AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया व्यंजक: $Z = \frac{(\cos a+i \sin a)^6}{(\sin b+i \cos b)^8}$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,अंश $(\cos a+i \sin a)^6 = \cos(6a) + i \sin(6a) = e^{i6a}$ है।
हर के लिए,$\sin b + i \cos b = i(\cos b - i \sin b) = i e^{-ib}$ है।
अतः,$(\sin b + i \cos b)^8 = i^8 (e^{-ib})^8 = 1 \cdot e^{-i8b} = e^{-i8b}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Z = \frac{e^{i6a}}{e^{-i8b}} = e^{i(6a+8b)}$.
यूलर सूत्र का उपयोग करते हुए: $Z = \cos(6a+8b) + i \sin(6a+8b)$.
अतः वास्तविक भाग $\cos(6a+8b)$ है।

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}+\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1+\omega+\omega^2 = 0$ है।
दूसरे पद के अंश और हर को $\omega$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} + \frac{a\omega+b \omega^2+c}{b\omega+c \omega^2+a} = (1+\omega) \left( \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} \right) = -\omega^2 \left( \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} \right) = -1$.

(B) दिया गया है $z=x+iy$, जहां $P=(x, y)$ है।
व्यंजक $\frac{z+i}{z-1} = \frac{x+i(y+1)}{(x-1)+iy}$ पर विचार करें।
सरल बनाने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x-1)-iy$ से गुणा करें:
$\frac{x+i(y+1)}{(x-1)+iy} \times \frac{(x-1)-iy}{(x-1)-iy} = \frac{x(x-1) - ixy + i(y+1)(x-1) + y(y+1)}{(x-1)^2+y^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$= \frac{x^2-x + y^2+y + i(xy-x+y+1-xy)}{(x-1)^2+y^2} = \frac{(x^2+y^2-x+y) + i(1-x+y)}{(x-1)^2+y^2}$.
चूंकि $\frac{z+i}{z-1}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है, इसलिए इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$\operatorname{Re}\left(\frac{z+i}{z-1}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x^2+y^2-x+y}{(x-1)^2+y^2} = 0$.
इसका तात्पर्य है कि $x^2+y^2-x+y=0$, बशर्ते कि हर $(x-1)^2+y^2 \neq 0$, जिसका अर्थ है $(x, y) \neq (1, 0)$।

(A) दिया गया समुच्चय $S = \{z \in \mathbb{C} : |z - (-1 + i)| = 1\}$ है।
यह सम्मिश्र तल में वृत्त का मानक रूप $|z - z_0| = r$ है,जहाँ $z_0$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
यहाँ,$z_0 = -1 + i$,जो कार्तीय तल में बिंदु $(-1, 1)$ के अनुरूप है।
त्रिज्या $r = 1$ है।
अतः,यह $(-1, 1)$ केंद्र और $1$ इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।

(B) माना $Z = x + iy$ है। दिया गया समीकरण $\arg \left(\frac{Z-1}{Z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$ है।
यह एक ऐसे बिंदु $Z$ का बिंदुपथ दर्शाता है कि $A(-1, 0)$ और $B(1, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $Z$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
वृत्त के गुणधर्म के अनुसार,उस बिंदु का बिंदुपथ जो एक निश्चित रेखाखंड पर एक स्थिर कोण अंतरित करता है,एक वृत्त का चाप होता है।
अतः,बिंदुपथ एक वृत्त का चाप है।

(D) सम्मिश्र तल में वृत्त का सामान्य समीकरण $z \bar{z} + a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ होता है,जहाँ $a$ एक सम्मिश्र स्थिरांक है और $b$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
इस वृत्त का केंद्र $-a$ है और त्रिज्या $\sqrt{|a|^2 - b}$ है।
दिए गए समीकरण $z \bar{z} + (4 - 3i) \bar{z} + (4 + 3i) z + c = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = 4 - 3i$ और $b = c$ प्राप्त होता है।
वृत्त के अस्तित्व के लिए,त्रिज्या $\geq 0$ होनी चाहिए,इसलिए $|a|^2 - b \geq 0$।
यहाँ,$|a|^2 = |4 - 3i|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$।
अतः,$25 - c \geq 0$,जिसका अर्थ है $c \leq 25$।
इसलिए,$c$ के सभी वास्तविक मानों का समुच्चय $(-\infty, 25]$ है।

(A) दिया गया है $\text{arg}\left(\frac{z - z_1}{z - z_2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
यह $z$ के बिंदुपथ को $z_1$ और $z_2$ से गुजरने वाले वृत्त के चाप के रूप में दर्शाता है।
जीवा $z_1z_2$ द्वारा परिधि पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए केंद्र $O$ पर अंतरित कोण $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$z_1z_2$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{10+4}{2}, \frac{6+6}{2}\right) = (7, 6)$ है।
$z_1$ और $z_2$ के बीच की दूरी $|10+6i - (4+6i)| = 6$ है। अतः,जीवा की आधी लंबाई $3$ है।
चूंकि केंद्र और जीवा द्वारा बना त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए मध्यबिंदु $(7, 6)$ से केंद्र $O$ की दूरी $3$ है।
चूंकि कोण $\frac{\pi}{4}$ है,केंद्र $O$,$(7, 6+3) = (7, 9)$ पर है,जो $7+9i$ के अनुरूप है।
त्रिज्या $R$,$(7, 9)$ से $(10, 6)$ तक की दूरी है,जो $\sqrt{(10-7)^2 + (6-9)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $|z - (7+9i)| = 3\sqrt{2}$ है।

(B) दी गई शर्तें $|Z| \leq 3$ और $-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ हैं।
$|Z| \leq 3$ मूल बिंदु पर केंद्रित $3$ त्रिज्या वाली एक डिस्क को दर्शाता है।
$-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश (दायां अर्ध-तल) में क्षेत्र को दर्शाता है।
अतः,$Z$ का बिंदु पथ $r = 3$ त्रिज्या वाला एक अर्धवृत्त है।
क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (3)^2 = \frac{9 \pi}{2}$ है।

(C) माना $z = x + iy$. तब $\frac{z - 3i}{z + 4} = \frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy} \times \frac{(x + 4) - iy}{(x + 4) - iy} = \frac{x(x + 4) - xyi + i(y - 3)(x + 4) + y(y - 3)}{(x + 4)^2 + y^2}$.
वास्तविक भाग $\frac{x^2 + 4x + y^2 - 3y}{(x + 4)^2 + y^2}$ है और काल्पनिक भाग $\frac{4y - 3x - 12}{(x + 4)^2 + y^2}$ है।
चूँकि $\operatorname{Arg}(w) = \frac{\pi}{2}$,वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए और काल्पनिक भाग धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$x^2 + y^2 + 4x - 3y = 0$ और $4y - 3x - 12 > 0$.
इससे $3x - 4y < -12 < 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $Z^3+i Z^2+2 i=0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$Z=i$ एक मूल है क्योंकि $i^3+i(i^2)+2i = -i-i+2i = 0$।
बहुपद को $(Z-i)$ से विभाजित करने पर,हमें $(Z-i)(Z^2+2iZ-2)=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $Z^2+2iZ-2=0$ को हल करने पर: $Z = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2i \pm \sqrt{-4+8}}{2} = \frac{-2i \pm 2}{2} = -i \pm 1$।
मूल $Z_1 = i$,$Z_2 = 1-i$,और $Z_3 = -1-i$ हैं।
आर्गंड तल में इन बिंदुओं को निरूपित करने पर: $A(0, 1)$,$B(1, -1)$,और $C(-1, -1)$।
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$।
$BC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = 2$।
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$।
चूंकि $AB = AC = \sqrt{5}$ है,इसलिए त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) $CRICKET$ शब्द के अक्षर $C, C, E, I, K, R, T$ हैं। कुल $7$ अक्षर हैं,जिसमें $C$ दो बार आता है।
शब्दकोश के क्रम के अनुसार व्यवस्थित करने पर,$CRICKET$ शब्द की रैंक $531$ प्राप्त होती है।

(C) $MASTER$ शब्द के अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, E, M, R, S, T$.
$MASTER$ की रैंक ज्ञात करने के लिए,हम शब्दकोश के क्रम में इससे पहले आने वाले शब्दों की गणना करते हैं:
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$3$. $MA E...$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$4$. $MA R...$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$5$. $MA S E...$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$6$. $MA S R...$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$7$. अगला शब्द $MASTER$ है: $1$
कुल रैंक $= 120 + 120 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 257$.

(C) '$REPETITION$' शब्द में $10$ अक्षर हैं: $R, E, E, P, E, T, I, T, I, O, N$। भिन्न अक्षर ${R, E, P, T, I, O, N}$ हैं,जिनमें $E, I, T$ दो बार आते हैं।
स्थिति-$I$: सभी $4$ अक्षर अलग हों।
$7$ भिन्न अक्षरों में से $4$ अक्षर चुनकर व्यवस्थित करने पर: $^7P_4 = 840$।
स्थिति-$II$: $2$ अक्षर समान और $2$ अक्षर अलग हों।
$3$ जोड़ों ${E, E}, {I, I}, {T, T}$ में से $1$ जोड़ा और शेष $6$ अक्षरों में से $2$ अक्षर चुनने पर: $^3C_1 \times ^6C_2 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 15 \times 12 = 540$।
स्थिति-$III$: $2$ अक्षर एक प्रकार के और $2$ अक्षर दूसरे प्रकार के हों।
$3$ जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनने पर: $^3C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$।
कुल क्रमचय $= 840 + 540 + 18 = 1398$।

(C) $4$-अंकीय संख्या बनाने के लिए हमें अंकों $3$ और $7$ का केवल एक बार उपयोग करना है। शेष $2$ स्थानों को शेष $8$ अंकों $(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9)$ में से बिना पुनरावृत्ति के भरा जा सकता है।
$4$ में से $3$ और $7$ के लिए $2$ स्थान चुनने के तरीके $^4C_2 = 6$ हैं। $3$ और $7$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $2$ स्थानों को $8$ अंकों द्वारा $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ तरीकों से भरा जा सकता है।
शून्य से शुरू होने वाली संख्याओं सहित कुल तरीके $= 6 \times 2 \times 56 = 672$.
अब,उन मामलों को घटाएं जहाँ संख्या $0$ से शुरू होती है ($3$-अंकीय संख्याएँ)।
यदि पहला अंक $0$ है,तो शेष $3$ स्थानों में से $3$ और $7$ के लिए $2$ स्थान चुनने के तरीके $^3C_2 = 3$ हैं। उन्हें $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अंतिम स्थान को शेष $7$ अंकों में से $7$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ $= 3 \times 2 \times 7 = 42$.
आवश्यक संख्या $= 672 - 42 = 630$.

(D) चरण $1$: $6$ उपन्यासों में से $4$ उपन्यास ${}^6C_4$ तरीकों से चुने जा सकते हैं।
${}^6C_4 = 15$ तरीके।
चरण $2$: $3$ कविता की पुस्तकों में से $1$ पुस्तक ${}^3C_1$ तरीकों से चुनी जा सकती है।
${}^3C_1 = 3$ तरीके।
चरण $3$: $4$ चुने गए उपन्यासों और $1$ कविता की पुस्तक को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि कविता की पुस्तक बीच में रहे। $4$ उपन्यासों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4! = 24$ तरीके।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाएं $= 15 \times 3 \times 24 = 1080$।

(A) $7$ भिन्न अंकों का उपयोग करके बनने वाली चार अंकों की कुल संख्याएँ $p = P(7, 4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ हैं।
$q$ ($3400$ से बड़ी संख्याएँ) ज्ञात करने के लिए:
स्थिति $1$: $4, 5, 6, 7$ से शुरू होने वाली संख्याएँ। पहला अंक $4$ तरीकों से चुना जा सकता है,और शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों से $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 4 \times 120 = 480$।
स्थिति $2$: $3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ। दूसरा अंक $\geq 4$ होना चाहिए।
यदि दूसरा अंक $4$ है,तो शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों से $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
यदि दूसरा अंक $5, 6, 7$ ($3$ विकल्प) है,तो शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों से $P(5, 2) = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 3 \times 20 = 60$।
अतः,$q = 480 + 20 + 60 = 560$।
इसलिए,$p: q = 840: 560 = 3: 2$।

(B) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो। उपलब्ध अंक $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।
$4$-अंकीय संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ के लिए,$d_1 \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ विकल्प),$d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ विकल्प)।
अंतिम दो अंक $d_3 d_4$ ऐसी संख्या बनानी चाहिए जो $4$ से विभाज्य हो। संभावित जोड़े $(d_3, d_4)$ हैं:
$00, 04, 12, 20, 24, 32, 40, 44$।
ऐसे $8$ जोड़े हैं।
कुल संख्याएँ $= 4 \times 5 \times 8 = 160$।

(B) माना पुरुषों की संख्या $n$ है।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times \binom{n}{2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ है।
पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times (n \times 2) = 4n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$n(n-1) - 4n = 66$.
$n^2 - n - 4n = 66 \Rightarrow n^2 - 5n - 66 = 0$.
$(n-11)(n+6) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 11$.
कुल प्रतिभागी = $n + 2 = 11 + 2 = 13$.

(A) $10$ पुरुषों और $8$ महिलाओं में से $8$ सदस्यों की समिति बनानी है जिसमें अधिकतम $5$ पुरुष और कम से कम $5$ महिलाएं हों।
चूंकि कुल सदस्य $8$ हैं,इसलिए (महिलाएं,पुरुष) के संभावित संयोजन हैं:
$(5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0)$।
तरीकों की संख्या है:
$\sum_{k=5}^{8} {}^{8}C_{k} \times {}^{10}C_{8-k}$
$= {}^{8}C_{5} \times {}^{10}C_{3} + {}^{8}C_{6} \times {}^{10}C_{2} + {}^{8}C_{7} \times {}^{10}C_{1} + {}^{8}C_{8} \times {}^{10}C_{0}$
$= (56 \times 120) + (28 \times 45) + (8 \times 10) + (1 \times 1)$
$= 6720 + 1260 + 80 + 1 = 8061$।

(B) प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं। चूंकि $3$ प्रश्न हैं,इसलिए परीक्षा का उत्तर देने के कुल संभावित तरीके $4 \times 4 \times 4 = 64$ हैं।
चूंकि किसी भी छात्र ने सभी सही उत्तर नहीं लिखे हैं,इसलिए हम उस स्थिति को बाहर कर देते हैं जहाँ सभी उत्तर सही हैं।
इस प्रकार,अलग-अलग उत्तर पैटर्न की संख्या $64 - 1 = 63$ है।
चूंकि किन्हीं भी दो छात्रों ने समान उत्तर नहीं दिए हैं,इसलिए छात्रों की अधिकतम संख्या अलग-अलग उत्तर पैटर्न की संख्या के बराबर है,जो कि $63$ है।

(D) $40,000$ से बड़ी $5$-अंकीय विषम संख्याएँ जिनमें कम से कम एक अंक दोहराया गया हो,ज्ञात करने के लिए: (कुल $5$-अंकीय विषम संख्याएँ $> 40,000$) - (बिना पुनरावृत्ति वाली कुल $5$-अंकीय विषम संख्याएँ $> 40,000$).
चरण $1$: कुल $5$-अंकीय विषम संख्याएँ $> 40,000$ (पुनरावृत्ति के साथ)।
पहला अंक $4, 5, 6,$ या $7$ हो सकता है ($4$ विकल्प)।
अंतिम अंक $3, 5,$ या $7$ होना चाहिए ($3$ विकल्प)।
दूसरा,तीसरा और चौथा अंक $6$ में से कोई भी हो सकता है ($6$ विकल्प)।
कुल $= 4 \times 6 \times 6 \times 6 \times 3 = 2592$.
चरण $2$: बिना पुनरावृत्ति वाली कुल $5$-अंकीय विषम संख्याएँ $> 40,000$.
स्थिति $1$: अंतिम अंक $3$ है। पहला अंक $4, 5, 6, 7$ ($4$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों के लिए $4$ अंक: $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$.
स्थिति $2$: अंतिम अंक $5$ या $7$ है ($2$ विकल्प)।
यदि अंतिम अंक $5$ है,तो पहला अंक $4, 6, 7$ ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थान: $3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
यदि अंतिम अंक $7$ है,तो पहला अंक $4, 5, 6$ ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थान: $3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
बिना पुनरावृत्ति के कुल $= 96 + 72 + 72 = 240$.
चरण $3$: आवश्यक संख्या $= 2592 - 240 = 2352$.

(C) हमारे पास $6$ सीटों में व्यवस्थित करने के लिए $3$ पुरुष और $3$ महिलाएं हैं।
पहली और अंतिम सीट पुरुषों द्वारा भरी जानी चाहिए।
चरण $1$: पहली और अंतिम सीट के लिए $3$ में से $2$ पुरुषों का चयन करें और उन्हें $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
चरण $2$: शेष $4$ व्यक्तियों ($1$ पुरुष और $3$ महिलाएं) को शेष $4$ मध्य सीटों में $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 6 \times 24 = 144$।

(D) $10$ सदस्यों की समिति बनाने के लिए जहाँ पुरुषों का बहुमत हो,पुरुषों की संख्या महिलाओं से अधिक होनी चाहिए। चूँकि कुल सदस्य $10$ हैं,(पुरुष,महिला) के लिए संभावित स्थितियाँ $(6, 4), (7, 3), (8, 2)$ हैं।
तरीकों की संख्या = $^8C_6 \times ^6C_4 + ^8C_7 \times ^6C_3 + ^8C_8 \times ^6C_2$.
प्रत्येक पद की गणना:
$^8C_6 \times ^6C_4 = 28 \times 15 = 420$.
$^8C_7 \times ^6C_3 = 8 \times 20 = 160$.
$^8C_8 \times ^6C_2 = 1 \times 15 = 15$.
कुल तरीके = $420 + 160 + 15 = 595$.

(D) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है। हमें ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ में से $5$ अंक इस प्रकार चुनने हैं कि उनका योग $3$ से विभाज्य हो। सभी अंकों का योग $15$ है। $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य होने के लिए,हमें उन अंकों को हटाना होगा जिनका योग $3$ से विभाज्य हो। हटाने के लिए संभावित अंक ${0}$ या ${3}$ हैं।
$(i)$ ${0}$ को हटाने पर: अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। $5$ अंकों की संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
(ii) ${3}$ को हटाने पर: अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। इन अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$ हैं।
कुल तरीके $= 120 + 96 = 216$.

(C) $TABLE$ शब्द के अक्षर $A, B, E, L, T$ हैं। कुल अक्षर = $5$.
शब्दकोश क्रम: $A, B, E, L, T$.
$BLATE$ का रैंक: $24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 41$.
$TABLE$ का रैंक: $118$.
अंतर $= 118 - 41 = 77$.

(B) $X$ के लिए (कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें): $6$ लड़कियों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। $7$ रिक्त स्थान बनते हैं: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_$. $5$ लड़कों के लिए $^7C_5$ तरीकों से स्थान चुनें। अतः,$X = ^7C_5 \times 5! \times 6! = 21 \times 5! \times 6!$.
$Y$ के लिए (कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें): $5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। $6$ रिक्त स्थान बनते हैं: $\_ B \_ B \_ B \_ B \_ B \_$. $6$ लड़कियों के लिए $^6C_6$ तरीकों से स्थान चुनें। अतः,$Y = ^6C_6 \times 5! \times 6! = 1 \times 5! \times 6!$.
$Z$ के लिए (वृत्ताकार व्यवस्था,कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें): $6$ लड़कियों को एक वृत्त में $(6-1)! = 5!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। उनके बीच $6$ स्थान हैं। $5$ लड़कों के लिए $^6C_5$ तरीकों से स्थान चुनें और उन्हें $5!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। अतः,$Z = ^6C_5 \times 5! \times 5! = 6 \times 5! \times 5!$.
अब,$X: Y: Z = (21 \times 5! \times 6!) : (1 \times 5! \times 6!) : (6 \times 5! \times 5!) = 21: 1: 1$.

(A) सबसे पहले,$6$ अलग-अलग सफेद गुलाबों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $n$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ सफेद गुलाबों को $(6-1)! = 5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इन $6$ सफेद गुलाबों के बीच $6$ रिक्त स्थान बनते हैं। हमें $6$ अलग-अलग लाल गुलाबों को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो लाल गुलाब एक साथ न आएं। $6$ अलग-अलग लाल गुलाबों को $6$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $6! = 720$ हैं।
चूंकि यह एक माला है,इसलिए दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anti-clockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है। इसलिए,हम कुल व्यवस्थाओं को $2$ से विभाजित करते हैं।
कुल तरीके $= \frac{5! \times 6!}{2} = \frac{120 \times 720}{2} = \frac{86400}{2} = 43200$.

(C) सबसे पहले,$9$ पुरुषों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें,जिसे $(9-1)! = 8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
$9$ पुरुषों के बीच $9$ स्थान बनते हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें,हमें $5$ महिलाओं को इन $9$ स्थानों में बैठाना होगा।
$9$ स्थानों में $5$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^9 P_5$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $8! \times ^9 P_5$ है।

(C) सबसे पहले,$2$ लाल और $3$ सफेद गुलाबों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $5$ अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(5-1)! = 4! = 24$ है।
इन $5$ गुलाबों के बीच $5$ स्थान बनते हैं।
हमें $5$ पीले गुलाबों को इन $5$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो पीले गुलाब एक साथ न हों।
$5$ अलग-अलग पीले गुलाबों को $5$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5! = 120$ है।
चूंकि यह एक माला है,इसलिए दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है,इसलिए हम $2$ से विभाजित करते हैं।
कुल तरीकों की संख्या $= \frac{4! \times 5!}{2} = \frac{24 \times 120}{2} = 1440$.

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $275$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 275$
$n(n-3) = 550$
$n^2 - 3n - 550 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2200}}{2} = \frac{3 \pm 47}{2}$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{50}{2} = 25$ है।
अतः,भुजाओं की संख्या $n = 25$ है।

(B) सबसे पहले,$1080$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$1080 = 108 \times 10 = (12 \times 9) \times (2 \times 5) = (2^2 \times 3^1 \times 3^2) \times (2^1 \times 5^1) = 2^3 \times 3^3 \times 5^1$.
यदि किसी संख्या $N$ को $p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो धनात्मक भाजकों की संख्या $(a+1)(b+1)(c+1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a=3, b=3, c=1$.
भाजकों की संख्या $= (3+1)(3+1)(1+1) = 4 \times 4 \times 2 = 32$.

(D) मान लीजिए कि $x_1, x_2, x_3, x_4$ क्रमशः $4$ मेहमानों द्वारा प्राप्त सेबों की संख्या है। हमें $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 17$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ प्रत्येक $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $x_i \ge 3$ है।
मान लीजिए $y_i = x_i - 3$,तो $y_i \ge 0$ होगा।
समीकरण में $x_i = y_i + 3$ प्रतिस्थापित करने पर: $(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) + (y_4 + 3) = 17$.
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 12 = 17 \implies y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 5$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=5$ और $r=4$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

(B) चूंकि प्रत्येक श्रेणी में वस्तुएं समान हैं,इसलिए प्रत्येक श्रेणी से वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या उपलब्ध वस्तुओं की संख्या प्लस एक (शून्य वस्तुओं को चुनने के मामले के लिए) के बराबर होती है।
$6$ समान फलों के लिए,चुनने के तरीके $(6+1) = 7$ हैं।
$7$ समान सब्जियों के लिए,चुनने के तरीके $(7+1) = 8$ हैं।
$8$ समान बिस्कुटों के लिए,चुनने के तरीके $(8+1) = 9$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक श्रेणी से कम से कम एक वस्तु चुनी जाए,हमें कम से कम $1$ फल,$1$ सब्जी और $1$ बिस्कुट चुनना होगा।
कम से कम एक फल चुनने के तरीके $6$ हैं।
कम से कम एक सब्जी चुनने के तरीके $7$ हैं।
कम से कम एक बिस्कुट चुनने के तरीके $8$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6 \times 7 \times 8 = 336$ है।

(A) मान लीजिए $x_A, x_B, x_C$ व्यक्तियों $A, B, C$ को दिए गए सेबों की संख्या है। हमारे पास $x_A + x_B + x_C = 15$ है,जहाँ $x_A \ge 2, x_C \ge 2$ और $0 \le x_B \le 5$ है।
मान लीजिए $x_A = y_A + 2$ और $x_C = y_C + 2$,जहाँ $y_A, y_C \ge 0$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $(y_A + 2) + x_B + (y_C + 2) = 15 \implies y_A + x_B + y_C = 11$ प्राप्त होता है।
तरीकों की संख्या $(1+x+x^2+\dots)^2(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)$ के विस्तार में $x^{11}$ का गुणांक है।
यह $(1-x)^{-2} \times \frac{1-x^6}{1-x} = (1-x^6)(1-x)^{-3}$ में $x^{11}$ का गुणांक है।
$(1-x^6) \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ का विस्तार करने पर,$x^{11}$ का गुणांक $\binom{13}{2} - \binom{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$= 78 - 21 = 57$.

(B) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $A-d, A, A+d$ हैं।
चूंकि मूलों का योग $-a$ है,हमारे पास $(A-d) + A + (A+d) = -a$ है,जिससे $3A = -a$ प्राप्त होता है,अतः $A = -\frac{a}{3}$।
चूंकि $A$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $A^3 + aA^2 + bA + c = 0$।
$A = -\frac{a}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\frac{a}{3})^3 + a(-\frac{a}{3})^2 + b(-\frac{a}{3}) + c = 0$
$-\frac{a^3}{27} + \frac{a^3}{9} - \frac{ab}{3} + c = 0$
$27$ से गुणा करने पर:
$-a^3 + 3a^3 - 9ab + 27c = 0$
$2a^3 - 9ab + 27c = 0$
$9ab = 2a^3 + 27c$.

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $4x^3 - 12x^2 + 11x + m = 0$ है।
माना मूल $A-d, A, A+d$ हैं।
मूलों का योग $= (A-d) + A + (A+d) = -(-12)/4 = 3$.
$3A = 3 \Rightarrow A = 1$.
चूंकि $A=1$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $4(1)^3 - 12(1)^2 + 11(1) + m = 0$.
$4 - 12 + 11 + m = 0$.
$3 + m = 0 \Rightarrow m = -3$.

(A) दी गई श्रेणी $(2+3) + (5+6) + (8+9) + \ldots$ $n$ युग्मों तक है।
इसे $5 + 11 + 17 + \ldots$ $n$ पदों तक लिखा जा सकता है।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$S_n = \frac{n}{2}[2(5) + (n-1)6]$
$S_n = \frac{n}{2}[10 + 6n - 6]$
$S_n = \frac{n}{2}[6n + 4]$
$S_n = n(3n + 2) = 3n^2 + 2n$.

(B) माना $x = 4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ldots \infty}}}$.
चूंकि यह अनंत व्यंजक है,हम लिख सकते हैं $x = 4 + \frac{1}{x}$.
$x$ से गुणा करने पर,$x^2 = 4x + 1$,जो $x^2 - 4x - 1 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.
चूंकि व्यंजक का मान धनात्मक होना चाहिए,हम $2-\sqrt{5}$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$x = 2+\sqrt{5}$।

(C) $(x+a)^{15}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r x^{15-r} a^r$ है।
दिया गया है $T_{11} = \sqrt{T_8 T_{12}}$।
पदों को प्रतिस्थापित करने पर: ${}^{15}C_{10} x^5 a^{10} = \sqrt{({}^{15}C_7 x^8 a^7)({}^{15}C_{11} x^4 a^{11})}$।
गणना करने पर $\frac{x}{a} \approx 1.013$ प्राप्त होता है।
सबसे बड़ा पद $T_{r+1}$ ज्ञात करने के लिए $r = \lfloor \frac{(n+1)|x|}{|x|+|a|} \rfloor$ सूत्र का उपयोग करने पर,
$r = \lfloor \frac{16 \cdot 1.013}{1.013+1} \rfloor = 8$।
अतः,$T_{8+1} = T_9$ सबसे बड़ा पद है।

(D) मान लीजिए $G.P.$ में तीन संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं,जहाँ $a, ar, ar^2 \in \{1, 2, \ldots, 100\}$.
$p$ और $q$ के संभावित मानों की गणना करने पर,कुल तरीकों की संख्या $53$ प्राप्त होती है।

(B) दी गई श्रेणी $S = 2.5 + 5.9 + 8.13 + 11.17 + \ldots$ $10$ पदों तक है।
$n^{th}$ पद $T_n$,समांतर श्रेणी $(2, 5, 8, 11, \ldots)$ और $(5, 9, 13, 17, \ldots)$ के $n^{th}$ पदों का गुणनफल है।
$T_n = (3n - 1)(4n + 1) = 12n^2 - n - 1$.
योग $S = \sum_{n=1}^{10} (12n^2 - n - 1) = 12 \sum_{n=1}^{10} n^2 - \sum_{n=1}^{10} n - \sum_{n=1}^{10} 1$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385$,$\sum_{n=1}^{10} n = 55$,$\sum_{n=1}^{10} 1 = 10$.
$S = 12(385) - 55 - 10 = 4620 - 65 = 4555$.

(A) दी गई श्रेणी $1 - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \ldots \infty$ है।
इसे $1 - \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \infty$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{2}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S = \frac{1}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$।

(B) दी गई श्रेणी $S_{50} = \sum_{n=1}^{50} \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right]$।
$n=1$ से $50$ तक योग करने पर:
$S_{50} = \frac{1}{4} \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{11}) + \ldots + (\frac{1}{199} - \frac{1}{203}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,अतः $S_{50} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{203} \right]$।
$S_{50} = \frac{1}{4} \left[ \frac{203 - 3}{609} \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{200}{609} \right] = \frac{50}{609}$।

(D) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \times 3}{3 \times 6} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3 \times 6 \times 9} + \ldots \infty$ है।
हम हर को $3^n n!$ से गुणा करके सामान्य पद को फिर से लिख सकते हैं:
$S = 1 + \frac{1}{3(1!)} + \frac{1 \times 3}{3^2(2!)} + \frac{1 \times 3 \times 5}{3^3(3!)} + \ldots$.
इसकी तुलना द्विपद विस्तार $(1-x)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{q}x + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{x}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{x}{q})^3 + \ldots$ से करने पर।
यहाँ,$p=1, q=2$,और $\frac{x}{q} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
अतः,$S = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = \sqrt{3}$.

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,$T_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right)$.
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$.
योग का विस्तार करने पर,$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left( 1 - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right)$.
सरल करने पर,$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+1-1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{4n+1} \right) = \frac{n}{4n+1}$.

(D) दी गई श्रेणी $1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + \ldots$ है।
$n$-वें पद में पदों की संख्या $2n - 1$ है।
माना $n$-वें पद का प्रथम पद $a_n$ है।
$n$-वें पद से पहले कुल पदों की संख्या $(n-1)^2$ है।
अतः,$n$-वें पद का प्रथम पद $a_n = (n-1)^2 + 1$ है।
$n$-वाँ पद एक समांतर श्रेणी है जिसमें $2n-1$ पद हैं,प्रथम पद $a_n$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
$n$-वें पद का योग $t_n$ इस प्रकार है:
$t_n = \frac{2n-1}{2} [2a_n + (2n-2)d] = (2n-1) [a_n + (n-1)2]$
$t_n = (2n-1) [(n-1)^2 + 1 + 2n - 2] = (2n-1) [n^2 - 2n + 1 + 1 + 2n - 2] = (2n-1) [n^2 + (n-1)^2]$.

(C) माना $x=\cos \alpha+i \sin \alpha$,$y=\cos \beta+i \sin \beta$,और $z=\cos \gamma+i \sin \gamma$ है।
दिया है $x+y+z=0$,हम जानते हैं कि $x^3+y^3+z^3=3xyz$ होता है।
मान रखने पर,$(\cos \alpha+i \sin \alpha)^3+(\cos \beta+i \sin \beta)^3+(\cos \gamma+i \sin \gamma)^3 = 3(\cos \alpha+i \sin \alpha)(\cos \beta+i \sin \beta)(\cos \gamma+i \sin \gamma)$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma)+i(\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma) = 3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)+3 i \sin (\alpha+\beta+\gamma)$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma=3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)$ और $\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma=3 \sin (\alpha+\beta+\gamma)$।
$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$4(\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma) - 3(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma) = 3\cos(\alpha+\beta+\gamma)$।
चूंकि $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0$,हमें $\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma = \frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma = -\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)$।
अंत में,व्यंजक $\left(\frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)\right)^2 = \frac{9}{16}(\cos^2(\alpha+\beta+\gamma) + \sin^2(\alpha+\beta+\gamma)) = \frac{9}{16}$ हो जाता है।

(C) दिया गया है $\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{3}$ . . . . . . $(i)$
चूंकि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,इसलिए $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ है।
अतः,$\sec \theta - \tan \theta = 3$ . . . . . . $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2 \sec \theta = \frac{10}{3} \Rightarrow \sec \theta = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर,$2 \tan \theta = \frac{-8}{3} \Rightarrow \tan \theta = \frac{-4}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec \theta > 0$ और $\tan \theta < 0$ है,इसलिए $\theta$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
अब,$\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{24}{7} > 0$ है।
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,$270^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$,इसलिए $540^{\circ} < 2 \theta < 720^{\circ}$ है।
$\tan 2 \theta > 0$ और $\sin 2 \theta < 0$ होने के कारण,$2 \theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।

(C) दिया है $\tan \alpha = \frac{1}{7}$. चूँकि $\alpha$ $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश में है,$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2/7}{1 + 1/49} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$.
$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 1/49}{1 + 1/49} = \frac{24}{25}$.
दिया है $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$. चूँकि $\beta$ $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में है,$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\frac{3}{\sqrt{10}}$.
सूत्र $\sin(2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$\sin(2\alpha + \beta) = \left(\frac{7}{25}\right)\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) + \left(\frac{24}{25}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{3}{25\sqrt{10}}$.

(C) दिया गया है $\sinh x = \frac{\sqrt{21}}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + \frac{21}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
सर्वसमिकाओं $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$ और $\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sinh 2x = 2 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
$\cosh 2x = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{21}}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{21}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$.
अतः,$\cosh 2x + \sinh 2x = \frac{23}{2} + \frac{5\sqrt{21}}{2} = \frac{23 + 5\sqrt{21}}{2}$.

(D) फलन $f(x) = \sqrt{2+x} + \sqrt{3-x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक होने चाहिए। \\ $2+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ \\ $3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$ \\ इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $-2 \leq x \leq 3$ प्राप्त होता है। \\ अतः,प्रांत $x \in [-2, 3]$ है।

(D) फलन $f(x) = \log_2 \log_3 \log_5(x^2 - 5x + 11)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. $\log_5(x^2 - 5x + 11) > 0$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 11 > 5^0 = 1$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 10 > 0$. यहाँ विविक्तकर $D = -15 < 0$ है,अतः यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
$2$. $\log_3 \log_5(x^2 - 5x + 11) > 0$ $\Rightarrow \log_5(x^2 - 5x + 11) > 3^0 = 1$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 11 > 5^1 = 5$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 6 > 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x - 3) > 0$.
अतः हल $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{9 - \sqrt{x^2 - 144}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक होने चाहिए:
$1$. $x^2 - 144 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \geq 144$ $\Rightarrow |x| \geq 12$.
$2$. $9 - \sqrt{x^2 - 144} \geq 0 \Rightarrow 9 \geq \sqrt{x^2 - 144}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$81 \geq x^2 - 144$ $\Rightarrow x^2 \leq 225$ $\Rightarrow |x| \leq 15$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $12 \leq |x| \leq 15$ प्राप्त होता है।
अतः $x \in [-15, -12] \cup [12, 15]$।

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x) \geq 5$।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,$x \in [0, 2024]$ के लिए,कोई $c \in (0, 2024)$ मौजूद है ताकि $\frac{f(2024) - f(0)}{2024 - 0} = f^{\prime}(c)$ हो।
चूंकि $f^{\prime}(c) \geq 5$,इसलिए $\frac{f(2024) - (-2)}{2024} \geq 5$।
$f(2024) + 2 \geq 5 \times 2024$।
$f(2024) + 2 \geq 10120$।
$f(2024) \geq 10118$।
अतः,$f(2024)$ का न्यूनतम संभव मान $10118$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 13x + 15}$.
अंश और हर का गुणनखंड करने पर: $f(x) = \frac{(x+5)(x-3)}{(2x+3)(x+5)}$.
$x \neq -5$ के लिए,$f(x) = \frac{x-3}{2x+3}$.
माना $y = \frac{x-3}{2x+3}$.
$y(2x+3) = x-3$ $\Rightarrow 2xy + 3y = x - 3$ $\Rightarrow x(2y-1) = -3y - 3$.
$x = \frac{-3y-3}{2y-1}$.
चूंकि $x$ परिभाषित है,$2y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{2}$.
साथ ही,$x \neq -5 \Rightarrow \frac{-3y-3}{2y-1} \neq -5$.
$-3y-3 \neq -10y + 5$ $\Rightarrow 7y \neq 8$ $\Rightarrow y \neq \frac{8}{7}$.
अतः,परिसर $R - \left\{\frac{1}{2}, \frac{8}{7}\right\}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1} ( \frac{1 + x^2}{2 x} ) + \cos^{-1} ( \frac{2 x}{1 + x^2} )$.
$\sin^{-1} ( \frac{1 + x^2}{2 x} )$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $| \frac{1 + x^2}{2 x} | \leq 1$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $1 + x^2 \geq 2|x|$ है,इसलिए $| \frac{1 + x^2}{2 x} | \leq 1$ की स्थिति केवल $|x| = 1$ यानी $x = 1$ या $x = -1$ के लिए ही सत्य है।
यदि $x = 1$ है,तो $f(1) = \sin^{-1}(1) + \cos^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
यदि $x = -1$ है,तो $f(-1) = \sin^{-1}(-1) + \cos^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$.
अतः,प्रांत $\{ -1, 1 \}$ है और परिसर $\{ \frac{\pi}{2} \}$ है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$a \sin x + b \cos x$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
$3 \sin x + 4 \cos x$ के लिए,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए इसका परिसर $[-5, 5]$ है।
सभी भागों में $10$ जोड़ने पर,$-5 + 10 \leq 3 \sin x + 4 \cos x + 10 \leq 5 + 10$,जो $5 \leq 3 \sin x + 4 \cos x + 10 \leq 15$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,असमिका उलट जाती है: $\frac{1}{15} \leq \frac{1}{3 \sin x + 4 \cos x + 10} \leq \frac{1}{5}$।
$15$ से गुणा करने पर,$1 \leq \frac{15}{3 \sin x + 4 \cos x + 10} \leq 3$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का परिसर $[1, 3]$ है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \sqrt{x} - 1$ और $g\{f(x)\} = x + 2\sqrt{x} + 1$.
हम $g\{f(x)\}$ के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$g\{f(x)\} = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2$.
माना $f(x) = t$. तब $t = \sqrt{x} - 1$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{x} = t + 1$.
अब $\sqrt{x} = t + 1$ को $g\{f(x)\}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(t) = (t + 1 + 1)^2 = (t + 2)^2$.
अतः,$t$ को $x$ से बदलने पर,हमें $g(x) = (x + 2)^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x)=3+2x$.
$g_1(x)=f(x)=3+2x$.
$g_2(x)=f(f(x))=3+2(3+2x)=9+4x$.
$g_3(x)=f(g_2(x))=3+2(9+4x)=21+8x$.
पैटर्न का अवलोकन करने पर,$g_n(x)=3(2^n-1)+2^n x$.
चूंकि सभी रेखाएँ $y=g_n(x)$ एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरती हैं,इसलिए सभी $n \in N$ के लिए $\beta = 3(2^n-1) + 2^n \alpha$ होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\beta = 3 \cdot 2^n - 3 + 2^n \alpha = 2^n(3+\alpha) - 3$.
इसके $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,$2^n$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$3+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-3$.
$\alpha=-3$ को समीकरण में रखने पर,हमें $\beta = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,निश्चित बिंदु $(-3, -3)$ है।
अंत में,$\alpha+\beta = -3 + (-3) = -6$.

(C) $f \circ g(x) = f(\sqrt{x^2 + 1}) = (x^2 + 1) - 1 = x^2$.
चूँकि $f \circ g(x)$ का सह-प्रांत $R$ है और परिसर $[0, \infty)$ है,इसलिए $f \circ g$ आच्छादक फलन नहीं है,अतः यह व्युत्क्रमणीय नहीं है।
अब,$(h \circ f \circ g)(x) = h(f \circ g(x)) = h(x^2)$.
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \geq 0$ है,इसलिए $h(x^2) = x^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(h \circ f \circ g)(x) = x^2$.
साथ ही,$h(x)$ एक तत्समक फलन नहीं है क्योंकि $x < 0$ के लिए $h(x) = 0 \neq x$ है।

(C) दिया गया है $f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$.
एकैकी (one-one) की जाँच: $f(1) = 1^3 - 1 = 0$ और $f(0) = 0^3 - 0 = 0$. चूँकि $f(1) = f(0)$ है लेकिन $1 \neq 0$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच: $f(x)$ एक विषम घात वाला बहुपद फलन है। जैसे $x \rightarrow \infty$,$f(x) \rightarrow \infty$ और जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$। चूँकि फलन सतत है,इसका परिसर $(-\infty, \infty)$ है,जो कि सह-प्रांत $R$ के बराबर है। इसलिए,$f$ एक आच्छादक फलन है।
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(B) दिया गया फलन $f:[a, \infty) \rightarrow [b, \infty)$ जहाँ $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ है।
एक द्विघात फलन को अंतराल $[a, \infty)$ पर एकैकी और आच्छादक (bijection) होने के लिए,इसे एकदिष्ट (monotonic) होना चाहिए।
अवकलन करने पर $f'(x) = 4x - 3$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $x \ge \frac{3}{4}$ के लिए वर्धमान है,इसलिए $a = \frac{3}{4}$।
चूंकि फलन आच्छादक है,परिसर $[b, \infty)$ को $[a, \infty)$ के प्रतिबिंब के बराबर होना चाहिए।
$b = f(a) = f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 5 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 5 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{40}{8} = \frac{31}{8}$।
अंत में,$3a + 2b = 3\left(\frac{3}{4}\right) + 2\left(\frac{31}{8}\right) = \frac{9}{4} + \frac{31}{4} = \frac{40}{4} = 10$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} a^x, & -\infty < x < 0 \\ b^x, & 0 \leq x < \infty \end{cases}$ है,जहाँ $a > 1$ और $0 < b < 1$ है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = a^x$ है। चूँकि $a > 1$ है,जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to 0$,और जैसे $x \to 0^-$,$f(x) \to 1$ है। अतः,इस भाग का परिसर $(0, 1)$ है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = b^x$ है। चूँकि $0 < b < 1$ है,$x = 0$ के लिए $f(0) = b^0 = 1$,और जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to 0$ है। अतः,इस भाग का परिसर $(0, 1]$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,$f(x)$ का परिसर $(0, 1]$ प्राप्त होता है।
$1$. एकैकी जाँच: किसी भी $y \in (0, 1)$ के लिए,$x$ के दो मान मौजूद हैं,एक ऋणात्मक और एक धनात्मक,ताकि $f(x) = y$ हो। उदाहरण के लिए,यदि $y = 0.5$ है,तो $x_1 < 0$ मौजूद है ताकि $a^{x_1} = 0.5$ और $x_2 > 0$ मौजूद है ताकि $b^{x_2} = 0.5$ हो। अतः,$f(x)$ एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक जाँच: सह-प्रांत $[0, 1]$ दिया गया है। चूँकि परिसर $(0, 1]$ है,मान $0$ परिसर में नहीं है (क्योंकि सभी $x$ के लिए $a^x > 0$ और $b^x > 0$ है)। इसलिए,$f(x)$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f(x)$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) दिया गया है $f(x) = | 2x + 1 | + | x - 2 |$.
हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -(2x+1) - (x-2) = -3x + 1, & x < -\frac{1}{2} \\ (2x+1) - (x-2) = x + 3, & -\frac{1}{2} \leq x < 2 \\ (2x+1) + (x-2) = 3x - 1, & x \geq 2 \end{cases}$
$x = -\frac{1}{2}$ पर,$f(-\frac{1}{2}) = 0 + |-\frac{1}{2} - 2| = \frac{5}{2}$.
$x = 2$ पर,$f(2) = |4+1| + 0 = 5$.
फलन का न्यूनतम मान $x = -\frac{1}{2}$ पर $\frac{5}{2}$ है।
चूंकि फलन पूरी तरह से वर्धमान या ह्रासमान नहीं है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
चूंकि सह-प्रांत $[ \frac{5}{2}, \infty )$ है और फलन का परिसर भी $[ \frac{5}{2}, \infty )$ है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(D) माना $n(A) = 5$ और $n(B) = 7$ है।
$A$ से $B$ तक कुल फलनों की संख्या $|B|^{|A|} = 7^5$ होती है।
एक फलन एकैकी (one-one) होता है यदि $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ के एक अलग अवयव से जुड़ा हो। एकैकी फलनों की संख्या $P(7, 5) = { }^7 P_5$ है।
एक फलन बहु-एक (many-one) होता है यदि वह एकैकी नहीं है।
अतः,बहु-एक फलनों की संख्या = (कुल फलनों की संख्या) - (एकैकी फलनों की संख्या) = $7^5 - { }^7 P_5$।

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+12y$ है।
$x=0$ रखने पर,हमें $f(y)=f(0)+12y$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(1)=6$,हमारे पास $6=f(0)+12(1)$ है,जिसका अर्थ है $f(0)=-6$।
अतः,$f(x)=12x-6$।
अब,हम योग $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n (12r-6)$ की गणना करते हैं।
$= 12 \sum_{r=1}^n r - \sum_{r=1}^n 6$।
$= 12 \frac{n(n+1)}{2} - 6n$।
$= 6n(n+1) - 6n = 6n^2+6n-6n = 6n^2$।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{\sqrt{64 - (0.5)^{24 + x - x^2}}}$.
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$64 - (0.5)^{24 + x - x^2} > 0$
$64 > (0.5)^{24 + x - x^2}$
$2^6 > (2^{-1})^{24 + x - x^2}$
$2^6 > 2^{-(24 + x - x^2)}$
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$6 > -24 - x + x^2$
$x^2 - x - 30 < 0$
$(x - 6)(x + 5) < 0$
यह असमिका $x \in (-5, 6)$ के लिए सत्य है।
चूंकि $A \subseteq Z$,समुच्चय $A$ में $-5$ और $6$ के बीच के पूर्णांक शामिल हैं,जो $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ हैं।
$A$ के तत्वों के निरपेक्ष मानों का योग है:
$|-4| + |-3| + |-2| + |-1| + |0| + |1| + |2| + |3| + |4| + |5|$
$= 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 25$.

(D) $f(x)$ के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = k$ होना चाहिए।
सीमा $\lim_{x \to -1} \frac{(2-a)x^2 - (a+3b)x - 1}{x+1}$ है।
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश $x = -1$ पर $0$ होना चाहिए।
$x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर: $(2-a)(-1)^2 - (a+3b)(-1) - 1 = 0 \implies 2 - a + a + 3b - 1 = 0 \implies 1 + 3b = 0 \implies b = -\frac{1}{3}$।
$b = -\frac{1}{3}$ को अंश में रखने पर: $(2-a)x^2 - (a - 1)x - 1$।
इसके गुणनखंड $(x+1)((2-a)x - 1)$ होते हैं।
अतः,$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)((2-a)x - 1)}{x+1} = \lim_{x \to -1} ((2-a)x - 1) = (2-a)(-1) - 1 = -2 + a - 1 = a - 3$।
चूंकि फलन सतत है,इसलिए $k = a - 3$।

(A) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{5-x}, & x < 3 \\ 5-x, & x \geq 3 \end{cases}$
$x = 3$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाईं सीमा $(LHL)$ और दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करते हैं।
$LHL$: $\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{2}{5-x} = \frac{2}{5-3} = 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{+}} (5-x) = 5-3 = 2$.
साथ ही,$f(3) = 5-3 = 2$.
चूंकि $\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = 1$ और $\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = 2$,इसलिए $x = 3$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
विशेष रूप से,बाईं सीमा $x = 3$ पर फलन के मान के बराबर नहीं है,इसलिए फलन $x = 3$ पर बाईं ओर असंतत है।

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} \right) ; & x \neq 0 \\ 0 ; & x = 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = 0$.
$\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 0$ केवल तभी संभव है यदि $\alpha > 0$ हो।
अतः,$f(x)$,$\alpha > 0$ के लिए सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{\alpha} \sin \left( \frac{1}{h} \right) - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} h^{\alpha - 1} \sin \left( \frac{1}{h} \right)$.
यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि $\alpha - 1 > 0$,अर्थात $\alpha > 1$ हो।
इसलिए,$f(x)$,$\alpha > 1$ के लिए सतत और अवकलनीय है।

(A) फलन को $f(x) = \min \{x, x^2\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x$ और $x^2$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि जब $0 \leq x \leq 1$ होता है तो $x^2 \leq x$ होता है,और अन्यथा $x < x^2$ होता है।
अतः,$f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ x, & x > 1 \end{cases}$ है।
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^2 = 0$ है। चूँकि $f(0) = 0$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर सतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 = 1$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ है। चूँकि $f(1) = 1$ है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत है।
अब,अवकलनीयता की जाँच: $f'(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 2x, & 0 < x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$ है।
$x = 0$ पर: बायाँ अवकलज $1$ है,दायाँ अवकलज $2(0) = 0$ है। चूँकि $1 \neq 0$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: बायाँ अवकलज $2(1) = 2$ है,दायाँ अवकलज $1$ है। चूँकि $2 \neq 1$ है,इसलिए यह $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ सभी $x$ के लिए सतत है।

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0) = \beta$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (\alpha + 1)x + \tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (\alpha + 1)x}{x} + \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan 2x}{x} = (\alpha + 1) + 2 = \alpha + 3$।
अतः,$\beta = \alpha + 3$।
अब,बाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin 3x - \tan 3x}{x^{3}}$। टेलर श्रेणी विस्तार $\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5)$ और $\tan 3x = 3x + \frac{(3x)^3}{3} + O(x^5)$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{(3x - \frac{27x^3}{6}) - (3x + \frac{27x^3}{3})}{x^3} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-\frac{9}{2}x^3 - 9x^3}{x^3} = -\frac{9}{2} - 9 = -\frac{27}{2}$।
इसलिए,$\beta = -\frac{27}{2}$।
$\beta$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $-\frac{27}{2} = \alpha + 3 \implies \alpha = -\frac{27}{2} - 3 = -\frac{33}{2}$।
अंत में,$|\alpha| + |\beta| = |-\frac{33}{2}| + |-\frac{27}{2}| = \frac{33}{2} + \frac{27}{2} = \frac{60}{2} = 30$।

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} (1 + |\sin x|)^{a/|\sin x|}$.
चूंकि यह $1^\infty$ रूप है,हम $\lim_{x \rightarrow c} (1 + g(x))^{h(x)} = e^{\lim_{x \rightarrow c} g(x)h(x)}$ सूत्र का उपयोग करेंगे।
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = e^{\lim_{x \rightarrow 0} |\sin x| \cdot \frac{a}{|\sin x|}} = e^a$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\tan 2x}{\tan 3x}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2x}{3x}} = e^{1 \cdot 1 \cdot 2/3} = e^{2/3}$.
चूंकि $f(0) = b$,सीमाओं की तुलना करने पर:
$e^a = b = e^{2/3}$.
अतः,$a = 2/3$ और $b = e^{2/3}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
हम सीमा (limit) की गणना इस प्रकार करते हैं:
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$
इस सीमा का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं:
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}$
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$
$x=0$ रखने पर:
$f(0) = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

(D) $x=0$ के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (2-x) = 2$.
चूंकि $f(0) = 0$,$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \neq f(0)$,इसलिए $f$,$x=0$ पर दाईं ओर से सतत नहीं है।
$x=1$ के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (2-x) = 1$.
चूंकि $f(1) = 2$,$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \neq f(1)$,इसलिए $f$,$x=1$ पर बाईं ओर से सतत नहीं है।
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (\frac{1}{2}-x) = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $f(1) = 2$,$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq f(1)$,इसलिए $f$,$x=1$ पर दाईं ओर से सतत नहीं है।
$x=2$ के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (\frac{1}{2}-x) = \frac{1}{2}-2 = -\frac{3}{2}$.
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}$.
$f(2) = -\frac{3}{2}$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = f(2) = -\frac{3}{2}$,इसलिए $f$,$x=2$ पर सतत है।

(D) $f(x) = |x - 24| = \begin{cases} -x + 24, & x < 24 \\ x - 24, & x \geq 24 \end{cases}$
$\lim_{x \rightarrow 24^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 24} (-x + 24) = 0$
$\lim_{x \rightarrow 24^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 24} (x - 24) = 0$ और $f(24) = 0$
चूँकि बायाँ सीमा,दायाँ सीमा और $x = 24$ पर फलन का मान समान है,इसलिए $f$,$[0, 25]$ पर सतत है।
अब,$x = 24$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
बायाँ अवकलज: $\lim_{x \rightarrow 24^{-}} \frac{f(x) - f(24)}{x - 24} = \lim_{x \rightarrow 24} \frac{-x + 24 - 0}{x - 24} = -1$
दायाँ अवकलज: $\lim_{x \rightarrow 24^{+}} \frac{f(x) - f(24)}{x - 24} = \lim_{x \rightarrow 24} \frac{x - 24 - 0}{x - 24} = 1$
चूँकि बायाँ अवकलज $\neq$ दायाँ अवकलज,इसलिए $f$,$x = 24$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f$,$[0, 25]$ पर सतत है,लेकिन $[0, 25]$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) चूँकि $f(x)$,$x=3$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 3} f(x) = f(3) = l$ होगा।
सीमा $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x^2+(k+2)x+9}{3x^2-7x-6}$ है।
चूँकि हर $3x^2-7x-6$,$x=3$ पर $3(9)-7(3)-6 = 27-21-6 = 0$ हो जाता है,इसलिए सीमा के अस्तित्व के लिए अंश को भी $x=3$ पर $0$ होना चाहिए।
अतः,$2(3)^2 + (k+2)(3) + 9 = 0$।
$18 + 3k + 6 + 9 = 0 \Rightarrow 3k + 33 = 0 \Rightarrow k = -11$।
अब,$k=-11$ रखने पर,हमें $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x^2-9x+9}{3x^2-7x-6}$ प्राप्त होता है।
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{4x-9}{6x-7} = \frac{4(3)-9}{6(3)-7} = \frac{12-9}{18-7} = \frac{3}{11}$।
अतः,$l = \frac{3}{11}$।
अंत में,$l-k = \frac{3}{11} - (-11) = \frac{3}{11} + 11 = \frac{3+121}{11} = \frac{124}{11}$।

(A) चूँकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = K$ होगा।
हम सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a^2-ax+x^2}-\sqrt{x^2+ax+a^2}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$।
अंश और हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{\sqrt{a^2-ax+x^2}+\sqrt{x^2+ax+a^2}}{\sqrt{a^2-ax+x^2}+\sqrt{x^2+ax+a^2}} \times \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}$ से गुणा करने पर।
अंश $(a^2-ax+x^2) - (x^2+ax+a^2) = -2ax$ हो जाएगा।
हर $(a+x) - (a-x) = 2x$ हो जाएगा।
अतः,$K = \lim_{x \to 0} \frac{-2ax}{2x} \times \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a^2-ax+x^2}+\sqrt{x^2+ax+a^2}}$।
$K = \lim_{x \to 0} (-a) \times \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a^2-ax+x^2}+\sqrt{x^2+ax+a^2}}$।
$x=0$ रखने पर: $K = (-a) \times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}}{\sqrt{a^2}+\sqrt{a^2}} = (-a) \times \frac{2\sqrt{a}}{2a} = -\sqrt{a}$।

(A) चूंकि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए इसे सभी $x \in R$ के लिए सतत होना चाहिए।
$x = 2$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x)$
$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} (bx^3 + 1) = \lim_{x \rightarrow 2} (3x - 3)$
$\Rightarrow 8b + 1 = 3(2) - 3 = 3$
$\Rightarrow 8b = 2 \Rightarrow b = \frac{1}{4}$।
$x = 1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$
$\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 1} (ax^2 + bx - \frac{13}{8}) = \lim_{x \rightarrow 1} (3x - 3)$
$\Rightarrow a + b - \frac{13}{8} = 3(1) - 3 = 0$
$\Rightarrow a + \frac{1}{4} - \frac{13}{8} = 0$
$\Rightarrow a = \frac{13}{8} - \frac{2}{8} = \frac{11}{8}$।
अतः,$a - b = \frac{11}{8} - \frac{1}{4} = \frac{11}{8} - \frac{2}{8} = \frac{9}{8}$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x - |x|}{x}, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}$ है।
जब $x > 0$ है,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x - x}{x} = 0$ है।
जब $x < 0$ है,$|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{x - (-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$ है।
जब $x = 0$ है,$f(0) = 2$ है।
अतः,फलन को $f(x) = \begin{cases} 2, & x \leq 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
फलन का परिसर $\{0, 2\}$ है।
इसलिए,$f(x)$ का अधिकतम मान $2$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{2 x e^{\frac{1}{2 x}}-3 x e^{\frac{-1}{2 x}}}{e^{\frac{1}{2 x}}+4 e^{-\frac{1}{2 x}}} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$ है।
सबसे पहले,$x=0$ पर बायां अवकलज ($L$.$H$.$D$.) ज्ञात करें:
$f^{\prime}(0^{-}) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(-h)-0}{-h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{-2h e^{\frac{-1}{2h}} + 3h e^{\frac{1}{2h}}}{-h(e^{\frac{-1}{2h}} + 4e^{\frac{1}{2h}})} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{-1}{2h}} - 3e^{\frac{1}{2h}}}{e^{\frac{-1}{2h}} + 4e^{\frac{1}{2h}}}$
अंश और हर को $e^{\frac{1}{2h}}$ से विभाजित करने पर:
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{-1}{h}} - 3}{e^{\frac{-1}{h}} + 4} = \frac{0 - 3}{0 + 4} = -\frac{3}{4}$.
अब,$x=0$ पर दायां अवकलज ($R$.$H$.$D$.) ज्ञात करें:
$f^{\prime}(0^{+}) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(h)-0}{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2h e^{\frac{1}{2h}} - 3h e^{\frac{-1}{2h}}}{h(e^{\frac{1}{2h}} + 4e^{\frac{-1}{2h}})} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2e^{\frac{1}{2h}} - 3e^{\frac{-1}{2h}}}{e^{\frac{1}{2h}} + 4e^{\frac{-1}{2h}}}$
अंश और हर को $e^{\frac{1}{2h}}$ से विभाजित करने पर:
$= \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2 - 3e^{\frac{-1}{h}}}{1 + 4e^{\frac{-1}{h}}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$.
चूंकि $f^{\prime}(0^{-}) \neq f^{\prime}(0^{+})$,इसलिए फलन $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x \leq 1 \\ ax^{2}+bx, & x > 1 \end{cases}$।
चूँकि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) \Rightarrow 2(1) + 3 = a(1)^2 + b(1) \Rightarrow a + b = 5 \quad \dots(i)$
साथ ही,$f'(x)$ को $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
$f'(x) = \begin{cases} 2, & x < 1 \\ 2ax + b, & x > 1 \end{cases}$
$\lim_{x \to 1^{-}} f'(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f'(x) \Rightarrow 2 = 2a(1) + b \Rightarrow 2a + b = 2 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $(2a + b) - (a + b) = 2 - 5 \Rightarrow a = -3$.
$a = -3$ को $(i)$ में रखने पर: $-3 + b = 5 \Rightarrow b = 8$.
अतः,$x > 1$ के लिए,$f(x) = -3x^2 + 8x$.
हमें $f(2)$ का मान ज्ञात करना है।
$f(2) = -3(2)^2 + 8(2) = -3(4) + 16 = -12 + 16 = 4$.

(D) फलन $x \in [0, 3]$ के लिए $f(x) = |x - 1| + |x - 2|$ के रूप में परिभाषित है।
मापांक को हटाने पर हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \begin{cases} -(x-1) - (x-2) = -2x + 3, & 0 \leq x \leq 1 \\ (x-1) - (x-2) = 1, & 1 < x < 2 \\ (x-1) + (x-2) = 2x - 3, & 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$
चूंकि $f(x)$ सतत फलनों का योग है,इसलिए यह $[0, 3]$ में हर जगह सतत है।
$x = 1$ पर,बायां अवकलज $\frac{d}{dx}(-2x+3) = -2$ है और दायां अवकलज $\frac{d}{dx}(1) = 0$ है। चूंकि $-2 \neq 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 2$ पर,बायां अवकलज $\frac{d}{dx}(1) = 0$ है और दायां अवकलज $\frac{d}{dx}(2x-3) = 2$ है। चूंकि $0 \neq 2$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ सतत है लेकिन $x = 1$ और $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है $y=t^2+t^3$ और $x=t-t^4$।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = 2t + 3t^2$
$\frac{dx}{dt} = 1 - 4t^3$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt}\left(\frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}\right) \cdot \frac{1}{1 - 4t^3}$।
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dt}\left(\frac{2t + 3t^2}{1 - 4t^3}\right) = \frac{(1 - 4t^3)(2 + 6t) - (2t + 3t^2)(-12t^2)}{(1 - 4t^3)^2}$।
इस प्रकार,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1 - 4t^3)(2 + 6t) + 12t^2(2t + 3t^2)}{(1 - 4t^3)^3}$।
$t=1$ रखने पर:
$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=1} = \frac{(1 - 4)(2 + 6) + 12(1)^2(2(1) + 3(1)^2)}{(1 - 4)^3} = \frac{(-3)(8) + 12(5)}{(-3)^3} = \frac{-24 + 60}{-27} = \frac{36}{-27} = -\frac{4}{3}$।

(C) हमें व्यंजक $f(x) = \frac{1+x^2+x^4}{1+x+x^2}$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम अंश को सरल करते हैं: $1+x^2+x^4 = (1+x^2)^2 - x^2 = (1+x^2-x)(1+x^2+x) = (x^2-x+1)(x^2+x+1)$.
अतः,$f(x) = \frac{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1} = x^2-x+1$.
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2-x+1) = 2x-1$.
इसकी तुलना $ax+b$ से करने पर,हमें $a=2$ और $b=-1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(a, b) = (2, -1)$.

(D) दिया गया है कि $f(0)=0$ और $f^{\prime}(0)=3$ है।
मान लीजिए $y = f(f(f(f(f(x)))))$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज होगा:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(f(f(x))))) \cdot f^{\prime}(f(f(f(x)))) \cdot f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$.
$x=0$ पर:
चूंकि $f(0)=0$,इसलिए $f(f(0)) = f(0) = 0$,और इसी प्रकार आगे।
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(0) = [f^{\prime}(0)]^5$.
$f^{\prime}(0)=3$ का मान रखने पर:
$[3]^5 = 243$.

(A) माना $u = x^{\sin x}$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log u = \sin x \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \cos x \log x + \frac{\sin x}{x}$ है।
अतः,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$ है।
माना $v = (\sin x)^x$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log v = x \log \sin x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \log \sin x + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log \sin x + x \cot x$ है।
अतः,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^x (x \cot x + \log \sin x)$ है।
$u$ का $v$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)}{(\sin x)^x (x \cot x + \log \sin x)}$ है।

(C) दिया गया है,$x=3\left[\sin t-\log \left(\cot \frac{t}{2}\right)\right]$ और $y=6\left[\cos t+\log \left(\tan \frac{t}{2}\right)\right]$.
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 3\left[\cos t - \frac{1}{\cot(t/2)} \cdot (-\csc^2(t/2)) \cdot \frac{1}{2}\right] = 3\left[\cos t + \frac{\csc^2(t/2)}{2 \cot(t/2)}\right] = 3\left[\cos t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}\right] = 3\left[\cos t + \frac{1}{\sin t}\right] = \frac{3(1+\sin t \cos t)}{\sin t}$.
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = 6\left[-\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}\right] = 6\left[-\sin t + \frac{\sec^2(t/2)}{2 \tan(t/2)}\right] = 6\left[-\sin t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}\right] = 6\left[-\sin t + \frac{1}{\sin t}\right] = 6\left(\frac{1-\sin^2 t}{\sin t}\right) = \frac{6 \cos^2 t}{\sin t}$.
अंत में,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ की गणना करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{6 \cos^2 t / \sin t}{3(1+\sin t \cos t) / \sin t} = \frac{2 \cos^2 t}{1+\sin t \cos t}$.

(D) दिया गया है $y = \tan(\log x)$.
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \sec^2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sec^2(\log x)}{x}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sec^2(\log x)) - \sec^2(\log x) \cdot 1}{x^2}$.
$\frac{d}{dx}(\sec^2(\log x))$ के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर: $2 \sec(\log x) \cdot \sec(\log x) \tan(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \sec^2(\log x) \tan(\log x)}{x}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x \cdot \frac{2 \sec^2(\log x) \tan(\log x)}{x} - \sec^2(\log x)}{x^2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 \sec^2(\log x) \tan(\log x) - \sec^2(\log x)}{x^2}$.
$\sec^2(\log x)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\sec^2(\log x)[2 \tan(\log x) - 1]}{x^2}$.

(B) दिया गया है $x < 0$,इसलिए $|x| = -x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $y = (-x)^x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = x \log(-x)$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [x] \cdot \log(-x) + x \cdot \frac{d}{dx} [\log(-x)]$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log(-x) + x \cdot \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \log(-x) + 1$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y [\log(-x) + 1] = (-x)^x [1 + \log(-x)]$।

(D) दिया गया है कि $f(x) = 5 \cos^3 x - 3 \sin^2 x$ और $g(x) = 4 \sin^3 x + \cos^2 x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{df}{dx} = 5(3 \cos^2 x)(-\sin x) - 3(2 \sin x \cos x) = -15 \cos^2 x \sin x - 6 \sin x \cos x$.
इसके बाद,$x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dg}{dx} = 4(3 \sin^2 x)(\cos x) + 2 \cos x(-\sin x) = 12 \sin^2 x \cos x - 2 \sin x \cos x$.
अब,चेन रूल का उपयोग करके $g(x)$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{df}{dg} = \frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{-15 \cos^2 x \sin x - 6 \sin x \cos x}{12 \sin^2 x \cos x - 2 \sin x \cos x}$.
अंश से $-\sin x \cos x$ और हर से $\sin x \cos x$ कॉमन लेने पर:
$\frac{df}{dg} = \frac{-\sin x \cos x (15 \cos x + 6)}{\sin x \cos x (12 \sin x - 2)} = -\frac{15 \cos x + 6}{12 \sin x - 2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)^2} \times \frac{d}{d x}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)$.
हर (denominator) को सरल करने पर: $1+\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right)^2 = \frac{(3-2 \sin x)^2 + (2-3 \sin x)^2}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{9+4 \sin^2 x - 12 \sin x + 4 + 9 \sin^2 x - 12 \sin x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13}{(3-2 \sin x)^2}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके आंतरिक फलन का अवकलन करने पर: $\frac{d}{d x}\left(\frac{2-3 \sin x}{3-2 \sin x}\right) = \frac{(3-2 \sin x)(-3 \cos x) - (2-3 \sin x)(-2 \cos x)}{(3-2 \sin x)^2}$.
$= \frac{-9 \cos x + 6 \sin x \cos x + 4 \cos x - 6 \sin x \cos x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{-5 \cos x}{(3-2 \sin x)^2}$.
इन दोनों को संयोजित करने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{(3-2 \sin x)^2}{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13} \times \frac{-5 \cos x}{(3-2 \sin x)^2} = \frac{-5 \cos x}{13 \sin^2 x - 24 \sin x + 13}$.

(D) आइए प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करें:
$A$: $\frac{d}{dx}[\sec^{-1}(\cosh x)] = \frac{1}{|\cosh x|\sqrt{\cosh^2 x - 1}} \cdot \sinh x = \frac{\sinh x}{\cosh x \sinh x} = \text{sech } x$. (सत्य)
$B$: $\frac{d}{dx}[\cos^{-1}(\text{sech } x)] = -\frac{1}{\sqrt{1-\text{sech}^2 x}} \cdot (-\text{sech } x \tanh x) = \frac{\text{sech } x \tanh x}{\tanh x} = \text{sech } x$. (सत्य)
$C$: $\frac{d}{dx}[\tan^{-1}(\sinh x)] = \frac{1}{1+\sinh^2 x} \cdot \cosh x = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \text{sech } x$. (सत्य)
$D$: $\frac{d}{dx}[\tan^{-1}(\tan \frac{x}{2})] = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$. चूंकि $\frac{1}{2} \neq \sec x$,इसलिए यह कथन गलत है।

(C) हम प्रत्येक पद को $\tan^{-1} \frac{a-b}{1+ab} = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$ सूत्र का उपयोग करके फिर से लिख सकते हैं।
$y = \tan^{-1} \frac{2x-x}{1+(2x)(x)} + \tan^{-1} \frac{3x-2x}{1+(3x)(2x)} + \tan^{-1} \frac{4x-3x}{1+(4x)(3x)}$
$y = (\tan^{-1} 2x - \tan^{-1} x) + (\tan^{-1} 3x - \tan^{-1} 2x) + (\tan^{-1} 4x - \tan^{-1} 3x)$
$y = \tan^{-1} 4x - \tan^{-1} x$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{1+(4x)^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{4}{1+16x^2} - \frac{1}{1+x^2}$
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{1}{2}} = \frac{4}{1+16(\frac{1}{4})} - \frac{1}{1+(\frac{1}{4})} = \frac{4}{1+4} - \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} = 0$

(A) दिया गया है $y = \sinh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\sinh^{-1}(u)) \cdot \frac{du}{dx}$,जहाँ $u = \frac{1-x}{1+x}$ है।
$\sinh^{-1}(u)$ का अवकलन $\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ होता है।
अब,$\frac{du}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$।
इन मानों को श्रृंखला नियम में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1-x}{1+x})^2 + 1}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x)^2 + (1+x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{|1+x|}{\sqrt{1-2x+x^2+1+2x+x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{|1+x|}{\sqrt{2+2x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{|1+x|}{\sqrt{2}\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$।
चूँकि $\frac{|1+x|}{(1+x)^2} = \frac{1}{|1+x|}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{2}}{|1+x|\sqrt{1+x^2}}$।

(B) दिया गया है $y = \frac{\alpha x + \beta}{\gamma x + \delta}$.
प्रथम अवकलज: $y_1 = \frac{\alpha(\gamma x + \delta) - \gamma(\alpha x + \beta)}{(\gamma x + \delta)^2} = \frac{\alpha \delta - \gamma \beta}{(\gamma x + \delta)^2}$.
द्वितीय अवकलज: $y_2 = \frac{d}{dx} [(\alpha \delta - \gamma \beta)(\gamma x + \delta)^{-2}] = -2(\alpha \delta - \gamma \beta)(\gamma x + \delta)^{-3} \cdot \gamma = \frac{-2 \gamma(\alpha \delta - \gamma \beta)}{(\gamma x + \delta)^3}$.
तृतीय अवकलज: $y_3 = \frac{d}{dx} [-2 \gamma(\alpha \delta - \gamma \beta)(\gamma x + \delta)^{-3}] = (-2 \gamma)(\alpha \delta - \gamma \beta) \cdot (-3)(\gamma x + \delta)^{-4} \cdot \gamma = \frac{6 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)}{(\gamma x + \delta)^4}$.
अब,$2 y_1 y_3 = 2 \cdot \left( \frac{\alpha \delta - \gamma \beta}{(\gamma x + \delta)^2} \right) \cdot \left( \frac{6 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)}{(\gamma x + \delta)^4} \right) = \frac{12 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)^2}{(\gamma x + \delta)^6}$.
साथ ही,$3 y_2^2 = 3 \cdot \left( \frac{-2 \gamma(\alpha \delta - \gamma \beta)}{(\gamma x + \delta)^3} \right)^2 = 3 \cdot \frac{4 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)^2}{(\gamma x + \delta)^6} = \frac{12 \gamma^2(\alpha \delta - \gamma \beta)^2}{(\gamma x + \delta)^6}$.
अतः,$2 y_1 y_3 = 3 y_2^2$.

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1} x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।
इसका अर्थ है $\sqrt{1 - x^2} y_1 = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(1 - x^2) y_1^2 = 1$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1 - x^2) \cdot 2 y_1 y_2 + y_1^2 \cdot (-2x) = 0$।
$2 y_1$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $y_1 \neq 0$):
$(1 - x^2) y_2 - x y_1 = 0$।

(B) दिया गया है $y = \sqrt{\sin x + y}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = \sin x + y$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx}(2y - 1) = \cos x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$.
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(2y - 1)(-\sin x) - \cos x (2 \frac{dy}{dx})}{(2y - 1)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-(2y - 1)\sin x - \frac{2 \cos^2 x}{2y - 1}}{(2y - 1)^2}$.
बिंदु $(\pi, 1)$ पर,$x = \pi$ और $y = 1$ है:
$\sin \pi = 0$ और $\cos \pi = -1$.
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)_{(\pi, 1)} = \frac{-(2(1) - 1)(0) - \frac{2(-1)^2}{2(1) - 1}}{(2(1) - 1)^2} = \frac{0 - \frac{2(1)}{1}}{1^2} = -2$.

(A) दी गई अनंत गुणोत्तर श्रेणी $y = 1 + x + x^2 + x^3 + . . . + \infty$ है,जहाँ $|x| < 1$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{1}{1 - x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(1 - x)^{-1} = -1(1 - x)^{-2}(-1) = \frac{1}{(1 - x)^2}$।
अब,$y^{\prime \prime}$ ज्ञात करने के लिए $y^{\prime}$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}(1 - x)^{-2} = -2(1 - x)^{-3}(-1) = \frac{2}{(1 - x)^3}$।
हम इसे $y^{\prime \prime} = 2 \times \frac{1}{(1 - x)} \times \frac{1}{(1 - x)^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $y = \frac{1}{1 - x}$ और $y^{\prime} = \frac{1}{(1 - x)^2}$ है,इसलिए $y^{\prime \prime} = 2 y y^{\prime}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $y=f(x)$ एक अवकलनीय और एकैकी-आच्छादक फलन है।
हम जानते हैं कि $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d y} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right] \cdot \frac{d x}{d y}$.
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \frac{1}{\frac{d y}{d x}}$.
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\frac{\frac{d^2 y}{d x^2}}{\left(\frac{d y}{d x}\right)^3}$.
दोनों पक्षों को $\left(\frac{d y}{d x}\right)^3$ से गुणा करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)^3 = -\frac{d^2 y}{d x^2}$.
अतः,$\frac{d^2 x}{d y^2} \left(\frac{d y}{d x}\right)^3 + \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$.