यदि अवकल समीकरण (2x - 10y^3) dy + y dx = 0 का | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$.पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y dx = (10y^3 - 2x) dy$.$y dy$ से भाग देने पर,

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$y^5 - y^2 - 1 = 0$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$.पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y dx = (10y^3 - 2x) dy$.$y dy$ से भाग देने पर,हमें $x$ में रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y}x = 10y^2$.यहाँ,समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है:$I.F. = e^{\int \frac{2}{y} dy} = e^{2 \ln|y|} = y^2$.व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int (10y^2) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।$x y^2 = \int 10y^4 dy + C$.$x y^2 = 2y^5 + C$.चूंकि वक्र $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,हम $x=0$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:$0 \cdot (1)^2 = 2(1)^5 + C \Rightarrow C = -2$.अतः,वक्र का समीकरण $x y^2 = 2y^5 - 2$ है।चूंकि वक्र $(2, \beta)$ से होकर गुजरता है,हम $x=2$ और $y=\beta$ प्रतिस्थापित करते हैं:$2 \beta^2 = 2 \beta^5 - 2$.$2$ से भाग देने पर,हमें $\beta^2 = \beta^5 - 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\beta^5 - \beta^2 - 1 = 0$ हो जाता है।इसलिए,$\beta$ समीकरण $y^5 - y^2 - 1 = 0$ का एक मूल है।

यदि अवकल समीकरण $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$ का हल वक्र बिंदुओं $(0, 1)$ और $(2, \beta)$ से होकर गुजरता है,तो $\beta$ किस समीकरण का मूल है?

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