यदि z^{2} + z + 1 = 0,z in mathbb{C} है,तो le | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $z^{2} + z + 1 = 0$,इसके मूल $z = \omega$ या $z = \omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।चूँकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए

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$2$

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(C) दिया गया है $z^{2} + z + 1 = 0$,इसके मूल $z = \omega$ या $z = \omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।चूँकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ और $\frac{1}{\omega^{2}} = \omega$ है।माना $S = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{n} + (-1)^{n} \frac{1}{z^{n}} \right)^{2} = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} + 2(-1)^{n} \right)$.$z = \omega$ के लिए,$z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} = \omega^{2n} + \omega^{n}$.$\sum_{n=1}^{15} \omega^{2n} = 0$ और $\sum_{n=1}^{15} \omega^{n} = 0$ क्योंकि $15$,$3$ का गुणज है।$\sum_{n=1}^{15} 2(-1)^{n} = 2(-1 + 1 - 1 + 1 ... - 1) = -2$.अतः,$|S| = |0 + 0 - 2| = |-2| = 2$.

यदि $z^{2} + z + 1 = 0$,$z \in \mathbb{C}$ है,तो $\left| \sum_{n=1}^{15} \left( z^{n} + (-1)^{n} \frac{1}{z^{n}} \right)^{2} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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