यदि y=y(x) अवकल समीकरण x frac{d y}{d x}+2 y=x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}$.$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=e^{x}$.यह $\frac

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$\frac{4}{ e }- e$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}$.$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=e^{x}$.यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2}{x}$ और $Q(x)=e^{x}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln |x|} = x^{2}$ है।हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \cdot x^{2} = \int e^{x} \cdot x^{2} dx + C$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x} dx = x^{2} e^{x} - 2(x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.अतः,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C$.चूँकि $y(1)=0$ दिया गया है,हमारे पास $0 = e^{1}(1-2+2) + C$ है,जिससे $C = -e$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$y x^{2} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e$.अब,$z(x) = x^{2} y(x) - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+2) - e - e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+1) - e = e^{x}(x-1)^{2} - e$.स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $z'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।$z'(x) = e^{x}(x-1)^{2} + e^{x} \cdot 2(x-1) = e^{x}(x-1)(x-1+2) = e^{x}(x-1)(x+1) = 0$.क्रांतिक बिंदु $x=1$ और $x=-1$ हैं।प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$x  0$,$-1  1$ के लिए $z'(x) > 0$ है।अतः,$x=-1$ स्थानीय अधिकतम का बिंदु है।स्थानीय अधिकतम मान $z(-1) = e^{-1}(-1-1)^{2} - e = e^{-1}(4) - e = \frac{4}{e} - e$ है।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}, y(1)=0$ का हल है,तो फलन $z(x)=x^{2} y(x)-e^{x}$,$x \in R$ का स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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