AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $2 \sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta - 3 \cos^2 \theta = 0$.
$\cos^2 \theta$ से भाग देने पर ($\cos \theta \neq 0$ मानते हुए):
$2 \tan^2 \theta - \tan \theta - 3 = 0$.
माना $x = \tan \theta$,तब $2x^2 - x - 3 = 0$.
$(2x - 3)(x + 1) = 0$.
अतः,$\tan \theta = \frac{3}{2}$ या $\tan \theta = -1$.
$\tan \theta = -1$ के लिए,$(-\pi, \pi)$ में $\theta = -\frac{\pi}{4}$ और $\theta = \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होते हैं।
$\tan \theta = \frac{3}{2}$ के लिए,$(-\pi, \pi)$ में $\theta = \arctan(\frac{3}{2})$ और $\theta = \arctan(\frac{3}{2}) - \pi$ प्राप्त होते हैं।
कुल हलों की संख्या $4$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos \theta + \cos 2\theta - \sqrt{3}(\sin \theta + \sin 2\theta) + 1 = 0$.
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ और $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta + 2\cos^2 \theta - 1 - \sqrt{3}\sin \theta - 2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta + 1 = 0$.
$\cos \theta(1 + 2\cos \theta) - \sqrt{3}\sin \theta(1 + 2\cos \theta) = 0$.
$(1 + 2\cos \theta)(\cos \theta - \sqrt{3}\sin \theta) = 0$.
स्थिति $1$: $1 + 2\cos \theta = 0 \implies \cos \theta = -1/2$.
$(0, 2\pi)$ में,$\theta = 2\pi/3, 4\pi/3$.
स्थिति $2$: $\cos \theta - \sqrt{3}\sin \theta = 0 \implies \tan \theta = 1/\sqrt{3}$.
$(0, 2\pi)$ में,$\theta = \pi/6, 7\pi/6$.
हल $\pi/6, 2\pi/3, 7\pi/6, 4\pi/3$ हैं।
कुल हलों की संख्या $4$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \sin x - \cos 2x = 1$।
सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x - (1 - 2 \sin^2 x) = 1$
$2 \sin x - 1 + 2 \sin^2 x = 1$
$2 \sin^2 x + 2 \sin x - 2 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
$\sin^2 x = 1 - \sin x$
हमें $(3 - 2 \sin^2 x)$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin^2 x = 1 - \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 - 2(1 - \sin x) = 3 - 2 + 2 \sin x = 1 + 2 \sin x$।
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ से,$\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $\sin x \in [-1, 1]$,हम $\sin x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ लेते हैं।
अतः $1 + 2 \sin x = 1 + 2(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) = 1 + \sqrt{5} - 1 = \sqrt{5}$।

(B) दिए गए समीकरण $\sec x \cos 5x + 1 = 0$ को $\frac{\cos 5x}{\cos x} = -1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\cos x \neq 0$ है।
इससे $\cos 5x = -\cos x$ प्राप्त होता है,जो $\cos 5x = \cos(\pi - x)$ के बराबर है।
सामान्य हल $x = \frac{(2n+1)\pi}{6}$ या $x = \frac{(2n-1)\pi}{4}$ प्राप्त होते हैं।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में $\cos x \neq 0$ की शर्त को पूरा करने वाले कुल $8$ हल हैं।

(D) दिया गया समीकरण $\cos x \sqrt{16 \sin ^2 x} = 1$ है।
यह $\cos x \cdot 4 |\sin x| = 1$ में सरल होता है,अर्थात $2 \sin(2x) = 1$ (जब $\sin x > 0$) और $-2 \sin(2x) = 1$ (जब $\sin x < 0$)।
स्थिति $1$: $\sin x > 0$ $(x \in (0, \pi))$। अतः $2 \sin(2x) = 1 \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}$।
$2x = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} \implies x = \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}$। दोनों $(0, \pi)$ में हैं।
स्थिति $2$: $\sin x < 0$ $(x \in (\pi, 2 \pi))$। अतः $-2 \sin(2x) = 1 \implies \sin(2x) = -\frac{1}{2}$।
$x \in (\pi, 2 \pi)$ के लिए $2x$ का अंतराल $2x \in (2 \pi, 4 \pi)$ है।
$2x = 2 \pi + \frac{7 \pi}{6} = \frac{19 \pi}{6} \implies x = \frac{19 \pi}{12}$ और $2x = 2 \pi + \frac{11 \pi}{6} = \frac{23 \pi}{6} \implies x = \frac{23 \pi}{12}$।
हलों का योग $= \frac{\pi}{12} + \frac{5 \pi}{12} + \frac{19 \pi}{12} + \frac{23 \pi}{12} = \frac{48 \pi}{12} = 4 \pi$।

(B) दिया गया समीकरण $\left(\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}}\right) 2^{\sec^2 y} = 1$ है।
इसे $\sqrt{(\sin x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}} = 2^{-\sec^2 y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सभी $y$ के लिए जहाँ $\sec y$ परिभाषित है,$\sec^2 y \geq 1$ होता है,इसलिए $2^{-\sec^2 y} \leq 2^{-1} = \frac{1}{2}$ होगा।
साथ ही,$\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2} = (\sin x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$ है।
इस व्यंजक का न्यूनतम मान $\frac{1}{4}$ है (जब $\sin x = \frac{1}{2}$),इसलिए वर्गमूल का मान कम से कम $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ होगा।
गुणनफल $1$ होने के लिए,$\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ और $2^{\sec^2 y} = 2$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sec^2 y = 1$।
$\sec^2 y = 1 \implies \cos^2 y = 1 \implies y = 0$ (चूंकि $0 \leq y \leq 3$)।
$\sqrt{\sin^2 x - \sin x + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \implies \sin x = \frac{1}{2}$।
अंतराल $0 \leq x \leq 3$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ के दो हल हैं: $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$।
अतः,हलों $(x, y)$ की कुल संख्या $2$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta = \sec \theta$
$\cos \theta$ से गुणा करने पर ($\cos \theta \neq 0$ मानते हुए):
$4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta \cos \theta = 1$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$
$2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ और $2 \cos^2 A = 1 + \cos 2A$ का उपयोग करने पर:
$(\cos 6 \theta + \cos 2 \theta) + (1 + \cos 4 \theta) = 1$
$\cos 6 \theta + \cos 4 \theta + \cos 2 \theta = 0$
$\cos 6 \theta + \cos 2 \theta = 2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\cos 4 \theta = 0 \implies 4 \theta = (2n+1) \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1) \pi}{8}$ जहाँ $n = 0, 1, \dots, 7$ ($8$ हल)।
स्थिति $2$: $\cos 2 \theta = -\frac{1}{2} \implies 2 \theta = 2n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$ जहाँ $n = 0, 1, 2$ ($4$ हल)।
कुल हल = $8 + 4 = 12$.

(B) दिया गया है $\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin \theta = 1 - 2 \cos \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\sin^2 \theta = (1 - 2 \cos \theta)^2$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर: $1 - \cos^2 \theta = 1 - 4 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta$.
सरल करने पर: $5 \cos^2 \theta - 4 \cos \theta = 0$.
अतः,$\cos \theta (5 \cos \theta - 4) = 0$.
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,$\cos \theta \neq 0$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{4}{5}$.
मान रखने पर: $\sin \theta = 1 - 2(\frac{4}{5}) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$.
अब,$7 \cos \theta + 6 \sin \theta = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(B) दी गई असमिका $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta > 0$ है।
पूरी असमिका को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta > 0$.
हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$\cos \frac{\pi}{6} \cos \theta + \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta > 0$.
सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) > 0$.
$\cos x > 0$ के लिए,$x$ को एक आवर्त में $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ अंतराल में होना चाहिए।
इसलिए,$-\frac{\pi}{2} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$.
सभी भागों में $\frac{\pi}{6}$ जोड़ने पर:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना मूलबिंदु को $(\alpha, \beta)$ पर स्थानांतरित किया गया है। रूपांतरण समीकरण $x = X + \alpha$ और $y = Y + \beta$ हैं।
इन मानों को मूल समीकरण $3x^2 + 4y^2 - xy - 5x - 7y + 2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(X + \alpha)^2 + 4(Y + \beta)^2 - (X + \alpha)(Y + \beta) - 5(X + \alpha) - 7(Y + \beta) + 2 = 0$
इसका विस्तार करने पर,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए ताकि समीकरण $3X^2 + 4Y^2 - XY + k = 0$ के रूप में हो सके।
$X$ का गुणांक $6\alpha - \beta - 5 = 0$ है।
$Y$ का गुणांक $8\beta - \alpha - 7 = 0$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $\alpha = 1, \beta = 1$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 1, \beta = 1$ को अचर पद में रखने पर:
$k = 3(1)^2 + 4(1)^2 - (1)(1) - 5(1) - 7(1) + 2 = 3 + 4 - 1 - 5 - 7 + 2 = -4$।
अतः,$\alpha + \beta - k = 1 + 1 - (-4) = 6$।

(A) मूल समीकरण $x^2+y^2=4$ है।
अक्षों का घूर्णन समीकरण के रूप को नहीं बदलता है क्योंकि मूल बिंदु से दूरी अपरिवर्तित रहती है।
यदि घूर्णन के बाद निर्देशांक $(x', y')$ हैं,तो $x'^2+y'^2=4$ होगा।
इसके बाद,अक्षों को नए मूल बिंदु $(h, k) = (2, -2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।
रूपांतरण समीकरण $x' = X + 2$ और $y' = Y - 2$ हैं।
इन मानों को $x'^2+y'^2=4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X+2)^2 + (Y-2)^2 = 4$
$X^2 + 4X + 4 + Y^2 - 4Y + 4 = 4$
$X^2 + Y^2 + 4X - 4Y + 4 = 0$।
$X^2+Y^2+aX+bY+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$a=4$,$b=-4$,और $c=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = 4 - 4 + 4 = 4$।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ हैं।
चूंकि $AD$ माध्यिका है,$D$,$BC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$.
$E$,$AD$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $E = (\frac{2x_1+x_2+x_3}{4}, \frac{2y_1+y_2+y_3}{4})$.
त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक $G$ का उपयोग करते हुए,$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$.
त्रिभुज $ADC$ पर मेनेलॉस प्रमेय लागू करने पर,$F$,$AC$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$AF: FC = 1: 2$,जिसका अर्थ है $AF: AC = 1: (1+2) = 1: 3$.

(C) माना प्रारंभिक निर्देशांक $(x, y) = (4, 1)$ हैं।
$(i)$ मूलबिंदु को $(1, 6)$ पर स्थानांतरित करने के बाद,नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार हैं: $x' = x - 1 = 4 - 1 = 3$ और $y' = y - 6 = 1 - 6 = -5$। अतः,$P' = (3, -5)$।
(ii) $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई के स्थानांतरण के बाद,नए निर्देशांक $(x'', y'')$ इस प्रकार हैं: $x'' = x' + 2 = 3 + 2 = 5$ और $y'' = y' = -5$। अतः,$P'' = (5, -5)$।
(iii) अक्षों को धनात्मक दिशा में $90^{\circ}$ घुमाने के बाद,नए निर्देशांक $(X, Y)$ इस प्रकार हैं: $X = x'' \cos(90^{\circ}) + y'' \sin(90^{\circ}) = 5(0) + (-5)(1) = -5$ और $Y = -x'' \sin(90^{\circ}) + y'' \cos(90^{\circ}) = -5(1) + (-5)(0) = -5$।
अतः,अंतिम निर्देशांक $(-5, -5)$ हैं।

(A) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
रूपांतरण समीकरण $x = X + 2$ और $y = Y + 3$ हैं।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X+2)^2 + 3(X+2)(Y+3) - 2(Y+3)^2 + 4(X+2) - (Y+3) - 20 = 0$
सरल करने पर:
$X^2 + 3XY - 2Y^2 + 17X - 7Y - 11 = 0$
यहाँ $D = 17$,$E = -7$,और $F = -11$ प्राप्त होता है।
अतः,$D + E + F = 17 - 7 - 11 = -1$.

(C) रेखाएँ $L_1: x-2=0$,$L_2: x+y-1=0$,और $L_3: x-y+3=0$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $x=2, 2+y-1=0 \implies y=-1$. शीर्ष $A = (2, -1)$.
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x=2, 2-y+3=0 \implies y=5$. शीर्ष $B = (2, 5)$.
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x+y=1$ और $x-y=-3$. जोड़ने पर $2x=-2 \implies x=-1$. अतः $-1+y=1 \implies y=2$. शीर्ष $C = (-1, 2)$.
भुजाओं की लंबाई: $c = AB = 6$,$b = AC = 3\sqrt{2}$,$a = BC = 3\sqrt{2}$.
अंतःकेंद्र $(\alpha, \beta) = (\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$.
$\beta = \frac{3\sqrt{2}(-1) + 3\sqrt{2}(5) + 6(-1)}{3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 6} = \frac{12\sqrt{2}-6}{6(\sqrt{2}+1)} = \frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$.

(A) माना $\triangle ABC$ का केंद्रक $(x, y)$ है।
शीर्षों के निर्देशांक $A(\cos \alpha, \sin \alpha)$,$B(\sin \alpha, -\cos \alpha)$,और $C(1, 2)$ हैं।
केंद्रक $(x, y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}{3} \implies 3x - 1 = \cos \alpha + \sin \alpha$
$y = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha + 2}{3} \implies 3y - 2 = \sin \alpha - \cos \alpha$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(3x - 1)^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$(3y - 2)^2 = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$
दोनों वर्ग समीकरणों को जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y - 2)^2 = 2$
$9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 - 12y + 4 = 2$
$9x^2 + 9y^2 - 6x - 12y + 3 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$3(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 1 = 0$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(7,5), B(-5,-7), C(7,-7)$ हैं।
चूंकि $AC$ ऊर्ध्वाधर $(x=7)$ है और $BC$ क्षैतिज $(y=-7)$ है,इसलिए त्रिभुज $C(7,-7)$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र $H$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है,इसलिए $H = (7,-7)$ है।
अक्षों को $(7,-7)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए नए निर्देशांक $(X, Y)$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $X = x - 7$ और $Y = y + 7$ है।
भुजाओं की लंबाई $a = BC = 12$,$b = AC = 12$,और $c = AB = 12\sqrt{2}$ है।
अंतःकेंद्र $I(x_i, y_i)$ का सूत्र $(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c})$ है।
$x_i = \frac{12(7) + 12(-5) + 12\sqrt{2}(7)}{12 + 12 + 12\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} - 5$.
$y_i = \frac{12(5) + 12(-7) + 12\sqrt{2}(-7)}{12 + 12 + 12\sqrt{2}} = 5 - 6\sqrt{2}$.
नई प्रणाली में,$X_i = x_i - 7 = 6\sqrt{2} - 12$ और $Y_i = y_i + 7 = 12 - 6\sqrt{2}$ है।

(A) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। घूर्णन रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = x' \cos 60^{\circ} - y' \sin 60^{\circ} = \frac{x'}{2} - \frac{\sqrt{3}y'}{2}$
$y = x' \sin 60^{\circ} + y' \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}x'}{2} + \frac{y'}{2}$
इन्हें समीकरण $x+y=1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x'}{2} - \frac{\sqrt{3}y'}{2}) + (\frac{\sqrt{3}x'}{2} + \frac{y'}{2}) = 1$
$x'(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) + y'(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) = 1$
यह $\frac{x'}{a} + \frac{y'}{b} = 1$ के रूप में है,जहाँ $a = \frac{2}{1+\sqrt{3}}$ और $b = \frac{2}{1-\sqrt{3}}$ है।
अतः $\frac{1}{a} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ और $\frac{1}{b} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ है।
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2$
$= \frac{1+3+2\sqrt{3}}{4} + \frac{1+3-2\sqrt{3}}{4} = \frac{4+2\sqrt{3} + 4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

(C) दी गई रेखाएं $L_1: 4x + 2y - 9 = 0$ और $L_2: 2x + y + 6 = 0$ हैं।
$L_1$ को $2(2x + y) = 9$ के रूप में लिखा जा सकता है,यानी $2x + y = 4.5$।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा को $y = mx$ मानें।
$y = mx$ को $L_1$ में रखने पर: $x_P = \frac{4.5}{2+m}$,$y_P = \frac{4.5m}{2+m}$।
$y = mx$ को $L_2$ में रखने पर: $x_Q = \frac{-6}{2+m}$,$y_Q = \frac{-6m}{2+m}$।
चूंकि $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,इसलिए $O$ द्वारा $PQ$ को विभाजित करने वाला अनुपात $OP$ और $OQ$ की दूरियों का अनुपात है।
$OP : OQ = 4.5 : 6 = 3 : 4$।
अतः,$O$,$PQ$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) रेखा का समीकरण $12x - 5y + 13 = 0$ है,जिसे $12x - 5y = -13$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-12x + 5y = 13$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$ से विभाजित करने पर,हमें रेखा का अभिलंब रूप प्राप्त होता है:
$-\frac{12}{13}x + \frac{5}{13}y = 1$.
अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$ और $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ है।
चूँकि $\cos \alpha < 0$ और $\sin \alpha > 0$ है,इसलिए कोण $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हम जानते हैं कि $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$।
अतः,$\alpha = \pi - \operatorname{Tan}^{-1} \frac{5}{12}$।

(B) चूँकि $L_1$ और $L_2$ समांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल (slopes) समान हैं।
$L_2 \equiv 4x-6y+8=0$ के लिए,ढाल $m_2 = -\frac{4}{-6} = \frac{2}{3}$ है।
चूँकि $L_1$ रेखा $L_2$ के समांतर है,$L_1 \equiv ax-3y+5=0$ की ढाल $\frac{a}{3} = \frac{2}{3}$ होगी,जिससे $a=2$ प्राप्त होता है।
$L_1: 2x-3y+5=0$ के लिए,$X$-अंतःखंड $p$ ज्ञात करने के लिए $y=0$ रखने पर,$2p+5=0 \implies p = -\frac{5}{2}$।
$Y$-अंतःखंड $q$ ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर,$-3q+5=0 \implies q = \frac{5}{3}$। बिंदु $(p, q) = (-\frac{5}{2}, \frac{5}{3})$ है।
$L_2: 4x-6y+8=0$ के लिए,$X$-अंतःखंड $m$ ज्ञात करने के लिए $y=0$ रखने पर,$4m+8=0 \implies m = -2$।
$Y$-अंतःखंड $n$ ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर,$-6n+8=0 \implies n = \frac{4}{3}$। बिंदु $(m, n) = (-2, \frac{4}{3})$ है।
$(p, q)$ और $(m, n)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $M = \frac{\frac{4}{3} - \frac{5}{3}}{-2 - (-\frac{5}{2})} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{3}$ है।
रेखा का समीकरण $y - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}(x + 2) \implies 3y - 4 = -2x - 4 \implies 2x + 3y = 0$ है।

(C) चरण $1$: प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ और $Q$ ज्ञात करें।
$L_1: y=x$ और $L_3: y=-2$ के लिए,$P = (-2, -2)$ प्राप्त होता है।
$L_2: y=-2x$ और $L_3: y=-2$ के लिए,$-2 = -2x \implies x=1$,अतः $Q = (1, -2)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: कोण समद्विभाजक प्रमेय का उपयोग करके $PR$ और $RQ$ की लंबाई ज्ञात करें।
दूरी $OP = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
दूरी $OQ = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$PR:RQ = OP:OQ = 2\sqrt{2}:\sqrt{5}$ है।
अतः,कथन-$I$ सत्य है।
चरण $3$: कथन-$II$ का मूल्यांकन करें।
कोण समद्विभाजक प्रमेय बताता है कि त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है। कथन-$II$ एक मानक ज्यामितीय प्रमेय है। अतः,कथन-$II$ सत्य है और यह कथन-$I$ की सही व्याख्या है।

(A) रेखा $x-y-2=0$ है,जिसका ढाल $m=1$ है,अतः $\theta = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$P(6,4)$ से $r=4$ दूरी पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक $(x \pm r \cos \theta, y \pm r \sin \theta)$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$A$ के लिए,$(\alpha, \beta) = (6 + 2\sqrt{2}, 4 + 2\sqrt{2})$ है।
$B$ के लिए,$(\gamma, \delta) = (6 - 2\sqrt{2}, 4 - 2\sqrt{2})$ है।
अब,$\alpha^2 + \beta^2 = 68 + 40\sqrt{2}$ और $\gamma^2 + \delta^2 = 68 - 40\sqrt{2}$ है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 = 136$।

(A) रेखा $L$ बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरती है और इसका झुकाव कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
$P$ से $r = 4$ दूरी पर स्थित बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक $(x_1 + r \cos \theta, y_1 + r \sin \theta)$ और $(x_1 - r \cos \theta, y_1 - r \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$A = (1 + 4 \cos 60^{\circ}, 2 + 4 \sin 60^{\circ}) = (3, 2 + 2\sqrt{3})$.
$B = (1 - 4 \cos 60^{\circ}, 2 - 4 \sin 60^{\circ}) = (-1, 2 - 2\sqrt{3})$.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |(3)(2 - 2\sqrt{3}) - (-1)(2 + 2\sqrt{3})| = \frac{1}{2} |8 - 4\sqrt{3}| = 4 - 2\sqrt{3}$.

(A) दी गई रेखा $x-2y+3=0$ है।
$X$-अंतःखंड $A$ ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखें: $x+3=0 \implies x=-3$. अतः,$A = (-3, 0)$.
$Y$-अंतःखंड $B$ ज्ञात करने के लिए,$x=0$ रखें: $-2y+3=0 \implies y=3/2$. अतः,$B = (0, 3/2)$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $ax+by+c=0$ पर लंब का पाद $M(x_1, y_1)$ ज्ञात करने का सूत्र $\frac{x_1}{a} = \frac{y_1}{b} = -\frac{c}{a^2+b^2}$ है।
यहाँ,$a=1, b=-2, c=3$.
$\frac{x_1}{1} = \frac{y_1}{-2} = -\frac{3}{1+4} = -\frac{3}{5}$.
अतः,$x_1 = -3/5$ और $y_1 = 6/5$. इस प्रकार,$M = (-3/5, 6/5)$.
अब,$A = (-3, 0)$ और $M = (-3/5, 6/5)$ के बीच की दूरी $AM$ ज्ञात करें:
$AM = \sqrt{(-3/5 + 3)^2 + (6/5 - 0)^2} = \sqrt{(12/5)^2 + (6/5)^2} = \sqrt{144/25 + 36/25} = \sqrt{180/25} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$.

(A) सबसे पहले,$L_2$ की रेखाओं $3x-y+2=0$ और $x-3y-2=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। हल करने पर,$x=-1, y=-1$ प्राप्त होता है। चूँकि $L_2$,$(0,0)$ और $(-1,-1)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $y=x$ या $x-y=0$ है।
इसके बाद,$L_1$ की रेखाओं $x-2y+3=0$ और $2x-y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। हल करने पर,$x=-1, y=-2$ प्राप्त होता है। चूँकि $L_1$,$L_2$ $(x-y=0)$ के समांतर है,इसका समीकरण $x-y+k=0$ है। $(-1,-2)$ रखने पर,$-1-(-2)+k=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=-1$ है। अतः,$L_1$ का समीकरण $x-y-1=0$ है।
समांतर रेखाओं $Ax+By+C_1=0$ और $Ax+By+C_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,$d = \frac{|-1-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए,$d_1 = \frac{|3(2) + 4(3) - 3|}{5} = 3$ है।
चूंकि दूरियाँ समान हैं,$d_2 = d_3 = 3$ होगा।
$(4, a)$ के लिए,$|4a + 9| = 15 \implies a = 1.5$ या $a = -6$ है।
$(\alpha, \beta)$ के लिए,$|3\alpha + 4\beta - 3| = 15$ है।
समीकरणों को हल करने पर,सभी संभावित मानों का योग $\frac{-79}{10}$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा $4x + 3y - 1 = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m = -4/3$ है।
माना रेखा पर बिंदु $(x, y)$ है। बिंदु $A(-2, 3)$ से $r = 10$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं के लिए प्राचलिक रूप: $x = x_0 + r cos \theta$ और $y = y_0 + r sin \theta$ है।
चूंकि ढाल $m = \tan \theta = -4/3$ है,इसलिए $\cos \theta = \pm 3/5$ और $\sin \theta = \mp 4/5$ प्राप्त होता है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए:
$x_1 = -2 + 10(3/5) = 4, y_1 = 3 + 10(-4/5) = -5$
$x_2 = -2 + 10(-3/5) = -8, y_2 = 3 + 10(4/5) = 11$
अब,$(x_1 + y_1)^2 + (x_2 + y_2)^2$ की गणना करने पर:
$(4 - 5)^2 + (-8 + 11)^2 = (-1)^2 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.

(A) रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब $(h, k)$ का सूत्र $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ है।
यहाँ रेखा $5x - 3y - 2 = 0$ और बिंदु $(2, -3)$ दिए गए हैं,इसलिए $a = 5, b = -3, c = -2, x_1 = 2, y_1 = -3$ है।
$ax_1 + by_1 + c = 5(2) - 3(-3) - 2 = 10 + 9 - 2 = 17$ है।
$a^2 + b^2 = 5^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{h - 2}{5} = \frac{k - (-3)}{-3} = -2 \frac{17}{34} = -1$ है।
अतः,$h - 2 = 5(-1) \implies h = -3$ है।
और $k + 3 = -3(-1) \implies k + 3 = 3 \implies k = 0$ है।
इसलिए,$h + k = -3 + 0 = -3$ है।

(D) रेखा $L$ की ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ है,जिसे $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की दूरी $5$ है,इसलिए $\frac{|\sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 5$।
$\frac{|\sqrt{3}c|}{2} = 5 \implies |\sqrt{3}c| = 10 \implies \sqrt{3}c = \pm 10$।
चूंकि $Y$-अंतःखंड $c$ ऋणात्मक है,हम $\sqrt{3}c = -10$ लेते हैं।
रेखा $L$ का समीकरण $x - \sqrt{3}y - 10 = 0$ है।
बिंदु $(1, -\sqrt{3})$ से रेखा $L$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1(1) - \sqrt{3}(-\sqrt{3}) - 10|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}}$ है।
$d = \frac{|1 + 3 - 10|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|-6|}{2} = 3$।

(B) माना बिंदु $P(x_1, y_1) = (2, -1)$ है और रेखा $ax + by + c = 0$ अर्थात $x - y + 1 = 0$ है।
बिंदु का प्रतिबिंब $P'(x', y')$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
मान रखने पर:
$\frac{x' - 2}{1} = \frac{y' - (-1)}{-1} = -2 \frac{1(2) - 1(-1) + 1}{1^2 + (-1)^2}$
$\frac{x' - 2}{1} = \frac{y' + 1}{-1} = -2 \frac{4}{2} = -4$
अतः,$x' - 2 = -4 \implies x' = -2$
और $y' + 1 = 4 \implies y' = 3$
अतः,प्रतिबिंब $(-2, 3)$ है।

(D) चरण $1$: पहले दो समीकरणों को हल करके संगामी बिंदु $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करें:
$x+y=2$ $(i)$
$3x-4y=-1$ (ii)
$(i)$ को $4$ से गुणा करने पर: $4x+4y=8$ (iii)
(ii) और (iii) को जोड़ने पर: $7x=7 \implies x=1$.
$x=1$ को $(i)$ में रखने पर: $1+y=2 \implies y=1$.
अतः,संगामी बिंदु $(1, 1)$ है।
चरण $2$: तीसरी रेखा $5x+ky-7=0$ के $(1, 1)$ से गुजरने का उपयोग करके $k$ ज्ञात करें:
$5(1)+k(1)-7=0 \implies 5+k-7=0 \implies k=2$.
चरण $3$: $(1, 1)$ से गुजरने वाली और $kx+y-k=0$ (अर्थात $2x+y-2=0$) के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात करें:
$2x+y-2=0$ की ढाल $m_1 = -2$ है।
अभीष्ट रेखा की ढाल $m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ होगी।
चरण $4$: बिंदु-ढाल रूप $y-y_1 = m_2(x-x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y-1 = \frac{1}{2}(x-1) \implies 2y-2 = x-1 \implies x-2y = -1$.

(B) मान लीजिए कि दो रेखाएँ $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ और $L_2: ax + by + c = 0$ हैं। समद्विभाजक $L_B: 2x + 3y + 1 = 0$ है।
चूंकि $L_B$ कोण का समद्विभाजक है,$L_B$ पर स्थित कोई भी बिंदु $(x, y)$,$L_1$ और $L_2$ से समान दूरी पर होता है।
दो रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच के कोण का समद्विभाजक $\frac{L_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{L_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ और $L_B: 2x + 3y + 1 = 0$ से,दूसरी रेखा $L_2$ का समीकरण $9x + 46y - 28 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना चर बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
बिंदु $P(x, y)$ की $A(2, -2)$ से दूरी $PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 2)^2}$ है।
बिंदु $P(x, y)$ की $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$PA = 2|x|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PA^2 = 4x^2$ प्राप्त होता है।
$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4x^2$।
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 = 4x^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $3x^2 - y^2 + 4x - 4y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है।
रेखा $2x - 3y + 1 = 0$ से $P$ की दूरी $\frac{|2x - 3y + 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = 2$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$|2x - 3y + 1| = 2\sqrt{13}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(2x - 3y + 1)^2 = 52$।
$4x^2 + 9y^2 + 1 - 12xy + 4x - 6y = 52$।
$4x^2 - 12xy + 9y^2 + 4x - 6y - 51 = 0$ (समीकरण $1$)।
बिंदु $(5, 6)$ से $P$ की दूरी $\sqrt{13}$ है,इसलिए $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 13$।
$x^2 + y^2 - 10x - 12y + 48 = 0$ (समीकरण $2$)।
इन समीकरणों को हल करने पर,बिंदुपथ $4x^2 + 12xy - 5y^2 - 44x - 42y + 243 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $Q$ के $(0, b)$ हैं।
चूंकि रेखा $(2, 3)$ से गुजरती है,रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि $(2, 3)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ है।
चूंकि $OPRQ$ एक आयत है जिसमें $O(0,0)$,$P(a,0)$,और $Q(0,b)$ हैं,इसलिए $R$ के निर्देशांक $(a, b)$ होंगे।
मान लीजिए $R = (x, y)$,तो $x = a$ और $y = b$ है।
समीकरण $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ में $a = x$ और $b = y$ रखने पर,हमें $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ प्राप्त होता है।
$xy$ से गुणा करने पर,$2y + 3x = xy$ या $3x + 2y = xy$ प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle PAB$ के लिए: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2x - y - 2|$.
$\triangle PAC$ के लिए: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x + y - 1|$.
चूंकि दोनों क्षेत्रफल बराबर हैं,इसलिए $|2x - y - 2| = |x + y - 1|$.
अतः $2x - y - 2 = x + y - 1$ या $2x - y - 2 = -(x + y - 1)$.
सरल करने पर,$(x - 2y - 1)(x - 1) = 0$,अर्थात $x^2 - 2xy - 2x + 2y + 1 = 0$।

(B) निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर स्थित बिंदु $(x, y)$ का बिंदुपथ $|x| = |y|$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $y = x$ या $y = -x$।
ये दोनों रेखाएँ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा $y = 3$,$y = x$ को $(3, 3)$ पर और $y = -x$ को $(-3, 3)$ पर काटती है।
ये तीन रेखाएँ $(0, 0)$,$(3, 3)$ और $(-3, 3)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज बनाती हैं।
इस त्रिभुज का आधार रेखा $y = 3$ पर स्थित है और इसकी लंबाई $(-3, 3)$ और $(3, 3)$ के बीच की दूरी है,जो $|3 - (-3)| = 6$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $y = 3$ तक की लंबवत दूरी है,जो $3$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ है।

(A) माना $\triangle APQ$ का केंद्रक $(h, k)$ है।
दिए गए शीर्ष $A(a, 0)$,$P(a \cos \theta, a \sin \theta)$,और $Q(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ हैं।
केंद्रक $(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{a + a \cos \theta + b \sin \theta}{3} \implies 3h - a = a \cos \theta + b \sin \theta$
$k = \frac{0 + a \sin \theta - b \cos \theta}{3} \implies 3k = a \sin \theta - b \cos \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h - a)^2 + (3k)^2 = (a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2$
$(3h - a)^2 + 9k^2 = a^2 + b^2$
$(h - \frac{a}{3})^2 + k^2 = \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{3}\right)^2$
अतः,बिंदु पथ $\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ केंद्र और $\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{3}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(B) $1$. $AB$ का मध्य बिंदु $M$ ज्ञात करें: $M = (\frac{4+2}{2}, \frac{3+5}{2}) = (3, 4)$.
$2$. $P(x, y)$ की $M(3, 4)$ से दूरी अधिकतम $5$ इकाई है: $(x-3)^2 + (y-4)^2 \leq 5^2$,जो $x^2 + y^2 - 6x - 8y \leq 0$ में सरल होता है।
$3$. रेखा $AB$ का समीकरण $x + y - 7 = 0$ है।
$4$. मूल बिंदु $(0, 0)$ के लिए $0 + 0 - 7 = -7 < 0$ है। अतः $P$ को $x + y - 7 < 0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$5$. इस प्रकार,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 6x - 8y \leq 0$ और $x + y - 7 < 0$ है।

(A) माना तीसरा शीर्ष $P(x, y)$ है।
चूँकि त्रिभुज $P$ पर समकोण है,इसलिए $\angle P = 90^{\circ}$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $P$ उस वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $(1, 2)$ और $(4, 5)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
व्यास के सिरों $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(1, 2)$ और $(4, 5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-1)(x-4) + (y-2)(y-5) = 0$
$x^2 - 5x + 4 + y^2 - 7y + 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 5x - 7y + 14 = 0$.

(D) माना रेखा $L$ का समीकरण $y - 5 = m(x - 1)$ है,जिसे $mx - y + (5 - m) = 0$ लिखा जा सकता है।
रेखा $L$ और $L_1: 5x - y - 4 = 0$ तथा $L_2: 3x + 4y - 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः $A$ और $B$ हैं।
चूंकि $(1, 5)$ बिंदु $AB$ का मध्य-बिंदु है,यदि $A = (x_1, y_1)$ है,तो $B = (2 - x_1, 10 - y_1)$ होगा।
बिंदु $A$,$5x - y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $5x_1 - y_1 - 4 = 0 \implies y_1 = 5x_1 - 4$।
बिंदु $B$,$3x + 4y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $3(2 - x_1) + 4(10 - y_1) - 4 = 0$।
$6 - 3x_1 + 40 - 4y_1 - 4 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 42$।
$y_1 = 5x_1 - 4$ को समीकरण में रखने पर: $3x_1 + 4(5x_1 - 4) = 42$।
$3x_1 + 20x_1 - 16 = 42 \implies 23x_1 = 58 \implies x_1 = \frac{58}{23}$।
तब $y_1 = 5(\frac{58}{23}) - 4 = \frac{290 - 92}{23} = \frac{198}{23}$।
बिंदु $(1, 5)$ और $(\frac{58}{23}, \frac{198}{23})$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{\frac{198}{23} - 5}{\frac{58}{23} - 1} = \frac{198 - 115}{58 - 23} = \frac{83}{35}$ है।
$L$ का समीकरण $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \implies 35y - 175 = 83x - 83$ है।
$83x - 35y + 92 = 0$।

(B) समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$,शीर्ष $(2,1)$ से रेखा $x+y-2=0$ की लंबवत दूरी है।
$h = \frac{|2+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूँकि $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$,इसलिए $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
अतः,$a \sqrt{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
आधार की ढाल $m = -1$ है। माना अन्य दो भुजाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
आधार और भुजाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है।
$\tan 60^\circ = |\frac{m_1 - (-1)}{1 + m_1(-1)}| = |\frac{m_1+1}{1-m_1}| = \sqrt{3}$ का उपयोग करने पर।
$\frac{m_1+1}{1-m_1} = \sqrt{3}$ को हल करने पर $m_1 = 2-\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{m_1+1}{1-m_1} = -\sqrt{3}$ को हल करने पर $m_2 = 2+\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $|m_1-m_2| = 2\sqrt{3}$.
अंत में,$|m_1-m_2| + a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.

(D) माना $f(x, y) = 5x - 6y + k$ है।
चूँकि $(2, 3)$ और $(-4, -4/3)$ विपरीत पक्षों पर हैं,$f(2, 3) \cdot f(-4, -4/3) < 0$।
$f(2, 3) = k - 8$ और $f(-4, -4/3) = k - 12$।
अतः,$(k - 8)(k - 12) < 0$,जिसका अर्थ है $8 < k < 12$।
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k \in \{9, 10, 11\}$।
बिंदु $(1, 2)$ और $(4, 5)$ एक ही पक्ष पर हैं,इसलिए $(k - 7)(k - 10) > 0$।
$k = 11$ के लिए यह शर्त सत्य है।
रेखा $5x - 6y + 11 = 0$ है।
मूल बिंदु से लंबवत दूरी $d = \frac{|11|}{\sqrt{5^2 + (-6)^2}} = \frac{11}{\sqrt{61}}$।

(B) सबसे पहले,रेखाओं $x-y+2=0$ और $2x+y+3=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x-y+2) + (2x+y+3) = 0 \implies 3x+5=0 \implies x = -\frac{5}{3}$. $x$ का मान $x-y+2=0$ में रखने पर: $-\frac{5}{3} - y + 2 = 0 \implies y = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$. संगामी बिंदु $P(-\frac{5}{3}, \frac{1}{3})$ है।
रेखा $L_1$ के लिए,ढाल $m_1 = 2$: $y - \frac{1}{3} = 2(x + \frac{5}{3}) \implies y = 2x + \frac{11}{3} \implies 2x - y + \frac{11}{3} = 0$. अंतःखंड $x = -\frac{11}{6}$ और $y = \frac{11}{3}$ हैं। निरपेक्ष मानों का योग: $|-\frac{11}{6}| + |\frac{11}{3}| = \frac{11}{6} + \frac{22}{6} = 5.5$.
रेखा $L_2$ के लिए,ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$: $y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}(x + \frac{5}{3}) \implies x + 2y + 1 = 0$. अंतःखंड $x = -1$ और $y = -\frac{1}{2}$ हैं। निरपेक्ष मानों का योग: $|-1| + |-\frac{1}{2}| = 1.5$.
कुल योग $5.5 + 1.5 = 7$ है।

(D) रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ अभिलंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 10$ दिया गया है।
अभिलंब ऋणात्मक $X$-अक्ष के साथ ऋणात्मक दिशा (घड़ी की दिशा) में $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है।
ऋणात्मक $X$-अक्ष $\pi$ कोण के अनुरूप है।
अतः $\alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर:
$x \cos(\frac{3\pi}{4}) + y \sin(\frac{3\pi}{4}) = 10$
$x(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + y(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 10$
$-x + y = 10\sqrt{2}$
$x - y + 10\sqrt{2} = 0$.

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$ है।
एक रेखा धनात्मक निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,जो कि रेखा $y=x$ (ढाल $m=1$) है।
चूंकि $y=x$ समीकरण का एक मूल है,हम $y=x$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$ax^2+2hx(x)+b(x^2)=0$
$ax^2+2hx^2+bx^2=0$
$(a+2h+b)x^2=0$
सभी $x$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होना चाहिए:
$a+2h+b=0$.

(C) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
एक रेखा धनात्मक निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,जो रेखा $y = x$ (ढाल $m = 1$) है।
चूंकि $y = x$ समघातीय समीकरण का एक मूल है,हम समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$ax^2 + 2hx(x) + bx^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
सभी $x$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होना चाहिए:
$a + 2h + b = 0$
अतः,$a + b = -2h$.

(B) दिया गया रेखा युग्म $2x^2 + xy - y^2 - x + 2y - 1 = 0$ है।
समघात भाग का गुणनखंड करने पर $2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$ प्राप्त होता है।
माना रेखाएँ $(2x - y + c_1)(x + y + c_2) = 0$ हैं।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें रेखाएँ $(2x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ प्राप्त होती हैं।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -1$ है।
$(1, 1)$ से गुजरने वाली और इनके लंबवत रेखाओं की ढाल $m_1' = -1/2$ और $m_2' = 1$ होगी।
इन रेखाओं के समीकरण $(y - 1) = -1/2(x - 1) \Rightarrow x + 2y - 3 = 0$ और $(y - 1) = 1(x - 1) \Rightarrow x - y = 0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(x + 2y - 3)(x - y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 3y = 0$ से करने पर,$a = 1, 2h = 1, b = -2, 2g = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{-2}{1} = -2$.

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है यदि सारणिक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर:
$a = 2, b = -2, c = -3, h = \frac{3}{2}, g = -\frac{5}{2}, f_{given} = \frac{f}{2}$.
शर्त $\Delta = 0$ में मान रखने पर:
$12 - \frac{15f}{4} - \frac{f^2}{2} + \frac{25}{2} + \frac{27}{4} = 0$
$2f^2 + 15f - 125 = 0$
$(f - 5)(2f + 25) = 0$
अतः,$f = 5$ या $f = -\frac{25}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समाकलन $I = \int \tan \frac{x}{2} \tan \frac{x}{3} \tan \frac{x}{6} dx$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\frac{x}{2} = \frac{x}{3} + \frac{x}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\tan \frac{x}{2} = \tan \left( \frac{x}{3} + \frac{x}{6} \right) = \frac{\tan \frac{x}{3} + \tan \frac{x}{6}}{1 - \tan \frac{x}{3} \tan \frac{x}{6}}$.
इसका अर्थ है $\tan \frac{x}{2} (1 - \tan \frac{x}{3} \tan \frac{x}{6}) = \tan \frac{x}{3} + \tan \frac{x}{6}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\tan \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2} \tan \frac{x}{3} \tan \frac{x}{6} = \tan \frac{x}{3} + \tan \frac{x}{6}$.
अतः,$\tan \frac{x}{2} \tan \frac{x}{3} \tan \frac{x}{6} = \tan \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{3} - \tan \frac{x}{6}$.
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = \int (\tan \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{3} - \tan \frac{x}{6}) dx$.
$\tan(ax)$ का समाकलन $-\frac{1}{a} \log |\cos(ax)|$ होता है।
$I = -2 \log |\cos \frac{x}{2}| + 3 \log |\cos \frac{x}{3}| + 6 \log |\cos \frac{x}{6}| + k$.
$A \log |\cos \frac{x}{2}| + B \log |\cos \frac{x}{3}| + C \log |\cos \frac{x}{6}| + k$ से तुलना करने पर,हमें $A = -2$,$B = 3$,$C = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B + C = -2 + 3 + 6 = 7$.

(D) माना $I = \int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} d x$.
प्रतिस्थापन $u = \sin x - \cos x$ लें।
तब,$du = (\cos x - (-\sin x)) dx = (\cos x + \sin x) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{u} du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \log |u| + c$.
$u = \sin x - \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \log |\sin x - \cos x| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{x^4-1}{x^2 \sqrt{x^4+x^2+1}} \, dx$.
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{x^2 - \frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}} \, dx$.
माना $t = x + \frac{1}{x}$. तब $dt = (1 - \frac{1}{x^2}) \, dx$.
यहाँ $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$,इसलिए $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 2 + 1}} = \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}$.
विकल्पों को देखते हुए,हम $f(x) = \frac{\sqrt{x^4+x^2+1}}{x}$ का अवकलन करते हैं।
$f(x) = \sqrt{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}} \cdot (2x - \frac{2}{x^3}) = \frac{x^4-1}{x^2 \sqrt{x^4+x^2+1}}$.
अतः,समाकलन $\frac{\sqrt{x^4+x^2+1}}{x} + c$ है।

(D) माना $I = \int \frac{(3 x-2) \tan \left(\sqrt{9 x^2-12 x+1}\right)}{\sqrt{9 x^2-12 x+1}} d x$.
माना $u = \sqrt{9 x^2-12 x+1}$.
तब $u^2 = 9 x^2-12 x+1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2u \frac{du}{dx} = 18x - 12 = 6(3x - 2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$u \frac{du}{dx} = 3(3x - 2)$,जिसका अर्थ है कि $(3x - 2) dx = \frac{1}{3} u du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{\tan(u)}{u} \cdot \frac{1}{3} u du = \frac{1}{3} \int \tan(u) du$ प्राप्त होता है।
$\tan(u)$ का समाकलन $\log |\sec(u)| + c$ होता है।
इसलिए,$I = \frac{1}{3} \log |\sec(\sqrt{9 x^2-12 x+1})| + c$.

(D) हम जानते हैं कि घातांकीय फलन के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $e^u = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{u^r}{r!}$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी में $u = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(2x)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 2^r}{r!} = e^{2x}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें समाकलन $\int e^{2x} dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन सूत्र $\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2$ है,हमें $\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + c$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{12 \cos x + 5 \sin x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर को $R \cos(x - \alpha)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
मान लीजिए $12 \cos x + 5 \sin x = R \cos(x - \alpha) = R \cos x \cos \alpha + R \sin x \sin \alpha$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$R \cos \alpha = 12$ और $R \sin \alpha = 5$ प्राप्त होता है।
वर्ग करके जोड़ने पर,$R^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$,इसलिए $R = 13$ है।
साथ ही,$\tan \alpha = \frac{5}{12}$,जिसका अर्थ है $\alpha = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{5}{12}$।
अतः,$I = \int \frac{dx}{13 \cos(x - \alpha)} = \frac{1}{13} \int \sec(x - \alpha) dx$ है।
$\sec \theta$ का समाकलन $\log |\tan(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})|$ होता है।
इसलिए,$I = \frac{1}{13} \log \left| \tan \left( \frac{x - \alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + c$ है।
$\alpha = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{5}{12}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{13} \log \left| \tan \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1} \frac{5}{12} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\cos ^3 x}{\sin ^2 x+\sin ^4 x} d x$.
$u = \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \cos x dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x+\sin ^4 x} \cos x dx = \int \frac{1-u^2}{u^2+u^4} du$ हो जाता है।
$I = \int \frac{1-u^2}{u^2(1+u^2)} du$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{1-u^2}{u^2(1+u^2)} = \frac{1}{u^2} - \frac{2}{1+u^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int (u^{-2} - 2(1+u^2)^{-1}) du = -u^{-1} - 2 \tan^{-1}(u) + c$.
$u = \sin x$ वापस रखने पर,$I = -\frac{1}{\sin x} - 2 \tan^{-1}(\sin x) + c = c - \operatorname{cosec} x - 2 \tan^{-1}(\sin x)$.
दिए गए रूप $c - \operatorname{cosec} x - f(x)$ से तुलना करने पर,$f(x) = 2 \tan^{-1}(\sin x)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \tan^{-1}(\sin \frac{\pi}{2}) = 2 \tan^{-1}(1) = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(A) माना $I = \int \frac{13 \cos 2 x-9 \sin 2 x}{3 \cos 2 x-4 \sin 2 x} d x$.
अंश को $A(\text{हर}) + B(\frac{d}{dx}(\text{हर}))$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$13 \cos 2 x-9 \sin 2 x = A(3 \cos 2 x-4 \sin 2 x) + B(-6 \sin 2 x-8 \cos 2 x)$.
$\cos 2 x$ और $\sin 2 x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$3A - 8B = 13$ और $-4A - 6B = -9$.
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले को $3$ से और दूसरे को $4$ से गुणा करने पर: $9A - 24B = 39$ और $-16A - 24B = -36$.
घटाने पर $25A = 75$,अतः $A = 3$.
$A=3$ को $3(3) - 8B = 13$ में रखने पर,$9 - 8B = 13 \implies -8B = 4 \implies B = -\frac{1}{2}$.
अतः,$I = \int \frac{3(3 \cos 2 x-4 \sin 2 x) - \frac{1}{2}(-6 \sin 2 x-8 \cos 2 x)}{3 \cos 2 x-4 \sin 2 x} d x$.
$I = \int 3 d x - \frac{1}{2} \int \frac{-6 \sin 2 x-8 \cos 2 x}{3 \cos 2 x-4 \sin 2 x} d x$.
$I = 3x - \frac{1}{2} \log |3 \cos 2 x-4 \sin 2 x| + c$.

(A) $\int \sqrt{x^2+x+1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2+x+1 = (x^2+x+\frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = (x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
मान लीजिए $u = x+\frac{1}{2}$,तो $du = dx$.
समाकलन $\int \sqrt{u^2 + a^2} \, du$ हो जाता है,जहाँ $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
मानक सूत्र $\int \sqrt{u^2+a^2} \, du = \frac{u}{2}\sqrt{u^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|u+\sqrt{u^2+a^2}| + c$ का उपयोग करते हुए।
$u = x+\frac{1}{2}$ और $a^2 = \frac{3}{4}$ वापस रखने पर:
$= \frac{x+1/2}{2}\sqrt{x^2+x+1} + \frac{3/4}{2}\ln|x+\frac{1}{2} + \sqrt{x^2+x+1}| + c$.
$= \frac{2x+1}{4}\sqrt{x^2+x+1} + \frac{3}{8}\sinh^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{x^4-16 x^2+2 x+8}{x^3-4 x^2+2} d x$ को हल करने के लिए,हम बहुपद विभाजन का उपयोग करते हैं।
$x^4-16 x^2+2 x+8$ को $x^3-4 x^2+2$ से विभाजित करने पर:
$x^4-16 x^2+2 x+8 = (x+4)(x^3-4 x^2+2) + (0x^2 + 0x + 0)$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल $0$ है,व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$I = \int (x+4) d x$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{x^2}{2} + 4x + C = \frac{x^2+8x}{2} + C$।

(NONE) माना $I = \int \frac{\sec^2 x}{(\sec x + \tan x)^{5/2}} dx$.
हम जानते हैं कि $\sec x + \tan x = t$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $(\sec x \tan x + \sec^2 x) dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sec x(\tan x + \sec x) dx = dt$.
अतः,$\sec x dx = \frac{dt}{t}$.
साथ ही,$\sec x - \tan x = \frac{1}{t}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sec x = t + \frac{1}{t} = \frac{t^2+1}{t}$,इसलिए $\sec x = \frac{t^2+1}{2t}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\sec x \cdot \sec x dx}{t^{5/2}} = \int \frac{(\frac{t^2+1}{2t}) \cdot \frac{dt}{t}}{t^{5/2}} = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^{7/2}} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int (t^{-3/2} + t^{-7/2}) dt$.
समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{1}{2} [\frac{t^{-1/2}}{-1/2} + \frac{t^{-5/2}}{-5/2}] + c = -t^{-1/2} - \frac{1}{5} t^{-5/2} + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sec x + \tan x$ रखने पर,हमें $I = -(\sec x + \tan x)^{-1/2} - \frac{1}{5}(\sec x + \tan x)^{-5/2} + c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{1}{\cos x} \left[ \frac{\sin x + 3 \cos x - \sin x}{\sin x(\sin x + 3 \cos x)} \right] dx$
$= \int \frac{1}{\cos x} \left[ \frac{3 \cos x}{\sin x(\sin x + 3 \cos x)} \right] dx$
$= \int \frac{3}{\sin x(\sin x + 3 \cos x)} dx$
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$= \int \frac{3 \sec^2 x}{\tan x(\tan x + 3)} dx$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$.
$I = \int \frac{3}{u(u + 3)} du$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{3}{u(u + 3)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u + 3} \implies 3 = A(u + 3) + Bu$.
$u = 0$ के लिए,$A = 1$. $u = -3$ के लिए,$B = -1$.
$I = \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 3} \right) du = \log |u| - \log |u + 3| + c$
$= \log \left| \frac{u}{u + 3} \right| + c = \log \left| \frac{\tan x}{\tan x + 3} \right| + c$
$= \log \left| \frac{\sin x / \cos x}{(\sin x + 3 \cos x) / \cos x} \right| + c = \log \left| \frac{\sin x}{\sin x + 3 \cos x} \right| + c$.

(A) माना $x = \tan \theta$,तो $dx = \sec^2 \theta d\theta$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \operatorname{Cos}^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right) \sec^2 \theta d\theta = \int \operatorname{Cos}^{-1}(\cos 2\theta) \sec^2 \theta d\theta = \int 2\theta \sec^2 \theta d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = 2\theta$ और $dv = \sec^2 \theta d\theta$ लें।
तब $du = 2 d\theta$ और $v = \tan \theta$.
$\int 2\theta \sec^2 \theta d\theta = 2\theta \tan \theta - \int 2 \tan \theta d\theta$.
$= 2\theta \tan \theta - 2 \ln|\sec \theta| + c$.
चूंकि $x = \tan \theta$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} x$ और $\sec \theta = \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sqrt{1+x^2}$.
मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \tan^{-1} x - 2 \ln(\sqrt{1+x^2}) + c = 2x \tan^{-1} x - \ln(1+x^2) + c$.
इसे $2[x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)] + c = 2[x \tan^{-1} x - \ln \sqrt{1+x^2}] + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) माना $I = \int \frac{\sec ^2 x}{\sin ^7 x} d x - \int \frac{7}{\sin ^7 x} d x = \int \frac{1}{\cos ^2 x \sin ^7 x} d x - \int \frac{7}{\sin ^7 x} d x$.
$f(x) = \frac{\tan x}{\sin ^6 x}$ का अवकलन करने पर,भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{\tan x}{\sin ^6 x} \right) = \frac{\sec^2 x \cdot \sin^6 x - \tan x \cdot 6 \sin^5 x \cos x}{\sin^{12} x}$.
$= \frac{\frac{1}{\cos^2 x} \sin^6 x - 6 \frac{\sin x}{\cos x} \sin^5 x \cos x}{\sin^{12} x} = \frac{\frac{\sin^6 x}{\cos^2 x} - 6 \sin^6 x}{\sin^{12} x} = \frac{1}{\cos^2 x \sin^6 x} - \frac{6}{\sin^6 x}$.
अतः,समाकलन का हल $\frac{\tan x}{\sin^6 x} + c$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{1}{\sin^5 x \cos x} + c$ के रूप में लिखा जा सकता है। विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $I = \int (x^6+x^4+x^2) \sqrt{2x^4+3x^2+6} dx$.
इस समाकलन के लिए,हल $f(x) = \frac{1}{12} (2x^4+3x^2+6)^{3/2}$ के रूप में प्राप्त होता है।
$x=3$ पर मान रखने पर: $f(3) = \frac{1}{12} (2(81)+3(9)+6)^{3/2} = \frac{1}{12} (162+27+6)^{3/2} = \frac{1}{12} (195)^{3/2}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $B$ है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x+1) \sqrt{x^2+1}}$.
$x+1 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
अतः $x = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t}$.
अब $x^2+1 = \left(\frac{1-t}{t}\right)^2 + 1 = \frac{2t^2-2t+1}{t^2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-dt/t^2}{(1/t) \sqrt{(2t^2-2t+1)/t^2}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{2t^2-2t+1}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t-1/2)^2 + 1/4}}$.
सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \operatorname{Sinh}^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{t-1/2}{1/2}\right) + c = -\frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{Sinh}^{-1}(2t-1) + c$.
चूंकि $t = \frac{1}{x+1}$,इसलिए $2t-1 = \frac{1-x}{x+1}$.
अतः,$I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) + c$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{2 \cos x + 3 \sin x + 4}$.
Weierstrass प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए,$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ लें,तो $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$,और $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{2\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) + 3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 4} = \int \frac{2 dt}{2 - 2t^2 + 6t + 4 + 4t^2} = \int \frac{2 dt}{2t^2 + 6t + 6} = \int \frac{dt}{t^2 + 3t + 3}$.
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $t^2 + 3t + 3 = \left(t + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$.
अतः,$I = \int \frac{dt}{\left(t + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t + 3/2}{\sqrt{3}/2}\right) + c = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2t+3}{\sqrt{3}}\right) + c$.
इसे दिए गए रूप $\frac{2}{\sqrt{3}} f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2 \tan(x/2) + 3}{\sqrt{3}}\right)$ प्राप्त होता है।
अब,$f\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2 \tan(\pi/3) + 3}{\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}(2 + \sqrt{3})$.
चूंकि $\tan(75^\circ) = \tan\left(\frac{5 \pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3}$,इसलिए $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = \frac{5 \pi}{12}$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{\left((x+4)^3(x+1)^5\right)^{1 / 4}} d x$ है।
समाकल्य को इस प्रकार पुनः लिखें: $I = \int \frac{1}{\left((x+4)^3(x+1)^3(x+1)^2\right)^{1 / 4}} d x = \int \frac{1}{\left((x+4)(x+1)\right)^{3/4} (x+1)^{2/4}} d x$.
यह सरल होकर $I = \int \frac{1}{\left(\frac{x+4}{x+1}\right)^{3/4} (x+1)^2} d x$ हो जाता है।
माना $t = \frac{x+4}{x+1}$. तब $dt = \frac{(x+1)(1) - (x+4)(1)}{(x+1)^2} dx = \frac{-3}{(x+1)^2} dx$.
अतः,$\frac{dx}{(x+1)^2} = -\frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int t^{-3/4} \left(-\frac{1}{3}\right) dt = -\frac{1}{3} \frac{t^{1/4}}{1/4} + c = -\frac{4}{3} \left(\frac{x+4}{x+1}\right)^{1/4} + c$.
इसकी तुलना $A \cdot \left(\frac{x+4}{x+1}\right)^n + c$ से करने पर,हमें $A = -\frac{4}{3}$ और $n = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $n + \frac{1}{A} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-4/3} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) \, dx = \int \left( \sqrt{\tan x} + \frac{1}{\sqrt{\tan x}} \right) \, dx = \int \frac{\tan x + 1}{\sqrt{\tan x}} \, dx$.
$\sqrt{\tan x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\tan x = t^2$ और $\sec^2 x \, dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + t^4$,इसलिए $dx = \frac{2t}{1 + t^4} \, dt$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{t^2 + 1}{t} \cdot \frac{2t}{1 + t^4} \, dt = 2 \int \frac{t^2 + 1}{t^4 + 1} \, dt$.
अंश और हर को $t^2$ से विभाजित करने पर: $I = 2 \int \frac{1 + 1/t^2}{t^2 + 1/t^2} \, dt = 2 \int \frac{1 + 1/t^2}{(t - 1/t)^2 + 2} \, dt$.
माना $u = t - 1/t$,तो $du = (1 + 1/t^2) \, dt$.
$I = 2 \int \frac{du}{u^2 + (\sqrt{2})^2} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) + c = \sqrt{2} \tan^{-1} \left( \frac{t - 1/t}{\sqrt{2}} \right) + c$.
$t = \sqrt{\tan x}$ रखने पर: $I = \sqrt{2} \tan^{-1} \left( \frac{\tan x - 1}{\sqrt{2 \tan x}} \right) + c$.

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{x-2}}{2x+4} dx$.
$t = \sqrt{x-2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = x-2$,इसलिए $x = t^2+2$ और $dx = 2t dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{t}{2(t^2+2)+4} (2t dt) = \int \frac{2t^2}{2t^2+8} dt = \int \frac{t^2}{t^2+4} dt$.
अब,समाकल्य को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{t^2+4-4}{t^2+4} dt = \int \left(1 - \frac{4}{t^2+4}\right) dt$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int 1 dt - 4 \int \frac{1}{t^2+2^2} dt = t - 4 \left(\frac{1}{2} \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right) + c$.
$I = t - 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) + c$.
$t = \sqrt{x-2}$ वापस रखने पर:
$I = \sqrt{x-2} - 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{x-2}}{2}\right) + c$.

(A) माना $I = \int x^{49} \left[ \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + \frac{x^{50}}{1 + x^{100}} \right] dx$ है।
$u = x^{50}$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 50x^{49} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{49} dx = \frac{du}{50}$।
समाकलन $I = \frac{1}{50} \int \left( \operatorname{Tan}^{-1} u + \frac{u}{1 + u^2} \right) du$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \operatorname{Tan}^{-1} u \, du = u \operatorname{Tan}^{-1} u - \int \frac{u}{1 + u^2} du$।
यह मान रखने पर,$I = \frac{1}{50} \left( u \operatorname{Tan}^{-1} u - \int \frac{u}{1 + u^2} du + \int \frac{u}{1 + u^2} du \right) = \frac{u \operatorname{Tan}^{-1} u}{50} + c$।
$u = x^{50}$ वापस रखने पर,$I = \frac{x^{50}}{50} \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + c$।
इसकी तुलना $\frac{x^n}{k} f(x) + c$ से करने पर,$n = 50$,$k = 50$,और $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1} x^{50}$ प्राप्त होता है।
अतः $f\left(\sqrt[k]{x^n}\right) = f\left(\sqrt[50]{x^{50}}\right) = f(x) = \operatorname{Tan}^{-1} x^{50}$।
इस प्रकार,$f(x) - f\left(\sqrt[k]{x^n}\right) = \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} - \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} = 0$।

(A) माना $I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-2x+5}} dx$ है।
अंश को $x = \frac{1}{2}(2x-2) + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-2)+1}{\sqrt{x^2-2x+5}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{\sqrt{x^2-2x+5}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+2^2}} dx$।
पहले समाकलन के लिए,$u = x^2-2x+5$ लें,तो $du = (2x-2) dx$ होगा।
$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = \sqrt{x^2-2x+5}$।
दूसरे समाकलन के लिए,सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{t^2+a^2}} dt = \ln|t+\sqrt{t^2+a^2}|$ का उपयोग करें।
यहाँ $t = x-1$ और $a = 2$ है,इसलिए $\int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+2^2}} dx = \ln|x-1+\sqrt{(x-1)^2+4}| = \ln|x-1+\sqrt{x^2-2x+5}|$।
इन दोनों को जोड़ने पर,$I = \sqrt{x^2-2x+5} + \ln|x-1+\sqrt{x^2-2x+5}| + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $\int \frac{x^4+1}{x^2+1} dx$ को हल करने के लिए,हम बहुपद विभाजन या बीजगणितीय हेरफेर करते हैं।
हम $x^4+1$ को $(x^4-1) + 2 = (x^2-1)(x^2+1) + 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\frac{x^4+1}{x^2+1} = \frac{(x^2-1)(x^2+1) + 2}{x^2+1} = x^2 - 1 + \frac{2}{x^2+1}$।
अब,प्रत्येक पद का $x$ के सापेक्ष समाकलन करें:
$\int (x^2 - 1 + \frac{2}{x^2+1}) dx = \int x^2 dx - \int 1 dx + 2 \int \frac{1}{x^2+1} dx$।
$= \frac{x^3}{3} - x + 2 \tan^{-1} x + E$।
इसकी तुलना $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \tan^{-1} x + E$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \frac{1}{3}$,$B = 0$,$C = -1$,$D = 2$।
इसलिए,$A+B+C+D = \frac{1}{3} + 0 - 1 + 2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x^2-x+2}{x^2+x+2} dx$ है।
सबसे पहले,अंश को फिर से लिखें: $x^2-x+2 = (x^2+x+2) - 2x$.
अतः,$I = \int \left( 1 - \frac{2x}{x^2+x+2} \right) dx = x - \int \frac{2x}{x^2+x+2} dx$.
$\int \frac{2x}{x^2+x+2} dx$ का समाकलन करने के लिए,$2x = (2x+1) - 1$ लिखें।
तब $\int \frac{2x+1-1}{x^2+x+2} dx = \int \frac{2x+1}{x^2+x+2} dx - \int \frac{1}{(x+1/2)^2 + 7/4} dx$.
इससे $\log(x^2+x+2) - \frac{1}{\sqrt{7}/2} \operatorname{Tan}^{-1}(\frac{x+1/2}{\sqrt{7}/2}) = \log(x^2+x+2) - \frac{2}{\sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{7}})$ प्राप्त होता है।
वापस प्रतिस्थापित करने पर,$I = x - \log(x^2+x+2) + \frac{2}{\sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}) + c$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$f(x) = x^2+x+2$ और $g(x) = \frac{2x+1}{\sqrt{7}}$.
तब $f(-1) = (-1)^2 - 1 + 2 = 2$ और $g(-1) = \frac{2(-1)+1}{\sqrt{7}} = -\frac{1}{\sqrt{7}}$.
इस प्रकार,$f(-1) + \sqrt{7} g(-1) = 2 + \sqrt{7}(-\frac{1}{\sqrt{7}}) = 2 - 1 = 1$.

(B) माना $I = \int \sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x$.
$\sin \left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right) - \left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ से गुणा और भाग करने पर।
अतः,$I = \int \frac{\sin \left(\left(x+\frac{\pi}{6}\right) - \left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) - \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x$.
$I = \int \left( \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} - \frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)} \right) d x$.
$I = \int \tan \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x - \int \tan \left(x-\frac{\pi}{3}\right) d x$.
$I = \log \left| \sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right| - \log \left| \sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \right| + c$.
$I = \log \left| \frac{\sec \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sec \left(x-\frac{\pi}{3}\right)} \right| + c$.
नोट: $\sec \theta = 1/\cos \theta$ का उपयोग करने पर,यह $\log \left| \frac{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right| + c$ हो जाता है,जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(B) माना $I = \int \frac{a \cos x+3 \sin x}{5 \cos x+2 \sin x} d x$.
हम अंश को $A(\text{हर}) + B(\frac{d}{dx}(\text{हर}))$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$a \cos x + 3 \sin x = A(5 \cos x + 2 \sin x) + B(-5 \sin x + 2 \cos x)$.
$\cos x$ और $\sin x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$5A + 2B = a$
$2A - 5B = 3$
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर:
पहले समीकरण को $5$ से और दूसरे को $2$ से गुणा करने पर: $25A + 10B = 5a$ और $4A - 10B = 6$.
जोड़ने पर $29A = 5a + 6$,अतः $A = \frac{5a+6}{29}$.
$2A - 5B = 3$ से,$5B = 2A - 3 = 2(\frac{5a+6}{29}) - 3 = \frac{10a+12-87}{29} = \frac{10a-75}{29}$,अतः $B = \frac{10a-75}{145}$.
दिए गए समाकलन $\int (A + B \frac{-5 \sin x + 2 \cos x}{5 \cos x + 2 \sin x}) dx = Ax + B \log |5 \cos x + 2 \sin x| + c$ के साथ तुलना करने पर।
दिया है $A = \frac{26}{29}$,अतः $\frac{5a+6}{29} = \frac{26}{29} \implies 5a = 20 \implies a = 4$.
दिया है $B = -\frac{k}{29}$,अतः $B = -\frac{k}{29} = \frac{10(4)-75}{145} = \frac{-35}{145} = -\frac{7}{29}$.
अतः,$k = 7$.
अंत में,$|a+k| = |4+7| = 11$.

(A) हमारे पास $I = \int \frac{dx}{1-\sin^4 x} = \int \frac{dx}{(1-\sin^2 x)(1+\sin^2 x)} = \int \frac{dx}{\cos^2 x (1+\sin^2 x)}$ है।
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें $I = \int \frac{\sec^2 x dx}{1+\tan^2 x + \tan^2 x} = \int \frac{\sec^2 x dx}{1+2\tan^2 x}$ प्राप्त होता है।
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$। समाकलन $I = \int \frac{du}{1+2u^2} = \int \frac{du}{1+(\sqrt{2}u)^2}$ बन जाता है।
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2}u) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2} \tan x) + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $A \tan x + B \tan^{-1}(\sqrt{2} \tan x) + C$ से करने पर,$A = 0$ और $B = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A^2 - B^2 = 0^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$।

(C) माना $I = \int \frac{x+1}{(x-2) \sqrt{1-x}} d x$ है।
$1-x = t^2$ रखने पर,इसलिए $x = 1-t^2$ और $dx = -2t dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(1-t^2)+1}{(1-t^2-2) \cdot t} (-2t) dt$
$I = \int \frac{2-t^2}{(-1-t^2) \cdot t} (-2t) dt$
$I = \int \frac{2-t^2}{-(1+t^2)} (-2) dt = 2 \int \frac{2-t^2}{1+t^2} dt$
$I = 2 \int \frac{3-(1+t^2)}{1+t^2} dt = 2 \int \left( \frac{3}{1+t^2} - 1 \right) dt$
$I = 6 \int \frac{1}{1+t^2} dt - 2 \int 1 dt$
$I = 6 \operatorname{Tan}^{-1}(t) - 2t + c$
$t = \sqrt{1-x}$ वापस रखने पर:
$I = 6 \operatorname{Tan}^{-1}(\sqrt{1-x}) - 2\sqrt{1-x} + c$।

(C) समाकल $I = \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2+x+1 = (x^2+x+\frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = (x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
इस मान को समाकल में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \, dx$.
मानक समाकल सूत्र $\int \frac{1}{u^2+a^2} \, du = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x+\frac{1}{2}$ और $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$I = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + c$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + c$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{(x \tan x + 1)^2}$ है।
अंश और हर को $\cos^2 x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\cos^2 x}{(\cos x + x \sin x)^2} dx$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{x \cos x}{\cos x + x \sin x}$ है।
जब $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,तब $f(x) = \frac{x \cos x}{\cos x + x \sin x} = \frac{x}{1 + x \tan x}$ होगा।
अतः,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{x}{1 + x \tan x} = 0$।

(A) माना $I = \int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ है।
हम $\sin^3 x$ को $\sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \sin x \, dx$।
माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \, dx$,या $\sin x \, dx = -du$।
समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1 - u^2) u^2 (-du) = \int (u^4 - u^2) \, du$।
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + c$।
$u = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + c$।
चूंकि दिए गए विकल्प $\sin x$ और $\cos x$ के रूप में हैं,विकल्प $A$ का अवकलन करने पर हमें मूल फलन प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) माना $I = \int \frac{5 \tan x}{\tan x-2} dx = \int \frac{5 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} dx$.
अंश को $5 \sin x = A(\sin x - 2 \cos x) + B \frac{d}{dx}(\sin x - 2 \cos x)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$5 \sin x = A(\sin x - 2 \cos x) + B(\cos x + 2 \sin x)$.
$5 \sin x = (A + 2B) \sin x + (B - 2A) \cos x$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + 2B = 5$ और $B - 2A = 0 \implies B = 2A$.
$B = 2A$ को पहले समीकरण में रखने पर: $A + 2(2A) = 5 \implies 5A = 5 \implies A = 1$.
अतः $B = 2(1) = 2$.
इस प्रकार,$I = \int \frac{1(\sin x - 2 \cos x) + 2(\cos x + 2 \sin x)}{\sin x - 2 \cos x} dx$.
$I = \int 1 dx + 2 \int \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} dx$.
$I = x + 2 \log |\sin x - 2 \cos x| + c$.
$ax + b \log |\sin x - 2 \cos x| + c$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = 1 + 2 = 3$.

(A) माना $I = \int x \operatorname{Cos}^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) dx$.
$x = \operatorname{Tan} \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \operatorname{Sec}^2 \theta d\theta$.
चूंकि $x > 0$,$\theta \in (0, \pi/2)$.
व्यंजक $\operatorname{Cos}^{-1}\left(\frac{1-\operatorname{Tan}^2 \theta}{1+\operatorname{Tan}^2 \theta}\right) = \operatorname{Cos}^{-1}(\operatorname{Cos} 2\theta) = 2\theta$ हो जाता है।
अतः,$I = \int \operatorname{Tan} \theta (2\theta) \operatorname{Sec}^2 \theta d\theta = 2 \int \theta \operatorname{Tan} \theta \operatorname{Sec}^2 \theta d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \theta$ और $dv = \operatorname{Tan} \theta \operatorname{Sec}^2 \theta d\theta$ लें।
तब $du = d\theta$ और $v = \frac{\operatorname{Tan}^2 \theta}{2}$.
$I = 2 \left[ \theta \cdot \frac{\operatorname{Tan}^2 \theta}{2} - \int \frac{\operatorname{Tan}^2 \theta}{2} d\theta \right] = \theta \operatorname{Tan}^2 \theta - \int (\operatorname{Sec}^2 \theta - 1) d\theta$.
$I = \theta \operatorname{Tan}^2 \theta - \operatorname{Tan} \theta + \theta + c = \theta (1 + \operatorname{Tan}^2 \theta) - \operatorname{Tan} \theta + c$.
$\theta = \operatorname{Tan}^{-1} x$ और $\operatorname{Tan} \theta = x$ वापस रखने पर:
$I = (1+x^2) \operatorname{Tan}^{-1} x - x + c$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$,अतः $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2dt$.
समाकलन $I = \int \frac{2dt}{(1+t) \sqrt{1-t^2}}$ हो जाता है।
आगे,$t = \sin \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = \cos \theta d\theta$.
$I = \int \frac{2 \cos \theta d\theta}{(1+\sin \theta) \sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \int \frac{2 \cos \theta d\theta}{(1+\sin \theta) \cos \theta} = 2 \int \frac{d\theta}{1+\sin \theta}$.
$1+\sin \theta = 1+\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर,$I = \int \sec^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) d\theta$.
समाकलन करने पर,$I = -2 \tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}) + c = -2 \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} + c$.

(D) माना $I = \int \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a+x}}\right) dx$.
$x = a \tan^2 \theta$ रखने पर,$dx = 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $\sqrt{\frac{x}{a+x}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a(1 + \tan^2 \theta)}} = \sin \theta$.
इसलिए,$I = \int \theta (2a \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta = 2a \int \theta \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$u = \theta$ और $dv = \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ लें।
तब $du = d\theta$ और $v = \frac{\tan^2 \theta}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = 2a \left[ \theta \frac{\tan^2 \theta}{2} - \int \frac{\tan^2 \theta}{2} d\theta \right] = a \theta \tan^2 \theta - a \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$.
$I = a \theta \tan^2 \theta - a(\tan \theta - \theta) + c = a \theta (\tan^2 \theta + 1) - a \tan \theta + c$.
चूंकि $\tan^2 \theta = \frac{x}{a}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ है।
$I = a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} (\frac{x}{a} + 1) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + c = (x+a) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + c$.

(C) माना $I = \int \frac{x}{x \tan x + 1} \, dx = \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} \, dx$.
माना $u = x \sin x + \cos x$.
तब $du = (\sin x + x \cos x - \sin x) \, dx = x \cos x \, dx$.
अतः,$I = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + k = \log |x \sin x + \cos x| + k$.
इसकी तुलना $\log f(x) + k$ से करने पर,हमें $f(x) = |x \sin x + \cos x|$ प्राप्त होता है।
अब,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = |\frac{\pi}{4} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)|$ का मान ज्ञात करें।
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = |\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}| = |\frac{\pi + 4}{4 \sqrt{2}}| = \frac{\pi + 4}{4 \sqrt{2}}$.

(C) माना $I = \int(3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}) dt$ है।
हम अवकलन का उपयोग करते हैं:
माना $f(t) = t^3$ है।
अब,$\frac{d}{dt} (t^3 \sin \frac{1}{t}) = 3t^2 \sin \frac{1}{t} + t^3 \cos(\frac{1}{t}) \cdot (-\frac{1}{t^2}) = 3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}$ है।
अतः,$\int(3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}) dt = t^3 \sin \frac{1}{t} + c$ है।
इसकी तुलना $f(t) \sin(\frac{1}{t}) + c$ से करने पर,हमें $f(t) = t^3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(2) = 2^3 = 8$ है।

(A) $I = \int (\log x)^3 x^4 \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = (\log x)^3$ और $dv = x^4 \, dx$.
तब $du = 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^5}{5}$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \int x^4 (\log x)^2 \, dx$.
$\int x^4 (\log x)^2 \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,जहाँ $u = (\log x)^2$ और $dv = x^4 \, dx$:
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \left[ \frac{x^5}{5}(\log x)^2 - \int \frac{x^5}{5} \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} \, dx \right] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5 (\log x)^2 + \frac{6}{25} \int x^4 \log x \, dx$.
अंतिम बार $\int x^4 \log x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \log x$ और $dv = x^4 \, dx$:
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5 (\log x)^2 + \frac{6}{25} \left[ \frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} \, dx \right] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5 (\log x)^2 + \frac{6}{125} x^5 \log x - \frac{6}{125} \int x^4 \, dx$.
$I = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25} x^5 (\log x)^2 + \frac{6}{125} x^5 \log x - \frac{6}{625} x^5 + c$.
$x^5$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $x^5 \left[ \frac{1}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}(\log x)^2 + \frac{6}{125} \log x - \frac{6}{625} \right] + c$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ होता है।
इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\int x^2 \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) dx = \frac{1}{2} \int x^2 dx + \frac{1}{2} \int x^2 \cos 2x dx$.
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} \left[ x^2 \cdot \frac{\sin 2x}{2} - \int 2x \cdot \frac{\sin 2x}{2} dx \right]$
$= \frac{x^3}{6} + \frac{x^2 \sin 2x}{4} - \frac{1}{2} \int x \sin 2x dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर $\int x \sin 2x dx = x \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) - \int 1 \cdot \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) dx = -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}$.
मान वापस रखने पर: $\frac{x^3}{6} + \frac{x^2 \sin 2x}{4} - \frac{1}{2} \left( -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right) + c = \frac{x^3}{6} + \left( \frac{x^2}{4} - \frac{1}{8} \right) \sin 2x + \left( \frac{x}{4} \right) \cos 2x + c$.
$\frac{1}{6} f(x) + g(x) \sin 2x + h(x) \cos 2x + c$ से तुलना करने पर,हमें $f(x) = x^3$,$g(x) = \frac{x^2}{4} - \frac{1}{8}$,और $h(x) = \frac{x}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः $f(1) = 1^3 = 1$,$g(2) = \frac{2^2}{4} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$,और $h(\frac{1}{2}) = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$.
अंत में,$f(1) + g(2) + h(\frac{1}{2}) = 1 + \frac{7}{8} + \frac{1}{8} = 1 + 1 = 2$.

(A) माना $I = \int (\log_{e} 2x)^3 dx$ है।
$t = \log_{e} 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x = e^t$,अतः $x = \frac{1}{2} e^t$ और $dx = \frac{1}{2} e^t dt$ होगा।
$I = \int t^3 \cdot \frac{1}{2} e^t dt = \frac{1}{2} \int t^3 e^t dt$।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t^3$ और $dv = e^t dt$ है:
$I = \frac{1}{2} [t^3 e^t - \int 3t^2 e^t dt] = \frac{1}{2} t^3 e^t - \frac{3}{2} \int t^2 e^t dt$।
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$\int t^2 e^t dt = t^2 e^t - 2 \int t e^t dt = t^2 e^t - 2(t e^t - e^t) = t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t$।
मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} t^3 e^t - \frac{3}{2} [t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t] + c = \frac{1}{2} e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + c$।
चूँकि $e^t = 2x$ और $t = \log_{e} 2x$ है:
$I = \frac{1}{2} (2x) [(\log_{e} 2x)^3 - 3(\log_{e} 2x)^2 + 6(\log_{e} 2x) - 6] + c = x[(\log_{e} 2x)^3 - 3(\log_{e} 2x)^2 + 6(\log_{e} 2x) - 6] + c$।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x+1}{x^3-1} \, dx$ है।
गुणनखंड $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों के रूप में लिखते हैं:
$\frac{x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$.
अंशों की तुलना करने पर: $x+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)$.
$x=1$ के लिए: $2 = A(3) \implies A = \frac{2}{3}$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A+B \implies B = -\frac{2}{3}$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $1 = A-C \implies C = A-1 = \frac{2}{3}-1 = -\frac{1}{3}$.
अतः,$I = \int \left( \frac{2/3}{x-1} + \frac{-2/3x - 1/3}{x^2+x+1} \right) \, dx = \frac{2}{3} \ln|x-1| - \frac{1}{3} \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx$.
$I = \frac{2}{3} \ln|x-1| - \frac{1}{3} \ln|x^2+x+1| + c = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{(x-1)^2}{x^2+x+1} \right) + c$.

(A) माना $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\cos x-\sin x}{\sin 2 x} d x$.
हम जानते हैं कि $\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin 2 x} dx = \int \frac{\cos x}{2 \sin x \cos x} dx - \int \frac{\sin x}{2 \sin x \cos x} dx = \frac{1}{2} \int \csc x dx - \frac{1}{2} \int \sec x dx$.
अतः,$I = \frac{1}{2} [\log |\tan(x/2)| - \log |\sec x + \tan x|]_{\pi/4}^{\pi/3} = \frac{1}{2} [\log |\frac{\tan(x/2)}{\sec x + \tan x}|]_{\pi/4}^{\pi/3}$.
$x = \pi/3$ पर मान $\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है और $x = \pi/4$ पर मान $3-2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$I = \frac{1}{2} \log \left( \frac{(2-\sqrt{3})/\sqrt{3}}{3-2\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{(2-\sqrt{3})(3+2\sqrt{2})}{\sqrt{3}} \right)$,जो विकल्प $A$ है।

(D) हमें समाकलन $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \cos^{-4} x \, dx = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \sec^4 x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम $\sec^4 x = \sec^2 x \cdot \sec^2 x = (1 + \tan^2 x) \sec^2 x$ लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} (1 + \tan^2 x) \sec^2 x \, dx$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$.
जब $x = \pi / 6$,तब $u = \tan(\pi / 6) = 1 / \sqrt{3}$.
जब $x = \pi / 3$,तब $u = \tan(\pi / 3) = \sqrt{3}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (1 + u^2) \, du = [u + \frac{u^3}{3}]_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$.
सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$I = (\sqrt{3} + \frac{(\sqrt{3})^3}{3}) - (\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{(1 / \sqrt{3})^3}{3}) = (\sqrt{3} + \sqrt{3}) - (\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{9 \sqrt{3}}) = 2 \sqrt{3} - (\frac{9 + 1}{9 \sqrt{3}}) = 2 \sqrt{3} - \frac{10}{9 \sqrt{3}}$.
सरल करने पर,$I = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 9 \sqrt{3} - 10}{9 \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 9 \cdot 3 - 10}{9 \sqrt{3}} = \frac{54 - 10}{9 \sqrt{3}} = \frac{44}{9 \sqrt{3}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $I = \int_{1/5}^{1/2} \frac{\sqrt{x-x^2}}{x^3} dx$.
हम समाकल्य को $\frac{\sqrt{x^2(\frac{1}{x}-1)}}{x^3} = \frac{x\sqrt{\frac{1}{x}-1}}{x^3} = \frac{\sqrt{\frac{1}{x}-1}}{x^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $u = \frac{1}{x} - 1$. तब $du = -\frac{1}{x^2} dx$,जिसका अर्थ है $-\frac{1}{x^2} dx = du$.
जब $x = 1/5$,तब $u = 5 - 1 = 4$.
जब $x = 1/2$,तब $u = 2 - 1 = 1$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{4}^{1} \sqrt{u} (-du) = \int_{1}^{4} u^{1/2} du$.
समाकल का मूल्यांकन करने पर: $I = [\frac{u^{3/2}}{3/2}]_{1}^{4} = \frac{2}{3} [u^{3/2}]_{1}^{4}$.
$I = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} \times 7 = \frac{14}{3}$.

(A) समाकलन $I = \int_0^1 x \operatorname{Sin}^{-1} x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = \operatorname{Sin}^{-1} x$ और $dv = x \, dx$.
तब $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$.
सूत्र लागू करने पर:
$I = \left[ \frac{x^2}{2} \operatorname{Sin}^{-1} x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$.
पहले भाग का मान: $\left[ \frac{1^2}{2} \operatorname{Sin}^{-1}(1) - 0 \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
दूसरे भाग के लिए,माना $J = \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$. $x = \sin \theta$,$dx = \cos \theta \, d\theta$ प्रतिस्थापन करने पर।
$J = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$J = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$.

(C) समाकल $I = \int_0^2 x^2(2-x)^5 dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हैं।
$x = 2-t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -dt$ प्राप्त होता है। जब $x=0, t=2$ और जब $x=2, t=0$।
$I = \int_2^0 (2-t)^2(t)^5 (-dt) = \int_0^2 (4 - 4t + t^2)t^5 dt$।
$I = \int_0^2 (4t^5 - 4t^6 + t^7) dt$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = [\frac{4t^6}{6} - \frac{4t^7}{7} + \frac{t^8}{8}]_0^2$।
$I = [\frac{2(2^6)}{3} - \frac{4(2^7)}{7} + \frac{2^8}{8}] = [\frac{128}{3} - \frac{512}{7} + 32]$।
$21$ का उभयनिष्ठ हर लेने पर:
$I = \frac{896 - 1536 + 672}{21} = \frac{32}{21}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $\text{सबसे पहले हर का गुणनखंड करें: } x^2+3 x+2 = (x+1)(x+2)$.
$\text{आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए, मान लें कि } \frac{2 x+5}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$.
$\text{अंशों की तुलना करने पर: } 2 x+5 = A(x+2) + B(x+1)$.
$x = -1 \text{ के लिए, } 2(-1)+5 = A(-1+2) \implies A = 3$.
$x = -2 \text{ के लिए, } 2(-2)+5 = B(-2+1) \implies 1 = -B \implies B = -1$.
$\text{अतः, } \int_0^1 \left(\frac{3}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) \,d x = [3 \log |x+1| - \log |x+2|]_0^1$.
$\text{सीमाओं पर मान रखने पर: } (3 \log 2 - \log 3) - (3 \log 1 - \log 2) = 3 \log 2 - \log 3 + \log 2 = 4 \log 2 - \log 3 = \log(16) - \log(3) = \log \left(\frac{16}{3}\right)$.

(D) माना $I = \int_{-1}^4 \sqrt{\frac{4-x}{x+1}} \, dx$.
$x+1 = 5 \cos^2 \theta$ प्रतिस्थापन लेने पर,$dx = -10 \cos \theta \sin \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = -1$,तब $5 \cos^2 \theta = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2}$।
जब $x = 4$,तब $5 \cos^2 \theta = 5 \implies \theta = 0$।
अतः $4-x = 4 - (5 \cos^2 \theta - 1) = 5 \sin^2 \theta$।
$I = \int_{\pi/2}^0 \sqrt{\frac{5 \sin^2 \theta}{5 \cos^2 \theta}} (-10 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \tan \theta (10 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta$।
$I = 10 \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta = 10 \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta$।
$I = 5 [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/2} = 5 [\frac{\pi}{2} - 0] = \frac{5\pi}{2}$।

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 4 \sin^2 x} dx$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{1 + 4 \tan^2 x} dx$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx = (1 + u^2) dx$,इसलिए $dx = \frac{du}{1 + u^2}$.
जब $x = 0, u = 0$. जब $x = \pi / 4, u = 1$.
$I = \int_0^1 \frac{1}{(1 + 4u^2)(1 + u^2)} du$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1 + 4u^2)(1 + u^2)} = \frac{A}{1 + 4u^2} + \frac{B}{1 + u^2}$.
$1 = A(1 + u^2) + B(1 + 4u^2)$.
$u^2 = -1$ के लिए,$1 = B(1 - 4) \implies B = -1/3$.
$u^2 = -1/4$ के लिए,$1 = A(1 - 1/4) \implies A = 4/3$.
$I = \int_0^1 (\frac{4/3}{1 + 4u^2} - \frac{1/3}{1 + u^2}) du$.
$I = \frac{4}{3} \int_0^1 \frac{1}{1 + (2u)^2} du - \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1}{1 + u^2} du$.
$I = \frac{4}{3} [\frac{1}{2} \tan^{-1}(2u)]_0^1 - \frac{1}{3} [\tan^{-1} u]_0^1$.
$I = \frac{2}{3} \tan^{-1} 2 - \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{3} \tan^{-1} 2 - \frac{\pi}{12}$.

(D) $I = \int_0^{x} \frac{t^2}{\sqrt{a^2+t^2}} dt$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश को $t^2 = (t^2+a^2) - a^2$ के रूप में लिखें।
अतः,$I = \int_0^{x} \frac{t^2+a^2}{\sqrt{a^2+t^2}} dt - \int_0^{x} \frac{a^2}{\sqrt{a^2+t^2}} dt$.
$I = \int_0^{x} \sqrt{a^2+t^2} dt - a^2 \int_0^{x} \frac{1}{\sqrt{a^2+t^2}} dt$.
मानक समाकलनों का उपयोग करते हुए: $\int \sqrt{a^2+t^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{a^2+t^2} + \frac{a^2}{2} \log|t+\sqrt{a^2+t^2}|$ और $\int \frac{1}{\sqrt{a^2+t^2}} dt = \log|t+\sqrt{a^2+t^2}|$:
$I = \left[ \frac{t}{2}\sqrt{a^2+t^2} + \frac{a^2}{2} \log|t+\sqrt{a^2+t^2}| - a^2 \log|t+\sqrt{a^2+t^2}| \right]_0^x$.
$I = \left[ \frac{t}{2}\sqrt{a^2+t^2} - \frac{a^2}{2} \log|t+\sqrt{a^2+t^2}| \right]_0^x$.
सीमाओं को लागू करने पर: $I = \left( \frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2} - \frac{a^2}{2} \log|x+\sqrt{a^2+x^2}| \right) - \left( 0 - \frac{a^2}{2} \log|a| \right)$.
$I = \frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2} - \frac{a^2}{2} \log \left| \frac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a} \right|$.