બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થતા અને પરવલય $y=x^{2}$ ને બિંદુ $(2,4)$ પર સ્પર્શતા વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

જો વર્તુળ $4x^{2}+4y^{2}+120x+675=0$ ની જીવા પરની એક રેખા બિંદુ $(-30, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને પરવલય $y^{2}=30x$ ને સ્પર્શક છે,તો આ જીવાની લંબાઈ કેટલી થાય?

જો $\theta$ એ વક્રો $x^2+y^2=2020 \sqrt{2}$ અને $x^2-y^2=2020$ વચ્ચેનો લઘુકોણ હોય,તો $\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\tan \theta}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ આગળનો સ્પર્શક અને અભિલંબ $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં મળે છે. ધારો કે $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળ $C$ દોરવામાં આવે છે અને રેખા $x = 2 \sqrt{5}$ એ વર્તુળ $C$ ને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો વર્તુળ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માં છેદતા હોય,તો $\alpha^2 - \beta^2$ ની કિંમત શોધો.

$2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ $C$ બીજા ચરણમાં આવેલું છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે. ધારો કે $r$ એવા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે જેનું કેન્દ્ર $(2, 5)$ બિંદુ પર છે અને તે વર્તુળ $C$ ને બરાબર બે બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $r$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ હોય,તો $3 \beta - 2 \alpha$ ની કિંમત શોધો:

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા એકમ વર્તુળ પર સ્પર્શકોની એક જોડી દોરવામાં આવે છે અને આ સ્પર્શકો $A$ બિંદુએ છેદે છે જે $60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. આ સ્પર્શકો અને વર્તુળના ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?