AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ हो।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2=25$ के लिए,$r^2=25$ है।
बिंदुओं $(1, a)$ और $(b, 2)$ को शर्त में रखने पर:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
हमें $4a + 2b$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण $b + 2a = 25$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(b + 2a) = 2(25)$
$2b + 4a = 50$
अतः,$4a + 2b = 50$.

(D) वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2-4x-6y+4=0$ है। ध्रुव $(x_1, y_1)$ के लिए ध्रुवीय का समीकरण $x(x_1-2) + y(y_1-3) - 2x_1 - 3y_1 + 4 = 0$ है। दी गई रेखा के साथ तुलना करने और $b=1$ प्राप्त करने पर,बिंदु $(1, -1)$ मिलता है। बिंदु $(1, -1)$ का ध्रुवीय $5x+y-6=0$ है।

(D) सबसे पहले,वृत्तों के समीकरणों को $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में मानकीकृत करते हैं:
$S \equiv x^2+y^2+4x+7=0$
$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$
$S^{\prime \prime} \equiv x^2+y^2+y=0$
$S$ और $S^{\prime \prime}$ की रेडिकल अक्ष $S-S^{\prime \prime}=0$ है,जो $4x-y+7=0$ देती है (समीकरण $1$)।
$S^{\prime \prime}$ और $S^{\prime}$ की रेडिकल अक्ष $S^{\prime \prime}-S^{\prime}=0$ है,जो $-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}=0$ या $x+y+3=0$ देती है (समीकरण $2$)।
$4x-y+7=0$ और $x+y+3=0$ को हल करने पर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $5x+10=0 \implies x=-2$।
$x=-2$ को $x+y+3=0$ में रखने पर: $-2+y+3=0 \implies y=-1$।
अतः,रेडिकल केंद्र $P$ $(-2, -1)$ है।
$P(\alpha, \beta)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{\alpha^2+\beta^2+2g\alpha+2f\beta+c}$ होती है।
$S^{\prime} \equiv x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=0$ के लिए,लंबाई $\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+\frac{3}{2}(-2)+\frac{5}{2}(-1)+\frac{9}{2}} = \sqrt{4+1-3-2.5+4.5} = \sqrt{4} = 2$।

(A) प्रथम वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दूसरे वृत्त का समीकरण $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ है,जिसे $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर मूल अक्ष $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ प्राप्त होती है।
यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है।
तीसरा वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ है,जो $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ है। इसका केंद्र $(-1,-1)$ और त्रिज्या $1$ है।
रेखा $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$ इस वृत्त को स्पर्श करती है यदि $(-1,-1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ हो।
$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-2g+\frac{3}{2}-2f+4)^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
मान लें $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$. तो $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जिसका अर्थ है $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,इसलिए $2AB=0$.
अतः,$A=0$ या $B=0$.
$2g-\frac{3}{2}=0 \implies g=\frac{3}{4}$ या $2f-4=0 \implies f=2$.

(D) माना वृत्त $S_1: x^2+y^2-4=0$ और $S_2: x^2+y^2-6x-6y+14=0$ हैं।
माना $P(h, k)$ वृत्त $S_1$ पर एक बिंदु है,इसलिए $h^2+k^2=4$ है।
$A$ और $B$ बिंदु $P$ से $S_2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदु हैं।
$P, A, B$ से गुजरने वाले वृत्त का व्यास $PC$ है,जहाँ $C$ वृत्त $S_2$ का केंद्र है।
$S_2$ का केंद्र $C(3, 3)$ है।
व्यास $PC$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)(x-3) + (y-k)(y-3) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2+y^2 - (h+3)x - (k+3)y + 3h+3k = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P(h, k)$ वृत्त $x^2+y^2=4$ पर स्थित है,इसलिए $h^2+k^2=4$ है।
इस वृत्त के केंद्र का बिंदुपथ $PC$ का मध्य बिंदु है,जो $(\frac{h+3}{2}, \frac{k+3}{2})$ है।
माना $(x, y) = (\frac{h+3}{2}, \frac{k+3}{2})$,इसलिए $h = 2x-3$ और $k = 2y-3$ है।
$h^2+k^2=4$ में मान रखने पर,$(2x-3)^2 + (2y-3)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
$4x^2-12x+9 + 4y^2-12y+9 = 4$
$4x^2+4y^2-12x-12y+14 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,$2x^2+2y^2-6x-6y+7 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P = (x, y)$,$A = (5, 4)$,और $B = (5, -4)$ है।
दिया है $\tan(\angle APB) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$PA$ की ढाल $m_1 = \frac{y-4}{x-5}$ और $PB$ की ढाल $m_2 = \frac{y+4}{x-5}$ है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| = 1$ का उपयोग करने पर:
$|\frac{\frac{y-4}{x-5} - \frac{y+4}{x-5}}{1 + \frac{(y-4)(y+4)}{(x-5)^2}}| = 1$
$|\frac{-8(x-5)}{(x-5)^2 + y^2 - 16}| = 1$
$| -8x + 40 | = | x^2 + y^2 - 10x + 9 |$
अतः $x^2 + y^2 - 10x + 9 = \pm(-8x + 40)$.
स्थिति $1$: $x^2 + y^2 - 2x - 31 = 0$।

(B) वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ द्वारा वृत्त $S_2 \equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ की परिधि को समद्विभाजित करने की शर्त यह है कि दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा उस वृत्त के केंद्र से गुजरनी चाहिए जिसे समद्विभाजित किया जा रहा है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
दिया गया है $S_1 \equiv x^2+y^2+2gx+4y+1=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2-2x-3=0$।
उभयनिष्ठ जीवा $(2g+2)x + 4y + 4 = 0$ है।
वृत्त $S_2$ का केंद्र $(1, 0)$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $(1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x=1$ और $y=0$ रखने पर: $(2g+2)(1) + 4(0) + 4 = 0$।
$2g + 6 = 0 \implies g = -3$।
वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y+1=0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 - 1} = \sqrt{9 + 4 - 1} = \sqrt{12}$।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+6x+4y-12=0$ है।
त्रिज्या $r = 5$ प्राप्त होती है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{r^2 - (d/2)^2} = 2\sqrt{17}$ से $d = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\sin(\theta/2) = \frac{L}{2r} = \frac{\sqrt{17}}{5}$ होता है।

(C) वृत्त $S \equiv x^2+y^2=16$ का केंद्र $C_1(0,0)$ और त्रिज्या $r_1=4$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई अधिकतम होने के लिए,इसे वृत्त $S$ का व्यास होना चाहिए। अतः,उभयनिष्ठ जीवा $(0,0)$ से गुजरती है।
जीवा की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है। जीवा वाली रेखा का समीकरण $3x - 4y = 0$ है।
वृत्त $S^{\prime}$ का केंद्र $C_2(h, k)$ उस रेखा पर स्थित होना चाहिए जो उभयनिष्ठ जीवा के लंबवत हो और $S$ के केंद्र से गुजरती हो।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_{\perp} = -\frac{4}{3}$ है। रेखा का समीकरण $4x + 3y = 0$ है।
$C_2$ से जीवा की दूरी $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ है।
$|3h - 4k| = 15$ और $k = -\frac{4}{3}h$ का उपयोग करने पर,$|h| = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ है।

(A) वृत्त $S$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2-c}$ है।
वृत्त $S'$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
सूत्र $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{5}{16} = \frac{7+c}{8\sqrt{2-c}}$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $c = -2$ मिलता है।
अतः,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2 - (-2)} = 2$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ मानिए।
$X$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{h^2 - r^2} = 4 \implies h^2 - r^2 = 4$.
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{k^2 - r^2} = 2\sqrt{11} \implies k^2 - r^2 = 11$.
वृत्त $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $(1-h)^2 + k^2 = r^2$.
$1 - 2h + h^2 + k^2 = r^2$.
$1 - 2h + (r^2 + 4) + (r^2 + 11) = r^2 \implies r^2 - 2h + 16 = 0$.
गणना करने पर,सही उत्तर $5$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(c, c)$ और त्रिज्या $c$ है,जहाँ $c > 0$.
वृत्त का समीकरण $(x-c)^2 + (y-c)^2 = c^2$ है।
रेखा $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ है,जिसे $4x + 3y - 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि वृत्त इस रेखा को स्पर्श करता है,केंद्र $(c, c)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $c$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|4c + 3c - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = c$
$\frac{|7c - 12|}{5} = c$
$|7c - 12| = 5c$
स्थिति $1$: $7c - 12 = 5c \implies 2c = 12 \implies c = 6$.
स्थिति $2$: $7c - 12 = -5c \implies 12c = 12 \implies c = 1$.
अतः,$c = 1$ या $c = 6$।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण $C_1: x^2+y^2-6x-4y+9=0$ और $C_2: x^2+y^2+2x+2y-7=0$ हैं।
$C_1$ को $C_2$ से घटाने पर, हमें स्पर्श बिंदु पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2+2x+2y-7) - (x^2+y^2-6x-4y+9) = 0$
$8x+6y-16=0 \implies 4x+3y=8$.
इससे, $y = \frac{8-4x}{3}$.
इसे $C_1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + (\frac{8-4x}{3})^2 - 6x - 4(\frac{8-4x}{3}) + 9 = 0$.
$9$ से गुणा करने पर: $9x^2 + (64 - 64x + 16x^2) - 54x - 12(8-4x) + 81 = 0$.
$25x^2 - 70x + 49 = 0 \implies (5x-7)^2 = 0$.
अतः, $x = \alpha = \frac{7}{5}$.
तब $y = \beta = \frac{8-4(7/5)}{3} = \frac{4}{5}$.
हमें $7\beta$ का मान ज्ञात करना है।
$7\beta = 7 \times \frac{4}{5} = \frac{28}{5}$.
चूंकि $\alpha = \frac{7}{5}$, इसलिए $4\alpha = 4 \times \frac{7}{5} = \frac{28}{5}$.
अतः, $7\beta = 4\alpha$.

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
सबसे पहले,समीकरणों को मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ में लिखें।
पहले वृत्त के लिए: $x^2+y^2-2\lambda x-2y-7=0$,हमारे पास $g_1=-\lambda, f_1=-1, c_1=-7$ है।
दूसरे वृत्त के लिए: $3(x^2+y^2)-8x+29y=0$,$3$ से भाग देने पर $x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$ प्राप्त होता है। अतः,$g_2=-\frac{4}{3}, f_2=\frac{29}{6}, c_2=0$ है।
शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ लागू करने पर:
$2(-\lambda)(-\frac{4}{3}) + 2(-1)(\frac{29}{6}) = -7 + 0$
$\frac{8\lambda}{3} - \frac{29}{3} = -7$
$3$ से गुणा करने पर: $8\lambda - 29 = -21$
$8\lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की शक्ति $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(1, 6)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ के लिए,शक्ति $-16$ है।
मान रखने पर:
$(1)^2 + (6)^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$-a = -21$
$a = 21$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2-2\lambda)x + (4-4\lambda)y + (1-4\lambda) = 0$.
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 + \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}x + \frac{4(1-\lambda)}{1+\lambda}y + \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} = 0$.
यह वृत्त $x^2+y^2-6=0$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है।
यहाँ $g_1 = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}, f_1 = \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}, c_1 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda}$ और $g_2=0, f_2=0, c_2=-6$.
मान रखने पर,$0 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} - 6 \implies 1-4\lambda-6-6\lambda = 0 \implies \lambda = -1/2$.
$\lambda = -1/2$ रखने पर,$x^2+y^2+6x+12y+6=0$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+6^2-6} = \sqrt{9+36-6} = \sqrt{39}$.

(C) वृत्त का केंद्र $(h, k)$ व्यास $x+2y-2=0$ और $2x+3y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x+2y=2$ $(1)$
$2x+3y=1$ $(2)$
$(1)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x+4y=4$ $(3)$
$(3)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $(2x+4y)-(2x+3y) = 4-1$,अतः $y=3$.
$(1)$ में $y=3$ रखने पर: $x+2(3)=2 \implies x+6=2 \implies x=-4$.
अतः,केंद्र $(-4, 3)$ है।
त्रिज्या $R$ केंद्र $(-4, 3)$ और बिंदु $(8, 8)$ के बीच की दूरी है:
$R^2 = (8 - (-4))^2 + (8 - 3)^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$ है:
$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 169$
$x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 169$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y - 144 = 0$.
$x^2 + y^2 + px + qy + r = 0$ से तुलना करने पर,$p=8, q=-6, r=-144$ प्राप्त होता है।
अतः $p^2 + q^2 + r = 8^2 + (-6)^2 - 144 = 64 + 36 - 144 = 100 - 144 = -44$.

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा ज्ञात करने के लिए,$S_1$ में से $S_2$ को घटाएं:
$(x^2+y^2-2x-4y-4) - (x^2+y^2+2x+4y-11) = 0$
$-4x-8y+7 = 0$
$4x+8y-7 = 0$.
चूंकि मूलाक्ष (उभयनिष्ठ जीवा) मौजूद है,इसलिए वृत्त $4x+8y-7=0$ रेखा पर स्थित दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(A) दिया गया समीकरण $|x-2|+|y-3|=4$ एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(6, 3), (-2, 3), (2, 7)$ और $(2, -1)$ हैं।
इस वर्ग का केंद्र $(2, 3)$ है।
वृत्त का केंद्र भी $(2, 3)$ होगा।
वृत्त की त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2+(y-3)^2=(2\sqrt{2})^2$ होगा।
अतः,$x^2+y^2-4x-6y+5=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(1,2)$ और $B(2,-1)$ हैं। जीवा $AB$ की लंबाई $L = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{10}$ है।
यदि वृत्त की त्रिज्या $R$ है,तो परिधि पर बना कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $L = 2R \sin(\theta)$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{10} = 2R \sin(\frac{\pi}{4}) = R\sqrt{2}$,जिससे $R^2 = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 5$ है। चूँकि $A$ और $B$ वृत्त पर स्थित हैं,हल करने पर केंद्र $(3,1)$ प्राप्त होता है।
अतः समीकरण $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 5$ अर्थात $x^2+y^2-6x-2y+5=0$ है।

(D) माना अभीष्ट वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
दिए गए वृत्त हैं:
$C_1: x^2+y^2-2x-2y+\frac{7}{4}=0$
$C_2: x^2+y^2+2x-2y+\frac{7}{4}=0$
$C_3: x^2+y^2+2x+2y+\frac{7}{4}=0$
$C_1$ के लिए लंबकोणीयता की शर्त लागू करने पर: $2g(-1)+2f(-1)=c+\frac{7}{4} \implies -2g-2f=c+\frac{7}{4}$
$C_2$ के लिए: $2g(1)+2f(-1)=c+\frac{7}{4} \implies 2g-2f=c+\frac{7}{4}$
$C_3$ के लिए: $2g(1)+2f(1)=c+\frac{7}{4} \implies 2g+2f=c+\frac{7}{4}$
इन्हें हल करने पर,हमें $g=0, f=0$ और $c=-\frac{7}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2+y^2-\frac{7}{4}=0$ है,जो सरल होकर $4x^2+4y^2=7$ हो जाता है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त $(2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $4+4g+c=0$,अतः $c = -4-4g$।
$X$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{g^2-c} = 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(g^2-c) = 25$।
$c = -4-4g$ प्रतिस्थापित करने पर,$4(g^2+4g+4) = 25$,जो $4g^2+16g-9=0$ में बदल जाता है।
$g$ के लिए हल करने पर,$g = -4.5 = -9/2$।
केंद्र $(-g, -f)$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $g < 0$ लेने पर,$c = 14$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2+y^2-9x-2ky+14=0$ है।

(B) परवलय $y^2 = 2px$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 2p$,अतः $a = \frac{p}{2}$।
परवलय की नाभि $S = (\frac{p}{2}, 0)$ है।
परवलय की नियता $x = -\frac{p}{2}$ है।
वृत्त का केंद्र $(\frac{p}{2}, 0)$ है और यह नियता $x = -\frac{p}{2}$ को स्पर्श करता है।
वृत्त की त्रिज्या $r = p$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = p^2$ है।
$y^2 = 2px$ रखने पर,$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $x = \frac{p}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $y^2 = p^2$,यानी $y = \pm p$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{p}{2}, p)$ और $(\frac{p}{2}, -p)$ हैं।

(A) माना जीवा की ढाल $m = 2$ है। जीवा का समीकरण $y = 2x + c$ है।
$y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(2x + c)^2 = 4x$,अर्थात $4x^2 + (4c - 4)x + c^2 = 0$।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$R(h, k)$ बिंदु के लिए $h = \frac{x_2 + 2x_1}{3}$ और $k = \frac{y_2 + 2y_1}{3}$ है।
इससे $c = k - 2h$ प्राप्त होता है।
समीकरण को हल करने पर,बिंदुपथ का शीर्ष $\left(\frac{2}{9}, \frac{8}{9}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,जिसका अर्थ है $4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
माना बिंदु $P$ $(x_1, y_1) = (1, 3)$ है।
बिंदु $P(1, 3)$ से परवलय $y^2 = 8x$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर,हमें $3y = 2(2)(x + 1)$ प्राप्त होता है,जो $3y = 4x + 4$ या $4x - 3y + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$a = 2$,$x_1 = 1$,और $y_1 = 3$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{(3^2 - 4(2)(1))^{3/2}}{2(2)} = \frac{(9 - 8)^{3/2}}{4} = \frac{1^{3/2}}{4} = \frac{1}{4}$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है। नाभि $(a, 0)$ है और नियता $x=-a$ है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $2a$ है।
दिया गया है $2a = \frac{3}{2}$,इसलिए $a = \frac{3}{4}$ है।
परवलय पर बिंदु $(4a, -4a) = (4 \times \frac{3}{4}, -4 \times \frac{3}{4}) = (3, -3)$ है।
$(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2=4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ है।
$x_1=3, y_1=-3$ और $a=\frac{3}{4}$ रखने पर:
$y - (-3) = -\frac{-3}{2(3/4)}(x-3)$
$y+3 = \frac{3}{3/2}(x-3)$
$y+3 = 2(x-3)$
$y+3 = 2x-6$
$2x-y=9$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा $ty = x + at^2$ है। यहाँ,$4a = 1$,इसलिए $a = 1/4$.
$t_i$ और $t_j$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(at_it_j, a(t_i + t_j))$ है।
दिए गए $t_1 = 2, t_2 = -4, t_3 = 6$ और $a = 1/4$ के लिए:
बिंदु $L$ ($t_1, t_2$ का प्रतिच्छेदन) = $(-2, -0.5)$.
बिंदु $M$ ($t_2, t_3$ का प्रतिच्छेदन) = $(-6, 0.5)$.
बिंदु $N$ ($t_3, t_1$ का प्रतिच्छेदन) = $(3, 2)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |(-2)(0.5 - 2) + (-6)(2 - (-0.5)) + 3(-0.5 - 0.5)| = 7.5$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
प्राचल $t$ पर परवलय पर बिंदु $(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ है।
$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,बिंदु $(1, 2\sqrt{2})$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
$a = 2$ और $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर,अभिलंब $L$ का समीकरण $x + \sqrt{2}y = 5$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
रेखा $Ax + By + C = 0$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींचे गए लंब का पाद $(h, k)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $\frac{h - x_1}{A} = \frac{k - y_1}{B} = -\frac{Ax_1 + By_1 + C}{A^2 + B^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $(3, \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
यहाँ,$a=1$ है। अतः,अभिलंब का समीकरण $y=mx-2m-m^3$ है।
चूँकि अभिलंब $(5,2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2=5m-2m-m^3$,जो सरल होकर $m^3-3m+2=0$ हो जाता है।
इस त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(m-1)^2(m+2)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $m=1$ और $m=-2$ हैं।
दिए गए अभिलंब $x-y-3=0$ की ढाल $m=1$ है।
अतः,दूसरे अभिलंब की ढाल $m=-2$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है। नाभि $S$ का निर्देशांक $(a, 0) = (1, 0)$ है।
चूंकि बिंदु $P = (4, 4)$ परवलय पर स्थित है,हम $x = at_1^2$ और $y = 2at_1$ का उपयोग करके बिंदु $P$ के लिए प्राचल $t_1$ ज्ञात कर सकते हैं। अतः,$4 = 1 \cdot t_1^2 \implies t_1 = 2$.
नाभीय जीवा के लिए,सिरों $P$ और $Q$ के प्राचल $t_1$ और $t_2$ का संबंध $t_1 t_2 = -1$ होता है। इसलिए,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -\frac{1}{2}$.
परवलय $y^2 = 4ax$ पर प्राचल $t$ वाले बिंदु की नाभीय दूरी $a(1 + t^2)$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $Q$ के लिए जिसका प्राचल $t_2 = -\frac{1}{2}$ है,नाभीय दूरी $SQ = a(1 + t_2^2) = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{2})^2) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाने वाली नाभि जीवा की लंबाई $L = 4a \csc^2 \theta$ होती है।
यहाँ $4a = 16$,इसलिए $a = 4$ है। लंबाई $L = 25$ है।
अतः,$25 = 16 \csc^2 \theta \implies \csc^2 \theta = \frac{25}{16} \implies \sin^2 \theta = \frac{16}{25} \implies \sin \theta = \pm \frac{4}{5}$।
दो नाभि जीवाओं के बीच का कोण $2\theta$ है। चूँकि $\sin \theta = \frac{4}{5}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{3}{5}$ होगा।
अतः $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times L_1 \times L_2 \times \sin(2\theta) = \frac{1}{2} \times 25 \times 25 \times \frac{24}{25} = 300$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 15x$ है,इसलिए $4a = 15$,जिससे $a = \frac{15}{4}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P = \left(\frac{15}{2}, \frac{15}{\sqrt{2}}\right)$ है। माना $P = (at^2, 2at)$।
$at^2 = \frac{15}{2} \implies \frac{15}{4}t^2 = \frac{15}{2} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$।
$t$ पर अभिलंब परवलय को फिर से $t_1 = -t - \frac{2}{t} = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ पर मिलता है।
शीर्ष $V(0,0)$ है। जीवा $PQ$ द्वारा शीर्ष पर अंतरित कोण $\theta$,सदिशों $\vec{VP}$ और $\vec{VQ}$ के बीच का कोण है।
$P = (\frac{15}{2}, \frac{15}{\sqrt{2}})$ और $Q = (30, -15\sqrt{2})$।
प्रवणता $m_1 = \sqrt{2}$ और $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}| = \infty$,अतः $\theta = 90^\circ$।
$\sin(30^\circ) + \cos(60^\circ) - \sec(120^\circ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-2) = 3$।

(C) दी गई व्यंजक $(x^2+x-2)^5$ है।
हम द्विघात व्यंजक $x^2+x-2$ का गुणनखंड $(x+2)(x-1)$ के रूप में कर सकते हैं।
अतः,व्यंजक $((x+2)(x-1))^5 = (x+2)^5(x-1)^5$ हो जाता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^k 2^{5-k}$ और $(x-1)^5 = \sum_{j=0}^{5} \binom{5}{j} x^j (-1)^{5-j}$।
हमें इन दो विस्तारों के गुणनफल में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करना है।
गुणनफल $(\binom{5}{0}2^5 + \binom{5}{1}2^4 x + \binom{5}{2}2^3 x^2 + \dots) \times (\binom{5}{0}(-1)^5 + \binom{5}{1}(-1)^4 x + \binom{5}{2}(-1)^3 x^2 + \dots)$ है।
मान लीजिए $A = (32 + 80x + 80x^2 + \dots)$ और $B = (-1 + 5x - 10x^2 + \dots)$।
$x^2$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$(32 \times -10) + (80 \times 5) + (80 \times -1) = -320 + 400 - 80 = 0$।
अतः,$x^2$ का गुणांक $0$ है।

(A) $(\sqrt{x}+\sqrt[k]{y})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{(10-r)/2} y^{r/k}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, 10$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$\frac{10-r}{2}$ और $\frac{r}{k}$ दोनों पूर्णांक होने चाहिए।
कुल $11$ पदों में से $9$ अपरिमेय हैं,इसलिए $2$ पद परिमेय होने चाहिए।
$r=0$ के लिए,$T_1 = x^5$ हमेशा परिमेय है।
$r=10$ के लिए,$T_{11} = y^{10/k}$ परिमेय है यदि $k$,$10$ का भाजक हो।
$k=5$ और $k=10$ के लिए,हमें ठीक $2$ परिमेय पद प्राप्त होते हैं।

(C) $(x+y^2)^{13}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = \binom{13}{k} x^{13-k} y^{2k}$ है,जहाँ $0 \le k \le 13$.
यहाँ,$r = 13-k$ और $s = 2k$.
$(x^2+y)^{14}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{j+1} = \binom{14}{j} x^{28-2j} y^j$ है,जहाँ $0 \le j \le 14$.
यहाँ,$r = 28-2j$ और $s = j$.
पदों के समान होने के लिए,$13-k = 28-2j$ और $2k = j$ होना चाहिए।
$j = 2k$ को पहले समीकरण में रखने पर: $13-k = 28-4k \implies 3k = 15 \implies k = 5$.
अतः $j = 10$.
इस प्रकार,$\alpha = 1$ पद मिलता है।
इस पद के लिए,$r = 8$ और $s = 10$,इसलिए $r+s = 18$.
परिणामस्वरूप,$\alpha \sum (r+s) = 1 \times 18 = 18$.

(A) हम सामान्य द्विपद विस्तार का उपयोग करते हैं: $(1+z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \dots$
$(1+3x)^{-3}$ के लिए,$n=3$ और $z=3x$ है:
$(1+3x)^{-3} = 1 - 3(3x) + \frac{3(4)}{2}(3x)^2 - \frac{3(4)(5)}{6}(3x)^3 + \dots$
$= 1 - 9x + 54x^2 - 270x^3 + \dots$
अब,$(1+4x-3x^2)$ से गुणा करें:
$(1+4x-3x^2)(1-9x+54x^2-270x^3 + \dots)$
$x^3$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$1(-270) + 4(54) - 3(-9) = -270 + 216 + 27 = -27$.

(B) विस्तार $(1+\alpha x+\beta x^2)(1+x)^{11}$ है।
द्विपद विस्तार $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक इस प्रकार है:
$(1+\alpha x+\beta x^2) \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k = \sum \binom{11}{k} x^k + \alpha \sum \binom{11}{k} x^{k+1} + \beta \sum \binom{11}{k} x^{k+2}$.
$x^{10}$ के लिए,गुणांक $\binom{11}{10} + \alpha \binom{11}{9} + \beta \binom{11}{8} = 11 + 55\alpha + 165\beta = 396$ है।
$11$ से विभाजित करने पर,$1 + 5\alpha + 15\beta = 36$,अतः $5\alpha + 15\beta = 35$,या $\alpha + 3\beta = 7$ (समीकरण $1$)।
$x^{11}$ के लिए,गुणांक $\binom{11}{11} + \alpha \binom{11}{10} + \beta \binom{11}{9} = 1 + 11\alpha + 55\beta = 144$ है।
अतः,$11\alpha + 55\beta = 143$,या $\alpha + 5\beta = 13$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(5\beta - 3\beta) = 13 - 7$,अतः $2\beta = 6$,जिसका अर्थ है $\beta = 3$।
समीकरण $1$ में $\beta = 3$ रखने पर: $\alpha + 3(3) = 7$,अतः $\alpha = 7 - 9 = -2$।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$।

(C) विस्तार $(1 + (x - x^2))^6$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$.
यहाँ,$n = 6$ और $y = (x - x^2)$.
$(1 + x - x^2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k (1 - x)^k$.
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$k=2$ के लिए: $15$,$k=3$ के लिए: $-60$,$k=4$ के लिए: $15$.
$x^4$ का कुल गुणांक $= 15 - 60 + 15 = -30$.
$x^6$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$k=3$ के लिए: $-20$,$k=4$ के लिए: $90$,$k=5$ के लिए: $-30$,$k=6$ के लिए: $1$.
$x^6$ का कुल गुणांक $= -20 + 90 - 30 + 1 = 41$.
गुणांकों का योग $= -30 + 41 = 11$.

(B) $(p-q)^{14}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{14}{r} p^{14-r} (-q)^r$ है।
$7^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=6$: $T_7 = \binom{14}{6} p^8 q^6$.
$8^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=7$: $T_8 = -\binom{14}{7} p^7 q^7$.
चूंकि $T_7 + T_8 = 0$,इसलिए $\binom{14}{6} p^8 q^6 = \binom{14}{7} p^7 q^7$.
अतः,$p = \frac{\binom{14}{7}}{\binom{14}{6}} q = \frac{8}{7} q$.
अब,$\frac{p+q}{p-q} = \frac{\frac{8}{7}q + q}{\frac{8}{7}q - q} = \frac{15/7}{1/7} = 15$.

(C) दिया गया विस्तार $(x+3y)^{13}$ है जहाँ $x=\frac{1}{2}$ और $y=\frac{1}{3}$ है।
मान रखने पर,$(\frac{1}{2} + 3(\frac{1}{3}))^{13} = (\frac{1}{2} + 1)^{13} = (\frac{3}{2})^{13}$ प्राप्त होता है।
माना $T_{r+1}$,$(a+b)^n$ के विस्तार में $(r+1)$-वाँ पद है।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद के लिए शर्त $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$ है।
यहाँ,$T_{r+1} = {}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r} (1)^r = {}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r}$.
$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r}}{{}^{13}C_{r-1} (\frac{1}{2})^{13-(r-1)}} = \frac{{}^{13}C_r}{{}^{13}C_{r-1}} \times 2 = \frac{14-r}{r} \times 2$.
$\frac{28-2r}{r} \geq 1$ लेने पर,$28-2r \geq r$,अतः $3r \leq 28$,जिसका अर्थ है $r \leq 9.33$.
इस प्रकार,$r=9$ के लिए सबसे बड़ा पद $T_{10} = {}^{13}C_9 (\frac{1}{2})^4$ प्राप्त होता है।

(B) हमें $k$ का वह अधिकतम मान ज्ञात करना है जिसके लिए $10^k$,$9^{11} + 11^9$ को विभाजित करता है।
$9^{11} = (10-1)^{11} \equiv 109 \pmod{100}$.
$11^9 = (1+10)^9 \equiv 91 \pmod{100}$.
$9^{11} + 11^9 \equiv 109 + 91 = 200 \equiv 0 \pmod{100}$.
अतः,$100$ योग का भाजक है,जिसका अर्थ है $k \ge 2$.
$1000$ के लिए जाँच करने पर,योग $800 \pmod{1000}$ प्राप्त होता है,जो $1000$ से विभाज्य नहीं है।
इसलिए,$k$ का अधिकतम मान $2$ है।

(A) $(x + \frac{2}{x} - 5)^{12}$ के विस्तार में सामान्य पद बहुपदीय प्रमेय (multinomial theorem) द्वारा इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{12!}{a!b!c!} (x)^a (\frac{2}{x})^b (-5)^c$,जहाँ $a+b+c = 12$.
यह सरल होकर $\frac{12!}{a!b!c!} 2^b (-5)^c x^{a-b}$ हो जाता है।
हमें $x^{10}$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $a-b = 10$.
$a = b+10$ को $a+b+c = 12$ में रखने पर,हमें $(b+10) + b + c = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2b + c = 2$.
$(a, b, c)$ के लिए संभावित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल हैं:
$1$) यदि $b=0$,तो $c=2$ और $a=10$. पद $\frac{12!}{10!0!2!} (2)^0 (-5)^2 = 66 \times 25 = 1650$ है।
$2$) यदि $b=1$,तो $c=0$ और $a=11$. पद $\frac{12!}{11!1!0!} (2)^1 (-5)^0 = 12 \times 2 = 24$ है।
इनका योग करने पर,गुणांक $1650 + 24 = 1674$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{i=0}^{m} \binom{10}{i} \binom{20}{m-i}$ है।
Vandermonde की सर्वसमिका के अनुसार,यह योग $(1+x)^{10} (1+x)^{20} = (1+x)^{30}$ के विस्तार में $x^m$ का गुणांक दर्शाता है।
अतः,$S = \binom{30}{m}$।
द्विपद गुणांक $\binom{n}{r}$ अधिकतम होता है जब $r = \frac{n}{2}$ यदि $n$ सम है,या $r = \frac{n \pm 1}{2}$ यदि $n$ विषम है।
यहाँ,$n = 30$,जो एक सम संख्या है।
इसलिए,अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $m = \frac{30}{2} = 15$ हो।

(D) $(1+x)^{n}$ के विस्तार में द्विपद गुणांक $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ हैं।
अतः,$P_{n} = \prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ है।
अनुपात $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ की गणना करने पर,हमें $\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना दी गई अभिव्यक्ति $S = (C_0+C_1)-(C_2+C_3)+(C_4+C_5)-(C_6+C_7)+\ldots$ है।
इसे $S = (C_0-C_2+C_4-C_6+\ldots) + (C_1-C_3+C_5-C_7+\ldots)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(1+i)^n$ का विस्तार लें: $(1+i)^n = C_0 + C_1 i + C_2 i^2 + C_3 i^3 + C_4 i^4 + C_5 i^5 + C_6 i^6 + C_7 i^7 + \ldots$
चूँकि $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, i^6 = -1, i^7 = -i$,हमें प्राप्त होता है:
$(1+i)^n = (C_0 - C_2 + C_4 - C_6 + \ldots) + i(C_1 - C_3 + C_5 - C_7 + \ldots)$
माना $A = (C_0 - C_2 + C_4 - C_6 + \ldots)$ और $B = (C_1 - C_3 + C_5 - C_7 + \ldots)$।
तब $(1+i)^n = A + iB$।
दी गई अभिव्यक्ति $S = A + B$ है।
हम जानते हैं कि $1+i = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)$।
अतः,$(1+i)^n = (\sqrt{2})^n \left(\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}\right) = 2^{n/2} \left(\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}\right)$।
इस प्रकार,$A = 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}$ और $B = 2^{n/2} \sin \frac{n\pi}{4}$।
अतः,$S = A + B = 2^{n/2} \left(\cos \frac{n\pi}{4} + \sin \frac{n\pi}{4}\right)$।

(D) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k C_r$ है।
योग के क्रम को बदलने पर,$S = \sum_{r=0}^n \sum_{k=r}^n C_r$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $S = \sum_{r=0}^n C_r (n - r + 1)$ है।
विस्तार करने पर,$S = (n+1) \sum_{r=0}^n C_r - \sum_{r=0}^n r C_r$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$S = (n+1) 2^n - n 2^{n-1}$।
$S = 2n 2^{n-1} + 2^n - n 2^{n-1} = n 2^{n-1} + 2^n = (n+2) 2^{n-1}$।

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j = (1+x)^n$.
$n=10$ के लिए,$\sum_{j=0}^{10} \binom{10}{j} x^j = (1+x)^{10}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} x^{j-1} = 10(1+x)^9$.
$x=1$ रखने पर,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = 10(2^9) = 5 \times 2^{10} = 20 \times 2^8$.
अतः,कारण $(R)$ में $S_2$ का मान गलत है।
$S_1$ के लिए,$\sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} x^{j-2} = 10 \times 9(1+x)^8$.
$x=1$ रखने पर,$S_1 = 90 \times 2^8$.
चूंकि $S_3 = \sum j^2 \binom{10}{j} = \sum (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = S_1 + S_2 = 90 \times 2^8 + 10 \times 2^9 = 90 \times 2^8 + 20 \times 2^8 = 110 \times 2^8 = 55 \times 2^9$.
कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि $S_2 = 20 \times 2^8$ है।

(B) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ है।
$n=15$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{16-r}{r}$ प्राप्त होता है।
अब,दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \left( \frac{16-r}{r} \right)$ है।
$S = \sum_{r=1}^{15} r(16-r) = \sum_{r=1}^{15} (16r - r^2)$।
$S = 16 \sum_{r=1}^{15} r - \sum_{r=1}^{15} r^2$।
$n=15$ के लिए सूत्रों $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{r=1}^{15} r = 120$।
$\sum_{r=1}^{15} r^2 = 1240$।
$S = 16(120) - 1240 = 1920 - 1240 = 680$।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{81^{n}} \left[ 1 - {}^{2n}C_1(10) + {}^{2n}C_2(10^2) - \dots + (-1)^{2n} {}^{2n}C_{2n}(10^{2n}) \right]$ है।
द्विपद विस्तार सूत्र $(a - b)^m = \sum_{k=0}^{m} {}^{m}C_k a^{m-k} (-b)^k$ का उपयोग करते हुए,हम $a = 1$,$b = 10$,और $m = 2n$ लेते हैं।
कोष्ठक के अंदर का व्यंजक $(1 - 10)^{2n} = (-9)^{2n}$ है।
इस मान को वापस रखने पर,हमें $\frac{(-9)^{2n}}{81^{n}} = \frac{((-9)^2)^n}{81^n} = \frac{81^n}{81^n} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $E = \left(\frac{3x-5}{4x^2+3}\right)^{-4/5} = \left(\frac{4x^2+3}{3x-5}\right)^{4/5} = \left(\frac{4x}{3}\right)^{4/5} \left(1+\frac{3}{4x^2}\right)^{4/5} \left(1-\frac{5}{3x}\right)^{-4/5}$.
द्विपद प्रसार $(1+z)^n \approx 1+nz + \frac{n(n-1)}{2}z^2$ का उपयोग करते हुए:
$(1+\frac{3}{4x^2})^{4/5} \approx 1 + \frac{3}{5x^2}$.
$(1-\frac{5}{3x})^{-4/5} \approx 1 + \frac{4}{3x} + \frac{2}{x^2}$.
गुणा करने पर: $(1 + \frac{3}{5x^2})(1 + \frac{4}{3x} + \frac{2}{x^2}) \approx 1 + \frac{4}{3x} + \frac{13}{5x^2}$.
अतः,$E \approx \left(\frac{4x}{3}\right)^{4/5} \left(1 + \frac{4}{3x} + \frac{13}{5x^2}\right)$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(2x-y)^2 dy - 2(2x-y)^2 dx - 2 dx = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(2x-y)^2 dy = [2(2x-y)^2 + 2] dx$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2(2x-y)^2 + 2}{(2x-y)^2} = 2 + \frac{2}{(2x-y)^2}$.
माना $v = 2x-y$. तब $\frac{dv}{dx} = 2 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 2 - \frac{dv}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2 - \frac{dv}{dx} = 2 + \frac{2}{v^2}$.
$-\frac{dv}{dx} = \frac{2}{v^2} \implies -v^2 dv = 2 dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int v^2 dv = \int 2 dx$.
$-\frac{v^3}{3} = 2x + c_1$.
$v^3 = -6x + c$ (जहाँ $c = -3c_1$).
$v = 2x-y$ वापस रखने पर: $(2x-y)^3 = -6x + c$,जो सरल होकर $(2x-y)^3 + 6x = c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin (y/x) - x}{x \sin (y/x)}$।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$।
चरों का पृथक्करण करने पर: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$।
$-\cos v = -\log |x| + C_1$,जिसे सरल करने पर $\cos v = \log |x| + c$ प्राप्त होता है।
$v = y/x$ रखने पर,हमें मिलता है: $\cos (\frac{y}{x}) = \log |x| + c$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{e^x}{x}$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cdot x = \int \frac{e^x}{x} \cdot x dx + c$
$xy = \int e^x dx + c$
$xy = e^x + c$
$y = \frac{e^x + c}{x}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8$.
पदों को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4x + 8$.
$\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4(x + 2)$.
यहाँ,$P(x) = x + 2$ और $Q(x) = 4(x + 2)$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (x + 2) dx} = e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = \int 4(x + 2) e^{\frac{x^2}{2} + 2x} dx + c$.
माना $u = \frac{x^2}{2} + 2x$,तब $du = (x + 2) dx$ होगा।
$y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = 4 \int e^u du + c = 4e^u + c = 4e^{\frac{x^2}{2} + 2x} + c$.
दोनों पक्षों को $e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$ से विभाजित करने पर:
$y = 4 + ce^{-(\frac{x^2}{2} + 2x)}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y+\cos x(\frac{dy}{dx})-\cos^2 x=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\cos x(\frac{dy}{dx})+y=\cos^2 x$ प्राप्त होता है।
$\cos x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx}+y\sec x=\cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\sec x$ और $Q=\cos x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x+\tan x|} = \sec x+\tan x$ है।
व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y(\sec x+\tan x) = \int \cos x(\sec x+\tan x) dx + c$.
$y(\sec x+\tan x) = \int (1+\sin x) dx + c$.
$y(\sec x+\tan x) = x-\cos x+c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{\sec x}{\cos x + \sin x}$ और $Q(x) = \frac{\cos x}{1 + \tan x}$ है।
सबसे पहले,$P(x)$ को सरल करें:
$P(x) = \frac{1}{\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x}$.
अब,समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx}$ ज्ञात करें:
$IF = e^{\int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x} dx} = e^{\ln|1 + \tan x|} = 1 + \tan x$.
अवकल समीकरण को $IF$ से गुणा करने पर:
$(1 + \tan x) \frac{dy}{dx} + \sec^2 x \cdot y = \cos x$.
अतः,$\frac{d}{dx} [y(1 + \tan x)] = \cos x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y(1 + \tan x) = \sin x + c$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है।
$x \log x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx + C$.
माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$ है।
$y \log x = \int 2u du + C = u^2 + C = (\log x)^2 + C$.
दिया गया है कि $y(e) = 0$,इसलिए $0 \cdot \log e = (\log e)^2 + C$,जिसका अर्थ है $0 = 1 + C$,अर्थात $C = -1$।
अतः,$y \log x = (\log x)^2 - 1$।
$x = e^2$ के लिए,$y \log(e^2) = (\log e^2)^2 - 1$।
$y(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$।
$2y = 3$,इसलिए $y = \frac{3}{2}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$.
दोनों पक्षों को $dx$ और $x \log x$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x - y}{x \log x} = 1 - \frac{y}{x \log x}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 1$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 1$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} \, dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} \, dx$. अतः,$\int \frac{1}{x \log x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| = \log |\log x|$.
इसलिए,$IF = e^{\log |\log x|} = \log x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) \, dx + c$ है।
$y \log x = \int 1 \cdot \log x \, dx + c$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int \log x \, dx = x \log x - x$.
अतः,$y \log x = x \log x - x + c$.
व्यवस्थित करने पर $(y-x) \log x + x = c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x(1+\sin^2 x)$ है।
$(1+\sin^2 x)$ से विभाजित करने पर हमें रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + y \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} = \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$ और $Q = \cos x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx}$ है।
मान लीजिए $u = 1+\sin^2 x$,तो $du = 2 \sin x \cos x dx = \sin 2x dx$ है।
अतः,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln u} = u = 1+\sin^2 x$ है।
हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y(1+\sin^2 x) = \int \cos x (1+\sin^2 x) dx + c$ है।
मान लीजिए $t = \sin x$,तो $dt = \cos x dx$ है।
$y(1+\sin^2 x) = \int (1+t^2) dt + c = t + \frac{t^3}{3} + c$ है।
$t = \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1+\sin^2 x) y = \sin x + \frac{\sin^3 x}{3} + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$ है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v^2}{1 - v^2} - v = \frac{v^3 - v^2 - 2v + 2}{1 - v^2} = \frac{(v^2 - 2)(v - 1)}{-(v^2 - 1)}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{v^2 - 1}{(v^2 - 2)(v - 1)} dv = -\int \frac{dx}{x}$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v+1}{v^2-2} = \frac{v}{v^2-2} + \frac{1}{v^2-2}$।
समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \log |v^2 - 2| + \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -\log |x| + C$।
$2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{2} \log |v^2 - 2| + \log \left|\frac{v - \sqrt{2}}{v + \sqrt{2}}\right| = -2\sqrt{2} \log |x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\sqrt{2} \log \left|\frac{y^2 - 2x^2}{x^2}\right| + \log \left|\frac{y - \sqrt{2}x}{y + \sqrt{2}x}\right| + 2\sqrt{2} \log |x| = c$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x(y-2) + 1(y-2)}{2y(x-2) + 1(x-2)} = \frac{(2x+1)(y-2)}{(2y+1)(x-2)}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{2y+1}{y-2} dy = \frac{2x+1}{x-2} dx$ प्राप्त होता है।
भिन्नों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{2(y-2)+5}{y-2} dy = \frac{2(x-2)+5}{x-2} dx$.
यह सरल होकर $(2 + \frac{5}{y-2}) dy = (2 + \frac{5}{x-2}) dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (2 + \frac{5}{y-2}) dy = \int (2 + \frac{5}{x-2}) dx$.
$2y + 5 \log |y-2| = 2x + 5 \log |x-2| + C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2(y-x) + 5 \log |y-2| - 5 \log |x-2| = C$.
$2(y-x) + 5 \log \left| \frac{y-2}{x-2} \right| = C$.

(A) किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + y$ द्वारा दी गई है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - y = x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को समाकलन गुणक से गुणा करने पर,हमें $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = x e^{-x}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d}{dx} (y e^{-x}) = x e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $y e^{-x} = \int x e^{-x} dx$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} + c$।
अतः,$y e^{-x} = -x e^{-x} - e^{-x} + c$।
$e^x$ से गुणा करने पर,हमें $y = -x - 1 + ce^x$ प्राप्त होता है,जो $y = ce^x - x - 1$ है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 5\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,और $\vec{c} = -13\hat{i}-11\hat{j}+4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,$\vec{AC}$,और $\vec{CB}$ की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -18\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -15\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c} = 18\hat{i} + 12\hat{j} - 6\hat{k}$.
अब,$\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$ में $\lambda$ के लिए हल करें:
$3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} = \lambda (-18\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}) = -6\lambda (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.
अतः,$-6\lambda = 1$,जिससे $\lambda = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
आगे,$\vec{AC} = \mu \vec{CB}$ में $\mu$ के लिए हल करें:
$-15\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k} = \mu (18\hat{i} + 12\hat{j} - 6\hat{k})$.
घटकों को विभाजित करने पर: $-15 = 18\mu \implies \mu = -\frac{15}{18} = -\frac{5}{6}$.
अंत में,$\lambda + \mu = -\frac{1}{6} + (-\frac{5}{6}) = -\frac{6}{6} = -1$.

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ बिंदु $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं।
अतः,$\overline{AB} = \bar{b} - \bar{a}$.
दिया है $\overline{AC} = 3 \overline{AB} = 3(\bar{b} - \bar{a})$.
चूंकि $\overline{AC} = \vec{c} - \vec{a}$,इसलिए $\vec{c} - \vec{a} = 3\bar{b} - 3\bar{a}$,जिसका अर्थ है $\vec{c} = 3\bar{b} - 2\bar{a}$.
दिया है $\overline{BD} = 2 \overline{BA} = 2(\bar{a} - \bar{b})$.
चूंकि $\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$,इसलिए $\vec{d} - \vec{b} = 2\bar{a} - 2\bar{b}$,जिसका अर्थ है $\vec{d} = 2\bar{a} - \bar{b}$.
अब,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (2\bar{a} - \bar{b}) - (3\bar{b} - 2\bar{a}) = 2\bar{a} - \bar{b} - 3\bar{b} + 2\bar{a} = 4\bar{a} - 4\bar{b}$.

(D) बिंदु $P$ के स्थिति सदिश $\bar{x}$ के लिए दिए गए समीकरण:
$1$) $\bar{x} \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{a} \cdot \bar{b} \implies (\bar{x} - \bar{a}) \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = 0$.
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{AP}$ भुजा $BC$ पर लंब है।
$2$) $\bar{x} \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = \bar{a} \cdot \bar{b} - \bar{b} \cdot \bar{c} \implies (\bar{x} - \bar{b}) \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = 0$.
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{BP}$ भुजा $AC$ पर लंब है।
चूंकि $P$ एक ऐसा बिंदु है कि $\vec{AP} \perp BC$ और $\vec{BP} \perp AC$,इसलिए $P$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,$P$ त्रिभुज $ABC$ का लंबकेंद्र है।

(B) माना शीर्ष $A(2,3,5)$,$B(-1,3,2)$,और $C(3,5,-2)$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = B - A = (-3, 0, -3)$.
$\vec{BC} = C - B = (4, 2, -4)$.
$\vec{CA} = A - C = (-1, -2, 7)$.
परिमाण (magnitudes) की गणना करें:
$|\vec{AB}| = 3\sqrt{2}$,$|\vec{BC}| = 6$,$|\vec{CA}| = 3\sqrt{6}$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - |\vec{BC}|^2}{2|\vec{AB}||\vec{AC}|}$.
यहाँ $\vec{AC} = (1, 2, -7)$,इसलिए $|\vec{AC}| = 3\sqrt{6}$.
$\cos \alpha = \frac{18 + 54 - 36}{2(3\sqrt{2})(3\sqrt{6})} = \frac{36}{36\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
इसी प्रकार,$\cos \beta = \frac{18 + 36 - 54}{2(3\sqrt{2})(6)} = 0$.
अतः $\beta = 90^\circ$ और $\sin^2 \beta = 1$.
चूंकि $\gamma = 90^\circ - \alpha$,इसलिए $\sin^2 \gamma = \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
योग $= \frac{2}{3} + 1 + \frac{1}{3} = 2$.

(B) माना $\bar{u} = \bar{i} - 7\bar{j} + 2\bar{k}$ आंतरिक समद्विभाजक के अनुदिश सदिश है। इसका परिमाण $|\bar{u}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ है।
माना $\bar{b} = -2\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}$ है। इसका परिमाण $|\bar{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3$ है।
$\bar{b}$ के अनुदिश इकाई सदिश $\hat{b} = \frac{-2\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}}{3} = -\frac{2}{3}\bar{i} - \frac{1}{3}\bar{j} + \frac{2}{3}\bar{k}$ है।
माना $\hat{a} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$ सदिश $\bar{a}$ के अनुदिश इकाई सदिश है।
आंतरिक समद्विभाजक $\hat{a} + \hat{b}$ के अनुदिश होता है। अतः,$\hat{a} + \hat{b} = k\bar{u}$ किसी अदिश $k > 0$ के लिए।
$\hat{a} = k(\bar{i} - 7\bar{j} + 2\bar{k}) - (-\frac{2}{3}\bar{i} - \frac{1}{3}\bar{j} + \frac{2}{3}\bar{k}) = (k + \frac{2}{3})\bar{i} + (-7k + \frac{1}{3})\bar{j} + (2k - \frac{2}{3})\bar{k}$ है।
चूंकि $|\hat{a}| = 1$,इसलिए $(k + \frac{2}{3})^2 + (-7k + \frac{1}{3})^2 + (2k - \frac{2}{3})^2 = 1$ है।
सरल करने पर $54k^2 - 6k = 0$ प्राप्त होता है,अतः $k = \frac{1}{9}$ ($k > 0$ के कारण)।
इसलिए $x = k + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$।

(C) तीन सदिश $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ 4 & p & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(4(1) - 1(p)) - (-1)(1(1) - 1(4)) + 3(1(p) - 4(4)) = 0$
$2(4 - p) + 1(1 - 4) + 3(p - 16) = 0$
$8 - 2p - 3 + 3p - 48 = 0$
$p - 43 = 0$
$p = 43$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिए गए सदिश $\bar{a} = 2\bar{i} - 3\bar{j} + 5\bar{k}$ और $\bar{b} = -\bar{i} + 3\bar{j} + 3\bar{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\bar{c} = \bar{a} - \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{c} = (2 - (-1))\bar{i} + (-3 - 3)\bar{j} + (5 - 3)\bar{k} = 3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}$.
अब,$\bar{c}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$\bar{c}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{c} = \frac{\bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}}{7}$ है।
$28$ इकाई परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $28 \times \hat{c}$ है:
$28 \times \left( \frac{3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}}{7} \right) = 4(3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}) = 12\bar{i} - 24\bar{j} + 8\bar{k}$.

(D) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{a} = 2 \bar{i} + 4 \bar{j} - 3 \bar{k}$,$\vec{b} = -\bar{i} + 2 \bar{j} + 3 \bar{k}$,और $\vec{c} = p \bar{i} - 2 \bar{j} + \bar{k}$ हैं।
शर्त $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ का अर्थ है कि घटकों का सारणिक शून्य है:
$\begin{vmatrix} 2 & 4 & -3 \\ -1 & 2 & 3 \\ p & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(2(1) - 3(-2)) - 4(-1(1) - 3(p)) - 3(-1(-2) - 2(p)) = 0$
$2(2 + 6) - 4(-1 - 3p) - 3(2 - 2p) = 0$
$16 + 4 + 12p - 6 + 6p = 0$
$14 + 18p = 0 \implies 18p = -14 \implies p = -\frac{7}{9}$.
अब,$p = -\frac{7}{9}$ को सदिश $9p \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k}$ में रखने पर:
$9(-\frac{7}{9}) \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k} = -7 \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k}$.
माना $\vec{v} = -7 \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k}$. इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
इकाई सदिश $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{9}(-7 \bar{i} - 4 \bar{j} + 4 \bar{k})$ है।

(B) मान लीजिए स्थिति सदिश $\vec{a} = \overline{i}-2 \overline{j}+\overline{k}$,$\vec{b} = \overline{i}+\overline{j}-2 \overline{k}$,$\vec{c} = 2 \overline{i}-\overline{j}-\overline{k}$,और $\vec{d} = \overline{i}+\overline{j}+\overline{k}$ हैं।
बिंदु $P$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है: $\vec{p} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{a}}{2+1} = \frac{2(\overline{i}+\overline{j}-2 \overline{k}) + (\overline{i}-2 \overline{j}+\overline{k})}{3} = \frac{3\overline{i} - 3\overline{k}}{3} = \overline{i} - \overline{k}$.
बिंदु $Q$,$CD$ को $1:2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है: $\vec{q} = \frac{1\vec{d} - 2\vec{c}}{1-2} = \frac{(\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}) - 2(2 \overline{i}-\overline{j}-\overline{k})}{-1} = \frac{-3\overline{i} + 3\overline{j} + 3\overline{k}}{-1} = 3\overline{i} - 3\overline{j} - 3\overline{k}$.
मान लीजिए बिंदु $R$ जिसका स्थिति सदिश $\vec{r} = 5\overline{i}-6\overline{j}-5\overline{k}$ है,$PQ$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
तब $\vec{r} = \frac{k\vec{q} + 1\vec{p}}{k+1} \implies (k+1)(5\overline{i}-6\overline{j}-5\overline{k}) = k(3\overline{i}-3\overline{j}-3\overline{k}) + (\overline{i}-\overline{k})$.
घटकों की तुलना करने पर:
$x$-घटक: $5k+5 = 3k+1 \implies 2k = -4 \implies k = -2$.
अतः,अनुपात $-2:1$ है।

(B) माना लंबकेंद्र का स्थिति सदिश $\bar{h}$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज के लिए,केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $P$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\bar{g} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{3}$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{g} = \frac{1(\bar{h}) + 2(\bar{p})}{1+2} = \frac{\bar{h} + 2\bar{p}}{3}$ प्राप्त होता है।
$\bar{g}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{3} = \frac{\bar{h} + 2\bar{p}}{3}$.
$\bar{h} + 2\bar{p} = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
दिया गया है कि $\bar{p} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{4}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{h} + 2\left(\frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{4}\right) = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
$\bar{h} + \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2} = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
$\bar{h} = (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2}$.

(C) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 = |\bar{c}|^2 = 1$.
दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर: $|\bar{a}-\bar{b}|^2+|\bar{b}-\bar{c}|^2+|\bar{c}-\bar{a}|^2=15$.
यह $(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2-2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (|\bar{b}|^2+|\bar{c}|^2-2\bar{b} \cdot \bar{c}) + (|\bar{c}|^2+|\bar{a}|^2-2\bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$ हो जाता है।
इकाई सदिश के परिमाण रखने पर: $(1+1-2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (1+1-2\bar{b} \cdot \bar{c}) + (1+1-2\bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$.
$6 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = -\frac{9}{2}$.
अब,$|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 1 + 1 + 1 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 3 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
पिछले चरण से,$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = -\frac{9}{2} - \bar{b} \cdot \bar{c}$.
यह मान रखने पर: $|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 = 3 - 2(-\frac{9}{2} - \bar{b} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 3 + 9 + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 12 + 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
अतः,$|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 12$.

(B) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=1, |\bar{c}|=1$.
चूंकि $\bar{a} \perp \bar{b}$,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
दिया गया है $(\bar{a}-\bar{c}) \cdot (\bar{b}+\bar{c}) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें मिलता है $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{c} \cdot \bar{b} - |\bar{c}|^2 = 0$.
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ और $|\bar{c}|^2 = 1$,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{b} \cdot \bar{c} = 1$.
दिया गया है $\bar{c} = l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})$.
$\bar{a}$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $\bar{c} \cdot \bar{a} = l(\bar{a} \cdot \bar{a}) + m(\bar{b} \cdot \bar{a}) + n(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a} = l(1) + m(0) + 0 = l$.
$\bar{b}$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $\bar{c} \cdot \bar{b} = l(\bar{a} \cdot \bar{b}) + m(\bar{b} \cdot \bar{b}) + n(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{b} = l(0) + m(1) + 0 = m$.
इन मानों को $\bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{b} \cdot \bar{c} = 1$ में रखने पर,हमें $l - m = 1$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$|\bar{c}|^2 = 1 \implies (l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})) \cdot (l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})) = 1$.
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}$ परस्पर लंबवत हैं,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}|\sin(90^{\circ}) = 1$.
अतः,$l^2 + m^2 + n^2(1)^2 = 1$,जिसका अर्थ है $n^2 = 1 - l^2 - m^2$.

(B) मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है। घन को एक निर्देशांक प्रणाली में इस प्रकार रखें कि उसके शीर्ष $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ और $(a,a,a)$ हों।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से $(a,a,a)$ तक जाने वाले घन के विकर्ण पर विचार करें। इस विकर्ण को दर्शाने वाला सदिश $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
उसी मूल बिंदु $(0,0,0)$ से $(a,a,0)$ तक जाने वाले फलक के विकर्ण पर विचार करें। इस विकर्ण को दर्शाने वाला सदिश $\vec{d_2} = a\hat{i} + a\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(a) + (a)(a) + (a)(0) = 2a^2$.
परिमाण की गणना: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$ और $|\vec{d_2}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0} = a\sqrt{2}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{2a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
इसलिए,$\theta = \operatorname{Cos}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.

(D) $\angle BAC$ ज्ञात करने के लिए,हमें सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के बीच का कोण ज्ञात करना होगा।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = B - A = (5-0, 0-4, 12-(-3)) = (5, -4, 15)$
$\vec{AC} = C - A = (7-0, 24-4, 0-(-3)) = (7, 20, 3)$
इसके बाद,अदिश गुणन (dot product) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (5)(7) + (-4)(20) + (15)(3) = 35 - 80 + 45 = 0$
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\angle BAC = 90^{\circ}$।

(B) माना कि दी गई व्यंजक $E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot \{(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})\}$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})$।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण गुण का उपयोग करते हुए:
$= (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{a} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{b} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{c}$
$= (\bar{a} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$:
$= (0 + \bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{b} - 0) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
$= \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{c}$
$= \bar{b} \times \bar{c} - \bar{a} \times \bar{c} = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$।
अब,इसे व्यंजक $E$ में प्रतिस्थापित करें:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) - \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुण $[\bar{x} \bar{y} \bar{z}] = \bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z})$ का उपयोग करते हुए:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] - 0 - 0$
चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है कि $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 4$,और $|\bar{a}+\bar{b}| = 5$ है।
हम जानते हैं कि $|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$ होता है।
मान रखने पर: $5^2 = 3^2 + 4^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$।
$25 = 9 + 16 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies 25 = 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies \bar{a} \cdot \bar{b} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अब,हमें $|\bar{a}-\bar{b}|$ ज्ञात करना है।
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$।
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = 3^2 + 4^2 - 2(0) = 9 + 16 = 25$।
अतः,$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$।

(D) दिया गया है $\bar{a} = 4\bar{i} + 3\bar{j}$। चूँकि $\bar{b}$,$XOY$-समतल में $\bar{a}$ के लंबवत है,इसलिए $\bar{b}$ को $3\bar{i} - 4\bar{j}$ या $-3\bar{i} + 4\bar{j}$ की दिशा में होना चाहिए। मान लीजिए $\bar{b} = 3\bar{i} - 4\bar{j}$।
मान लीजिए $\bar{c} = x\bar{i} + y\bar{j}$।
$\bar{c}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = 1$ है,अतः $\frac{4x + 3y}{5} = 1 \implies 4x + 3y = 5$।
$\bar{c}$ का $\bar{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{c} \cdot \bar{b}}{|\bar{b}|} = 2$ है,अतः $\frac{3x - 4y}{5} = 2 \implies 3x - 4y = 10$।
समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर: $16x + 12y = 20$ और $9x - 12y = 30$।
दोनों को जोड़ने पर: $25x = 50 \implies x = 2$।
$x = 2$ को $4x + 3y = 5$ में रखने पर: $8 + 3y = 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$।
अतः,$\bar{c} = 2\bar{i} - \bar{j}$।

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण अधिक कोण होता है यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (cx)(x) + (-6)(2) + (3)(2cx) = cx^2 - 12 + 6cx$।
हमें सभी वास्तविक $x$ के लिए $cx^2 + 6cx - 12 < 0$ की आवश्यकता है।
एक द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C < 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$x^2$ का गुणांक ऋणात्मक $(A < 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक $(D < 0)$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = c$,$B = 6c$,और $C = -12$ है।
शर्त $1$: $c < 0$।
शर्त $2$: $D = B^2 - 4AC = (6c)^2 - 4(c)(-12) = 36c^2 + 48c < 0$।
$12c(3c + 4) < 0$।
मूल $c = 0$ और $c = -4/3$ हैं।
असमिका के सत्य होने के लिए,$c$ को मूलों के बीच स्थित होना चाहिए: $-4/3 < c < 0$।
अतः,$c$ के सभी वास्तविक मानों का समुच्चय $\left(-\frac{4}{3}, 0\right)$ है।

(C) $P$ से गुजरने वाली रेखा $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + \hat{j})$ है।
$Q$ से गुजरने वाली रेखा $L_2: \vec{r} = (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(\hat{j} - \hat{k})$ है।
$L_1$ और $L_2$ को काटने वाली रेखा $L_3: \vec{r} = \vec{r}_0 + u(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ है।
चूंकि $L_3$,$L_1$ को $L$ पर काटती है,$L = (1+s, -1+s, -1) = (x_0+u, y_0-u, z_0+u)$।
चूंकि $L_3$,$L_2$ को $M$ पर काटती है,$M = (-1, 1+t, 1-t) = (x_0+v, y_0-v, z_0+v)$।
समीकरणों को हल करने पर,हमें $M = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (3\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$।

(B) माना बिंदु $P(3, 4, \alpha)$ है।
$P$ की $X$-अक्ष से दूरी $d_X = \sqrt{4^2 + \alpha^2} = \sqrt{16 + \alpha^2}$ है।
$P$ की $Y$-अक्ष से दूरी $d_Y = \sqrt{3^2 + \alpha^2} = \sqrt{9 + \alpha^2}$ है।
$P$ की $Z$-अक्ष से दूरी $d_Z = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना $f(\alpha) = \sqrt{16 + \alpha^2} + \sqrt{9 + \alpha^2} + 5$ है।
$f(\alpha)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम अवकलज प्राप्त करते हैं $f'(\alpha) = \frac{\alpha}{\sqrt{16 + \alpha^2}} + \frac{\alpha}{\sqrt{9 + \alpha^2}}$।
$f'(\alpha) = 0$ रखने पर,हमें $\alpha \left( \frac{1}{\sqrt{16 + \alpha^2}} + \frac{1}{\sqrt{9 + \alpha^2}} \right) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोष्ठक में पद हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए एकमात्र समाधान $\alpha = 0$ है।
अतः,$\sec \alpha = \sec(0) = 1$।

(C) माना शीर्ष $A(0,0,0)$,$B(3,4,0)$,और $C(0,12,5)$ हैं।
सबसे पहले,हम शीर्ष $A, B, C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई क्रमशः $a, b, c$ ज्ञात करते हैं।
$a = BC = \sqrt{(0-3)^2 + (12-4)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 64 + 25} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (12-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
अंतःकेंद्र $I(x, y, z)$ का $x$-निर्देशांक सूत्र $x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x = \frac{(7\sqrt{2})(0) + (13)(3) + (5)(0)}{7\sqrt{2} + 13 + 5} = \frac{0 + 39 + 0}{18 + 7\sqrt{2}} = \frac{39}{18 + 7\sqrt{2}}$.

(D) माना कि बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{A} = 4\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{B} = 6\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$,और $\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$ हैं।
हम भुजाओं $AB$,$BC$,और $CA$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = |\vec{B} - \vec{A}| = |2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$BC = |\vec{C} - \vec{B}| = |-5\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}| = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$CA = |\vec{A} - \vec{C}| = |3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}| = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
चूँकि $AB = CA = 7$ है,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) माना कि बिंदु $B$ रेखाखंड $AC$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ के निर्देशांक हैं:
$B = \left( \frac{\lambda(x_1 + kl) + 1(x_1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(y_1 + km) + 1(y_1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(z_1 + kn) + 1(z_1)}{\lambda + 1} \right)$.
इसे दिए गए $B = (x_1 + 4kl, y_1 + 4km, z_1 + 4kn)$ के साथ तुलना करने पर,$x$-निर्देशांकों को बराबर करने पर:
$x_1 + 4kl = \frac{\lambda x_1 + \lambda kl + x_1}{\lambda + 1} = \frac{x_1(\lambda + 1) + \lambda kl}{\lambda + 1} = x_1 + \frac{\lambda kl}{\lambda + 1}$.
दोनों पक्षों से $x_1$ घटाने पर:
$4kl = \frac{\lambda kl}{\lambda + 1}$.
चूंकि $k > 0$ और $l \neq 0$,$kl$ से विभाजित करने पर:
$4 = \frac{\lambda}{\lambda + 1}$.
$4(\lambda + 1) = \lambda \implies 4\lambda + 4 = \lambda \implies 3\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{3}$.
अतः,अनुपात $-4:3$ या $4:-3$ है।
इसलिए,बिंदु $B$ रेखाखंड $AC$ को $4:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।

(A) सबसे पहले,$\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB^2 = (2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \implies AB = 3$.
$BC^2 = (1-2)^2 + (-3+1)^2 + (1-3)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \implies BC = 3$.
$AC^2 = (1-0)^2 + (-3-1)^2 + (1-2)^2 = 1 + 16 + 1 = 18 \implies AC = 3\sqrt{2}$.
चूंकि $AB^2 + BC^2 = 9 + 9 = 18 = AC^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण $B$ समकोण है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र $(H)$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है,इसलिए $H = B(2,-1,3)$.
परिकेंद्र $(O)$ कर्ण $AC$ का मध्यबिंदु होता है।
$O = \left( \frac{0+1}{2}, \frac{1-3}{2}, \frac{2+1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2} \right)$.
दूरी $OH = \sqrt{(2 - 1/2)^2 + (-1 - (-1))^2 + (3 - 3/2)^2}$.
$OH = \sqrt{(3/2)^2 + 0^2 + (3/2)^2} = \sqrt{9/4 + 9/4} = \sqrt{18/4} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(A) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं,जहाँ $A$ समकोण वाला शीर्ष है।
दिया गया है $\vec{A} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$।
कर्ण $BC$ का मध्य बिंदु $\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
त्रिभुज का केंद्रक $\vec{G}$,$\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
हम इसे $\vec{G} = \frac{\vec{A} + 2(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2})}{3} = \frac{\vec{A} + 2\vec{M}}{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{G} = \frac{(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) + 2(6\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})}{3}$
$\vec{G} = \frac{-3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k} + 12\hat{i} + 4\hat{j} + 10\hat{k}}{3}$
$\vec{G} = \frac{9\hat{i} + 9\hat{j} + 12\hat{k}}{3}$
$\vec{G} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है। बिंदु $A(-3, 1, 2)$ और $B(1, -2, 4)$ हैं।
चूंकि रेखाखंड $AB$,$P$ पर समकोण बनाता है,इसलिए सदिश $\vec{PA}$ और $\vec{PB}$ लंबवत हैं।
$\vec{PA} = (-3-x, 1-y, 2-z)$
$\vec{PB} = (1-x, -2-y, 4-z)$
चूंकि $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$,हमारे पास है:
$(-3-x)(1-x) + (1-y)(-2-y) + (2-z)(4-z) = 0$
$(x+3)(x-1) + (y-1)(y+2) + (z-2)(z-4) = 0$
$(x^2 + 2x - 3) + (y^2 + y - 2) + (z^2 - 6z + 8) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + (-3 - 2 + 8) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + 3 = 0$
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + 3 = 0$ है।

(A) माना $xy$-समतल में बिंदु $P(x, y, 0)$ है।
चूंकि $P$,बिंदुओं $A(2, 0, 3)$,$B(0, 3, 2)$ और $C(0, 0, 1)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2 = PC^2$ होगा।
$PA^2 = (x-2)^2 + (y-0)^2 + (0-3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 4x + 13$.
$PB^2 = (x-0)^2 + (y-3)^2 + (0-2)^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 13$.
$PC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (0-1)^2 = x^2 + y^2 + 1$.
$PA^2 = PC^2$ को हल करने पर: $x^2 + y^2 - 4x + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies -4x = -12 \implies x = 3$.
$PB^2 = PC^2$ को हल करने पर: $x^2 + y^2 - 6y + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies -6y = -12 \implies y = 2$.
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(3, 2, 0)$ हैं।

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
चूंकि $\vec{AB} = -\vec{CD}$ और $\vec{BC} = -\vec{DA}$,सम्मुख भुजाएं समानांतर और परिमाण में समान हैं।
आसन्न भुजाओं का अदिश गुणनफल $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -13 \neq 0$ है।
अतः,यह एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) रेखाखंड $PQ$ के दिशा अनुपात $(a, b, c) = (3, -2, 6)$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम दिशा सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं: $\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
दिशा कोसाइन $(l, m, n)$ प्राप्त करने के लिए दिशा अनुपात को परिमाण से विभाजित करते हैं: $l = \frac{3}{7}, m = \frac{-2}{7}, n = \frac{6}{7}$.
सदिश $\vec{PQ}$ की लंबाई $63$ है,इसलिए $\vec{PQ} = 63 \times (l, m, n) = 63 \times (\frac{3}{7}, \frac{-2}{7}, \frac{6}{7}) = (27, -18, 54)$.
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि रेखा $X$-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाती है। इसका अर्थ है कि दिशा कोसाइन $l$ ऋणात्मक होना चाहिए।
इसलिए,हम सदिश को $-1$ से गुणा करते हैं: $\vec{PQ} = (-27, 18, -54)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिए गए समीकरण $l-2m+n=0$ $(1)$ और $lm+10mn-2nl=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$l = 2m-n$.
$l$ का मान $(2)$ में रखने पर: $(2m-n)m + 10mn - 2n(2m-n) = 0$.
$2m^2 - mn + 10mn - 4mn + 2n^2 = 0$.
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$.
$n^2$ से विभाजित करने पर: $2(m/n)^2 + 5(m/n) + 2 = 0$.
$(2m/n + 1)(m/n + 2) = 0$.
स्थिति $1$: $m/n = -1/2 \implies m = -k, n = 2k$.
$l = 2(-k) - 2k = -4k$.
दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1) = (-4, -1, 2)$.
स्थिति $2$: $m/n = -2 \implies m = -2k, n = k$.
$l = 2(-2k) - k = -5k$.
दिक्-अनुपात $(l_2, m_2, n_2) = (-5, -2, 1)$.
$cos \theta = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$.
$cos \theta = \frac{|(-4)(-5) + (-1)(-2) + (2)(1)|}{\sqrt{16+1+4} \sqrt{25+4+1}} = \frac{|20+2+2|}{\sqrt{21} \sqrt{30}} = \frac{24}{\sqrt{630}} = \frac{24}{3\sqrt{70}} = \frac{8}{\sqrt{70}}$.

(C) शीर्ष $A(1,2,3), B(2,3,-1), C(3,-1,-2)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$.
$\angle A$ का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को $AB:AC = 3\sqrt{2} : \sqrt{38} = 3 : \sqrt{19}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
समद्विभाजक के दिक अनुपात ज्ञात करने के लिए,$AB$ और $AC$ की दिशा में इकाई सदिशों का योग करने पर,हमें $(1, 4, 1)$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,समतल $ABC$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात करें। सदिश $\vec{AB} = B-A = (-1, -2, 1)$ और $\vec{AC} = C-A = (-1, 2, 0)$ हैं।
$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$.
इसके बाद,समतल $ACD$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ ज्ञात करें। सदिश $\vec{AC} = (-1, 2, 0)$ और $\vec{AD} = D-A = (-2, -1, -1)$ हैं।
$\vec{n_2} = \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
समतलों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 4 + 1 - 20 = -15$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{21}$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{30}$.
$\cos \theta = \frac{15}{\sqrt{630}} = \frac{5}{\sqrt{70}}$.
अतः,$\cos^2 \theta = \frac{25}{70} = \frac{5}{14}$,और $\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
इस प्रकार,$\tan^2 \theta = \frac{9/14}{5/14} = \frac{9}{5}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{5}}$.

(A) माना रेखा द्वारा $X, Y$ और $Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण $\alpha = \frac{\pi}{4}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
मान रखने पर: $(\cos \frac{\pi}{4})^2 + (\cos \frac{\pi}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\cos \theta = \frac{1}{2}$ हैं।
इसलिए,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ हैं।

(A) माना रेखा $L_1$ के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, -2, 2)$ हैं और रेखा $L_2$ के दिक्-अनुपात $\vec{b} = (-2, 3, -6)$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत रेखा के दिक्-अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -6 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-2)(-6) - (2)(3)) - \hat{j}((1)(-6) - (2)(-2)) + \hat{k}((1)(3) - (-2)(-2))$
$= \hat{i}(12 - 6) - \hat{j}(-6 + 4) + \hat{k}(3 - 4)$
$= \hat{i}(6) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(-1)$
$= (6, 2, -1)$.
अतः,$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत रेखा के दिक्-अनुपात $(6, 2, -1)$ हैं।

(D) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दोनों रेखा समीकरणों की तुलना करते हैं:
$(1+t) \overline{i} + (-6+2t) \overline{j} + (2+t) \overline{k} = (2s) \overline{i} + (4+s) \overline{j} + (1+2s) \overline{k}$
घटकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1) 1+t = 2s$
$2) -6+2t = 4+s \implies 2t-s = 10$
$3) 2+t = 1+2s \implies t-2s = -1$
समीकरण $(1)$ से,$t = 2s-1$. इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(2s-1) - s = 10 \implies 4s-2-s = 10 \implies 3s = 12 \implies s = 4$.
अब,$t$ ज्ञात करें: $t = 2(4)-1 = 7$.
समीकरण $(3)$ के साथ जाँच करें: $7 - 2(4) = 7-8 = -1$. यह सुसंगत है।
दूसरी रेखा के समीकरण में $s=4$ रखने पर:
$\overline{r} = (0 \overline{i} + 4 \overline{j} + 1 \overline{k}) + 4(2 \overline{i} + 1 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 8 \overline{i} + 8 \overline{j} + 9 \overline{k}$.

(A) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
रेखा धनात्मक $x$-अक्ष (दिशा $\hat{i}$) के साथ जो कोण $\alpha$ बनाती है,वह $\cos \alpha = \frac{\vec{d} \cdot \hat{i}}{|\vec{d}| |\hat{i}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{d} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.
$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\hat{i}| = 1$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$,$\vec{b} = -\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$,$\vec{c} = \vec{j}+2\vec{k}$,और $\vec{d} = 2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$ हैं।
रेखा $AB$,$A$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{p} = \vec{b}-\vec{a} = -2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$ है।
रेखा $CD$,$C$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{q} = \vec{d}-\vec{c} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\vec{c}-\vec{a} = -\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k}$ है।
$\vec{p} \times \vec{q} = 4\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}$ प्राप्त होता है।
$|\vec{p} \times \vec{q}| = 6$ होता है।
अंश का मान $|(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})| = |(-1)(4) + (0)(4) + (3)(2)| = 2$ होता है।
अतः,$d = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

(D) दो रेखाओं $\overline{r}=\overline{a}+t \overline{b}$ और $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ के समतलीय होने की शर्त $(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q}) = 0$ है। चूँकि कथन में दिया गया है कि अदिश त्रिक गुणनफल $0$ के बराबर नहीं है,इसलिए रेखाएं विषमतलीय (skew) हैं,समतलीय नहीं। अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})|}{|\bar{b} \times \bar{q}|}$ है।
इसका अर्थ है कि $|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})| = d \times |\bar{b} \times \bar{q}|$। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।