यदि Ax^3+Bxy=4 (जहाँ A और B स्वेच्छ अचर हैं) | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $Ax^3+Bxy=4$ है। $y$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $Bxy = 4-Ax^3$,अतः $y = \frac{4}{Bx} - \frac{Ax^2}{B}$। माना $C_1 = \f

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(A) दिया गया समीकरण $Ax^3+Bxy=4$ है। $y$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $Bxy = 4-Ax^3$,अतः $y = \frac{4}{Bx} - \frac{Ax^2}{B}$। माना $C_1 = \frac{4}{B}$ और $C_2 = -\frac{A}{B}$। तो $y = C_1 x^{-1} + C_2 x^2$। अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -C_1 x^{-2} + 2C_2 x$। पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2C_1 x^{-3} + 2C_2$। इन मानों को अवकल समीकरण $F(x) \frac{d^2y}{dx^2} + G(x) \frac{dy}{dx} - 2y = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर: $F(x)(2C_1 x^{-3} + 2C_2) + G(x)(-C_1 x^{-2} + 2C_2 x) - 2(C_1 x^{-1} + C_2 x^2) = 0$। $C_1$ और $C_2$ के पदों को समूहित करने पर: $C_1(2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1}) + C_2(2F(x) + 2xG(x) - 2x^2) = 0$। स्वेच्छ अचरों $C_1, C_2$ के लिए यह शर्त सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए: $2F(x)x^{-3} - G(x)x^{-2} - 2x^{-1} = 0 \implies 2F(x) - xG(x) - 2x^2 = 0$। $2F(x) + 2xG(x) - 2x^2 = 0 \implies F(x) + xG(x) - x^2 = 0$। $x=1$ पर: $2F(1) - G(1) - 2 = 0$ (समीकरण $1$) $F(1) + G(1) - 1 = 0$ (समीकरण $2$) समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $3F(1) - 3 = 0 \implies F(1) = 1$। $F(1)=1$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $1 + G(1) - 1 = 0 \implies G(1) = 0$। अतः,$F(1) + G(1) = 1 + 0 = 1$।

यदि $Ax^3+Bxy=4$ (जहाँ $A$ और $B$ स्वेच्छ अचर हैं) अवकल समीकरण $F(x) \frac{d^2 y}{d x^2}+G(x) \frac{d y}{d x}-2 y=0$ का व्यापक हल है,तो $F(1)+G(1)=$

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