JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए $P \equiv (x_1, mx_1)$ और $Q \equiv (x_2, mx_2)$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल:
$A_1 = \frac{1}{2} |3(0 - 1) + 2(1 - 4) + (-1)(4 - 0)| = \frac{13}{2}$.
$\Delta PQC$ का क्षेत्रफल:
$A_2 = m|x_1 - x_2|$.
चूंकि $A_1 = 3A_2$,इसलिए $|x_1 - x_2| = \frac{13}{6m}$ है।
रेखा $AC$ का समीकरण $x + 3y = 2$ है,जिससे $x_1 = \frac{2}{1 + 3m}$ प्राप्त होता है।
रेखा $BC$ का समीकरण $y = 4x - 8$ है,जिससे $x_2 = \frac{8}{4 - m}$ प्राप्त होता है।
$|x_1 - x_2| = \frac{26m}{(3m + 1)(4 - m)} = \frac{13}{6m}$.
अतः $15m^2 - 11m - 4 = 0$,जिसे हल करने पर $m = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दो समूहों के संयुक्त प्रसरण $\sigma^{2}$ का सूत्र:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1}\sigma_{1}^{2} + n_{2}\sigma_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{n_{1}n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}}(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})^{2}$
दिए गए मान:
$n_{1} = 10, n_{2} = n, \sigma_{1}^{2} = 2, \sigma_{2}^{2} = 1$
$\bar{x}_{1} = 2, \bar{x}_{2} = 3, \sigma^{2} = \frac{17}{9}$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{17}{9} = \frac{10(2) + n(1)}{10 + n} + \frac{10n}{(10 + n)^{2}}(2 - 3)^{2}$
$\frac{17}{9} = \frac{20 + n}{10 + n} + \frac{10n}{(10 + n)^{2}}$
सरल करने पर:
$17(10 + n)^{2} = 9[(20 + n)(10 + n) + 10n]$
$8n^{2} - 20n - 100 = 0$
$2n^{2} - 5n - 25 = 0$
$(2n + 5)(n - 5) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$.

(C) चूँकि $\frac{1}{16}, a, b$ एक $G.P.$ में हैं,हमारे पास $a^2 = \frac{b}{16}$ है,जिसका अर्थ है $b = 16a^2$.
चूँकि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 6$ एक $A.P.$ में हैं,हमारे पास $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + 6$ है।
$b = 16a^2$ को $A.P.$ समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{16a^2} = \frac{1}{a} + 6$
$\frac{1}{8a^2} = \frac{1}{a} + 6$
$8a^2$ से गुणा करने पर:
$1 = 8a + 48a^2$
$48a^2 + 8a - 1 = 0$
$(12a - 1)(4a + 1) = 0$
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{12}$ है।
तब $b = 16 \times (\frac{1}{12})^2 = 16 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{9}$ है।
अंत में,$72(a + b) = 72(\frac{1}{12} + \frac{1}{9}) = 72(\frac{3 + 4}{36}) = 72(\frac{7}{36}) = 2 \times 7 = 14$।

(D) $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = 30 \, cm^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 \cdot \sin A = 30$ $\Rightarrow 30 \sin A = 30$ $\Rightarrow \sin A = 1.$
अतः,$A = 90^{\circ},$ जिसका अर्थ है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R,$ कर्ण की आधी होती है,इसलिए $R = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, cm.$
अंतःत्रिज्या $r$ को $r = \frac{\Delta}{s}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है।
$s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm.$
अतः,$r = \frac{30}{15} = 2 \, cm.$
$2R + r = 2(6.5) + 2 = 13 + 2 = 15 \, cm$ का मान।

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$.
दिया गया है $A = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} \left[ (-\frac{1}{2})^{k} + (-\frac{3}{4})^{k} + (-\frac{7}{8})^{k} + (-\frac{15}{16})^{k} + (-\frac{31}{32})^{k} \right]$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = (1 - \frac{1}{2})^{n} + (1 - \frac{3}{4})^{n} + (1 - \frac{7}{8})^{n} + (1 - \frac{15}{16})^{n} + (1 - \frac{31}{32})^{n}$.
$A = (\frac{1}{2})^{n} + (\frac{1}{4})^{n} + (\frac{1}{8})^{n} + (\frac{1}{16})^{n} + (\frac{1}{32})^{n}$.
$A = \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{2^{3n}} + \frac{1}{2^{4n}} + \frac{1}{2^{5n}}$.
यह $5$ पदों के लिए $a = \frac{1}{2^{n}}$ और $r = \frac{1}{2^{n}}$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
$A = \frac{1}{2^{n}} \left( \frac{1 - (\frac{1}{2^{n}})^{5}}{1 - \frac{1}{2^{n}}} \right) = \frac{1 - \frac{1}{2^{5n}}}{2^{n}-1}$.
अतः,$(2^{n}-1)A = 1 - \frac{1}{2^{5n}}$.
दिए गए $63A = 1 - \frac{1}{2^{30}}$ से तुलना करने पर,$2^{n}-1 = 63$ और $5n = 30$.
$2^{n} = 64 \Rightarrow n = 6$ और $5n = 30 \Rightarrow n = 6$.
इसलिए,$n = 6$.

(A) श्रेणी का सामान्य पद $\log_{a^{1/k_n}} x = k_n \log_a x$ है,जहाँ $k_n$ अनुक्रम $2, 3, 6, 11, 18, 27, \ldots$ का पालन करता है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ है,जो एक समांतर श्रेणी है।
इस अनुक्रम का $n$-वाँ पद $k_n = (n-1)^2 + 2$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n(x) = \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2n \right) \log_a x$ है।
$n=24$ के लिए,$S_{24}(x) = 4372 \log_a x = 1093$,इसलिए $\log_a x = \frac{1}{4}$।
$n=12$ के लिए,$S_{12}(2x) = 530 \log_a (2x) = 265$,इसलिए $\log_a (2x) = \frac{1}{2}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $\log_a (2x) - \log_a x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।
$\log_a 2 = \frac{1}{4} \implies a = 2^4 = 16$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}$ है।
द्विपद गुणांकों के गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${}^{6}C_{6-r} = {}^{6}C_{r}$ होता है।
अतः,योग $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{r} = \sum_{r=0}^{6} ({}^{6}C_{r})^2$ हो जाता है।
वैकल्पिक रूप से,वेंडरमोंड की पहचान (Vandermonde's Identity) के अनुसार,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$ होता है।
यहाँ,$m=6, n=6$,और $r=6$ है।
इसलिए,$\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r} = {}^{6+6}C_{6} = {}^{12}C_{6}$।
मान की गणना करने पर: ${}^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x-1 < [x] \leq x$ होता है।
$k=1, 2, \ldots, n$ के लिए $[kr]$ पदों पर इसे लागू करने पर:
$kr-1 < [kr] \leq kr$.
इन असमिकाओं का $k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$\sum_{k=1}^{n} (kr-1) < \sum_{k=1}^{n} [kr] \leq \sum_{k=1}^{n} kr$.
$r \frac{n(n+1)}{2} - n < \sum_{k=1}^{n} [kr] \leq r \frac{n(n+1)}{2}$.
पूरी असमिका को $n^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{r \frac{n(n+1)}{2} - n}{n^2} < \frac{\sum_{k=1}^{n} [kr]}{n^2} \leq \frac{r \frac{n(n+1)}{2}}{n^2}$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{r(n^2+n)}{2n^2} - \frac{n}{n^2} \right) = \frac{r}{2}$
और
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r(n^2+n)}{2n^2} = \frac{r}{2}$.
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,सीमा $\frac{r}{2}$ है।

(A) अंतराल $[0, 2\pi]$ में $x + 2 \tan x = \frac{\pi}{2}$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:
$2 \tan x = \frac{\pi}{2} - x$
$\tan x = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$
हम अंतराल $[0, 2\pi]$ में $y = \tan x$ और $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$ के आलेखों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$1$. अंतराल $[0, \frac{\pi}{2})$ में,$\tan x$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,जबकि रेखा $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ से $0$ तक घटती है। यहाँ ठीक $1$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$2$. अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में,$\tan x$,$-\infty$ से $\infty$ तक बढ़ता है,जबकि रेखा $0$ से $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ तक घटती है। यहाँ ठीक $1$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$3$. अंतराल $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ में,$\tan x$,$-\infty$ से $0$ तक बढ़ता है,जबकि रेखा $-\frac{\pi}{2}$ से $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.35$ तक घटती है। यहाँ ठीक $1$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,कुल $3$ हल हैं।

(C) $S_{1} = \{ z \in C : |z - 1| \leq \sqrt{2} \}$ के लिए, $z$ केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ वाले वृत्त पर और उसके अंदर स्थित बिंदुओं को दर्शाता है।
$S_{2} = \{ z \in C : \operatorname{Re}((1 - i)z) \geq 1 \}$ के लिए, मान लीजिए $z = x + iy$ है।
तब $(1 - i)(x + iy) = x + iy - ix - i^2y = (x + y) + i(y - x)$।
अतः, $\operatorname{Re}((1 - i)z) = x + y \geq 1$।
$S_{3} = \{ z \in C : \operatorname{Im}(z) \leq 1 \}$ के लिए, हमारे पास $y \leq 1$ है।
सर्वनिष्ठ $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ सम्मिश्र तल में एक ऐसे क्षेत्र को दर्शाता है जो वृत्त $(x - 1)^2 + y^2 = 2$, रेखा $x + y = 1$, और रेखा $y = 1$ द्वारा घिरा हुआ है।
जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, यह सर्वनिष्ठ एक ऐसे क्षेत्र का निर्माण करता है जिसका क्षेत्रफल शून्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि इस समुच्चय में अनंत अवयव हैं।

(NONE) भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ पर आंतरिक बिंदुओं की संख्या क्रमशः $3, 5$ और $6$ है।
त्रिभुज के $3$ शीर्षों $A, B, C$ को शामिल करते हुए,कुल उपलब्ध बिंदुओं की संख्या $n = 3 + 5 + 6 + 3 = 17$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें इन $17$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं का चयन करना होगा।
$3$ बिंदुओं का चयन करने के कुल तरीके $^{17}C_{3} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680$ हैं।
हालाँकि,एक ही भुजा पर स्थित बिंदु संरेख होते हैं और त्रिभुज नहीं बना सकते हैं।
भुजा $AB$ पर बिंदुओं की संख्या $3 + 2 = 5$ है (शीर्ष $A$ और $B$ सहित)।
भुजा $BC$ पर बिंदुओं की संख्या $5 + 2 = 7$ है (शीर्ष $B$ और $C$ सहित)।
भुजा $CA$ पर बिंदुओं की संख्या $6 + 2 = 8$ है (शीर्ष $C$ और $A$ सहित)।
घटाए जाने वाले त्रिभुजों की संख्या = $^{5}C_{3} + ^{7}C_{3} + ^{8}C_{3} = 10 + 35 + 56 = 101$ है।
त्रिभुजों की कुल संख्या = $680 - 101 = 579$।

(B) माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{12}{5}$.
चूँकि $\tan \theta = \frac{12}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{12}{13}$ और $\cos \theta = \frac{5}{13}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r=1$ है।
माना $\alpha = \theta/2$ है। $\tan \alpha = \frac{r}{PA} = \frac{1}{PA}$ है।
$\tan \theta = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{12}{5}$ से हल करने पर $PA = 3/2$ प्राप्त होता है।
$\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (PA)^2 \sin \theta = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left(\frac{12}{13}\right) = \frac{27}{26}$ है।
$\Delta CAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} r^2 \sin \theta = \frac{1}{2} (1)^2 \left(\frac{12}{13}\right) = \frac{6}{13}$ है।
अनुपात $= \frac{27/26}{6/13} = \frac{9}{4}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2} = 4(x-5)$ है।
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर परवलय $y^{2} = 4a(x-h)$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2a(x+x_{1}) - 4ah$ है।
यहाँ,$a=1$,$h=5$,$x_{1}=6$,और $y_{1}=2$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2y = 2(x+6) - 20$
$2y = 2x + 12 - 20$
$2y = 2x - 8$
$y = x - 4$,जिसे $x - y - 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = A^{2}m^{2} + B^{2}$ है।
यहाँ,$m = 1$,$c = -4$,$A^{2} = 2$,और $B^{2} = b$ है।
इस शर्त में मान रखने पर:
$(-4)^{2} = 2(1)^{2} + b$
$16 = 2 + b$
$b = 14$.

(A) हमें सीमा $L = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan (\pi \cos ^{2} \theta)}{\sin (2 \pi \sin ^{2} \theta)}$ दी गई है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\tan (\pi \cos^2 \theta) = \tan (\pi - \pi \sin^2 \theta)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan (\pi - x) = -\tan x$,इसलिए $\tan (\pi - \pi \sin^2 \theta) = -\tan (\pi \sin^2 \theta)$ होगा।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर,$L = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{-\tan (\pi \sin^2 \theta)}{\sin (2 \pi \sin^2 \theta)}$ प्राप्त होता है।
जैसे $\theta \rightarrow 0$,$\sin^2 \theta \rightarrow 0$। माना $u = \pi \sin^2 \theta$,तो $\theta \rightarrow 0$ के लिए $u \rightarrow 0$ होगा।
व्यंजक $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{-\tan u}{\sin (2u)}$ बन जाता है।
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{u}$ ${\rightarrow 0} -\left( \frac{\tan u}{u} \right) \left( \frac{2u}{\sin (2u)} \right) \times \frac{1}{2} = -1 \times 1 \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(C) बिंदु $R(3,4)$ पर वृत्त $x^{2}+y^{2}=25$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $3x+4y=25$ है।
स्पर्शरेखा जहाँ अक्षों से मिलती है,उन बिंदुओं $P$ और $Q$ को ज्ञात करने के लिए:
$P$ ($x$-अक्ष पर) के लिए,$y=0$ रखें: $3x=25 \implies x=\frac{25}{3}$. अतः,$P = (\frac{25}{3}, 0)$.
$Q$ ($y$-अक्ष पर) के लिए,$x=0$ रखें: $4y=25 \implies y=\frac{25}{4}$. अतः,$Q = (0, \frac{25}{4})$.
त्रिभुज $OPQ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $O(0,0)$,$P(\frac{25}{3}, 0)$,और $Q(0, \frac{25}{4})$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $OP = \frac{25}{3}$,$OQ = \frac{25}{4}$,और $PQ = \sqrt{(\frac{25}{3})^{2} + (\frac{25}{4})^{2}} = \sqrt{\frac{625}{9} + \frac{625}{16}} = \frac{125}{12}$ है।
एक समकोण त्रिभुज का अंतःकेंद्र $I(a, b)$ जिसके शीर्ष $(0,0)$,$(x_1, 0)$,और $(0, y_1)$ हैं,$I = (r_{in}, r_{in})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_{in} = \frac{x_1 + y_1 - \sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{2}$ है।
यहाँ,$r_{in} = \frac{\frac{25}{3} + \frac{25}{4} - \frac{125}{12}}{2} = \frac{25}{12}$.
अतः,अंतःकेंद्र $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ है।
वृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ पर है।
त्रिज्या $r$ दूरी $OI = \sqrt{(\frac{25}{12}-0)^{2} + (\frac{25}{12}-0)^{2}} = \sqrt{2(\frac{25}{12})^{2}}$ है।
इसलिए,$r^{2} = 2 \times (\frac{25}{12})^{2} = 2 \times \frac{625}{144} = \frac{625}{72}$.

(A) हम विकल्पों की जाँच करते हैं कि कौन सा व्यंजक पुनरुक्ति $(t)$ देता है:
विकल्प $A$: $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$= \sim(p \wedge q) \vee (\sim p \vee q)$
$= (\sim p \vee \sim q) \vee (\sim p \vee q)$
$= \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$= \sim p \vee t$
$= t$ (यह एक पुनरुक्ति है)।
विकल्प $B$: $(p \wedge q) \wedge (p \vee q) = (p \wedge q)$ (पुनरुक्ति नहीं है)।
विकल्प $C$: $(p \wedge q) \vee (p \rightarrow q) = (p \wedge q) \vee (\sim p \vee q) = \sim p \vee q$ (पुनरुक्ति नहीं है)।
विकल्प $D$: $(p \wedge q) \wedge (p \rightarrow q) = (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee q) = p \wedge q$ (पुनरुक्ति नहीं है)।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए $A, B, C$ के निर्देशांक $(R\cos \alpha, R\sin \alpha), (R\cos \beta, R\sin \beta)$ और $(R\cos \gamma, R\sin \gamma)$ हैं।
परिकेंद्र मूलबिंदु पर होने के कारण,$A, B, C$ की मूलबिंदु से दूरी $R$ है।
$\Delta ABC$ का लंबकेंद्र $H$ $(R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma), R(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma))$ है।
चूंकि लंबकेंद्र $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक शून्य होगा:
$R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) = 0 \implies \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.
सर्वसमिका $\cos^3 \theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$ का उपयोग करने पर,$\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma = 4(\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma) - 3(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)$.
यदि $a+b+c=0$ है,तो $a^3+b^3+c^3 = 3abc$ होता है।
अतः,$\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma = 3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.
इस मान को रखने पर:
$\frac{\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = \frac{4(3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma) - 0}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = 12$.
अतः,अभीष्ट मान $12^2 = 144$ है।

(B) माना संख्याएँ $x_1, x_2, \ldots, x_{2n}$ और $y_1, y_2, \ldots, y_n$ हैं।
पहली $2n$ संख्याओं का माध्य $\bar{x} = 6$ है,इसलिए $\sum x_i = 12n$.
शेष $n$ संख्याओं का माध्य $\bar{y} = 3$ है,इसलिए $\sum y_i = 3n$.
कुल माध्य $\bar{X} = \frac{12n + 3n}{3n} = 5$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{3n} - (\bar{X})^2 = 4$.
$4 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{3n} - 25 \implies \sum x_i^2 + \sum y_i^2 = 87n$.
नए समूह में,संख्याएँ $(x_i + 1)$ और $(y_i - 1)$ हैं।
नया माध्य $\bar{X}' = \frac{\sum (x_i + 1) + \sum (y_i - 1)}{3n} = \frac{12n + 2n + 3n - n}{3n} = \frac{16n}{3n} = \frac{16}{3}$.
नया प्रसरण $k = \frac{\sum (x_i + 1)^2 + \sum (y_i - 1)^2}{3n} - (\bar{X}')^2$.
$k = \frac{\sum x_i^2 + 2\sum x_i + 2n + \sum y_i^2 - 2\sum y_i + n}{3n} - (\frac{16}{3})^2$.
$k = \frac{87n + 2(12n) + 2n - 2(3n) + n}{3n} - \frac{256}{9} = \frac{108n}{3n} - \frac{256}{9} = 36 - \frac{256}{9} = \frac{324 - 256}{9} = \frac{68}{9}$.
अतः,$9k = 68$.

(C) सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} (\frac{a}{x^2})^r = {}^{n}C_{r} a^r x^{n-3r}$ है।
तीसरे,चौथे और पांचवें पदों के गुणांक क्रमशः ${}^{n}C_{2} a^2$,${}^{n}C_{3} a^3$ और ${}^{n}C_{4} a^4$ हैं।
दिया गया अनुपात ${}^{n}C_{2} a^2 : {}^{n}C_{3} a^3 : {}^{n}C_{4} a^4 = 12 : 8 : 3$ है।
$\frac{{}^{n}C_{2} a^2}{{}^{n}C_{3} a^3} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ से,हमें $a(n-2) = 2$ प्राप्त होता है।
$\frac{{}^{n}C_{3} a^3}{{}^{n}C_{4} a^4} = \frac{8}{3}$ से,हमें $a(n-3) = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
इन्हें हल करने पर,$n=6$ और $a=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए $n-3r = 0$,इसलिए $6-3r = 0 \implies r=2$।
अतः पद ${}^{6}C_{2} a^2 = 15 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{15}{4} = 3.75$ है।
निकटतम पूर्णांक $4$ है।

(A) समबाहु त्रिभुज का केंद्रक $O$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी अंतःत्रिज्या $r$ के बराबर होती है।
भुजा का समीकरण $x + y - 3 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x + y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी:
$r = \frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त त्रिज्या $R$ अंतःत्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है,अर्थात $R = 2r$.
इसलिए,$R = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
अतः,$R + r = \frac{6}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया अतिपरवलय $x^{2}-2y^{2}=4$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=2$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
नाभि $F$ का मान $(ae, 0) = (2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}, 0) = (\sqrt{6}, 0)$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ के लिए बिंदु $P(4, \sqrt{6})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x x_{1}}{4}-\frac{y y_{1}}{2}=1$ है।
$(x_{1}, y_{1}) = (4, \sqrt{6})$ रखने पर,हमें $\frac{4x}{4}-\frac{\sqrt{6}y}{2}=1$ प्राप्त होता है,जो $x - \frac{\sqrt{6}}{2}y = 1$ या $2x - y\sqrt{6} = 2$ में सरल हो जाता है।
$Q$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्शरेखा के समीकरण में $y=0$ रखें: $2x=2 \Rightarrow x=1$. अतः,$Q(1, 0)$.
$R$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्शरेखा के समीकरण में $x=\sqrt{6}$ (नाभिलंब) रखें: $2(\sqrt{6}) - y\sqrt{6} = 2 \Rightarrow y\sqrt{6} = 2\sqrt{6}-2 \Rightarrow y = 2 - \frac{2}{\sqrt{6}}$.
अतः,$R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$.
शीर्षों $Q(1, 0)$,$F(\sqrt{6}, 0)$,और $R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$ वाले $\Delta QFR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
आधार $QF = |\sqrt{6}-1|$.
ऊंचाई $FR = |2 - \frac{2}{\sqrt{6}}|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\sqrt{6}-1) \times 2(1 - \frac{1}{\sqrt{6}}) = (\sqrt{6}-1) \times \frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{6}-1)^{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6+1-2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}-2$.

(B) आइए सभी विकल्पों के लिए पूर्ववृत्त $((P \Rightarrow Q) \wedge \sim Q)$ को सरल करें:
$((P \Rightarrow Q) \wedge \sim Q) \equiv ((\sim P \vee Q) \wedge \sim Q)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(\sim P \wedge \sim Q) \vee (Q \wedge \sim Q)$
चूंकि $(Q \wedge \sim Q) \equiv F$,हमारे पास $(\sim P \wedge \sim Q) \vee F \equiv \sim P \wedge \sim Q$ है।
अब,प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
$(A) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow Q \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee Q \equiv (P \vee Q) \vee Q \equiv P \vee Q$ (पुनरुक्ति नहीं है)
$(B) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow \sim P \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee \sim P \equiv (P \vee Q) \vee \sim P \equiv (P \vee \sim P) \vee Q \equiv T \vee Q \equiv T$ (पुनरुक्ति है)
$(C) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow P \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee P \equiv (P \vee Q) \vee P \equiv P \vee Q$ (पुनरुक्ति नहीं है)
$(D) (\sim P \wedge \sim Q) \Rightarrow (P \wedge Q) \equiv (P \vee Q) \vee (P \wedge Q) \equiv P \vee Q$ (पुनरुक्ति नहीं है)
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d]$
$S_{4n} = \frac{4n}{2}[2a + (4n-1)d] = 2n[2a + (4n-1)d]$
दिया गया है कि $S_{2} - S_{1} = 1000$,जहाँ $S_{1} = S_{2n}$ और $S_{2} = S_{4n}$:
$2n[2a + (4n-1)d] - n[2a + (2n-1)d] = 1000$
$n[4a + 2(4n-1)d - 2a - (2n-1)d] = 1000$
$n[2a + (8n - 2 - 2n + 1)d] = 1000$
$n[2a + (6n - 1)d] = 1000$
$2a + (6n - 1)d = \frac{1000}{n}$
अब,पहले $6n$ पदों का योग $S_{6n} = \frac{6n}{2}[2a + (6n-1)d]$
$S_{6n} = 3n \times \frac{1000}{n} = 3000$

(B) दिया गया है $w = 1 - \sqrt{3} i$,मापांक $|w| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ है।
दिया गया है $|zw| = 1$,इसलिए $|z| |w| = 1$,जिसका अर्थ है $|z| = \frac{1}{|w|} = \frac{1}{2}$।
दिया गया है $\arg(z) - \arg(w) = \frac{\pi}{2}$,अर्थात मूल बिंदु पर $z$ और $w$ को दर्शाने वाले सदिशों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
दो भुजाओं $a$ और $b$ तथा उनके बीच के कोण $\theta$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ab \sin(\theta)$ होता है।
यहाँ,भुजाएँ $|z|$ और $|w|$ हैं,और कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |z| |w| \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = \frac{1}{2}$।

(A) मान लीजिए अवलोकन $x_{i}$ हैं जहाँ $1 \leq i \leq 2n$ है।
मूल अवलोकनों का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{2n} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = 0$ है।
मूल अवलोकनों का प्रसरण $\sigma_{x}^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{2n} - (\bar{x})^{2} = \frac{n(a^{2}) + n(-a)^{2}}{2n} - 0 = \frac{2na^{2}}{2n} = a^{2}$ है।
अतः,मानक विचलन $\sigma_{x} = \sqrt{a^{2}} = |a|$ है।
जब प्रत्येक अवलोकन में एक स्थिरांक $b$ जोड़ा जाता है,तो नया माध्य $\bar{y} = \bar{x} + b = 0 + b = 5$,इसलिए $b = 5$ है।
स्थिरांक जोड़ने से मानक विचलन में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए $\sigma_{y} = \sigma_{x} = |a| = 20$ है।
इसलिए,$a^{2} = 20^{2} = 400$ और $b^{2} = 5^{2} = 25$ है।
अंत में,$a^{2} + b^{2} = 400 + 25 = 425$ है।

(C) दिए गए वृत्त $S_{1}: x^{2}+y^{2}=3^{2}$ हैं जिसका केंद्र $A(0,0)$ और त्रिज्या $r_{1}=3$ है,और $S_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1^{2}$ है जिसका केंद्र $B(2,0)$ और त्रिज्या $r_{2}=1$ है।
मान लीजिए चर वृत्त $S$ का केंद्र $P(x,y)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि $S$,$S_{1}$ को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,दूरी $PA = r_{1} - r = 3 - r$ है।
चूंकि $S$,$S_{2}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,दूरी $PB = r_{2} + r = 1 + r$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $PA + PB = (3 - r) + (1 + r) = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PA + PB = 4$ और दूरी $AB = 2$ है,$P$ का बिंदु पथ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभियाँ $A(0,0)$ और $B(2,0)$ हैं और दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $AB$ का मध्य बिंदु $(1,0)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = AB = 2$ है,इसलिए $2(2)e = 2$,जिससे $e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
तब $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 3$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$x=2$ के लिए,$\frac{(2-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{y^{2}}{3} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y^{2} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow y = \pm \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु पथ $\left(2, \pm \frac{3}{2}\right)$ से होकर गुजरता है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{27}+y^{2}=1$ के बिंदु $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{3 \sqrt{3}}+\frac{y \sin \theta}{1}=1$ है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $OA = 3 \sqrt{3} \sec \theta$ और $y$-अक्ष पर अंतःखंड $OB = \operatorname{cosec} \theta$ है।
माना अंतःखंडों का योग $f(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $f(\theta)$ का अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$.
$f^{\prime}(\theta) = 0$ रखने पर:
$3 \sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^{2} \theta}$
$\tan^{3} \theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\theta < \frac{\pi}{6}$ के लिए $f^{\prime}(\theta) < 0$ और $\theta > \frac{\pi}{6}$ के लिए $f^{\prime}(\theta) > 0$ है,इसलिए फलन $f(\theta)$ का न्यूनतम मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ पर प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए खंभे की ऊँचाई $h = PD$ है,जहाँ $P$ खंभे का शीर्ष है और $D$ जमीन पर खंभे का आधार है।
चूँकि पार्क के प्रत्येक कोने $A, B, C$ से खंभे के शीर्ष $P$ का उन्नयन कोण समान $(\frac{\pi}{3})$ है,इसलिए $D$ से प्रत्येक शीर्ष $A, B, C$ की दूरी समान होनी चाहिए।
अतः,$DA = DB = DC = R$,जहाँ $R$ $\Delta ABC$ की परिवृत्त त्रिज्या है।
दिया गया है कि $R = 2$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta PDA$ में,हमारे पास है:
$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{PD}{DA} = \frac{h}{R}$
$h = R \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(D) दिया गया है $15 \sin^{4} \alpha + 10 \cos^{4} \alpha = 6$.
हम जानते हैं कि $6 = 6(\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha)^{2} = 6(\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha + 2 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha)$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$15 \sin^{4} \alpha + 10 \cos^{4} \alpha = 6 \sin^{4} \alpha + 6 \cos^{4} \alpha + 12 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha$.
$9 \sin^{4} \alpha + 4 \cos^{4} \alpha - 12 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha = 0$.
$(3 \sin^{2} \alpha - 2 \cos^{2} \alpha)^{2} = 0$.
इससे $3 \sin^{2} \alpha = 2 \cos^{2} \alpha$ प्राप्त होता है,अतः $\tan^{2} \alpha = \frac{2}{3}$ और $\cot^{2} \alpha = \frac{3}{2}$.
अब,$27 \sec^{6} \alpha + 8 \operatorname{cosec}^{6} \alpha = 27(1 + \tan^{2} \alpha)^{3} + 8(1 + \cot^{2} \alpha)^{3}$.
$= 27(1 + \frac{2}{3})^{3} + 8(1 + \frac{3}{2})^{3}$.
$= 27(\frac{5}{3})^{3} + 8(\frac{5}{2})^{3}$.
$= 27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8}$.
$= 125 + 125 = 250$.

(D) दिया गया है $P(x) = f(x^3) + xg(x^3)$।
चूंकि $P(x)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है,इसलिए इसे $x^2 + x + 1 = 0$ के मूलों पर शून्य होना चाहिए। मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।
मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं। अतः,$P(\omega) = 0$ और $P(\omega^2) = 0$।
$P(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$ (समीकरण $1$)
$P(\omega^2) = f((\omega^2)^3) + \omega^2 g((\omega^2)^3) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$(f(1) + \omega g(1)) - (f(1) + \omega^2 g(1)) = 0$
$(\omega - \omega^2) g(1) = 0$
चूंकि $\omega \neq \omega^2$,इसलिए $g(1) = 0$ होना चाहिए।
$g(1) = 0$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$f(1) + \omega(0) = 0 \Rightarrow f(1) = 0$।
हमें $P(1)$ ज्ञात करना है:
$P(1) = f(1^3) + 1 \cdot g(1^3) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0$।

(C) योगफल के अंदर के पद को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$r^3 + 6r^2 + 2r + 5 = (r+1)(r+2)(r+3) - 9(r+1) + 8$.
अतः,योगफल होगा:
$\sum_{r=1}^{10} [(r+3)! - 9(r+1)! + 8r!]$.
इसे विस्तारित करने पर:
$= (13! + 12! - 2! - 3!) - 8(11! - 1!)$.
$= (156 + 12 - 8) \times 11!$.
$= 160 \times 11!$.
अतः,$\alpha = 160$.

(C) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
पहला पद: $\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
दूसरा पद: $\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$
घटाने पर: $(x^{1/3}+1) - (1 + x^{-1/2}) = x^{1/3} - x^{-1/2}$
व्यंजक $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ हो जाता है।
व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घातांक शून्य होना चाहिए:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$ $\Rightarrow 20 - 5r = 0$ $\Rightarrow r = 4$.
अतः पद ${}^{10}C_4 = 210$ है।

(A) दिया गया योग $\sum_{k=0}^{10}(4+3k){ }^{10} C _{ k } = \alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}.$
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}.$
योग का विस्तार करने पर: $\sum_{k=0}^{10} 4 \cdot {}^{10}C_k + 3 \sum_{k=0}^{10} k \cdot {}^{10}C_k.$
$= 4 \cdot 2^{10} + 3 \cdot (10 \cdot 2^{9}).$
$= 4 \cdot 2^{10} + 30 \cdot 2^{9} = 4 \cdot 2^{10} + 15 \cdot 2^{10} = 19 \cdot 2^{10}.$
$\alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 0$ और $\beta = 19$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 0 + 19 = 19.$

(D) यह जाँचने के लिए कि कथन $[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$ एक पुनरुक्ति है या नहीं,हम इसे तार्किक नियमों का उपयोग करके सरल करते हैं:
$[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$
$= [A \wedge (\sim A \vee B)] \rightarrow B$
$= [(A \wedge \sim A) \vee (A \wedge B)] \rightarrow B$
$= [F \vee (A \wedge B)] \rightarrow B$
$= (A \wedge B) \rightarrow B$
$= \sim (A \wedge B) \vee B$
$= (\sim A \vee \sim B) \vee B$
$= \sim A \vee (\sim B \vee B)$
$= \sim A \vee T$
$= T$
चूँकि अंतिम परिणाम $T$ (पुनरुक्ति) है,इसलिए कथन $[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$ एक पुनरुक्ति है।

(D) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $x$ और $y$ अंतःखंड हैं।
अंतःखंडों के व्युत्क्रमों का समांतर माध्य $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{1}{4}$ दिया गया है।
इसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$।
चूंकि रेखा $(x, y)$ से गुजरती है,हमारे पास $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
यदि हम बिंदु $(2, 2)$ का परीक्षण करें,तो हमें $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा हमेशा बिंदु $(2, 2)$ से गुजरती है।
चूंकि पत्थर $B$ बिंदु $(2, 2)$ पर है,इसलिए केवल पत्थर $B$ आदमी के रास्ते पर है।

(B) माना $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r} \sum_{k=1, k \text{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.
सबसे पहले,योग $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ का मूल्यांकन करें।
सर्वसमिका $r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,$A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$.
$j = r-1$ रखने पर,$A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j 1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$.
चूंकि $n \ge 1$ के लिए $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$,इसलिए $A = -15(0) = 0$.
अगला,$B = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{11}$ का मूल्यांकन करें।
हम जानते हैं कि $\sum_{k \text{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.
$n=14$ के लिए,$\sum_{k \text{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$.
अतः,$B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$.
इसलिए,कुल योग $A B = 0 2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ है।

(A) माना $I$ भारतीयों की संख्या है और $F$ विदेशियों की संख्या है। हमें दिया गया है कि $I \ge 2$ और $F = 2I$ है।
चूंकि $6$ भारतीय और $8$ विदेशी उपलब्ध हैं,इसलिए $I \le 6$ और $F \le 8$ होना चाहिए।
$F = 2I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2I \le 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I \le 4$।
अतः,$I$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4$ हैं।

$I$ (भारतीय)	$F$ (विदेशी)	तरीकों की संख्या
$2$	$4$	${}^{6}C_{2} \times {}^{8}C_{4} = 15 \times 70 = 1050$
$3$	$6$	${}^{6}C_{3} \times {}^{8}C_{6} = 20 \times 28 = 560$
$4$	$8$	${}^{6}C_{4} \times {}^{8}C_{8} = 15 \times 1 = 15$

कुल तरीकों की संख्या $= 1050 + 560 + 15 = 1625$.

(D) दिया गया है $p + q = 2$ और $p^{4} + q^{4} = 272$।
हम जानते हैं कि $p^{2} + q^{2} = (p + q)^{2} - 2pq = 2^{2} - 2pq = 4 - 2pq$।
साथ ही,$p^{4} + q^{4} = (p^{2} + q^{2})^{2} - 2p^{2}q^{2} = 272$।
$p^{2} + q^{2}$ का मान रखने पर:
$(4 - 2pq)^{2} - 2(pq)^{2} = 272$।
$16 - 16pq + 4(pq)^{2} - 2(pq)^{2} = 272$।
$2(pq)^{2} - 16pq - 256 = 0$।
$(pq)^{2} - 8pq - 128 = 0$।
मान लीजिए $t = pq$ है। तब $t^{2} - 8t - 128 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-128)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 512}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{8 \pm 24}{2}$।
$t = 16$ या $t = -8$।
चूंकि $p$ और $q$ धनात्मक हैं,इसलिए $pq$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $pq = 16$।
$p$ और $q$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^{2} - (p+q)x + pq = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - 2x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना छोटे खंभे की ऊँचाई $h$ है और ऊँचे खंभे की ऊँचाई $3h$ है। खंभों के बीच की दूरी $150 \ m$ है। प्रेक्षक मध्य बिंदु पर है,इसलिए प्रेक्षक से प्रत्येक खंभे की दूरी $75 \ m$ है।
माना छोटे खंभे का उन्नयन कोण $\theta$ है। चूँकि कोण पूरक हैं,ऊँचे खंभे का उन्नयन कोण $90^\circ - \theta$ है।
छोटे खंभे के लिए: $\tan \theta = \frac{h}{75}$.
ऊँचे खंभे के लिए: $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{3h}{75} \Rightarrow \cot \theta = \frac{3h}{75} = \frac{h}{25}$.
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{h}{75}\right) \cdot \left(\frac{h}{25}\right)$.
$1 = \frac{h^2}{1875} \Rightarrow h^2 = 1875$.
$h = \sqrt{1875} = \sqrt{625 \times 3} = 25 \sqrt{3} \ m$.

(D) माना $S = \cos^{2} x + \cos^{4} x + \cos^{6} x + \dots \infty$. यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \cos^{2} x$ और सार्व अनुपात $r = \cos^{2} x$ है।
चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$,$0 < \cos^{2} x < 1$,इसलिए $S = \frac{\cos^{2} x}{1 - \cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \cot^{2} x$.
दिया गया व्यंजक $e^{S \log_{e} 2} = 2^{S} = 2^{\cot^{2} x}$ है।
समीकरण $t^{2} - 9t + 8 = 0$ से,$(t - 8)(t - 1) = 0$,अतः $t = 8$ या $t = 1$.
इस प्रकार,$2^{\cot^{2} x} = 8 = 2^{3}$ या $2^{\cot^{2} x} = 1 = 2^{0}$.
यदि $\cot^{2} x = 3$,तो $\cot x = \sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)।
यदि $\cot^{2} x = 0$,तो $\cot x = 0$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{2}$,लेकिन $x < \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\cot x = \sqrt{3}$.
अब,$\frac{2 \sin x}{\sin x + \sqrt{3} \cos x} = \frac{2}{1 + \sqrt{3} \cot x}$ में मान रखने पर,$\frac{2}{1 + \sqrt{3}(\sqrt{3})} = \frac{2}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(C) माना परवलय $y^{2}=4ax$ की नाभि $S(a, 0)$ है और परवलय पर एक गतिशील बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ है।
रेखाखंड $SP$ के मध्य-बिंदु $M(h, k)$ के लिए:
$h = \frac{at^{2}+a}{2}$ और $k = \frac{2at+0}{2} = at$.
$k = at$ से,$t = \frac{k}{a}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $h$ के समीकरण में रखने पर:
$h = \frac{a(\frac{k}{a})^{2}+a}{2} = \frac{\frac{k^{2}}{a}+a}{2} = \frac{k^{2}+a^{2}}{2a}$.
$2ah = k^{2}+a^{2} \Rightarrow k^{2} = 2ah - a^{2} = 2a(h - \frac{a}{2})$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^{2} = 2a(x - \frac{a}{2})$ प्राप्त होता है।
यह $Y^{2} = 4AX$ के रूप का परवलय है,जहाँ $Y=y$,$X=x-\frac{a}{2}$,और $4A = 2a \Rightarrow A = \frac{a}{2}$.
$Y^{2} = 4AX$ की नियता $X = -A$ होती है।
मान रखने पर: $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \Rightarrow x = 0$.

(B) माना $z = x + iy$. समीकरण में मान रखने पर:
$x + iy + \alpha|x + iy - 1| + 2i = 0$
$x + \alpha\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + i(y + 2) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
$x + \alpha\sqrt{(x-1)^2 + (-2)^2} = 0 \implies \alpha = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - 2x + 5}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\alpha^2 = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 5}$
माना $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 5}$. $f(x)$ का परिसर $[0, \frac{5}{4}]$ है।
अतः,$\alpha^2 \in [0, \frac{5}{4}]$,जिसका अर्थ है $\alpha \in [-\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$.
यहाँ,$p = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ और $q = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
अतः $4(p^2 + q^2) = 4(\frac{5}{4} + \frac{5}{4}) = 10$.

(D) समुच्चय $A$ में सभी $3$-अंकीय संख्याएँ हैं,अर्थात $A = \{100, 101, \dots, 999\}$।
$B = \{9k + 2 : k \in N\} \cap A = \{101, 110, \dots, 992\}$। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 101$,$d = 9$,और $l_n = 992$ है। पदों की संख्या $n_B = 100$ है।
योग $S(B) = \frac{100}{2}(101 + 992) = 50 \times 1093 = 54650$।
इसी प्रकार,$C = \{9k + l : k \in N\} \cap A$। $3$-अंकीय संख्याओं के लिए,$k$ का मान $11$ से $110$ तक है।
योग $S(C) = \sum_{k=11}^{110} (9k + l) = 9 \times \frac{100}{2}(11 + 110) + 100l = 54450 + 100l$।
दिया गया है कि $S(B \cup C) = S(B) + S(C) - S(B \cap C) = 109600$।
यदि $l \neq 2$ है,तो $B \cap C = \phi$,इसलिए $S(B \cup C) = 54650 + 54450 + 100l = 109100 + 100l = 109600$।
$100l = 500 \Rightarrow l = 5$।

(B) दिया गया वृत्त $x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$ और $f=-3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 3)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}-6} = \sqrt{1+9-6} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि इस वृत्त का एक व्यास दूसरे वृत्त $'C'$ (जिसका केंद्र $(2, 1)$ है) की जीवा है,इसलिए वृत्त $'C'$ की त्रिज्या (मान लीजिए $r$) केंद्रों के बीच की दूरी और पहले वृत्त की त्रिज्या के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है।
केंद्रों $(1, 3)$ और $(2, 1)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^{2}+(1-3)^{2}} = \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
बने हुए समकोण त्रिभुज में,कर्ण वृत्त $'C'$ की त्रिज्या $r$ है,और अन्य दो भुजाएं दूरी $d$ और पहले वृत्त की त्रिज्या $R$ हैं।
अतः,$r^{2} = d^{2} + R^{2} = (\sqrt{5})^{2} + (2)^{2} = 5 + 4 = 9$।
इसलिए,$r = 3$।

(D) दिया गया है $x = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ $\Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{1}{x}$.
इसी प्रकार,$y = \sum_{n=0}^{\infty} (\sin^2 \phi)^n = \frac{1}{1 - \sin^2 \phi} = \frac{1}{\cos^2 \phi}$ $\Rightarrow \cos^2 \phi = \frac{1}{y}$.
और $z = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta \sin^2 \phi)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta \sin^2 \phi}$ $\Rightarrow 1 - \cos^2 \theta \sin^2 \phi = \frac{1}{z}$.
चूँकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$ और $\sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y-1}{y}$,इसलिए:
$1 - \left(\frac{x-1}{x}\right) \left(\frac{y-1}{y}\right) = \frac{1}{z}$.
$1 - \frac{xy - x - y + 1}{xy} = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow \frac{xy - xy + x + y - 1}{xy} = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow \frac{x + y - 1}{xy} = \frac{1}{z}$.
$z(x + y - 1) = xy$ $\Rightarrow z(x + y) - z = xy$ $\Rightarrow xy + z = z(x + y)$.

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और नाव की गति $v \text{ m/s}$ है।
माना $C$ मीनार का आधार है।
$\triangle ADC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{AC} \implies AC = h \cot 30^{\circ} = h\sqrt{3}$.
$\triangle BDC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{BC} \implies BC = h \cot 45^{\circ} = h$.
दूरी $AB = AC - BC = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
नाव $AB$ दूरी को $20 \text{ सेकंड}$ में तय करती है,इसलिए गति $v = \frac{AB}{20} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{20}$.
$B$ से $C$ तक यात्रा करने में लगा समय $t = \frac{BC}{v} = \frac{h}{\frac{h(\sqrt{3}-1)}{20}} = \frac{20}{\sqrt{3}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $t = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \text{ सेकंड}$.

(C) दिया गया परवलय $y^{2}=6x$ है,इसलिए $4a=6$,जिसका अर्थ है $a=\frac{3}{2}$।
रेखा $2x+y=1$ की ढाल $m_{L}=-2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m$ का मान $m \times (-2) = -1$ होगा,जिससे $m=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^{2}=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है।
$a=\frac{3}{2}$ और $m=\frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $y=\frac{1}{2}x+\frac{3/2}{1/2} = \frac{1}{2}x+3$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y=x+6$ या $x-2y+6=0$ प्राप्त होता है।
अब,दिए गए बिंदुओं की जाँच करें:
$(-6,0)$ के लिए: $-6-2(0)+6=0$ (उस पर स्थित है)।
$(4,5)$ के लिए: $4-2(5)+6=4-10+6=0$ (उस पर स्थित है)।
$(5,4)$ के लिए: $5-2(4)+6=5-8+6=3 \neq 0$ (उस पर स्थित $\text{नहीं}$ है)।
$(0,3)$ के लिए: $0-2(3)+6=0$ (उस पर स्थित है)।
अतः,बिंदु $(5,4)$ स्पर्श रेखा पर स्थित नहीं है।

(D) दी गई असमिका: $\sin 2\theta + \tan 2\theta > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta + \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta \left(1 + \frac{1}{\cos 2\theta}\right) > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta \left(\frac{\cos 2\theta + 1}{\cos 2\theta}\right) > 0$
$\Rightarrow \tan 2\theta (2 \cos^2 \theta) > 0$
चूंकि $2 \cos^2 \theta \ge 0$,व्यंजक के $> 0$ होने के लिए $\tan 2\theta > 0$ और $\cos 2\theta \neq 0$ होना चाहिए।
$\tan 2\theta > 0$ तब होता है जब $2\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2}) \cup (2\pi, \frac{5\pi}{2}) \cup (3\pi, \frac{7\pi}{2})$.
$2$ से भाग देने पर,$\theta \in (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4})$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) वृत्त के अभिलंब उसके केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $z = x + iy$ है।
$(i)$ $(2-i)z = (2+i)\bar{z} \Rightarrow y = \frac{x}{2}$।
(ii) $(2+i)z + (i-2)\bar{z} - 4i = 0 \Rightarrow x + 2y = 2$।
$(i)$ और (ii) को हल करने पर: $x = 1, y = \frac{1}{2}$।
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, \frac{1}{2})$ है।
(iii) स्पर्श रेखा $iz + \bar{z} + 1 + i = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, \frac{1}{2})$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी है:
$r = \frac{|1 - \frac{1}{2} + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3/2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$।

(D) माना बिंदु $P(3,5)$ का रेखा $x-y+1=0$ में प्रतिबिंब $P'(x,y)$ है।
रेखा $ax+by+c=0$ में बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)$
मान $x_1=3, y_1=5, a=1, b=-1, c=1$ रखने पर:
$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-1} = -2 \left( \frac{3-5+1}{1^2+(-1)^2} \right)$
$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-1} = -2 \left( \frac{-1}{2} \right) = 1$
अतः,$x-3=1 \implies x=4$ और $y-5=-1 \implies y=4$।
प्रतिबिंब बिंदु $(4,4)$ है।
अब,जाँचें कि कौन सा विकल्प बिंदु $(4,4)$ द्वारा संतुष्ट होता है:
विकल्प $D$ के लिए: $(4-2)^2 + (4-4)^2 = 2^2 + 0^2 = 4$।
इस प्रकार,बिंदु $(4,4)$ वृत्त $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 4$ पर स्थित है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x$ और $Q(x) = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \sec x = \int \sin x \cdot \sec x dx + C$
$y \sec x = \int \tan x dx + C$
$y \sec x = \ln|\sec x| + C$.
चूंकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot \sec(0) = \ln|\sec(0)| + C$
$0 = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,विशिष्ट हल $y \sec x = \ln|\sec x|$ है,जिसे $y = \cos x \ln|\sec x|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करने के लिए:
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|$
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\sqrt{2})$
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(2^{1/2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log_{e} 2$.

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 5, \ldots, 30\}$ है।
तुल्यता संबंध $(a, b) \simeq (c, d)$ यदि और केवल यदि $ad = bc$ द्वारा परिभाषित है।
हमें उन क्रमित युग्मों $(c, d)$ की संख्या ज्ञात करनी है जो $(c, d) \simeq (4, 3)$ को संतुष्ट करते हैं।
परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमें $c \times 3 = d \times 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{c}{d} = \frac{4}{3}$।
इसका अर्थ है कि $c = 4k$ और $d = 3k$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए,जहाँ $c, d \in A$ है।
चूंकि $c, d \in \{2, 3, \ldots, 30\}$,हम $k$ के लिए संभावित मानों की जाँच करते हैं:
$k=1$ के लिए: $(c, d) = (4, 3)$
$k=2$ के लिए: $(c, d) = (8, 6)$
$k=3$ के लिए: $(c, d) = (12, 9)$
$k=4$ के लिए: $(c, d) = (16, 12)$
$k=5$ के लिए: $(c, d) = (20, 15)$
$k=6$ के लिए: $(c, d) = (24, 18)$
$k=7$ के लिए: $(c, d) = (28, 21)$
$k=8$ के लिए: $(c, d) = (32, 24)$,जो संभव नहीं है क्योंकि $32 \notin A$ है।
अतः,संभावित क्रमित युग्म $(4, 3), (8, 6), (12, 9), (16, 12), (20, 15), (24, 18), (28, 21)$ हैं।
ऐसे क्रमित युग्मों की कुल संख्या $7$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} \frac{3 x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4 x}{5}=\sin ^{-1} x$
सूत्र $\sin ^{-1} A + \sin ^{-1} B = \sin ^{-1} (A \sqrt{1-B^2} + B \sqrt{1-A^2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin ^{-1}\left(\frac{3 x}{5} \sqrt{1-\frac{16 x^{2}}{25}}+\frac{4 x}{5} \sqrt{1-\frac{9 x^{2}}{25}}\right)=\sin ^{-1} x$
तर्कों की तुलना करने पर:
$\frac{3 x}{5} \sqrt{1-\frac{16 x^{2}}{25}}+\frac{4 x}{5} \sqrt{1-\frac{9 x^{2}}{25}}=x$
स्थिति $1$: $x=0$ एक हल है।
स्थिति $2$: $x \neq 0$,$x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{5} \sqrt{\frac{25-16 x^{2}}{25}} + \frac{4}{5} \sqrt{\frac{25-9 x^{2}}{25}} = 1$
$3 \sqrt{25-16 x^{2}} + 4 \sqrt{25-9 x^{2}} = 25$
$4 \sqrt{25-9 x^{2}} = 25 - 3 \sqrt{25-16 x^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16(25-9 x^{2}) = 625 + 9(25-16 x^{2}) - 150 \sqrt{25-16 x^{2}}$
$400 - 144 x^{2} = 625 + 225 - 144 x^{2} - 150 \sqrt{25-16 x^{2}}$
$150 \sqrt{25-16 x^{2}} = 450$
$\sqrt{25-16 x^{2}} = 3$
$25 - 16 x^{2} = 9 \Rightarrow 16 x^{2} = 16 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
मूल समीकरण में $x=1, -1, 0$ रखने पर,सभी मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$x$ के वास्तविक मानों की संख्या $3$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3 \log_{e} \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{2}{x-1}$.
इसे हम $f(x) = 3 \log_{e} |x-1| - 3 \log_{e} |x+1| - \frac{2}{x-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = 3 \left( \frac{1}{x-1} \right) - 3 \left( \frac{1}{x+1} \right) + \frac{2}{(x-1)^2}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = 3 \left( \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} \right) + \frac{2}{(x-1)^2} = 3 \left( \frac{2}{x^2-1} \right) + \frac{2}{(x-1)^2}$.
$f'(x) = \frac{6}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{6(x-1) + 2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{6x - 6 + 2x + 2}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{8x - 4}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{4(2x-1)}{(x-1)^2(x+1)}$.
फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \neq 1$ के लिए $(x-1)^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $\frac{2x-1}{x+1}$ पर निर्भर करता है।
$\frac{2x-1}{x+1} \geq 0$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर:
क्रांतिक बिंदु $x = \frac{1}{2}$ और $x = -1$ हैं।
अंतरालों की जांच करने पर: $(-\infty, -1)$,$(-1, \frac{1}{2}]$,और $[\frac{1}{2}, \infty)$.
$x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ होता है।

(A) दिया गया है $f(x+1) = xf(x)$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln f(x+1) = \ln(x f(x))$।
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln f(x+1) = \ln x + \ln f(x)$।
चूंकि $g(x) = \ln f(x)$,यह समीकरण $g(x+1) = \ln x + g(x)$ या $g(x+1) - g(x) = \ln x$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,$g''(x+1) - g''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\ln x) = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अब,इस संबंध में $x = 1, 2, 3, 4$ रखने पर:
$x=1$ के लिए: $g''(2) - g''(1) = -\frac{1}{1^2}$
$x=2$ के लिए: $g''(3) - g''(2) = -\frac{1}{2^2}$
$x=3$ के लिए: $g''(4) - g''(3) = -\frac{1}{3^2}$
$x=4$ के लिए: $g''(5) - g''(4) = -\frac{1}{4^2}$
इन चार समीकरणों को जोड़ने पर,मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$g''(5) - g''(1) = -\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}\right) = -\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right)$।
योग की गणना करने पर: $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{144 + 36 + 16 + 9}{144} = \frac{205}{144}$।
अतः,$|g''(5) - g''(1)| = \frac{205}{144}$।

(C) दिया गया है $P(x) = x^2 + bx + c$.
$P(x)$ का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} (x^2 + bx + c) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{b}{2} + c = 1$.
$6$ से गुणा करने पर,$2 + 3b + 6c = 6$,अतः $3b + 6c = 4$ ... $(1)$.
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$P(2) = 5$:
$2^2 + b(2) + c = 5 \Rightarrow 4 + 2b + c = 5 \Rightarrow 2b + c = 1$ ... $(2)$.
$(2)$ से,$c = 1 - 2b$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3b + 6(1 - 2b) = 4 \Rightarrow 3b + 6 - 12b = 4 \Rightarrow -9b = -2 \Rightarrow b = \frac{2}{9}$.
तब $c = 1 - 2(\frac{2}{9}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
अतः,$b + c = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$.
इसलिए,$9(b + c) = 9(\frac{7}{9}) = 7$.

(B) चूँकि $(3,5,7)$,$L_{1}$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{3-a}{l}=\frac{5-2}{3}=\frac{7-b}{4}=1$ है।
इससे,$3-a=l \Rightarrow a+l=3$ और $7-b=4 \Rightarrow b=3$ प्राप्त होता है।
$(3,5,7)$ से $(4,3,8)$ तक का सदिश $\vec{v}_{1} = (4-3, 3-5, 8-7) = (1, -2, 1)$ है।
$L_{1}$ का दिशा सदिश $\vec{v}_{2} = (l, 3, 4)$ है।
चूँकि रेखाखंड $L_{1}$ पर लंब है,इसलिए $\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = 0 \Rightarrow l - 6 + 4 = 0 \Rightarrow l = 2$ है।
अतः,$a = 3 - 2 = 1$ है।
रेखाएँ $L_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_{2}: \frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ हैं।
माना $A = (1,2,3)$ और $B = (2,4,5)$,इसलिए $\vec{AB} = (1,2,2)$ है।
दिशा सदिश $\vec{p} = (2,3,4)$ और $\vec{q} = (3,4,5)$ हैं।
$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{\vec{AB} \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(1,2,2) \cdot (-1,2,-1)}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(B) वक्र $C_{1}$ के लिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - x^{2}}{2xy}$.
$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} - 1}{2v} \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = \frac{-(v^{2} + 1)}{2v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{v^{2} + 1} dv = -\frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(v^{2} + 1) = -\ln x + C$.
$\ln(\frac{x^{2} + y^{2}}{x}) = C$. $(1, 1)$ से गुजरने पर,$C = \ln 2$.
अतः,$x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ (केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $1$ वाला वृत्त)।
वक्र $C_{2}$ के लिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$.
इसी प्रकार हल करने पर $x^{2} + y^{2} - 2y = 0$ (केंद्र $(0, 1)$ और त्रिज्या $1$ वाला वृत्त) प्राप्त होता है।
इन दो वृत्तों द्वारा घिरा क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{1} (\sqrt{1 - (x-1)^{2}} - x) dx = \frac{\pi}{2} - 1$ है।

(B) दिया गया है $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{r}$,जिसे हम $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} + \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{r} \times (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 0$.
इसका मतलब है कि $\overrightarrow{r}$,$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$ के समानांतर है।
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
अतः,$\overrightarrow{r} = \lambda(3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
$\overrightarrow{r}$ का मान $\overrightarrow{r} \cdot (\alpha\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3$ में रखने पर:
$\lambda(3\alpha - 2 + 2) = 3 \Rightarrow 3\lambda\alpha = 3 \Rightarrow \lambda\alpha = 1$.
$\overrightarrow{r}$ का मान $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} - \alpha\hat{k}) = -1$ में रखने पर:
$\lambda(6 - 5 - 2\alpha) = -1 \Rightarrow \lambda(1 - 2\alpha) = -1 \Rightarrow \lambda - 2\lambda\alpha = -1$.
चूंकि $\lambda\alpha = 1$,इसलिए $\lambda - 2(1) = -1 \Rightarrow \lambda = 1$.
तब $\alpha = 1/\lambda = 1$.
इस प्रकार,$\overrightarrow{r} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{r}|^{2} = 3^{2} + (-1)^{2} + 2^{2} = 9 + 1 + 4 = 14$.
अंत में,$\alpha + |\overrightarrow{r}|^{2} = 1 + 14 = 15$.

(D) दी गई रेखा $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{-m} = \frac{z+3}{1}$ है। इस रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -m, 1)$ है।
माना बिंदु $P(1, -2, 3)$ है। बिंदु $P$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-m} = \frac{z-3}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(1+3r, -2-mr, 3+r)$ है।
चूंकि बिंदु $Q$ समतल $x + 2y - 3z + 10 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$(1+3r) + 2(-2-mr) - 3(3+r) + 10 = 0$
$1 + 3r - 4 - 2mr - 9 - 3r + 10 = 0$
$-2mr - 2 = 0 \Rightarrow -2mr = 2 \Rightarrow mr = -1 \Rightarrow r = -\frac{1}{m}$.
दूरी $PQ = \sqrt{\frac{7}{2}}$ दी गई है।
$PQ^2 = (3r)^2 + (-mr)^2 + (r)^2 = r^2(9 + m^2 + 1) = r^2(10 + m^2)$.
$r^2 = \frac{1}{m^2}$ रखने पर:
$\frac{7}{2} = \frac{1}{m^2}(10 + m^2)$
$\frac{7}{2}m^2 = 10 + m^2$
$\frac{5}{2}m^2 = 10 \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow |m| = 2$.

(B) दिया गया है $A = XB$,अतः $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$ है।
गुणा करने पर,हमें $\sqrt{3} a_1 = b_1 - b_2$ और $\sqrt{3} a_2 = b_1 + k b_2$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$3(a_1^2 + a_2^2) = (b_1 - b_2)^2 + (b_1 + k b_2)^2$
$3(a_1^2 + a_2^2) = (b_1^2 + b_2^2 - 2b_1b_2) + (b_1^2 + k^2b_2^2 + 2kb_1b_2)$
$3(a_1^2 + a_2^2) = 2b_1^2 + (1 + k^2)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1)$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है $a_1^2 + a_2^2 = \frac{2}{3}(b_1^2 + b_2^2)$,इसलिए $3(a_1^2 + a_2^2) = 2b_1^2 + 2b_2^2$ है।
$3(a_1^2 + a_2^2)$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2b_1^2 + (1 + k^2)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 2b_1^2 + 2b_2^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(k^2 + 1)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 2b_2^2$ मिलता है।
$(k^2 - 1)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 0$ होगा।
$(k - 1)[(k + 1)b_2^2 + 2b_1b_2] = 0$ प्राप्त होता है।
शर्त $(k^2 + 1)b_2^2 \neq -2b_1b_2$ के अनुसार,कोष्ठक में दिया गया पद शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $k = 1$ है।

(A) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) \tan^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.
दोनों समाकलनों में अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर.
$I = \int \frac{(1-1/x^2) dx}{((x+1/x)^2+1) \tan^{-1}(x+1/x)} + \frac{1}{2} \int \frac{(1+1/x^2) - (1-1/x^2) dx}{(x^2+1/x^2+3)}$.
माना $t = \tan^{-1}(x+1/x)$,तब $dt = \frac{1}{1+(x+1/x)^2} (1-1/x^2) dx$.
$I = \int \frac{dt}{t} + \frac{1}{2} \int \frac{1+1/x^2}{(x-1/x)^2+5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1-1/x^2}{(x+1/x)^2+1} dx$.
$I = \log_e |t| + \frac{1}{2} \int \frac{dy}{y^2+5} - \frac{1}{2} \int \frac{dz}{z^2+1}$,जहाँ $y=x-1/x$ और $z=x+1/x$.
$I = \log_e |\tan^{-1}(x+1/x)| + \frac{1}{2\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{x-1/x}{\sqrt{5}}) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1/x) + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha=1, \beta=\frac{1}{2\sqrt{5}}, \gamma=\frac{1}{\sqrt{5}}, \delta=-\frac{1}{2}$.
अतः $10(\alpha+\beta\gamma+\delta) = 10(1 + \frac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2}) = 10(1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{2}) = 10(\frac{10+1-5}{10}) = 6$.

(B) संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$g(f(x)) = \begin{cases} f(x)+1, & f(x) < 0 \\ (f(x)-1)^2+b, & f(x) \geq 0 \end{cases}$
$f(x)$ को परिभाषा में प्रतिस्थापित करने पर:
$x < 0$ के लिए,$f(x) = x+a$. अतः,$g(f(x)) = \begin{cases} x+a+1, & x+a < 0 \\ (x+a-1)^2+b, & x+a \geq 0 \end{cases}$
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = |x-1|$. अतः,$g(f(x)) = \begin{cases} |x-1|+1, & |x-1| < 0 \\ (|x-1|-1)^2+b, & |x-1| \geq 0 \end{cases}$
चूँकि सभी $x$ के लिए $|x-1| \geq 0$ है,इसलिए $|x-1| < 0$ संभव नहीं है। फलन इस प्रकार सरल हो जाता है:
$(g \circ f)(x) = \begin{cases} x+a+1, & x < -a \\ (x+a-1)^2+b, & -a \leq x < 0 \\ (|x-1|-1)^2+b, & x \geq 0 \end{cases}$
$x = -a$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to -a^-} (x+a+1) = \lim_{x \to -a^+} ((x+a-1)^2+b) \implies 1 = (-1)^2 + b \implies b = 0$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to 0^-} ((x+a-1)^2+b) = \lim_{x \to 0^+} ((|x-1|-1)^2+b) \implies (a-1)^2 + b = (|0-1|-1)^2 + b \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$.
अतः,$a+b = 1+0 = 1$.

(B) चूंकि $\overrightarrow{c}$ सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए यह उनके सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ के समानांतर होगा। अतः,हम $\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
सबसे पहले,$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-2)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1) = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}.$
दिया गया है कि $\overrightarrow{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8,$ अतः $\overrightarrow{c}=\lambda(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$ रखने पर:
$\lambda(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8$
$\lambda(3(1) + (-2)(1) + (1)(3)) = 8$
$\lambda(3 - 2 + 3) = 8 \Rightarrow 4\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 2.$
अब,$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ का मान ज्ञात करें:
$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = \lambda(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = \lambda|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|^2.$
$|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14.$
अतः,$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = 2 \times 14 = 28.$

(B) दिया गया है $f(x) = e^{-x} \sin x$।
चूँकि $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = f(x)$ है।
हमें $I = \int_{0}^{1} (F'(x) + f(x)) e^{x} dx$ का मान ज्ञात करना है।
$F'(x) = f(x)$ प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int_{0}^{1} (f(x) + f(x)) e^{x} dx = \int_{0}^{1} 2f(x) e^{x} dx$ प्राप्त होता है।
$f(x) = e^{-x} \sin x$ रखने पर,$I = 2 \int_{0}^{1} e^{-x} \sin x \cdot e^{x} dx = 2 \int_{0}^{1} \sin x dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = 2 [-\cos x]_{0}^{1} = 2(1 - \cos 1)$ प्राप्त होता है।
$\cos x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर,$\cos 1 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} + \dots$ होता है।
अतः,$I = 2(1 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} + \dots)) = 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{24} + \frac{1}{720} - \dots) = 1 - \frac{1}{12} + \frac{1}{360} - \dots$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{11}{12} + \frac{1}{360} - \dots = \frac{330}{360} + \frac{1}{360} - \dots = \frac{331}{360} - \dots$ होता है।
चूँकि यह श्रेणी एकांतर और घटती हुई है,इसलिए इसका मान $[\frac{330}{360}, \frac{331}{360}]$ अंतराल में स्थित है।

(A) माना $I = \int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x -[ x ]}} dx = \int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{\{ x \}}} dx$.
चूँकि फलन $f(x) = \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{\{ x \}}}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए $I = 10 \int_{0}^{1} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx$ होगा।
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं: $I = 10 \left( \int_{0}^{1/2} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx \right)$.
$0 \le x < 1/2$ के लिए,$\sin(2 \pi x) \in [0, 1)$,इसलिए $[\sin 2 \pi x] = 0$.
$1/2 \le x < 1$ के लिए,$\sin(2 \pi x) \in [-1, 0)$,इसलिए $[\sin 2 \pi x] = -1$.
अतः,$I = 10 \left( 0 + \int_{1/2}^{1} \frac{-1}{ e ^{ x }} dx \right) = -10 \int_{1/2}^{1} e ^{-x} dx$.
$I = -10 \left[ -e ^{-x} \right]_{1/2}^{1} = 10 (e ^{-1} - e ^{-1/2}) = 10 e ^{-1} - 10 e ^{-1/2} + 0$.
इसकी तुलना $\alpha e ^{-1} + \beta e ^{-1/2} + \gamma$ से करने पर,हमें $\alpha = 10, \beta = -10, \gamma = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma = 10 - 10 + 0 = 0$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ है।
इसे $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dx$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - (\tan x)y = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\tan x$ और $Q(x) = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln|\cos x|} = \cos x$ ($x \in [0, \pi/2)$ के लिए)।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y \cos x = \int \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)} \cdot \cos x dx + C = \int \frac{dx}{3 \sin x+\cos x+3} + C$।
$t = \tan(x/2)$ प्रतिस्थापन लेने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$।
$y \cos x = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{3(2t/(1+t^2)) + (1-t^2)/(1+t^2) + 3} + C = \int \frac{2 dt}{6t + 1 - t^2 + 3 + 3t^2} + C = \int \frac{2 dt}{2t^2 + 6t + 4} + C = \int \frac{dt}{t^2 + 3t + 2} + C$।
$y \cos x = \int \frac{dt}{(t+1)(t+2)} + C = \int (\frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2}) dt + C = \ln|\frac{t+1}{t+2}| + C$।
$y \cos x = \ln|\frac{\tan(x/2)+1}{\tan(x/2)+2}| + C$।
$y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = \ln(1/2) + C \Rightarrow C = \ln 2$।
$y \cos x = \ln(\frac{1+\tan(x/2)}{2+\tan(x/2)}) + \ln 2 = \ln(\frac{2(1+\tan(x/2))}{2+\tan(x/2)})$।
$x = \pi/3$ के लिए,$\tan(x/2) = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$।
$y(1/2) = \ln(\frac{2(1+1/\sqrt{3})}{2+1/\sqrt{3}}) = \ln(\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{3}+1})$।
विकल्पों की जाँच करने पर,सही उत्तर $2 \ln(\frac{2\sqrt{3}+10}{11})$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$।
$\sin^{-1}(u)$ के प्रांत के लिए,हमें $-1 \leq u \leq 1$ की आवश्यकता है। चूँकि $u$ एक पूर्णांक है (महत्तम पूर्णांक फलन के कारण),$u \in \{-1, 0, 1\}$।
स्थिति $1$: मान लीजिए $x^2 + \frac{1}{3} = k_1$ और $x^2 - \frac{2}{3} = k_2$,जहाँ $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$।
$x \in [-1, 1]$ दिया गया है,इसलिए $x^2 \in [0, 1]$।
अतः $x^2 + \frac{1}{3} \in [1/3, 4/3]$,इसलिए $[x^2 + 1/3] \in \{0, 1\}$।
और $x^2 - 2/3 \in [-2/3, 1/3]$,इसलिए $[x^2 - 2/3] \in \{-1, 0\}$।
स्थिति $I$: $[x^2 + 1/3] = 0$ और $[x^2 - 2/3] = -1$।
इसका अर्थ है $0 \leq x^2 + 1/3 < 1 \Rightarrow -1/3 \leq x^2 < 2/3$ और $-1 \leq x^2 - 2/3 < 0 \Rightarrow -1/3 \leq x^2 < 2/3$।
समीकरण में मान रखने पर: $\sin^{-1}(0) + \cos^{-1}(-1) = x^2 \Rightarrow 0 + \pi = x^2 \Rightarrow x^2 = \pi$।
चूँकि $\pi \approx 3.14$,यह $[0, 2/3)$ में नहीं है। अतः कोई हल नहीं है।
स्थिति $II$: $[x^2 + 1/3] = 1$ और $[x^2 - 2/3] = 0$।
इसका अर्थ है $1 \leq x^2 + 1/3 < 2 \Rightarrow 2/3 \leq x^2 < 5/3$ और $0 \leq x^2 - 2/3 < 1 \Rightarrow 2/3 \leq x^2 < 5/3$।
समीकरण में मान रखने पर: $\sin^{-1}(1) + \cos^{-1}(0) = x^2 \Rightarrow \pi/2 + \pi/2 = x^2 \Rightarrow x^2 = \pi$।
चूँकि $\pi \approx 3.14$,यह $[2/3, 1]$ में नहीं है (चूँकि $x \in [-1, 1]$ का अर्थ $x^2 \leq 1$ है)। अतः कोई हल नहीं है।
इस प्रकार,हलों की संख्या $0$ है।

(D) अनुक्रम $'1001'$ शुरुआती स्थान के आधार पर दो तरीकों से हो सकता है:
स्थिति $1$: अनुक्रम विषम स्थान से शुरू होता है।
विषम स्थान $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
सम स्थान $(0)$: $P(0) = \frac{1}{2}$
विषम स्थान $(0)$: $P(0) = \frac{1}{3}$
सम स्थान $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
प्रायिकता $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
स्थिति $2$: अनुक्रम सम स्थान से शुरू होता है।
सम स्थान $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
विषम स्थान $(0)$: $P(0) = \frac{1}{3}$
सम स्थान $(0)$: $P(0) = \frac{1}{2}$
विषम स्थान $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
प्रायिकता $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $2(x^{2}+x^{5/4}) \frac{dy}{dx} - y(x+x^{1/4}) = 2x^{9/4}$ है।
$2(x^{2}+x^{5/4}) = 2x(x+x^{1/4})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x} = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{2x}$ और $Q(x) = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{2x} dx} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1} \cdot x^{-1/2} dx = \int \frac{x^{3/4}}{x^{3/4}+1} dx$ है।
माना $x^{1/4} = t$,तो $x = t^{4}$ और $dx = 4t^{3} dt$ है।
$y x^{-1/2} = \int \frac{t^{3}}{t^{3}+1} \cdot 4t^{3} dt = 4 \int \frac{t^{6}}{t^{3}+1} dt = 4 \int (t^{3} - 1 + \frac{1}{t^{3}+1}) dt$ है।
इसका समाकलन करने पर $y x^{-1/2} = \frac{4}{3} x^{3/4} - \frac{4}{3} \ln(x^{3/4}+1) + C$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 1-\frac{4}{3} \ln 2)$ का उपयोग करने पर,$C = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $y = \frac{4}{3} x^{5/4} - \frac{4}{3} \sqrt{x} \ln(x^{3/4}+1) - \frac{\sqrt{x}}{3}$ है।
$y(16) = \frac{4}{3}(32) - \frac{4}{3}(4) \ln 9 - \frac{4}{3} = \frac{124}{3} - \frac{32}{3} \ln 3 = 4(\frac{31}{3} - \frac{8}{3} \ln 3)$।

(A) दिया गया सारणिक शून्य है:
$\begin{vmatrix} 3 & 4\sqrt{2} & x \\ 4 & 5\sqrt{2} & y \\ 5 & k & z \end{vmatrix} = 0$
चूंकि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $y = x + d$ और $z = x + 2d$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_1 + R_3 - 2R_2$ लागू करने पर:
$R_1 + R_3 = (3+5, 4\sqrt{2}+k, x+z) = (8, 4\sqrt{2}+k, 2x+2d)$
$2R_2 = (8, 10\sqrt{2}, 2y) = (8, 10\sqrt{2}, 2x+2d)$
इनका अंतर लेने पर,दूसरी पंक्ति $(0, k - 6\sqrt{2}, 0)$ हो जाती है।
दूसरी पंक्ति के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$-(k - 6\sqrt{2}) \begin{vmatrix} 3 & x \\ 5 & z \end{vmatrix} = 0$
$-(k - 6\sqrt{2})(3z - 5x) = 0$
स्थिति $1$: $3z - 5x = 0$
$3(x + 2d) - 5x = 0 \Rightarrow 3x + 6d - 5x = 0 \Rightarrow 6d = 2x \Rightarrow x = 3d$.
यह संभव नहीं है क्योंकि शर्त $x \neq 3d$ दी गई है।
स्थिति $2$: $k - 6\sqrt{2} = 0 \Rightarrow k = 6\sqrt{2}$.
अतः,$k^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$.

(B) दिया है कि $\overline{OP} \perp \overline{OQ}$,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(x\hat{i} + y\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3x\hat{k}) = 0$
$-x + 2y - 3x = 0 \Rightarrow 2y = 4x \Rightarrow y = 2x \dots (i)$
दिया है कि $|\overline{PQ}| = \sqrt{20}$,अतः $|\overline{PQ}|^2 = 20$:
$\overline{PQ} = \overline{OQ} - \overline{OP} = (-1-x)\hat{i} + (2-y)\hat{j} + (3x+1)\hat{k}$
$|\overline{PQ}|^2 = (-1-x)^2 + (2-y)^2 + (3x+1)^2 = 20$
$y=2x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+1)^2 + (2-2x)^2 + (3x+1)^2 = 20$
$x^2 + 2x + 1 + 4 - 8x + 4x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = 20$
$14x^2 + 6 = 20 \Rightarrow 14x^2 = 14 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ (चूंकि $x > 0$)
अतः $y = 2(1) = 2$.
चूंकि $\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\begin{vmatrix} x & y & -1 \\ -1 & 2 & 3x \\ 3 & z & -7 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & z & -7 \end{vmatrix} = 0$
$1(-14 - 3z) - 2(7 - 9) - 1(-z - 6) = 0$
$-14 - 3z + 4 + z + 6 = 0 \Rightarrow -2z - 4 = 0 \Rightarrow z = -2$
अतः,$x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.

(B) फलन इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} -x(2 - \sin(\frac{1}{x})), & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x(2 - \sin(\frac{1}{x})), & x > 0 \end{cases}$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = (2 - \sin(\frac{1}{x})) + x(-\cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})) = 2 - \sin(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$.
जैसे-जैसे $x \to 0^+$,पद $\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ अत्यधिक बड़े धनात्मक और ऋणात्मक मानों के बीच दोलन करता है। इस प्रकार,$f'(x)$ $0$ के किसी भी पड़ोस में अनंत बार अपना चिह्न बदलता है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ $(0, \infty)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = -(2 - \sin(\frac{1}{x})) - x(-\cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})) = -2 + \sin(\frac{1}{x}) - \frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$.
इसी तरह,जैसे-जैसे $x \to 0^-$,पद $-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ दोलन करता है,जिससे $f'(x)$ अनंत बार अपना चिह्न बदलता है। इसलिए,$f(x)$ $(-\infty, 0)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।
अतः,$f$ $(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।

(B) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1} = \lambda$ है। $L_1$ पर कोई बिंदु $M = (2\lambda-1, \lambda+3, -\lambda-2)$ है।
दिया गया बिंदु $P = (2,3,1)$ है। सदिश $\vec{PM} = (2\lambda-3, \lambda, -\lambda-3)$ है।
चूंकि $\vec{PM}$,$L_1$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (2, 1, -1)$ के लंबवत है:
$2(2\lambda-3) + 1(\lambda) - 1(-\lambda-3) = 0$
$4\lambda - 6 + \lambda + \lambda + 3 = 0 \Rightarrow 6\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
अतः,$M = (0, \frac{7}{2}, -\frac{5}{2})$.
माना $P'(x', y', z')$ बिंदु $P$ का $L_1$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब है। चूंकि $M$,$PP'$ का मध्य बिंदु है:
$\frac{x'+2}{2} = 0 \Rightarrow x' = -2$
$\frac{y'+3}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y' = 4$
$\frac{z'+1}{2} = -\frac{5}{2} \Rightarrow z' = -6$
अतः,$P' = (-2, 4, -6)$.
समतल रेखा $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{1}$ को समाहित करता है।
समतल $P'(-2, 4, -6)$ और $L_2$ पर स्थित बिंदु $A(2, 1, -1)$ से गुजरता है और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = (3, -2, 1)$ के समानांतर है।
सदिश $\vec{P'A} = (2 - (-2), 1 - 4, -1 - (-6)) = (4, -3, 5)$.
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{P'A} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -3 & 5 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 7\hat{i} + 11\hat{j} + 1\hat{k}$.
समतल का समीकरण $7(x-2) + 11(y-1) + 1(z+1) = 0 \Rightarrow 7x + 11y + z = 24$ है।
$\alpha=7, \beta=11, \gamma=1$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha+\beta+\gamma = 19$ है।

(D) दिया गया है कि $1$,$\log_{10}(4^{x}-2)$,और $\log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए:
$2 \log_{10}(4^{x}-2) = 1 + \log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$
$(4^{x}-2)^{2} = 10(4^{x}+\frac{18}{5})$
$(4^{x})^{2} - 4(4^{x}) + 4 = 10(4^{x}) + 36$
$(4^{x})^{2} - 14(4^{x}) - 32 = 0$
$y = 4^{x}$ मानने पर,$y^{2} - 14y - 32 = 0$
$(y-16)(y+2) = 0$
चूंकि $4^{x} > 0$,इसलिए $4^{x} = 16$,जिसका अर्थ है $x = 2$.
अब,$x=2$ को सारणिक में रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right| = 3(0-2) - 1(0-4) + 4(1-0) = -6 + 4 + 4 = 2$.

(C) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$f(-1) = a - b + c = 2$ --- $(1)$
$f^{\prime}(x) = 2ax + b \Rightarrow f^{\prime}(-1) = -2a + b = 1$ --- $(2)$
$f^{\prime\prime}(x) = 2a$.
$f^{\prime\prime}(x)$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $2a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{4}$.
समीकरण $(2)$ में $a = \frac{1}{4}$ रखने पर: $-2(\frac{1}{4}) + b = 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} + b = 1 \Rightarrow b = \frac{3}{2}$.
समीकरण $(1)$ में $a$ और $b$ का मान रखने पर: $\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + c = 2 \Rightarrow \frac{1-6}{4} + c = 2 \Rightarrow c = 2 + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}$.
$[-1, 1]$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं की जाँच करते हैं।
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर $x = -3$ प्राप्त होता है,जो $[-1, 1]$ के बाहर है।
चूँकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अतः,अधिकतम मान $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$f(1) = \frac{1}{4}(1)^2 + \frac{3}{2}(1) + \frac{13}{4} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} + \frac{13}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
चूँकि $f(x) \leq \alpha$ है,इसलिए $\alpha$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \min \{(x+6), x^{2}\}, & -3 \leq x \leq 0 \\ \max \{\sqrt{x}, x^{2}\}, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$
$-3 \leq x \leq 0$ के लिए,हम $x+6$ और $x^2$ की तुलना करते हैं। वे $x^2 = x+6 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। चूँकि $x \in [-3, 0]$,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -2$ है।
$x \in [-3, -2]$ के लिए,$x^2 \geq x+6$,इसलिए $\min \{(x+6), x^2\} = x+6$.
$x \in [-2, 0]$ के लिए,$x^2 \leq x+6$,इसलिए $\min \{(x+6), x^2\} = x^2$.
$0 \leq x \leq 1$ के लिए,हम $\sqrt{x}$ और $x^2$ की तुलना करते हैं। वे $\sqrt{x} = x^2 \implies x = x^4 \implies x(x^3-1) = 0$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $x=0, 1$.
$x \in [0, 1]$ के लिए,$\sqrt{x} \geq x^2$,इसलिए $\max \{\sqrt{x}, x^2\} = \sqrt{x}$.
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-3}^{-2} (x+6) dx + \int_{-2}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-3}^{-2} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$A = \left( (2 - 12) - (4.5 - 18) \right) + \left( 0 - (-8/3) \right) + \left( 2/3 - 0 \right)$
$A = (-10 + 13.5) + 8/3 + 2/3 = 3.5 + 10/3 = 7/2 + 10/3 = (21+20)/6 = 41/6$.
अतः,$6A = 6 \times (41/6) = 41$.

(D) दिया गया है कि $AB = B$,जिसे $AB - B = O$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
यह इंगित करता है कि $(A - I)B = O$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $B \neq O$,आव्यूह $(A - I)$ को अव्युत्क्रमणीय (singular) होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका सारणिक शून्य होना चाहिए: $|A - I| = 0$।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A - I| = \begin{vmatrix} a - 1 & b \\ c & d - 1 \end{vmatrix} = (a - 1)(d - 1) - bc = 0$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $ad - a - d + 1 - bc = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमारे पास $ad - bc = a + d - 1$ है।
यह दिया गया है कि $a + d = 2021$,इसलिए इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$ad - bc = 2021 - 1 = 2020$।

(C) चूंकि $\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{x} = \lambda\overrightarrow{a} + \mu\overrightarrow{b} = \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2\lambda + \mu)\hat{i} + (2\mu - \lambda)\hat{j} + (\lambda - \mu)\hat{k}$.
दिया गया है कि $\overrightarrow{x} \perp (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$,इसलिए $\overrightarrow{x} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$3(2\lambda + \mu) + 2(2\mu - \lambda) - 1(\lambda - \mu) = 0 \implies 6\lambda + 3\mu + 4\mu - 2\lambda - \lambda + \mu = 0 \implies 3\lambda + 8\mu = 0 \implies \lambda = -\frac{8}{3}\mu$.
$\overrightarrow{a}$ पर $\overrightarrow{x}$ का प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{17\sqrt{6}}{2}$ है।
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} = (2\lambda + \mu)(2) + (2\mu - \lambda)(-1) + (\lambda - \mu)(1) = 4\lambda + 2\mu - 2\mu + \lambda + \lambda - \mu = 6\lambda - \mu$.
अतः,$\frac{6\lambda - \mu}{\sqrt{6}} = \frac{17\sqrt{6}}{2} \implies 6\lambda - \mu = 51$.
$\lambda = -\frac{8}{3}\mu$ को $6\lambda - \mu = 51$ में प्रतिस्थापित करने पर: $6(-\frac{8}{3}\mu) - \mu = 51 \implies -16\mu - \mu = 51 \implies -17\mu = 51 \implies \mu = -3$.
अतः $\lambda = -\frac{8}{3}(-3) = 8$.
इस प्रकार,$\overrightarrow{x} = 8(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - 3(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (16-3)\hat{i} + (-8-6)\hat{j} + (8+3)\hat{k} = 13\hat{i} - 14\hat{j} + 11\hat{k}$.
$|\overrightarrow{x}|^{2} = 13^2 + (-14)^2 + 11^2 = 169 + 196 + 121 = 486$.

(B) दिया गया है $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\log |x|)^{n}$ और $dv = x^{19} dx$ लें। तब $du = n(\log |x|)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = \frac{x^{20}}{20}$ प्राप्त होता है।
$I_{n} = \left[ \frac{x^{20}}{20} (\log |x|)^{n} \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{20}}{20} \cdot n(\log |x|)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$.
$I_{n} = \frac{e^{20}}{20} - \frac{n}{20} I_{n-1}$.
दोनों पक्षों को $20$ से गुणा करने पर,$20 I_{n} = e^{20} - n I_{n-1}$ प्राप्त होता है।
$n=10$ के लिए,$20 I_{10} = e^{20} - 10 I_{9}$.
$n=9$ के लिए,$20 I_{9} = e^{20} - 9 I_{8}$,जिसका अर्थ है कि $e^{20} = 20 I_{9} + 9 I_{8}$.
$e^{20}$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $20 I_{10} = (20 I_{9} + 9 I_{8}) - 10 I_{9} = 10 I_{9} + 9 I_{8}$.
$20 I_{10} = \alpha I_{9} + \beta I_{8}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 10$ और $\beta = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha - \beta = 10 - 9 = 1$.

(A) मान लीजिए बिंदु $P$ $(x, y, z)$ है। समतलों $x + y + z = 0$,$lx - nz = 0$ और $x - 2y + z = 0$ से दूरियाँ $d_1 = \frac{|x + y + z|}{\sqrt{3}}$,$d_2 = \frac{|lx - nz|}{\sqrt{l^2 + n^2}}$ और $d_3 = \frac{|x - 2y + z|}{\sqrt{6}}$ हैं।
दिया गया है कि $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 9$,इसलिए:
$\frac{(x + y + z)^2}{3} + \frac{(lx - nz)^2}{l^2 + n^2} + \frac{(x - 2y + z)^2}{6} = 9$.
पदों का विस्तार करने पर:
$\frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} + \frac{l^2x^2 - 2lnxz + n^2z^2}{l^2 + n^2} + \frac{x^2 + 4y^2 + z^2 - 4xy - 4yz + 2zx}{6} = 9$.
$x^2, y^2, z^2, xy, yz, zx$ के गुणांकों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2(\frac{1}{3} + \frac{l^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + y^2(\frac{1}{3} + \frac{4}{6}) + z^2(\frac{1}{3} + \frac{n^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + xy(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + yz(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + zx(\frac{2}{3} - \frac{2ln}{l^2 + n^2} + \frac{2}{6}) = 9$.
गुणांकों को सरल करने पर:
$x^2(\frac{1}{2} + \frac{l^2}{l^2 + n^2}) + y^2(1) + z^2(\frac{1}{2} + \frac{n^2}{l^2 + n^2}) + zx(1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2}) = 9$.
इसे $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ के साथ तुलना करने पर,$xy, yz, zx$ के गुणांक $0$ होने चाहिए और $x^2, y^2, z^2$ के गुणांक $1$ होने चाहिए।
$zx$ का गुणांक $0$ होने के लिए,$1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2} = 0 \implies l^2 + n^2 = 2ln \implies (l - n)^2 = 0 \implies l = n$.
अतः,$l - n = 0$.

(A) मान लीजिए $Y = y+1$. तब $\frac{dY}{dx} = \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dY}{dx} = Y^{2}e^{x^{2}/2} - xY$.
यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। $Y^{2}$ से विभाजित करने पर: $Y^{-2}\frac{dY}{dx} + xY^{-1} = e^{x^{2}/2}$.
मान लीजिए $v = Y^{-1} = \frac{1}{y+1}$. तब $\frac{dv}{dx} = -Y^{-2}\frac{dY}{dx}$,जिससे $-\frac{dv}{dx} + xv = e^{x^{2}/2}$,या $\frac{dv}{dx} - xv = -e^{x^{2}/2}$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -x dx} = e^{-x^{2}/2}$ है।
$I.F.$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(v e^{-x^{2}/2}) = -1$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v e^{-x^{2}/2} = -x + C$,इसलिए $v = (-x+C)e^{x^{2}/2}$.
चूंकि $v = \frac{1}{y+1}$,हमारे पास $y+1 = \frac{1}{(-x+C)e^{x^{2}/2}}$ है।
$y(2)=0$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{(-2+C)e^{2}}$,जिसका अर्थ है $-2+C = e^{-2}$,यानी $C = 2+e^{-2}$.
अतः,$y+1 = \frac{1}{(-x+2+e^{-2})e^{x^{2}/2}}$.
$x=1$ पर,$y+1 = \frac{1}{(-1+2+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{1}{(1+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$.
मूल समीकरण से,$y'(1) = (y(1)+1)((y(1)+1)e^{1/2}-1)$.
$y(1)+1 = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$ रखने पर: $y'(1) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \cdot e^{1/2} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{2}}{e^{2}+1} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{-1}{e^{2}+1} \right) = \frac{-e^{3/2}}{(e^{2}+1)^{2}}$.

(B) माना $\vec{c} = \overline{AB}, \vec{b} = \overline{AC},$ और $\vec{a} = \overline{BC}.$ दिया गया है $|\vec{a}|=8, |\vec{b}|=7, |\vec{c}|=10.$
$\triangle ABC$ में शीर्ष $A$ पर कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta$ सदिश $\overline{AB}$ और $\overline{AC}$ के बीच का कोण है:
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$
$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10) \cos \theta$
$64 = 49 + 100 - 140 \cos \theta$
$140 \cos \theta = 149 - 64 = 85$
$\cos \theta = \frac{85}{140} = \frac{17}{28}.$
सदिश $\overline{AB}$ (जो $\vec{c}$ है) का $\overline{AC}$ (जो $\vec{b}$ है) पर प्रक्षेप $|\vec{c}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्षेप $= 10 \times \frac{17}{28} = \frac{170}{28} = \frac{85}{14}.$

(A) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $0$ के बराबर होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} 4 & \lambda & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \mu & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$4((-1)(3) - (1)(2)) - \lambda((2)(3) - (1)(\mu)) + 2((2)(2) - (-1)(\mu)) = 0$
$4(-5) - 6\lambda + \lambda\mu + 8 + 2\mu = 0$
$\lambda\mu - 6\lambda + 2\mu - 12 = 0$
$\lambda(\mu - 6) + 2(\mu - 6) = 0$
$(\lambda + 2)(\mu - 6) = 0$
इस समीकरण के किसी भी $\lambda \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,$\mu - 6 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\mu = 6$।
अतः,किसी भी $\lambda \in R$ के लिए $\mu = 6$ सही शर्त है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$. मान लीजिए $y = \frac{x-2}{x-3}$.
$y(x-3) = x-2 \implies yx - 3y = x - 2 \implies x(y-1) = 3y-2 \implies x = \frac{3y-2}{y-1}$.
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{3x-2}{x-1}$.
दिया गया है $g(x) = 2x-3$. मान लीजिए $y = 2x-3$.
$y+3 = 2x \implies x = \frac{y+3}{2}$.
अतः,$g^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
हमें दिया गया है $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{13}{2}$.
$\frac{3x-2}{x-1} + \frac{x+3}{2} = \frac{13}{2}$.
$2(x-1)$ से गुणा करने पर: $2(3x-2) + (x+3)(x-1) = 13(x-1)$.
$6x - 4 + x^2 + 2x - 3 = 13x - 13$.
$x^2 + 8x - 7 = 13x - 13$.
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
$(x-2)(x-3) = 0$.
मूल $x = 2$ और $x = 3$ हैं। $x$ के मानों का योग $2 + 3 = 5$ है।

(A) दिया गया है कि सभी $t \in [0, 1]$ के लिए $\frac{1}{3} \leq f(t) \leq 1$ और सभी $t \in (1, 3]$ के लिए $0 \leq f(t) \leq \frac{1}{2}$ है।
हमें $g(3) = \int_{0}^{3} f(t) dt$ का परिसर ज्ञात करना है।
हम समाकलन को $g(3) = \int_{0}^{1} f(t) dt + \int_{1}^{3} f(t) dt$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
पहले भाग के लिए,$\int_{0}^{1} \frac{1}{3} dt \leq \int_{0}^{1} f(t) dt \leq \int_{0}^{1} 1 dt$,जो $\frac{1}{3} \leq \int_{0}^{1} f(t) dt \leq 1$ देता है।
दूसरे भाग के लिए,$\int_{1}^{3} 0 dt \leq \int_{1}^{3} f(t) dt \leq \int_{1}^{3} \frac{1}{2} dt$,जो $0 \leq \int_{1}^{3} f(t) dt \leq \frac{1}{2} \times (3 - 1) = 1$ देता है।
इन दो असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें $\frac{1}{3} + 0 \leq g(3) \leq 1 + 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{1}{3} \leq g(3) \leq 2$ हो जाता है।
अतः,अंतराल $[\frac{1}{3}, 2]$ है।

(B) दिया गया है कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ और $\vec{a} \perp \vec{b}$ है।
साथ ही,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|$ है।
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$,हमारे पास $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 90^{\circ} = |\vec{a}||\vec{b}|$ है।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $|\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{a}|$।
चूंकि $\vec{a}$ एक शून्येतर सदिश है,$|\vec{a}| \neq 0$,इसलिए $|\vec{b}| = 1$ है। परिणामस्वरूप,$|\vec{a}| = 1$ है।
इस प्रकार,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।
मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i}$ और $\vec{b} = \hat{j}$ है। तो $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ है।
मान लीजिए $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{v}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} \cdot \vec{a} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$ है।
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{a}| = 1$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ है।

(A) $n=5$ परीक्षणों वाले द्विपद वितरण में,$k$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{5}C_{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है $P(X=1) = {}^{5}C_{1} \cdot p \cdot q^{4} = 5pq^{4} = 0.4096$.
दिया गया है $P(X=2) = {}^{5}C_{2} \cdot p^{2} \cdot q^{3} = 10p^{2}q^{3} = 0.2048$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{10p^{2}q^{3}}{5pq^{4}} = \frac{0.2048}{0.4096} \Rightarrow \frac{2p}{q} = 0.5 \Rightarrow q = 4p$.
चूँकि $p+q=1$,हमारे पास $p+4p=1 \Rightarrow 5p=1 \Rightarrow p = \frac{1}{5} = 0.2$ और $q = \frac{4}{5} = 0.8$ है।
अब,ठीक $3$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X=3) = {}^{5}C_{3} \cdot p^{3} \cdot q^{2}$ है।
$P(X=3) = 10 \cdot (\frac{1}{5})^{3} \cdot (\frac{4}{5})^{2} = 10 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(C) संबंध $R$ को $A R B \iff B = P A P^{-1}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $P$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी आव्यूह $A$ के लिए,हम $P = I$ (तत्समक आव्यूह) चुन सकते हैं। तब $I A I^{-1} = I A I = A$ होता है। अतः,$A R A$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $A R B$ है। तो किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ के लिए $B = P A P^{-1}$ है। हम $A = P^{-1} B P$ लिख सकते हैं। मान लीजिए $Q = P^{-1}$ है। चूंकि $P$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $Q$ भी व्युत्क्रमणीय है। तब $A = Q B Q^{-1}$ है। अतः,$B R A$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $A R B$ और $B R C$ है। तो कुछ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $P$ और $Q$ के लिए $B = P A P^{-1}$ और $C = Q B Q^{-1}$ है। दूसरे समीकरण में $B$ का मान रखने पर,$C = Q (P A P^{-1}) Q^{-1} = (Q P) A (P^{-1} Q^{-1}) = (Q P) A (Q P)^{-1}$ प्राप्त होता है। चूंकि दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का गुणनफल $Q P$ भी व्युत्क्रमणीय होता है,इसलिए $A R C$ सत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(C) दिया गया वक्र $4y^{2} = x^{2}(4-x)(x-2)$ है।
$y$ के वास्तविक होने के लिए,$(4-x)(x-2) \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [2, 4]$।
हम लिख सकते हैं $|y| = \frac{|x|}{2} \sqrt{(4-x)(x-2)}$।
चूंकि $x \in [2, 4]$,$x$ धनात्मक है,इसलिए $y = \pm \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8}$।
क्षेत्रफल $A = \int_{2}^{4} 2 \cdot \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{-(x^{2} - 6x + 9 - 1)} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{1 - (x-3)^{2}} \, dx$।
मान लीजिए $x-3 = t$,तो $dx = dt$। जब $x=2, t=-1$; जब $x=4, t=1$।
$A = \int_{-1}^{1} (t+3) \sqrt{1-t^{2}} \, dt = \int_{-1}^{1} t \sqrt{1-t^{2}} \, dt + \int_{-1}^{1} 3 \sqrt{1-t^{2}} \, dt$।
पहला समाकलन $0$ है क्योंकि फलन विषम है।
दूसरा समाकलन $3 \times (\text{त्रिज्या } 1 \text{ वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल}) = 3 \times \frac{\pi(1)^{2}}{2} = \frac{3\pi}{2}$।

(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(0) = b$ है।
बायां पक्ष सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(a+1)x + \sin 2x}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left( \frac{\sin(a+1)x}{2x} + \frac{\sin 2x}{2x} \right) = \frac{a+1}{2} + 1$.
दायां पक्ष सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x+bx^3} - \sqrt{x}}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx^2} - 1)}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1+bx^2} - 1}{bx^2} = \frac{1}{2}$.
सीमाओं की तुलना करने पर:
$b = \frac{1}{2}$ और $\frac{a+1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{a+1}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow a+1 = -1 \Rightarrow a = -2$.
इस प्रकार,$a+b = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

(D) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$5I - 8P$ की गणना करें:
$5I - 8P = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 16 & -8 \\ 40 & -24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & 8 \\ -40 & 29 \end{bmatrix}$.
अब,$P$ की घातों की गणना करें:
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \cdot P = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix}$.
$P^6 = (P^3)^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & 8 \\ -40 & 29 \end{bmatrix}$.
$P^n$ और $5I - 8P$ की तुलना करने पर,हमें $P^6 = 5I - 8P$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 6$.

(B) मान लीजिए $P'(x) = k(x - 1)(x + 1) = k(x^2 - 1)$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।
$P'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $P(x) = k(\frac{x^3}{3} - x) + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $P(-3) = 0$,इसलिए $k(\frac{-27}{3} - (-3)) + C = 0$,जो सरल होकर $k(-9 + 3) + C = 0$ हो जाता है,अर्थात $-6k + C = 0$,या $C = 6k$।
दिया गया है कि $\int_{-1}^{1} P(x) dx = 18$,हम $\int_{-1}^{1} (k(\frac{x^3}{3} - x) + C) dx = 18$ की गणना करते हैं।
चूंकि $k(\frac{x^3}{3} - x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $[-1, 1]$ पर इसका समाकलन $0$ होता है। अतः,$\int_{-1}^{1} C dx = 18$,जो $2C = 18$ देता है,इसलिए $C = 9$।
$C = 6k$ का उपयोग करके,हमें $9 = 6k$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$।
इस प्रकार,$P(x) = \frac{3}{2}(\frac{x^3}{3} - x) + 9 = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x + 9$।
$P(x)$ के गुणांकों का योग $P(1) = \frac{1}{2}(1)^3 - \frac{3}{2}(1) + 9 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 9 = -1 + 9 = 8$ है।

(B) समतल का समीकरण $2x - y + z = b$ है।
मान लीजिए $P = (1, 3, a)$ और $Q = (-3, 5, 2)$ है। रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $R$ समतल पर स्थित है।
$R = \left( \frac{1 - 3}{2}, \frac{3 + 5}{2}, \frac{a + 2}{2} \right) = (-1, 4, \frac{a + 2}{2})$.
चूंकि $R$ समतल $2x - y + z = b$ पर स्थित है,इसलिए:
$2(-1) - 4 + \frac{a + 2}{2} = b$
$-6 + \frac{a + 2}{2} = b \Rightarrow a + 2 = 2b + 12 \Rightarrow a = 2b + 10 \quad \dots(i)$
साथ ही,सदिश $\vec{PQ} = (-3 - 1, 5 - 3, 2 - a) = (-4, 2, 2 - a)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 1)$ के समानांतर है।
इसलिए,$\frac{-4}{2} = \frac{2}{-1} = \frac{2 - a}{1}$.
$-2 = -2 = 2 - a \Rightarrow a = 4$.
समीकरण $(i)$ में $a = 4$ रखने पर:
$4 = 2b + 10 \Rightarrow 2b = -6 \Rightarrow b = -3$.
अतः,$|a + b| = |4 + (-3)| = |1| = 1$.

(A) दिया गया कार्यात्मक समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है।
$x=0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ होता है।
$f(x+y)=f(x)f(y)$ में $x=0, y=0$ रखने पर $f(0)=f(0)^2$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(x) \neq 0$,इसलिए $f(0)=1$ होगा।
अवकलज की परिभाषा में $f(0)=1$ रखने पर,$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f'(0)=3$,इसलिए $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 3$ होगा।

(C) एक समतल का समीकरण जो बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली रेखा और दिशा अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ वाली रेखा को समाहित करता है और दिशा अनुपात $(a_2, b_2, c_2)$ वाली रेखा के समानांतर है,उसे सारणिक समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
दिए गए मान $(x_1, y_1, z_1) = (1, -6, -5)$,$(a_1, b_1, c_1) = (3, 4, 2)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (4, -3, 7)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y+6 & z+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
चूंकि बिंदु $(1, -1, \alpha)$ समतल $P$ पर स्थित है,हम $x=1, y=-1, z=\alpha$ को सारणिक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-1 & -1+6 & \alpha+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 5 & \alpha+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$0(28 - (-6)) - 5(21 - 8) + (\alpha+5)(-9 - 16) = 0$
$-5(13) + (\alpha+5)(-25) = 0$
$-65 - 25\alpha - 125 = 0$
$-25\alpha - 190 = 0$
$25\alpha = -190$
$5\alpha = -38$
अतः,$|5\alpha| = |-38| = 38$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.
$x^2$ से भाग देने पर ($x \geq 1$ के लिए): $\frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.
यह सरल होकर बनता है: $d(\frac{y}{x}) = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(1) = 0$ का उपयोग करने पर: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y = x \sin(\ln x)$.
क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{e^{\pi}} x \sin(\ln x) dx$.
मान लीजिए $x = e^t$,तो $dx = e^t dt$. जब $x=1, t=0$; जब $x=e^{\pi}, t=\pi$.
$A = \int_{0}^{\pi} e^t \sin(t) e^t dt = \int_{0}^{\pi} e^{2t} \sin(t) dt$.
सूत्र $\int e^{at} \sin(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \sin(bt) - b \cos(bt)) + C$ का उपयोग करने पर:
$A = [\frac{e^{2t}}{5} (2 \sin t - \cos t)]_{0}^{\pi} = \frac{e^{2\pi}}{5} (2(0) - (-1)) - \frac{1}{5} (2(0) - 1) = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5}$.
$\alpha e^{2\pi} + \beta$ से तुलना करने पर,$\alpha = \frac{1}{5}$ और $\beta = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$10(\alpha + \beta) = 10(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) = 10(\frac{2}{5}) = 4$.

(C) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 2\hat{i} - 5\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत होगा।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -1\end{array}\right|$ होगा।
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - 10) - \hat{j}(-3 - (-4)) + \hat{k}(-15 - 2) = -11\hat{i} - \hat{j} - 17\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = 11\hat{i} + \hat{j} + 17\hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(1, 2, -3)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\langle 11, 1, 17 \rangle$ वाले समतल का समीकरण:
$11(x - 1) + 1(y - 2) + 17(z + 3) = 0$
$11x - 11 + y - 2 + 17z + 51 = 0$
$11x + y + 17z + 38 = 0$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dP}{dt} = 0.5P - 450 = 0.5(P - 900)$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dP}{P - 900} = 0.5 dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dP}{P - 900} = \int 0.5 dt$.
यह प्राप्त होता है: $\ln|P - 900| = 0.5t + C$.
प्रारंभिक स्थिति $P(0) = 850$ का उपयोग करने पर: $\ln|850 - 900| = 0.5(0) + C \Rightarrow C = \ln(50)$.
अतः,समीकरण बनता है: $\ln|P(t) - 900| = 0.5t + \ln(50)$.
जब $P(t) = 0$ हो,तब $t$ ज्ञात करने के लिए: $\ln|0 - 900| = 0.5t + \ln(50)$.
$\ln(900) - \ln(50) = 0.5t$.
$\ln\left(\frac{900}{50}\right) = 0.5t$.
$\ln(18) = 0.5t$.
$t = 2 \ln(18)$.

(D) निकाय के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & -k \\ 2 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3(4 + 4) + 2(-2 + 2) - k(4 + 4) = 24 - 8k$ ज्ञात करें।
$\Delta = 0$ रखने पर,$24 - 8k = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = 3$ है।
अब,$k = 3$ के लिए $\Delta_z$ की जाँच करें:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 10 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & 2 & 5m \end{vmatrix} = 3(-20m - 12) + 2(10m - 6) + 10(4 + 4) = -60m - 36 + 20m - 12 + 80 = -40m + 32$ है।
असंगतता के लिए,$\Delta_z \neq 0$ होना चाहिए,इसलिए $-40m + 32 \neq 0 \Rightarrow 40m \neq 32 \Rightarrow m \neq \frac{32}{40} \Rightarrow m \neq \frac{4}{5}$ है।
अतः,निकाय असंगत है यदि $k = 3$ और $m \neq \frac{4}{5}$ हो।