एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में,शीर्ष $A$ $(6,1)$ है और आधार $BC$ का समीकरण $2x + y = 4$ है। मान लीजिए कि बिंदु $B$ रेखा $x + 3y = 7$ पर स्थित है। यदि $(\alpha, \beta)$ $\triangle ABC$ का केंद्रक है,तो $15(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $x+y=1$,$x=1$,और $y=1$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का अंतःकेंद्र (incentre) है

रेखाओं $2x + 3y + 6 = 0$,$2x - 3y + 6 = 0$,$2x + 3y - 6 = 0$ और $2x - 3y - 6 = 0$ द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

रेखाओं $x=0, y=0$ और $3x+4y=12$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

एक $\triangle ABC$ में $\angle A < \angle B < \angle C$ है,बिंदु $D, E, F$ क्रमशः रेखाखंडों $BC, CA, AB$ के आंतरिक भाग में स्थित हैं। निम्नलिखित में से कौन सा त्रिभुज $\triangle ABC$ के समरूप नहीं हो सकता है?

मान लीजिए $ABOC$ प्रथम चतुर्थांश में एक समचतुर्भुज है जहाँ $O$ मूलबिंदु है। यदि $\triangle ABC$ के शीर्ष $B$ और $C$ क्रमशः $y=\frac{4}{3}x$ और $y=0$ पर स्थित हैं और भुजा $BC$,$\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ से होकर गुजरती है,तो $BC$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए।