यदि आव्यूह A=begin{bmatrix} 0 & 2 K & -1 end | vedclass

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Question

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \ K & -1 \end{bmatrix}$ है।दिया गया समीकरण $A(A^{3} + 3I) = 2I$ है,जिसका अर्थ है $A^{4} + 3A = 2I$,या

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$\frac{1}{2}$

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(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \ K & -1 \end{bmatrix}$ है।दिया गया समीकरण $A(A^{3} + 3I) = 2I$ है,जिसका अर्थ है $A^{4} + 3A = 2I$,या $A^{4} = 2I - 3A$ है।$A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।$\begin{vmatrix} -\lambda & 2 \ K & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda + 1) - 2K = 0 \Rightarrow \lambda^{2} + \lambda - 2K = 0$ है।कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^{2} + A - 2KI = 0$,इसलिए $A^{2} = 2KI - A$ है।अब,$A^{4} = (A^{2})^{2} = (2KI - A)^{2} = 4K^{2}I - 4KA + A^{2}$ है।$A^{4}$ के व्यंजक में $A^{2} = 2KI - A$ प्रतिस्थापित करने पर:$A^{4} = 4K^{2}I - 4KA + (2KI - A) = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$ है।$A^{4}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:$2I - 3A = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:$(4K + 1 - 3)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$ है।$(4K - 2)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$ है।$2(2K - 1)A = 2(2K^{2} + K - 1)I$ है।$2(2K - 1)A = 2(2K - 1)(K + 1)I$ है।यदि $2K - 1 
eq 0$ है,तो $A = (K + 1)I$,जिसका अर्थ है $\begin{bmatrix} 0 & 2 \ K & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K+1 & 0 \ 0 & K+1 \end{bmatrix}$ है।यह $K+1 = 0$ और $2 = 0$ की ओर ले जाता है,जो असंभव है।अतः,$2K - 1 = 0$ होना चाहिए,जिससे $K = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि आव्यूह $A=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix}$ समीकरण $A(A^{3}+3I)=2I$ को संतुष्ट करता है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए:

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