ऊपर से खुले एक बक्से को a times b आयामों वाली | vedclass

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Question

(C) बने हुए बक्से के आयाम $(a-2x)$,$(b-2x)$,और $x$ हैं। बक्से का आयतन $V$ इस प्रकार है: $V(x) = (a-2x)(b-2x)x = (ab - 2ax - 2bx + 4x^2)x = 4x^3 - 2(a+

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$\frac{a+b-\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}}{6}$

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(C) बने हुए बक्से के आयाम $(a-2x)$,$(b-2x)$,और $x$ हैं। बक्से का आयतन $V$ इस प्रकार है: $V(x) = (a-2x)(b-2x)x = (ab - 2ax - 2bx + 4x^2)x = 4x^3 - 2(a+b)x^2 + abx$. अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 4(a+b)x + ab$. $\frac{dV}{dx} = 0$ रखने पर: $12x^2 - 4(a+b)x + ab = 0$. द्विघात सूत्र $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करने पर: $x = \frac{4(a+b) \pm \sqrt{16(a+b)^2 - 48ab}}{24} = \frac{4(a+b) \pm \sqrt{16(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab)}}{24} = \frac{4(a+b) \pm 4\sqrt{a^2 - ab + b^2}}{24} = \frac{(a+b) \pm \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$. मान लीजिए $\alpha = \frac{(a+b) + \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$ और $\beta = \frac{(a+b) - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$. द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $\frac{d^2V}{dx^2} = 24x - 4(a+b)$. $x = \beta$ के लिए,$\frac{d^2V}{dx^2} = 24\left(\frac{a+b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}\right) - 4(a+b) = 4(a+b) - 4\sqrt{a^2 - ab + b^2} - 4(a+b) = -4\sqrt{a^2 - ab + b^2} चूंकि $x = \beta$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए आयतन $x = \beta = \frac{a+b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$ पर अधिकतम है।

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