यदि $m$ वक्रों $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $x^{2}+y^{2}=12$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की ढाल है,तो $12\; m^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना एक रेखा $L: 2x + y = k, k > 0$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 3$ की स्पर्श रेखा है। यदि $L$ परवलय $y^2 = \alpha x$ की भी स्पर्श रेखा है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

अतिपरवलय $H : x^{2} - y^{2} = 1$ और दीर्घवृत्त $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए जहाँ $a > b > 0$,मान लीजिए कि $(1)$ $E$ की उत्केंद्रता $H$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है,और $(2)$ रेखा $y = \sqrt{\frac{5}{2}} x + K$,$E$ और $H$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। तो $4(a^{2} + b^{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $PQ$ परवलय $y^{2}=4x$ की एक नाभिलंब जीवा है जो बिंदु $(3, 0)$ पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंतरित करती है। माना रेखाखंड $PQ$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ की भी एक नाभिलंब जीवा है। यदि $e$ दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता है,तो $\frac{1}{e^{2}}$ का मान है

स्तंभ-$I$ के शांकवों को स्तंभ-$II$ के कथनों/व्यंजकों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$A$. वृत्त	$P$. बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ जिसके लिए रेखा $hx + ky = 1$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ को स्पर्श करती है
$B$. परवलय	$Q$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$|z + 2| - |z - 2| = \pm 3$ को संतुष्ट करता है
$C$. अतिपरवलय	$R$. शांकव की उत्केंद्रता अंतराल $[1, \infty)$ में स्थित है
	$S$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$Re(z + 1)^2 = |z|^2 + 1$ को संतुष्ट करता है

माना वृत्त $C$ रेखा $x - y + 1 = 0$ को स्पर्श करता है,इसका केंद्र धनात्मक $x$-अक्ष पर है,और यह रेखा $-3x + 2y = 1$ पर $\frac{4}{\sqrt{13}}$ लंबाई की जीवा काटता है। माना $H$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ है,जिसकी एक नाभि $C$ का केंद्र है और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $C$ का व्यास है। तो $2\alpha^2 + 3\beta^2$ का मान . . . . . . है।