समतलों vec{r} cdot(hat{i}+hat{j}+hat{k})=1 और | vedclass

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Question

(A) दिए गए समतलों के समीकरण हैं:$P_1: x+y+z-1=0$$P_2: 2x+3y-z+4=0$इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambd

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$\vec{r} \cdot(\hat{j}-3 \hat{k})+6=0$

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(A) दिए गए समतलों के समीकरण हैं:$P_1: x+y+z-1=0$$P_2: 2x+3y-z+4=0$इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है:$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$चूंकि यह समतल $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$,$x$-अक्ष की दिशा $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।अतः,अभिलंब सदिश और $x$-अक्ष की दिशा का अदिश गुणनफल शून्य होगा:$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$$\lambda = -\frac{1}{2}$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर:$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$$-2$ से गुणा करने पर:$y - 3z + 6 = 0$सदिश रूप में,यह $\vec{r} \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}) + 6 = 0$ है,अर्थात $\vec{r} \cdot (\hat{j} - 3\hat{k}) + 6 = 0$।

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यदि बिंदु $(1, 1, p)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}) + 13 = 0$ से समान दूरी पर हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदुओं $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से गुजरने वाली रेखा समतल को $(0, \frac{17}{2}, -\frac{13}{2})$ बिंदु पर काटती है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें समतल $x - 2y + 3z = 17$ बिंदुओं $(-2, 4, 7)$ और $(3, -5, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।

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