

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(C) दी गई रेखाएं $L_{1}: 4x + 3y + 2 = 0$ और $L_{2}: 3x - 4y - 11 = 0$ हैं। इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ स्पर्श बिंदु है।समीकरणों को हल करने पर:$4x + 3y = -2$ ($4$ से गुणा करने पर): $16x + 12y = -8$$3x - 4y = 11$ ($3$ से गुणा करने पर): $9x - 12y = 33$इनका योग करने पर $25x = 25$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ है।$x = 1$ को $4(1) + 3y = -2$ में रखने पर,$3y = -6$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = -2$ है। अतः,$Q = (1, -2)$ है।रेखा $L_{1}$,$Q$ पर वृत्त का अभिलंब है क्योंकि यह केंद्र $P$ से होकर गुजरती है। $L_{2}$ की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है। अभिलंब $L_{1}$ की ढाल $-\frac{4}{3}$ है।केंद्र $P$,$L_{1}$ पर $Q$ से $5$ इकाई की दूरी पर स्थित है। अभिलंब $L_{1}$ (दिशा $(3, -4)$) के अनुदिश इकाई सदिश $(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$ है।चूंकि वृत्त $x$-अक्ष के नीचे है,केंद्र $P = Q + 5(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}) = (1 + 3, -2 - 4) = (4, -6)$ है।अब,$P(4, -6)$ से रेखा $5x - 12y + 51 = 0$ की दूरी की गणना करें:दूरी $= \left| \frac{5(4) - 12(-6) + 51}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = \left| \frac{20 + 72 + 51}{13} \right| = \frac{143}{13} = 11$.

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वह बिंदु जिस पर वृत्त $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 39 = 0$ के बिंदु $(2, 3)$ पर अभिलंब वृत्त से पुनः मिलता है,वह है:

$m$ के किस मान के लिए रेखा $3x + 4y = m$,वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 8 = 0$ को स्पर्श करती है?

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