वक्रों y=x^2 और y=8-x^2 द्वारा परिबद्ध क्षेत् | vedclass

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Question

(C) वक्रों $y=x^2$ और $y=8-x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x^2 = 8-x^2$ रखकर

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$\frac{64}{3}$

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(C) वक्रों $y=x^2$ और $y=8-x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x^2 = 8-x^2$ रखकर। $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$। वक्र $x = -2$ और $x = 2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतराल $[-2, 2]$ में,वक्र $y=8-x^2$,$y=x^2$ के ऊपर स्थित है। क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है: $A = \int_{-2}^{2} ((8-x^2) - x^2) \, dx = \int_{-2}^{2} (8-2x^2) \, dx$। चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{2} (8-2x^2) \, dx$। $A = 2 [8x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{2} = 2 [8(2) - \frac{2(8)}{3}] = 2 [16 - \frac{16}{3}] = 2 [\frac{48-16}{3}] = 2 [\frac{32}{3}] = \frac{64}{3}$ वर्ग इकाई।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

वक्रों $y=x^2$ और $y=8-x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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