AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए समीकरण $6x^3 + 7x^2 - 4x - 2 = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
यदि मूलों को $h$ से कम किया जाता है,तो नए मूल $\alpha-h, \beta-h, \gamma-h$ होंगे।
मान लीजिए $y = x - h$,इसलिए $x = y + h$।
मूल समीकरण में $x = y + h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$6(y+h)^3 + 7(y+h)^2 - 4(y+h) - 2 = 0$।
इसका विस्तार करने पर,$y$ का गुणांक $18h^2 + 14h - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$9h^2 + 7h - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण के लिए $h$ के मूलों का गुणनफल $c/a = -2/9$ है।

(A) दिए गए समीकरण:
$1) \alpha+\beta = 5\gamma$ और $\alpha\beta = -6\delta$
$2) \gamma+\delta = 5\alpha$ और $\gamma\delta = -6\beta$
योग समीकरणों को जोड़ने पर: $(\alpha+\beta) + (\gamma+\delta) = 5(\gamma+\alpha) \implies \beta+\delta = 4(\alpha+\gamma)$.
योग समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha+\beta) - (\gamma+\delta) = 5(\gamma-\alpha) \implies \alpha+\beta-\gamma-\delta = 5\gamma-5\alpha \implies 6\alpha+\beta = 6\gamma+\delta$.
$\alpha\beta = -6\delta$ और $\gamma\delta = -6\beta$ से,हमें $\alpha\beta\gamma\delta = 36\beta\delta$ प्राप्त होता है। यदि $\beta\delta \neq 0$ है,तो $\alpha\gamma = 36$.
इस प्रणाली को हल करने पर $\alpha=\gamma$ और $\beta=\delta$ प्राप्त होता है। मूल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha+\alpha = 5\alpha \implies 3\alpha=0 \implies \alpha=0$. अतः $\alpha=\beta=\gamma=\delta=0$.
हालाँकि,यदि हम शून्येतर मूलों पर विचार करें,तो भी योग $\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $i$ की चार क्रमागत घातों का योग $i^k + i^{k+1} + i^{k+2} + i^{k+3} = i^k(1 + i - 1 - i) = 0$ होता है।
प्रथम योग के लिए: $\sum_{n=2}^{30} i^n = i^2 + i^3 + \dots + i^{30}$। पदों की संख्या $30 - 2 + 1 = 29$ है।
चूंकि $29 = 4 \times 7 + 1$,योग $i^2 + (i^3 + i^4 + i^5 + i^6) + \dots + (i^{27} + i^{28} + i^{29} + i^{30}) = -1 + 0 = -1$ होगा।
दूसरे योग के लिए: $\sum_{n=30}^{65} i^{n+3} = i^{33} + i^{34} + \dots + i^{68}$। पदों की संख्या $68 - 33 + 1 = 36$ है।
चूंकि $36$,$4$ का गुणज है,इसलिए $i$ की इन $36$ क्रमागत घातों का योग $0$ है।
अतः,कुल योग $-1 + 0 = -1$ है।

(A) माना $z = \frac{\sqrt{21+12 \sqrt{2} i}}{\sqrt{21-12 \sqrt{2} i}}$.
$21+12 \sqrt{2} i$ का वर्गमूल ज्ञात करने पर,$(x+iy)^2 = 21+12 \sqrt{2} i$ लेने पर.
$x^2-y^2 = 21$ और $2xy = 12 \sqrt{2} \implies xy = 6 \sqrt{2}$.
$(x^2+y^2)^2 = 21^2 + (12 \sqrt{2})^2 = 729 \implies x^2+y^2 = 27$.
$x^2 = 24 \implies x = 2 \sqrt{6}$ और $y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3}$.
अतः,$\sqrt{21+12 \sqrt{2} i} = 2 \sqrt{6} + i \sqrt{3}$ और $\sqrt{21-12 \sqrt{2} i} = 2 \sqrt{6} - i \sqrt{3}$.
$z = \frac{2 \sqrt{6} + i \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} - i \sqrt{3}} = \frac{(2 \sqrt{6} + i \sqrt{3})^2}{24 + 3} = \frac{21 + 12 \sqrt{2} i}{27} = \frac{7}{9} + i \frac{4 \sqrt{2}}{9}$.
यहाँ $a = \frac{7}{9}$ और $b = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$.
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{4 \sqrt{2}}{7}$.

(D) दिया गया है $x = 3 - 2\sqrt{3}i$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x - 3 = -2\sqrt{3}i$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 3)^2 = (-2\sqrt{3}i)^2$.
$x^2 - 6x + 9 = -12$.
$x^2 - 6x + 21 = 0$.
बहुपद $P(x) = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x - 54$ को $(x^2 - 6x + 21)$ से विभाजित करने पर,
$P(x) = (x^2 - 6x + 21)(x^2 - 6x - 3) + 9$.
अतः,मान $9$ है।

(A) हमें $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ दिया गया है।
$|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2}) = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$z_1 \bar{z_1} + z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2} = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$.
दोनों पक्षों से $|z_1|^2$ और $|z_2|^2$ घटाने पर:
$z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} = 0$.
इसे $z_1 \bar{z_2} + \overline{z_1 \bar{z_2}} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$, इसलिए $2 \operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$, जिसका अर्थ है कि $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$.
$|z_2|^2$ से विभाजित करने पर, हमें $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $t = z^4$. समीकरण $t^2 - 20t + 64 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(t-16)(t-4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$z^4 = 16$ या $z^4 = 4$.
$z^4 = 16$ के लिए,मूल $z = 2, -2, 2i, -2i$ हैं।
काल्पनिक मूल $2i$ और $-2i$ हैं।
$z^4 = 4$ के लिए,मूल $z = \sqrt{2}, -\sqrt{2}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i$ हैं।
काल्पनिक मूल $\sqrt{2}i$ और $-\sqrt{2}i$ हैं।
काल्पनिक मूलों के वर्ग $(2i)^2 = -4$,$(-2i)^2 = -4$,$(\sqrt{2}i)^2 = -2$,और $(-\sqrt{2}i)^2 = -2$ हैं।
काल्पनिक मूलों के वर्गों का योग $(-4) + (-4) + (-2) + (-2) = -12$ है।

(D) दिया गया है कि $|z \omega| = 1$,इसलिए $|z| |\omega| = 1$.
साथ ही,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $z = r_1 e^{i \theta_1}$ और $\omega = r_2 e^{i \theta_2}$.
तब $|z| = r_1$ और $|\omega| = r_2$,इसलिए $r_1 r_2 = 1$.
$\operatorname{Arg}(z) = \theta_1$ और $\operatorname{Arg}(\omega) = \theta_2$,इसलिए $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$.
हमें $\bar{z} \omega$ ज्ञात करना है।
$\bar{z} = r_1 e^{-i \theta_1}$.
$\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i \theta_1}) (r_2 e^{i \theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
चूंकि $r_1 r_2 = 1$ और $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

(C) माना $z = \sqrt{\sqrt{2}+1} + i\sqrt{\sqrt{2}-1}$ है।
सबसे पहले,$z^2 = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) + 2i\sqrt{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$ की गणना करें।
$z^2 = 2 + 2i\sqrt{2-1} = 2 + 2i$ प्राप्त होता है।
अब,$z^8 = (z^2)^4 = (2 + 2i)^4$ है।
$z^8 = [2(1+i)]^4 = 16(1+i)^4$ है।
चूंकि $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$ है,इसलिए $(1+i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$ होगा।
अतः,$z^8 = 16 \times (-4) = -64$ है।

(C) $\theta = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ और $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ है।
प्रथम पद में इन मानों को रखने पर: $\left(\frac{0+i(1)}{1+i(0)}\right)^{2024} = (i)^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1$।
दूसरे पद के लिए: $\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta} = \frac{1+0+i(1)}{1-0+i(1)} = \frac{1+i}{1+i} = 1$।
अतः,व्यंजक $1^{2024} + 1^{2025} = 1 + 1 = 2$ हो जाता है।
चूँकि $x+iy = 2$,इसलिए $x=2$ और $y=0$ है।
अतः,$x+y = 2+0 = 2$।

(D) दिया गया समीकरण $x^6 = (\sqrt{3} - i)^5$ है।
माना $z = \sqrt{3} - i$.
ध्रुवीय रूप में $z = 2e^{-i\pi/6}$.
अतः $z^5 = 2^5 e^{-i5\pi/6}$.
समीकरण $x^6 = 2^5 e^{-i5\pi/6}$ है।
$x^n = A$ प्रकार के समीकरण के लिए,मूलों का गुणनफल $(-1)^{n-1} A$ होता है।
यहाँ $n = 6$ और $A = 2^5 e^{-i5\pi/6}$.
मूलों का गुणनफल $= -2^5 e^{-i5\pi/6} = 2^5 e^{i\pi/6} = 16(\sqrt{3} + i) = \frac{2^6}{\sqrt{3} - i}$.

(D) माना $z_1 = 1+\sqrt{3}i$ है। हम इसे ध्रुवीय रूप में $z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$ के रूप में लिख सकते हैं।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z_1^6 = 2^6(\cos(6 \times \frac{\pi}{3}) + i\sin(6 \times \frac{\pi}{3})) = 64(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 64(1+0) = 64$ है।
माना $z_2 = \sqrt{3}+i$ है। हम इसे ध्रुवीय रूप में $z_2 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$ के रूप में लिख सकते हैं।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z_2^6 = 2^6(\cos(6 \times \frac{\pi}{6}) + i\sin(6 \times \frac{\pi}{6})) = 64(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 64(-1+0) = -64$ है।
अतः,$(1+\sqrt{3}i)^6-(\sqrt{3}+i)^6 = 64 - (-64) = 64 + 64 = 128$ है।

(C) सबसे पहले,$\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ का सरलीकरण करें। अंश और हर को $\sqrt{3}+i$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $(e^{i\pi/3})^n = -1 = e^{i\pi}$,इसलिए $n\pi/3 = \pi + 2k\pi$। न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$n/3 = 1 \implies n = 3$। अतः,$p = 3$।
अब,$\frac{1-\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}$ को सरल करें। $1-\sqrt{3}i$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(1-\sqrt{3}i)^2}{1+3} = \frac{-2-2\sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i4\pi/3}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $(e^{i4\pi/3})^m = \operatorname{cis}(2\pi/3) = e^{i2\pi/3}$,इसलिए $4m\pi/3 = 2\pi/3 + 2k\pi$। $2\pi/3$ से भाग देने पर,$2m = 1 + 3k$ मिलता है। $k=1$ के लिए,$2m = 4 \implies m = 2$। अतः,$q = 2$।
अंत में,$\sqrt{p^2+q^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$।

(D) दिया गया समीकरण $(\sqrt{3}-i)^{n}=2^{n}$ है।
सबसे पहले,सम्मिश्र संख्या $z = \sqrt{3}-i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें।
मापांक $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$ है।
कोणांक $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ है,जिसका अर्थ है $\theta = -\frac{\pi}{6}$ (क्योंकि यह चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है)।
अतः,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\pi/6}$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(2e^{-i\pi/6})^n = 2^n$.
$2^n e^{-in\pi/6} = 2^n$.
$2^n$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-in\pi/6} = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $-\frac{n\pi}{6} = 2k\pi$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$n = -12k$.
चूंकि $n \in N$ (प्राकृत संख्याएँ),$n$ का सबसे छोटा धनात्मक मान $k = -1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $n = 12$ है।

(B) माना $z = 1+\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}$.
हम $z$ को ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ में लिख सकते हैं।
यहाँ,$r = |z| = \sqrt{(1+\sqrt{5})^2 + (10-2\sqrt{5})} = \sqrt{1+5+2\sqrt{5} + 10-2\sqrt{5}} = \sqrt{16} = 4$.
तब $z = 4(\frac{1+\sqrt{5}}{4} + i \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4})$.
ध्यान दें कि $\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ और $\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
अतः,$z = 4(\cos 36^\circ + i \sin 36^\circ) = 4e^{i \pi/5}$.
तब $z^5 = (4e^{i \pi/5})^5 = 4^5 e^{i \pi} = 1024(\cos \pi + i \sin \pi) = 1024(-1 + 0) = -1024$.

(A) $z = -8-8 \sqrt{3} i$ लें। ध्रुवीय रूप में $z = 16(\cos(\frac{4 \pi}{3}) + i \sin(\frac{4 \pi}{3}))$ है।
$z^{1/4} = 2(\cos(\frac{\pi}{3} + \frac{k \pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{k \pi}{2}))$ जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
$k=0$ के लिए: $1 + i \sqrt{3}$।
$k=1$ के लिए: $-\sqrt{3} + i$।
$k=2$ के लिए: $-1 - i \sqrt{3}$।
$k=3$ के लिए: $\sqrt{3} - i$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) माना $z = (1+i)^{3/4}$. पहले,$1+i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $1+i = \sqrt{2} e^{i(\pi/4 + 2k\pi)}$.
अतः,$z = (\sqrt{2})^{3/4} e^{i \frac{3}{4}(\pi/4 + 2k\pi)} = 2^{3/8} e^{i(\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})}$ जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$.
इन चार मानों का गुणनफल $P = \prod_{k=0}^{3} 2^{3/8} e^{i(\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})} = (2^{3/8})^4 e^{i \sum_{k=0}^{3} (\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})}$ है।
$P = 2^{3/2} e^{i (4 \cdot \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{3(4)}{2})} = 2^{3/2} e^{i (\frac{3\pi}{4} + 9\pi)} = 2^{3/2} e^{i (\frac{3\pi}{4} + \pi)} = 2^{3/2} e^{i (7\pi/4)}$.
चूँकि $e^{i(7\pi/4)} = \cos(7\pi/4) + i \sin(7\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.
$P = 2^{3/2} \cdot \frac{1-i}{\sqrt{2}} = 2^1 (1-i) = 2(1-i)$.

(B) माना $S = 1+3z+5z^2+7z^3+9z^4+11z^5+13z^6$.
$z$ से गुणा करने पर,हमें $zS = z+3z^2+5z^3+7z^4+9z^5+11z^6+13z^7$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z$,$x^7=1$ का एक मूल है,इसलिए $z^7=1$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(1-z)S = 1+2z+2z^2+2z^3+2z^4+2z^5+2z^6-13z^7$.
$z^7=1$ होने के कारण,यह $(1-z)S = 1+2(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)-13$ में सरल हो जाता है।
गुणधर्म $1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0$ का उपयोग करने पर,$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1-z)S = 1+2(-1)-13 = 1-2-13 = -14$.
इसलिए,$S = \frac{-14}{1-z}$.

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = n(n+1 + \frac{1}{\omega})(n+1 + \frac{1}{\omega^2})$ है।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ है।
अतः,$T_n = n(n+1 + \omega^2)(n+1 + \omega) = n((n+1)^2 + (n+1)(\omega + \omega^2) + \omega^3)$।
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$\omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$T_n = n((n+1)^2 - (n+1) + 1) = n(n^2 + 2n + 1 - n - 1 + 1) = n(n^2 + n + 1) = n^3 + n^2 + n$।
$10$ पदों का योग $\sum_{n=1}^{10} (n^3 + n^2 + n) = \sum n^3 + \sum n^2 + \sum n$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = (\frac{10 \times 11}{2})^2 = 3025$।
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$।
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$।
कुल योग $= 3025 + 385 + 55 = 3465$।

(A) इकाई के $n^{\text{th}}$ मूल $z_r = e^{i \frac{2\pi r}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, \dots, n-1$.
मान लीजिए $z_1 = e^{i \frac{2\pi r_1}{n}}$ और $z_2 = e^{i \frac{2\pi r_2}{n}}$.
मूल बिंदु पर $z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बनाया गया कोण उनके कोणांकों का अंतर है: $\theta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = |\frac{2\pi r_1}{n} - \frac{2\pi r_2}{n}| = \frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2|$.
चूँकि यह कोण समकोण है,इसलिए $\frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2| = \frac{\pi}{2}$.
इसे सरल करने पर $\frac{2}{n} |r_1 - r_2| = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4 |r_1 - r_2|$.
चूँकि $|r_1 - r_2|$ एक पूर्णांक है,मान लीजिए $|r_1 - r_2| = k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः,$n$ का रूप $4k$ होगा।

(C) $|z-1|+|z-5|$ व्यंजक सम्मिश्र तल में एक सम्मिश्र संख्या $z$ की बिंदुओं $z_1 = 1$ और $z_2 = 5$ से दूरियों का योग दर्शाता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी बिंदुओं $z, z_1, z_2$ के लिए,हमारे पास $|z-z_1| + |z-z_2| \ge |z_1 - z_2|$ होता है।
यहाँ,$|z_1 - z_2| = |1 - 5| = |-4| = 4$ है।
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $z$,$1$ और $5$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित हो।
अतः,न्यूनतम मान $4$ है।

(D) माना $z = x+iy$. दिया गया व्यंजक $w = \frac{(x-2) + i(y+1)}{(x+1) + i(y+2)}$ है।
$w$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,$w$ का वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x+1) - i(y+2)$ से गुणा करने पर।
अंश का वास्तविक भाग $(x-2)(x+1) + (y+1)(y+2) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - x - 2 + y^2 + 3y + 2 = 0$,जो $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ में सरल हो जाता है।
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ है।
बिंदु $z = -1-2i$ हर को शून्य बनाता है,इसलिए इसे बिंदुपथ से बाहर रखा गया है।
केंद्र $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ रेखा $x+y+1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$ को संतुष्ट करता है।

(A) माना $z_1 = 3-2i$ और $z_2 = -2+3i$ है। दिया गया समीकरण $\operatorname{Arg}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \frac{\pi}{4}$ है।
यह एक वृत्त का चाप दर्शाता है जो $z_1$ और $z_2$ से होकर गुजरता है।
गणना करने पर,बिंदुपथ एक वृत्त है जिसका व्यास $x+y=12$ रेखा से संबंधित है।

(C) दिया गया समीकरण $2|z - (2 + 3i)| = 3|z - (2 - i)|$ है।
माना $z = x + iy$ है। तब $z - (2 + 3i) = (x - 2) + i(y - 3)$ और $z - (2 - i) = (x - 2) + i(y + 1)$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4|z - (2 + 3i)|^2 = 9|z - (2 - i)|^2$ प्राप्त होता है।
$4((x - 2)^2 + (y - 3)^2) = 9((x - 2)^2 + (y + 1)^2)$।
$4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) = 9(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1)$।
$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 24y + 36 = 9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 + 18y + 9$।
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $5x^2 + 5y^2 - 20x + 42y + 3 = 0$।
$5$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 - 4x + \frac{42}{5}y + \frac{3}{5} = 0$।
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ का केंद्र $(-g, -f)$ होता है।
यहाँ,$2g = -4 \implies g = -2$ और $2f = \frac{42}{5} \implies f = \frac{21}{5}$ है।
अतः,केंद्र $(2, -\frac{21}{5})$ है।

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1) + iy}{x + i(y-1)}$ है।
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1) + iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए: $x(x-1) + y(y-1) = 0$।
यह $x^2 - x + y^2 - y = 0$ या $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
इसे वृत्त के समीकरण $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{2}$,$\beta = \frac{1}{2}$,और $r^2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1/2}{1/2} + \frac{1/2}{1/2} = 1 + 1 = 2$ है।
चूंकि $r^2 = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $2 = 4r^2$ है। अतः,सही विकल्प $4r^2$ है।

(B) माना $a, b, c$ भुजाओं $BC, AC, AB$ की लंबाई हैं।
दिया गया है $|z_1-z_2| = c = \sqrt{25-12\sqrt{3}}$.
दिया गया है $\frac{|z_1-z_3|}{|z_2-z_3|} = \frac{b}{a} = \frac{3}{4}$,अतः $b = \frac{3}{4}a$.
त्रिभुज $ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(30^{\circ})$
$25-12\sqrt{3} = a^2 + (\frac{3}{4}a)^2 - 2a(\frac{3}{4}a)(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$25-12\sqrt{3} = a^2(\frac{25-12\sqrt{3}}{16})$
अतः,$a^2 = 16$,जिससे $a = 4$.
तब $b = \frac{3}{4}(4) = 3$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}ab \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}(4)(3)(\frac{1}{2}) = 3$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया है कि $|z|=1$,हम $z = x + iy$ लिख सकते हैं जहाँ $x^2 + y^2 = 1$ है।
तब,$\frac{1+z^2}{2iz} = \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{z} + z\right)$।
चूँकि $|z|=1$,हमारे पास $\frac{1}{z} = \bar{z} = x - iy$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2i} (x - iy + x + iy) = \frac{1}{2i} (2x) = \frac{x}{i} = -ix$।
अतः,$\frac{1+z^2}{2iz} = -ix$।
काल्पनिक भाग लेने पर,$a = \operatorname{Im}(-ix) = -x$।
चूँकि $x = \operatorname{Re}(z)$,हमारे पास $a = -\operatorname{Re}(z)$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(3+4i)^{2025} = 5^{2023}(x+iy)$ है।
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर,$|(3+4i)^{2025}| = |5^{2023}(x+iy)|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|z^n| = |z|^n$,इसलिए $|3+4i|^{2025} = 5^{2023} \cdot |x+iy|$ होगा।
हम जानते हैं कि $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$5^{2025} = 5^{2023} \cdot \sqrt{x^2+y^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $5^{2023}$ से विभाजित करने पर,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{5^{2025}}{5^{2023}} = 5^{2025-2023} = 5^2 = 25$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $z = x + iy$ और $x^2 + y^2 = 1$।
हम जानते हैं कि $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1$,इसलिए $z\bar{z} = 1$,जिसका अर्थ है $\bar{z} = \frac{1}{z}$।
व्यंजक $E = \frac{1 + x + iy}{1 + x - iy}$ पर विचार करें।
$x + iy = z$ और $x - iy = \bar{z}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1 + z}{1 + \bar{z}}$।
चूंकि $\bar{z} = \frac{1}{z}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{1 + z}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{1 + z}{\frac{z + 1}{z}}$।
$E = \frac{(1 + z) \cdot z}{z + 1} = z$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$. चूँकि $|z| = 1$, हमारे पास $x^2 + y^2 = 1$ है।
$z = 1 - \bar{z}$ से, हमें $x + iy = 1 - (x - iy) = 1 - x + iy$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर, $x = 1 - x$, जिसका अर्थ है $2x = 1$, इसलिए $x = \frac{1}{2}$.
चूँकि $x^2 + y^2 = 1$, हमारे पास $(\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$ है, इसलिए $y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$\operatorname{Im}(z) > 0$ दिया गया है, इसलिए $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः, $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $z$ का एक काल्पनिक भाग है, कथन-$I$ असत्य है।
$z$ का कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः, कथन-$II$ सत्य है।

(D) दिया गया है $|a \omega_1 + b \omega_2| = |a \omega_1 - b \omega_2|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a \omega_1 + b \omega_2|^2 = |a \omega_1 - b \omega_2|^2$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$(a \omega_1 + b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 + b \bar{\omega}_2) = (a \omega_1 - b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 - b \bar{\omega}_2)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $a^2 |\omega_1|^2 + ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2 = a^2 |\omega_1|^2 - ab \omega_1 \bar{\omega}_2 - ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2$.
समान पदों $a^2 |\omega_1|^2$ और $b^2 |\omega_2|^2$ को हटाने पर,$2ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + 2ab \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b \neq 0$,इसलिए $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$.
इसका अर्थ है $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \overline{\omega_1 \bar{\omega}_2} = 0$.
मान लीजिए $z = \frac{\omega_1}{\omega_2}$. तब $\omega_1 = z \omega_2$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$z \omega_2 \bar{\omega}_2 + \bar{z} \bar{\omega}_2 \omega_2 = 0$.
चूंकि $\omega_2 \neq 0$,इसलिए $|\omega_2|^2 \neq 0$,अतः $z + \bar{z} = 0$.
इसका अर्थ है $2 \text{Re}(z) = 0$,इसलिए $\text{Re}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) = 0$.
अतः,$\frac{\omega_1}{\omega_2}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।

(C) $INCONVENIENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं। कम से कम एक अक्षर की पुनरावृत्ति वाले पाँच अक्षरों के शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल शब्दों में से उन शब्दों की संख्या घटाते हैं जिनमें सभी अक्षर भिन्न होते हैं। गणना के अनुसार सही उत्तर $3265$ है।

(B) $PERFECTION$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $P, E, R, F, E, C, T, I, O, N$.
स्वर $E, E, I, O$ हैं ($4$ स्वर)।
व्यंजन $P, R, F, C, T, N$ हैं ($6$ व्यंजन)।
किन्हीं भी दो स्वरों के बीच ठीक दो व्यंजन होने की व्यवस्था के तरीकों की संख्या $3! \times 6!$ है।

(C) $COMBINATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं। $C$ और $N$ को अंत में रखने के $2$ तरीके हैं। मध्य स्थिति में स्वर न आने वाले कुल शब्दों की संख्या $2(8!)$ है।

(B) फलों की कुल संख्या = $3 \times 12 = 36$।
व्यक्तियों की संख्या = $9$।
प्रत्येक व्यक्ति को समान संख्या में फल मिलते हैं,इसलिए प्रत्येक को $\frac{36}{9} = 4$ फल मिलते हैं।
$36$ अलग-अलग फलों को $9$ समूहों में,प्रत्येक समूह में $4$ फल के रूप में वितरित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{36!}{4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4!} = \frac{36!}{(4!)^9}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $LETTER$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $E, E, L, R, T, T$। अक्षरों की आवृत्ति $E: 2, L: 1, R: 1, T: 2$ है।
शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने पर,$TETLER$ का रैंक $141$ प्राप्त होता है।

(A) उपलब्ध अंक ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ हैं। एक $5$-अंकीय संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती।
$1$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$।
$1, 2, 3, 5$ से शुरू होने वाली कुल संख्याएँ $120 \times 4 = 480$ हैं।
अब,$7$ से शुरू होने वाली संख्याओं पर विचार करें:
$70123, 70125, 70132, 70135, 70152, 70153, 70213, 70215, 70231, 70235, 70251, 70253, 70312, 70315, 70321, 70325, 70351, 70352, 70512, 70513$।
इनकी गणना करने पर,$70513$ संख्या $7$ से शुरू होने वाली $20$वीं संख्या है।
रैंक $= 480 + 20 = 500$।

(D) दिया गया समीकरण ${}^{27}P_{r+7} = 7722 \times {}^{25}P_{r+4}$ है।
सूत्र ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{27!}{(27-(r+7))!} = 7722 \times \frac{25!}{(25-(r+4))!}$
$\frac{27!}{(20-r)!} = 7722 \times \frac{25!}{(21-r)!}$
$\frac{27 \times 26 \times 25!}{(20-r)!} = 7722 \times \frac{25!}{(21-r)(20-r)!}$
$27 \times 26 = \frac{7722}{21-r}$
$702 = \frac{7722}{21-r}$
$21-r = \frac{7722}{702} = 11$
$r = 21 - 11 = 10$.
अतः,$r = 10$।

(D) शब्द $ASSIGNMENT$ में $10$ अक्षर हैं: $A, S, S, I, G, N, M, E, N, T$। भिन्न अक्षर $\{A, S, I, G, N, M, E, T\}$ ($8$ अक्षर) हैं और पुनरावृत्त अक्षर $S$ (दो बार) और $N$ (दो बार) हैं।
स्थिति $1$: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
$8$ में से $4$ अक्षर चुनने के तरीके $\binom{8}{4} = 70$। व्यवस्थाओं की संख्या $70 \times 4! = 1680$।
स्थिति $2$: $2$ अक्षर समान और $2$ भिन्न हों।
$S$ या $N$ का जोड़ा ($2$ विकल्प)। शेष $7$ में से $2$ अक्षर चुनें: $\binom{7}{2} = 21$। व्यवस्थाएं: $2 \times 21 \times \frac{4!}{2!} = 504$।
स्थिति $3$: $2$ समान अक्षरों के जोड़े हों।
जोड़े $S$ और $N$ हैं ($1$ विकल्प)। व्यवस्थाएं: $\frac{4!}{2!2!} = 6$।
कुल शब्द = $1680 + 504 + 6 = 2190$।

(B) चरण $1$: $8$ में से $4$ छात्रों को मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए चुनें। उन्हें चुनने के तरीकों की संख्या $^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ है।
चरण $2$: इन $4$ छात्रों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। वृत्ताकार व्यवस्थाओं की संख्या $(4-1)! = 3! = 6$ है।
चरण $3$: शेष $4$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। रैखिक व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या इन मानों का गुणनफल है: $70 \times 6 \times 24 = 420 \times 24 = 10080$।

(C) समुच्चय $\{1, 2, 3, 5, 8\}$ से $4$ अलग-अलग अंकों को चुनने के तरीकों की संख्या $^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ है।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर समान संख्या में आता है।
चूँकि $5$ अंक हैं और हम $4$ चुनते हैं,प्रत्येक अंक एक विशिष्ट स्थान पर $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ बार आता है।
अंकों का योग $S = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 19$ है।
किसी भी एक स्थान पर अंकों का योग $24 \times 19 = 456$ है।
ऐसी सभी संख्याओं का योग $456 \times (1 + 10 + 100 + 1000) = 456 \times 1111 = 506616$ है।

(D) '$AGAIN$' शब्द में $5$ अक्षर हैं: $A, A, G, I, N$. कुल क्रमचय की संख्या $\frac{5!}{2!} = 60$ है।
शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, A, G, I, N$।
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, G, I, N$ हैं। क्रमचय = $4! = 24$।
$2$. $G$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, A, I, N$ हैं। क्रमचय = $\frac{4!}{2!} = 12$। कुल = $24 + 12 = 36$।
$3$. $I$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, A, G, N$ हैं। क्रमचय = $\frac{4!}{2!} = 12$। कुल = $36 + 12 = 48$।
$4$. $N$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $NAAIG$ $49^{th}$ शब्द है।
- $NAAGI$ $50^{th}$ शब्द है।

(C) $10000$ से कम ऐसी धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ ज्ञात करने के लिए जिनमें अंक $5$ कम से कम एक बार आता है,हम पूरक विधि का उपयोग करते हैं।
$10000$ से कम कुल धनात्मक पूर्णांक $9999$ हैं।
हम उन पूर्णांकों की गणना करते हैं जिनमें अंक $5$ बिल्कुल नहीं आता है।
इन पूर्णांकों को $d_1 d_2 d_3 d_4$ के रूप में दर्शाया जा सकता है जहाँ प्रत्येक अंक $d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ है।
प्रत्येक स्थान के लिए $9$ विकल्प हैं ($5$ को छोड़कर)।
$4$-अंकीय निरूपण के लिए ($1000$ से छोटी संख्याओं के लिए अग्रणी शून्य सहित),कुल $9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6561$ संयोजन हैं।
चूंकि हम धनात्मक पूर्णांकों की तलाश कर रहे हैं,इसलिए हम उस स्थिति को बाहर कर देते हैं जहाँ सभी अंक $0$ $(0000)$ हैं,अतः $6561 - 1 = 6560$ ऐसे पूर्णांक हैं जिनमें अंक $5$ नहीं है।
कम से कम एक $5$ वाले पूर्णांकों की संख्या $9999 - 6560 = 3439$ है।

(C) हमारे पास $4$ विवाहित जोड़े हैं,जिसका अर्थ है $4$ पुरुष और $4$ महिलाएँ। हमें $4$ व्यक्तियों का चयन इस प्रकार करना है कि कोई भी विवाहित जोड़ा शामिल न हो।
सबसे पहले,हम $4$ उपलब्ध जोड़ों में से $4$ जोड़ों का चयन करते हैं,जिसे $\binom{4}{4} = 1$ तरीके से किया जा सकता है।
इन $4$ चयनित जोड़ों में से,हमें प्रत्येक जोड़े से $1$ व्यक्ति का चयन इस प्रकार करना है कि हमारे पास कुल $4$ व्यक्ति हों। चूँकि प्रत्येक जोड़े में $2$ विकल्प होते हैं (पति या पत्नी),$4$ व्यक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $16$ है।

(D) '$CURVE$' शब्द में $5$ अलग अक्षर हैं: $C, U, R, V, E$।
कम से कम $2$ अक्षर लेकर बनाए गए शब्दों की संख्या:
$r=2$ के लिए: $P(5, 2) = 20$।
$r=3$ के लिए: $P(5, 3) = 60$।
$r=4$ के लिए: $P(5, 4) = 120$।
$r=5$ के लिए: $P(5, 5) = 120$।
कुल शब्दों की संख्या = $20 + 60 + 120 + 120 = 320$।
$3$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $60$ है।
प्रायिकता = $\frac{60}{320} = \frac{3}{16}$।

(B) $6000$ से बड़ी पूर्णांक संख्या बनाने के लिए,हम $4$-अंकीय या $5$-अंकीय संख्याएँ बना सकते हैं।
स्थिति $1$: $6000$ से बड़ी $4$-अंकीय संख्याएँ।
पहला अंक $6, 7, 8,$ या $9$ हो सकता है ($4$ विकल्प)।
शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $= 4 \times 60 = 240$।
स्थिति $2$: $5$-अंकीय संख्याएँ।
इन अंकों का उपयोग करके बनने वाली सभी $5$-अंकीय संख्याएँ $6000$ से बड़ी होती हैं।
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता ($5$ विकल्प)।
शेष $4$ स्थानों के लिए $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ तरीके।
कुल $5$-अंकीय संख्याएँ $= 5 \times 120 = 600$।
कुल संख्याएँ $= 240 + 600 = 840$।

(C) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $9$ से विभाज्य है, तो वह संख्या $9$ से विभाज्य होती है। $0$ से $9$ तक के सभी अंकों का योग $45$ है। हमें $8$ अंक इस प्रकार चुनने हैं कि उनका योग $9$ से विभाज्य हो। मान लीजिए कि छोड़े गए दो अंक $x$ और $y$ हैं। तो $45 - (x + y)$ को $9$ से विभाज्य होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $(x + y)$ का मान $0, 9$ या $18$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि छोड़ी गई जोड़ी $(0, 9)$ है, तो शेष $8$ अंक $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ हैं। क्रमचय की संख्या $= 8! = 8 \times 7!$।
स्थिति $2$: यदि छोड़ी गई जोड़ी $(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)$ में से एक है, तो शेष $8$ अंकों में $0$ शामिल है। पहले स्थान पर $0$ नहीं आ सकता, इसलिए तरीके $= 7 \times 7!$।
कुल तरीके $= 8 \times 7! + 4 \times (7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$।

(A) "$MATHEMATICS$" शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
इसमें $3$ समान अक्षरों के जोड़े हैं: $(M, M), (A, A), (T, T)$ और $5$ अलग अक्षर हैं: $H, E, I, C, S$.
$4$ अक्षरों की श्रृंखला बनाने के लिए जिसमें दो अक्षर समान और दो अलग हों:
$1$. $3$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनें: $^3C_1 = 3$ तरीके।
$2$. शेष $7$ प्रकार के अक्षरों में से $2$ अलग अक्षर चुनें: $^7C_2 = 21$ तरीके।
$3$. इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके: $\frac{4!}{2!} = 12$ तरीके।
कुल तरीके = $3 \times 21 \times 12 = 756$.

(C) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \dots, 50\}$ से ऐसा क्रमित युग्म $(p, q)$ बनाने के लिए कि $p > q$ हो,हमें $50$ उपलब्ध संख्याओं में से $2$ अलग-अलग संख्याएँ चुननी होंगी।
मान लीजिए चुनी गई संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x < y$ है।
ऐसे किसी भी युग्म के लिए,उन्हें $p$ और $q$ को इस प्रकार निर्दिष्ट करने का केवल एक ही तरीका है कि $p > q$ हो,जो $p = y$ और $q = x$ है।
$50$ में से $2$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $\binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 50$ और $r = 2$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 25 \times 49 = 1225$.

(A) मान लीजिए $T$ शिक्षकों की संख्या है,$F$ पिताओं की संख्या है और $S$ छात्रों की संख्या है। हमें $7$ सदस्यों का चयन इस प्रकार करना है कि $T \ge 1, F \ge 1, S \ge 1$ और $T > F+S$ हो।
चूंकि $T+F+S = 7$,स्थिति $T > F+S$ का अर्थ है $T > 7-T$,इसलिए $2T > 7$,जिसका अर्थ है $T \ge 4$।
स्थिति $1$: $T=4$. तब $F+S=3$. संभावित $(F, S)$ जोड़े $(1, 2)$ और $(2, 1)$ हैं।
तरीकों की संख्या = $\binom{6}{4} \times [\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} + \binom{5}{2} \times \binom{4}{1}] = 15 \times [5 \times 6 + 10 \times 4] = 15 \times [30 + 40] = 15 \times 70 = 1050$।
स्थिति $2$: $T=5$. तब $F+S=2$. संभावित $(F, S)$ जोड़ा $(1, 1)$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{6}{5} \times [\binom{5}{1} \times \binom{4}{1}] = 6 \times [5 \times 4] = 6 \times 20 = 120$।
स्थिति $3$: $T=6$. तब $F+S=1$. यह संभव नहीं है क्योंकि $F \ge 1$ और $S \ge 1$ का अर्थ है $F+S \ge 2$।
कुल तरीके = $1050 + 120 = 1170$।

(D) माना $I = \int [\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x)] dx$.
सर्वसमिका $\operatorname{Tan}^{-1} a + \operatorname{Tan}^{-1} b = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(1-x+x^2) + (1-x)}{1 - (1-x+x^2)(1-x)} \right)$
$= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2-2x+x^2}{1 - (1 - x + x^2 - x + x^2 - x^3)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2-2x+x^2}{x(1-x)^2} \right)$.
इस व्यंजक का समाकलन करने पर हमें $x \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{3}{4} \log(1+x^2) + c$ प्राप्त होता है,जिसे $x \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{3}{4} \log \sqrt{1+x^2} + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \log \sqrt{5}$.
परिभाषा $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\frac{1}{2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \log \sqrt{5} = \frac{1}{2} \log 5$.
अतः,$\frac{1+x}{1-x} = 5 \implies 1+x = 5-5x \implies 6x = 4 \implies x = \frac{2}{3}$.
दिया गया है $\operatorname{Coth}^{-1} y = \log \sqrt{5}$.
परिभाषा $\operatorname{Coth}^{-1} y = \frac{1}{2} \log \left( \frac{y+1}{y-1} \right)$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\frac{1}{2} \log \left( \frac{y+1}{y-1} \right) = \frac{1}{2} \log 5$.
अतः,$\frac{y+1}{y-1} = 5 \implies y+1 = 5y-5 \implies 4y = 6 \implies y = \frac{3}{2}$.
अब,$xy = \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{3}{2} \right) = 1$.
इसलिए,$\operatorname{Tan}^{-1}(xy) = \operatorname{Tan}^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) $f^{-1}(x)$ के अस्तित्व के लिए,फलन $f(x)$ को एकैकी और आच्छादक (bijection) होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = 2 + |\sin^{-1} x|$।
$\sin^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$f(x) = 2 - \sin^{-1} x$,जो एक ह्रासमान फलन है।
$x \in [0, 1]$ के लिए,$f(x) = 2 + \sin^{-1} x$,जो एक वर्धमान फलन है।
चूंकि फलन $[-1, 0]$ पर घटता है और $[0, 1]$ पर बढ़ता है,इसलिए यह $[-1, 1]$ अंतराल पर एकैकी नहीं है।
अतः,$f(x)$ अपने पूरे प्रांत $[-1, 1]$ पर व्युत्क्रमणीय नहीं है।

(B) दिया गया है $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
$|x| > 1$ के लिए,हम $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं। चूंकि $x=2 > 1$,हम सर्वसमिका $\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \pi - 2\tan^{-1}(x)$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$y = \pi - 2\tan^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
पुनः अवकलन करने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = -2 \cdot (-1)(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{4x}{(1+x^2)^2}$.
$x=2$ पर,$k = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_{x=2} = \frac{4(2)}{(1+2^2)^2} = \frac{8}{25}$.
इसलिए,$25k = 25 \cdot \frac{8}{25} = 8$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$8 = (-2)^3$ प्राप्त होता है।

(D) माना $x = \cos \theta$. तब $f(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{2\cos^2 \theta - 1}\right) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{\cos 2\theta}\right) = \operatorname{Sec}^{-1}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$.
अतः,$\frac{df}{dx} = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.
अब,माना $x = \tan \phi$. तब $g(x) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \phi}-1}{\tan \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sec \phi - 1}{\tan \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1-\cos \phi}{\sin \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\tan \frac{\phi}{2}\right) = \frac{\phi}{2} = \frac{1}{2}\tan^{-1}x$.
अतः,$\frac{dg}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$.
$g(x)$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलज $\frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{1/(2(1+x^2))} = -\frac{4(1+x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$ है।

(D) दिया गया है कि $\operatorname{Sinh}^{-1}(2)+\operatorname{Sinh}^{-1}(3)=\alpha$ है।
दोनों पक्षों में $\sinh$ लेने पर,हमें $\sinh(\operatorname{Sinh}^{-1}(2)+\operatorname{Sinh}^{-1}(3))=\sinh \alpha$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $x=\operatorname{Sinh}^{-1}(2)$ और $y=\operatorname{Sinh}^{-1}(3)$,इसलिए $\sinh x=2$ और $\sinh y=3$ है।
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1+\sinh^2 x} = \sqrt{1+2^2} = \sqrt{5}$ है।
इसी प्रकार,$\cosh y = \sqrt{1+\sinh^2 y} = \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}$ है।
सर्वसमिका $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh \alpha = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y = (2)(\sqrt{10}) + (\sqrt{5})(3) = 2 \sqrt{10} + 3 \sqrt{5}$.

(B) माना $u = \sqrt{x^2-1}$ है। तो $y = \operatorname{Tan}^{-1}(u) + \operatorname{Sinh}^{-1}(u)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ है।
सबसे पहले,$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\operatorname{Tan}^{-1} u) + \frac{d}{du}(\operatorname{Sinh}^{-1} u) = \frac{1}{1+u^2} + \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$ है।
$u^2 = x^2-1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+(x^2-1)} + \frac{1}{\sqrt{1+(x^2-1)}} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{1+x}{x^2}$ है।
अब,$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{1+x}{x^2}\right) \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\right) = \frac{1+x}{x \sqrt{x^2-1}}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) + \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$.
अवकलन के सूत्र $\frac{d}{dx}(\operatorname{Tan}^{-1}(f(x))) = \frac{f'(x)}{1 + (f(x))^2}$ का उपयोग करते हुए.
माना $u = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$,तो $x=0$ पर $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) \Big|_{x=0} = \frac{(3 - 3x^2)(1 - 3x^2) - (3x - x^3)(-6x)}{(1 - 3x^2)^2} \Big|_{x=0} = 3$.
माना $v = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$,तो $x=0$ पर $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right) \Big|_{x=0} = \frac{7(1 - 12x^2) - 7x(-24x)}{(1 - 12x^2)^2} \Big|_{x=0} = 7$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 3 + 7 = 10$.

(D) $f(x)$ के वास्तविक मान वाला फलन होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $\frac{[x]-1}{[x]^2-[x]-6} \ge 0$.
माना $n = [x]$. तब $\frac{n-1}{n^2-n-6} \ge 0$,जो $\frac{n-1}{(n-3)(n+2)} \ge 0$ में सरल हो जाता है।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,असमिका $n \in (-2, 1] \cup (3, \infty)$ के लिए सत्य है।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक है $(n = [x])$,$n$ के संभावित मान $\{-1, 0, 1, 4, 5, 6, \dots\}$ हैं।
यदि $n = -1$,तो $-1 \le x < 0$.
यदि $n = 0$,तो $0 \le x < 1$.
यदि $n = 1$,तो $1 \le x < 2$.
इन सबको मिलाने पर,हमें $[-1, 2)$ प्राप्त होता है।
यदि $n \ge 4$,तो $x \ge 4$.
अतः,डोमेन $[-1, 2) \cup [4, \infty)$ है।

(C) फलन $f(x) = \log(x^2 - 1) + x \operatorname{coth}^{-1} x$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $x^2 > 1$,अतः $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।
$2$. प्रतिलोम अतिपरवलयिक कोटैंजेंट फलन $\operatorname{coth}^{-1} x$,$|x| > 1$ के लिए परिभाषित है,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ प्राप्त होता है,जिसे $R - [-1, 1]$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{|x|-2}{|x|-3}}$ के सुपरिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणेतर होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
अतः,$\frac{|x|-2}{|x|-3} \geq 0$ और $|x|-3 \neq 0$.
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$. असमिका $\frac{t-2}{t-3} \geq 0$ हो जाती है।
क्रांतिक बिंदु $t=2$ और $t=3$ हैं।
$t$ के लिए अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$) यदि $0 \leq t < 2$,तो $\frac{t-2}{t-3} > 0$.
$2$) यदि $2 \leq t < 3$,तो $\frac{t-2}{t-3} \leq 0$.
$3$) यदि $t > 3$,तो $\frac{t-2}{t-3} > 0$.
इस प्रकार,$t$ के लिए हल $0 \leq t \leq 2$ या $t > 3$ है।
$|x| = t$ वापस रखने पर,हमें $0 \leq |x| \leq 2$ या $|x| > 3$ प्राप्त होता है।
$|x| \leq 2 \implies x \in [-2, 2]$.
$|x| > 3 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $3[2x - 2] + 1 = 2[2x - 1] - 1$ है।
गुणधर्म $[t - m] = [t] - m$ का उपयोग करने पर,$[2x - 2] = [2x] - 2$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $3([2x] - 2) + 1 = 2([2x] - 1) - 1$.
$3[2x] - 6 + 1 = 2[2x] - 2 - 1$.
$3[2x] - 5 = 2[2x] - 3$.
$[2x] = 2$.
इसका अर्थ है $2 \le 2x < 3$,अतः $1 \le x < 1.5$.
अब,$k = 2[2x - 1] - 1 = 2([2x] - 1) - 1 = 2(2 - 1) - 1 = 2(1) - 1 = 1$.
अतः $f(x) = [k + 5x] = [1 + 5x]$.
चूंकि $1 \le x < 1.5$,इसलिए $5 \le 5x < 7.5$ प्राप्त होता है।
$1$ जोड़ने पर,$6 \le 1 + 5x < 8.5$ प्राप्त होता है।
$[1 + 5x]$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{6, 7, 8\}$ हैं।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\log_e\left(\frac{1}{(x-2)^2}\right)} + \sin^{-1}(x^2-2)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए: $\log_e\left(\frac{1}{(x-2)^2}\right) \ge 0$.
इसका अर्थ है $\frac{1}{(x-2)^2} \ge 1$,अतः $(x-2)^2 \le 1$,जिसका अर्थ है $|x-2| \le 1$,जिससे $1 \le x \le 3$ प्राप्त होता है। चूँकि $x \neq 2$,प्रांत $[1, 2) \cup (2, 3]$ है।
$2$. $\sin^{-1}$ के अंदर का मान $[-1, 1]$ में होना चाहिए: $-1 \le x^2-2 \le 1$.
इसका अर्थ है $1 \le x^2 \le 3$,अतः $x \in [-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}]$.
$3$. दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $[1, 2) \cup (2, 3] \cap ([-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}])$.
परिणामस्वरूप $[1, \sqrt{3}]$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x) = \frac{3}{4-x^2} + \log_{10}(x^3-x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^3-x > 0$.
गुणनखंड करने पर: $x(x^2-1) > 0 \implies x(x-1)(x+1) > 0$.
क्रांतिक बिंदुओं $x = -1, 0, 1$ के लिए वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर:
असमिका $x(x-1)(x+1) > 0$ का मान $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ के लिए सत्य है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ और $x \neq \pm 2$.
चूंकि $x \neq 2$ और $x \neq -2$,इसलिए हम अंतराल $(1, \infty)$ से $2$ को हटा देंगे।
अतः,प्रांत $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \cos x - 3$ है।
चूंकि $\cos x$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है,इसलिए $f(x)$ का प्रांत $R$ है।
हम जानते हैं कि $\cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
अतः,$-1 \leq \cos x \leq 1$.
सभी भागों से $3$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-1 - 3 \leq \cos x - 3 \leq 1 - 3$.
$-4 \leq f(x) \leq -2$.
इस प्रकार,परिसर $[-4, -2]$ है।
अतः,प्रांत $R$ है और परिसर $[-4, -2]$ है।

(C) फलन $f(x)$ का परिसर $B$ ज्ञात करने के लिए,हम दो अंतरालों में फलन का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $-1 \leq x \leq 1$ के लिए,$f(x) = 1-x$. जैसे-जैसे $x$,$-1$ से $1$ तक बदलता है,$f(x)$,$1-(-1) = 2$ से $1-1 = 0$ तक बदलता है। अतः,परिसर $[0, 2]$ है।
$2$. $1 < x \leq 2$ के लिए,$f(x) = x-1$. जैसे-जैसे $x$,$1$ से $2$ तक बदलता है,$f(x)$,$1-1 = 0$ से $2-1 = 1$ तक बदलता है। अतः,परिसर $(0, 1]$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,फलन का कुल परिसर $[0, 2] \cup (0, 1] = [0, 2]$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन एक आच्छादक है,इसलिए सह-प्रांत $B$ परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$B = [0, 2]$.

(A) फलन $f(x) = -3x - 3$ द्वारा दिया गया है।
प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = y$ रखते हैं और $x$ के लिए हल करते हैं:
$y = -3x - 3$
$y + 3 = -3x$
$x = \frac{y + 3}{-3} = -\frac{y}{3} - 1$.
दिए गए परिसर के मानों $y \in \{3, -6, -9, -18\}$ के लिए,हम संगत प्रांत के मान $x$ की गणना करते हैं:
$y = 3$ के लिए,$x = -\frac{3}{3} - 1 = -2$.
$y = -6$ के लिए,$x = -\frac{-6}{3} - 1 = 1$.
$y = -9$ के लिए,$x = -\frac{-9}{3} - 1 = 2$.
$y = -18$ के लिए,$x = -\frac{-18}{3} - 1 = 5$.
प्रांत $\{-2, 1, 2, 5\}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-1$ प्रांत में नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \cos x + \sqrt{3} \sin x - 1$ है।
हम व्यंजक को $f(x) = 2(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) - 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(x + \frac{\pi}{6})$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $2 \times [-1, 1] - 1 = [-2, 1] - 1 = [-3, 1]$ होगा।
फलन $f$ के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत $A$ को फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$A = [-3, 1]$।

(A) दिए गए फलन $f(x) = 2x - 3$ और $g(x) = 5x^2 - 2$ हैं।
हमें संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करना है।
$f(x)$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ f)(x) = g(2x - 3) = 5(2x - 3)^2 - 2$.
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(2x - 3)^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $(2x - 3)^2$ का न्यूनतम मान $0$ है जब $2x - 3 = 0$,अर्थात $x = 3/2$ हो।
अतः,$(g \circ f)(x)$ का न्यूनतम मान $5(0) - 2 = -2$ है।

(A) दिया गया है $g(x) = 1 + x - [x]$.
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित है।
अतः,$g(x) = 1 + \{x\}$.
चूंकि $0 \le \{x\} < 1$,इसलिए $1 \le g(x) < 2$ होता है।
किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$g(x)$ हमेशा $0$ से बड़ा होता है।
अब,फलन $f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$ पर विचार करें।
चूंकि सभी $x$ के लिए $g(x) > 0$ है,हम $f$ फलन के लिए $x > 0$ वाली शर्त का उपयोग करके $f(g(x))$ का मान ज्ञात करते हैं।
इसलिए,सभी $x$ के लिए $f(g(x)) = 1$ होगा।

(C) दिया गया है $f(x) = x - (-1)^x$ जहाँ $x \in Z$.
स्थिति $1$: यदि $x$ सम है,तो मान लीजिए $x = 2k$ किसी $k \in Z$ के लिए।
तब $f(2k) = 2k - (-1)^{2k} = 2k - 1$.
स्थिति $2$: यदि $x$ विषम है,तो मान लीजिए $x = 2k+1$ किसी $k \in Z$ के लिए।
तब $f(2k+1) = (2k+1) - (-1)^{2k+1} = 2k+1 - (-1) = 2k+2$.
एकैकी के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। यदि $x_1$ सम है और $x_2$ विषम है,तो $2k_1 - 1 = 2k_2 + 2 \implies 2(k_1 - k_2) = 3$,जिसका कोई पूर्णांक हल नहीं है। यदि दोनों सम हैं,तो $2k_1 - 1 = 2k_2 - 1 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$। यदि दोनों विषम हैं,तो $2k_1 + 2 = 2k_2 + 2 \implies k_1 = k_2 \implies x_1 = x_2$। अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक के लिए: परिसर में सभी विषम संख्याएँ (सम इनपुट से) और सभी सम संख्याएँ (विषम इनपुट से) शामिल हैं। चूँकि प्रत्येक पूर्णांक $y \in Z$ या तो सम है या विषम,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(D) कथन-$I$: एक फलन $f: A \rightarrow B$ एकैकी (injective) होता है यदि $A$ के भिन्न अवयवों के $B$ में भिन्न प्रतिबिंब हों। यह परिभाषा $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ के समतुल्य है। दिया गया कथन $f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y$ वास्तव में $x = y \Rightarrow f(x) = f(y)$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है,जो कि फलन की परिभाषा है,न कि एकैकी फलन की। अतः,कथन-$I$ असत्य है।
कथन-$II$: एक संबंध $f: A \rightarrow B$ एक फलन है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो। शर्त $x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$ एक एकैकी फलन को परिभाषित करती है,न कि स्वयं फलन को। एक फलन में अलग-अलग इनपुट के समान आउटपुट हो सकते हैं (बहु-एक)। अतः,कथन-$II$ असत्य है।
इसलिए,दोनों कथन असत्य हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{4-x^2}{4+x^2}$.
$f(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{4-x^2}{4+x^2}$.
$y(4+x^2) = 4-x^2 \implies 4y + yx^2 = 4-x^2 \implies x^2(y+1) = 4-4y$.
$x^2 = \frac{4(1-y)}{1+y}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $\frac{1-y}{1+y} \ge 0$,जिसका अर्थ है $y \in (-1, 1]$.
चूंकि $f$ एकैकी-आच्छादक है,$B$ को $f$ का परिसर होना चाहिए,अतः $B = (-1, 1]$.
$-4 \in A$ दिया गया है,अतः $f(-4) = \frac{4-(-4)^2}{4+(-4)^2} = \frac{4-16}{4+16} = \frac{-12}{20} = -0.6$.
चूंकि $f$ एकैकी-आच्छादक है,$A$ को ऐसा प्रांत होना चाहिए कि फलन एकैकी और आच्छादक हो। यदि $A = [-4, 0]$ लिया जाए,तो $f$ एक $[-4, 0]$ से $(-1, 1]$ तक का एकैकी-आच्छादक फलन है।
अतः $A = [-4, 0]$ और $B = (-1, 1]$.
$A \cap B = [-4, 0] \cap (-1, 1] = (-1, 0]$.

(A) दिया गया है $f(x) = (x+1)^2 - 1$ जहाँ $x \geq -1$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ रखें।
तब $y+1 = (x+1)^2$। चूँकि $x \geq -1$,इसलिए $x+1 = \sqrt{y+1}$,जिससे $x = \sqrt{y+1} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$ है।
समीकरण $f(x) = f^{-1}(x)$ का मान $f(x) = x$ के बराबर है क्योंकि $x \geq -1$ के लिए $f$ एक वर्धमान फलन है।
इसलिए,$(x+1)^2 - 1 = x$।
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x$।
$x^2 + x = 0$।
$x(x+1) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों मान $x \geq -1$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{0, -1\}$ है।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ है।
मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a(x+y)^2 + b(x+y) + c = (ax^2 + bx + c) + (ay^2 + by + c) + xy$.
$a(x^2 + 2xy + y^2) + bx + by + c = ax^2 + ay^2 + bx + by + 2c + xy$.
$xy$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2a = 1$,अतः $a = 1/2$.
अचर पदों की तुलना करने पर,$c = 2c$,अतः $c = 0$.
चूंकि $f(1) = 2$ दिया गया है,हमारे पास $a(1)^2 + b(1) = 2$ है,इसलिए $1/2 + b = 2$,जिससे $b = 3/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x = \frac{x(x+3)}{2}$.
हमें $\sum_{k=1}^{10} f(k) = \sum_{k=1}^{10} (\frac{1}{2}k^2 + \frac{3}{2}k) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{10} k$ की गणना करनी है।
योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$n=10$ के लिए: $\sum k^2 = \frac{10(11)(21)}{6} = 385$ और $\sum k = \frac{10(11)}{2} = 55$.
योग $= \frac{1}{2}(385) + \frac{3}{2}(55) = 192.5 + 82.5 = 275$.

(B) माना $y = \frac{x^2-5x+7}{x^2-5x-7}$.
माना $t = x^2-5x$. तब $y = \frac{t+7}{t-7}$.
चूंकि $x^2-5x = (x-2.5)^2 - 6.25$,$t$ का न्यूनतम मान $-6.25$ है। अतः $t \in [-6.25, \infty)$.
हमें प्राप्त होता है $y = 1 + \frac{14}{t-7}$.
$t \in [-6.25, \infty)$ के लिए,$t-7 \in [-13.25, \infty)$.
जैसे $t \to 7$,$y \to \pm \infty$. फलन $y=1$ को छोड़कर सभी मान ग्रहण करता है।
$t \in [-6.25, 7)$ के लिए,$t-7 \in [-13.25, 0)$,इसलिए $y \in (-\infty, -0.056]$.
इस परिसर में सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक $-1$ है।
$t \in (7, \infty)$ के लिए,$t-7 \in (0, \infty)$,इसलिए $y \in (1, \infty)$.
इस परिसर में सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $2$ है।
योग $-1 + 2 = 1$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\}$।
चूंकि किसी भी पूर्णांक $I$ के लिए $[n + I] = [n] + I$ होता है,इसलिए हमारे पास $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\} = \{x\} + [\frac{x}{1+x^2}] - [\{x\} + [\frac{x}{1+x^2}]] = \{x\}$ है।
अतः,$f(x) = \{x\} = x - [x]$।
अब,$f(\sqrt{2}) = \{\sqrt{2}\} = \sqrt{2} - [\sqrt{2}] = 1.414 - 1 = 0.414$ की गणना करें।
इसके बाद,$f(-\sqrt{3}) = \{-\sqrt{3}\} = -\sqrt{3} - [-\sqrt{3}] = -1.732 - (-2) = -1.732 + 2 = 0.268$ की गणना करें।
इसलिए,$f(\sqrt{2}) + f(-\sqrt{3}) = 0.414 + 0.268 = 0.682$।

(A) किसी फलन के $x = -3$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow -3} f(x) = f(-3)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(-3) = -\frac{5}{2}$।
अब,$\lim_{x \rightarrow -3} \frac{x^2+(a+3)x+(a+1)}{x+3} = -\frac{5}{2}$।
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश का मान $x = -3$ पर $0$ होना चाहिए:
$(-3)^2 + (a+3)(-3) + (a+1) = 0$
$9 - 3a - 9 + a + 1 = 0$
$-2a + 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}$।
$a = \frac{1}{2}$ को अंश में रखने पर: $x^2 + 3.5x + 1.5 = (x+3)(x+0.5)$।
अतः,$\lim_{x \rightarrow -3} \frac{(x+3)(x+0.5)}{x+3} = \lim_{x \rightarrow -3} (x+0.5) = -3 + 0.5 = -2.5 = -\frac{5}{2}$।
यह पुष्टि करता है कि $a = \frac{1}{2}$।
अब,हमें $\lim_{x \rightarrow a} (x^2+x+1) = \lim_{x \rightarrow 1/2} (x^2+x+1) = (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4}$ ज्ञात करना है।

(A) अंतराल $(-1, 1)$ में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करते हैं:
$A$. $f(x) = x|x|$। यह $x \ge 0$ के लिए $x^2$ और $x < 0$ के लिए $-x^2$ है। यह हर जगह अवकलनीय है,$x=0$ सहित $(f'(0)=0)$। अतः,$A-III$।
$B$. $f(x) = \sqrt{|x|}$। यह $x \ge 0$ के लिए $\sqrt{x}$ और $x < 0$ के लिए $\sqrt{-x}$ है। यह $x=0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है क्योंकि जैसे $x \to 0$,अवकलज $\infty$ की ओर जाता है। यह $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है। अतः,$B-V$।
$C$. $f(x) = x + [x]$। $(-1, 1)$ में,$x \in [-1, 0)$ के लिए $[x] = -1$ और $x \in [0, 1)$ के लिए $[x] = 0$ है। अतः $x \in [-1, 0)$ के लिए $f(x) = x-1$ और $x \in [0, 1)$ के लिए $f(x) = x$ है। यह $x=0$ को छोड़कर हर जगह सतत है। अतः,$C-II$।
$D$. $f(x) = |x-1| + |x+1| + |x|$। $(-1, 1)$ में,यह $(1-x) + (x+1) + |x| = 2 + |x|$ है। यह सतत है लेकिन $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। हालाँकि,यह $(-1, 0) \cup (0, 1)$ में अवकलनीय है। अतः,$D-IV$।
सही मिलान: $A-III, B-V, C-II, D-IV$।

(D) एक फलन $f(x)$ बिंदु $x=a$ पर सतत होता है यदि $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) = f(a)$ हो।
दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=p$,$\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=m$,और $f(a)=k$ है।
सांतत्य के लिए,हमारे पास $p = m = k$ होना चाहिए।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: यदि $p-m=0$ है,तो $p=m$ है। यदि $p-k=0$ है,तो $p=k$ है। अतः,$p=m=k$,जो $x=a$ पर सांतत्य की शर्त को पूरा करता है।

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x=0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए,अर्थात $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$.
$1$. $LHL$ की गणना:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$2$. $RHL$ की गणना:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 4+4 = 8$.
चूंकि $LHL$ = $RHL$ = $8$ है,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

(B) फलन $f(x)$ के हर जगह सतत होने के लिए,इसे $x=0$ और $x=2$ पर सतत होना चाहिए।
$x=0$ पर:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1+\cos x) = 1+1 = 2$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a-x) = a-0 = a$.
चूंकि फलन $x=0$ पर सतत है,इसलिए $a = 2$.
$x=2$ पर:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (a-x) = a-2 = 2-2 = 0$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2-b^2) = 4-b^2$.
चूंकि फलन $x=2$ पर सतत है,इसलिए $0 = 4-b^2$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4$.
अतः,$a^2+b^2 = 2^2 + 4 = 4+4 = 8$.

(C) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ बराबर होने चाहिए।
$f(0) = a$.
$LHL$: $\lim_{x \to 0^-} (1+\sin x)^{\operatorname{cosec} x} = \lim_{x \to 0^-} (1+\sin x)^{1/\sin x} = e^1 = e$.
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $a = e$.
$RHL$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{2/x}+e^{3/x}}{a e^{2/x}+b e^{3/x}}$.
अंश और हर को $e^{3/x}$ से विभाजित करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-1/x}+1}{a e^{-1/x}+b} = \frac{0+1}{a(0)+b} = \frac{1}{b}$.
$RHL$ को $f(0)$ के बराबर रखने पर: $\frac{1}{b} = a$.
चूंकि $a = e$,हमारे पास $\frac{1}{b} = e$ है,जिसका अर्थ है $b = \frac{1}{e} = e^{-1}$.
अतः,$ab = e \times e^{-1} = 1$.

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करें:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(e^{ax}-1) \log(1+x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\frac{e^{ax}-1}{ax} \cdot ax) \cdot (\frac{\log(1+x)}{x} \cdot x)}{(\frac{\sin x}{x})^2 \cdot x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax \cdot x}{x^2} = a$.
चूँकि $f(0) = 2$,इसलिए $a = 2$ है।
इसके बाद,बाईं सीमा $(LHL)$ का मूल्यांकन करें:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos 4x - \cos bx}{\tan^2 x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(\frac{4x+bx}{2}) \sin(\frac{4x-bx}{2})}{\tan^2 x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 (\frac{4+b}{2}x) (\frac{4-b}{2}x)}{x^2} = -2 \cdot \frac{16-b^2}{4} = \frac{b^2-16}{2}$.
चूँकि $f(0) = 2$,इसलिए $\frac{b^2-16}{2} = 2$,जिसका अर्थ है $b^2 - 16 = 4$,अतः $b^2 = 20$ है।
अंत में,$\sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{20 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ होना चाहिए।
$1$. बायां सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} e^{\frac{\sin a(x-[x])}{x-[x]}}$। चूंकि $x < 1$,इसलिए $[x] = 0$ होगा। अतः,$\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{\sin ax}{x}} = e^{\sin a}$।
$2$. दायां सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2+x-2|}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{|(x-1)(x+2)|}{x-1}$। चूंकि $x > 1$,इसलिए $(x-1) > 0$ होगा,अतः $|x-1| = x-1$। इस प्रकार,$\lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+2) = 3$।
$3$. $x = 1$ पर मान: $f(1) = b + 1$।
$LHL$,$RHL$ और $f(1)$ की तुलना करने पर:
$e^{\sin a} = 3 \implies \sin a = \ln 3$।
$b + 1 = 3 \implies b = 2$।
अतः,$b \sin a = 2 \ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$।

(D) फलन $f(x)$ के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(-1)$ बराबर होने चाहिए।
$1$. $x = -1$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(-1) = \sin^{-1}[-1] = \sin^{-1}(-1) = -\pi / 2$.
$2$. $x = -1$ पर दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \sin^{-1}[x]$.
चूंकि $x$ दाईं ओर से $-1$ के करीब आता है,$-1 < x < 0$,इसलिए $[x] = -1$.
अतः,$\lim_{x \to -1^+} \sin^{-1}(-1) = -\pi / 2$.
$3$. $x = -1$ पर बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} k([x] + |x|)$.
चूंकि $x$ बाईं ओर से $-1$ के करीब आता है,$x < -1$,इसलिए $[x] = -2$ और $|x| = -x$.
अतः,$\lim_{x \to -1^-} k(-2 - x) = k(-2 - (-1)) = k(-2 + 1) = -k$.
$4$. $LHL$ और $f(-1)$ की तुलना करें:
$-k = -\pi / 2 \implies k = \pi / 2$.

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए,अर्थात $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$।
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16+0}+4 = 4+4 = 8$।
चूँकि $LHL$ = $RHL$ = $8$ है,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

(A) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ $[a, b]$ पर फलन $f(x)$ के लिए तब लागू होता है यदि:
$1$. $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत हो।
$2$. $f(x)$,$(a, b)$ पर अवकलनीय हो।
$[0, 1]$ पर प्रत्येक फलन का विश्लेषण करते हैं:
$I) f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।
$II) f(x) = |3x-1|$,$x = \frac{1}{3} \in (0, 1)$ पर अवकलनीय नहीं है।
$III) f(x) = x|x|$,$[0, 1]$ पर $x^2$ है,जो सतत और अवकलनीय है।
$IV) f(x) = |x|$,$(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
अतः,$III$ और $IV$ सही विकल्प हैं।

(D) $x > 1$ के लिए,$|x| = x$ और $|x - 1| = x - 1$.
अतः $f(x) = (x - (x - 1))^2 = (1)^2 = 1$.
$0 < x < 1$ के लिए,$|x| = x$ और $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
अतः $f(x) = (x - (1 - x))^2 = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
$x = 1$ पर बायां अवकलज $LHD = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{(2(1+h) - 1)^2 - 1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{(2h + 1)^2 - 1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{4h^2 + 4h}{h} = 4$.
$x = 1$ पर दायां अवकलज $RHD = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{1 - 1}{h} = 0$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $x = 1$ पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ अवकलज की मानक परिभाषा है,जो सत्य है।
इसलिए,$(A)$ असत्य है और $(R)$ सत्य है।

(B) $f$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 1$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (a - \frac{\sin [x-1]}{x-1})$।
$x > 1$ और $x$ के $1$ के बहुत करीब होने पर,$0 < x-1 < 1$,इसलिए $[x-1] = 0$।
अतः,$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a - \frac{\sin(0)}{x-1} = a - 0 = a$।
चूंकि $f(1) = 1$,इसलिए $a = 1$ प्राप्त होता है।
अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ पर विचार करें: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (b - [\frac{\sin [x-1] - [x-1]}{([x-1])^3}])$।
$x < 1$ और $x$ के $1$ के बहुत करीब होने पर,$-1 < x-1 < 0$,इसलिए $[x-1] = -1$।
अतः,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = b - [\frac{\sin(-1) - (-1)}{(-1)^3}] = b - [\frac{-\sin(1) + 1}{-1}] = b - [\sin(1) - 1]$।
चूंकि $0 < \sin(1) < 1$,इसलिए $-1 < \sin(1) - 1 < 0$।
अतः सबसे बड़ा पूर्णांक $[\sin(1) - 1] = -1$ होगा।
इसलिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = b - (-1) = b + 1$।
इसे $f(1) = 1$ के बराबर रखने पर,$b + 1 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 0$।
अतः,$a + b = 1 + 0 = 1$।

(D) दिया गया है $y = |\cos x - \sin x| + |\tan x - \cot x|$.
$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$\cos x = \frac{1}{2}$,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan x = \sqrt{3}$,$\cot x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\frac{\pi}{3}$ के पड़ोस में $\cos x < \sin x$ और $\tan x > \cot x$ होने के कारण,$y = -(\cos x - \sin x) + (\tan x - \cot x) = \sin x - \cos x + \tan x - \cot x$ है।
अतः $\frac{dy}{dx} = \cos x + \sin x + \sec^2 x + \csc^2 x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 + \frac{4}{3} = \frac{35+3\sqrt{3}}{6}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin x = \frac{1}{2}$,$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\cot x = \sqrt{3}$.
$\frac{\pi}{6}$ के पड़ोस में $\cos x > \sin x$ और $\tan x < \cot x$ होने के कारण,$y = (\cos x - \sin x) - (\tan x - \cot x) = \cos x - \sin x - \tan x + \cot x$ है।
अतः $\frac{dy}{dx} = -\sin x - \cos x - \sec^2 x - \csc^2 x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{6}} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{3} - 4 = -\frac{35+3\sqrt{3}}{6}$.
दोनों मानों को जोड़ने पर,हमें $\frac{35+3\sqrt{3}}{6} - \frac{35+3\sqrt{3}}{6} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y = \log(\sec(\tan^{-1} x))$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec(\tan^{-1} x)} \cdot \frac{d}{dx}(\sec(\tan^{-1} x))$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(\sec u) = \sec u \tan u \cdot \frac{du}{dx}$.
मान लीजिए $u = \tan^{-1} x$,तो $\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec(\tan^{-1} x)} \cdot \sec(\tan^{-1} x) \tan(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = \tan(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2} = x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(1)^2} = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{\cosh x + y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = \cosh x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\cosh x + y)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2y \frac{dy}{dx} = \sinh x + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sinh x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \sinh x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sinh x}{2y - 1}$।

(C) माना $y = u + v$,जहाँ $u = (\log x)^{1/x}$ और $v = x^{\log x}$ है।
$u$ के लिए दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = \frac{1}{x} \log(\log x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2 \log x} - \frac{\log(\log x)}{x^2}$.
$x=e$ पर,$\log u = \frac{1}{e} \log(\log e) = \frac{1}{e} \log(1) = 0$,इसलिए $u = e^0 = 1$.
अतः,$\frac{du}{dx} = u \left[ \frac{1}{e^2 \log e} - \frac{\log(\log e)}{e^2} \right] = 1 \left[ \frac{1}{e^2} - 0 \right] = \frac{1}{e^2}$.
$v = x^{\log x}$ के लिए,लॉग लेने पर: $\log v = \log x \cdot \log x = (\log x)^2$.
अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$.
$x=e$ पर,$\log v = (\log e)^2 = 1$,इसलिए $v = e^1 = e$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = v \left[ \frac{2 \log e}{e} \right] = e \left[ \frac{2}{e} \right] = 2$.
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = \frac{1}{e^2} + 2$.

(D) दिया गया है $y = \sqrt{\frac{x^4 \sqrt{3x-5}}{(x^2-3)(2x-3)}}$.
$x = 2$ पर,हम $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y = \sqrt{\frac{2^4 \sqrt{3(2)-5}}{(2^2-3)(2(2)-3)}} = \sqrt{\frac{16 \sqrt{1}}{(4-3)(4-3)}} = \sqrt{\frac{16}{1 \times 1}} = \sqrt{16} = 4$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(y) = \frac{1}{2} [4 \ln(x) + \frac{1}{2} \ln(3x-5) - \ln(x^2-3) - \ln(2x-3)]$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} [\frac{4}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3x-5} - \frac{2x}{x^2-3} - \frac{2}{2x-3}]$.
$x = 2$ और $y = 4$ रखने पर:
$\frac{1}{4} \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = \frac{1}{2} [\frac{4}{2} + \frac{3}{2(1)} - \frac{4}{4-3} - \frac{2}{4-3}] = \frac{1}{2} [2 + 1.5 - 4 - 2] = \frac{1}{2} [-2.5] = -1.25$.
अतः,$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 4 \times (-1.25) = -5$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^{\operatorname{Sec}^{-1} x}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log f(x) = \operatorname{Sec}^{-1} x \cdot \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{f(x)} f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (\operatorname{Sec}^{-1} x) \cdot \log x + \operatorname{Sec}^{-1} x \cdot \frac{d}{dx} (\log x)$।
अवकलन सूत्र $\frac{d}{dx} \operatorname{Sec}^{-1} x = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{\log x}{x \sqrt{x^2 - 1}} + \frac{\operatorname{Sec}^{-1} x}{x}$।
अतः,$f^{\prime}(x) = x^{\operatorname{Sec}^{-1} x} \left( \frac{\log x}{x \sqrt{x^2 - 1}} + \frac{\operatorname{Sec}^{-1} x}{x} \right)$।
$x = 2$ पर,$\operatorname{Sec}^{-1} 2 = \frac{\pi}{3}$।
अतः,$f^{\prime}(2) = 2^{\pi / 3} \left( \frac{\log 2}{2 \sqrt{2^2 - 1}} + \frac{\pi / 3}{2} \right) = 2^{\pi / 3} \left( \frac{\log 2}{2 \sqrt{3}} + \frac{\pi}{6} \right)$।
सरल करने पर,$f^{\prime}(2) = 2^{\pi / 3} \left( \frac{\sqrt{3} \log 2}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2^{\pi / 3}}{6} (\pi + \sqrt{3} \log 2)$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
यदि $x \ge 0$,तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1+x}$।
यदि $x < 0$,तो $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{1-x}$।
अब,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$।
$x = 0$ पर,हम बाएँ हाथ के अवकलज और दाएँ हाथ के अवकलज की जाँच करते हैं:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$।
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$।
चूंकि $LHD = RHD = 1$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है।
अतः,अवकलज सभी वास्तविक संख्याओं $x \in (-\infty, \infty)$ के लिए मौजूद है।

(B) दिया गया समीकरण: $5 f(x) + 3 f\left(\frac{1}{x}\right) = x + 2$ $(1)$
समीकरण $(1)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर: $5 f\left(\frac{1}{x}\right) + 3 f(x) = \frac{1}{x} + 2$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $5$ से और $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$25 f(x) + 15 f\left(\frac{1}{x}\right) = 5x + 10$
$9 f(x) + 15 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x} + 6$
दोनों को घटाने पर: $(25 - 9) f(x) = 5x - \frac{3}{x} + 4$
$16 f(x) = 5x - \frac{3}{x} + 4 \implies f(x) = \frac{5x^2 + 4x - 3}{16x}$
दिया है $y = x f(x) = \frac{5x^2 + 4x - 3}{16}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{16} (10x + 4)$
$x = 1$ पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{16} (10(1) + 4) = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$

(C) दिया गया समीकरण $\sin x \sqrt{\cos y} - \cos y \sqrt{\sin x} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sin x \sqrt{\cos y} = \cos y \sqrt{\sin x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\sin^2 x \cos y = \cos^2 y \sin x$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\sin x \neq 0$ और $\cos y \neq 0$,तो $\sin x \cos y$ से भाग देने पर $\frac{\sin x}{\cos y} = \frac{\cos y}{\sin x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin^2 x = \cos^2 y$।
अतः,$\sin x = \cos y$ या $\sin x = -\cos y$।
$\sin x = \cos y$ लेने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{d}{dx}(\cos y)$।
इससे $\cos x = -\sin y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\sin y}$।
चूंकि $\cos y = \sin x$,इसलिए $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos x$।
यह मान रखने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\cos x} = -1$।

(A) दिया गया है $x = 2 \cos^3 \theta$ और $y = 3 \sin^2 \theta$।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cdot 3 \cos^2 \theta \cdot (-\sin \theta) = -6 \cos^2 \theta \sin \theta$।
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \cdot 2 \sin \theta \cdot \cos \theta = 6 \sin \theta \cos \theta$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{6 \sin \theta \cos \theta}{-6 \cos^2 \theta \sin \theta}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\cos \theta} = -\sec \theta$।