यदि अवकल समीकरण y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^{2} dx - xy dy + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.इसे इस

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$\frac{\pi}{12}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^{2} dx - xy dy + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y(y dx - x dy) + (x^{2} + y^{2}) dy = 0$.$y(x^{2} + y^{2})$ से भाग देने पर: $\frac{y dx - x dy}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.$-1$ से गुणा करने पर: $\frac{x dy - y dx}{x^{2} + y^{2}} + \frac{dy}{y} = 0$.अवकलज को पहचानने पर: $d(	an^{-1}(\frac{y}{x})) + d(\ln y) = 0$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = C$.चूंकि वक्र $(1, 1)$ से गुजरता है: $	an^{-1}(1) + \ln(1) = C \Rightarrow \frac{\pi}{4} + 0 = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}$.वक्र का समीकरण $	an^{-1}(\frac{y}{x}) + \ln y = \frac{\pi}{4}$ है।यह $y = \sqrt{3}x$ को $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ पर प्रतिच्छेद करता है,इसलिए $\frac{y}{x} = \sqrt{3}$ और $y = \sqrt{3}\alpha$.समीकरण में मान रखने पर: $	an^{-1}(\sqrt{3}) + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.$\frac{\pi}{3} + \ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4}$.$\ln(\sqrt{3}\alpha) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12}$.

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