मूल बिंदु से $\sqrt{\frac{2}{21}}$ की दूरी पर स्थित उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए,जो समतलों $x-y-z-1=0$ और $2x+y-3z+4=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर गुजरता है:

यदि बिंदुओं $\hat{i}+\hat{j}$ और $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ को मिलाने वाली रेखा,उस समतल को जो बिंदु $2 \hat{i}+4 \hat{j}$ से गुजरता है और सदिशों $3 \hat{j}+5 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}-\hat{k}$ के समांतर है,बिंदु $P$ पर मिलती है,तो बिंदु $P$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}$ किस समतल के समांतर है?

मान लीजिए कि रेखाएँ $L_1: \vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$,$\lambda \in R$ और $L_2: \vec{r}=(4\hat{i}+\hat{j})+\mu(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$,$\mu \in R$,बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $P$ और $Q$ क्रमशः रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{29}$ और $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{\frac{47}{3}}$ है। यदि बिंदु $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में स्थित है,तो $27(QR)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक रेखा $L$ बिंदुओं $\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $-2 \hat{i}+3 \hat{k}$ से होकर गुजरती है। एक समतल $P$ मूल बिंदु और बिंदुओं $4 \hat{k}, 2 \hat{i}+\hat{j}$ से होकर गुजरता है। वह बिंदु जहाँ रेखा $L$ समतल $P$ से मिलती है,है

$l, m, n$ एक दाहिने हाथ की प्रणाली में तीन इकाई सदिश हैं और $L$ बिंदुओं $A, B, C$ से गुजरने वाली एक रेखा है जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $p l + 7 m - 6 n, 2 l + 5 m - 4 n$ और $l + 4 m - 3 n$ हैं। यदि $L$ और बिंदु $(-p, p, p+1)$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण $ax + by + cz = 1$ है,तो $p(a+b+c) =$