वक्रों y=sqrt{4-x^2},y^2=3x और Y-अक्ष के बीच | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र $y = \sqrt{4-x^2}$ (जो $y \ge 0$ के लिए $x^2 + y^2 = 4$ है) और $y^2 = 3x$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{3}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए वक्र $y = \sqrt{4-x^2}$ (जो $y \ge 0$ के लिए $x^2 + y^2 = 4$ है) और $y^2 = 3x$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{3}$ को $x^2 + y^2 = 4$ में प्रतिस्थापित करें: $(\frac{y^2}{3})^2 + y^2 = 4 \implies \frac{y^4}{9} + y^2 - 4 = 0$. माना $u = y^2$,तो $u^2 + 9u - 36 = 0 \implies (u+12)(u-3) = 0$. चूंकि $u = y^2 \ge 0$,इसलिए $y^2 = 3$,अतः $y = \sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)। $y = \sqrt{3}$ पर,$x = \frac{3}{3} = 1$। वक्रों और $Y$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_{0}^{\sqrt{3}} (x_{circle} - x_{parabola}) dy = \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-y^2} - \frac{y^2}{3}) dy$ द्वारा दिया जाता है। $= [\frac{y}{2}\sqrt{4-y^2} + 2\sin^{-1}(\frac{y}{2}) - \frac{y^3}{9}]_{0}^{\sqrt{3}}$. $= (\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1} + 2(\frac{\pi}{3}) - \frac{3\sqrt{3}}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

वक्रों $y=\sqrt{4-x^2}$,$y^2=3x$ और $Y$-अक्ष के बीच स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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