AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(3-x)^{25}(6+x)^{35}}{(12+x)^{38}(9-x)^{22}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर में $x$ की उच्चतम घात पर विचार करते हैं।
अंश में,पद $(3-x)^{25}(6+x)^{35} \approx (-x)^{25}(x)^{35} = -x^{60}$ है।
हर में,पद $(12+x)^{38}(9-x)^{22} \approx (x)^{38}(-x)^{22} = x^{60}$ है।
अतः,जैसे $x \rightarrow \infty$ होता है,व्यंजक $\frac{-x^{60}}{x^{60}} = -1$ के रूप में व्यवहार करता है।

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{2 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^3}{1-\sin 2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4} + h$ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $h \rightarrow 0$.
तब $\cos x + \sin x = \cos(\frac{\pi}{4} + h) + \sin(\frac{\pi}{4} + h) = \sqrt{2} \cos h$.
साथ ही,$1 - \sin 2x = 1 - \sin(2(\frac{\pi}{4} + h)) = 1 - \sin(\frac{\pi}{2} + 2h) = 1 - \cos 2h = 2 \sin^2 h$.
इन मानों को सीमा में रखने पर:
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sqrt{2} - (\sqrt{2} \cos h)^3}{2 \sin^2 h} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cos^3 h}{2 \sin^2 h} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos^3 h)}{\sin^2 h}$.
$1 - \cos^3 h = (1 - \cos h)(1 + \cos h + \cos^2 h)$ और $\sin^2 h = (1 - \cos h)(1 + \cos h)$ का उपयोग करते हुए:
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos h)(1 + \cos h + \cos^2 h)}{(1 - \cos h)(1 + \cos h)} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}(1 + \cos h + \cos^2 h)}{1 + \cos h}$.
जैसे $h \rightarrow 0$,$\cos h \rightarrow 1$,इसलिए $L = \frac{\sqrt{2}(1 + 1 + 1)}{1 + 1} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(B) हम जानते हैं कि $\sin(3\theta) = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$।
अतः,$l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(3\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(3\theta)}{3\theta} \times 3 = 1 \times 3 = 3$।
हम यह भी जानते हैं कि $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$।
अतः,$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(2\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(2\theta)}{2\theta} \times 2 = 1 \times 2 = 2$।
$l=3$ और $m=2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $(x - l)(x - m) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x - 3)(x - 2) = 0$
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$।

(B) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(\frac{[x]^3}{3}-\left[\frac{x}{3}\right]^3\right)$ है।
जैसे $x \rightarrow 2^{+}$,$x$ का मान $2$ से थोड़ा अधिक है,इसलिए $[x] = 2$ होगा।
साथ ही,जैसे $x \rightarrow 2^{+}$,$\frac{x}{3}$ का मान $\frac{2}{3}$ से थोड़ा अधिक है,इसलिए $\left[\frac{x}{3}\right] = 0$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 2^{+}}\left(\frac{[x]^3}{3}-\left[\frac{x}{3}\right]^3\right) = \frac{2^3}{3} - 0^3 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

(D) हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ है।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{x \rightarrow \infty} [x - \log (\frac{e^x + e^{-x}}{2})]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [x - (\log (e^x + e^{-x}) - \log 2)]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [x - (\log e^x + \log (1 + e^{-2x})) + \log 2]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [x - x - \log (1 + e^{-2x}) + \log 2]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [\log 2 - \log (1 + e^{-2x})]$
जैसे $x \rightarrow \infty$,$e^{-2x} \rightarrow 0$,इसलिए $\log (1 + e^{-2x}) \rightarrow \log 1 = 0$ है।
अतः,सीमा $\log 2 - 0 = \log 2$ है।

(A) माना $L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}-\sqrt{2}}{y^4}$ है।
अंश का परिमेयकरण करने पर,हम $\frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2}}$ से गुणा करते हैं:
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{(1+\sqrt{1+y^4})-2}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+y^4}-1}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})}$।
अंश का पुनः परिमेयकरण करने पर,हम $\frac{\sqrt{1+y^4}+1}{\sqrt{1+y^4}+1}$ से गुणा करते हैं:
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{(1+y^4)-1}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^4}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)}$।
$y^4$ को रद्द करने और $y \rightarrow 0$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$L = \frac{1}{(\sqrt{1+1}+\sqrt{2})(\sqrt{1}+1)} = \frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{2})(1+1)} = \frac{1}{2\sqrt{2} \times 2} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$।

(A) $\text{माना } L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{x^3+4 x^2}-\sqrt{x^2-3 x}\right)$.
$\text{प्रत्येक पद से } x \text{ बाहर निकालने पर:}$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( x(1+\frac{4}{x})^{1/3} - x(1-\frac{3}{x})^{1/2} \right)$.
$\text{द्विपद प्रसार } (1+u)^n \approx 1 + nu \text{ का उपयोग करने पर:}$
$(1+\frac{4}{x})^{1/3} \approx 1 + \frac{4}{3x} \text{ और } (1-\frac{3}{x})^{1/2} \approx 1 - \frac{3}{2x}$.
$\text{इन मानों को रखने पर:}$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( x + \frac{4}{3} - x + \frac{3}{2} \right) = \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{17}{6}$.

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{n^2 - 1}{12} = 10$,इसलिए $n^2 - 1 = 120$,अर्थात $n^2 = 121$,जिससे $n = 11$ प्राप्त होता है।
प्रथम $m$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2m$ हैं। यह $2 \times (1, 2, 3, \dots, m)$ के बराबर है।
संख्याओं के एक समूह को एक स्थिरांक $k$ से गुणा करने पर प्राप्त नए समूह का प्रसरण मूल प्रसरण का $k^2$ गुना होता है।
अतः,प्रथम $m$ सम प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $2^2 \times \frac{m^2 - 1}{12} = 4 \times \frac{m^2 - 1}{12} = \frac{m^2 - 1}{3}$ है।
दिया गया है कि $\frac{m^2 - 1}{3} = 16$,इसलिए $m^2 - 1 = 48$,अर्थात $m^2 = 49$,जिससे $m = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$n: m = 11: 7$.

(D) चरण $1$: प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात कीजिए:
$x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 5, x_4 = 7, x_5 = 9$.
चरण $2$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना कीजिए:
$\sum f_i = 2+3+5+3+2 = 15$.
$\sum f_i x_i = (2 \times 1) + (3 \times 3) + (5 \times 5) + (3 \times 7) + (2 \times 9) = 2 + 9 + 25 + 21 + 18 = 75$.
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{75}{15} = 5$.
चरण $3$: प्रसरण $(\sigma^2)$ की गणना कीजिए:
$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$.
$\sum f_i (x_i - 5)^2 = 2(1-5)^2 + 3(3-5)^2 + 5(5-5)^2 + 3(7-5)^2 + 2(9-5)^2$.
$= 2(16) + 3(4) + 5(0) + 3(4) + 2(16) = 32 + 12 + 0 + 12 + 32 = 88$.
$\sigma^2 = \frac{88}{15}$.

(D) माना $n_1 = 15$,$\bar{x} = 2$,और $\sigma_x^2 = 4$ है। अवलोकनों का योग $\sum x_i = n_1 \bar{x} = 15 \times 2 = 30$ है। वर्गों का योग $\sum x_i^2 = n_1(\sigma_x^2 + \bar{x}^2) = 15(4 + 2^2) = 15(8) = 120$ है।
माना $n_2 = 10$,$\bar{y} = 2$,और $\sigma_y^2 = 5$ है। अवलोकनों का योग $\sum y_i = n_2 \bar{y} = 10 \times 2 = 20$ है। वर्गों का योग $\sum y_i^2 = n_2(\sigma_y^2 + \bar{y}^2) = 10(5 + 2^2) = 10(9) = 90$ है।
कुल $N = n_1 + n_2 = 25$ अवलोकनों के लिए,संयुक्त माध्य $\bar{z} = \frac{\sum x_i + \sum y_i}{n_1 + n_2} = \frac{30 + 20}{25} = \frac{50}{25} = 2$ है।
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{n_1 + n_2} - \bar{z}^2 = \frac{120 + 90}{25} - 2^2 = \frac{210}{25} - 4 = 8.4 - 4 = 4.4$ है।

(B) दिया गया है $\sum_{i=1}^{11}(x_i-4)=22$.
$11$ से भाग देने पर,हमें $\bar{x}-4 = \frac{22}{11} = 2$ प्राप्त होता है,अतः $\bar{x} = \alpha = 6$.
अब,प्रसरण $\beta = \frac{1}{n} \sum (x_i-\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\bar{x}=6$,हमारे पास $x_i-\bar{x} = x_i-6 = (x_i-4)-2$ है।
अतः,$\sum (x_i-6)^2 = \sum ((x_i-4)-2)^2 = \sum (x_i-4)^2 - 4\sum (x_i-4) + \sum 4$.
मान रखने पर: $154 - 4(22) + 11(4) = 154 - 88 + 44 = 110$.
अतः,$\beta = \frac{110}{11} = 10$.
मूल $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ और $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ हैं।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मूलों का योग $= \frac{3}{5} + \frac{5}{3} = \frac{34}{15}$.
मूलों का गुणनफल $= \frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$.
समीकरण $x^2 - \frac{34}{15}x + 1 = 0$ है,जो $15x^2 - 34x + 15 = 0$ में सरल हो जाता है।

(B) चरण $1$: प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें:
$x_1 = \frac{0+4}{2} = 2$,$x_2 = \frac{4+8}{2} = 6$,$x_3 = \frac{8+12}{2} = 10$,$x_4 = \frac{12+16}{2} = 14$.
चरण $2$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 1+2+2+1 = 6$.
$f_i x_i$ का योग $= (1 \times 2) + (2 \times 6) + (2 \times 10) + (1 \times 14) = 2 + 12 + 20 + 14 = 48$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{48}{6} = 8$.
चरण $3$: प्रसरण $(\sigma^2)$ की गणना करें:
$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [1(2-8)^2 + 2(6-8)^2 + 2(10-8)^2 + 1(14-8)^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [1(-6)^2 + 2(-2)^2 + 2(2)^2 + 1(6)^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [36 + 8 + 8 + 36] = \frac{88}{6} = \frac{44}{3}$.
अतः,प्रसरण $\frac{44}{3}$ है।

(C) चरण $1$: डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें।
$\bar{x} = \frac{2 + 12 + 3 + 11 + 5 + 10 + 6 + 7}{8} = \frac{56}{8} = 7$.
चरण $2$: माध्य से विचलन के वर्ग $(x_i - \bar{x})^2$ ज्ञात करें।
$(2-7)^2 = 25, (12-7)^2 = 25, (3-7)^2 = 16, (11-7)^2 = 16, (5-7)^2 = 4, (10-7)^2 = 9, (6-7)^2 = 1, (7-7)^2 = 0$.
चरण $3$: प्रसरण $(\sigma^2)$ के सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ का उपयोग करें।
$\sigma^2 = \frac{25 + 25 + 16 + 16 + 4 + 9 + 1 + 0}{8} = \frac{96}{8} = 12$.

(C) आवृत्तियों का योग: $\sum f_i = (\alpha+2) + (\alpha-1)^2 + 4 + (\alpha-1) + 2 + \alpha = 20$.
सरल करने पर: $\alpha^2 + \alpha - 12 = 0 \implies \alpha = 3$.
आवृत्तियाँ: $5, 4, 4, 2, 2, 3$.
माध्य $\bar{x} = 6$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{54}{20} = 2.7$.

(B) चरण $1$: प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात कीजिए: $1, 3, 5, 7, 9$.
चरण $2$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना कीजिए:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 1) + (3 \times 3) + (4 \times 5) + (1 \times 7) + (2 \times 9)}{1+3+4+1+2} = \frac{1+9+20+7+18}{11} = \frac{55}{11} = 5$.
चरण $3$: माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $(M.D.(\bar{x}))$ की गणना कीजिए:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{1|1-5| + 3|3-5| + 4|5-5| + 1|7-5| + 2|9-5|}{11} = \frac{1(4) + 3(2) + 4(0) + 1(2) + 2(4)}{11} = \frac{4+6+0+2+8}{11} = \frac{20}{11}$.

(C) सबसे पहले,हम डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं और संचयी आवृत्ति $(cf)$ की गणना करते हैं:
$x_i: 2, 3, 5, 7, 9$
$f_i: 8, 6, 4, 2, 1$
$cf: 8, 14, 18, 20, 21$
कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 21$ है।
माध्यिका $(\frac{N+1}{2})$-वां प्रेक्षण है,जो $11$-वां प्रेक्षण है। $cf$ तालिका से,$11$-वां प्रेक्षण $3$ है। अतः,$\text{माध्यिका} (M) = 3$।
अब,माध्यिका से माध्य विचलन की गणना करें:
$\text{M.D.}(M) = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}$
$|x_i - 3|: |2-3|=1, |3-3|=0, |5-3|=2, |7-3|=4, |9-3|=6$
$f_i |x_i - 3|: 8(1)=8, 6(0)=0, 4(2)=8, 2(4)=8, 1(6)=6$
$\sum f_i |x_i - 3| = 8 + 0 + 8 + 8 + 6 = 30$
$\text{M.D.}(M) = \frac{30}{21} = \frac{10}{7}$।

(A) मान लीजिए $y_i = x_i - 5$ है। तो दिए गए योग $\sum_{i=1}^9 y_i = 9$ और $\sum_{i=1}^9 y_i^2 = 45$ हैं।
अवलोकनों $x_i$ का प्रसरण $y_i$ के प्रसरण के समान ही होता है क्योंकि डेटा को एक स्थिरांक से स्थानांतरित करने पर प्रसरण नहीं बदलता है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - (\bar{y})^2$ है।
यहाँ,$n = 9$,$\sum y_i = 9$,और $\sum y_i^2 = 45$ है।
सबसे पहले,$y$ का माध्य ज्ञात करें: $\bar{y} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^9 y_i = \frac{9}{9} = 1$।
अब,प्रसरण ज्ञात करें: $\sigma^2 = \frac{45}{9} - (1)^2 = 5 - 1 = 4$।
मानक विचलन $\sigma$ प्रसरण का वर्गमूल होता है: $\sigma = \sqrt{4} = 2$।

(C) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \times \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
दिया है $a+c=5b$,अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5b+b}{2} = 3b$.
$s = 3b$ का मान रखने पर,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b}{3b-b} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$.

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $1/a, 1/b, 1/c$ समांतर श्रेणी में हैं।
सूत्र $\operatorname{cosec}^2(A/2) = \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
चूँकि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,$b = \frac{2ac}{a+c}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\operatorname{cosec}^2(A/2), \operatorname{cosec}^2(B/2), \operatorname{cosec}^2(C/2)$ समांतर श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$2 \sin B = \sin A + \sin C$।
चूंकि $A = 2C$ है,इसलिए $2 \sin B = \sin 2C + \sin C = 2 \sin C \cos C + \sin C = \sin C (2 \cos C + 1)$।
$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ होने के कारण,$\sin B = \sin 3C = 3 \sin C - 4 \sin^3 C$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C (2 \cos C + 1)$।
$\sin C$ से विभाजित करने पर $(\sin C \neq 0)$,$6 - 8 \sin^2 C = 2 \cos C + 1$।
$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$ का उपयोग करने पर,$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$,जो सरल होकर $8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$ हो जाता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$।
चूंकि $C$ त्रिभुज का एक कोण है,इसलिए $\cos C = 3/4$ प्राप्त होता है।
अतः $\cos A = 1/8$,$\cos B = 9/16$,और $\cos C = 3/4$।
इसलिए $\cos A : \cos B : \cos C = 1/8 : 9/16 : 3/4 = 2 : 9 : 12$।

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
$rr_3 = r_1 r_2$ की शर्त से,$(s-a)(s-b) = s(s-c)$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $a^2 + b^2 = c^2$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।
$B = 60^{\circ}$ होने के कारण,$A = 30^{\circ}$ और $C = 90^{\circ}$ होगा।
भुजाओं का अनुपात $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$ है।
$c = 10$ होने पर,$a = 5$ और $b = 5\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $a^2 + b^2 + c^2 = 25 + 75 + 100 = 200$।

(B) दिया गया है $2A + C = 300^{\circ}$ और $A + B + C = 180^{\circ}$।
समीकरणों को घटाने पर: $(2A + C) - (A + B + C) = 300^{\circ} - 180^{\circ} \implies A - B = 120^{\circ}$।
साथ ही,$R = 8r$। अंतःत्रिज्या का सूत्र $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ है।
$R = 8r$ प्रतिस्थापित करने पर,$r = 4(8r) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \implies 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = 1$।
$2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2}$ का उपयोग करने पर,$16 (\cos 60^{\circ} - \cos \frac{A+B}{2}) \sin \frac{C}{2} = 1$।
चूंकि $A+B = 180^{\circ} - C$,इसलिए $\cos \frac{A+B}{2} = \sin \frac{C}{2}$।
$16 (\frac{1}{2} - \sin \frac{C}{2}) \sin \frac{C}{2} = 1 \implies 8 \sin \frac{C}{2} - 16 \sin^2 \frac{C}{2} = 1$।
$16 \sin^2 \frac{C}{2} - 8 \sin \frac{C}{2} + 1 = 0 \implies (4 \sin \frac{C}{2} - 1)^2 = 0$।
अतः,$\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{4}$।

(C) दिया गया अनुपात $\frac{b}{c} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2+2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{3}+1)^2-2(\sqrt{2}-1)}$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $(\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$.
अतः,$\frac{b}{c} = \frac{2+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$.
चूंकि $A=30^{\circ}$,इसलिए $B+C=150^{\circ}$.
इस अनुपात से,$B=75^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $a: b: c = 4: 5: 6$. मान लीजिए $a = 4k, b = 5k, c = 6k$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3}{4}$.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{9}{16}$.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{1}{8}$.
अब,व्यंजक की गणना करने पर:
$\frac{\cos A + 3 \cos C}{\cos B} = \frac{\frac{3}{4} + 3(\frac{1}{8})}{\frac{9}{16}} = \frac{\frac{9}{8}}{\frac{9}{16}} = 2$.

(D) किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A+B+C = 180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$B+C = 180^{\circ} - A$.
अतः,$\cos(B+C) = \cos(180^{\circ} - A) = -\cos A$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
दिए गए मान $a=13, b=8, c=7$ रखने पर:
$\cos A = \frac{8^2 + 7^2 - 13^2}{2 \times 8 \times 7} = \frac{64 + 49 - 169}{112} = \frac{113 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$.
अंत में,$\cos(B+C) = -\cos A = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{19})^2 = a^2 + 3^2 - 2(a)(3) \cos(120^{\circ})$.
$19 = a^2 + 9 - 6a(-1/2)$.
$19 = a^2 + 9 + 3a$.
$a^2 + 3a - 10 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a+5)(a-2) = 0$.
चूंकि $a$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $a = 2$.

(B) नेपियर सादृश्य (Tangent Rule) का उपयोग करते हुए: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
दिया है $a=5, b=4$,अतः $\frac{a-b}{a+b} = \frac{5-4}{5+4} = \frac{1}{9}$.
$\cos(A-B) = \frac{31}{32}$ से,सर्वसमिका $\tan^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1-\cos(A-B)}{1+\cos(A-B)} = \frac{1-\frac{31}{32}}{1+\frac{31}{32}} = \frac{1}{63}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{9} \cot\left(\frac{C}{2}\right) \implies \cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
अतः $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{7}{9}$.
$\cos C = \frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)} = \frac{1-7/9}{1+7/9} = \frac{1}{8}$.
कोसाइन नियम के अनुसार: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4)(\frac{1}{8}) = 36$.
अतः,$c = 6$.

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $B = 60^{\circ}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$। चूँकि $B = 60^{\circ}$,$\cos 60^{\circ} = 1/2$,इसलिए $b^2 = a^2 + c^2 - ac$।
अतः,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} = b$।
प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos((A-C)/2) = \frac{a+c}{b} \sin(B/2) = \frac{a+c}{b} \sin 30^{\circ} = \frac{a+c}{2b}$।
इसलिए,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} \cdot \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = b \cdot \frac{a+c}{2b} = \frac{a+c}{2}$।

(C) दिया है: क्षेत्रफल $\Delta = 4\sqrt{5}$, $b = 6$, और $\tan \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.
सूत्र $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ का उपयोग करने पर, जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$.
हम जानते हैं कि $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, इसलिए $(s-a)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s(s-b)}$.
इसे सूत्र में रखने पर: $\tan^2 \frac{B}{2} = \frac{\Delta^2}{s^2(s-b)^2}$.
$\tan^2 \frac{B}{2} = \frac{5}{16}$ प्राप्त होता है.
$\frac{5}{16} = \frac{80}{s^2(s-6)^2} \implies s^2(s-6)^2 = 256$.
$s(s-6) = 16 \implies s^2 - 6s - 16 = 0 \implies s = 8$.
$a+c = 10$ और $ac = 21$ प्राप्त होता है, जिससे भुजाएँ $3, 6, 7$ मिलती हैं।
सबसे छोटी भुजा $3$ है।

(B) हम त्रिभुज की अंतःत्रिज्या और बहिःत्रिज्या के सूत्र जानते हैं: $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
इन मानों को $\sqrt{\frac{r r_2}{r_3 r_1}}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{\frac{\left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-b}\right)}{\left(\frac{\Delta}{s-c}\right) \left(\frac{\Delta}{s-a}\right)}} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
अर्ध-कोण सूत्र $\tan^2(B/2) = \frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan(B/2)$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$r_1 + r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-c} \right) = \Delta \left( \frac{s-c+s-a}{(s-a)(s-c)} \right) = \Delta \left( \frac{2s-a-c}{(s-a)(s-c)} \right)$.
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-a-c = b$ है।
अतः,$r_1 + r_3 = \frac{\Delta b}{(s-a)(s-c)}$.
साथ ही,$1 + \cos B = 1 + \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(a+c)^2-b^2}{2ac} = \frac{(a+c-b)(a+c+b)}{2ac} = \frac{(2s-2b)(2s)}{2ac} = \frac{2(s-b)s}{ac}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2(r_1+r_3)}{ac(1+\cos B)} = \frac{2 \cdot \frac{\Delta b}{(s-a)(s-c)}}{ac \cdot \frac{2s(s-b)}{ac}} = \frac{2 \Delta b}{2s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta b}{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
चूंकि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए व्यंजक $\frac{\Delta b}{\Delta^2} = \frac{b}{\Delta}$ हो जाता है।

(A) माना दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। हमें $a + b = x$ और $ab = y$ दिया गया है।
शर्त $x^2 - c^2 = y$ में $x = a + b$ रखने पर:
$(a + b)^2 - c^2 = y$
$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = y$
चूंकि $ab = y$,हमारे पास $a^2 + b^2 + 2y - c^2 = y$ है,जो सरल होकर $a^2 + b^2 - c^2 = -y$ हो जाता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$।
$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C$ की तुलना $a^2 + b^2 - c^2 = -y$ और $ab = y$ से करने पर,हमें $2y \cos C = -y$ प्राप्त होता है,इसलिए $\cos C = -\frac{1}{2}$।
अतः,$C = 120^\circ$।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2 \sin C}$ द्वारा दी जाती है।
$R = \frac{c}{2 \sin 120^\circ} = \frac{c}{2 (\sqrt{3}/2)} = \frac{c}{\sqrt{3}}$।

(C) माना $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = k$ है।
अतः $r_1 = k$,$r_2 = k/2$,और $r_3 = k/3$ है।
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ होती हैं।
अतः,$s-a = \frac{\Delta}{k}$,$s-b = \frac{2\Delta}{k}$,और $s-c = \frac{3\Delta}{k}$ है।
योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = s$ प्राप्त होता है।
अतः,$s = \frac{\Delta}{k} (1 + 2 + 3) = \frac{6\Delta}{k}$ है।
अब,$a = s - (s-a) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{\Delta}{k} = \frac{5\Delta}{k}$ है।
और $b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{2\Delta}{k} = \frac{4\Delta}{k}$ है।
इसलिए,$a : b = \frac{5\Delta}{k} : \frac{4\Delta}{k} = 5 : 4$ है।

(A) हम त्रिभुज की बहिःत्रिज्याओं के सूत्र जानते हैं: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
दिया है $r_1=3, r_2=4, r_3=6$.
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}, \frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}, \frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$.
योग करने पर: $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{3s-(a+b+c)}{\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = \frac{1}{r} \implies r = \frac{4}{3}$.
साथ ही,$\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3 = \frac{4}{3} \times 3 \times 4 \times 6 = 96 \implies \Delta = 4\sqrt{6}$.
चूंकि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,हमारे पास $4 = \frac{4\sqrt{6}}{s-b} \implies s-b = \sqrt{6}$ है।
साथ ही $s = \frac{\Delta}{r} = 3\sqrt{6}$ है।
अतः,$b = s - (s-b) = 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.

(C) दिया गया है $A-B=120^{\circ}$ और $R=8r$।
हम जानते हैं कि $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$।
चूंकि $R=8r$,हमारे पास $r/R = 1/8$ है,इसलिए $4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = 1/8$,जिसका अर्थ है $\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = 1/32$।
$2 \sin(A/2) \sin(B/2) = \cos((A-B)/2) - \cos((A+B)/2) = \cos(60^{\circ}) - \cos(90^{\circ}-C/2) = 1/2 - \sin(C/2)$ का उपयोग करते हुए।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$(1/2 - \sin(C/2)) \sin(C/2) = 1/16$,इसलिए $\sin^2(C/2) - 1/2 \sin(C/2) + 1/16 = 0$।
यह $(\sin(C/2) - 1/4)^2 = 0$ है,इसलिए $\sin(C/2) = 1/4$।
तब $\cos C = 1 - 2 \sin^2(C/2) = 1 - 2(1/16) = 1 - 1/8 = 7/8$।
अंत में,$\frac{1+\cos C}{1-\cos C} = \frac{1+7/8}{1-7/8} = \frac{15/8}{1/8} = 15$।

(A) हम जानते हैं कि एक त्रिभुज में,क्षेत्रफल $\Delta = rs = \frac{abc}{4R}$ होता है।
साथ ही,व्यंजक $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ को $\frac{a+b+c}{abc} = \frac{2s}{abc}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
क्षेत्रफल के सूत्र से,$abc = 4R\Delta = 4R(rs) = 4Rrs$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{2s}{4Rrs} = \frac{1}{2Rr}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r=3$ और $R=5$ दिए गए हैं,इसलिए मान $\frac{1}{2 \times 5 \times 3} = \frac{1}{30}$ है।

(A) दिया है $a=6, b=8, c=10$. चूंकि $6^2 + 8^2 = 10^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{6+8+10}{2} = 12$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$.
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = 4, r_2 = 6, r_3 = 12$ और अंतःत्रिज्या $r = 2$ हैं।
$\frac{2 r_2 r_3}{r r_1} = \frac{2 \times 6 \times 12}{2 \times 4} = 18$.
विकल्प $b+c = 8+10 = 18$ है।

(B) दी गई भुजाएँ $a=8, b=10, c=12$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+10+12}{2} = 15$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \times 7 \times 5 \times 3} = 15\sqrt{7}$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}}{15} = \sqrt{7}$ है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8 \times 10 \times 12}{4 \times 15\sqrt{7}} = \frac{16}{\sqrt{7}}$ है।
अतः,$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{7}}{16/\sqrt{7}} = \frac{7}{16}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(r_1-r_3)(r_1-r_2)-2r_2r_3=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $r_1^2 - r_1r_2 - r_1r_3 + r_2r_3 - 2r_2r_3 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r_1^2 - r_1(r_2+r_3) - r_2r_3 = 0$ हो जाता है।
बहिःत्रिज्या (exradii) के मानक सूत्रों का उपयोग करते हुए: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
इन संबंधों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,यह $a^2 = b^2 + c^2$ में बदल जाता है।
अतः,$a^2 - b^2 = c^2$।

(C) माना परिकेंद्र $O$ है और अंतःकेंद्र $I$ है। भुजा $BC$ के सापेक्ष $O$ और $I$ के निर्देशांकों का विश्लेषण किया जा सकता है। $BC$ से $O$ की दूरी $R \cos A$ है और $BC$ से $I$ की दूरी $r$ है। चूँकि $OI$,$BC$ के समानांतर है,इसलिए $BC$ से उनकी दूरियाँ समान होनी चाहिए,अतः $R \cos A = r$।
सर्वसमिका $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos A = 4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ प्राप्त होता है।
$\cos A = 1 - 2 \sin^2(A/2)$ का उपयोग करने पर,$1 - 2 \sin^2(A/2) = 4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\cos B + \cos C = 2 \cos((B+C)/2) \cos((B-C)/2) = 2 \sin(A/2) \cos((B-C)/2)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$OI \parallel BC$ के लिए $\cos B + \cos C = 1$ होता है।

(D) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
दिया है $r_1 : r_2 = 3 : 4$,अतः $\frac{s-b}{s-a} = \frac{3}{4}$,जिससे $s = 4b - 3a$ प्राप्त होता है।
दिया है $r_2 : r_3 = 2 : 3$,अतः $\frac{s-c}{s-b} = \frac{2}{3}$,जिससे $s = 3c - 2b$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $4b - 3a = 3c - 2b \implies 2b = a + c$।
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
$r_1 : r_2 : r_3 = 3 : 4 : 6$ का उपयोग करने पर,हमें $a : b : c = 5 : 6 : 7$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{3}{80}$.
सूत्र $\cos A = 1 - 2 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{37}{40}$ का उपयोग करते हुए.
कोसाइन के नियम से,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$4 = b^2 + 25 - 2(b)(5)(\frac{37}{40}) \implies 4b^2 - 37b + 84 = 0$.
हल करने पर $b = 4$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} bc \sin A$.
$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{37}{40})^2} = \frac{\sqrt{231}}{40}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{\sqrt{231}}{40} = \frac{\sqrt{231}}{4}$.

(D) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ac \sin B$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\Delta = 6+2\sqrt{3}$,$a = 2(\sqrt{3}+1)$,और $B = 45^{\circ}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $6+2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times c \times \sin 45^{\circ}$।
$6+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1) \times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$c = \frac{\sqrt{2}(6+2\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = 2\sqrt{6}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$।
$b^2 = [2(\sqrt{3}+1)]^2 + (2\sqrt{6})^2 - 2[2(\sqrt{3}+1)](2\sqrt{6}) \cos 45^{\circ}$।
$b^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 24 - 8\sqrt{6}(\sqrt{3}+1) \times \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$b^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 24 - 8\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 40 + 8\sqrt{3} - 24 - 8\sqrt{3} = 16$।
अतः,$b = \sqrt{16} = 4$।

(C) रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ के संगामी होने की शर्त यह है कि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह $a, b, c$ के हरात्मक श्रेणी में होने की शर्त है।

(D) हम जानते हैं कि $|x| > 1$ के लिए $\operatorname{Coth}^{-1}(x) = \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति $\operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \operatorname{Coth}^{-1}(3)$ है।
चूंकि $\operatorname{Coth}^{-1}(3) = \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$,इसलिए अभिव्यक्ति $\operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ हो जाती है।
लघुगणकीय रूप $\operatorname{Tanh}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \times \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+1/3}{1-1/3}\right) = \ln\left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \ln(2)$.
चूंकि $\ln(2) = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ (क्योंकि $\operatorname{Sinh}^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ और $\ln(3/4 + \sqrt{9/16 + 1}) = \ln(3/4 + 5/4) = \ln(2)$),इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $\operatorname{sech}^{-1} x = \log 2$.
परिभाषा के अनुसार,$\operatorname{sech}^{-1} x = \cosh^{-1} (\frac{1}{x}) = \log 2$.
अतः,$\cosh^{-1} (\frac{1}{x}) = \log 2$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{x} = \cosh(\log 2)$.
चूंकि $\cosh(\theta) = \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2}$,इसलिए $\frac{1}{x} = \frac{e^{\log 2} + e^{-\log 2}}{2} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4}$.
अतः,$x = \frac{4}{5}$.
दिया गया है $\operatorname{cosech}^{-1} y = -\log 3$.
परिभाषा के अनुसार,$\operatorname{cosech}^{-1} y = \sinh^{-1} (\frac{1}{y}) = -\log 3$.
अतः,$\frac{1}{y} = \sinh(-\log 3) = -\sinh(\log 3)$.
चूंकि $\sinh(\theta) = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2}$,इसलिए $\frac{1}{y} = -(\frac{e^{\log 3} - e^{-\log 3}}{2}) = -(\frac{3 - 1/3}{2}) = -(\frac{8/3}{2}) = -\frac{4}{3}$.
अतः,$y = -\frac{3}{4}$.
इसलिए,$x + y = \frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 15}{20} = \frac{1}{20}$.

(A) दिया गया है कि $\cos \alpha = \operatorname{sech} \beta$.
चूंकि $\operatorname{sech} \beta = \frac{1}{\cosh \beta}$,इसलिए $\cosh \beta = \frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha$.
हाइपरबोलिक कोसाइन की परिभाषा के अनुसार,$\cosh \beta = \frac{e^{\beta} + e^{-\beta}}{2} = \sec \alpha$.
मान लीजिए $e^{\beta} = x$. तब $x + \frac{1}{x} = 2 \sec \alpha$,जिसका अर्थ है $x^2 - (2 \sec \alpha) x + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{2 \sec \alpha \pm \sqrt{4 \sec^2 \alpha - 4}}{2} = \sec \alpha \pm \tan \alpha$.
चूंकि $e^{\beta} = \sec \alpha + \tan \alpha$ (वास्तविक $\beta$ के लिए धनात्मक मूल लेने पर),हमें $\beta = \log (\sec \alpha + \tan \alpha)$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\operatorname{Sech}^{-1}(x) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right)$.
$x = \sin \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{Sech}^{-1}(\sin \alpha) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} \right)$
$= \log \left( \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \right)$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \log \left( \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} \right)$
$= \log \left( \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} \right)$
$= \log \left( \cot \frac{\alpha}{2} \right)$.

(D) माना कि $x = \operatorname{Tanh}^{-1}(\sin \theta)$.
तब $\tanh x = \sin \theta$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$.
अतः,$\operatorname{sech} x = \cos \theta$,जिसका अर्थ है कि $\cosh x = \sec \theta$.
इसलिए,$x = \operatorname{Cosh}^{-1}(\sec \theta)$.
अतः,$\operatorname{Tanh}^{-1}(\sin \theta) = \operatorname{Cosh}^{-1}(\sec \theta)$.

(A) दिया गया है $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log 3$।
चूंकि $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ होता है,इसलिए $x + \sqrt{x^2 + 1} = 3$ है।
अतः $x + \sqrt{x^2 + 1} = e^{\log 3} = 3$।
तब $\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$,जिससे $6x = 8$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{4}{3}$।
दिया गया है $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log \frac{3}{2}$।
चूंकि $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \ln(y + \sqrt{y^2 - 1})$ होता है,इसलिए $y + \sqrt{y^2 - 1} = \frac{3}{2}$ है।
तब $\sqrt{y^2 - 1} = \frac{3}{2} - y$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 - 1 = \frac{9}{4} - 3y + y^2$,जिससे $3y = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $y = \frac{13}{12}$।
अब,$x - y = \frac{4}{3} - \frac{13}{12} = \frac{16 - 13}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$।
हमें $\operatorname{Tanh}^{-1}(\frac{1}{4})$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\operatorname{Tanh}^{-1} z = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+z}{1-z} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\operatorname{Tanh}^{-1}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + 1/4}{1 - 1/4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{5/4}{3/4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{5}{3} \right) = \log \sqrt{\frac{5}{3}}$।

(B) प्रायिकताओं का योग $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$ होता है।
दिया गया है $P(X=k) = \frac{3k+1}{2^{k+c}}$,अतः $\frac{1}{2^c} \sum_{k=0}^{\infty} (3k+1) \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1$.
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{\infty} (3k+1) x^k$ जहाँ $x = \frac{1}{2}$.
$S = 3 \sum_{k=0}^{\infty} k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 3 \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x}$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर: $S = 3 \frac{1/2}{(1/2)^2} + \frac{1}{1/2} = 3(2) + 2 = 8$.
अतः,$\frac{1}{2^c} (8) = 1 \implies 2^3 = 2^c \implies c = 3$.
हमें $P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$ ज्ञात करना है।
$P(X=k) = \frac{3k+1}{2^{k+3}}$.
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{4}{16} = \frac{2}{8}, P(X=2) = \frac{7}{32}, P(X=3) = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
योग $= \frac{4}{32} + \frac{8}{32} + \frac{7}{32} + \frac{5}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.
चूंकि $c=3$,विकल्प $\frac{c}{4} = \frac{3}{4}$ विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(A) चरण $1$: $E(X) = \Sigma x P(X=x)$ की गणना करें।
$E(X) = (-1)(\frac{1}{3}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{6}) + (2)(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{-2+1+4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
चरण $2$: $E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x)$ की गणना करें।
$E(X^2) = (-1)^2(\frac{1}{3}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{6}) + (2)^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{2+1+8}{6} = \frac{11}{6}$.
चरण $3$: $\operatorname{var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ की गणना करें।
$\operatorname{var}(X) = \frac{11}{6} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{6} - \frac{1}{4} = \frac{22-3}{12} = \frac{19}{12}$.
चरण $4$: $6 \Sigma(x^2) P(X=x) - \operatorname{var}(X)$ की गणना करें।
$6 E(X^2) - \operatorname{var}(X) = 6(\frac{11}{6}) - \frac{19}{12} = 11 - \frac{19}{12} = \frac{132-19}{12} = \frac{113}{12}$.

(A) $n$ और $p$ प्राचलों वाले द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = x$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 5$ है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
चूँकि $np = x$ और $npq = 5$,हमें $xq = 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{5}{x}$।
चूँकि $0 < q < 1$,इसलिए $0 < \frac{5}{x} < 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 5$।
साथ ही,$p = 1 - q = 1 - \frac{5}{x} = \frac{x-5}{x}$।
चूँकि $0 < p < 1$,हमें $0 < \frac{x-5}{x} < 1$ प्राप्त होता है,जो $x > 5$ के साथ संगत है।
हम जानते हैं कि $n = \frac{x}{p} = \frac{x}{(x-5)/x} = \frac{x^2}{x-5}$।
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,$x-5$ को $x^2$ का भाजक होना चाहिए।
हम $x^2 = (x-5)(x+5) + 25$ लिख सकते हैं,इसलिए $n = x+5 + \frac{25}{x-5}$।
$n$ के पूर्णांक होने के लिए,$x-5$ को $25$ का भाजक होना चाहिए।
$25$ के भाजक $1, 5, 25$ हैं।
स्थिति $1$: $x-5 = 1 \implies x = 6$। तब $n = 6+5 + 25/1 = 36$।
स्थिति $2$: $x-5 = 5 \implies x = 10$। तब $n = 10+5 + 25/5 = 20$।
स्थिति $3$: $x-5 = 25 \implies x = 30$। तब $n = 30+5 + 25/25 = 36$।
अतः,$x$ के संभावित मान $6, 10, 30$ हैं।

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$k^3 + (2k^3 + k) + (4k - 10k^2) + (4k - 1) = 1$.
समीकरण को सरल करने पर: $3k^3 - 10k^2 + 9k - 2 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $k = \frac{1}{3}$ एक मूल है: $3(\frac{1}{27}) - 10(\frac{1}{9}) + 9(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{9} - \frac{10}{9} + 3 - 2 = -1 + 1 = 0$.
प्रायिकताएँ हैं: $P(-1) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$,$P(0) = 2(\frac{1}{27}) + \frac{1}{3} = \frac{11}{27}$,$P(1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) = \frac{12-10}{9} = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}$,$P(2) = 4(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3} = \frac{9}{27}$.
योग की जाँच: $\frac{1+11+6+9}{27} = \frac{27}{27} = 1$.
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-1)(\frac{1}{27}) + (0)(\frac{11}{27}) + (1)(\frac{6}{27}) + (2)(\frac{9}{27}) = \frac{-1 + 0 + 6 + 18}{27} = \frac{23}{27}$.

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_{i}) = 1$
$\frac{k^2}{3} + k^2 + \frac{2k^2}{3} + \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = 1$
$\frac{k^2 + 3k^2 + 2k^2}{3} + k = 1$
$\frac{6k^2}{3} + k = 1$
$2k^2 + k - 1 = 0$
$(2k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि प्रायिकताएं धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $k = 1/2$.
माध्य $E(X) = \sum x_{i} P(X = x_{i})$
$E(X) = (-2) \cdot \frac{k^2}{3} + (-1) \cdot k^2 + (0) \cdot \frac{2k^2}{3} + (1) \cdot \frac{k}{2} + (2) \cdot \frac{k}{2}$
$E(X) = -\frac{5k^2}{3} + \frac{3k}{2}$
$k = 1/2$ रखने पर:
$E(X) = -\frac{5(1/4)}{3} + \frac{3(1/2)}{2} = -\frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} = 1/3$.

(A) यादृच्छिक चर $X$ समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ पर असतत समान वितरण का पालन करता है।
माध्य $E[X]$ इस प्रकार है:
$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$X^2$ का अपेक्षित मान इस प्रकार है:
$E[X^2] = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
प्रसरण $Var(X)$ इस प्रकार है:
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$.
$\frac{n+1}{2}$ को कॉमन लेने पर:
$Var(X) = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{4n+2 - 3n - 3}{6} \right] = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{6} = \frac{n^2-1}{12}$.

(D) द्विपद बंटन का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $n=4$ और $P(X=0) = \frac{16}{81}$ है।
सूत्र में $k=0$ रखने पर: $P(X=0) = \binom{4}{0} p^0 q^{4-0} = q^4$ प्राप्त होता है।
अतः,$q^4 = \frac{16}{81} = (\frac{2}{3})^4$ है।
इसका अर्थ है कि $q = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $p+q=1$ होता है,इसलिए $p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
अब,हमें $P(X=4)$ ज्ञात करना है:
$P(X=4) = \binom{4}{4} p^4 q^{4-4} = 1 \times (\frac{1}{3})^4 \times 1 = \frac{1}{81}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: $x^2+y^2=t-\frac{1}{t}$ (समीकरण $1$)
समीकरण $1$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2+y^2)^2 = (t-\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
दिया गया है: $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को विस्तारित रूप में रखने पर:
$(t^2+\frac{1}{t^2})+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(-1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(D) दिया गया वक्र $y=x^2+x-1$ और बिंदु $(x_1, y_1)=(1,1)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$.
$(1,1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 2(1)+1 = 3$.
स्पर्शरेखा की लंबाई $A = \left|\frac{y_1 \sqrt{1+m^2}}{m}\right| = \left|\frac{1 \sqrt{1+3^2}}{3}\right| = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
उपस्पर्शरेखा की लंबाई $B = \left|\frac{y_1}{m}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
अभिलंब की लंबाई $C = \left|y_1 \sqrt{1+m^2}\right| = |1 \sqrt{1+3^2}| = \sqrt{10} \approx 3.162$.
उपअभिलंब की लंबाई $D = |y_1 m| = |1 \times 3| = 3$.
मानों की तुलना करने पर: $B (0.333) < A (1.054) < D (3) < C (3.162)$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $B, A, D, C$ है।