int_0^2 x^8left(frac{4}{x^2}-1right)^{5 / 2} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^2 x^8 \left(\frac{4}{x^2} - 1ight)^{5/2} dx$. $x = 2 \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होत

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$\frac{2^{10}}{63}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^2 x^8 \left(\frac{4}{x^2} - 1ight)^{5/2} dx$. $x = 2 \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $	heta = 0$ और जब $x = 2$,तब $	heta = \frac{\pi}{2}$. पद $\frac{4}{x^2} - 1 = \cot^2 	heta$ हो जाता है। समाकलन में मान रखने पर: $I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin 	heta)^8 (\cot^2 	heta)^{5/2} (2 \cos 	heta) d	heta$ $I = 2^9 \int_0^{\pi/2} \sin^3 	heta \cos^6 	heta d	heta$ $u = \cos 	heta$ लेने पर,$du = -\sin 	heta d	heta$. $I = 2^9 \int_0^1 (1-u^2) u^6 du = 512 [\frac{u^7}{7} - \frac{u^9}{9}]_0^1 = 512 (\frac{2}{63}) = \frac{1024}{63} = \frac{2^{10}}{63}$.

$\int_0^2 x^8\left(\frac{4}{x^2}-1\right)^{5 / 2} d x=$

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$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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