AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $f(x, y) = 2x^2+3xy-2y^2-17x+6y+8=0$ है।
मूल बिंदु को $(\alpha, \beta)$ पर स्थानांतरित करके रैखिक पदों को हटाने के लिए,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं:
$f_x = 4x+3y-17 = 0$
$f_y = 3x-4y+6 = 0$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x = 2$ और $y = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,नया मूल बिंदु $(\alpha, \beta) = (2, 3)$ है।
रूपांतरित समीकरण में अचर पद $c = f(\alpha, \beta) = 0$ है।
इसलिए,$3\alpha+c = 3(2)+0 = 6$।
यहाँ $2\beta = 2(3) = 6$ है,इसलिए सही विकल्प $2\beta$ है।

(B) रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसके रेखाओं का युग्म होने के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
$(2p-3)x^2 + 2pxy - y^2 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,$a = 2p-3$,$h = p$,$b = -1$,$g = 0$,$f = 0$,और $c = 0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,$0 = 0$ प्राप्त होता है,जो किसी भी $p \in R$ के लिए सत्य है।
रेखाओं के भिन्न होने के लिए शर्त $h^2 - ab > 0$ है।
यहाँ,$h^2 - ab = p^2 - (2p-3)(-1) = p^2 + 2p - 3$ है।
हमें $p^2 + 2p - 3 > 0$ की आवश्यकता है।
गुणनखंड करने पर: $(p+3)(p-1) > 0$।
यह असमिका $p < -3$ या $p > 1$ के लिए सत्य है।
अतः,रेखाएँ $p \in R - [-3, 1]$ के लिए भिन्न हैं।

(C) दी गई दो भुजाओं का समीकरण $3x^2-5xy+2y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x-2y)(x-y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो भुजाएँ $L_1: 3x-2y=0$ और $L_2: x-y=0$ हैं।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु मूलबिंदु $(0,0)$ है,जो त्रिभुज का एक शीर्ष है।
तीसरी भुजा का समीकरण $ax+by+c=0$ मानिए।
लंबकेंद्र $H(2,1)$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
गणना करने पर,तीसरी भुजा का समीकरण $8x+4y-17=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy-2ay^2+3x+15y-9=0$ है।
चूंकि रेखाएं $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए आंशिक अवकलज $f_x$ और $f_y$ बिंदु $(1,1)$ पर शून्य होंगे।
$f_x = 2ax+2hy+3 = 0 \implies 2a+2h+3=0$
$f_y = 2hx-4ay+15 = 0 \implies 2h-4a+15=0$
इन समीकरणों को हल करने पर,$a=2$ और $h=-3.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$ah = 2 \times (-3.5) = -7$.

(B) समीकरण $4x^2-y^2=0$ को $(2x-y)(2x+y)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
यह दो रेखाएं दर्शाता है: $L_1: 2x-y=0$ और $L_2: 2x+y=0$।
तीसरी रेखा $L_3: lx+my+n=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x_1 = -n/(l+2m), y_1 = -2n/(l+2m)$।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x_2 = -n/(l-2m), y_2 = 2n/(l-2m)$।
केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+0}{3}, \frac{y_1+y_2+0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, 0\right)$ है।
$y$-निर्देशांक से: $m=0$ प्राप्त होता है।
$x$-निर्देशांक से: $l=-n$ प्राप्त होता है।
अतः,$l+m+n = -n+0+n = 0$।

दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2 + xy - y^2 - x + 2y - 1 = 0$  है।
समघात भाग का गुणनखंड:
$2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$
मान लेते हैं रेखाएँ  $(2x - y + c_1)(x + y + c_2) = 0$
तुलना करने पर:
$(2x - y + 1) = 0 $ और $ (x + y - 1) = 0$
बिंदु  $(1,1)$ से गुजरने वाली इन पर लम्ब रेखाएँ:
रेखा $2x - y + 1 = 0$  पर लम्ब रेखा $L_1:x + 2y + k_1 = 0$
$1 + 2(1) + k_1 = 0 \Rightarrow k_1 = -3$
$\therefore x + 2y - 3 = 0$
रेखा $x + y - 1 = 0$  पर लम्ब रेखा $L_2:x - y + k_2 = 0$
$1 - 1 + k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = 0$
$\therefore x - y = 0$
संयुक्त समीकरण
$(x + 2y - 3)(x - y) = 0$
विस्तार करने पर:
$x^2 - xy + 2xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0$
$\Rightarrow x^2 + xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0$
तुलना करें  $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0:$
$a = 1, 2h = 1, b = -2, 2g = -3$
$\therefore \frac{b}{a} = \frac{-2}{1} = -2$

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + 2hxy + 2y^2 - x + y - 1 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^2 + 2h'xy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$h' = h$,$b = 2$,$g = -1/2$,$f = 1/2$,और $c = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = 3/4$ दिया गया है,इसलिए $3/4 = |\frac{2\sqrt{h^2 - 4}}{2 + 2}| = \frac{\sqrt{h^2 - 4}}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9/16 = (h^2 - 4)/4$,जिससे $h^2 = 25/4$ प्राप्त होता है,अर्थात $h = 5/2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करने के लिए $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ को हल करें।
$4x + 5y - 1 = 0$ और $5x + 4y + 1 = 0$।
इन समीकरणों को हल करने पर $x = -1$ और $y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं के युग्म को दर्शाता है यदि सारणिक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x + 2fy - 3 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$a = 2, h = \frac{3}{2}, b = -2, g = -\frac{5}{2}, f = f, c = -3$.
शर्त $\Delta = 0$ में इन मानों को रखने पर:
$(2)(-2)(-3) + 2(f)(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2}) - 2(f)^2 - (-2)(-\frac{5}{2})^2 - (-3)(\frac{3}{2})^2 = 0$
$12 - \frac{15f}{2} - 2f^2 + 12.5 + 6.75 = 0$
$-2f^2 - 7.5f + 31.25 = 0$
सरल करने पर $8f^2 + 30f - 125 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $f = \frac{5}{2}$ या $f = -\frac{25}{4}$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जांच करने पर,$\frac{5}{2}$ विकल्प $D$ में है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ है। $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$b = 6$ और $xy$ का गुणांक $2h$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है। तब $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{6} = -\frac{h}{3}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{6}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ दिया गया है,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{1}{7}$ है।
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ का उपयोग करने पर,$(m_1 - m_2)^2 = \frac{h^2}{9} - \frac{2}{3} = \frac{h^2 - 6}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः $|m_1 - m_2| = \frac{\sqrt{h^2 - 6}}{3}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{h^2 - 6}}{3}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{1}{7} \implies \frac{2\sqrt{h^2 - 6}}{7} = \frac{1}{7}$ है।
इससे $2\sqrt{h^2 - 6} = 1 \implies 4h^2 - 24 = 1 \implies h^2 = \frac{25}{4} \implies h = \pm \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि ढाल धनात्मक है,$m_1 + m_2 = -\frac{h}{3} > 0$,इसलिए $h$ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$h = -\frac{5}{2}$।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2 + 2hxy + 6y^2 = 0$ है। मान लीजिए ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1 + m_2 = -\frac{h}{3}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{6}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{1}{7}$ है।
इससे $|m_1 - m_2| = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ का उपयोग करने पर,$h = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
रेखाएं $x - 2y = 0$ और $x - 3y = 0$ हैं।
बिंदु $(1, 1)$ से लंब दूरियों का गुणनफल $\frac{\sqrt{2}}{5}$ है।

(A) रेखा $x+2y+\lambda=0$ और वक्र $2x^2-2xy+3y^2+2x-y-1=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण वक्र के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(\frac{x+2y}{-\lambda}) - (\frac{x+2y}{-\lambda})^2 = 0$.
$\lambda^2$ से गुणा करने पर:
$\lambda^2(2x^2-2xy+3y^2) - \lambda(2x-y)(x+2y) - (x+2y)^2 = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$x^2$ का गुणांक $2\lambda^2 - 2\lambda - 1$ और $y^2$ का गुणांक $3\lambda^2 + 2\lambda - 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(2\lambda^2 - 2\lambda - 1) + (3\lambda^2 + 2\lambda - 4) = 0$.
$5\lambda^2 - 5 = 0 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
अतः,$\lambda$ का मान $1$ है।

(C) माना घूर्णन का कोण $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2)$ है। अतः $\tan \theta = 2$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ हैं।
मान रखने पर,$x = \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}}$ और $y = \frac{2X + Y}{\sqrt{5}}$।
इन मानों को दिए गए समीकरण $3x^2 - 4xy = r^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \left( \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}} \right)^2 - 4 \left( \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{2X + Y}{\sqrt{5}} \right) = r^2$।
गणना करने पर,हमें $4Y^2 - X^2 = r^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है और रेखा $x+y-2=0$ है।
रेखा के समीकरण को $\frac{x+y}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं:
$x^2+y^2-2x(1)-4y(1)+2(1)^2=0$.
$1 = \frac{x+y}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{2})-4y(\frac{x+y}{2})+2(\frac{x+y}{2})^2=0$.
सरल करने पर $x^2-4xy-y^2=0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-2$ है।

(A) दिया गया समीकरण $3x^2 + axy - 2y^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $3 + a(\frac{y}{x}) - 2(\frac{y}{x})^2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं की ढाल है। अतः $2m^2 - am - 3 = 0$।
चूंकि एक रेखा $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ है।
द्विघात समीकरण में $m = \sqrt{3}$ रखने पर:
$2(\sqrt{3})^2 - a(\sqrt{3}) - 3 = 0$
$2(3) - a\sqrt{3} - 3 = 0$
$6 - 3 = a\sqrt{3}$
$3 = a\sqrt{3}$
$a = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।

(C) दिए गए रेखाओं के युग्म $x^2+xy-2y^2=0$ और $3y^2-5xy-2x^2=0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x+2y)(x-y)=0$। रेखाएं $L_1: x+2y=0$ और $L_2: x-y=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3y+x)(y-2x)=0$। रेखाएं $L_3: x+3y=0$ और $L_4: 2x-y=0$ हैं।
लंबवतता की जांच करने पर: $L_1$ की ढाल $m_1 = -1/2$ और $L_4$ की ढाल $m_4 = 2$ है। चूंकि $m_1 \times m_4 = -1$,इसलिए $L_1$ और $L_4$ लंबवत हैं।
शेष रेखाएं $L_2: x-y=0$ और $L_3: x+3y=0$ हैं।
उनका संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+3y)=0 \implies x^2+2xy-3y^2=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ के साथ तुलना करने पर,$a=1, 2h=2, b=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+2h+b = 1+2-3 = 0$।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2+xy-6y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(2x-3y)(x+2y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 2x-3y=0$ और $L_2: x+2y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+y-1=0$ है।
शीर्ष ज्ञात करने पर:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0,0)$।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(3/5, 2/5)$।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(2, -1)$।
भुजाओं की लंबाई:
$OA = \frac{\sqrt{13}}{5}$,$OB = \sqrt{5}$,$AB = \frac{7\sqrt{2}}{5}$।
चूंकि सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की हैं,इसलिए त्रिभुज विषमबाहु है।

(A) दूसरी रेखाओं का युग्म $2x^2+xy-6y^2=0$ है। इसके गुणनखंड करने पर,$(2x-3y)(x+2y)=0$ प्राप्त होता है। रेखाएँ $2x-3y=0$ और $x+2y=0$ हैं।
चूँकि प्रथम युग्म $ax^2-7xy-3y^2=0$ में एक रेखा उभयनिष्ठ है,इसलिए $2x-3y=0$ या $x+2y=0$ को $ax^2-7xy-3y^2=0$ का गुणनखंड होना चाहिए।
यदि $2x-3y=0$ गुणनखंड है,तो $y = \frac{2}{3}x$ रखने पर,$a=6$ प्राप्त होता है।
यदि $x+2y=0$ गुणनखंड है,तो $a = -\frac{11}{4}$ प्राप्त होता है जो पूर्णांक नहीं है।
अतः $a=6$। समीकरण $6x^2-7xy-3y^2=0$ है।
समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{A-C} = \frac{xy}{B/2}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$7x^2+18xy-7y^2=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+y^2=1$ है।
अक्षों के घूर्णन के अंतर्गत $A+B$ और $AB-H^2$ अपरिवर्तित रहते हैं।
यहाँ $A+B = 2$ और $AB-H^2 = -3$ है।
नए समीकरण के लिए $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = 2$ और $-\frac{1}{a^2b^2} = -3$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर $a^2 = 1/3$ और $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+3} = 2$.

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2 - 4xy + 5y^2 = 0$ है। इन रेखाओं के लंबवत और $(a, b)$ से गुजरने वाली रेखाओं का समीकरण $5(x-a)^2 + 4(x-a)(y-b) + 3(y-b)^2 = 0$ है।
विस्तार करने पर: $5(x^2 - 2ax + a^2) + 4(xy - bx - ay + ab) + 3(y^2 - 2by + b^2) = 0$.
$5x^2 + 4xy + 3y^2 - (10a + 4b)x - (4a + 6b)y + (5a^2 + 4ab + 3b^2) = 0$.
$lx^2 + 2hxy + my^2 - 32x - 26y + c = 0$ से तुलना करने पर,$l=5, 2h=4 \implies h=2, m=3$.
$10a + 4b = 32 \implies 5a + 2b = 16$.
$4a + 6b = 26 \implies 2a + 3b = 13$.
हल करने पर,$a=2, b=3$.
अतः $c = 5(2)^2 + 4(2)(3) + 3(3)^2 = 20 + 24 + 27 = 71$.
अंत में,$\frac{a+b+c}{l+h+m} = \frac{2+3+71}{5+2+3} = \frac{76}{10} = \frac{38}{5}$.

(C) $PQ$ की ढाल $m$ मानिए। चूँकि $PQ \perp PR$ है और $PQR$ समद्विबाहु है,$PR$ की ढाल $-1/m$ है। $PQ$ और $QR$ ($2x + y = 3$,ढाल $-2$) के बीच का कोण $45^\circ$ है। $\tan 45^\circ = |(m - (-2)) / (1 + m(-2))| = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $|(m + 2) / (1 - 2m)| = 1$ प्राप्त होता है। इसे हल करने पर $m = -1/3$ और $m = 3$ प्राप्त होते हैं। $P(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण $(3x - y - 5) = 0$ और $(x + 3y - 5) = 0$ हैं। इनका संयुक्त समीकरण $(3x - y - 5)(x + 3y - 5) = 0$ है,जिसका सरलीकरण $3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$ है।

(D) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
$X$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{r^2 - k^2} = 8$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $r^2 - k^2 = 16$,इसलिए $r^2 = k^2 + 16$।
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{r^2 - h^2} = 6$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $r^2 - h^2 = 9$,इसलिए $r^2 = h^2 + 9$।
$r^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $k^2 + 16 = h^2 + 9$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $h^2 - k^2 = 7$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदु पथ $x^2 - y^2 = 7$,या $x^2 - y^2 - 7 = 0$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि वृत्त मूलबिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ हो जाता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
वृत्त रेखा $x=2$ को काटता है,इसलिए $2^2 + y^2 + 2g(2) + 2fy = 0$,जो $y^2 + 2fy + (4 + 4g) = 0$ में सरल हो जाता है।
माना इस द्विघात समीकरण के मूल $y_1$ और $y_2$ हैं। अंतःखंड की लंबाई $|y_1 - y_2| = 4$ है।
$|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$ का उपयोग करते हुए,$4 = \sqrt{(-2f)^2 - 4(4+4g)}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16 = 4f^2 - 16 - 16g$,जो $32 = 4f^2 - 16g$ या $8 = f^2 - 4g$ में सरल हो जाता है।
चूंकि केंद्र $(h, k) = (-g, -f)$ है,इसलिए $g = -h$ और $f = -k$ है।
इन मानों को $8 = f^2 - 4g$ में प्रतिस्थापित करने पर,$8 = (-k)^2 - 4(-h)$,जो $k^2 + 4h = 8$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,केंद्र का बिंदुपथ $y^2 + 4x = 8$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ का केंद्र $O(1, -2)$ है।
बिंदु $P(-1, 2)$ और प्रतिलोम बिंदु $P'(\frac{1}{10}, \frac{-1}{5})$ है।
सूत्र $OP \cdot OP' = r^2$ के अनुसार,जहाँ $r^2 = 5 - c$ है।
$OP = (-2, 4)$ और $OP' = (-\frac{9}{10}, \frac{9}{5})$ है।
$OP \cdot OP' = (-2)(-\frac{9}{10}) + (4)(\frac{9}{5}) = 1.8 + 7.2 = 9$ है।
अतः,$5 - c = 9$,जिससे $c = -4$ प्राप्त होता है।

(A) $P$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ मानिए। चूँकि $P$ और $Q$ व्यास के अंतिम बिंदु हैं,$Q$ के निर्देशांक $(-a \cos \theta, -a \sin \theta)$ होंगे।
रेखा $x+y-1=0$ है।
$P(a \cos \theta, a \sin \theta)$ से लंबवत दूरी $s = \frac{|a(\cos \theta + \sin \theta) - 1|}{\sqrt{2}}$ है।
$Q(-a \cos \theta, -a \sin \theta)$ से लंबवत दूरी $t = \frac{|a(\cos \theta + \sin \theta) + 1|}{\sqrt{2}}$ है।
$u = a(\cos \theta + \sin \theta)$ लेने पर,गुणनफल $st = \frac{|u^2-1|}{2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान के लिए $u^2 = 2a^2$ रखने पर,$s$ और $t$ के मान $a \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होते हैं।
अतः बड़ा मान $a + \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(A) चारों वृत्तों के केंद्र $(\pm r, \pm r)$ हैं और त्रिज्या $r$ है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्रित और $R$ त्रिज्या वाला वृत्त इन चारों वृत्तों को स्पर्श करता है।
मूल बिंदु से किसी भी वृत्त के केंद्र की दूरी $\sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ है।
बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले वृत्त के लिए,$R + r = r\sqrt{2} \implies R = r(\sqrt{2}-1)$।
आंतरिक रूप से स्पर्श करने वाले वृत्त के लिए,$R - r = r\sqrt{2} \implies R = r(\sqrt{2}+1)$।
अतः,$r_1 = r(\sqrt{2}-1)$ और $r_2 = r(\sqrt{2}+1)$।
इसलिए,$r_1 + r_2 = r(\sqrt{2}-1 + \sqrt{2}+1) = 2r\sqrt{2}$।
अतः,$\frac{r_1+r_2}{r} = 2\sqrt{2}$।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है क्योंकि यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है।
वृत्त $x$-अक्ष को $A(-2g, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, -2f)$ पर काटता है।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{-2g} + \frac{y}{-2f} = 1$ है,जिसे $\frac{x}{g} + \frac{y}{f} = -2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा निश्चित बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{x_1}{g} + \frac{y_1}{f} = -2$ होगा।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। माना केंद्र $(x, y)$ है,तो $x = -g$ और $y = -f$,जिसका अर्थ है $g = -x$ और $f = -y$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$\frac{x_1}{-x} + \frac{y_1}{-y} = -2$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर,$\frac{x_1}{x} + \frac{y_1}{y} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना व्यास के सिरे $A(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ और $B(-2\cos\theta, -2\sin\theta)$ हैं।
रेखा $x+y+1=0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|x_1+y_1+1|}{\sqrt{2}}$ है।
गुणनफल $P = d_1 d_2 = \frac{|1-4(\cos\theta+\sin\theta)^2|}{2} = \frac{3+4\sin(2\theta)}{2}$ प्राप्त होता है।
$P$ को अधिकतम होने के लिए $\sin(2\theta) = 1$ होना चाहिए,अतः $\theta = \frac{\pi}{4}$।
यह मान रखने पर,सिरे $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ और $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।

(D) वृत्त $S^{\prime}$ का केंद्र $C^{\prime}(3, -3)$ और त्रिज्या $r^{\prime} = 4$ है।
$S$ एक इकाई वृत्त है,अतः त्रिज्या $r = 1$ है।
माना $S$ का केंद्र $C(h, k)$ है। चूँकि $S$ और $S^{\prime}$ बिंदु $P(-1, -3)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,बिंदु $P$ रेखाखंड $CC^{\prime}$ को $1:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-1 = \frac{4h + 3}{5} \implies h = -2$ और $-3 = \frac{4k - 3}{5} \implies k = -3$।
अतः $S$ का केंद्र $C(-2, -3)$ है।
$S$ का समीकरण $(x+2)^2+(y+3)^2 = 1$ अर्थात $x^2+y^2+4x+6y+12 = 0$ है।
तुलना करने पर $g=2, f=3, c=12$ प्राप्त होता है।
अतः $g+f+c = 2+3+12 = 17$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$ है। केंद्र $C(3, -4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{25 - k}$ है।
स्पर्श रेखा की केंद्र से दूरी त्रिज्या के बराबर होती है,इसलिए $r = 10$ और $k = -75$ प्राप्त होता है।
बिंदु $Q$,$CP$ को $-1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,जिससे $CQ = r$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $Q$ की पावर $CQ^2 - r^2$ होती है,जो $r^2 - r^2 = 0$ होगी।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ है। केंद्र $(3, -2)$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_1 = \frac{4}{3}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_2 = \frac{\beta + 2}{\alpha - 3}$ है।
$m_1 \times m_2 = -1$ होने के कारण,$3\alpha + 4\beta = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ रेखा $4\alpha - 3\beta + 7 = 0$ पर स्थित है।
समीकरणों को हल करने पर $\alpha = -1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta = -1 + 2(1) = 1$.

(C) माना स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है। बिंदु $(3, 4)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 4 = m(x - 3)$ है,जिसे $mx - y + (4 - 3m) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ (केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$) की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करते हुए,$3 = \frac{|m(0) - 1(0) + 4 - 3m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$.
$3\sqrt{m^2 + 1} = |4 - 3m|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9(m^2 + 1) = (4 - 3m)^2$.
$9m^2 + 9 = 16 - 24m + 9m^2$.
$9 = 16 - 24m$.
$24m = 7$.
$m = \frac{7}{24}$.

(C) माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{16}\right)$ है।
अतः $\cos(2\theta) = \frac{7}{16}$ है।
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2\theta - 1 = \frac{7}{16}$,जिसका अर्थ है $2\cos^2\theta = \frac{23}{16}$,इसलिए $\cos^2\theta = \frac{23}{32}$ है।
इस प्रकार,$\sin^2\theta = 1 - \frac{23}{32} = \frac{9}{32}$,और $\tan^2\theta = \frac{9/32}{23/32} = \frac{9}{23}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 4x + 4y + c = 0$ के लिए,केंद्र $O(-2, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{8 - c}$ है।
बिंदु $P(2, 2)$ से केंद्र $O(-2, -2)$ तक की दूरी $d = \sqrt{32}$ है।
$\tan^2\theta = \frac{r^2}{d^2 - r^2} = \frac{8 - c}{24 + c}$ है।
$\frac{8 - c}{24 + c} = \frac{9}{23}$ को हल करने पर $c = -1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वृत्त $S: x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$ है। इसका केंद्र $C(2, 3)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
$P, A$ और $B$ से गुजरने वाले वृत्त का व्यास $PC$ है।
$PC$ का मध्य बिंदु नए वृत्त का केंद्र है: $M = \left(\frac{-4 + 2}{2}, \frac{0 + 3}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$.
व्यास $PC$ वाले वृत्त का समीकरण $(x + 4)(x - 2) + (y - 0)(y - 3) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 + 2x - 3y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$2g = 2 \implies g = 1$ और $2f = -3 \implies f = -\frac{3}{2}$।
अतः,$(g, f) = \left(1, -\frac{3}{2}\right)$।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0$ है। केंद्र $C(2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{13 - c}$ है।
बिंदु $P(-1, -1)$ से केंद्र $C$ की दूरी $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2\alpha$ है,जहाँ $\sin \alpha = \frac{r}{d}$ है।
सूत्र $\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,$-\frac{7}{25} = 1 - 2\sin^2 \alpha \implies \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} \implies \sin \alpha = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{r}{5} = \frac{4}{5}$,जिससे $r = 4$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(r, r)$ और त्रिज्या $r$ है,जहाँ $r > 0$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा $4x+3y-6=0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|7r-6|}{5} = r$।
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $r = 3$ या $r = 1/2$।
यदि $r = 3$ है,तो समीकरण $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ प्राप्त होता है।
यदि $r = 1/2$ है,तो समीकरण $4x^2+4y^2-4x-4y+1=0$ प्राप्त होता है।
रेखा $4x+3y-6=0$ के नीचे स्थित केंद्र के लिए,$4x+3y-6 < 0$ होना चाहिए,जो $r = 1/2$ के लिए सत्य है।
अतः,सही उत्तर $4x^2+4y^2-4x-4y+1=0$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - 4y + 4 = 0$ और $L_2: 6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
$L_2$ को $3x - 4y - 3.5 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$ है।
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$ है।
चूँकि व्यास $D = 1.5 = \frac{3}{2}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{3}{4}$ होगी।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x+2y=0$ है। केंद्र $C(1, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
बिंदु $P(-1, 1)$ और केंद्र $C(1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x+y=0$ है।
प्रतिलोम बिंदु $Q$ हमेशा केंद्र और दिए गए बिंदु को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है।
अतः,$Q$ बिंदु $x+y=0$ रेखा पर स्थित है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ के लिए,$g = -1$,$f = 2$ और $c = 3$ है।
मान रखने पर,ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - 1(x + x_1) + 2(y + y_1) + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x(x_1 - 1) + y(y_1 + 2) - x_1 + 2y_1 + 3 = 0$ मिलता है।
दिए गए समीकरण $2x - 3y + 1 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 + 2}{-3} = \frac{-x_1 + 2y_1 + 3}{1} = k$ (माना)।
प्रथम दो अनुपातों से,$x_1 = 2k + 1$ और $y_1 = -3k - 2$ प्राप्त होता है।
तीसरे अनुपात में मान रखने पर: $- (2k + 1) + 2(-3k - 2) + 3 = k$।
$-8k - 2 = k \implies 9k = -2 \implies k = -2/9$।
अतः,$x_1 = 5/9$ और $y_1 = -4/3$।
अंत में,$3x_1 - y_1 = 3(5/9) - (-4/3) = 5/3 + 4/3 = 3$।

(A) वृत्त $S: x^2+y^2+2kx+4y-3=0$ और $S': x^2+y^2-4x+2ky+9=0$ हैं।
केंद्र $C_1 = (-k, -2)$ और $C_2 = (2, -k)$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{k^2+7}$ और $r_2 = \sqrt{k^2-5}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = 2k^2+8$ है।
$\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2} = \frac{3}{8}$ का उपयोग करने पर,$k^2=9$ प्राप्त होता है।
$S'=0$ का केंद्र $(2, -k)$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $k=-3$ है।
मूल अक्ष $S-S'=0$ है,जिसका समीकरण $(2k+4)x + (4-2k)y - 12 = 0$ है।
$k=-3$ रखने पर,$x-5y+6=0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2-4x+4y-1=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-4y+1=0$
वृत्तों के उभयनिष्ठ बिंदु रेडिकल अक्ष पर स्थित होते हैं,जो $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2-4x+4y-1) - (x^2+y^2+2x-4y+1) = 0$
$-6x + 8y - 2 = 0$
$3x - 4y + 1 = 0 \implies x = \frac{4y-1}{3}$
$x$ का मान $S_2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{4y-1}{3})^2 + y^2 + 2(\frac{4y-1}{3}) - 4y + 1 = 0$
$25y^2 - 20y + 4 = 0$
$(5y-2)^2 = 0 \implies y = 2/5$
अतः $x = 1/5$
इस प्रकार,$(a, b) = (1/5, 2/5)$.
$a^2+b^2 = (1/5)^2 + (2/5)^2 = 1/25 + 4/25 = 5/25 = 1/5$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2hy+c=0$ है।
चूंकि यह $(3,5), (5,5)$ और $(3,-3)$ से गुजरता है, हमारे पास है:
$9+25+6g+10h+c=0 \implies 6g+10h+c=-34$
$25+25+10g+10h+c=0 \implies 10g+10h+c=-50$
$9+9+6g-6h+c=0 \implies 6g-6h+c=-18$
पहले को दूसरे से घटाने पर: $4g=-16 \implies g=-4$.
तीसरे को पहले से घटाने पर: $16h=-16 \implies h=-1$.
$g$ और $h$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $6(-4)+10(-1)+c=-34 \implies -24-10+c=-34 \implies c=0$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x-2y=0$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
यहाँ, $g_1=-4, f_1=-1, c_1=0$ और $g_2=1, f_2=f, c_2=0$.
$2(-4)(1)+2(-1)(f)=0+0 \implies -8-2f=0 \implies 2f=-8 \implies f=-4$.

(B) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x+4y+1=0$ और $C_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ हैं।
केंद्र $C_1(1, -2)$ और $C_2(2, 1)$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = 2$ और $r_2 = 1$ हैं।
माना उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $y-mx-c=0$ है।
केंद्र से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर होती है:
$\frac{|-2-m-c|}{\sqrt{1+m^2}} = 2$ और $\frac{|1-2m-c|}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के लिए,$\frac{-2-m-c}{\sqrt{1+m^2}} = 2$ और $\frac{1-2m-c}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
घटाने पर: $\frac{-3+m}{\sqrt{1+m^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m^2-6m+9 = 1+m^2$,जिससे $6m = 8$,अर्थात $m = \frac{4}{3}$।

(C) वृत्त $C_1: x^2+y^2-4x+12y-216=0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(2, -6)$ है और त्रिज्या $r_1 = 16$ है।
वृत्त $C_2: x^2+y^2+6x-12y+36=0$ के लिए,केंद्र $C_2$ $(-3, 6)$ है और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 13$ है।
चूंकि $r_1 - r_2 = d$,वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की ढाल केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल के लंबवत होती है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_{C_1C_2} = -\frac{12}{5}$ है।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{5}{12}$ है।

(B) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2=3$ और $C_2: x^2+y^2-2x+4y+4=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3}$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{1^2+(-2)^2-4} = \sqrt{1+4-4} = 1$ है।
बाह्य समानता केंद्र केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
माना बाह्य केंद्र $(\alpha, \beta) = \left( \frac{r_1 x_2 - r_2 x_1}{r_1 - r_2}, \frac{r_1 y_2 - r_2 y_1}{r_1 - r_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $\alpha = \frac{\sqrt{3}(1) - 1(0)}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ और $\beta = \frac{\sqrt{3}(-2) - 1(0)}{\sqrt{3}-1} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$।
अतः,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \div \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = -2$।

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+5kx+2y+k=0$ और $S_2: x^2+y^2+kx+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $(x^2+y^2+5kx+2y+k) - (x^2+y^2+kx+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $4kx + \frac{1}{2}y + k + \frac{1}{2} = 0$ प्राप्त होता है,जो $8kx + y + 2k + 1 = 0$ है।
हमें दिया गया है कि रेखा $4x+5y-k=0$ उभयनिष्ठ जीवा है।
दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{8k}{4} = \frac{1}{5} = \frac{2k+1}{-k}$.
$\frac{8k}{4} = \frac{1}{5}$ से,हमें $2k = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{2k+1}{-k}$ से,हमें $-k = 10k+5$ प्राप्त होता है,इसलिए $11k = -5$,जिसका अर्थ है $k = -\frac{5}{11}$.
चूंकि $k$ के मान सुसंगत नहीं हैं,इसलिए $k$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए दी गई रेखा उभयनिष्ठ जीवा हो।

(A) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+x-3y-10=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-y-20=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है,जो $(x^2+y^2+x-3y-10) - (x^2+y^2+2x-y-20) = 0$ है।
यह $-x-2y+10=0$ या $x+2y-10=0$ में सरल हो जाता है।
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ है।
$(x^2+y^2+x-3y-10) + \lambda(x+2y-10) = 0$.
$x^2+y^2+(1+\lambda)x+(-3+2\lambda)y+(-10-10\lambda) = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{1+\lambda}{2}, \frac{3-2\lambda}{2})$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $x+2y-10=0$ व्यास है,इसलिए केंद्र को उस पर स्थित होना चाहिए:
$-\frac{1+\lambda}{2} + 2(\frac{3-2\lambda}{2}) - 10 = 0$.
$-1-\lambda + 6-4\lambda - 20 = 0 \implies -5\lambda - 15 = 0 \implies \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2+y^2+(1-3)x+(-3-6)y+(-10+30) = 0$.
$x^2+y^2-2x-9y+20=0$.
$x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha=-2, \beta=-9, \gamma=20$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+2\beta+\gamma = -2 + 2(-9) + 20 = -2 - 18 + 20 = 0$.

(C) रेखा $L: 2x + y - 10 = 0$ को $(3, 4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + \lambda(2x + y - 10) = 0$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, -2)$ से गुजरता है,मान रखने पर:
$(1 - 3)^2 + (-2 - 4)^2 + \lambda(2(1) + (-2) - 10) = 0$
$4 + 36 - 10\lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
समीकरण: $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 15 = 0$ प्राप्त होता है।
विकल्प $(-5, 4)$ की जाँच करने पर: $(-5)^2 + 4^2 + 2(-5) - 4(4) - 15 = 25 + 16 - 10 - 16 - 15 = 0$।
अतः,बिंदु $(-5, 4)$ वृत्त पर स्थित है।

(D) वृत्त $S: x^2+y^2-a^2=0$ और रेखा $L: x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $S+\lambda L=0$ द्वारा दिया जाता है,जो $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ है।
इसे $x^2+\lambda x \cos \alpha+y^2+\lambda y \sin \alpha-(a^2+\lambda p)=0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ है।
एक वृत्त और एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाला सबसे छोटा वृत्त वह होता है जिसका प्रतिच्छेदन जीवा व्यास के रूप में होता है।
रेखा $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ प्रतिच्छेदन जीवा है।
वृत्त का केंद्र इस रेखा पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha = p$.
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$.
$-\frac{\lambda}{2} = p$.
$\lambda = -2p$.

(A) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ के लिए,$g=-2, f=-3, c=-12$ है।
बिंदु $(\alpha, -1)$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $x(\alpha)+y(-1)-2(x+\alpha)-3(y-1)-12=0$.
सरल करने पर: $\alpha x - y - 2x - 2\alpha - 3y + 3 - 12 = 0$.
$(\alpha-2)x - 4y - 2\alpha - 9 = 0$.
दिया गया है कि यह समीकरण $y=\beta$ है,अर्थात $0x + y - \beta = 0$.
$x$ और $y$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x$ के लिए: $\alpha-2 = 0 \implies \alpha = 2$.
$y$ के लिए: $\frac{-4}{1} = \frac{-2\alpha-9}{-\beta}$.
$-4 = \frac{-2(2)-9}{-\beta} \implies -4 = \frac{-13}{-\beta} \implies -4 = \frac{13}{\beta}$.
$\beta = -\frac{13}{4}$.
अब,$4(\alpha+\beta) = 4(2 - \frac{13}{4}) = 4(\frac{8-13}{4}) = 4(-\frac{5}{4}) = -5$.

(D) माना $I = \int_0^2 x^8 \left(\frac{4}{x^2} - 1\right)^{5/2} dx$.
$x = 2 \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$ और जब $x = 2$,तब $\theta = \frac{\pi}{2}$.
पद $\frac{4}{x^2} - 1 = \cot^2 \theta$ हो जाता है।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin \theta)^8 (\cot^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta$
$I = 2^9 \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \cos^6 \theta d\theta$
$u = \cos \theta$ लेने पर,$du = -\sin \theta d\theta$.
$I = 2^9 \int_0^1 (1-u^2) u^6 du = 512 [\frac{u^7}{7} - \frac{u^9}{9}]_0^1 = 512 (\frac{2}{63}) = \frac{1024}{63} = \frac{2^{10}}{63}$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos x+\sin x} d x$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{1+\cos(\pi/2 - x)+\sin(\pi/2 - x)} dx = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$ प्राप्त होता है।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$।
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(1+\sin x+\cos x) - 1}{1+\sin x+\cos x} dx = \int_0^{\pi / 2} (1 - \frac{1}{1+\sin x+\cos x}) dx$।
$2I = [x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+2\sin(x/2)\cos(x/2)+2\cos^2(x/2)-1} dx$।
$2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{2\cos^2(x/2)(\tan(x/2)+1)} dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2)}{\tan(x/2)+1} dx$।
माना $u = \tan(x/2)$,तब $du = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$।
$2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \frac{1}{u+1} du = \frac{\pi}{2} - [\log|u+1|]_0^1 = \frac{\pi}{2} - \log 2$।
अतः,$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$।

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log |\tan x + \cot x| \, dx$.
चूँकि $\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
अतः,$I = \int_0^{\pi / 2} \log |\frac{2}{\sin 2x}| \, dx = \int_0^{\pi / 2} (\log 2 - \log |\sin 2x|) \, dx$.
$I = \int_0^{\pi / 2} \log 2 \, dx - \int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx$.
$I = \frac{\pi}{2} \log 2 - \int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx$.
माना $2x = t$,तो $2 \, dx = dt$,इसलिए $dx = \frac{dt}{2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$.
$\int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log |\sin t| \, dt = \frac{1}{2} \times 2 \int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt = \int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt$.
गुणधर्म $\int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$I = \frac{\pi}{2} \log 2 - (-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2 + \frac{\pi}{2} \log 2 = \pi \log 2$.

(B) माना $I = \int_0^\pi x \sin^5 x \cos^6 x \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx$
चूंकि $\sin^5 x \cos^6 x$,$x = \pi/2$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^6 x \, dx$।
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ का उपयोग करने पर:
$\int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^6 x \, dx = \frac{(4 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 3 \cdot 1)}{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 15}{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 15} = \frac{8}{693}$।
अतः,$2I = \pi \cdot 2 \cdot \frac{8}{693} = \frac{16\pi}{693}$।
$I = \frac{8\pi}{693}$।

(C) माना $I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 (3 \pi / 2 - x)}{\cos ^3 (3 \pi / 2 - x) + \sin ^3 (3 \pi / 2 - x)} d x$.
चूंकि $\cos(3 \pi / 2 - x) = -\sin x$ और $\sin(3 \pi / 2 - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{(-\sin x)^3}{(-\sin x)^3 + (-\cos x)^3} d x = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{-\sin ^3 x}{-\sin ^3 x - \cos ^3 x} d x = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\sin ^3 x + \cos ^3 x} d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\cos ^3 x + \sin ^3 x} d x = \int_0^{3 \pi / 2} 1 d x$.
$2I = [x]_0^{3 \pi / 2} = \frac{3 \pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^2 x(\sin x+\cos x) d x$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 x \cos ^2 x d x + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x$.
माना $f(x) = \sin ^3 x \cos ^2 x$. चूँकि $f(-x) = -f(x)$,$f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 x \cos ^2 x d x = 0$.
अब $g(x) = \sin ^2 x \cos ^3 x$ पर विचार करें। चूँकि $g(-x) = g(x)$,$g(x)$ एक सम फलन है। अतः,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^3 x d x$.
$u = \sin x$ लेने पर,$du = \cos x dx$. जब $x=0, u=0$; जब $x=\pi/2, u=1$.
$I = 2 \int_{0}^{1} u^2 (1-u^2) du = 2 [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_{0}^{1} = 2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 2 (\frac{2}{15}) = \frac{4}{15}$.

(D) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ होता है।
अतः,$\sqrt{1 - \cos 2x} = \sqrt{2 \sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|$।
समाकलन $I = \int_0^{400 \pi} \sqrt{2} |\sin x| \, dx$ हो जाता है।
चूंकि $|\sin x|$ का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं $I = \sqrt{2} \times 400 \int_0^{\pi} |\sin x| \, dx$।
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा।
अतः,$I = 400 \sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x \, dx$।
समाकलन का मान निकालने पर: $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$।
अंततः,$I = 400 \sqrt{2} \times 2 = 800 \sqrt{2}$।

(A) माना $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$.
चूंकि $f(x) = \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x)$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$.
माना $2x = t$,तब $2 dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{1}{2} dt$.
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = 2 \pi, t = 4 \pi$.
$I = 2 \int_{0}^{4 \pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) \frac{1}{2} dt = \int_{0}^{4 \pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt$.
गुणधर्म $\int_{0}^{n T} f(t) dt = n \int_{0}^{T} f(t) dt$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $T = \pi$:
$I = 4 \int_{0}^{\pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt = 4 \times 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt = 8 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt$.
वालिस के सूत्र $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m(x) \cos^n(x) dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$I = 8 \times \frac{(3 \times 1) \times (5 \times 3 \times 1)}{(10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2)} \times \frac{\pi}{2} = 8 \times \frac{45 \pi}{7680} = \frac{3 \pi}{64}$.

(B) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x-[x]) \, dx$.
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ और $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ के बीच पूर्णांक बिंदुओं पर समाकलन को विभाजित करते हैं।
पूर्णांक बिंदु $-1, 0, 1$ हैं।
$I = \int_{-\pi/2}^{-1} \sin(x+2) \, dx + \int_{-1}^{0} \sin(x+1) \, dx + \int_{0}^{1} \sin(x) \, dx + \int_{1}^{\pi/2} \sin(x-1) \, dx$.
प्रत्येक समाकलन का मान निकालने पर:
$1$. $[-\cos(x+2)]_{-\pi/2}^{-1} = -\cos 1 + \sin 2$.
$2$. $[-\cos(x+1)]_{-1}^{0} = 1 - \cos 1$.
$3$. $[-\cos x]_{0}^{1} = 1 - \cos 1$.
$4$. $[-\cos(x-1)]_{1}^{\pi/2} = 1 - \sin 1$.
योग करने पर: $I = 3 - 3\cos 1 + \sin 2 - \sin 1$.

(A) हमें $I = \int_{-1}^1 (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^1 f(x) \, dx - \int_{-1}^1 g(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
पहले,$f(x) = \operatorname{Max}\{x^3-4, x^4-4\}$ पर विचार करें। चूँकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $x^4 \ge x^3$ और $x \in [0, 1]$ के लिए $x^4 \le x^3$ है,इसलिए $f(x) = x^4-4$ ($x \in [-1, 0]$ के लिए) और $f(x) = x^3-4$ ($x \in [0, 1]$ के लिए) होगा।
$\int_{-1}^1 f(x) \, dx = \int_{-1}^0 (x^4-4) \, dx + \int_0^1 (x^3-4) \, dx = [\frac{x^5}{5} - 4x]_{-1}^0 + [\frac{x^4}{4} - 4x]_0^1 = -\frac{19}{5} - \frac{15}{4} = -\frac{151}{20}$.
अब,$g(x) = \operatorname{Min}\{x^2, x^3\}$ के लिए,$x \in [-1, 0]$ के लिए $g(x) = x^3$ और $x \in [0, 1]$ के लिए $g(x) = x^2$ होगा।
$\int_{-1}^1 g(x) \, dx = \int_{-1}^0 x^3 \, dx + \int_0^1 x^2 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_{-1}^0 + [\frac{x^3}{3}]_0^1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$.
अंत में,$I = -\frac{151}{20} - \frac{1}{12} = -\frac{229}{30}$।

(D) माना $I = \int_0^\pi (\sin^5 x \cos^3 x + \sin^4 x \cos^4 x + \sin^3 x \cos^4 x) dx$ है।
हम गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हैं।
$f_1(x) = \sin^5 x \cos^3 x$ के लिए,$f_1(\pi-x) = \sin^5 x (-\cos x)^3 = -\sin^5 x \cos^3 x$ है। अतः,$\int_0^\pi \sin^5 x \cos^3 x dx = 0$ है।
$f_3(x) = \sin^3 x \cos^4 x$ के लिए,$f_3(\pi-x) = \sin^3 x (-\cos x)^4 = \sin^3 x \cos^4 x$ है।
$\int_0^\pi f(x) dx = 2 \int_0^{\pi/2} f(x) dx$ का उपयोग करने पर,$\int_0^\pi \sin^3 x \cos^4 x dx = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos^4 x dx = 2 \cdot \frac{\Gamma(2) \Gamma(5/2)}{2 \Gamma(9/2)} = \frac{4}{35}$ है।
$f_2(x) = \sin^4 x \cos^4 x = (\frac{1}{2} \sin 2x)^4 = \frac{1}{16} \sin^4 2x$ के लिए।
$\int_0^\pi \frac{1}{16} \sin^4 2x dx = \frac{3\pi}{128}$ है।
योग करने पर,$I = 0 + \frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35} = \frac{3\pi}{128} + \frac{4}{35}$ प्राप्त होता है।

(A) समाकल $I = \int_0^1 \frac{x^4+1}{x^6+1} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर का गुणनखंड $x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ के रूप में कर सकते हैं।
एक अधिक प्रभावी तरीका अंश और हर को विभाजित करना है।
हम $x^4+1 = (x^4-x^2+1) + x^2$ लिख सकते हैं।
अतः $I = \int_0^1 \frac{x^4-x^2+1}{x^6+1} dx + \int_0^1 \frac{x^2}{x^6+1} dx$.
$I = \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx + \int_0^1 \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.
पहले भाग के लिए,$\int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx = [\tan^{-1}(x)]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4}$.
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^3$,तो $du = 3x^2 dx$,इसलिए $x^2 dx = \frac{du}{3}$.
जब $x=0, u=0$ और जब $x=1, u=1$.
इसलिए,$\int_0^1 \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1}{u^2+1} du = \frac{1}{3} [\tan^{-1}(u)]_0^1 = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
दोनों भागों को जोड़ने पर,$I = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi + \pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया समाकलन बीटा फलन के रूप में है,$B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} \, dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$.
यहाँ,$m-1 = 5/2 \implies m = 7/2$ और $n-1 = 3/2 \implies n = 5/2$.
अतः,समाकलन $B(7/2, 5/2) = \frac{\Gamma(7/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(7/2 + 5/2)} = \frac{\Gamma(7/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(6)}$ है।
$\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ और $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$\Gamma(7/2) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{15\sqrt{\pi}}{8}$.
$\Gamma(5/2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}$.
$\Gamma(6) = 5! = 120$.
इन मानों को रखने पर:
समाकलन $= \frac{(\frac{15\sqrt{\pi}}{8}) \cdot (\frac{3\sqrt{\pi}}{4})}{120} = \frac{45\pi}{32 \cdot 120} = \frac{45\pi}{3840} = \frac{3\pi}{256}$.

(C) दी गई सीमा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2n} \frac{n+r}{n^2+r^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2n} \frac{n(1+r/n)}{n^2(1+(r/n)^2)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2n} \frac{1+r/n}{1+(r/n)^2}$
यह $\int_{0}^{2} \frac{1+x}{1+x^2} dx$ के रूप में एक रीमान योग है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{0}^{2} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{2} \frac{x}{1+x^2} dx$
$= [\operatorname{Tan}^{-1} x]_{0}^{2} + \frac{1}{2} [\log(1+x^2)]_{0}^{2}$
$= (\operatorname{Tan}^{-1} 2 - 0) + \frac{1}{2} (\log 5 - \log 1)$
$= \operatorname{Tan}^{-1} 2 + \frac{1}{2} \log 5$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{1+\cos^2(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x dx$.
जब $x=0, u=1$; जब $x=\pi, u=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}$.
$2I = \pi [\tan^{-1}(u)]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi^2}{4}$.

(D) माना $I = \int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{(x+\sqrt{1-x^2})(1-x^2)} dx$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1/2$,तब $\theta = \pi/6$। जब $x = 1/\sqrt{2}$,तब $\theta = \pi/4$।
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\cos \theta d\theta}{(\sin \theta + \cos \theta) \cos^2 \theta} = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{d\theta}{(\sin \theta + \cos \theta) \cos \theta}$।
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\sec^2 \theta d\theta}{\tan \theta + 1}$।
$u = \tan \theta$ लेने पर,$du = \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $\theta = \pi/6$,तब $u = 1/\sqrt{3}$। जब $\theta = \pi/4$,तब $u = 1$।
$I = \int_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{du}{u+1} = [\log |u+1|]_{1/\sqrt{3}}^{1} = \log(2) - \log(1 + 1/\sqrt{3}) = \log \left( \frac{2}{1 + 1/\sqrt{3}} \right) = \log \left( \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} \right)$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) = 3-\sqrt{3}$।
अतः,$I = \log(3-\sqrt{3})$।

(B) माना $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 3}\left|\tan \left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right| d x$.
माना $u = x - \frac{\pi}{6}$,तो $du = dx$.
जब $x = -\frac{\pi}{4}$,तब $u = -\frac{5\pi}{12}$.
जब $x = \frac{\pi}{3}$,तब $u = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \int_{-5\pi/12}^{\pi/6} |\tan u| du = \int_{-5\pi/12}^{0} -\tan u du + \int_{0}^{\pi/6} \tan u du$.
$I = [\log |\cos u|]_{-5\pi/12}^{0} + [-\log |\cos u|]_{0}^{\pi/6}$.
$I = -\log |\cos(5\pi/12)| - \log |\cos(\pi/6)|$.
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ और $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का उपयोग करने पर।
$I = \log \left( \frac{8}{3\sqrt{2}-\sqrt{6}} \right) = \log(2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1))$.

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{\sin^2(\pi - x) + 2 \cos^2(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} dx$.
चूंकि $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$,हर $1 - \cos^2 x + 2 \cos^2 x = 1 + \cos^2 x$ हो जाता है।
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x dx$. जब $x=0, u=1$; जब $x=\pi, u=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1 + u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1 + u^2} = \pi [\tan^{-1} u]_{-1}^1$.
$2I = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi^2}{4}$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति को योग के रूप में लिखा जा सकता है:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{r^2+n^2}$
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r/n^2}{(r/n)^2+1} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{r/n}{(r/n)^2+1}$
यह रीमान योग $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में है,जहाँ $x = r/n$ और $dx = 1/n$:
$S = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} dx$
मान लीजिए $u = x^2+1$,तब $du = 2x dx$,अर्थात $x dx = du/2$:
$S = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_{1}^{2}$
$S = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$

(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{(k-1)n} \frac{1}{n+r}$ है।
इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{(k-1)n} \frac{1}{n(1 + \frac{r}{n})}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{m n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{m} f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$m = k-1$ और $f(x) = \frac{1}{1+x}$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{k-1} \frac{1}{1+x} dx$।
समाकल का मूल्यांकन करने पर,हमें $L = [\log(1+x)]_{0}^{k-1}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$L = \log(1 + k - 1) - \log(1 + 0) = \log(k) - \log(1) = \log(k)$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $I = \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sin 2x + \cos 2x| dx$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x \right) = \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4})$.
अतः,$I = \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4})| dx = \sqrt{2} \int_{5 \pi}^{25 \pi} |\sin(2x + \frac{\pi}{4})| dx$.
माना $2x + \frac{\pi}{4} = t$,तो $2 dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{dt}{2}$.
जब $x = 5\pi$,तब $t = 10\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{41\pi}{4}$.
जब $x = 25\pi$,तब $t = 50\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{201\pi}{4}$.
$I = \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{41\pi/4}^{201\pi/4} |\sin t| dt$.
$|\sin t|$ का आवर्तकाल $\pi$ है। अंतराल की लंबाई $\frac{201\pi}{4} - \frac{41\pi}{4} = \frac{160\pi}{4} = 40\pi$ है।
चूंकि $|\sin t|$ का एक आवर्तकाल $[0, \pi]$ पर समाकलन $\int_0^{\pi} \sin t dt = 2$ है,इसलिए $40$ आवर्तकालों पर समाकलन $40 \times 2 = 80$ होगा।
अतः,$I = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 80 = 40\sqrt{2}$.

(C) दिया गया है कि $f(t) = \int_0^t \tan^{(2n-1)} x \, dx$.
हमें $f(t+\pi) = \int_0^{t+\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\int_0^{t+\pi} = \int_0^t + \int_t^{t+\pi}$.
अतः,$f(t+\pi) = \int_0^t \tan^{(2n-1)} x \, dx + \int_t^{t+\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$.
चूंकि $\tan x$ का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\int_t^{t+\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx = \int_0^{\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$.
इस प्रकार,$f(t+\pi) = f(t) + \int_0^{\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$.
चूंकि $f(\pi) = \int_0^{\pi} \tan^{(2n-1)} x \, dx$,इसलिए $f(t+\pi) = f(t) + f(\pi)$.

(A) दिया गया सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{\pi}{2 n} \sin \left( r \cdot \frac{\pi}{2 n} \right)$.
मान लीजिए $x = \frac{r \pi}{2 n}$,तो $dx = \frac{\pi}{2 n}$.
जब $r=1$,तो $x \rightarrow 0$ और जब $r=n$,तो $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$.
समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$[-\cos(x)]_{0}^{\pi/2} = -\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = -0 + 1 = 1$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \sec^2 \left(\frac{k^2}{n^4}\right)$ है।
इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \sec^2 \left(\left(\frac{k}{n^2}\right)^2\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $x = \frac{k}{n^2}$ और $dx = \frac{1}{n^2}$।
यह रीमान योग $\int_{0}^{1} x \sec^2(x^2) dx$ के बराबर है।
माना $u = x^2$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{1}{2} du$।
जब $x=0, u=0$ और जब $x=1, u=1$।
अतः,$S = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \sec^2(u) du = \frac{1}{2} [\tan(u)]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \tan(1)$।

(A) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-1}^{1} | |x| - [x] | dx$ द्वारा दिया जाता है।
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं: $\int_{-1}^{0} | |x| - [x] | dx + \int_{0}^{1} | |x| - [x] | dx$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ और $[x] = -1$ है। इसलिए,$| |x| - [x] | = | -x - (-1) | = | 1 - x | = 1 - x$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$|x| = x$ और $[x] = 0$ है। इसलिए,$| |x| - [x] | = | x - 0 | = x$.
$x=1$ पर,$|x|=1$ और $[x]=1$ है,इसलिए अंतर $0$ है।
अतः,$A = \int_{-1}^{0} (1 - x) dx + \int_{0}^{1} x dx$.
$A = [x - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} + [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}$.
$A = (0 - (-1 - \frac{1}{2})) + (\frac{1}{2} - 0) = (0 - (-\frac{3}{2})) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ वर्ग इकाइयाँ।

(B) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2} |y| dx = \int_{0}^{2} |x^2-5x+4| dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$x^2-5x+4=0$ के मूल ज्ञात करें,जो $(x-1)(x-4)=0$ हैं,अतः $x=1$ और $x=4$ प्राप्त होते हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,$x^2-5x+4 \geq 0$ है।
अंतराल $[1, 2]$ में,$x^2-5x+4 \leq 0$ है।
अतः,$A = \int_{0}^{1} (x^2-5x+4) dx + \int_{1}^{2} -(x^2-5x+4) dx$।
प्रथम समाकलन का मान: $[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2-15+24}{6} = \frac{11}{6}$।
द्वितीय समाकलन का मान: $-[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_{1}^{2} = -[(\frac{8}{3} - 10 + 8) - (\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{11}{6})] = -[\frac{4-11}{6}] = -[-\frac{7}{6}] = \frac{7}{6}$।
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} = 3$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वक्र $y = \sqrt{4-x^2}$ (जो $y \ge 0$ के लिए $x^2 + y^2 = 4$ है) और $y^2 = 3x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{3}$ को $x^2 + y^2 = 4$ में प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{y^2}{3})^2 + y^2 = 4 \implies \frac{y^4}{9} + y^2 - 4 = 0$.
माना $u = y^2$,तो $u^2 + 9u - 36 = 0 \implies (u+12)(u-3) = 0$.
चूंकि $u = y^2 \ge 0$,इसलिए $y^2 = 3$,अतः $y = \sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)।
$y = \sqrt{3}$ पर,$x = \frac{3}{3} = 1$।
वक्रों और $Y$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_{0}^{\sqrt{3}} (x_{circle} - x_{parabola}) dy = \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-y^2} - \frac{y^2}{3}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$= [\frac{y}{2}\sqrt{4-y^2} + 2\sin^{-1}(\frac{y}{2}) - \frac{y^3}{9}]_{0}^{\sqrt{3}}$.
$= (\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1} + 2(\frac{\pi}{3}) - \frac{3\sqrt{3}}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=\frac{\pi}{2}$ तक दोनों फलनों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$.
वक्र $\sin x$ और $\cos x$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $x=\frac{\pi}{4}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos x \ge \sin x$ है। $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x \ge \cos x$ है।
अतः,$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
प्रथम समाकलन का मान: $[\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
द्वितीय समाकलन का मान: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$.
कुल क्षेत्रफल $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ वर्ग इकाई।

(C) वक्रों $y=x^2$ और $y=8-x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x^2 = 8-x^2$ रखकर।
$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$।
वक्र $x = -2$ और $x = 2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अंतराल $[-2, 2]$ में,वक्र $y=8-x^2$,$y=x^2$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{-2}^{2} ((8-x^2) - x^2) \, dx = \int_{-2}^{2} (8-2x^2) \, dx$।
चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{2} (8-2x^2) \, dx$।
$A = 2 [8x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{2} = 2 [8(2) - \frac{2(8)}{3}] = 2 [16 - \frac{16}{3}] = 2 [\frac{48-16}{3}] = 2 [\frac{32}{3}] = \frac{64}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वक्र वृत्त $x^2+y^2=16$ (केंद्र $(0,0)$,त्रिज्या $r=4$) और परवलय $y^2=6x$ (शीर्ष $(0,0)$) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=6x$ को $x^2+y^2=16$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2+6x-16=0 \implies (x+8)(x-2)=0$.
परवलय के लिए $x \ge 0$ है,इसलिए $x=2$ प्राप्त होता है।
अतः $y^2=12 \implies y = \pm 2\sqrt{3}$.
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{2} \sqrt{6x} \, dx + 2 \int_{2}^{4} \sqrt{16-x^2} \, dx$.
पहला भाग: $2 \sqrt{6} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.
दूसरा भाग: $2 [\frac{x}{2} \sqrt{16-x^2} + 8 \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{2}^{4} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.
कुल क्षेत्रफल $= \frac{16\sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} = \frac{4}{3}(4\pi+\sqrt{3})$.

(B) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{y^2}{2}$ और रेखा $x = y + 4$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ रखें।
$y^2 = 2y + 8 \implies y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$, इसलिए $y = 4$ और $y = -2$.
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-2}^{4} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) \, dy$.
$A = [\frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6})$.
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3})$.
$A = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3}) = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18$ वर्ग इकाइयाँ।

(B) वक्रों का दिया गया परिवार $y=ax+\frac{1}{a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx}=a$ प्राप्त होता है।
$a=\frac{dy}{dx}$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$y=x\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर,$y\left(\frac{dy}{dx}\right)=x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1$ प्राप्त होता है,जो $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-y\left(\frac{dy}{dx}\right)+1=0$ है।
इस अवकल समीकरण की कोटि $m=1$ और घात $r=2$ है।
अतः,$r+m = 2+1 = 3$ है।
दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}$ है।
चरों को पृथक करने पर,$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|y|=\frac{1}{2}\ln|x|+C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2=kx$।
प्रतिबंध $y(1)=\sqrt{r+m}=\sqrt{3}$ का उपयोग करने पर,$(\sqrt{3})^2=k(1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=3$ है।
अतः,हल $y^2=3x$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d^2 y}{d x^2} = \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{-1/2}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें ऋणात्मक घातांक को हटाना होगा। दोनों पक्षों को $\left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{1/2}$ से गुणा करने पर:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{1/2} = 1$ प्राप्त होता है।
अब,भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right) = 1$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 + x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^4 = 1$ मिलता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $k = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $4$ है,इसलिए घात $l = 4$ है।
हमें वह द्विघात समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $k = 2$ और $l = 4$ हैं।
समीकरण $(x - 2)(x - 4) = 0$ होगा,जिसे सरल करने पर $x^2 - 6x + 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) $y$-अक्ष के समानांतर अक्ष और $x=1$ सममिति अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(x-1)^2 = 4a(y-k)$ है,जहाँ $a$ और $k$ स्वेच्छ अचर हैं।
वैकल्पिक रूप से,हम इसे $y = A(x-1)^2 + B$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $A$ और $B$ स्वेच्छ अचर हैं।
$x$ के सापेक्ष पहली बार अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2A(x-1)$।
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$।
प्रथम अवकलज से,$A = \frac{1}{2(x-1)} \frac{dy}{dx}$।
इस मान को दूसरे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \left( \frac{1}{2(x-1)} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{x-1} \frac{dy}{dx}$।
इसे व्यवस्थित करने पर: $(x-1) \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ है,जहाँ $a$ एक प्राचल है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ax$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ प्राप्त होता है।
$a = x + y \frac{dy}{dx}$ का मान $x^2 + y^2 = 2ax$ में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 - x^2 = 2xy \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसे $(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$y \frac{dy}{dx} = 2a$
अतः,$a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$।

(D) दिया गया व्यापक हल $y = At^2 + Bt^{-1}$ है।
प्रथम अवकलज: $y' = 2At - Bt^{-2}$.
द्वितीय अवकलज: $y'' = 2A + 2Bt^{-3}$.
$y, y', y''$ को अवकल समीकरण $f(t) y'' + g(t) y' + h(t) y = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(t)(2A + 2Bt^{-3}) + g(t)(2At - Bt^{-2}) + h(t)(At^2 + Bt^{-1}) = 0$.
$A$ और $B$ वाले पदों को समूहित करने पर:
$A[2f(t) + 2t g(t) + t^2 h(t)] + B[2t^{-3} f(t) - t^{-2} g(t) + t^{-1} h(t)] = 0$.
चूंकि यह किसी भी $A$ और $B$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$2f(t) + 2t g(t) + t^2 h(t) = 0$ $(1)$
$2t^{-3} f(t) - t^{-2} g(t) + t^{-1} h(t) = 0 \implies 2f(t) - t g(t) + t^2 h(t) = 0$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $3t g(t) = 0 \implies g(t) = 0$.
$g(t) = 0$ को $(1)$ में रखने पर: $2f(t) + t^2 h(t) = 0$.

(B) दिया गया वक्रों का परिवार $y = \tan(ax + b)$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \sec^2(ax + b) \cdot a$
चूंकि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,इसलिए $y_1 = a(1 + y^2)$ है।
अतः,$a = \frac{y_1}{1 + y^2}$ है।
अब,$y_1 = a(1 + y^2)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 = a(2y y_1)$ प्राप्त होता है।
$a = \frac{y_1}{1 + y^2}$ का मान $y_2 = 2ay y_1$ में रखने पर:
$y_2 = 2 \left( \frac{y_1}{1 + y^2} \right) y y_1$
$y_2 = \frac{2y y_1^2}{1 + y^2}$
इसे व्यवस्थित करने पर: $(1 + y^2) y_2 - 2y y_1^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $Ax^3+Bxy=4$ है।
$y$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $Bxy = 4-Ax^3$,अतः $y = \frac{4}{Bx} - \frac{Ax^2}{B}$।
माना $C_1 = \frac{4}{B}$ और $C_2 = -\frac{A}{B}$। तो $y = C_1 x^{-1} + C_2 x^2$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -C_1 x^{-2} + 2C_2 x$।
पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2C_1 x^{-3} + 2C_2$।
इन मानों को अवकल समीकरण $F(x) \frac{d^2y}{dx^2} + G(x) \frac{dy}{dx} - 2y = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$F(x)(2C_1 x^{-3} + 2C_2) + G(x)(-C_1 x^{-2} + 2C_2 x) - 2(C_1 x^{-1} + C_2 x^2) = 0$।
$C_1$ और $C_2$ के पदों को समूहित करने पर:
$C_1(2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1}) + C_2(2F(x) + 2xG(x) - 2x^2) = 0$।
स्वेच्छ अचरों $C_1, C_2$ के लिए यह शर्त सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1} = 0 \implies 2F(x) - xG(x) - 2x^2 = 0$।
$2F(x) + 2xG(x) - 2x^2 = 0 \implies F(x) + xG(x) - x^2 = 0$।
$x=1$ पर:
$2F(1) - G(1) - 2 = 0$ (समीकरण $1$)
$F(1) + G(1) - 1 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $3F(1) - 3 = 0 \implies F(1) = 1$।
$F(1)=1$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $1 + G(1) - 1 = 0 \implies G(1) = 0$।
अतः,$F(1) + G(1) = 1 + 0 = 1$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec(x-y+1) dy = dx$ है।
माना $v = x-y+1$ है।
तब,$\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$ है।
समीकरण को $\frac{dy}{dx} = \cos(x-y+1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 - \frac{dv}{dx} = \cos(v)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 - \cos(v)$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 - \cos(v)} = dx$।
सर्वसमिका $1 - \cos(v) = 2\sin^2(\frac{v}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{dv}{2\sin^2(\frac{v}{2})} = dx$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{1}{2} \csc^2(\frac{v}{2}) dv = dx$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \csc^2(\frac{v}{2}) dv = \int dx$।
$-\cot(\frac{v}{2}) = x + c$।
$v = x-y+1$ का मान वापस रखने पर: $-\cot(\frac{x-y+1}{2}) = x + c$,जिसे $x + \cot(\frac{x-y+1}{2}) = c'$ (जहाँ $c' = -c$) के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y dx = (x + y^3 \cos y) dy$ है।
$y dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 \cos y$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = y^2 \cos y$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = y^2 \cos y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (y^2 \cos y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int y \cos y dy + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$.
अतः,$\frac{x}{y} = y \sin y + \cos y + C$.
$x = y^2 \sin y + y \cos y + Cy$.
वक्र $(0, \pi)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = \pi^2 \sin \pi + \pi \cos \pi + C\pi$.
$0 = 0 - \pi + C\pi \implies C\pi = \pi \implies C = 1$.
इस प्रकार,$x = y^2 \sin y + y \cos y + y = y^2 \sin y + y(1 + \cos y) = y^2 \sin y + y(2 \cos^2 \frac{y}{2})$.
अतः,$x = y^2 \sin y + 2y \cos^2 \frac{y}{2}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2(y+1) \frac{dy}{dx} + y^2(x+1)^2 = 0$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{y+1}{y^2} dy = -\frac{(x+1)^2}{x^2} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{y} + \frac{1}{y^2}) dy = -\int (\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2}) dx$.
$\int (\frac{1}{y} + y^{-2}) dy = -\int (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$.
$\log |y| - \frac{1}{y} = -(x + 2 \log |x| - \frac{1}{x}) + C$.
$\log |y| - \frac{1}{y} = -x - 2 \log |x| + \frac{1}{x} + C$.
$\log |y| + 2 \log |x| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + C$.
$\log |x^2 y| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + C$.
चूंकि $y(1) = 2$ दिया गया है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर: $\log |1^2 \times 2| = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - 1 + C$.
$\log 2 = 1 + 0.5 - 1 + C \implies \log 2 = 0.5 + C \implies C = \log 2 - 0.5$.
$C$ का मान वापस रखने पर: $\log |x^2 y| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x + \log 2 - 0.5$.
$\log |x^2 y| - \log 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x - 0.5$.
$\log |\frac{x^2 y}{2}| = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - x - 0.5$.
यह विकल्प $C$ के समान है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $xy(y+2) dy + (y^3-1) dx = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{x} + \frac{y(y+2)}{y^3-1} dy = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{y^2+2y}{y^3-1} dy = c$।
$\frac{y^2+2y}{(y-1)(y^2+y+1)}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{A}{y-1} + \frac{By+C}{y^2+y+1}$ प्राप्त होता है।
अचरों को हल करने पर,$A = 1$,$B = 0$,$C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int \frac{dx}{x} + \int \frac{1}{y-1} dy + \int \frac{1}{y^2+y+1} dy = c$।
$\log |x| + \log |y-1| + \int \frac{1}{(y+1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} dy = c$।
$\log |x(y-1)| + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} \right) = c$।
चूंकि $y^3-1 = (y-1)(y^2+y+1)$,इसलिए हल $\log |x| + \frac{1}{3} \log |y^3-1| + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2y+1}{\sqrt{3}} \right) = c$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos(x+y) dy = dx$।
माना $v = x+y$। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$।
समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x+y)} = \sec(x+y)$।
$v$ और $\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sec(v)$।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sec(v) = 1 + \frac{1}{\cos(v)} = \frac{\cos(v)+1}{\cos(v)}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{\cos(v)}{\cos(v)+1} dv = dx$।
सर्वसमिका $\cos(v) = 2\cos^2(v/2) - 1$ का उपयोग करने पर: $\frac{2\cos^2(v/2)-1}{2\cos^2(v/2)} dv = dx$।
$(1 - \frac{1}{2}\sec^2(v/2)) dv = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(v/2)) dv = \int dx$।
$v - \tan(v/2) = x + c$।
$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - \tan(\frac{x+y}{2}) = x + c$।
$y - \tan(\frac{x+y}{2}) = c$,अर्थात $y = \tan(\frac{x+y}{2}) + c$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)}$।
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$।
चरों को अलग करने पर: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
$-\cos v = -\log |x| + C$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\log |x| - \cos v = C$।
$v = \frac{y}{x}$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\log |x| - \cos \frac{y}{x} = C$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y^2$.
समाकलन गुणक $(IF)$: $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
व्यापक हल है: $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$.
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$.
$\frac{x}{y} = y^2 + c$.
$x = y^3 + cy$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y+1}{x-3y+5}$ है।
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। हम $h, k$ को इस प्रकार चुनते हैं कि $h+k+1 = 0$ और $h-3k+5 = 0$ हो।
इन्हें हल करने पर,हमें $h = -2$ और $k = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$x = X-2$ और $y = Y+1$ है।
समीकरण $\frac{dY}{dX} = -\frac{X+Y}{X-3Y}$ बन जाता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $Y = vX$,तो $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ है।
$v + X\frac{dv}{dX} = -\frac{1+v}{1-3v} = \frac{1+v}{3v-1}$ है।
$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{3v-1} - v = \frac{1+v-3v^2+v}{3v-1} = \frac{-3v^2+2v+1}{3v-1}$ है।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{3v-1}{-3v^2+2v+1} dv = \int \frac{1}{X} dX$ है।
समाकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{2} \ln| -3v^2+2v+1 | = \ln|X| + C$ प्राप्त होता है।
यह $-3v^2+2v+1 = \frac{c}{X^2}$ में सरल हो जाता है।
$v = \frac{Y}{X} = \frac{y-1}{x+2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-3(\frac{y-1}{x+2})^2 + 2(\frac{y-1}{x+2}) + 1 = \frac{c}{(x+2)^2}$ है।
$-3(y-1)^2 + 2(y-1)(x+2) + (x+2)^2 = c$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $3(y-1)^2 - 2(x+2)(y-1) - (x+2)^2 = c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ है। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$।
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2} \log\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right) = \log|x| + C$।
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) + \log|x| + C = \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) - \log|x| + \log|x| + C$।
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) + C$।
अतः,$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\left(c\sqrt{x^2+y^2}\right)$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(x - (x+y) \log(x+y)) dx + x dy = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = ((x+y) \log(x+y) - x) dx$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) \log(x+y) - x}{x}$.
माना $v = x+y$,तब $dv = dx + dy$,अर्थात $dy = dv - dx$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v \log v - x}{x} = \frac{v \log v}{x} - 1$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v \log v}{x}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$.
माना $u = \log v$,तब $du = \frac{1}{v} dv$.
$\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x} \implies \log|u| = \log|x| + \log|c|$.
$u = cx \implies \log v = cx$.
$v = x+y$ वापस रखने पर: $\log(x+y) = cx$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ है।
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$ होगा।
हम समीकरण निकाय $2h+k-3=0$ और $-h+2k+3=0$ को हल करते हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $-2h+4k+6=0$। पहले समीकरण के साथ जोड़ने पर: $5k+3=0 \implies k = -3/5$। अतः $2h = 3 - (-3/5) = 18/5 \implies h = 9/5$।
समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{2X+Y}{2Y-X}$ बन जाता है।
माना $Y = vX$,तब $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$।
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v}{2v-1} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v-2v^2+v}{2v-1} = \frac{-2v^2+2v+2}{2v-1}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2v-1}{-2v^2+2v+2} dv = \int \frac{dX}{X}$।
माना $u = -2v^2+2v+2$,तब $du = (-4v+2) dv = -2(2v-1) dv$।
अतः,$-\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \ln|X| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|-2v^2+2v+2| = \ln|X| + C$।
$\ln|-2(Y/X)^2+2(Y/X)+2| = -2\ln|X| + C' \implies -2Y^2+2YX+2X^2 = C''$।
$X=x-9/5$ और $Y=y+3/5$ प्रतिस्थापित करने पर,सरल करने पर $x^2-xy-y^2+3x+3y+c=0$ प्राप्त होता है।