मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b$,की उत्केंद्रता $\frac{1}{4}$ है। यदि यह दीर्घवृत्त बिंदु $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ से होकर गुजरता है,तो $a^{2}+b^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $S$ और $S^{\prime}$ एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$ की नाभियाँ हैं और धनात्मक $Y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $B$ इसके लघु अक्ष का एक सिरा है,तो त्रिभुज $SBS^{\prime}$ का अंतःकेंद्र ज्ञात कीजिए।

यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) के लघु अक्ष की लंबाई उसकी नाभियों के बीच की दूरी के एक-चौथाई के बराबर है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है:

कथन $-1$: यदि एक बिंदु से एक दीर्घवृत्त (ellipse) पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं और यदि वे एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो उस बिंदु का बिंदुपथ हमेशा एक वृत्त होता है।
कथन $-2$: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उस बिंदु का बिंदुपथ जहाँ से दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।

यदि $B$ दीर्घवृत्त $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$ $(a > b)$ के लघु अक्ष का अंतिम बिंदु है और $S$ तथा $S^{\prime}$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं,जिससे $\Delta SBS^{\prime}$ एक समबाहु त्रिभुज बनता है,तो उत्केंद्रता $e$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $S$ और $S^{\prime}$ एक दीर्घवृत्त $E$ की नाभियाँ हैं और $B$ इसके लघु अक्ष का एक सिरा है। मान लीजिए $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$ और $(2 \sqrt{3}, 1)$ दीर्घवृत्त $E$ पर एक बिंदु है। यदि $X$-अक्ष दीर्घवृत्त $E$ का दीर्घ अक्ष है और $Y$-अक्ष लघु अक्ष है,तो दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाइयों के वर्गों का योग क्या है?