AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) व्यंजक $(2-3x)^{-1/3} = 2^{-1/3} (1 - \frac{3x}{2})^{-1/3}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!}z^4 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 1/3$ और $z = \frac{3x}{2}$ है।
$5^{\text{th}}$ पद $T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!} z^4$ है।
$n = 1/3$ रखने पर:
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{(1/3)(4/3)(7/3)(10/3)}{24} \times (\frac{3x}{2})^4$.
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{280/81}{24} \times \frac{81x^4}{16} = 2^{-1/3} \times \frac{35}{48} x^4$.
चूँकि $x = 1/2$ दिया गया है,$x^4 = 1/16$.
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{35}{48} \times \frac{1}{16} = \frac{35}{768 \times 2^{1/3}} = \frac{35}{768(\sqrt[3]{2})}$.

(B) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{4}{15} + \frac{4 \times 10}{15 \times 30} + \frac{4 \times 10 \times 16}{15 \times 30 \times 45} + \ldots \infty$ है।
यह श्रेणी $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \ldots$ के रूप में है।
तुलना करने पर,$nx = \frac{4}{15}$ और $\frac{n(n+1)}{2} x^2 = \frac{4}{45}$ प्राप्त होता है।
हल करने पर,$x = \frac{2}{5}$ और $n = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (1 - 2/5)^{-2/3} = (3/5)^{-2/3} = (5/3)^{2/3}$।

(B) दी गई श्रेणी $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1 + y = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
यह $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ के रूप में है।
तुलना करने पर,$nx = \frac{3}{4}$ और $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{15}{32}$ प्राप्त होता है।
$n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ हल करने पर,$1 + y = (1 - 1/2)^{-3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1 + y)^2 = 8$,अतः $y^2 + 2y - 7 = 0$।

(D) $(1+x)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = \frac{27}{5} = 5.4$ है।
चूंकि $x > 0$ है,पद ऋणात्मक होंगे यदि $x^r$ का गुणांक ऋणात्मक हो।
व्यापक पद $t_{r+1} = \binom{n}{r} x^r = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^r$ है।
हम गुणांकों के चिह्नों की जाँच करते हैं:
$r=6$ के लिए गुणांक धनात्मक है,लेकिन $r=7$ के लिए गुणांक ऋणात्मक हो जाता है।
अतः,पहला ऋणात्मक पद $t_{7+1} = t_8$ है।
इस प्रकार,$k=8$।

(D) माना $u = x^{-2}$ है। चूंकि $x > \sqrt{3}$,इसलिए $x^2 > 3$,अतः $u = \frac{1}{x^2} < \frac{1}{3}$।
व्यंजक को $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+3)}$ के रूप में लिखते हैं।
अंश और हर को $x^4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^{-2} + x^{-4}}{(1 + 2x^{-2})(1 + 3x^{-2})} = (u + u^2)(1 + 2u)^{-1}(1 + 3u)^{-1}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1+z)^{-1} = 1 - z + z^2 - z^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$(1+2u)^{-1} = 1 - 2u + 4u^2 - 8u^3 + \dots$
$(1+3u)^{-1} = 1 - 3u + 9u^2 - 27u^3 + \dots$
इनका गुणा करने पर: $(1+2u)^{-1}(1+3u)^{-1} = 1 - 5u + 19u^2 - 65u^3 + \dots$
अब,$(u + u^2)(1 - 5u + 19u^2 - 65u^3 + \dots) = u - 4u^2 + 14u^3 - 46u^4 + \dots$
$x^{-8}$ पद $u^4$ के अनुरूप है। अतः गुणांक $-46$ है।

(A) दी गई व्यंजक $f(x) = \frac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)}$ है।
सबसे पहले,बहुपद विभाजन या बीजगणितीय सरलीकरण करें।
ध्यान दें कि $x^4+1 = (x^4-1) + 2 = (x^2-1)(x^2+1) + 2$ है।
अतः,$\frac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1) + 2}{(x^2+1)(x-1)} = (x+1) + \frac{2}{(x^2+1)(x-1)}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{x-1} = -(1+x+x^2+x^3+...)$ और $\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+...$ है।
इस प्रकार,$\frac{2}{(x^2+1)(x-1)} = 2(1-x^2+x^4-...) \times -(1+x+x^2+x^3+...)$ है।
$= -2(1+x+0x^2+0x^3+...)$ है।
अतः,$x^3$ का गुणांक $0$ है।

(A) $1$. दीर्घवृत्त के लिए,नाभि $(x_1, y_1)$ से नियता $ax + by + c = 0$ तक की दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$2$. यहाँ,नाभि $(1, -2)$ है और नियता $3x + 4y - 15 = 0$ है।
$3$. $d = \frac{|3(1) + 4(-2) - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 8 - 15|}{5} = \frac{|-20|}{5} = 4$.
$4$. नाभि से नियता की दूरी का सूत्र $\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1 - e^2)}{e}$ है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
$5$. नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,इसलिए $b^2 = 2a$.
$6$. हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $2a = a^2(1 - e^2) \implies 2 = a(1 - e^2)$.
$7$. चरण $3$ और $4$ से,$\frac{a(1 - e^2)}{e} = 4$. $a(1 - e^2) = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2}{e} = 4 \implies e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$8$. चूंकि कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ में $e$ प्राप्त करने के लिए उपयोग किए गए सही सूत्र को प्रदान करता है,इसलिए $(A)$ और $(R)$ सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^2 + y^2 = 1$ है। जीवा का समीकरण $x - y + 1 = 0$ है,जिसका अर्थ है $y = x + 1$.
दीर्घवृत्त के समीकरण में $y = x + 1$ रखने पर: $2x^2 + (x + 1)^2 = 1$.
$2x^2 + x^2 + 2x + 1 = 1 \implies 3x^2 + 2x = 0$.
$x(3x + 2) = 0$,अतः $x_1 = 0$ और $x_2 = -\frac{2}{3}$.
संगत $y$ मान: $y_1 = 0 + 1 = 1$ और $y_2 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.
अतः,बिंदु $A(0, 1)$ और $B(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ हैं।
$OA$ और $OB$ की ढाल $m_1 = \infty$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2)$.

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0)$ मान लीजिए। स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_0}{2} + yy_0 = 1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $A = (\frac{2}{x_0}, 0)$ और $B = (0, \frac{1}{y_0})$ हैं।
मान लीजिए $(h, k)$ अंतःखंड $AB$ का मध्य बिंदु है। तब $h = \frac{1}{x_0}$ और $k = \frac{1}{2y_0}$,जिसका अर्थ है $x_0 = \frac{1}{h}$ और $y_0 = \frac{1}{2k}$।
चूंकि $(x_0, y_0)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $(\frac{1}{h})^2 + 2(\frac{1}{2k})^2 = 2$।
यह सरल होकर $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{2k^2} = 2$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2y^2} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = \frac{25}{4}$ है,इसलिए $r^2 = \frac{25}{4}$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ है,इसलिए $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
रेखा $y = mx + c$ के वृत्त की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = r^2(1 + m^2) = \frac{25}{4}(1 + m^2)$ है।
उसी रेखा के दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2 = 9m^2 + 4$ है।
$c^2$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{25}{4}(1 + m^2) = 9m^2 + 4$
$25 + 25m^2 = 36m^2 + 16$
$11m^2 = 9$
$m^2 = \frac{9}{11}$.

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
दीर्घवृत्त के नियामक वृत्त (director circle) का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
अतः,$x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13$ है।
बिंदु $(-3, 2)$ के लिए,$(-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13$ होता है।
चूंकि बिंदु $(-3, 2)$ नियामक वृत्त पर स्थित है,इसलिए स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण: $9x^2 + 4y^2 = 72$ है। $72$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{18} = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{9(2)x}{72} + \frac{4(3)y}{72} = 1$ है,जो $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ में सरल होता है। $X$-अंतःखंड $x = 4$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \frac{2}{3}$ है।
बिंदु $(2, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 3 = \frac{2}{3}(x - 2)$ है,जो $2x - 3y = -5$ में सरल होता है।
$y = 0$ रखने पर,अभिलंब का $X$-अंतःखंड $x = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
$X$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार: $|4 - (-\frac{5}{2})| = \frac{13}{2}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{13}{2} \times 3 = \frac{39}{4}$.

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
$m = \frac{1}{3}$ रखने पर,स्पर्श रेखा $y = \frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2}$ है,जो $x - 3y \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$ के रूप में है।
यह रेखा वृत्त $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ का अभिलंब है,जिसका केंद्र $(-1, -1)$ है।
अभिलंब वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए $(-1, -1)$ को समीकरण में रखने पर: $-1 - 3(-1) \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0 \implies 2 \pm 3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 0$.
अतः $3\sqrt{\frac{a^2}{9} + b^2} = 2 \implies \frac{a^2}{9} + b^2 = \frac{4}{9} \implies a^2 + 9b^2 = 4$.
चूंकि $a > b > 0$,$b^2 = \frac{4 - a^2}{9} > 0 \implies a^2 < 4$ और $a^2 > b^2 \implies a^2 > \frac{4 - a^2}{9} \implies a^2 > \frac{2}{5}$.
अतः $a^2 \in \left(\frac{2}{5}, 4\right)$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 36$ है। अतः $a=4$ और $b=6$ है।
माना बिंदु $P$ $(4 \cos \theta, 6 \sin \theta)$ है,जहाँ $\theta \in (0, \pi/2)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{6} = 1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $x_0 = \frac{4}{\cos \theta}$ और $y_0 = \frac{6}{\sin \theta}$ हैं।
स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_0 y_0| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\cos \theta} \cdot \frac{6}{\sin \theta} = \frac{12}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{\sin(2\theta)}$ है।
क्षेत्रफल $A$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $\sin(2\theta)$ को अधिकतम करते हैं। $\sin(2\theta)$ का अधिकतम मान $2\theta = \pi/2$ अर्थात $\theta = \pi/4$ पर $1$ होता है।
अतः,न्यूनतम क्षेत्रफल $S = \frac{24}{1} = 24$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+2y^2-2x+8y+5=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-1)^2 + 2(y+2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
$4$ से भाग देने पर,$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{2} = 1$ मिलता है।
बिंदु $P(\sqrt{2}+1, -1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $y' = -\frac{x-1}{2(y+2)}$ है।
बिंदु $P$ पर $y' = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिलंब की ढाल $m_n = \sqrt{2}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y+1 = \sqrt{2}(x - (\sqrt{2}+1))$ अर्थात $\sqrt{2}x-y=3+\sqrt{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ है। बिंदु $P$ के निर्देशांक $(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं। अभिलंब का समीकरण $2x - y = \frac{3}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है। इस रेखा और दीर्घवृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर $\alpha = \frac{-23}{17\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2+9y^2-16x+54y+61=0$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$4(x-2)^2 + 9(y+3)^2 = 36$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त होता है।
नियामक वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2 + b^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
केंद्र $(2, -3)$ है,अतः $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9 + 4 = 13$।
सरल करने पर $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। क्षेत्रफल $A_1 = \pi ab$ है।
माना नाभि $S(ae, 0)$ है और दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
$SP$ का मध्यबिंदु $M(h, k)$,$h = \frac{a \cos \theta + ae}{2}$ और $k = \frac{b \sin \theta}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\cos \theta = \frac{2h - ae}{a}$ और $\sin \theta = \frac{2k}{b}$ है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{(2h - ae)^2}{a^2} + \frac{4k^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(h - ae/2)^2}{(a/2)^2} + \frac{k^2}{(b/2)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक दीर्घवृत्त है जिसकी अर्ध-अक्ष $a' = a/2$ और $b' = b/2$ हैं।
क्षेत्रफल $A_2 = \pi a' b' = \frac{\pi ab}{4}$ है।
अतः,$A_1 : A_2 = \pi ab : \frac{\pi ab}{4} = 4 : 1$।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(ae, b^2/a)$ और $(ae, -b^2/a)$ हैं।
मान लीजिए कि केंद्र $(0,0)$ पर नाभिलंब द्वारा बनाया गया कोण $2\theta$ है। तब $\tan \theta = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ है।
दिया गया है कि $2\theta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$\frac{b^2}{a^2e} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $b^2 = 36$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{36}{a^2e} = \frac{3}{2}$ है,जिसका अर्थ है $a^2e = 24$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,इसलिए $36 = a^2e^2 - a^2$ है। चूंकि $a^2e = 24$ है,$a^2 = \frac{24}{e}$ है।
$a^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$36 = (\frac{24}{e})e^2 - \frac{24}{e} \implies 36 = 24e - \frac{24}{e}$ प्राप्त होता है।
$12$ से विभाजित करने पर,$3 = 2e - \frac{2}{e} \implies 2e^2 - 3e - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(2e+1)(e-2) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $e > 1$ है,इसलिए $e = 2$ है।
तब $a^2 = \frac{24}{2} = 12$ है।
अंत में,$\sqrt{a^2 + e^2} = \sqrt{12 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$ है।

(C) नाभियाँ $F_1(8,3)$ और $F_2(0,3)$ हैं। अतिपरवलय का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{8+0}{2}, \frac{3+3}{2}) = (4,3)$। अतः,$\alpha = 4$ और $\beta = 3$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8 - 0 = 8$ है। $e = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए $2a(\frac{4}{3}) = 8$,जिसका अर्थ है $a = 3$।
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 3^2((\frac{4}{3})^2 - 1) = 9(\frac{16}{9} - 1) = 9(\frac{7}{9}) = 7$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $\frac{(x-\alpha)^2}{a^2} - \frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1$ में,$p = a^2 = 9$ और $q = b^2 = 7$ है।
अतः,$p+q = 9+7 = 16$ है।
चूंकि $\alpha = 4$ और $\beta = 3$ है,इसलिए $\alpha^2 = 16$। अतः,$p+q = \alpha^2$।

(A) माना अतिपरवलय $H$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 26$ है,इसलिए $ae = 13$।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = \frac{50}{13}$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{25}{13}$,जिसका अर्थ है $a = \frac{25e}{13}$।
$a$ का मान $ae = 13$ में रखने पर: $(\frac{25e}{13})e = 13 \implies e^2 = \frac{169}{25} \implies e = \frac{13}{5}$।
अब,$a = \frac{25}{13} \times \frac{13}{5} = 5$।
चूंकि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,हमारे पास $b^2 = 25(\frac{169}{25} - 1) = 169 - 25 = 144$ है,इसलिए $b = 12$।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ है।
इसकी उत्केंद्रता $e'$ के लिए $e'^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$।
अतः,$e' = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$।

(C) उत्केंद्रता $e = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ दी गई है। हर का परिमेयकरण करने पर,$e = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $(0,0)$ पर नाभिलंब द्वारा अंतरित कोण $\theta$ के लिए $\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ होता है।
$b^2 = a^2(e^2-1)$ का उपयोग करने पर,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{a^2(e^2-1)}{a^2e} = \frac{e^2-1}{e}$ प्राप्त होता है।
$e = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ दिया गया है,इसलिए $e^2 = \frac{7+3+2\sqrt{21}}{4} = \frac{10+2\sqrt{21}}{4} = \frac{5+\sqrt{21}}{2}$.
अतः,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{\frac{5+\sqrt{21}}{2} - 1}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}} = \frac{3+\sqrt{21}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{7})}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
इस प्रकार,$\frac{\theta}{2} = 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\theta = 120^{\circ}$।
इसलिए,$\sin \theta = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) दिया गया अतिपरवलय $2x^2 - 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 3$ और $b^2 = 2$ है।
रेखा $x - 2y + 5 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
स्पर्श रेखाएँ इस रेखा पर लंब हैं,इसलिए उनकी ढाल $m$ को $m \times \frac{1}{2} = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिससे $m = -2$ प्राप्त होता है।
ढाल $m$ वाली अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
$m = -2, a^2 = 3, b^2 = 2$ रखने पर,हमें $y = -2x \pm \sqrt{3(-2)^2 - 2} = -2x \pm \sqrt{10}$ प्राप्त होता है।
अतः,दो स्पर्श रेखाएँ $2x + y - \sqrt{10} = 0$ और $2x + y + \sqrt{10} = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ,$d = \frac{|\sqrt{10} - (-\sqrt{10})|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{2}$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^2 - 9y^2 - 20x - 18y - 34 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $5(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 = 45$,अर्थात $\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{5} = 1$।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - k = m(x - h) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ के अनुसार: $y + 1 = 1(x - 2) \pm \sqrt{9 - 5}$।
$y + 1 = x - 2 \pm 2$।
स्थिति $1$: $x - y - 1 = 0 \implies b^2 + c^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$।
स्थिति $2$: $x - y - 5 = 0 \implies b^2 + c^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 26$।
अतः,$b^2 + c^2 = 2$ या $26$।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}$ है।
दी गई स्पर्श रेखा $3 \sqrt{2} x - 4 y = 12$ को $y = \frac{3 \sqrt{2}}{4} x - 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$m = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ और अचर पद $-3$ है,इसलिए $\sqrt{a^2 m^2 - b^2} = 3$,जिसका अर्थ है $a^2 m^2 - b^2 = 9$।
$m^2 = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$ रखने पर,हमें $\frac{9}{8} a^2 - b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ दी गई है,हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $\frac{25}{16} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,जो $\frac{b^2}{a^2} = \frac{9}{16}$ या $b^2 = \frac{9}{16} a^2$ देता है।
स्पर्श रेखा की शर्त में $b^2$ का मान रखने पर: $\frac{9}{8} a^2 - \frac{9}{16} a^2 = 9$।
$16$ से गुणा करने पर: $18 a^2 - 9 a^2 = 144$,इसलिए $9 a^2 = 144$,जिसका अर्थ है $a^2 = 16$।
तब $b^2 = \frac{9}{16} \times 16 = 9$।
अंत में,$a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7$।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a^2 = 4$ और $b^2 = 5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
नाभि $(ae, 0) = (3, 0)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $(3, \frac{5}{2})$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $A$ के लिए $y=0$ रखने पर,$x = \frac{4}{3}$,अतः $(OA)^2 = \frac{16}{9}$।
बिंदु $B$ के लिए $x=0$ रखने पर,$y = -2$,अतः $(OB)^2 = 4$।
अतः,$(OA)^2 - (OB)^2 = \frac{16}{9} - 4 = -\frac{20}{9}$।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दी गई नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 2$।
साथ ही,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2 = 4 - a^2$।
चूंकि अतिपरवलय $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$ है।
माना $u = a^2$। तब $\frac{2}{u} - \frac{3}{4 - u} = 1 \implies u^2 - 9u + 8 = 0$।
हल करने पर,$(u - 8)(u - 1) = 0$। $a^2 < 4$ होने के कारण,$a^2 = 1$।
तब $b^2 = 3$। समीकरण $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ है।
विकल्प $C$ के लिए,$x = 2\sqrt{2}$ और $y = 3\sqrt{3}$ रखने पर,$\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$।
अतः,बिंदु $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ स्पर्श रेखा पर स्थित है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $5x^2 - 9y^2 = 90$ है,जिसे $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{10} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 10$ है।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{18m^2 - 10}$ है।
यदि यह स्पर्श रेखा $P(h, k)$ से गुजरती है,तो $(k - mh)^2 = 18m^2 - 10$।
इसे सरल करने पर $m^2(h^2 - 18) - 2mhk + (k^2 + 10) = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ है।
$\alpha + \beta = 90^\circ$ होने के कारण,$m_1 m_2 = 1$ है।
समीकरण से,$m_1 m_2 = \frac{k^2 + 10}{h^2 - 18} = 1$।
अतः $h^2 - k^2 = 28$।
इस प्रकार,बिंदुपथ $x^2 - y^2 = 28$ है।

(C) माना परवलय $y^2 = 8x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है,जहाँ $a = 2$ है। अतः,$y = mx + \frac{2}{m}$।
यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसे $y = -\frac{1}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + \frac{2}{m}$ को $xy = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(mx + \frac{2}{m}) = -1$ प्राप्त होता है,जो $mx^2 + \frac{2}{m}x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा स्पर्श रेखा है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए।
$D = (\frac{2}{m})^2 - 4(m)(1) = 0$.
$\frac{4}{m^2} - 4m = 0 \implies 4 = 4m^3 \implies m^3 = 1 \implies m = 1$.
$m = 1$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ में रखने पर,हमें $y = x + 2$ या $x - y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 5$ और $b^2 = 4$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{5m^2 - 4}$ है।
बिंदु $(1,1)$ से गुजरने पर,$1 = m \pm \sqrt{5m^2 - 4}$ प्राप्त होता है।
अतः $(1 - m)^2 = 5m^2 - 4$,जिसे हल करने पर $4m^2 + 2m - 5 = 0$ मिलता है।
ढाल $m_1$ और $m_2$ के लिए,$m_1 + m_2 = -\frac{1}{2}$ और $m_1m_2 = -\frac{5}{4}$ है।
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan \theta = 2\sqrt{21}$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए उत्केंद्रता $e = 2$ है।
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $4 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} = 3$,या $b^2 = 3a^2$।
अतिपरवलय $(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2} = 1$।
$b^2 = 3a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{3a^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2} = 1$ हो जाता है,इसलिए $\frac{4}{a^2} = 1$,जिसका अर्थ है $a^2 = 4$।
अतः $b^2 = 3(4) = 12$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।
$(x_1, y_1) = (4, 6)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{4x}{4} - \frac{6y}{12} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x - \frac{y}{2} = 1$ हो जाता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2x - y = 2$,या $2x - y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_0} + \frac{b^2y}{y_0} = a^2 + b^2$ है।
दिए गए समीकरण $3x + 2\sqrt{2}y = -k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -13\sqrt{2}$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $xy = 16$ है। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ है। $(8, 2)$ पर,ढाल $m = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m} = 4$ है।
$(8, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = 4(x - 8)$ है,जो $y = 4x - 30$ में सरल हो जाता है।
अतिपरवलय के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए,$y = 4x - 30$ को $xy = 16$ में प्रतिस्थापित करें:
$x(4x - 30) = 16 \implies 4x^2 - 30x - 16 = 0 \implies 2x^2 - 15x - 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x + 1)(x - 8) = 0$.
मूल $x = 8$ (मूल बिंदु) और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।
$x = \alpha = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\beta = \frac{16}{\alpha} = \frac{16}{-1/2} = -32$ प्राप्त होता है।
हमें $|\beta| + \frac{1}{|\alpha|} = |-32| + \frac{1}{|-1/2|} = 32 + 2 = 34$ की गणना करनी है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $P$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $Q$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ है।
दिया है $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ है।
अतः,दूसरा अभिलंब $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
इस समीकरण को हल करने पर,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $7x^2 - 9y^2 = 63$ है।
$63$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 7$,इसलिए $a = 3$ और $b = \sqrt{7}$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं,जो $y = \frac{\sqrt{7}}{3}x$ और $y = -\frac{\sqrt{7}}{3}x$ हैं।
ढाल $m_1 = \frac{\sqrt{7}}{3}$ और $m_2 = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $2\alpha$ है,तो $\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ होगा।
अतः $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 7/9}{1 + 7/9} = \frac{2/9}{16/9} = \frac{1}{8}$।
इस प्रकार,$\cos \theta = \frac{1}{8}$।

(A) अनंतस्पर्शी $L_1 = 0$ और $L_2 = 0$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $L_1 L_2 = k$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए अनंतस्पर्शी $L_1: 3x - 4y - 1 = 0$ और $L_2: 4x - 3y - 6 = 0$ हैं।
अतिपरवलय के अक्ष अनंतस्पर्शी के कोण समद्विभाजक होते हैं।
कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{3x - 4y - 1}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{4x - 3y - 6}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि हर समान हैं,हमारे पास $3x - 4y - 1 = \pm (4x - 3y - 6)$ है।
स्थिति $1$: $3x - 4y - 1 = 4x - 3y - 6 \implies x + y - 5 = 0$.
स्थिति $2$: $3x - 4y - 1 = -(4x - 3y - 6) \implies 3x - 4y - 1 = -4x + 3y + 6 \implies 7x - 7y - 7 = 0 \implies x - y - 1 = 0$.
अतः,अक्ष $x + y - 5 = 0$ और $x - y - 1 = 0$ हैं।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अनंतस्पर्शी $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं।
माना अनंतस्पर्शियों के बीच का कोण $2\theta$ है। तब $\tan \theta = \frac{b}{a}$।
दिया गया है कि अनंतस्पर्शियों के बीच का कोण $2 \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$,अर्थात $b = \frac{2}{3}a$।
$b^2 = \frac{4}{9}a^2$ को दिए गए समीकरण $a^2 - b^2 = 45$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 - \frac{4}{9}a^2 = 45$
$\frac{5}{9}a^2 = 45$
$a^2 = 45 \times \frac{9}{5} = 81$,इसलिए $a = 9$।
तब $b^2 = \frac{4}{9}(81) = 36$,इसलिए $b = 6$।
अतः,$ab = 9 \times 6 = 54$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $(x+y+3)(2x-y+1) + \lambda = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बिंदु $(1,-2)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$x=1$ और $y=-2$ रखने पर:
$(1-2+3)(2(1)-(-2)+1) + \lambda = 0$
$(2)(5) + \lambda = 0 \implies \lambda = -10$.
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $(x+y+3)(2x-y+1) - 10 = 0$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $(x+y+3)(2x-y+1) + 10 = 0$ होगा।
विस्तार करने पर: $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 2y + 3 + 10 = 0$,जो $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 2y + 13 = 0$ में सरल हो जाता है।

(A) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin ^{-1}(x+[x])}{2-\{x\}}=\theta$ है।
$x \rightarrow 0^{-}$ के लिए,हमारे पास $[x] = -1$ और $\{x\} = x - [x] = x - (-1) = x+1$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin ^{-1}(x-1)}{2-(x+1)} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin ^{-1}(x-1)}{1-x}$.
जैसे $x \rightarrow 0^{-}$,व्यंजक $\frac{\sin ^{-1}(-1)}{1-0} = \frac{-\pi/2}{1} = -\pi/2$ की ओर अग्रसर होता है।
अतः,$\theta = -\pi/2$.
अब,हम $\sin \theta + \cos \theta = \sin(-\pi/2) + \cos(-\pi/2) = -1 + 0 = -1$ की गणना करते हैं।

(A) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos [x]-\cos (k x-[x])}{x^2}=5$ है।
चूंकि $x \rightarrow 0^{+}$,इसलिए $[x] = 0$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos(0) - \cos(kx - 0)}{x^2} = 5$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 - \cos(kx)}{x^2} = 5$
सीमा सूत्र $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 - \cos(kx)}{(kx)^2} \cdot k^2 = 5$
$\frac{1}{2} \cdot k^2 = 5$
$k^2 = 10$
$k = \sqrt{10}$.

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{15+\cos 2x}-4}$.
सर्वसमिका $1+\cos x = 2\cos^2(x/2)$ और $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos(x/2)}{\sqrt{14+2\cos^2 x}-4}$.
अंश और हर का परिमेयकरण करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}(1-\cos(x/2))}{\sqrt{14+2\cos^2 x}-4} \times \frac{1+\cos(x/2)}{1+\cos(x/2)} \times \frac{\sqrt{14+2\cos^2 x}+4}{\sqrt{14+2\cos^2 x}+4}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}\sin^2(x/2)}{1+\cos(x/2)} \times \frac{\sqrt{14+2\cos^2 x}+4}{14+2\cos^2 x - 16}$.
चूंकि $14+2\cos^2 x - 16 = 2\cos^2 x - 2 = -2\sin^2 x = -8\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)$:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}\sin^2(x/2)}{1+\cos(x/2)} \times \frac{\sqrt{14+2\cos^2 x}+4}{-8\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)}$.
$L = \frac{\sqrt{2}}{1+1} \times \frac{\sqrt{14+2}+4}{-8(1)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{8}{-8} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) हमारे पास व्यंजक $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2 x-2 x \tan x}{(1-\cos 3 x)(\operatorname{cosec} x-\cot x)^2}$ है।
सबसे पहले,हर के पद $(\operatorname{cosec} x-\cot x) = \frac{1-\cos x}{\sin x} = \tan(x/2)$ को सरल करें।
अतः,$(\operatorname{cosec} x-\cot x)^2 = \tan^2(x/2) \approx \frac{x^2}{4}$ जब $x \rightarrow 0$ हो।
साथ ही,$1-\cos 3x = 2 \sin^2(\frac{3x}{2}) \approx \frac{9x^2}{2}$।
हर $\frac{9x^2}{2} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{9x^4}{8}$ हो जाता है।
अब,अंश को सरल करें: $x \tan 2x - 2x \tan x = 2x^4$।
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^4}{9x^4/8} = \frac{16}{9}$।

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^3-x^2 \sin 5 x}{x \cos 4 x+7|x|^3-4|x|+3}$ है।
चूंकि $x \rightarrow -\infty$,इसलिए $x < 0$,अतः $|x| = -x$ और $|x|^3 = -x^3$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^3-x^2 \sin 5 x}{x \cos 4 x + 7(-x^3) - 4(-x) + 3} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^3-x^2 \sin 5 x}{x \cos 4 x - 7x^3 + 4x + 3}$.
अंश और हर को $x^3$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 - \frac{\sin 5 x}{x}}{\frac{\cos 4 x}{x^2} - 7 + \frac{4}{x^2} + \frac{3}{x^3}}$.
जैसे $x \rightarrow -\infty$,$\frac{\sin 5 x}{x} \rightarrow 0$,$\frac{\cos 4 x}{x^2} \rightarrow 0$,$\frac{4}{x^2} \rightarrow 0$,और $\frac{3}{x^3} \rightarrow 0$.
अतः,$L = \frac{5 - 0}{0 - 7 + 0 + 0} = -\frac{5}{7}$.

(D) $k$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करें:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x - \cos 4x}{1 - \cos 2x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 - 2\sin^2 x) - (1 - 8\sin^2 x \cos^2 x)}{2\sin^2 x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{8\sin^2 x \cos^2 x - 2\sin^2 x}{2\sin^2 x} = \lim _{x \rightarrow 0} (4\cos^2 x - 1) = 4(1)^2 - 1 = 3$.
अतः,$k = 3$.
अब,$k = 3$ के साथ दूसरी सीमा का मान ज्ञात करें:
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3 - 27}{x^4 - 81} = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)} = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2 + 3x + 9}{(x + 3)(x^2 + 9)} = \frac{9 + 9 + 9}{(3 + 3)(9 + 9)} = \frac{27}{6 \times 18} = \frac{27}{108} = \frac{1}{4}$.

(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) x$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} x$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^3(1 + \frac{1}{n})(2 + \frac{1}{n})}{6n^3} x$
$= \frac{1 \times 2}{6} x = \frac{2}{6} x = \frac{x}{3}$.

(C) सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x+4 \cos ^2 x}{\sqrt{x^2-5 \sin ^2 x}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $x$ से विभाजित करते हैं (चूंकि $x \rightarrow \infty$,$x > 0$,इसलिए $\sqrt{x^2} = x$):
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{4 \cos ^2 x}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{5 \sin ^2 x}{x^2}}} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{4 \cos ^2 x}{x}}{\sqrt{1 - \frac{5 \sin ^2 x}{x^2}}}$
जैसे $x \rightarrow \infty$,पद $\frac{4 \cos ^2 x}{x} \rightarrow 0$ (क्योंकि $\cos ^2 x$,$0$ और $1$ के बीच परिबद्ध है) और $\frac{5 \sin ^2 x}{x^2} \rightarrow 0$ (क्योंकि $\sin ^2 x$,$0$ और $1$ के बीच परिबद्ध है)।
अतः,सीमा $\frac{3 + 0}{\sqrt{1 - 0}} = \frac{3}{1} = 3$ हो जाती है।

(A) हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$ और $1 - \cos(ax) = 2 \sin^2(\frac{ax}{2})$.
दिया गया व्यंजक: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin ^2(3 x)+\sin ^4(6 x)}{(1-\cos 3 x)^2}$.
सर्वसमिका $1 - \cos(3x) = 2 \sin^2(\frac{3x}{2})$ का उपयोग करने पर,हर $(2 \sin^2(\frac{3x}{2}))^2 = 4 \sin^4(\frac{3x}{2})$ हो जाता है।
अब,अंश और हर को $x^4$ से विभाजित करने पर:
अंश: $\frac{x^2 \sin^2(3x)}{x^4} + \frac{\sin^4(6x)}{x^4} = \frac{\sin^2(3x)}{x^2} + \frac{\sin^4(6x)}{x^4}$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$\frac{\sin^2(3x)}{x^2} \rightarrow (3)^2 = 9$ और $\frac{\sin^4(6x)}{x^4} \rightarrow (6)^4 = 1296$.
हर: $\frac{4 \sin^4(\frac{3x}{2})}{x^4} = 4 \cdot (\frac{\sin(\frac{3x}{2})}{\frac{3x}{2}})^4 \cdot (\frac{3}{2})^4 = 4 \cdot 1 \cdot \frac{81}{16} = \frac{81}{4}$.
अतः,सीमा $\frac{9 + 1296}{81/4} = \frac{1305 \times 4}{81} = \frac{145 \times 4}{9} = \frac{580}{9}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} x - \cot x = \frac{1-\cos x}{\sin x} = \tan(x/2)$.
साथ ही,$e^x - e^{-x} \approx 2x$ जब $x \to 0$.
अतः,अंश $\tan(x/2) \cdot (e^x - e^{-x}) \approx (x/2) \cdot (2x) = x^2$ है।
हर के लिए,$\sqrt{3} - \sqrt{2+\cos x} = \frac{1-\cos x}{\sqrt{3} + \sqrt{2+\cos x}} \approx \frac{x^2/2}{2\sqrt{3}} = \frac{x^2}{4\sqrt{3}}$.
इस प्रकार,सीमा का मान $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 / (4\sqrt{3})} = 4\sqrt{3}$ है।

(B) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2x - 2x \tan x}{(1 - \cos 2x)^2}$.
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हर $(2 \sin^2 x)^2 = 4 \sin^4 x$ हो जाता है।
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2x - 2x \tan x}{4 \sin^4 x}$.
$\tan \theta \approx \theta + \frac{\theta^3}{3}$ और $\sin \theta \approx \theta$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\tan 2x \approx 2x + \frac{(2x)^3}{3} = 2x + \frac{8x^3}{3}$.
$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$.
$\sin x \approx x$,इसलिए $\sin^4 x \approx x^4$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2x + \frac{8x^3}{3}) - 2x(x + \frac{x^3}{3})}{4x^4}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^2 + \frac{8x^4}{3} - 2x^2 - \frac{2x^4}{3}}{4x^4}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{6x^4}{3}}{4x^4} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x^4}{4x^4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $f(x) = x+2 \sin x+3 \tan x-\tan ^3 x$ और $g(x) = \sqrt{x^2+2 \sin x+\tan x+3}-\sqrt{\sin ^2 x-2 \tan x-x+3}$.
जब $x \rightarrow 0$,$f(0) = 0$ और $g(0) = 0$. यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
अंश और हर का अवकलन करने पर ($L$'Hopital's rule):
अंश का अवकलन: $f'(x) = 1+2 \cos x+3 \sec ^2 x-3 \tan ^2 x \sec ^2 x$.
$x=0$ पर,$f'(0) = 6$.
हर का अवकलन: $g'(x) = \frac{2x+2 \cos x+\sec ^2 x}{2 \sqrt{x^2+2 \sin x+\tan x+3}} - \frac{2 \sin x \cos x-2 \sec ^2 x-1}{2 \sqrt{\sin ^2 x-2 \tan x-x+3}}$.
$x=0$ पर,$g'(0) = \sqrt{3}$.
सीमा का मान $\frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}$ है।

(C) मान लीजिए $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $M$ के निर्देशांक $(\frac{-1+\lambda}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{2+\mu}{2}) = (\frac{\lambda-1}{2}, 4, \frac{\mu+2}{2})$ हैं।
$A$ से गुजरने वाली माध्यिका रेखाखंड $AM$ है। $AM$ के दिक्-अनुपात $(\frac{\lambda-1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu+2}{2} - 5) = (\frac{\lambda-5}{2}, 1, \frac{\mu-8}{2})$ हैं।
चूंकि माध्यिका निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव रखती है,इसलिए दिक्-अनुपात समान होने चाहिए,अर्थात $\frac{\lambda-5}{2} = 1 = \frac{\mu-8}{2}$।
$\frac{\lambda-5}{2} = 1$ से,हमें $\lambda - 5 = 2$ मिलता है,अतः $\lambda = 7$।
$\frac{\mu-8}{2} = 1$ से,हमें $\mu - 8 = 2$ मिलता है,अतः $\mu = 10$।
अब विकल्पों की जाँच करने पर,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$ रखने पर:
विकल्प $C: 10(7) - 7(10) = 70 - 70 = 0$।
अतः,$10 \lambda - 7 \mu = 0$ सही संबंध है।

(NONE) समतल $3x - 2y + z = 8$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \langle 3, -2, 1 \rangle$ है।
समतल $x + y + z = 6$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \langle 1, 1, 1 \rangle$ है।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
बिंदु $(2, -1, 3)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = \langle -3, -2, 5 \rangle$ वाले समतल का समीकरण $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,$-3x - 2y + 5z = 11$ प्राप्त होता है।
$11$ से भाग देने पर,$-\frac{3}{11}x - \frac{2}{11}y + \frac{5}{11}z = 1$ प्राप्त होता है।
$lx + my + nz = 1$ से तुलना करने पर,$l = -3/11$,$m = -2/11$,और $n = 5/11$ प्राप्त होते हैं।
अब,$4m + 2n - 31 = 4(-2/11) + 2(5/11) - 31 = -8/11 + 10/11 - 31 = 2/11 - 31 = -339/11$।

(A) माना समतल $\pi$ का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 3) = 0$ है,जहाँ $\vec{n} = (a, b, c)$ समतल का अभिलंब सदिश है।
चूंकि समतल $B(6, 4, 5)$ से गुजरता है,हमारे पास $a(6 - 1) + b(4 + 2) + c(5 - 3) = 0$ है,जो $5a + 6b + 2c = 0$ में सरल हो जाता है।
समतल $\pi$,समतल $3x - y + z = 2$ के लंबवत है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (3, -1, 1)$ है।
अतः,अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है: $3a - b + c = 0$।
समीकरणों $5a + 6b + 2c = 0$ और $3a - b + c = 0$ को हल करने पर:
दूसरे समीकरण से,$b = 3a + c$। पहले समीकरण में रखने पर: $5a + 6(3a + c) + 2c = 0 \implies 23a + 8c = 0$।
माना $a = 8$,तो $c = -23$। तब $b = 3(8) - 23 = 24 - 23 = 1$।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = (8, 1, -23)$ है।
समतल $\pi$ का समीकरण $8(x - 1) + 1(y + 2) - 23(z - 3) = 0$ है,जो $8x + y - 23z + 63 = 0$ में सरल हो जाता है।
$(0, 0, 0)$ से समतल की लंबवत दूरी $d = \frac{|8(0) + 1(0) - 23(0) + 63|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + (-23)^2}} = \frac{63}{\sqrt{64 + 1 + 529}} = \frac{63}{\sqrt{594}}$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz = d_0$ की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d_0|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
यहाँ बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (-1, p, -3)$ और समतल $2x - 3y + 6z - 7 = 0$ है।
दूरी $6$ इकाई दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$6 = \frac{|2(-1) - 3(p) + 6(-3) - 7|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}}$
$6 = \frac{|-2 - 3p - 18 - 7|}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$6 = \frac{|-3p - 27|}{7}$
$42 = |-3p - 27|$
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $-3p - 27 = 42 \implies -3p = 69 \implies p = -23$ ($p$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए यह अमान्य है)।
मामला $2$: $-3p - 27 = -42 \implies -3p = -15 \implies p = 5$.
अतः,$p = 5$।

(D) समतल $\pi: ax + by + 11z + d = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
चूंकि $\pi$ समतलों $2x - 3y + z = 4$ और $3x + y - z = 5$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{n}$ सदिशों $\vec{n}_1 = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
इसे $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + 11\hat{k}$ से तुलना करने पर,$a = 2$ और $b = 5$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $2x + 5y + 11z + d = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल की लंबवत दूरी $\frac{|d|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 11^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{150}} = \frac{|d|}{5\sqrt{6}}$ है।
यह दूरी $\sqrt{6}$ दी गई है,अतः $\frac{|d|}{5\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |d| = 30$ है।
अंतःखंड धनात्मक होने के लिए,$d = -30$ होना चाहिए।
यहाँ $ab = 10$ है,इसलिए $d = -3ab$ है।

(A) माना कि समतल का समीकरण $ax + by + cz + d = 0$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $(2, -1, 3)$ है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,मूल बिंदु से लंब के पाद तक का सदिश होगा,जो $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 3z = D$ के रूप में होगा।
चूंकि बिंदु $(2, -1, 3)$ समतल पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - (-1) + 3(3) = D$
$4 + 1 + 9 = D$
$D = 14$
इसलिए,समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 14 = 0$ है।

(D) दो समतलों $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ और $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ होता है।
दिए गए समतल $\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 = 0$ और $\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5 = 0$ हैं।
अतः अभीष्ट समतल का समीकरण $(\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$ होगा।
यह समतल बिंदु $\overline{a} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ से गुजरता है।
समीकरण में $\overline{r} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ रखने पर:
$((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(1 - 6 - 3) + \lambda(4 + 3 - 5) = 0$
$-8 + \lambda(2) = 0 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$.
$\lambda = 4$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 + 4(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$
$\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} - 2 \overline{k} + 4 \overline{k}) = 3 + 20$
$\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 23$.

(B) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट समतल दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-10) - \hat{j}(-6-25) + \hat{k}(4+15) = -1\hat{i} + 31\hat{j} + 19\hat{k}$।
बिंदु $(3,2,5)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -\hat{i} + 31\hat{j} + 19\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $-1(x-3) + 31(y-2) + 19(z-5) = 0$ है।
$-x + 3 + 31y - 62 + 19z - 95 = 0 \implies -x + 31y + 19z - 154 = 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,$x - 31y - 19z + 154 = 0$ प्राप्त होता है।
$x + by + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,$b = -31$,$c = -19$,और $d = 154$ प्राप्त होता है।
अतः,$2b + 3c + d = 2(-31) + 3(-19) + 154 = -62 - 57 + 154 = -119 + 154 = 35$।

(B) समतल $ax + by + cz + d = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $B(\alpha, \beta, \gamma)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{\gamma - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 1, 1)$ और समतल $4x + 2y + 4z + 1 = 0$ है।
व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 4(1) + 2(1) + 4(1) + 1 = 4 + 2 + 4 + 1 = 11$
$a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 + 2^2 + 4^2 = 16 + 4 + 16 = 36$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{\alpha - 1}{4} = \frac{\beta - 1}{2} = \frac{\gamma - 1}{4} = -2 \times \frac{11}{36} = -\frac{11}{18}$
अब,$\alpha, \beta, \gamma$ के लिए हल करें:
$\alpha - 1 = 4 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{22}{9} \implies \alpha = 1 - \frac{22}{9} = -\frac{13}{9}$
$\beta - 1 = 2 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{11}{9} \implies \beta = 1 - \frac{11}{9} = -\frac{2}{9}$
$\gamma - 1 = 4 \times (-\frac{11}{18}) = -\frac{22}{9} \implies \gamma = 1 - \frac{22}{9} = -\frac{13}{9}$
अंत में,योग $\alpha + \beta + \gamma$ की गणना करें:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{13}{9} - \frac{2}{9} - \frac{13}{9} = -\frac{28}{9}$

(C) माना मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $ax+by+cz=0$ है।
चूंकि यह समतल,समतलों $x+2y-z=1$ और $3x-4y+z=5$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$ और $\vec{n_2} = (3, -4, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(-4-6) = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 10\hat{k}$.
$-2$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, 5)$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x-0) + 2(y-0) + 5(z-0) = 0$ होगा,जिसे सरल करने पर $x+2y+5z=0$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. फलक $OAB$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात करें। सदिश $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{OB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ फलक $OAB$ पर स्थित हैं।
$2$. अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$3$. किनारे $BC$ को दर्शाने वाला सदिश $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -3\hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$ है।
$4$. रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ का उपयोग करें।
$5$. $\vec{v} \cdot \vec{n} = -12$ और $|\vec{v}| = \sqrt{10}$,$|\vec{n}| = \sqrt{35}$ है।
$6$. $\sin \theta = \frac{12}{\sqrt{350}} = \frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
$7$. अतः,$\theta = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}\right)$।

(A) बिंदु $\bar{a} = \bar{i}-2 \bar{j}$ से गुजरने वाली और सदिश $\bar{v} = 2 \bar{i}+\bar{k}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\bar{r} = (\bar{i}-2 \bar{j}) + t(2 \bar{i}+\bar{k}) = (1+2t)\bar{i} - 2\bar{j} + t\bar{k}$ है।
समतल बिंदु $\bar{b} = \bar{i}+2 \bar{j}$ से गुजरता है और सदिशों $\bar{u}_1 = 2 \bar{j}-\bar{k}$ और $\bar{u}_2 = \bar{i}+2 \bar{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n} = \bar{u}_1 \times \bar{u}_2 = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}$ है।
समतल का समीकरण $(\bar{r} - \bar{b}) \cdot \bar{n} = 0$ है,अर्थात $(\bar{r} - (\bar{i}+2 \bar{j})) \cdot (4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}) = 0$.
रेखा के समीकरण को समतल के समीकरण में रखने पर:
$((1+2t-1)\bar{i} + (-2-2)\bar{j} + t\bar{k}) \cdot (4\bar{i} - \bar{j} - 2\bar{k}) = 0$
$8t + 4 - 2t = 0 \implies 6t = -4 \implies t = -\frac{2}{3}$.
$t = -\frac{2}{3}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\bar{r} = (1+2(-\frac{2}{3}))\bar{i} - 2\bar{j} - \frac{2}{3}\bar{k} = -\frac{1}{3}\bar{i} - 2\bar{j} - \frac{2}{3}\bar{k} = -\frac{1}{3}(\bar{i} + 6\bar{j} + 2\bar{k})$.

(C) मान लीजिए बिंदु $A(6,2,4)$,$B(1,3,5)$,$C(1,-2,3)$ और $D(6, k, 2)$ हैं।
ये चार बिंदु समतलीय हैं यदि सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$ और $\vec{AD}$ समतलीय हैं,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = -5\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (k-2)\hat{j} - 2\hat{k}$
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} -5 & 1 & 1 \\ -5 & -4 & -1 \\ 0 & k-2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-5[8 + k - 2] - 1[10] + 1[-5k + 10] = 0$
$-5[k + 6] - 10 - 5k + 10 = 0$
$-5k - 30 - 5k = 0$
$-10k = 30$
$k = -3$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना बिंदु $A(1, 2, 0)$ और $B(0, 1, -2)$ हैं। $A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\overline{r} = (1 - t)(\overline{i} + 2\overline{j}) + t(\overline{j} - 2\overline{k}) = (1 - t)\overline{i} + (2 - t)\overline{j} - 2t\overline{k}$ है।
माना समतल पर बिंदु $P(2, -1, 0)$,$Q(0, 2, 3)$ और $R(-2, 0, 1)$ हैं। समतल का अभिलंब सदिश $\overline{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = (-2\overline{i} + 3\overline{j} + 3\overline{k}) \times (-4\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 3 & 3 \\ -4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -10\overline{j} + 10\overline{k}$ है।
हम अभिलंब सदिश $\overline{n} = \overline{j} - \overline{k}$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $(\overline{r} - (2\overline{i} - \overline{j})) \cdot (\overline{j} - \overline{k}) = 0$ है,जो $y - z = -1$ में सरल हो जाता है।
रेखा के निर्देशांक $(1-t, 2-t, -2t)$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $(2-t) - (-2t) = -1 \implies 2 + t = -1 \implies t = -3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $\overline{r} = (1 - (-3))\overline{i} + (2 - (-3))\overline{j} - 2(-3)\overline{k} = 4\overline{i} + 5\overline{j} + 6\overline{k}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\overline{r} \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = (4\overline{i} + 5\overline{j} + 6\overline{k}) \cdot (\overline{i} + \overline{j} + \overline{k}) = 4 + 5 + 6 = 15$.

(C) रेखा $L_1$ बिंदुओं $A(1, 1, 0)$ और $B(-1, 0, 1)$ से गुजरती है। $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = B - A = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
$L_1$ का समीकरण $\vec{r} = (1-2s, 1-s, s)$ है।
रेखा $L_2$ बिंदु $C(0, 1, 2)$ से गुजरती है और $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ के समानांतर है।
$L_2$ का समीकरण $\vec{r} = (t, 1+t, 2+t)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$(1-2s, 1-s, s) = (t, 1+t, 2+t)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1-2s = t$,$1-s = 1+t$,$s = 2+t$ प्राप्त होता है।
$1-s = 1+t$ से,$s = -t$ मिलता है।
$s = -t$ को $s = 2+t$ में रखने पर: $-t = 2+t \implies 2t = -2 \implies t = -1$ प्राप्त होता है।
अतः $s = 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = -1$,$y = 0$,$z = 1$ है।
इस प्रकार,$(y-x) = 0 - (-1) = 1$ है।
चूंकि $z = 1$ है,इसलिए $(y-x) = z$ है।

(B) सिक्के को $8$ बार उछालने पर कुल संभावित परिणाम $2^8 = 256$ हैं।
मान लीजिए $H$ चित है और $T$ पट है।
हमें वे परिणाम चाहिए जिनमें $H$ लगातार कम से कम $5$ बार आए।
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $10$ है।
प्रायिकता $= \frac{10}{256} = \frac{5}{128}$.

(D) माना पुरुषों की संख्या $m$ और महिलाओं की संख्या $w$ है। दिया गया है $m + w = 8$।
परिवार से $2$ पुरुष और $2$ महिलाओं को चुनने की प्रायिकता $P(E) = \frac{\binom{m}{2} \binom{w}{2}}{\binom{8}{4}}$ है।
हमें दिया गया है कि यह घटना घटित हुई है। हमें $m = w = 4$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
यदि $m = 4$ और $w = 4$ है,तो $2$ पुरुष और $2$ महिलाओं को चुनने की प्रायिकता $P(E|m=4, w=4) = \frac{\binom{4}{2} \binom{4}{2}}{\binom{8}{4}} = \frac{6 \times 6}{70} = \frac{36}{70}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{36}{126} = \frac{2}{7}$ प्राप्त होती है।

(A) तीन पासे फेंकने पर कुल परिणाम $6^3 = 216$ होते हैं।
घटना $A$ योग $S > 14$ है,अर्थात $S \in \{15, 16, 17, 18\}$।
इन योगों को प्राप्त करने के कुल परिणाम $20$ हैं।
घटना $B$ योग $3$ का गुणज है,अर्थात $S \in \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$।
$A \cap B$ में $S=15$ और $S=18$ शामिल हैं,इसलिए $n(A \cap B) = 11$।
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{20-11}{216} = \frac{9}{216}$।
चूंकि $n(B) = 72$ है,$P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{72-11}{216} = \frac{61}{216}$।
अतः,$P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{9+61}{216} = \frac{70}{216} = \frac{35}{108}$।

(C) माना $P(A) = x$, $P(B) = y$, $P(C) = z$, $P(A \cap B) = p$, $P(B \cap C) = q$, $P(C \cap A) = r$, और $P(A \cap B \cap C) = k = \frac{1}{16}$ है।
दिया है $P(\text{exactly one of } A \text{ or } B) = x + y - 2p = \frac{1}{4}$।
इसी प्रकार, $y + z - 2q = \frac{1}{4}$ और $z + x - 2r = \frac{1}{4}$।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(x + y + z) - 2(p + q + r) = \frac{3}{4} \implies x + y + z - (p + q + r) = \frac{3}{8}$।
कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B \cup C) = (x + y + z) - (p + q + r) + k$ है।
मान रखने पर: $P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$।

(D) $52$ पत्तों की गड्डी में $26$ काले पत्ते होते हैं। $26$ में से $2$ काले पत्ते चुनने के तरीके $^{26}C_2 = \frac{26 \times 25}{2} = 325$ हैं।
$26$ काले पत्तों में $6$ फेस कार्ड (हुकुम और चिड़ी के राजा,रानी और गुलाम) होते हैं।
$2$ काले पत्ते चुनने के तरीके जिनमें कोई भी फेस कार्ड न हो,$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
$2$ काले पत्ते चुनने के तरीके जिनमें कम से कम एक फेस कार्ड हो,$325 - 190 = 135$ हैं।
अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{135}{325} = \frac{27}{65}$ है।

(A) जब एक पासे को दो बार फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
घटना $A$ पहली बार पासा फेंकने पर अभाज्य संख्या प्राप्त करना है। पासे पर अभाज्य संख्याएँ ${2, 3, 5}$ हैं। अतः,$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
घटना $B$ दूसरी बार पासा फेंकने पर सम संख्या प्राप्त करना है। पासे पर सम संख्याएँ ${2, 4, 6}$ हैं। अतः,$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
घटना $\overline{B}$,$B$ की पूरक घटना है,जिसका अर्थ है दूसरी बार पासा फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त करना। विषम संख्याएँ ${1, 3, 5}$ हैं। अतः,$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
चूंकि दोनों फेंक स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A$ का घटित होना $\overline{B}$ के घटित होने पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,$P(A / \overline{B}) = P(A) = \frac{1}{2}$।

(C) मान लीजिए $B_1$ पहली टोकरी है और $B_2$ दूसरी टोकरी है।
$B_1$ में,कुल फल = $5 + 7 = 12$ हैं।
$B_1$ से सेब चुनने की प्रायिकता,$P(A_1) = \frac{5}{12}$ है।
$B_1$ से संतरा चुनने की प्रायिकता,$P(O_1) = \frac{7}{12}$ है।
$B_2$ में,कुल फल = $4 + 8 = 12$ हैं।
$B_2$ से सेब चुनने की प्रायिकता,$P(A_2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ है।
$B_2$ से संतरा चुनने की प्रायिकता,$P(O_2) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ है।
हमें एक सेब और एक संतरा चाहिए। यह दो परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकता है:
$1$. $B_1$ से सेब और $B_2$ से संतरा: $P(A_1) \times P(O_2) = \frac{5}{12} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{36}$।
$2$. $B_1$ से संतरा और $B_2$ से सेब: $P(O_1) \times P(A_2) = \frac{7}{12} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{36}$।
कुल प्रायिकता = $\frac{10}{36} + \frac{7}{36} = \frac{17}{36}$।

(C) $52$ पत्तों की गड्डी में $12$ फेस कार्ड होते हैं। काले रंग के $6$ फेस कार्ड होते हैं।
पहला पत्ता रानी है। कुल $4$ रानियाँ हैं।
यदि पहला पत्ता काली रानी है (प्रायिकता $2/4 = 1/2$),तो शेष $51$ पत्तों में $5$ काले फेस कार्ड बचेंगे।
यदि पहला पत्ता लाल रानी है (प्रायिकता $2/4 = 1/2$),तो शेष $51$ पत्तों में $6$ काले फेस कार्ड बचेंगे।
कुल प्रायिकता $= (1/2 \times 5/51) + (1/2 \times 6/51) = 11/102$.

(A) दिया गया है: $P(\overline{A}) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap \overline{B}) = 0.5$.
चूँकि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$,इसलिए $0.7 = P(A \cap B) + 0.5$,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0.2$.
हमें $P(B | (A \cup \overline{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})}$ ज्ञात करना है।
अंश: $P(B \cap (A \cup \overline{B})) = P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{B})) = P((B \cap A) \cup \emptyset) = P(A \cap B) = 0.2$.
हर: $P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अतः,$P(B | (A \cup \overline{B})) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(B) माना $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = xy = \frac{1}{6}$।
साथ ही,$P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) = (1-x)(1-y) = \frac{1}{3}$।
दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर: $1 - x - y + xy = \frac{1}{3}$।
$xy = \frac{1}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 - (x+y) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$।
$x+y = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
अतः $x+y = \frac{5}{6}$ और $xy = \frac{1}{6}$।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ के मूल हैं,जो $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ है।
$6$ से गुणा करने पर: $6t^2 - 5t + 1 = 0$।
$(2t-1)(3t-1) = 0$।
अतः,$t = \frac{1}{2}$ या $t = \frac{1}{3}$।
चूँकि $P(A) > P(B)$,इसलिए $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$B$ के घटित होने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः कलश $U_1, U_2, U_3$ चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि कलश यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$।
मान लीजिए $B$ काली गेंद चुनने की घटना है। हमें काली गेंद न मिलने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(B^c) = 1 - P(B)$ है।
प्रत्येक कलश से काली गेंद चुनने की प्रायिकता:
$P(B|E_1) = \frac{2}{5+3+2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B|E_2) = \frac{2}{4+4+2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B|E_3) = \frac{3}{3+4+3} = \frac{3}{10}$
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$
$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{4+3}{30} = \frac{7}{30}$।
अतः,काली गेंद न मिलने की प्रायिकता $P(B^c) = 1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30}$ है।

(C) पॉइसन वितरण के लिए,माध्य $\lambda$ प्रसरण के बराबर होता है। दिया गया है कि प्रसरण $= 2$,इसलिए $\lambda = 2$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ है।
हमें $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.
योग $= e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.
अतः,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2 - 5}{e^2}$.

(C) मान लीजिए $W_A, B_A$ पात्र $A$ से सफेद या काली गेंद निकालने की घटनाएँ हैं। $P(W_A) = \frac{4}{5}, P(B_A) = \frac{1}{5}$.
$A$ से $B$ में स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $6$ गेंदें हैं।
स्थिति $1$: यदि $W_A$ स्थानांतरित होता है,तो $B$ में $4$ सफेद,$2$ काली गेंदें होती हैं। $P(W_{B|W_A}) = \frac{4}{6}, P(B_{B|W_A}) = \frac{2}{6}$.
स्थिति $2$: यदि $B_A$ स्थानांतरित होता है,तो $B$ में $3$ सफेद,$3$ काली गेंदें होती हैं। $P(W_{B|B_A}) = \frac{3}{6}, P(B_{B|B_A}) = \frac{3}{6}$.
पात्र $C$ में प्रारंभ में $2$ सफेद,$3$ काली गेंदें हैं। $B$ से स्थानांतरण के बाद,इसमें $6$ गेंदें हो जाती हैं।
यदि $W_B$ स्थानांतरित होता है,तो $C$ में $3$ सफेद,$3$ काली गेंदें होती हैं। $P(B_C|W_B) = \frac{3}{6}$.
यदि $B_B$ स्थानांतरित होता है,तो $C$ में $2$ सफेद,$4$ काली गेंदें होती हैं। $P(B_C|B_B) = \frac{4}{6}$.
कुल प्रायिकता $P(B_C) = P(B_C|W_B)P(W_B) + P(B_C|B_B)P(B_B)$.
$P(W_B) = P(W_B|W_A)P(W_A) + P(W_B|B_A)P(B_A) = (\frac{4}{6} \times \frac{4}{5}) + (\frac{3}{6} \times \frac{1}{5}) = \frac{16+3}{30} = \frac{19}{30}$.
$P(B_B) = 1 - \frac{19}{30} = \frac{11}{30}$.
$P(B_C) = (\frac{3}{6} \times \frac{19}{30}) + (\frac{4}{6} \times \frac{11}{30}) = \frac{57 + 44}{180} = \frac{101}{180}$.

(C) दुर्घटनाओं की संख्या पॉइसन वितरण (Poisson distribution) का पालन करती है,जहाँ पैरामीटर $\lambda = 5$ है।
पॉइसन वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ है।
हमें अधिकतम एक दुर्घटना होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
$x = 0$ के लिए,$P(X = 0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = \frac{e^{-5} \times 1}{1} = e^{-5}$।
$x = 1$ के लिए,$P(X = 1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = \frac{e^{-5} \times 5}{1} = 5e^{-5}$।
अतः,$P(X \le 1) = e^{-5} + 5e^{-5} = 6e^{-5} = \frac{6}{e^5}$।

(D) माना $R_P$ थैली $P$ से लाल गेंद निकालने की घटना है और $B_P$ थैली $P$ से काली गेंद निकालने की घटना है। इसी प्रकार,$R_Q$ और $B_Q$ थैली $Q$ के लिए घटनाएँ हैं।
थैली $P$ में $4$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं (कुल $9$)।
थैली $Q$ में $3$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं (कुल $9$)।
हम $P$ से $1$ गेंद और $Q$ से $2$ गेंदें निकालते हैं।
कुल तरीके $\binom{9}{1} \times \binom{9}{2} = 9 \times 36 = 324$ हैं।
हमें $2$ काली और $1$ लाल गेंद चाहिए। यह दो मामलों में संभव है:
स्थिति $1$: $P$ से $1$ लाल और $Q$ से $2$ काली गेंदें।
प्रायिकता $= P(R_P) \times P(2B_Q) = \frac{4}{9} \times \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{27}$.
स्थिति $2$: $P$ से $1$ काली और $Q$ से $1$ लाल,$1$ काली गेंद।
प्रायिकता $= P(B_P) \times P(1R_Q, 1B_Q) = \frac{5}{9} \times \frac{\binom{3}{1} \times \binom{6}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{36} = \frac{5}{18}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{5}{27} + \frac{5}{18} = \frac{10 + 15}{54} = \frac{25}{54}$.

(A) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि पासा छह दर्शाता है,और $E^c$ वह घटना है कि पासा छह नहीं दर्शाता है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि व्यक्ति रिपोर्ट करता है कि यह छह है।
हमें दिया गया है:
$P(E) = \frac{1}{6}$
$P(E^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
सच बोलने की प्रायिकता $P(T) = \frac{3}{4}$,इसलिए झूठ बोलने की प्रायिकता $P(L) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
यदि पासा छह दर्शाता है,तो व्यक्ति छह की रिपोर्ट तभी करता है जब वह सच बोलता है: $P(A|E) = \frac{3}{4}$।
यदि पासा छह नहीं दर्शाता है,तो व्यक्ति छह की रिपोर्ट तभी करता है जब वह झूठ बोलता है: $P(A|E^c) = \frac{1}{4}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि यह वास्तव में छह है,यह देखते हुए कि उसने छह की रिपोर्ट की है:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(E) \times P(A|E) + P(E^c) \times P(A|E^c)}$
$P(E|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}$
$P(E|A) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$।

(C) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि कर्मचारी एक पुरुष है और $W$ वह घटना है कि कर्मचारी एक महिला है। मान लीजिए $T$ वह घटना है कि कर्मचारी एक तकनीकी सहायक है।
दिया गया है:
$P(M) = 0.70$
$P(W) = 1 - 0.70 = 0.30$
$P(T|M) = 0.30$
$P(T|W) = 0.15$
हमें $P(M|T)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(M|T) = \frac{P(M) \times P(T|M)}{P(M) \times P(T|M) + P(W) \times P(T|W)}$
$P(M|T) = \frac{0.70 \times 0.30}{(0.70 \times 0.30) + (0.30 \times 0.15)}$
$P(M|T) = \frac{0.21}{0.21 + 0.045}$
$P(M|T) = \frac{0.21}{0.255}$
$P(M|T) = \frac{210}{255} = \frac{14}{17}$

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि बल्ब क्रमशः $A, B, C$ इकाइयों द्वारा उत्पादित होता है। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि बल्ब दोषपूर्ण है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(E_1) = 0.25, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.40$
$P(D|E_1) = 0.05, P(D|E_2) = 0.04, P(D|E_3) = 0.02$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,बल्ब के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता है:
$P(D) = P(E_1)P(D|E_1) + P(E_2)P(D|E_2) + P(E_3)P(D|E_3)$
$P(D) = (0.25 \times 0.05) + (0.35 \times 0.04) + (0.40 \times 0.02)$
$P(D) = 0.0125 + 0.0140 + 0.0080 = 0.0345$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दोषपूर्ण बल्ब के इकाई $B$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता है:
$P(E_2|D) = \frac{P(E_2)P(D|E_2)}{P(D)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.04}{0.0345} = \frac{0.0140}{0.0345} = \frac{140}{345}$
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(E_2|D) = \frac{28}{69}$

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः परिवारों $F_1, F_2, F_3$ को चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि परिवार को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $G$ वह घटना है कि चुना गया बच्चा एक लड़की है।
प्रत्येक परिवार से एक लड़की को चुनने की प्रायिकताएँ हैं:
$P(G|E_1) = \frac{1}{3}$
$P(G|E_2) = \frac{2}{3}$
$P(G|E_3) = \frac{1}{2}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लड़की के $F_2$ से होने की प्रायिकता $P(E_2|G) = \frac{P(E_2)P(G|E_2)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)}$ है।
मान रखने पर: $P(E_2|G) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{2+4+3}{18}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{9}{18}} = \frac{2}{9} \times 2 = \frac{4}{9}$.

(C) मान लीजिए $E_i$ वह घटना है कि थैली में $i$ लाल गेंदें हैं,जहाँ $i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
चूँकि प्रत्येक स्थिति के लिए समान अवसर हैं,इसलिए $P(E_i) = \frac{1}{6}$ होगा।
मान लीजिए $R$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद लाल है।
यदि $i$ लाल गेंदें हैं,तो लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_i) = \frac{i}{5}$ है।
ध्यान दें कि $P(R|E_0) = 0$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,निकाली गई गेंद के लाल होने पर थैली में केवल $1$ लाल गेंद होने की प्रायिकता है:
$P(E_1|R) = \frac{P(R|E_1)P(E_1)}{\sum_{i=0}^{5} P(R|E_i)P(E_i)}$
$P(E_1|R) = \frac{(\frac{1}{5})(\frac{1}{6})}{(\frac{0}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{2}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{3}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{4}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{5}{5})(\frac{1}{6})}$
$P(E_1|R) = \frac{1}{0+1+2+3+4+5} = \frac{1}{15}$.

(C) मान लीजिए $D$ वह घटना है कि वस्तु खराब है और $ND$ वह घटना है कि वस्तु खराब नहीं है।
दिया गया है $P(D) = 0.3$,इसलिए $P(ND) = 1 - 0.3 = 0.7$।
मान लीजिए $R_D$ वह घटना है कि उपकरण वस्तु को खराब बताता है और $R_{ND}$ वह घटना है कि उपकरण वस्तु को खराब नहीं बताता है।
उपकरण $80\%$ समय सटीक है,इसलिए $P(R_D|D) = 0.8$ और $P(R_{ND}|ND) = 0.8$।
परिणामस्वरूप,$P(R_{ND}|D) = 1 - 0.8 = 0.2$ और $P(R_D|ND) = 1 - 0.8 = 0.2$।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वस्तु खराब है यदि उपकरण उसे खराब नहीं बताता है,यानी $P(D|R_{ND})$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(D|R_{ND}) = \frac{P(R_{ND}|D) \times P(D)}{P(R_{ND}|D) \times P(D) + P(R_{ND}|ND) \times P(ND)}$
$P(D|R_{ND}) = \frac{0.2 \times 0.3}{(0.2 \times 0.3) + (0.8 \times 0.7)}$
$P(D|R_{ND}) = \frac{0.06}{0.06 + 0.56} = \frac{0.06}{0.62} = \frac{6}{62} = \frac{3}{31}$।

(D) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः सेक्शन $A, B$ और $C$ को चुनने की घटनाएँ हैं। मान लीजिए $G$ एक लड़की को चुनने की घटना है।
सेक्शन चुनने की दी गई प्रायिकताएँ $P(E_1) = 0.2, P(E_2) = 0.3, P(E_3) = 0.5$ हैं।
प्रत्येक सेक्शन से एक लड़की को चुनने की सशर्त प्रायिकताएँ हैं:
$P(G|E_1) = \frac{20}{20+30} = \frac{20}{50} = 0.4$
$P(G|E_2) = \frac{40}{40+20} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$P(G|E_3) = \frac{10}{10+30} = \frac{10}{40} = 0.25$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लड़की के सेक्शन $A$ से होने की प्रायिकता $P(E_1|G) = \frac{P(E_1)P(G|E_1)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)}$ है।
$P(E_1|G) = \frac{0.2 \times 0.4}{(0.2 \times 0.4) + (0.3 \times \frac{2}{3}) + (0.5 \times 0.25)}$
$P(E_1|G) = \frac{0.08}{0.08 + 0.2 + 0.125} = \frac{0.08}{0.405} = \frac{80}{405} = \frac{16}{81}$.

(B) मान लीजिए $T$ वह घटना है कि छात्र टीवी देखता है और $B$ वह घटना है कि छात्र किताब पढ़ता है। मान लीजिए $S$ वह घटना है कि छात्र सो जाता है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(T) = \frac{4}{5}$
$P(B) = 1 - P(T) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$P(S|T) = \frac{3}{4}$
$P(S|B) = \frac{1}{4}$
हमें $P(T|S)$ ज्ञात करना है,यानी उसके सोए होने पर उसके टीवी देखने की प्रायिकता।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(T|S) = \frac{P(T) \times P(S|T)}{P(T) \times P(S|T) + P(B) \times P(S|B)}$
$P(T|S) = \frac{(\frac{4}{5}) \times (\frac{3}{4})}{(\frac{4}{5}) \times (\frac{3}{4}) + (\frac{1}{5}) \times (\frac{1}{4})}$
$P(T|S) = \frac{\frac{12}{20}}{\frac{12}{20} + \frac{1}{20}}$
$P(T|S) = \frac{\frac{12}{20}}{\frac{13}{20}} = \frac{12}{13}$

(D) मान लीजिए $n = 5$ परीक्षाओं की संख्या है और $p = \frac{2}{3}$ डिस्टिंक्शन प्राप्त करने की प्रायिकता है। तब $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,हमें कम से कम $3$ परीक्षाओं में डिस्टिंक्शन प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 4) = \binom{5}{4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^1 = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 5) = \binom{5}{5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{32}{243} \times 1 = \frac{32}{243}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \ge 3) = \frac{80 + 80 + 32}{243} = \frac{192}{243}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{64}{81}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि $A$ एक खेल जीतता है,इसलिए $p = 0.6 = \frac{3}{5}$ है।
मान लीजिए $n = 3$ खेले गए खेलों की संख्या है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $A$ कम से कम दो खेल जीतता है,जो $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3)$ है,जहाँ $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ है।
$k = 2$ के लिए: $P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.6)^2 (0.4)^1 = 3 \times 0.36 \times 0.4 = 0.432$ है।
$k = 3$ के लिए: $P(X = 3) = \binom{3}{3} (0.6)^3 (0.4)^0 = 1 \times 0.216 \times 1 = 0.216$ है।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \ge 2) = 0.432 + 0.216 = 0.648$ है।
भिन्न में बदलने पर: $0.648 = \frac{648}{1000} = \frac{81}{125}$ है।

(A) द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n=9$ है,समीकरण $P(X=3)=P(X=6)$ का अर्थ है:
$\binom{9}{3} p^3 (1-p)^{6} = \binom{9}{6} p^6 (1-p)^{3}$
चूंकि $\binom{9}{3} = \binom{9}{6}$,हमें प्राप्त होता है:
$p^3 (1-p)^6 = p^6 (1-p)^3$
दोनों पक्षों को $p^3 (1-p)^3$ से विभाजित करने पर:
$(1-p)^3 = p^3 \implies 1-p = p \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2}$.
अब,$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करते हैं:
$P(X=0) = \binom{9}{0} (\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$.
$P(X=1) = \binom{9}{1} (\frac{1}{2})^9 = \frac{9}{512}$.
$P(X=2) = \binom{9}{2} (\frac{1}{2})^9 = \frac{36}{512}$.
$P(X < 3) = \frac{1+9+36}{512} = \frac{46}{512} = \frac{23}{256}$.

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np = \frac{16}{5}$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = \frac{48}{25}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{48/25}{16/5} = \frac{48}{25} \times \frac{5}{16} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
$np = \frac{16}{5}$ में $p$ का मान रखने पर,$n \times \frac{2}{5} = \frac{16}{5}$,जिससे $n = 8$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{8}{k} (\frac{2}{5})^k (\frac{3}{5})^{8-k}$ है।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^8 = \frac{3^8}{5^8}$।
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^7 = 8 \times \frac{2}{5} \times \frac{3^7}{5^7} = \frac{16 \times 3^7}{5^8} = \frac{48 \times 3^6}{5^8}$।
$P(X=2) = \binom{8}{2} (\frac{2}{5})^2 (\frac{3}{5})^6 = 28 \times \frac{4}{25} \times \frac{3^6}{5^6} = \frac{112 \times 3^6}{5^8}$।
योग करने पर: $P(X \leq 2) = \frac{3^8 + 48 \times 3^6 + 112 \times 3^6}{5^8} = \frac{9 \times 3^6 + 160 \times 3^6}{5^8} = \frac{169 \times 3^6}{5^8}$।

(B) एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $p = 1/2$ और पट आने की प्रायिकता $q = 1/2$ है। यादृच्छिक चर $X$ द्विपद बंटन $B(n, 1/2)$ का पालन करता है।
$P(X=k) = \binom{n}{k} (1/2)^n$.
दिया गया है कि $P(X=4)$,$P(X=5)$ और $P(X=6)$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2P(X=5) = P(X=4) + P(X=6)$.
द्विपद प्रायिकताओं को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \binom{n}{5} (1/2)^n = \binom{n}{4} (1/2)^n + \binom{n}{6} (1/2)^n$.
$(1/2)^n$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $2 \binom{n}{5} = \binom{n}{4} + \binom{n}{6}$.
सूत्र $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ का उपयोग करने पर: $2 \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$.
$n!$ से विभाजित करने और $6!(n-4)!$ से गुणा करने पर: $2 \times 6(n-4) = 6 \times 5 + (n-4)(n-5)$.
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$.
$n^2 - 21n + 98 = 0$.
$(n-7)(n-14) = 0$.
अतः,$n = 7$ या $n = 14$. इसलिए $n$ का अधिकतम मान $14$ है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है $n = 6$ और $\mu - \sigma^2 = \frac{27}{8}$।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $np - npq = \frac{27}{8} \implies np(1 - q) = \frac{27}{8}$।
चूंकि $1 - q = p$,इसलिए $np^2 = \frac{27}{8}$।
$n = 6$ रखने पर: $6p^2 = \frac{27}{8} \implies p^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$।
अतः,$p = \frac{3}{4}$ और $q = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
$X$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = \binom{6}{0} (\frac{3}{4})^0 (\frac{1}{4})^6 = \frac{1}{4^6}$।
$P(X = 1) = \binom{6}{1} (\frac{3}{4})^1 (\frac{1}{4})^5 = \frac{18}{4^6}$।
$P(X = 2) = \binom{6}{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^4 = \frac{135}{4^6}$।
योग करने पर: $P(X \le 2) = \frac{1 + 18 + 135}{4^6} = \frac{154}{4^6}$।

(D) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $\mu = 2\sigma^2$,इसलिए $np = 2npq$,जिसका अर्थ है $1 = 2q$,अतः $q = \frac{1}{2}$ और $p = 1 - q = \frac{1}{2}$ है।
दिया गया है $\mu + \sigma^2 = 3$,$\mu = 2\sigma^2$ प्रतिस्थापित करने पर $3\sigma^2 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $\sigma^2 = 1$ है।
चूंकि $\sigma^2 = npq = n(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{n}{4} = 1$,इसलिए $n = 4$ है।
अतः,$X \sim B(4, \frac{1}{2})$ है।
हमें $P(X \leq 3) = 1 - P(X = 4)$ की गणना करनी है।
$P(X = 4) = \binom{4}{4} p^4 q^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^4 \times 1 = \frac{1}{16}$ है।
इसलिए,$P(X \leq 3) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ है।

(B) मान लीजिए $n = 4$ स्कैन की संख्या है और $p = 0.1$ एक स्कैन में विमान का पता लगाने की संभावना है। विमान का पता न लगाने की संभावना $q = 1 - p = 0.9$ है।
द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए,$n$ स्कैन में $X$ बार विमान का पता लगाने की संभावना $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें कम से कम दो बार विमान का पता लगाने की संभावना ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.1)^0 (0.9)^4 = 1 \times 1 \times 0.6561 = 0.6561$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.1)^1 (0.9)^3 = 4 \times 0.1 \times 0.729 = 0.2916$.
अतः,$P(X \ge 2) = 1 - (0.6561 + 0.2916) = 1 - 0.9477 = 0.0523$.

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k \frac{2^{2x+1}}{(2x+1)!} = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^{2x+1}}{(2x+1)!} = 1$.
मान लीजिए $n = 2x+1$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक जाता है,$n$ विषम मान $1, 3, 5, \ldots$ लेता है।
अतः,$k \sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = 1$.
$\sinh(z)$ के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $\sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{z^n}{n!} = \sinh(z)$ है।
यहाँ,$z = 2$ है,इसलिए $\sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = \sinh(2)$.
इस प्रकार,$k \sinh(2) = 1$.
$k = \frac{1}{\sinh(2)} = \text{cosech } 2$.

(B) द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $\mu - \sigma^2 = 1$,तो $np - npq = 1$,जो $np(1-q) = 1$ अर्थात $np^2 = 1$ हो जाता है।
दिया गया है $2 P(X=2) = 3 P(X=1)$,हम सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हैं।
$2 \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = 3 \binom{n}{1} p^1 q^{n-1}$.
$2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} p^2 q^{n-2} = 3n p q^{n-1}$.
$(n-1) p = 3q = 3(1-p)$.
$np - p = 3 - 3p \implies np + 2p = 3$.
चूंकि $np^2 = 1$,हमारे पास $n = \frac{1}{p^2}$ है।
$n$ का मान रखने पर: $\frac{1}{p^2} \cdot p + 2p = 3 \implies \frac{1}{p} + 2p = 3$.
$1 + 2p^2 = 3p \implies 2p^2 - 3p + 1 = 0$.
$(2p-1)(p-1) = 0$. चूंकि $p < 1$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ है।
तब $n = \frac{1}{(1/2)^2} = 4$.
हमें $n^2 P(X>1) = 16(1 - P(X=0) - P(X=1))$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = (1/2)^4 = 1/16$.
$P(X=1) = \binom{4}{1} (1/2)^1 (1/2)^3 = 4 \cdot (1/16) = 4/16$.
$P(X>1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 11/16$.
$n^2 P(X>1) = 16 \cdot (11/16) = 11$.

(A) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$\alpha + \alpha + \alpha + \beta + \beta + 0.3 = 1 \implies 3\alpha + 2\beta = 0.7$ (समीकरण $1$).
माध्य $\mu = \sum x_i P(x_i) = 4.2$ दिया गया है:
$1(\alpha) + 2(\alpha) + 3(\alpha) + 4(\beta) + 5(\beta) + 6(0.3) = 4.2$
$6\alpha + 9\beta + 1.8 = 4.2 \implies 6\alpha + 9\beta = 2.4 \implies 2\alpha + 3\beta = 0.8$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ और $2$ को हल करने पर:
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर: $6\alpha + 4\beta = 1.4$.
समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर: $6\alpha + 9\beta = 2.4$.
घटाने पर: $5\beta = 1.0 \implies \beta = 0.2$.
$\beta = 0.2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $3\alpha + 2(0.2) = 0.7 \implies 3\alpha = 0.3 \implies \alpha = 0.1$.
हमें $\sigma^2 + \mu^2$ ज्ञात करना है। चूंकि $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,इसलिए $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 1^2(0.1) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.2) + 5^2(0.2) + 6^2(0.3)$
$E(X^2) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 3.2 + 5.0 + 10.8 = 20.4$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_i) = 3K + 5K + 3k^2 + (4k^2 + k) + 3k^2 = 1$
$10k^2 + 9K - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $P(X = x_i) \geq 0$,इसलिए $k > 0$ होना चाहिए,अतः $k = \frac{1}{10}$।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X \leq 2) = 3K + 5K + 3k^2 = 8K + 3k^2$।
$k = \frac{1}{10}$ रखने पर:
$P(X \leq 2) = 8(\frac{1}{10}) + 3(\frac{1}{10})^2 = \frac{8}{10} + \frac{3}{100} = \frac{80 + 3}{100} = \frac{83}{100}$।