यदि y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x,और (x^2 - 1) frac | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$. मान लीजिए $u = y^{1/4}$,तो $u + \frac{1}{u} = 2x$,जिसका अर्थ है $u^2 - 2xu + 1 = 0$. $u$ के लिए हल करने पर,

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$17$

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(A) दिया गया है $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$. मान लीजिए $u = y^{1/4}$,तो $u + \frac{1}{u} = 2x$,जिसका अर्थ है $u^2 - 2xu + 1 = 0$. $u$ के लिए हल करने पर,हमें $u = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ प्राप्त होता है।अतः,$y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,यानी $y = (x \pm \sqrt{x^2 - 1})^4$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(1 \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}ight) = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(\frac{\sqrt{x^2 - 1} \pm x}{\sqrt{x^2 - 1}}ight)$.चूंकि $y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,हमें $\frac{dy}{dx} = 4(y^{3/4}) \left(\frac{\pm(x \pm \sqrt{x^2 - 1})}{\sqrt{x^2 - 1}}ight) = \frac{4y}{\sqrt{x^2 - 1}}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^2 - 1) \left(\frac{dy}{dx}ight)^2 = 16y^2$.पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(x^2 - 1) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \left(\frac{dy}{dx}ight)^2 = 32y \frac{dy}{dx}$.$2 \frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} 
eq 0$),हमें $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 16y = 0$ प्राप्त होता है।इसकी तुलना $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = -16$ प्राप्त होता है।अतः,$|\alpha - \beta| = |1 - (-16)| = |1 + 16| = 17$.

यदि $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$,और $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ है,तो $|\alpha - \beta|$ का मान ...... है।

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