अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{2x+y-3}{2y-x+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ है।माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$ होगा।हम समीकरण

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$x^2 - xy - y^2 + 3x + 3y + c = 0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ है।माना $x = X+h$ और $y = Y+k$ है। तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$ होगा।हम समीकरण निकाय $2h+k-3=0$ और $-h+2k+3=0$ को हल करते हैं।दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $-2h+4k+6=0$। पहले समीकरण के साथ जोड़ने पर: $5k+3=0 \implies k = -3/5$। अतः $2h = 3 - (-3/5) = 18/5 \implies h = 9/5$।समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{2X+Y}{2Y-X}$ बन जाता है।माना $Y = vX$,तब $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$।$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v}{2v-1} \implies X\frac{dv}{dX} = \frac{2+v-2v^2+v}{2v-1} = \frac{-2v^2+2v+2}{2v-1}$।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2v-1}{-2v^2+2v+2} dv = \int \frac{dX}{X}$।माना $u = -2v^2+2v+2$,तब $du = (-4v+2) dv = -2(2v-1) dv$।अतः,$-\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \ln|X| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|-2v^2+2v+2| = \ln|X| + C$।$\ln|-2(Y/X)^2+2(Y/X)+2| = -2\ln|X| + C' \implies -2Y^2+2YX+2X^2 = C''$।$X=x-9/5$ और $Y=y+3/5$ प्रतिस्थापित करने पर,सरल करने पर $x^2-xy-y^2+3x+3y+c=0$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ का व्यापक हल है

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