AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) हमें ऐसे पूर्णांक $n$ ज्ञात करने हैं जहाँ $10 < n < 10,000$ हो और अंक सख्ती से बढ़ते क्रम में हों।
इसका अर्थ है कि हमें $2, 3,$ या $4$ अंकों वाली संख्याएँ देखनी हैं।
समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ से चुने गए $k$ अलग-अलग अंकों के लिए,उन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने का केवल एक ही तरीका है।
ध्यान दें कि $0$ को शामिल नहीं किया जा सकता क्योंकि यदि $0$ मौजूद है,तो उसे पहला अंक होना होगा,जो संभव नहीं है।
$1$. $2$-अंकीय संख्याएँ: $9$ अंकों में से $2$ अंक चुनने के तरीके: $\binom{9}{2} = 36$.
$2$. $3$-अंकीय संख्याएँ: $9$ अंकों में से $3$ अंक चुनने के तरीके: $\binom{9}{3} = 84$.
$3$. $4$-अंकीय संख्याएँ: $9$ अंकों में से $4$ अंक चुनने के तरीके: $\binom{9}{4} = 126$.
कुल संख्या $= 36 + 84 + 126 = 246$.

(D) हमें $6$ बल्लेबाज,$6$ गेंदबाज,$4$ ऑल-राउंडर और $4$ विकेट कीपर में से $11$ सदस्यों का चयन करना है।
शर्तें: $B \ge 4, Bo \ge 3, A \ge 2, W = 1$.
कुल चयनित सदस्य = $11$.
मान लीजिए $b, bo, a, w$ प्रत्येक श्रेणी से चुने गए खिलाड़ियों की संख्या है।
$w = 1$,इसलिए $b + bo + a = 10$.
संभावित स्थितियाँ $(b, bo, a)$ जहाँ $b \ge 4, bo \ge 3, a \ge 2$:
स्थिति $1$: $(5, 3, 2) \implies \binom{6}{5} \times \binom{6}{3} \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 6 \times 20 \times 6 \times 4 = 2880$.
स्थिति $2$: $(4, 4, 2) \implies \binom{6}{4} \times \binom{6}{4} \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 15 \times 15 \times 6 \times 4 = 5400$.
स्थिति $3$: $(4, 3, 3) \implies \binom{6}{4} \times \binom{6}{3} \times \binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 15 \times 20 \times 4 \times 4 = 4800$.
कुल तरीके = $2880 + 5400 + 4800 = 13080$.

(D) कुल व्यक्ति = $15$। समूहों का आकार $3, 5, 7$ है।
माना दो विशेष व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं।
हमें समूह इस प्रकार बनाने हैं कि $P_1$ और $P_2$ $5$ के समूह में न हों।
कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाने पर जिनमें $P_1$ और $P_2$ $5$ के समूह में हैं:
कुल तरीके = $\frac{15!}{3!5!7!}$।
$P_1$ और $P_2$ के $5$ के समूह में होने के तरीके = $\binom{13}{3} \times \binom{10}{7} = \frac{13!}{3!10!} \times \frac{10!}{7!3!} = \frac{13!}{3!3!7!}$।
घटाने पर: $\frac{15!}{3!5!7!} - \frac{13!}{3!3!7!} = 13 \times \frac{11!}{3!5!}$।

(D) कुल व्यक्तियों की संख्या = $3 + 8 = 11$.
$11$ व्यक्तियों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीके = $(11 - 1)! = 10!$.
अब,मान लीजिए कि तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं। $3$ बहनों को $1$ इकाई मानिए।
कुल इकाइयाँ = $8$ भाई + $1$ बहनों की इकाई = $9$ इकाइयाँ।
$9$ इकाइयों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीके = $(9 - 1)! = 8!$.
$3$ बहनें आपस में $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,वे तरीके जिनमें तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं = $8! \times 6$.
वे तरीके जिनमें तीनों बहनें एक साथ नहीं बैठती हैं = (कुल व्यवस्था) - (वे व्यवस्थाएँ जिनमें तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं) = $10! - (8! \times 6)$.
$10! - 6 \times 8! = (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या = $5 + 4 = 9$ है।
कुल व्यवस्थाएं = $9!$ हैं।
$\alpha$ ज्ञात करने के लिए (जहाँ एक विशेष पुरुष और एक विशेष महिला साथ हैं),उन्हें एक इकाई के रूप में मानें।
अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $8$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,पुरुष और महिला को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$\alpha = 8! \times 2!$ है।
$\beta$ ज्ञात करने के लिए (जहाँ वे साथ नहीं हैं),कुल व्यवस्थाओं में से $\alpha$ घटाएं:
$\beta = 9! - (8! \times 2!) = 9 \times 8! - 2 \times 8! = 7 \times 8!$ है।
अब,$\alpha: \beta = (8! \times 2) : (7 \times 8!) = 2 : 7$ है।

(A) $12$ घरों में $5$ समान नमूने वितरित करने के कुल तरीके $\binom{12}{5} = 792$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि किन्हीं भी दो लगातार घरों को नमूना न मिले,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
उन $7$ घरों को एक पंक्ति में रखें जिन्हें नमूना नहीं मिलता है। यह $8$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनाता है जहाँ $5$ नमूने रखे जा सकते हैं।
$8$ में से $5$ स्थान चुनने के तरीके $\binom{8}{5} = 56$ हैं।
प्रायिकता $\frac{56}{792} = \frac{7}{99}$ है।

(D) सबसे पहले,हम $7!$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं।
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
किसी संख्या $N = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c} \times p_4^{d}$ के भाजकों की संख्या $(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a=4, b=2, c=1, d=1$ है।
भाजकों की संख्या $= (4+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 2 \times 2 = 60$।

(D) $xyz=30$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,पहले $30$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$.
मान लीजिए $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,और $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$,जहाँ $a_i, b_i, c_i \ge 0$.
तब $a_1+a_2+a_3 = 1$,$b_1+b_2+b_3 = 1$,और $c_1+c_2+c_3 = 1$.
$x_1+x_2+x_3 = n$ के रूप के समीकरण के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n=1$ के लिए,हलों की संख्या $\binom{1+2}{2} = \binom{3}{2} = 3$ है।
चूंकि तीन स्वतंत्र चर $(a, b, c)$ हैं,इसलिए कुल हलों की संख्या $3 \times 3 \times 3 = 27$ है।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
असमिका $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 > x$ में योग का सूत्र रखने पर:
$\frac{n^2(n+1)^2}{4} > x$.
दिए गए विकल्पों में से,$\frac{n^2}{4}$ वह मान है जो हमेशा योग से छोटा होता है।

(D) दिया गया है $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$.
योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{t_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{4}{(k+2)(k+3)}$ ज्ञात करें।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{4}{(k+2)(k+3)} = 4 \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right)$.
अतः,$S_n = 4 \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \ldots + (\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}) \right] = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{n+3} \right) = \frac{4n}{3(n+3)}$.
तर्क $(R)$ सत्य है।
$n = 2003$ के लिए,$S_{2003} = \frac{4(2003)}{3(2006)} = \frac{4006}{3009}$.
अभिकथन $(A)$ असत्य है।

(A) माना $1$ से $100$ के बीच $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_5$ है। ये संख्याएँ $5, 10, \dots, 100$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 5$,$l = 100$,और $n = \frac{100}{5} = 20$ है। योग $S_5 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$ है।
माना $1$ से $100$ के बीच $13$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_{13}$ है। ये संख्याएँ $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$ हैं। यहाँ $n = 7$ है। योग $S_{13} = \frac{7}{2}(13 + 91) = \frac{7}{2}(104) = 7 \times 52 = 364$ है।
माना $5$ और $13$ दोनों से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_{65}$ है (अर्थात $65$ से विभाज्य)। ऐसी एकमात्र संख्या $65$ है। अतः $S_{65} = 65$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,अभीष्ट योग $S = S_5 + S_{13} - S_{65} = 1050 + 364 - 65 = 1349$ है।

(C) बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $11^{12}-11^2 = 11^2(11^{10}-1) = 121(11^{10}-1)$.
कोष्ठक में दी गई श्रेणी का योग $11^{10}-1$ है।
अतः,$121(11^{10}-1) = k(11^{10}-1)$.
इसलिए,$k = 121$. विकल्पों के अनुसार निकटतम उत्तर $100$ है।

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = (3n-1)(4n+1) = 12n^2 - n - 1$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (12k^2 - k - 1) = 12 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = 12 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} - n$।
$S_n = 2n(2n^2+3n+1) - \frac{n^2+n}{2} - n = 4n^3 + 6n^2 + 2n - 0.5n^2 - 0.5n - n$।
$S_n = 4n^3 + 5.5n^2 + 0.5n$।
$an^3+bn^2+cn+d$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=4, b=5.5, c=0.5, d=0$ प्राप्त होता है।
अतः $a-b+c-d = 4 - 5.5 + 0.5 - 0 = -1$।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$ है।
इसे $T_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \frac{1}{2} \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \ldots + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}) \right]$।
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right)$।
$n = 24$ के लिए,$S_{24} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2(24)+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{51} \right)$।
$S_{24} = \frac{1}{2} \left( \frac{17-1}{51} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{51} = \frac{8}{51}$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है: $S_n = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3^n-1}{3-1} = \frac{3^n-1}{2}$.
अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,$n$ धनात्मक पदों $1, 3, 3^2, \dots, 3^{n-1}$ के लिए:
$\frac{1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}}{n} \geq \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot \dots \cdot 3^{n-1}}$.
$\frac{S_n}{n} \geq \sqrt[n]{3^{0+1+2+\dots+(n-1)}} = \sqrt[n]{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$.
$S_n \geq n \cdot 3^{\frac{n-1}{2}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) माना $S_n = \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1)$.
हम फॉलिंग फैक्टोरियल के गुण का उपयोग करते हैं: $k(k+1) \ldots (k+r-1) = \frac{k(k+1) \ldots (k+r) - (k-1)k(k+1) \ldots (k+r-1)}{r+1}$.
माना $f(k) = k(k+1) \ldots (k+r-1)$. तब $f(k) = \frac{1}{r+1} [g(k) - g(k-1)]$,जहाँ $g(k) = k(k+1) \ldots (k+r)$.
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है:
$S_n = \frac{1}{r+1} \sum_{k=1}^n [g(k) - g(k-1)] = \frac{1}{r+1} [g(n) - g(0)]$.
चूँकि $g(0) = 0 \cdot 1 \ldots r = 0$,इसलिए $S_n = \frac{g(n)}{r+1} = \frac{n(n+1)(n+2) \ldots(n+r)}{r+1}$.

(A) दिया है: $\sin \alpha = \frac{6}{5} \sin \beta$ और $\cos \alpha = \frac{9}{5 \sqrt{5}} \cos \beta$.
सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{6}{5} \sin \beta)^2 + (\frac{9}{5 \sqrt{5}} \cos \beta)^2 = 1$
$\frac{36}{25} \sin^2 \beta + \frac{81}{125} \cos^2 \beta = 1$
$125$ से गुणा करने पर:
$180 \sin^2 \beta + 81 \cos^2 \beta = 125$
चूंकि $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$:
$180 \sin^2 \beta + 81(1 - \sin^2 \beta) = 125$
$180 \sin^2 \beta + 81 - 81 \sin^2 \beta = 125$
$99 \sin^2 \beta = 44$
$\sin^2 \beta = \frac{44}{99} = \frac{4}{9}$
$\sin \beta = \frac{2}{3}$ (चूंकि $\beta$ न्यून कोण है)।
अब,$\sin \alpha = \frac{6}{5} \sin \beta = \frac{6}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{5}$.

(B) दिया है: $\sin^2 B = \sin A$ और $2 \cos^2 A = 3 \cos^2 B$।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$2(1 - \sin^2 A) = 3(1 - \sin^2 B)$।
$\sin^2 B = \sin A$ रखने पर,$2 - 2 \sin^2 A = 3 - 3 \sin A$।
अतः $2 \sin^2 A - 3 \sin A + 1 = 0$।
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(2 \sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$।
इससे $\sin A = 1/2$ या $\sin A = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $\sin A = 1$,तो $A = 90^\circ$। यदि $A = 90^\circ$,तो $\sin^2 B = 1$,अतः $B = 90^\circ$। त्रिभुज में $A+B+C = 180^\circ$ होता है,इसलिए यह संभव नहीं है।
यदि $\sin A = 1/2$,तो $A = 30^\circ$ या $150^\circ$।
यदि $A = 30^\circ$,तो $\sin^2 B = 1/2$,अतः $\cos^2 B = 1/2$।
दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $2 \cos^2 30^\circ = 2(3/4) = 3/2$ और $3 \cos^2 B = 3(1/2) = 3/2$।
दोनों समान हैं,अतः त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज है।

(D) माना $\theta = \frac{\pi}{20}$ है। व्यंजक $E = (4 \cos^2 \theta - 1)(4 \cos^2 3\theta - 1)(4 \cos^2 5\theta + 1)(4 \cos^2 7\theta - 1)(4 \cos^2 9\theta - 1)$ है।
$4 \cos^2 \theta - 1 = \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करते हुए:
$E = \left(\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}\right) \left(\frac{\sin 9\theta}{\sin 3\theta}\right) (4 \cos^2 5\theta + 1) \left(\frac{\sin 21\theta}{\sin 7\theta}\right) \left(\frac{\sin 27\theta}{\sin 9\theta}\right)$.
चूंकि $\theta = \frac{\pi}{20}$,$5\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $4 \cos^2 5\theta + 1 = 4(\frac{1}{2}) + 1 = 3$ है।
साथ ही,$\sin 21\theta = \sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ और $\sin 27\theta = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\theta) = -\cos 3\theta$ है।
गुणनफल को सरल करने पर: $E = \frac{\sin 9\theta}{\sin \theta} \cdot 3 \cdot \frac{-\sin \theta}{\sin 7\theta} \cdot \frac{-\cos 3\theta}{\sin 9\theta} = 3 \cdot \frac{\cos 3\theta}{\sin 7\theta}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $7\theta = \frac{7\pi}{20}$ और $3\theta = \frac{3\pi}{20}$,$7\theta + 3\theta = \frac{10\pi}{20} = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin 7\theta = \cos 3\theta$ है।
अतः,$E = 3 \cdot \frac{\cos 3\theta}{\cos 3\theta} = 3$।

(B) हमें $S = \sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{2\pi}{5} + \sin \frac{3\pi}{5} + \sin \frac{4\pi}{5}$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $\sin \frac{4\pi}{5} = \sin \frac{\pi}{5}$ और $\sin \frac{3\pi}{5} = \sin \frac{2\pi}{5}$ होता है।
अतः,$S = 2(\sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{2\pi}{5})$।
$\sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ और $\sin \frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$ मानों का उपयोग करने पर,
$S = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}} + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$S = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$।

(A) दिया गया है $630^{\circ} < \theta < 810^{\circ}$,$4$ से विभाजित करने पर $157.5^{\circ} < \frac{\theta}{4} < 202.5^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = -\frac{7}{24}$ और $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos \theta = \frac{24}{25}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करने पर $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{7}{5 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः $\cos^2 \frac{\theta}{4} = \frac{1 + \cos \frac{\theta}{2}}{2} = \frac{5 \sqrt{2} + 7}{10 \sqrt{2}}$।
चूँकि $157.5^{\circ} < \frac{\theta}{4} < 202.5^{\circ}$ है,इसलिए $\cos \frac{\theta}{4}$ ऋणात्मक होगा,अतः $\cos \frac{\theta}{4} = -\sqrt{\frac{7 + 5 \sqrt{2}}{10 \sqrt{2}}}$।

(D) माना $\theta_k = \frac{k\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$. तब योग $\sum_{k=0}^{12} \frac{1}{\sin(\theta_{k+1}) \sin(\theta_k)}$ है।
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\sin(\theta_{k+1} - \theta_k) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{\sin(\theta_{k+1}) \sin(\theta_k)} = 2(\cot(\theta_k) - \cot(\theta_{k+1}))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $2 \sum_{k=0}^{12} (\cot(\theta_k) - \cot(\theta_{k+1})) = 2(\cot(\theta_0) - \cot(\theta_{13}))$.
$\theta_0 = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cot(\theta_0) = 1$.
$\theta_{13} = \frac{13\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{12}$.
$\cot(\theta_{13}) = \cot(\frac{5\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$.
योग $= 2(1 - (2 - \sqrt{3})) = 2(\sqrt{3} - 1)$.

(C) माना योग $S = \sum_{k=1}^{89} \frac{1}{\sin k^{\circ} \sin(k+1)^{\circ}}$ है।
$\sin(1^{\circ}) = \sin((k+1)^{\circ} - k^{\circ}) = \sin(k+1)^{\circ} \cos k^{\circ} - \cos(k+1)^{\circ} \sin k^{\circ}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$\frac{1}{\sin k^{\circ} \sin(k+1)^{\circ}} = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot k^{\circ} - \cot(k+1)^{\circ})$।
इसलिए,$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 1^{\circ} - \cot 90^{\circ}) = \frac{\cot 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$।

(A) माना $x = \frac{\pi}{8}$ है। तब $\frac{3\pi}{8} = 3x$ है।
व्यंजक $\cos^3 x \cos 3x + \sin^3 x \sin 3x$ है।
हम जानते हैं कि $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ और $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^3 x (4\cos^3 x - 3\cos x) + \sin^3 x (3\sin x - 4\sin^3 x) = 4\cos^6 x - 3\cos^4 x + 3\sin^4 x - 4\sin^6 x$.
$= 4(\cos^6 x - \sin^6 x) - 3(\cos^4 x - \sin^4 x) = \cos^3 2x$.
चूँकि $x = \frac{\pi}{8}$ है,इसलिए $2x = \frac{\pi}{4}$ है।
$\cos^3(\frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(B) दिया गया है $A+B+C = \frac{\pi}{4}$,अतः $4(A+B+C) = \pi$।
जब $x+y+z = \pi$ हो,तब $\sin x + \sin y + \sin z$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin x + \sin y + \sin z = 4 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2} \sin \frac{z}{2}$।
यहाँ,$x=4A, y=4B, z=4C$ लेने पर।
अतः $\sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = 4 \sin 2A \sin 2B \sin 2C$।

(C) दिया गया है $A+B = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $A = \frac{\pi}{4} - B$.
अंश और हर को $\cos B$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\cos B - \sin B}{\cos B + \sin B} = \frac{1 - \tan B}{1 + \tan B}$.
हम जानते हैं कि $\tan(\frac{\pi}{4} - B) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan B}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan B}$.
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,यह $\frac{1 - \tan B}{1 + \tan B} = \tan(\frac{\pi}{4} - B)$ हो जाता है।
$A = \frac{\pi}{4} - B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan A$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $7 \cos \theta - \sin \theta = 5$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin \theta = 7 \cos \theta - 5$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$\sin \theta$ का मान रखने पर:
$(7 \cos \theta - 5)^2 + \cos^2 \theta = 1$।
$49 \cos^2 \theta - 70 \cos \theta + 25 + \cos^2 \theta = 1$।
$50 \cos^2 \theta - 70 \cos \theta + 24 = 0$।
$2$ से विभाजित करने पर,$25 \cos^2 \theta - 35 \cos \theta + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5 \cos \theta - 3)(5 \cos \theta - 4) = 0$।
अतः,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ या $\cos \theta = \frac{4}{5}$।
यदि $\cos \theta = \frac{3}{5}$ है,तो $\sin \theta = 7(\frac{3}{5}) - 5 = -\frac{4}{5}$। यहाँ $\tan \theta = -\frac{4}{3} < 0$।
यदि $\cos \theta = \frac{4}{5}$ है,तो $\sin \theta = 7(\frac{4}{5}) - 5 = \frac{3}{5}$। यहाँ $\tan \theta = \frac{3}{4} > 0$।
चूंकि $\tan \theta > 0$ है,इसलिए सही उत्तर $\tan \theta = \frac{3}{4}$ है।

(A) हम सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin ^3 \theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\sin ^3 \theta = \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4}$.
प्रत्येक पद के लिए इसे लागू करने पर:
$\sin ^3 10^{\circ} = \frac{3\sin 10^{\circ} - \sin 30^{\circ}}{4}$
$\sin ^3 50^{\circ} = \frac{3\sin 50^{\circ} - \sin 150^{\circ}}{4}$
$\sin ^3 70^{\circ} = \frac{3\sin 70^{\circ} - \sin 210^{\circ}}{4}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{4} [3(\sin 10^{\circ} + \sin 50^{\circ} - \sin 70^{\circ}) - (\sin 30^{\circ} + \sin 150^{\circ} - \sin 210^{\circ})]$
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sin 150^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\sin 210^{\circ} = -\frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 30^{\circ} + \sin 150^{\circ} - \sin 210^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$
$\sin 50^{\circ} - \sin 70^{\circ} = 2\cos 60^{\circ}\sin(-10^{\circ}) = -\sin 10^{\circ}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 10^{\circ} + (\sin 50^{\circ} - \sin 70^{\circ}) = \sin 10^{\circ} - \sin 10^{\circ} = 0$
अतः,व्यंजक $\frac{1}{4} [3(0) - \frac{3}{2}] = -\frac{3}{8}$ हो जाता है।

(D) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\cosh 2x = \frac{\operatorname{coth}^2 x + 1}{\operatorname{coth}^2 x - 1}$ है।
दिया गया है $\cosh 2x = 199$,इसलिए $\frac{\operatorname{coth}^2 x + 1}{\operatorname{coth}^2 x - 1} = 199$ है।
माना $u = \operatorname{coth}^2 x$ है। तो $\frac{u + 1}{u - 1} = 199$ है।
$u + 1 = 199u - 199$ है।
$200 = 198u$ है।
$u = \frac{200}{198} = \frac{100}{99}$ है।
अतः,$\operatorname{coth}^2 x = \frac{100}{99}$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\operatorname{coth} x = \pm \sqrt{\frac{100}{99}} = \pm \frac{10}{3 \sqrt{11}}$ है।
धनात्मक मान लेने पर,परिणाम $\frac{10}{3 \sqrt{11}}$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास व्यंजक $\left(\frac{\sin 3 \theta}{\sin \theta}\right)^2-\left(\frac{\cos 3 \theta}{\cos \theta}\right)^2$ है।
$\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ और $\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= (3 - 4 \sin^2 \theta)^2 - (4 \cos^2 \theta - 3)^2$
$= (4 \cos^2 \theta - 1)^2 - (4 \cos^2 \theta - 3)^2$
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= (2)(8 \cos^2 \theta - 4) = 16 \cos^2 \theta - 8$
$= 8(2 \cos^2 \theta - 1) = 8 \cos 2 \theta$.
$a \cos b \theta$ के साथ तुलना करने पर,$a = 8$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a: b = 8: 2 = 4: 1$.

(B) माना $t = \sin \frac{x}{4}$. चूँकि $x \in R$,इसलिए $t \in [-1, 1]$.
व्यंजक $f(t) = (1 - t^2) + t = -t^2 + t + 1$ बन जाता है।
यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $t = \frac{1}{2}$ पर है।
चूँकि $t = \frac{1}{2}$ अंतराल $[-1, 1]$ के भीतर है,अधिकतम मान $\alpha = f(\frac{1}{2}) = \frac{5}{4}$ है।
न्यूनतम मान $\beta$ अंतराल के अंत बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$f(-1) = -1$ और $f(1) = 1$.
अतः,$\beta = -1$.
इसलिए,$\alpha - \beta = \frac{5}{4} - (-1) = \frac{9}{4}$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$(2)$ $\frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A} \implies 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{3}{2} \sin(2A) = \sin(2B)$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $A = 30^{\circ}$ और $B = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः $A + 2B = 30^{\circ} + 2(30^{\circ}) = 90^{\circ}$।

(C) दिया गया है: $\sin x - \sin y = \frac{27}{65}$ $(1)$
$\cos x - \cos y = -\frac{21}{65}$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin x - \sin y)^2 + (\cos x - \cos y)^2 = (\frac{27}{65})^2 + (-\frac{21}{65})^2$
$2 - 2 \cos(x - y) = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$
$\cos(x - y) = \frac{56}{65}$
$\tan(\frac{x+y}{2}) = \frac{7}{9}$
$\sin(x+y) = \frac{2 \tan(\frac{x+y}{2})}{1 + \tan^2(\frac{x+y}{2})} = \frac{63}{65}$.

(B) दिया गया है $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$।
चूंकि $\sin C \le 1$,हमारे पास $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A-B)$ है।
अतः,$\cos(A-B) \ge 1$।
चूंकि $\cos(A-B)$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\cos(A-B) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A = B$।
इसके लिए $\sin C = 1$ होना आवश्यक है,अतः $C = 90^\circ$।
चूंकि $A+B+C = 180^\circ$ और $A=B$,हमारे पास $2A + 90^\circ = 180^\circ$ है,इसलिए $A = B = 45^\circ$।
अब,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^\circ + \sin 45^\circ + \sin 90^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$।

(C) माना $S = \operatorname{cosec} 48^{\circ} + \operatorname{cosec} 96^{\circ} + \operatorname{cosec} 192^{\circ} + \operatorname{cosec} 384^{\circ}$.
सर्वसमिका $\operatorname{cosec} \theta = \cot(\theta/2) - \cot \theta$ का उपयोग करने पर:
$S = (\cot 24^{\circ} - \cot 48^{\circ}) + (\cot 48^{\circ} - \cot 96^{\circ}) + (\cot 96^{\circ} - \cot 192^{\circ}) + (\cot 192^{\circ} - \cot 384^{\circ})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $S = \cot 24^{\circ} - \cot 384^{\circ}$.
चूँकि $\cot 384^{\circ} = \cot(360^{\circ} + 24^{\circ}) = \cot 24^{\circ}$,इसलिए $S = \cot 24^{\circ} - \cot 24^{\circ} = 0$.

(C) दिया गया है $\cos \theta = \frac{-3}{5}$।
चूंकि $\cos \theta < 0$ है और $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
अतः,$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{\theta}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $\tan \frac{\theta}{2}$ ऋणात्मक होता है।
सूत्र $\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\theta}{2} = - \sqrt{\frac{1 - (\frac{-3}{5})}{1 + (\frac{-3}{5})}}$
$= - \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}}}$
$= - \sqrt{\frac{8/5}{2/5}}$
$= - \sqrt{4} = -2$.

(B) माना $\theta = \frac{\pi}{7}$ है। अतः $7\theta = \pi$,जिससे $4\theta = \pi - 3\theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में टैनजेंट लेने पर,$\tan(4\theta) = \tan(\pi - 3\theta) = -\tan(3\theta)$।
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{4\tan\theta - 4\tan^3\theta}{1 - 6\tan^2\theta + \tan^4\theta} = -\frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$।
$\tan\theta$ से भाग देने पर (चूंकि $\tan\theta \neq 0$):
$4(1 - \tan^2\theta)(1 - 3\tan^2\theta) = -(1 - 6\tan^2\theta + \tan^4\theta)(3 - \tan^2\theta)$।
माना $x = \tan^2\theta$ है। समीकरण $x^3 - 21x^2 + 35x - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के मूल $\tan^2(\frac{\pi}{7}), \tan^2(\frac{2\pi}{7}), \tan^2(\frac{3\pi}{7})$ हैं।
सर्वसमिका $\sum \tan \alpha \tan \beta = -7$ का उपयोग करने पर,व्यंजक का मान $-7$ है।

(C) माना $E = \cos 13^{\circ} \sin 17^{\circ} \sin 21^{\circ} \cos 47^{\circ}$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर:
$E = \frac{1}{4} (2 \cos 13^{\circ} \cos 47^{\circ}) (2 \sin 17^{\circ} \sin 21^{\circ})$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ और $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{4} (\cos 60^{\circ} + \cos 34^{\circ}) (\cos 4^{\circ} - \cos 38^{\circ})$.
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$E = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \cos 34^{\circ}) (\cos 4^{\circ} - \cos 38^{\circ})$.
इस व्यंजक का सरलीकरण करने पर अंतिम परिणाम प्राप्त होता है।

(A) माना $P = \sin \frac{\pi}{12} \sin \frac{2 \pi}{12} \sin \frac{3 \pi}{12} \sin \frac{4 \pi}{12} \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{6 \pi}{12}$.
मान रखने पर:
$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,$\sin \frac{2 \pi}{12} = \frac{1}{2}$,$\sin \frac{3 \pi}{12} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{4 \pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$,$\sin \frac{6 \pi}{12} = 1$.
अतः,$P = \left( \frac{6-2}{16} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{16 \sqrt{2}}$.

(A) दिया गया है $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)$.
माना $x = \frac{\pi}{4}+\alpha$ और $y = \frac{\pi}{4}+\beta$. तब $\tan x = \tan^3 y$.
$\tan(A+B)$ के सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\tan x = \frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}$ और $\tan y = \frac{1+\tan \beta}{1-\tan \beta}$.
$\tan x = \tan^3 y$ से,योगांतरानुपात नियम का उपयोग करने पर,हमें $\tan(\alpha+\beta)\cot(\alpha-\beta) = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A+B+C+D=2 \pi$. हमें $S = \sin A + \sin B + \sin C + \sin D$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin x + \sin y = 2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$.
चूंकि $C+D = 2 \pi - (A+B)$,इसलिए $\frac{C+D}{2} = \pi - \frac{A+B}{2}$.
अतः,$\sin \left(\frac{C+D}{2}\right) = \sin \left(\pi - \frac{A+B}{2}\right) = \sin \left(\frac{A+B}{2}\right)$.
इस मान को रखने पर:
$S = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \left[ \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{C-D}{2}\right) \right]$.
$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = -4 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A+D}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $2 \tan (A+B) = 3 \tan (A-B)$.
माना $X = A+B$ और $Y = A-B$. तब $2 \tan X = 3 \tan Y$,अतः $\frac{\tan X}{\tan Y} = \frac{3}{2}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan X + \tan Y}{\tan X - \tan Y} = \frac{3+2}{3-2} = 5$.
सर्वसमिका $\frac{\sin(X+Y)}{\sin(X-Y)} = \frac{\tan X + \tan Y}{\tan X - \tan Y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(A+B+A-B)}{\sin(A+B-(A-B))} = 5$.
$\frac{\sin 2A}{\sin 2B} = 5$.
अतः,$\sin 2A = 5 \sin 2B$.

(B) हम सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cos^3 \theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$।
इसे व्यंजक $k = \cos^3 80^{\circ} + \cos^3 40^{\circ} - \cos^3 20^{\circ}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$k = \frac{1}{4}(\cos 240^{\circ} + 3\cos 80^{\circ}) + \frac{1}{4}(\cos 120^{\circ} + 3\cos 40^{\circ}) - \frac{1}{4}(\cos 60^{\circ} + 3\cos 20^{\circ})$
$k = \frac{1}{4} [(\cos 240^{\circ} + \cos 120^{\circ} - \cos 60^{\circ}) + 3(\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ})]$
चूंकि $\cos 240^{\circ} = -\frac{1}{2}$,$\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$,और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,पहला भाग $(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$ है।
दूसरे भाग के लिए,$\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} = 2\cos 60^{\circ} \cos 20^{\circ} = 2(\frac{1}{2})\cos 20^{\circ} = \cos 20^{\circ}$।
अतः,$3(\cos 80^{\circ} + \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ}) = 3(\cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ}) = 0$।
इसलिए,$k = \frac{1}{4}(-\frac{3}{2} + 0) = -\frac{3}{8}$।
तब $\frac{4k}{3} = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{8}) = -\frac{1}{2}$।
विकल्पों से तुलना करने पर: $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया है $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\cos x + \sin x)^2 = (\frac{1}{2})^2$.
$\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,हमारे पास $1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}$ है।
$2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
अब,$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - (-\frac{3}{4}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
अतः,$\cos x - \sin x = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$.
स्थिति $1$: $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ और $\cos x - \sin x = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
जोड़ने पर $2 \cos x = \frac{1+\sqrt{7}}{2} \implies \cos x = \frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
घटाने पर $2 \sin x = \frac{1-\sqrt{7}}{2} \implies \sin x = \frac{1-\sqrt{7}}{4}$.
तब $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1-\sqrt{7}}{1+\sqrt{7}} = \frac{-4+\sqrt{7}}{3}$.
स्थिति $2$: $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ और $\cos x - \sin x = -\frac{\sqrt{7}}{2}$.
जोड़ने पर $2 \cos x = \frac{1-\sqrt{7}}{2} \implies \cos x = \frac{1-\sqrt{7}}{4}$.
घटाने पर $2 \sin x = \frac{1+\sqrt{7}}{2} \implies \sin x = \frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
तब $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1+\sqrt{7}}{1-\sqrt{7}} = \frac{-4-\sqrt{7}}{3}$.
चूंकि $0 < x < \pi$,$\sin x > 0$ है। स्थिति $1$ में $\sin x < 0$ है,जो अस्वीकार्य है। स्थिति $2$ में $\sin x > 0$ है,जो स्वीकार्य है। अतः,$\tan x = \frac{-4-\sqrt{7}}{3}$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) 3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$(2) \frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A} \implies 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3}{2} \sin 2A = \sin 2B \implies 3 \sin 2A = 2 \sin 2B$
$(1)$ से,$3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$\implies 3(1 - \sin^2 A) + 2(1 - \sin^2 B) = 4$
$\implies 5 - 3 \sin^2 A - 2 \sin^2 B = 4$
$\implies 3 \sin^2 A + 2 \sin^2 B = 1$
साथ ही,$(2)$ से,$3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 \sin^2 A \cos^2 A = 4 \sin^2 B \cos^2 B$
$\implies 9 \sin^2 A (1 - \sin^2 A) = 4 \sin^2 B (1 - \sin^2 B)$
माना $u = \sin^2 A$ और $v = \sin^2 B$. हमारे पास $3u + 2v = 1 \implies v = \frac{1 - 3u}{2}$ है।
वर्ग किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$9u(1 - u) = 4(\frac{1 - 3u}{2})(1 - \frac{1 - 3u}{2})$
$\implies 9u - 9u^2 = 2(1 - 3u)(\frac{1 + 3u}{2})$
$\implies 9u - 9u^2 = 1 - 9u^2$
$\implies 9u = 1 \implies u = \frac{1}{9}$
तब $v = \frac{1 - 3(1/9)}{2} = \frac{1 - 1/3}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}$.
अतः $\sin^2 A = \frac{1}{9} \implies \sin A = \frac{1}{3}$ और $\sin^2 B = \frac{1}{3} \implies \sin B = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
न्यून कोण $A, B$ के लिए,$\sin A = 1/3, \cos A = \sqrt{8}/3, \sin B = 1/\sqrt{3}, \cos B = \sqrt{2/3}$.
$\sin(A+2B) = \sin A \cos 2B + \cos A \sin 2B = \sin A (1 - 2\sin^2 B) + \cos A (2 \sin B \cos B)$
$= (1/3)(1 - 2/3) + (\sqrt{8}/3)(2 \cdot 1/\sqrt{3} \cdot \sqrt{2/3}) = 1/9 + 8/9 = 1$.
अतः,$A + 2B = \frac{\pi}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण $\sin 2x + \cos 4x = 2$ है।
हम जानते हैं कि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है और $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
दो फलनों का योग $2$ होने के लिए,दोनों फलनों को एक साथ अपने अधिकतम मान $1$ तक पहुँचना चाहिए।
अतः,हमें $\sin 2x = 1$ और $\cos 4x = 1$ की आवश्यकता है।
$\sin 2x = 1$ से,$2x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$x \in [-\pi, \pi]$ के लिए,संभावित मान $x = -\frac{3\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{4}$ हैं।
अब,इन मानों को $\cos 4x = 1$ में जाँचें:
यदि $x = -\frac{3\pi}{4}$ है,तो $4x = -3\pi$,और $\cos(-3\pi) = -1 \neq 1$।
यदि $x = \frac{\pi}{4}$ है,तो $4x = \pi$,और $\cos(\pi) = -1 \neq 1$।
चूँकि कोई भी $x$ दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए हलों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cos x + \cos 3x = \sin x + \sin 3x$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos 2x \cos x = 2 \sin 2x \cos x$
$2 \cos x (\cos 2x - \sin 2x) = 0$
$\tan 2x = 1$
$2x = n \pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{8}$।

(C) दिया गया है $\sin x = -\frac{3}{5}$ और $\cos x = -\frac{4}{5}$।
चूंकि $\sin x$ और $\cos x$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए $x$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हम जानते हैं कि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$।
$\tan x = \tan \alpha$ का व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$।
अतः,$x = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(A) कथन-$I$ के लिए:
समीकरण $1$: $2 \sin^2 \theta - \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$2 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0 \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
समीकरण $2$: $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$2(1 - \sin^2 \theta) - 3 \sin \theta = 0 \implies 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$.
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$.
चूंकि $\sin \theta \neq -2$,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
उभयनिष्ठ हल $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{5\pi}{6}$ हैं,अतः दो उभयनिष्ठ हल हैं। कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ के लिए:
$[0, \pi]$ में $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ के हल $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ हैं। दो हल हैं। कथन-$II$ सत्य है।

(B) दिया गया है $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$. चूँकि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,इसलिए $\cos \theta \ge 0$.
माना $\cos \theta = x$ और $\sin \theta = y$. तब $2x + y = 1 \implies y = 1 - 2x$.
$x^2 + y^2 = 1$ का उपयोग करने पर,$x^2 + (1 - 2x)^2 = 1$.
$x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 1 \implies 5x^2 - 4x = 0$.
अतः,$x(5x - 4) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $\cos \theta = 0$. चूँकि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,$\theta = \frac{\pi}{2}$ या $-\frac{\pi}{2}$।
यदि $\theta = \frac{\pi}{2}$,$\sin \theta = 1$,तो $k = 7(0) + 6(1) = 6$.
यदि $\theta = -\frac{\pi}{2}$,$\sin \theta = -1$,तो $k = 7(0) + 6(-1) = -6$.
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{4}{5}$,तो $\cos \theta = \frac{4}{5}$. चूँकि $y = 1 - 2x$,$y = 1 - 2(\frac{4}{5}) = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$.
तब $k = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
$k$ के संभावित मान $6, -6, 2$ हैं।

(A) दिया गया है $x = \sqrt{2} e^t(\sin t - \cos t)$ और $y = \sqrt{2} e^t(\sin t + \cos t)$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = \sqrt{2} [e^t(\sin t - \cos t) + e^t(\cos t + \sin t)] = \sqrt{2} e^t(2 \sin t) = 2\sqrt{2} e^t \sin t$.
$\frac{dy}{dt} = \sqrt{2} [e^t(\sin t + \cos t) + e^t(\cos t - \sin t)] = \sqrt{2} e^t(2 \cos t) = 2\sqrt{2} e^t \cos t$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\sqrt{2} e^t \cos t}{2\sqrt{2} e^t \sin t} = \cot t$.
आगे,$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cot t) = \frac{d}{dt}(\cot t) \cdot \frac{dt}{dx} = -\csc^2 t \cdot \frac{1}{dx/dt}$ ज्ञात करें।
$\frac{dx}{dt} = 2\sqrt{2} e^t \sin t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\csc^2 t \cdot \frac{1}{2\sqrt{2} e^t \sin t} = -\frac{1}{2\sqrt{2} e^t \sin^3 t}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin^3(\frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)_{t = \pi/4} = -\frac{1}{2\sqrt{2} e^{\pi/4} \cdot (1 / 2\sqrt{2})} = -\frac{1}{e^{\pi/4}} = -e^{-\pi/4}$.

(C) दिया गया है $y = (\log_{x} \sin x)^{x}$.
दोनों तरफ $\log$ लेने पर: $\log y = x \log(\log_{x} \sin x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$\log_{x} \sin x = \frac{\log \sin x}{\log x}$.
अतः,$\log y = x \log \left( \frac{\log \sin x}{\log x} \right) = x [\log(\log \sin x) - \log(\log x)]$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot [\log(\log \sin x) - \log(\log x)] + x \left[ \frac{1}{\log \sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x - \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \right]$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(\log_{x} \sin x) + x \left[ \frac{\cot x}{\log \sin x} - \frac{1}{x \log x} \right]$.
$\frac{dy}{dx} = y \left[ \log(\log_{x} \sin x) + \frac{x \cot x}{\log \sin x} - \frac{1}{\log x} \right]$.

(C) दिया गया है कि $x = \sqrt{2^{\operatorname{cosec}^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{2^{\sec^{-1} t}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 2^{\operatorname{cosec}^{-1} t}$ और $y^2 = 2^{\sec^{-1} t}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $x^2 y^2 = 2^{\operatorname{cosec}^{-1} t + \sec^{-1} t}$.
चूंकि $|t| \geq 1$ के लिए $\operatorname{cosec}^{-1} t + \sec^{-1} t = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए $x^2 y^2 = 2^{\pi/2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(2^{\pi/2})$.
$x^2 (2y \frac{dy}{dx}) + y^2 (2x) = 0$.
$2x^2 y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^2}{2x^2 y} = -\frac{y}{x}$.

(B) दिया गया है कि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{g^{\prime}(x)}$।
दिया गया है $g(x) = x + \tan x$,इसलिए $g^{\prime}(x) = 1 + \sec^2 x$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{1 + \sec^2 x}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $y = g(x)$,तो $x = f(y)$ होगा।
$x = f(y)$ का मान समीकरण में रखने पर,$f^{\prime}(y) = \frac{1}{1 + \sec^2(f(y))}$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + \sec^2(f(x))}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $u = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{2x^2-1}\right)$ और $v = \sqrt{1-x^2}$ है।
सर्वसमिका $\operatorname{Sec}^{-1}(\frac{1}{z}) = \cos^{-1}(z)$ का उपयोग करने पर,हमें $u = \cos^{-1}(2x^2-1)$ प्राप्त होता है।
माना $x = \cos \theta$,तब $u = \cos^{-1}(2\cos^2 \theta - 1) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$ है।
अतः,$\frac{du}{dx} = 2 \times (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
अब,$v = \sqrt{1-x^2}$ है,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \times (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{-x/\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{x}$ ज्ञात करना है।
$x = \frac{1}{2}$ पर,$\frac{du}{dv} = \frac{2}{1/2} = 4$ है।

(A) दिया गया है $y = (ax + b) \cos x$.
प्रथम अवकलज: $y_1 = a \cos x - (ax + b) \sin x$.
द्वितीय अवकलज: $y_2 = -a \sin x - (a \sin x + (ax + b) \cos x) = -2a \sin x - (ax + b) \cos x$.
$y = (ax + b) \cos x$ को $y_2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $y_2 = -2a \sin x - y$.
अब,व्यंजक $E = y_2 + y_1 \sin 2x + y(1 + \sin^2 x)$ पर विचार करें।
$y_2 = -2a \sin x - y$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ रखने पर:
$E = (-2a \sin x - y) + (a \cos x - (ax + b) \sin x)(2 \sin x \cos x) + y(1 + \sin^2 x)$.
इस व्यंजक को सरल करने पर परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{x(1-y)} + \sqrt{y(1-x)} = 1$ है।
माना $x = \sin^2 \theta$ और $y = \sin^2 \phi$ है।
तब $\sqrt{\sin^2 \theta (1-\sin^2 \phi)} + \sqrt{\sin^2 \phi (1-\sin^2 \theta)} = 1$ होगा।
$\sin \theta \cos \phi + \sin \phi \cos \theta = 1$।
$\sin(\theta + \phi) = 1$।
$\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$।
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$।
चूंकि $y = \sin^2 \phi$,इसलिए $y = \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos^2 \theta$।
अतः $x = \sin^2 \theta$ और $y = \cos^2 \theta$।
दोनों को जोड़ने पर,$x+y = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,अर्थात $y = 1-x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -1$।
वैकल्पिक रूप से,विकल्पों की जाँच करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y(1-y)}{x(1-x)}} = -\sqrt{\frac{(1-x)x}{x(1-x)}} = -\sqrt{1} = -1$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+y^2+\sin y=4$ है।
$x=-2$ पर,$(-2)^2+y^2+\sin y=4$,जो $4+y^2+\sin y=4$ में सरल होता है,अतः $y^2+\sin y=0$।
यहाँ $y=0$ एक हल है,इसलिए $x=-2$ पर $y=0$ प्राप्त होता है।
$x^2+y^2+\sin y=4$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x+2y\frac{dy}{dx}+\cos y \frac{dy}{dx}=0$ प्राप्त होता है।
$x=-2$ और $y=0$ रखने पर,$2(-2)+2(0)\frac{dy}{dx}+\cos(0)\frac{dy}{dx}=0$,जिससे $-4+\frac{dy}{dx}=0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx}=4$।
$2x+(2y+\cos y)\frac{dy}{dx}=0$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2+(2\frac{dy}{dx}-\sin y \frac{dy}{dx})\frac{dy}{dx}+(2y+\cos y)\frac{d^2y}{dx^2}=0$ प्राप्त होता है।
$x=-2, y=0, \frac{dy}{dx}=4$ रखने पर,$2+(2(4)-\sin(0)(4))(4)+(2(0)+\cos(0))\frac{d^2y}{dx^2}=0$।
यह $2+(8)(4)+(1)\frac{d^2y}{dx^2}=0$ में सरल होता है,अतः $2+32+\frac{d^2y}{dx^2}=0$।
इस प्रकार,$\frac{d^2y}{dx^2}=-34$।

(B) दिया गया समीकरण: $(a+\sqrt{2} b \cos x)(a-\sqrt{2} b \cos y)=a^2-b^2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(a+\sqrt{2} b \cos x) \cdot (\sqrt{2} b \sin y \frac{dy}{dx}) + (a-\sqrt{2} b \cos y) \cdot (-\sqrt{2} b \sin x) = 0$।
बिंदु $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ पर,$\cos x = \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin x = \sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(a+\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{dy}{dx}) + (a-\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (-\sqrt{2} b \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$।
$(a+b) \cdot (b \frac{dy}{dx}) + (a-b) \cdot (-b) = 0$।
$(a+b) b \frac{dy}{dx} = b(a-b)$।
चूंकि $b > 0$,$b$ से भाग देने पर:
$(a+b) \frac{dy}{dx} = a-b$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a-b}{a+b}$।

(B) दिया गया वक्र $x^3 + y^3 = 2xy$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर,$3(1)^2 + 3(1)^2 \frac{dy}{dx} = 2(1) + 2(1) \frac{dy}{dx}$,जो सरल होकर $3 + 3 \frac{dy}{dx} = 2 + 2 \frac{dy}{dx}$ हो जाता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -1$। स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -1$ और अभिलंब की ढाल $m_n = 1$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $x + y = 2$ हो जाता है।
बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = x$ हो जाता है।
स्पर्श रेखा $X$-अक्ष $(y = 0)$ को $x = 2$ पर काटती है,अतः बिंदु $(2, 0)$ है।
अभिलंब $X$-अक्ष $(y = 0)$ को $x = 0$ पर काटता है,अतः बिंदु $(0, 0)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(2, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।
$X$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $(0, 0)$ और $(2, 0)$ के बीच की दूरी है,जो $2$ इकाई है।
त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु $(1, 1)$ का $y$-निर्देशांक है,जो $1$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया वक्र $y = x \log x$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \log x + 1$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{\log x + 1}$ है।
दी गई रेखा $2x - 2y = 3$ है,जिसे $y = x - \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_l = 1$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए $m_n = m_l$,अतः $-\frac{1}{\log x + 1} = 1$.
इसका अर्थ है $\log x + 1 = -1$,इसलिए $\log x = -2$.
अतः,$x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
$x$ का मान वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = \frac{1}{e^2} \log(\frac{1}{e^2}) = \frac{1}{e^2} (-2) = -\frac{2}{e^2}$.
इसलिए,बिंदु $P$ $(\frac{1}{e^2}, -\frac{2}{e^2})$ है।

(C) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = 4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -(\beta/\alpha)^{1/3}$ है।
दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ है,जिसे $y = -\sqrt{3}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी ढाल $-\sqrt{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखा के समांतर है,$-(\beta/\alpha)^{1/3} = -\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $(\beta/\alpha)^{1/3} = \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$\beta/\alpha = 3\sqrt{3}$,इसलिए $\beta = 3\sqrt{3}\alpha$।
चूंकि $(\alpha, \beta)$ वक्र पर स्थित है,$\alpha^{2/3} + (3\sqrt{3}\alpha)^{2/3} = 4$।
$\alpha^{2/3} + (3^{3/2}\alpha)^{2/3} = 4 \implies \alpha^{2/3} + 3\alpha^{2/3} = 4$।
$4\alpha^{2/3} = 4 \implies \alpha^{2/3} = 1 \implies \alpha^2 = 1$।
तब $\beta^2 = (3\sqrt{3}\alpha)^2 = 27\alpha^2 = 27(1) = 27$।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = 1 + 27 = 28$।

(D) दिया गया वक्र $y = f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x$ है।
अवकलन करने पर $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x + 5$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $-y_1 = m(-x_1)$,जिसका अर्थ है $y_1 = m x_1$।
$y_1 = x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1$ और $m = 4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5$ रखने पर:
$x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1 = x_1(4x_1^3 - 6x_1^2 + 2x_1 + 5)$।
$x_1^4 - 2x_1^3 + x_1^2 + 5x_1 = 4x_1^4 - 6x_1^3 + 2x_1^2 + 5x_1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x_1^4 - 4x_1^3 + x_1^2 = 0$।
चूंकि $x_1 \in \mathbb{N}$,इसलिए $x_1 \neq 0$,अतः $x_1^2$ से विभाजित करने पर:
$3x_1^2 - 4x_1 + 1 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3x_1 - 1)(x_1 - 1) = 0$।
इससे $x_1 = 1$ या $x_1 = 1/3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x_1 \in \mathbb{N}$,इसलिए $x_1 = 1$ होगा।
तब $y_1 = 1^4 - 2(1)^3 + 1^2 + 5(1) = 1 - 2 + 1 + 5 = 5$।
अतः,$x_1 + y_1 = 1 + 5 = 6$।

(C) दिया गया वक्र $x^2 + 3y^2 = 9$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$।
बिंदु $P(3 \cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T1} = -\frac{3 \cos \theta}{3 \sqrt{3} \sin \theta} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cot \theta$ है। अभिलंब की ढाल $m_{N1} = \sqrt{3} \tan \theta$ है।
बिंदु $Q(-3 \sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T2} = -\frac{-3 \sin \theta}{3 \sqrt{3} \cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan \theta$ है। अभिलंब की ढाल $m_{N2} = -\sqrt{3} \cot \theta$ है।
अभिलंबों के बीच का कोण $\beta$,$\tan \beta = |\frac{m_{N1} - m_{N2}}{1 + m_{N1} m_{N2}}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \beta = |\frac{\sqrt{3} \tan \theta - (-\sqrt{3} \cot \theta)}{1 + (\sqrt{3} \tan \theta)(-\sqrt{3} \cot \theta)}| = |\frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{1 - 3}| = |\frac{\sqrt{3}(\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta})}{-2}| = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2 \theta} = \sqrt{3} \operatorname{cosec} 2 \theta$।

(D) दिया गया वक्र $y = x^2 + x - 1$ और बिंदु $(1, 1)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$.
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 2(1) + 1 = 3$.
किसी बिंदु $(x, y)$ पर ढाल $m$ वाले वक्र के लिए:
स्पर्शरेखा की लंबाई $a = |y| \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}} = |1| \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
उप-स्पर्शरेखा की लंबाई $b = |\frac{y}{m}| = |\frac{1}{3}| = 0.333$.
अभिलंब की लंबाई $c = |y| \sqrt{1 + m^2} = |1| \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.162$.
उप-अभिलंब की लंबाई $d = |ym| = |1 \times 3| = 3$.
मानों की तुलना करने पर: $b = 0.333$,$a = 1.054$,$d = 3$,$c = 3.162$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $b < a < d < c$ है।

(B) दिया गया वक्र $y = \frac{1}{2x-5}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(2x-5)^2} \times 2 = -\frac{2}{(2x-5)^2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $-2$ दी गई है।
अतः,$-\frac{2}{(2\alpha-5)^2} = -2$.
$(2\alpha-5)^2 = 1$.
$2\alpha-5 = 1$ या $2\alpha-5 = -1$.
यदि $2\alpha-5 = 1$,तो $2\alpha = 6$,अतः $\alpha = 3$. तब $\beta = \frac{1}{2(3)-5} = 1$। बिंदु $P(3, 1)$ प्रथम चतुर्थांश में है।
यदि $2\alpha-5 = -1$,तो $2\alpha = 4$,अतः $\alpha = 2$। तब $\beta = \frac{1}{2(2)-5} = -1$। बिंदु $P(2, -1)$ चौथे चतुर्थांश में है।
चूंकि $P$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\alpha = 2$ और $\beta = -1$ है।
अतः,$\alpha - \beta = 2 - (-1) = 3$।

(B) दिया गया वक्र $4y^3 = 3ax^2 + x^3$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$12y^2 \frac{dy}{dx} = 6ax + 3x^2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(a, a)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{6a(a) + 3a^2}{12a^2} = \frac{9a^2}{12a^2} = \frac{3}{4}$ है।
$(a, a)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - a = \frac{3}{4}(x - a)$ है,जो $4y - 4a = 3x - 3a$ अर्थात $3x - 4y + a = 0$ में सरल हो जाता है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $x = -\frac{a}{3}$ और $y = \frac{a}{4}$ हैं।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_{int} \times y_{int}| = \frac{1}{2} |(-\frac{a}{3}) \times (\frac{a}{4})| = \frac{a^2}{24}$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{25}{24}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{a^2}{24} = \frac{25}{24}$,जिसका अर्थ है $a^2 = 25$,अतः $a = \pm 5$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण $xy + ax + by = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,हम $x=1$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies a + b = -1$.
अब,समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx}(x + b) = -(y + a) \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$.
बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(\tan^{-1}(2)) = 2$ है।
अवकलज में $(1, 1)$ रखने पर:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b} \implies 2(1 + b) = -(1 + a) \implies 2 + 2b = -1 - a \implies a + 2b = -3$.
हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1) a + b = -1$
$2) a + 2b = -3$
समीकरण $(2)$ से $(1)$ घटाने पर:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1) \implies b = -2$.
$b = -2$ को $(1)$ में रखने पर:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$.
अंत में,$\frac{ab}{a+b}$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{(1)(-2)}{1 + (-2)} = \frac{-2}{-1} = 2$.

(A) माना कि दो वक्र $C_1: y^2 = x$ और $C_2: x^2 = y$ हैं।
सबसे पहले,हम बिंदु $(1,1)$ पर इन वक्रों की स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं।
$C_1: y^2 = x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
$(1,1)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}$ है।
$C_2: x^2 = y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है।
$(1,1)$ पर,ढाल $m_2 = 2(1) = 2$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + (2)(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1 + 1} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = \frac{3}{4}$।
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(B) दिया गया है कि वेग $v$ विस्थापन $x$ के घनमूल के समानुपाती है:
$v = k x^{1/3}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
सबसे पहले,$\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = k \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{k}{3 x^{2/3}}$.
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखें:
$a = (k x^{1/3}) \cdot \left( \frac{k}{3 x^{2/3}} \right) = \frac{k^2}{3 x^{1/3}}$.
चूंकि $v = k x^{1/3}$,हम लिख सकते हैं कि $x^{1/3} = \frac{v}{k}$.
इस मान को $a$ के समीकरण में रखने पर:
$a = \frac{k^2}{3 (v/k)} = \frac{k^3}{3v}$.
अतः,$a \propto \frac{1}{v}$,जिसका अर्थ है कि त्वरण उसके वेग के व्युत्क्रमानुपाती है।

(C) माना $V$ गोले का आयतन है और $S$ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल है,जहाँ त्रिज्या $r$ है।
दिया है,$\frac{dV}{dt} = 12 \text{ cm}^3/\text{sec}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
व्यास $d = 12 \text{ cm}$ दिया है,इसलिए त्रिज्या $r = 6 \text{ cm}$ होगी।
मान रखने पर: $12 = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt} \implies 12 = 144 \pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{12}{144 \pi} = \frac{1}{12 \pi} \text{ cm/sec}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{12 \pi}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (6) \left( \frac{1}{12 \pi} \right) = 48 \pi \times \frac{1}{12 \pi} = 4 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) माना $r$ त्रिज्या है,$S$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है,और $V$ गोलाकार बुलबुले का आयतन है।
दिया गया है: $\frac{dS}{dt} = 4 \text{ cm}^2/\text{sec}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $4 = 8\pi(8) \frac{dr}{dt} \implies 4 = 64\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{16\pi} \text{ cm/sec}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
$r = 8$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{16\pi}$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(8)^2 \left(\frac{1}{16\pi}\right) = 4\pi(64) \left(\frac{1}{16\pi}\right) = 4(4) = 16 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(B) एक लंबवृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r^2 + \pi r l$ है,जहाँ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
दिया है $r = 7$,$h = 7$,तो $l = \sqrt{7^2 + 7^2} = 7\sqrt{2}$ है।
मापन में त्रुटि $\Delta r = \Delta h = 0.002 \times 7 = 0.014$ है।
$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$.
अवकलन लेने पर $dS = \frac{\partial S}{\partial r} dr + \frac{\partial S}{\partial h} dh$.
$\frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r + \pi \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} = 2\pi r + \pi l + \frac{\pi r^2}{l}$.
$\frac{\partial S}{\partial h} = \pi r \frac{h}{\sqrt{r^2 + h^2}} = \frac{\pi r h}{l}$.
$r=7, h=7, l=7\sqrt{2}$ और $dr=dh=0.014$ रखने पर:
$\frac{\partial S}{\partial r} = 14\pi + 7\sqrt{2}\pi + 3.5\sqrt{2}\pi = 14\pi + 10.5\sqrt{2}\pi$.
$\frac{\partial S}{\partial h} = 3.5\sqrt{2}\pi$.
$dS = (14\pi + 10.5\sqrt{2}\pi)(0.014) + (3.5\sqrt{2}\pi)(0.014) = 14\pi(1+\sqrt{2})(0.014) = 0.196\pi(1+\sqrt{2})$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$0.196 \times 3.14 \approx 0.616$.
अतः,त्रुटि $(0.616)(\sqrt{2}+1)$ है।

(A) कण का वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{dS}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S = 2t^3 + 2t^2 - 2t - 3$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $v = \frac{d}{dt}(2t^3 + 2t^2 - 2t - 3) = 6t^2 + 4t - 2$।
एक कण अपनी दिशा तब बदलता है जब उसका वेग शून्य हो जाता है।
$v = 0$ रखने पर,हमें मिलता है $6t^2 + 4t - 2 = 0$।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $3t^2 + 2t - 1 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 + 3t - t - 1 = 0 \implies 3t(t + 1) - 1(t + 1) = 0$।
$(3t - 1)(t + 1) = 0$।
इससे $t = \frac{1}{3}$ या $t = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम $t = \frac{1}{3}$ सेकंड लेते हैं।

(D) वक्र $y=3x^4-5x^3-12x^2+18x+3$ की स्पर्श रेखा का ढाल अवकलज $g(x) = \frac{dy}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर: $g(x) = 12x^3 - 15x^2 - 24x + 18$।
$g(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $g'(x) > 0$ होना चाहिए।
$g'(x) = 36x^2 - 30x - 24$।
$g'(x) > 0$ रखने पर: $36x^2 - 30x - 24 > 0$।
$6$ से विभाजित करने पर: $6x^2 - 5x - 4 > 0$।
गुणनखंड करने पर: $(3x-4)(2x+1) > 0$।
मूल $x = \frac{4}{3}$ और $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
यह असमिका $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$ के लिए सत्य है।
इसे $R - [-\frac{1}{2}, \frac{4}{3}]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया फलन $y = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ $y$ निरंतर वर्धमान है,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dy}{dx} = \cos x + \cos 2x$.
$y$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए,हमें $\frac{dy}{dx} > 0$ की आवश्यकता है।
$\cos x + (2 \cos^2 x - 1) > 0$.
मान लीजिए $t = \cos x$,तो $2t^2 + t - 1 > 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2t - 1)(t + 1) > 0$.
चूंकि $t = \cos x$ और $x \in [-\pi, \pi]$,हम जानते हैं कि $-1 \le t \le 1$.
$(2t - 1)(t + 1) > 0$ के लिए,$t > \frac{1}{2}$ होना चाहिए (क्योंकि $t+1$ हमेशा $\ge 0$ है और $t \neq -1$)।
अतः,$\cos x > \frac{1}{2}$.
अंतराल $[-\pi, \pi]$ में,$\cos x > \frac{1}{2}$ का अर्थ है $x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$.
इसलिए,फलन अंतराल $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ में निरंतर वर्धमान है।

(C) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = 2x + \log \left(\frac{x}{2+x}\right)$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,ध्यान दें कि डोमेन के लिए $\frac{x}{2+x} > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$।
$f(x) = 2x + \log(x) - \log(2+x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2+x}$।
$f'(x) = 2 + \frac{2+x-x}{x(2+x)} = 2 + \frac{2}{x(2+x)} = \frac{2x(2+x) + 2}{x(2+x)} = \frac{2(x^2 + 2x + 1)}{x(2+x)} = \frac{2(x+1)^2}{x(2+x)}$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $2(x+1)^2 \ge 0$ सभी $x$ के लिए,$f'(x) > 0$ तब होता है जब $x(2+x) > 0$ और $x \neq -1$ हो।
असमिका $x(2+x) > 0$ अंतराल $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन अंतराल $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ में वर्धमान है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई फलन एकदिष्ट वर्धमान (monotonically increasing) है,हम जांचते हैं कि क्या उसके प्रांत में सभी $x$ के लिए उसका अवकलज $f'(x) \ge 0$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{1 - 1 - x + x + x^2}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$। $x > -1$ के लिए,$f'(x) \ge 0$ है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान है।
विकल्प $B$ के लिए: $g'(x) = \frac{2}{1+x^2} - 1 = \frac{2 - 1 - x^2}{1+x^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$। यह $x = \pm 1$ पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।
विकल्प $C$ के लिए: $h'(x) = -4 \sin x + 1$। यह $\sin x$ के आधार पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $u'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(x+1)(1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-1}{(x+1)^2} = \frac{x}{(x+1)^2}$। यह $x = 0$ पर चिह्न बदलता है,इसलिए यह एकदिष्ट वर्धमान नहीं है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos^2 x = \sin x - (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \sin x - 1$.
माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in [-\pi, \pi]$,इसलिए $t \in [-1, 1]$.
तब $g(t) = t^2 + t - 1$.
$f(x)$ के निरंतर वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \cos x + 2 \cos x \sin x = \cos x(1 + 2 \sin x)$.
$f'(x) > 0$ के लिए:
स्थिति $1$: $\cos x > 0$ और $1 + 2 \sin x > 0$.
$\cos x > 0 \implies x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
$1 + 2 \sin x > 0 \implies \sin x > -\frac{1}{2} \implies x \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.
सर्वनिष्ठ: $x \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$.
स्थिति $2$: $\cos x < 0$ और $1 + 2 \sin x < 0$.
$\cos x < 0 \implies x \in (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)$.
$1 + 2 \sin x < 0 \implies \sin x < -\frac{1}{2} \implies x \in (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6})$.
सर्वनिष्ठ: $x \in (-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2})$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$f(x)$ अंतराल $(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ में निरंतर वर्धमान है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x-x^2}$.
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)]$
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = e^{x-x^2} [-(2x^2 - x - 1)]$
$f'(x) = -e^{x-x^2} (2x+1)(x-1)$
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।
चूंकि $e^{x-x^2} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,हमें $-(2x+1)(x-1) \ge 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $(2x+1)(x-1) \le 0$।
मूल $x = -\frac{1}{2}$ और $x = 1$ हैं।
यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ के लिए सत्य है।
अतः,$f(x)$,$\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ पर वर्धमान है।

(C) दिया गया विस्थापन फलन $S(t) = t^3 - 16t^2 + 64t - 16$ है।
अधिकतम विस्थापन ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v(t)$ ज्ञात करते हैं:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 32t + 64$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $v(t) = 0$ रखने पर:
$3t^2 - 32t + 64 = 0$.
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(3)(64)}}{2(3)} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 768}}{6} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{32 \pm 16}{6}$.
इससे दो मान प्राप्त होते हैं: $t_1 = \frac{48}{6} = 8$ और $t_2 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.
अब,अधिकतम मान की जाँच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$a(t) = \frac{d^2S}{dt^2} = 6t - 32$.
$t = 8$ के लिए: $a(8) = 6(8) - 32 = 48 - 32 = 16 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$t = \frac{8}{3}$ के लिए: $a(\frac{8}{3}) = 6(\frac{8}{3}) - 32 = 16 - 32 = -16 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
अतः,$t = \frac{8}{3}$ पर विस्थापन अधिकतम है।

(C) माना $u = \sin x$ है। चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $u \in (0, 1)$ है।
फलन $g(u) = \frac{4}{u} + \frac{1}{1-u}$ को परिभाषित करें।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,$g(u)$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$g'(u) = -\frac{4}{u^2} + \frac{1}{(1-u)^2}$।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए $g'(u) = 0$ रखें:
$\frac{1}{(1-u)^2} = \frac{4}{u^2} \implies u^2 = 4(1-u)^2 \implies u^2 = 4(1 - 2u + u^2)$।
$u^2 = 4 - 8u + 4u^2 \implies 3u^2 - 8u + 4 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3u - 2)(u - 2) = 0$।
चूँकि $u \in (0, 1)$,इसलिए $u = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $\sin k = \frac{2}{3}$ है।
तब $\cos^2 k = 1 - \sin^2 k = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$,जिससे $\cos k = \frac{\sqrt{5}}{3}$ प्राप्त होता है।
मान $m = f(k) = g(\frac{2}{3}) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 6 + 3 = 9$ है।
हमें $m=9$ के पदों में $\cos k$ ज्ञात करना है।
$\cos k = \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{m}}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं,और कर्ण $h = 5$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}xy$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = \frac{1}{4}x^2y^2$ को अधिकतम करते हैं।
मान लीजिए $x^2 = 25 \cos^2 \theta$ और $y^2 = 25 \sin^2 \theta$,जहाँ $\theta \in (0, \pi/2)$ है।
तब $A = \frac{1}{2} (5 \cos \theta)(5 \sin \theta) = \frac{25}{4} \sin(2\theta)$ है।
क्षेत्रफल $A$ तब अधिकतम होता है जब $\sin(2\theta) = 1$ हो,जिसका अर्थ है $2\theta = \pi/2$,इसलिए $\theta = \pi/4$ है।
अतः,$x = 5 \cos(\pi/4) = \frac{5}{\sqrt{2}}$ और $y = 5 \sin(\pi/4) = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
परिमाप $P = x + y + h = \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}} + 5 = \frac{10}{\sqrt{2}} + 5 = 5\sqrt{2} + 5 = 5(\sqrt{2} + 1)$ है।

(A) दिया गया है $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$.
तब $P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$.
यह दिया गया है कि $x = 0$,$P'(x) = 0$ का एकमात्र वास्तविक मूल है।
चूंकि $P'(x)$ एक त्रिघात बहुपद है,इसका कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए।
यदि $x = 0$ एकमात्र वास्तविक मूल है,तो $P'(x)$ को $k x^3$ के रूप में होना चाहिए।
गुणांकों की तुलना करने पर,$4x^3 = k x^3 \implies k = 4$,और $3a = 0, 2b = 0, c = 0$.
अतः,$a = 0, b = 0, c = 0$.
इसलिए,$P(x) = x^4 + d$.
$P'(x) = 4x^3$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$P'(x) < 0$,इसलिए $P(x)$ घटता हुआ फलन है।
$x \in (0, 1]$ के लिए,$P'(x) > 0$,इसलिए $P(x)$ बढ़ता हुआ फलन है।
अतः,$P(x)$ का न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है।
अंतराल $[-1, 1]$ में,न्यूनतम मान $P(0) = d$ है।
अधिकतम मान अंतिम बिंदुओं $x = -1$ या $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$P(-1) < P(1)$ शर्त के अनुसार,$P(-1)$ न्यूनतम नहीं है और $P(1)$ अधिकतम है।

(A) फलन $f(x) = x e^{-x}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले x के सापेक्ष इसका अवकलज ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए, $f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए, $f'(x) = 0 \text{ रखें।}$
$e^{-x}(1 - x) = 0।$
चूंकि किसी भी $x$ के लिए $e^{-x} \neq 0$, इसलिए हमारे पास $1 - x = 0$ है, जो $x = 1$ देता है।
यह पुष्टि करने के लिए कि यह एक अधिकतम है, हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं।
$f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 1 - 1) = e^{-x}(x - 2)\text{।}$
$x = 1 \text{ पर}, f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0।$
चूंकि $x = 1$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, इसलिए फलन $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अतः, $k = 1$।

(C) दिया गया है $f(x) = 2\sqrt{2} \sin x - \tan x$,अंतराल $[0, \pi/3]$ पर।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 2\sqrt{2} \cos x - \sec^2 x$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2\sqrt{2} \cos x = \frac{1}{\cos^2 x} \implies \cos^3 x = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3$।
अतः,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $x = \pi/4$ प्राप्त होता है।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(0) = 2\sqrt{2}(0) - 0 = 0$।
$f(\pi/4) = 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 2 - 1 = 1$।
$f(\pi/3) = 2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sqrt{3} = \sqrt{6} - \sqrt{3} \approx 0.72$।
मानों की तुलना करने पर: $m = 0$ और $M = 1$।
इसलिए,$m + M = 0 + 1 = 1$।

(B) टर्निंग पॉइंट्स ज्ञात करने के लिए,हमें वे बिंदु खोजने होंगे जहाँ अवकलज $f'(x) = 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = 2 \cos x - \sin 2x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = -2 \sin x - 2 \cos 2x$।
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$-2 \sin x - 2 \cos 2x = 0$
$\sin x + \cos 2x = 0$।
सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin x + 1 - 2 \sin^2 x = 0$
$2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$।
माना $u = \sin x$,तो $2u^2 - u - 1 = 0$।
$(2u + 1)(u - 1) = 0$।
अतः,$\sin x = 1$ या $\sin x = -1/2$।
$[-\pi, \pi]$ में $\sin x = 1$ के लिए,$x = \pi/2$।
$[-\pi, \pi]$ में $\sin x = -1/2$ के लिए,$x = -\pi/6$ और $x = -5\pi/6$।
इस प्रकार,दिए गए अंतराल में कुल $3$ टर्निंग पॉइंट्स हैं।

(C) अंतराल $[-1, 4]$ पर $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 30$ के निरपेक्ष अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$.
क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 3$ हैं,जो दोनों $[-1, 4]$ में स्थित हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-1) = 2(-1)^3 - 15(-1)^2 + 36(-1) - 30 = -2 - 15 - 36 - 30 = -83$.
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) - 30 = 16 - 60 + 72 - 30 = -2$.
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) - 30 = 54 - 135 + 108 - 30 = -3$.
$f(4) = 2(64) - 15(16) + 36(4) - 30 = 128 - 240 + 144 - 30 = 2$.
निरपेक्ष अधिकतम मान $2$ है और निरपेक्ष न्यूनतम मान $-83$ है।
अंतर $2 - (-83) = 85$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ अंतराल $[0, \pi]$ पर है।
चूंकि $f(x)$ त्रिकोणमितीय फलनों का योग है,यह $[0, \pi]$ पर सतत है और $(0, \pi)$ पर अवकलनीय है।
साथ ही,$f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0$ और $f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0$ है।
अतः,$f(0) = f(\pi)$,जो रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है।
हम $f'(x) = 2 \cos x + 2 \cos 2x$ प्राप्त करते हैं।
$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $2 \cos c + 2 \cos 2c = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\cos c + \cos 2c = 0$।
सर्वसमिका $\cos 2c = 2 \cos^2 c - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 c + \cos c - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2 \cos c - 1)(\cos c + 1) = 0$।
इससे $\cos c = \frac{1}{2}$ या $\cos c = -1$ प्राप्त होता है।
$c \in (0, \pi)$ के लिए,$\cos c = \frac{1}{2}$ का अर्थ है $c = \frac{\pi}{3}$।
चूंकि $\cos c = -1$ से $c = \pi$ मिलता है,जो विवृत अंतराल $(0, \pi)$ में नहीं है,इसलिए एकमात्र मान्य मान $c = \frac{\pi}{3}$ है।

(A) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय फलन $f(x)$ के लिए,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = e^x$ अंतराल $[1, 2]$ पर दिया गया है,इसलिए $a = 1$ और $b = 2$ है।
$f'(x) = e^x$,इसलिए $f'(c) = e^c$ होगा।
$f(1) = e^1 = e$ और $f(2) = e^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $e^c = \frac{e^2 - e}{2 - 1} = e^2 - e$।
$e^c = e(e - 1)$।
चूंकि $c = k$ है,इसलिए $e^k = e(e - 1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $e$ से विभाजित करने पर,$e^{k-1} = e - 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है $f(1)=f(3)$.
$f(1) = 1+b+c-6 = b+c-5$.
$f(3) = 27+9b+3c-6 = 9b+3c+21$.
दोनों को बराबर करने पर: $b+c-5 = 9b+3c+21 \implies 8b+2c = -26 \implies 4b+c = -13$ (समीकरण $1$).
अब,$f^{\prime}(x) = 3x^2+2bx+c$.
दिया गया है कि $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right) = f^{\prime}\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$.
$f^{\prime}(x)=0$ के मूल $x_1, x_2$ हैं,और रोले के प्रमेय के अनुसार,$(1,3)$ में एक ऐसा $c$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c)=0$.
$3x^2+2bx+c=0$ के मूल $x_1, x_2$ हैं। मूलों का योग $x_1+x_2 = -\frac{2b}{3}$ और गुणनफल $x_1 x_2 = \frac{c}{3}$ है।
एक मूल $2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ दिया गया है। चूँकि गुणांक परिमेय हैं,दूसरा मूल $2-\frac{1}{\sqrt{3}}$ होगा।
मूलों का योग: $(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + (2-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 4 = -\frac{2b}{3} \implies b = -6$.
समीकरण $1$ में $b=-6$ रखने पर: $4(-6)+c = -13 \implies -24+c = -13 \implies c = 11$.
अतः,$bc = (-6)(11) = -66$.

(D) दिया गया है $g(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx$.
$g(0)$ और $g(1)$ की गणना करने पर:
$g(0) = 0$.
$g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a+3b+6c}{6}$.
चूंकि $2a+3b+6c=0$,हमें $g(1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(x)$ एक बहुपद है,यह $[0,1]$ पर सतत है और $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
चूंकि $g(0) = g(1) = 0$,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c_1 \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $g'(c_1) = 0$ है।
ध्यान दें कि $g'(x) = ax^2+bx+c$ है।
अतः,$g'(c_1) = ac_1^2+bc_1+c = 0$ है।
यह दर्शाता है कि द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ का $(0,1)$ में कम से कम एक मूल $c_1$ है।
इसलिए,कथन-$I$ सही है।
कथन-$II$ भी सही है क्योंकि $g(x)$ $[0,1]$ पर रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को पूरा करता है,और यह कथन-$I$ के लिए सही व्याख्या है।

(D) माना $I = \int \frac{e^{\sin x}(\sin 2x - 8 \cos x)}{2(\sin x - 3)^2} dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{e^{\sin x}(2 \sin x \cos x - 8 \cos x)}{2(\sin x - 3)^2} dx = \int \frac{e^{\sin x} \cos x (\sin x - 4)}{(\sin x - 3)^2} dx$.
माना $t = \sin x$,तब $dt = \cos x dx$.
$I = \int \frac{e^t (t - 4)}{(t - 3)^2} dt = \int e^t \left( \frac{t - 3 - 1}{(t - 3)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{t - 3} - \frac{1}{(t - 3)^2} \right) dt$.
सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{t - 3}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(t - 3)^2}$.
अतः,$I = e^t \left( \frac{1}{t - 3} \right) + c = \frac{e^{\sin x}}{\sin x - 3} + c$.

(D) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x + 3\cos x - 3} \, dx$.
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ और $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos^2 x + 3\cos x - 3} \, dx = \int \frac{2\sin x \cos x}{-\cos^2 x + 3\cos x - 2} \, dx$.
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x \, dx$,अर्थात $\sin x \, dx = -dt$.
$I = \int \frac{2t}{-t^2 + 3t - 2} (-dt) = \int \frac{2t}{t^2 - 3t + 2} \, dt$.
हर का गुणनखंड करने पर: $t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{2t}{(t - 1)(t - 2)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t - 2}$.
$2t = A(t - 2) + B(t - 1)$.
$t = 1$ के लिए,$2 = A(-1) \implies A = -2$.
$t = 2$ के लिए,$4 = B(1) \implies B = 4$.
$I = \int \left( \frac{-2}{t - 1} + \frac{4}{t - 2} \right) dt = -2 \log |t - 1| + 4 \log |t - 2| + c$.
$I = \log |t - 2|^4 - \log |t - 1|^2 + c = \log \left| \frac{(t - 2)^4}{(t - 1)^2} \right| + c$.
$t = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = \log \left( \frac{(\cos x - 2)^4}{(\cos x - 1)^2} \right) + c$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\cos^3 x (\tan^3 x + 1)} = \int \frac{\sec^3 x}{\tan^3 x + 1} dx$.
$u = \tan x$ प्रतिस्थापन करने पर,$du = \sec^2 x dx$.
अंश और हर को $\cos^3 x$ से विभाजित करने पर:
$t = \sin x - \cos x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = (\cos x + \sin x) dx$.
$t^2 = 1 - 2\sin x \cos x$,अतः $\sin x \cos x = \frac{1-t^2}{2}$.
$\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = (\sin x + \cos x)(\frac{1+t^2}{2})$.
$I = \int \frac{2 dt}{(2-t^2)(1+t^2)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{2}{(2-t^2)(1+t^2)} = \frac{2/3}{2-t^2} + \frac{2/3}{1+t^2}$.
$I = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{2-t^2} + \frac{2}{3} \int \frac{dt}{1+t^2} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \log \left|\frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t}\right| + \frac{2}{3} \tan^{-1}(t) + c$.
तुलना करने पर $A = \frac{1}{3\sqrt{2}}$ और $B = \frac{2}{3}$.
अतः $\frac{B}{A} = 2\sqrt{2}$.
इस प्रकार,$(\frac{B}{A}, t) = (2\sqrt{2}, \sin x - \cos x)$.

(C) दिया गया समाकलन $\int e^{\sin x}(1+\sec x \tan x) d x = e^{\sin x} f(x) + c$ है।
माना $I = \int e^{\sin x}(1+\sec x \tan x) d x$ है।
हम समाकल्य को $e^{\sin x} + e^{\sin x} \sec x \tan x$ के रूप में लिख सकते हैं।
$e^{\sin x} f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [e^{\sin x} f(x)] = e^{\sin x} \cos x f(x) + e^{\sin x} f'(x) = e^{\sin x} (f'(x) + f(x) \cos x)$।
इसकी तुलना समाकल्य $e^{\sin x}(1+\sec x \tan x)$ से करने पर,हमें $f'(x) + f(x) \cos x = 1 + \sec x \tan x$ प्राप्त होता है।
निरीक्षण द्वारा,यदि $f(x) = \sec x$ है,तो $f'(x) = \sec x \tan x$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sec x \tan x + \sec x \cos x = \sec x \tan x + 1$।
यह समाकल्य से मेल खाता है। अतः,$f(x) = \sec x$ है।
हमें $0 \leq x \leq 2 \pi$ में $f(x) = 1$ के लिए हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
$\sec x = 1 \implies \cos x = 1$।
अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$\cos x = 1$ का मान $x = 0$ और $x = 2 \pi$ पर होता है।
अतः,कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) माना $I = \int \frac{dx}{(x-1)^{3/2}(x-3)^{1/2}}$.
हम समाकल्य को $I = \int \frac{dx}{(x-1)(x-1)^{1/2}(x-3)^{1/2}} = \int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{(x-1)(x-3)}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $x-1 = t$,तब $dx = dt$. साथ ही,$x-3 = t-2$.
अतः,$I = \int \frac{dt}{t\sqrt{t(t-2)}} = \int \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2t}}$.
$t = \frac{1}{u}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -\frac{1}{u^2} du$.
$I = \int \frac{-du/u^2}{(1/u)\sqrt{1/u^2 - 2/u}} = \int \frac{-du/u}{\frac{1}{u}\sqrt{1-2u}} = -\int \frac{du}{\sqrt{1-2u}}$.
$I = -\frac{(1-2u)^{1/2}}{1/2 \times (-2)} + c = (1-2u)^{1/2} + c = \sqrt{1 - \frac{2}{t}} + c = \sqrt{\frac{t-2}{t}} + c$.
$t = x-1$ रखने पर,हमें $I = \sqrt{\frac{x-1-2}{x-1}} + c = \sqrt{\frac{x-3}{x-1}} + c$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{x-3}{x-1}$.
अब,$f(-1) = \frac{-1-3}{-1-1} = \frac{-4}{-2} = 2$.
और $f(0) = \frac{0-3}{0-1} = \frac{-3}{-1} = 3$.
अतः,$f(-1) - f(0) = 2 - 3 = -1$.

(C) माना $I = \int \frac{x}{(1-x^2) \sqrt{2-x^2}} dx$.
$t = \sqrt{2-x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $t^2 = 2-x^2$,जिसका अर्थ है $x^2 = 2-t^2$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2t dt = -2x dx$,अतः $x dx = -t dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-t dt}{(1-(2-t^2)) t} = \int \frac{-dt}{t^2-1} = \int \frac{dt}{1-t^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{a^2-t^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+t}{a-t} \right| + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=1$:
$I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + c$.
$t = \sqrt{2-x^2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sqrt{2-x^2}}{1-\sqrt{2-x^2}} \right| + c$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x(1+x)}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
यहाँ $1+x = (\sqrt{1+x})^2$ और $x = (\sqrt{x})^2$ है।
अतः,अंश को $(\sqrt{1+x})^2 + (\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{1+x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस व्यंजक को इस प्रकार लिखें:
$I = \int \frac{(\sqrt{1+x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
अंश से $\sqrt{1+x}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} dx$.
समान पद $(\sqrt{x}+\sqrt{1+x})$ को काटने पर:
$I = \int \sqrt{1+x} dx$.
घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + c$.

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{9 \cos^2 x - 24 \sin x \cos x + 16 \sin^2 x} dx$ है।
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{9 - 24 \tan x + 16 \tan^2 x} dx$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$.
समाकलन $I = \int \frac{du}{(3 - 4u)^2} = \int (3 - 4u)^{-2} du$ हो जाता है।
समाकलन के लिए घात नियम का उपयोग करने पर:
$I = \frac{(3 - 4u)^{-1}}{(-1) \times (-4)} + c = \frac{1}{4(3 - 4u)} + c$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{4(3 - 4 \tan x)} + c = \frac{1}{4(3 - 4 \frac{\sin x}{\cos x})} + c = \frac{\cos x}{4(3 \cos x - 4 \sin x)} + c$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।