फलन operatorname{cosec}^{-1}left(frac{1+x}{x} | vedclass

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Question

(D) $\operatorname{cosec}^{-1}(y)$ का प्रांत $y \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है।फलन $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+x}{x}\right)$

Vedclass · Accepted Answer

$\left[-\frac{1}{2}, \infty\right) - \{0\}$

Vedclass · Answer

(D) $\operatorname{cosec}^{-1}(y)$ का प्रांत $y \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है।फलन $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+x}{x}\right)$ के लिए,$\frac{1+x}{x} \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होना चाहिए।स्थिति $1$: $\frac{1+x}{x} \geq 1$$\frac{1}{x} + 1 \geq 1 \implies \frac{1}{x} \geq 0 \implies x > 0$.स्थिति $2$: $\frac{1+x}{x} \leq -1$$\frac{1}{x} + 1 \leq -1 \implies \frac{1}{x} \leq -2$.चूंकि $\frac{1}{x} \leq -2$,इसलिए $x$ ऋणात्मक होना चाहिए। $x$ (जो ऋणात्मक है) से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है:$1 \geq -2x \implies x \geq -\frac{1}{2}$.अतः,$x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.दोनों स्थितियों को मिलाने पर,प्रांत $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$ प्राप्त होता है,जिसे $[-\frac{1}{2}, \infty) - \{0\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

फलन $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+x}{x}\right)$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए :

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मान लीजिए कि $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो $f(x) = \sec^{-1}(2[x] + 1)$ का प्रांत (domain) क्या है?

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