मान लीजिए कि M और m अंतराल [0, frac{pi}{2}] म | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ है।$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$(x + \frac{\pi}{4}) \in [\frac{\pi}{4}

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$3 - 2\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ है।$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$(x + \frac{\pi}{4}) \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ होता है।अतः,$g(x) \in [1, \sqrt{2}]$ प्राप्त होता है।चूंकि $f(x) = 	an^{-1}(g(x))$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[	an^{-1}(1), 	an^{-1}(\sqrt{2})] = [\frac{\pi}{4}, 	an^{-1}(\sqrt{2})]$ होगा।इसलिए,$m = \frac{\pi}{4}$ और $M = 	an^{-1}(\sqrt{2})$ है।हमें $	an(M - m) = 	an(	an^{-1}(\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात करना है।सूत्र $	an(A - B) = \frac{	an A - 	an B}{1 + 	an A 	an B}$ का उपयोग करने पर:$	an(M - m) = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 + \sqrt{2}(1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ प्राप्त होता है।हर का परिमेयकरण करने पर:$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} 	imes \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$।

मान लीजिए कि $M$ और $m$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं। तो $\tan(M - m)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt {1 - {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right]$,जहाँ $|x| < 1$ और $x \ne 0$ है,का मान क्या होगा?

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मान ज्ञात कीजिए: $\cot ^{ - 1}\left(\frac{xy + 1}{x - y}\right) + \cot ^{ - 1}\left(\frac{yz + 1}{y - z}\right) + \cot ^{ - 1}\left(\frac{zx + 1}{z - x}\right)$

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