वक्रों frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}= | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $C_2: x^2 + y^2 = ab$ हैं। माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $C_1$ के लिए,$x$ के

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$	an ^{-1}\left(\frac{a-b}{\sqrt{ab}}ight)$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए वक्र $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $C_2: x^2 + y^2 = ab$ हैं। माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $C_1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 \implies y'_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$। $C_2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2yy' = 0 \implies y'_2 = -\frac{x_1}{y_1}$। प्रतिच्छेदन के लिए समीकरणों को हल करने पर: $x_1^2 = \frac{a^2 b}{a+b}$ और $y_1^2 = \frac{a b^2}{a+b}$। वक्रों के बीच का कोण $	heta$,$	an 	heta = \left| \frac{y'_1 - y'_2}{1 + y'_1 y'_2} ight|$ द्वारा दिया जाता है। प्रवणता के मान रखने पर: $	an 	heta = \left| \frac{-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} + \frac{x_1}{y_1}}{1 + \frac{b^2 x_1^2}{a^2 y_1^2}} ight| = \left| \frac{x_1 y_1 (a^2 - b^2)}{a^2 y_1^2 + b^2 x_1^2} ight|$। $x_1^2$ और $y_1^2$ के मान रखने पर: $	an 	heta = \left| \frac{a-b}{\sqrt{ab}} ight|$। चूंकि $a > b$,अतः $	heta = 	an^{-1} \left( \frac{a-b}{\sqrt{ab}} ight)$।

वक्रों $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ और $x^{2}+y^{2}=ab$,जहाँ $a > b$ है,के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।

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यदि $\frac{\sqrt{3}}{a}x + \frac{1}{b}y = 2$,दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करता है,तो इसका उत्केंद्र कोण $\theta$ किसके बराबर है: ................ $^o$

दीर्घवृत्त $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है:

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