मान लीजिए $z_{1}$ और $z_{2}$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\arg(z_{1}-z_{2})=\frac{\pi}{4}$ और $z_{1}, z_{2}$ समीकरण $|z-3|=\operatorname{Re}(z)$ को संतुष्ट करते हैं। तो $z_{1}+z_{2}$ का काल्पनिक भाग ..... के बराबर है।

किसी भी सम्मिश्र संख्या $w = c + id$ के लिए,मान लीजिए $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$,जहाँ $i =\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि सभी सम्मिश्र संख्याओं $z=x+iy$ के लिए जो $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को संतुष्ट करती हैं,क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त $x^2+y^2+5x-3y+4=0$ पर स्थित है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है (हैं)?
$(A) \alpha=-1$ $(B) \alpha \beta=4$ $(C) \alpha \beta=-4$ $(D) \beta=4$

समुच्चय $\{z=a+ib: a, b \in \mathbb{Z}, z \in \mathbb{C}, |z-1| \leq 1, |z-5| \leq |z-5i|\}$ के तत्वों के मापांक के वर्ग का योग ........ है।

यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|=4$ को संतुष्ट करती है,तो $|z|$ क्या नहीं हो सकता है?

मान लीजिए $S = \{z \in \mathbb{C} : z^{2} + \bar{z} = 0\}$ है। तो $\sum_{z \in S} (\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z))$ का मान $......$ है।

$a \in \mathbb{C}$ के लिए, मान लीजिए $A = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(a + \bar{z}) > \operatorname{Im}(\bar{a} + z)\}$ और $B = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(a + \bar{z}) < \operatorname{Im}(\bar{a} + z)\}$ है। तो इन दो कथनों में से:
$(S1) : \text{यदि } \operatorname{Re}(a), \operatorname{Im}(a) > 0 \text{ है, तो समुच्चय } A \text{ में सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं.}$
$(S2) : \text{यदि } \operatorname{Re}(a), \operatorname{Im}(a) < 0 \text{ है, तो समुच्चय } B \text{ में सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं.}$