x=0, x=frac{pi}{2} और f(x)=sin x, g(x)=cos x | vedclass

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Question

(A) क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=\frac{\pi}{2}$ तक दोनों फलनों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है।$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, d

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$2(\sqrt{2}-1)$

Vedclass · Answer

(A) क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=\frac{\pi}{2}$ तक दोनों फलनों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है।$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$.वक्र $\sin x$ और $\cos x$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $x=\frac{\pi}{4}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos x \ge \sin x$ है। $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x \ge \cos x$ है।अतः,$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.प्रथम समाकलन का मान: $[\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.द्वितीय समाकलन का मान: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$.कुल क्षेत्रफल $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ वर्ग इकाई।

$x=0, x=\frac{\pi}{2}$ और $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$ रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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