मान लीजिए E_{1} और E_{2} दो ऐसी घटनाएँ हैं कि | vedclass

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Question

(NONE) दिया गया है $P(E_{1} \mid E_{2}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{2})} = \frac{1}{2} \implies P(E_{2}) = 2 \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = 2 \cdot

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$P(E_{1} \cap E_{2}^{\prime}) = P(E_{1}) \cdot P(E_{2}^{\prime})$

Vedclass · Answer

(NONE) दिया गया है $P(E_{1} \mid E_{2}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{2})} = \frac{1}{2} \implies P(E_{2}) = 2 \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.दिया गया है $P(E_{2} \mid E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{1})} = \frac{3}{4} \implies P(E_{1}) = \frac{4}{3} \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$.अब,$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24} 
eq P(E_{1} \cap E_{2})$। अतः,$E_{1}$ और $E_{2}$ स्वतंत्र नहीं हैं।विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}^{\prime}) = 1 - P(E_{1} \cup E_{2}) = 1 - (P(E_{1}) + P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2})) = 1 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}) = 1 - (\frac{4+6-3}{24}) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$.$P(E_{1}^{\prime}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = (1 - \frac{1}{6}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} 
eq \frac{17}{24}$.विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $P(E_{1} \cap E_{2}^{\prime}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4-3}{24} = \frac{1}{24}$.$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} 
eq \frac{1}{24}$.विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.यहाँ $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = \frac{1}{8}$ है,जबकि $P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{24}$ है,इसलिए ये समान नहीं हैं।

List-$I$	List-$II$
$A$. $P(\frac{A}{B})$	$(i)$. $\frac{2}{15}$
$B$. $P(\bar{B})$	$(ii)$. $\frac{4}{15}$
$C$. $P(A \cap \bar{B})$	$(iii)$. $\frac{8}{15}$
$D$. $P(B \cap \bar{A})$	$(iv)$. $\frac{2}{3}$
	$(v)$. $\frac{3}{7}$

मान लीजिए $E_{1}$ और $E_{2}$ दो ऐसी घटनाएँ हैं कि सशर्त प्रायिकताएँ $P(E_{1} \mid E_{2}) = \frac{1}{2}$,$P(E_{2} \mid E_{1}) = \frac{3}{4}$ और $P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{8}$ हैं। तो:

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दिया गया है $P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A \cap B)=0.3$,तो $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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