3-अंकीय ऐसी कुल कितनी संख्याएँ हैं,जिनका 36 क | vedclass

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Question

(A) हमें ऐसी $3$-अंकीय संख्याएँ $n$ ज्ञात करनी हैं जिनके लिए $	ext{gcd}(n, 36) = 2$ हो।चूँकि $36 = 2^2 	imes 3^2$,इसलिए $	ext{gcd}(n, 36) = 2$ का अ

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$150$

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(A) हमें ऐसी $3$-अंकीय संख्याएँ $n$ ज्ञात करनी हैं जिनके लिए $	ext{gcd}(n, 36) = 2$ हो।चूँकि $36 = 2^2 	imes 3^2$,इसलिए $	ext{gcd}(n, 36) = 2$ का अर्थ है कि $n$,$2$ का गुणज होना चाहिए लेकिन $4$ का नहीं,और $n$,$3$ का गुणज नहीं होना चाहिए।माना $n = 2k$. तब $	ext{gcd}(2k, 36) = 2 \implies 	ext{gcd}(k, 18) = 1$.चूँकि $n$ एक $3$-अंकीय संख्या है,$100 \le 2k \le 999$,जिसका अर्थ है $50 \le k \le 499$.हमें अंतराल $[50, 499]$ में ऐसे पूर्णांक $k$ गिनने हैं जिनके लिए $	ext{gcd}(k, 18) = 1$ हो।कुल पूर्णांकों की संख्या $499 - 50 + 1 = 450$ है।$2$ या $3$ के गुणजों को गिनने के लिए हम समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) का उपयोग करेंगे।$S = \{50, 51, \ldots, 499\}$.$S$ में $2$ के गुणज: $225$.$S$ में $3$ के गुणज: $150$.$S$ में $6$ के गुणज: $75$.ऐसे $k$ जिनकी $	ext{gcd}(k, 18) > 1$ है,उनकी संख्या $= 225 + 150 - 75 = 300$.ऐसे $k$ जिनकी $	ext{gcd}(k, 18) = 1$ है,उनकी संख्या $= 450 - 300 = 150$.

$3$-अंकीय ऐसी कुल कितनी संख्याएँ हैं,जिनका $36$ के साथ महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ $2$ है?

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