lim _{n rightarrow infty}left(frac{1}{1^2+n^2 | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति को योग के रूप में लिखा जा सकता है: $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{r^2+n^2}$ अंश और हर को $n^2$ से विभा

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$\frac{1}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(B) दी गई अभिव्यक्ति को योग के रूप में लिखा जा सकता है: $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{r^2+n^2}$ अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर: $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r/n^2}{(r/n)^2+1} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{r/n}{(r/n)^2+1}$ यह रीमान योग $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में है,जहाँ $x = r/n$ और $dx = 1/n$: $S = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} dx$ मान लीजिए $u = x^2+1$,तब $du = 2x dx$,अर्थात $x dx = du/2$: $S = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_{1}^{2}$ $S = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1^2+n^2}+\frac{2}{2^2+n^2}+\frac{3}{3^2+n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ का मान है:

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=k$ है,तो $\log k=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{1}^{99}}+{{2}^{99}}+{{3}^{99}}+......{{n}^{99}}}{{{n}^{100}}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} n^4\left[\frac{1}{n^5}+\frac{1}{\left(n^2+1\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+4\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+9\right)^{\frac{5}{2}}}+\ldots+\right]=$

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