lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n} sum_{r=0 | vedclass

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Question

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने

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$\frac{1}{2} 	an ^{-1}(4)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर:$L = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{1}{1+4(\frac{r}{n})^2}$.निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{kn-1} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{k} f(x) dx$.यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+4x^2}$ और ऊपरी सीमा $k = \lim_{n ightarrow \infty} \frac{2n-1}{n} = 2$ है।अतः,$L = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+(2x)^2} dx$.सूत्र $\int \frac{1}{1+a^2x^2} dx = \frac{1}{a} 	an^{-1}(ax) + C$ का उपयोग करने पर:$L = \left[ \frac{1}{2} 	an^{-1}(2x) ight]_{0}^{2}$.$L = \frac{1}{2} 	an^{-1}(2 	imes 2) - \frac{1}{2} 	an^{-1}(2 	imes 0)$.$L = \frac{1}{2} 	an^{-1}(4) - 0 = \frac{1}{2} 	an^{-1}(4)$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ का मान है:

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$\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1^2+n^2}+\frac{2}{2^2+n^2}+\frac{3}{3^2+n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

$\int_{-1}^{2}(7 x-5) d x$ का मान योगफल की सीमा के रूप में ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\sin \frac{3 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

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