જો એક સમાંતર ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ,જેની સહ-અંતિમ ધાર સદિશો $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + n\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - n\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + n\hat{j} + 3\hat{k}$ $(n \geq 0)$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે,તે $158$ ઘન એકમ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે સદિશો $\vec{u} = (2+a+b) \hat{i}+(a+2 b+c) \hat{j}-(b+c) \hat{k}$,$\vec{v} = (1+b) \hat{i}+2 b \hat{j}-b \hat{k}$,અને $\vec{w} = (2+b) \hat{i}+2 b \hat{j}+(1-b) \hat{k}$ જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{R}$ સમતલીય છે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો જેમના સ્થાન સદિશો $3i - 2j - k,$ $2i + 3j - 4k,$ $-i + j + 2k,$ અને $4i + 5j + \lambda k$ છે તેવા બિંદુઓ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય,તો $\lambda = $

સદિશો $\vec{x}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{y}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{z}=3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ ધ્યાનમાં લો. બે ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,$\vec{X}=\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}-\vec{z}$,$\vec{Y}=\alpha\vec{y}+\beta\vec{z}-\vec{x}$,અને $\vec{Z}=\alpha\vec{z}+\beta\vec{x}-\vec{y}$ વ્યાખ્યાયિત કરો. જો સદિશો $\vec{X}, \vec{Y}$,અને $\vec{Z}$ એક સમતલમાં હોય,તો $\alpha+\beta-3$ ની કિંમત $....$ છે.

સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો જેની પાસપાસેની ધાર $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$,અને $\vec{c} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.

જો $x, y$ અને $z$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ એવા હોય કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ થાય,તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની કિંમત શોધો.