अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{x+y+1}{x-3y+5 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y+1}{x-3y+5}$ है।माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। हम $h, k$ को इस प्रकार चुनते हैं कि $h+k+1 = 0$ और

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$3(y-1)^2 - 2(x+2)(y-1) - (x+2)^2 = c$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y+1}{x-3y+5}$ है।माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। हम $h, k$ को इस प्रकार चुनते हैं कि $h+k+1 = 0$ और $h-3k+5 = 0$ हो।इन्हें हल करने पर,हमें $h = -2$ और $k = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$x = X-2$ और $y = Y+1$ है।समीकरण $\frac{dY}{dX} = -\frac{X+Y}{X-3Y}$ बन जाता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $Y = vX$,तो $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$ है।$v + X\frac{dv}{dX} = -\frac{1+v}{1-3v} = \frac{1+v}{3v-1}$ है।$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{3v-1} - v = \frac{1+v-3v^2+v}{3v-1} = \frac{-3v^2+2v+1}{3v-1}$ है।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{3v-1}{-3v^2+2v+1} dv = \int \frac{1}{X} dX$ है।समाकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{2} \ln| -3v^2+2v+1 | = \ln|X| + C$ प्राप्त होता है।यह $-3v^2+2v+1 = \frac{c}{X^2}$ में सरल हो जाता है।$v = \frac{Y}{X} = \frac{y-1}{x+2}$ प्रतिस्थापित करने पर:$-3(\frac{y-1}{x+2})^2 + 2(\frac{y-1}{x+2}) + 1 = \frac{c}{(x+2)^2}$ है।$-3(y-1)^2 + 2(y-1)(x+2) + (x+2)^2 = c$ है।पुनर्व्यवस्थित करने पर $3(y-1)^2 - 2(x+2)(y-1) - (x+2)^2 = c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x+y+1}{x-3y+5} = 0$ का व्यापक हल है

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