AP EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ $(FLOT)$ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W = 0 + \Delta W = \Delta W$.
થયેલું કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ આલેખમાં ચક્રીય પ્રક્રિયા દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r_P r_V$ છે,જ્યાં $r_P$ એ દબાણ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે અને $r_V$ એ કદ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે.
$r_P = \frac{30 \text{ kPa} - 10 \text{ kPa}}{2} = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^{3} \text{ Pa}$.
$r_V = \frac{30 \text{ litre} - 10 \text{ litre}}{2} = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}$.
તેથી,$\Delta Q = \pi \times (10 \times 10^{3} \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}) = \pi \times 100 \text{ J} = 100 \pi \text{ J} = 10^{2} \pi \text{ J}$.

(B) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રની કુલ ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
ગતિ ઊર્જાનો અમુક ભાગ અન્ય સ્વરૂપોમાં જેવી કે ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,અંતિમ ગતિ ઊર્જા $(K_f)$ હંમેશા પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $(K_i)$ કરતાં ઓછી હોય છે.
$K_f < K_i$ અથવા $K_i > K_f$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 7 \text{ m/s}$, રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 0.75$, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \text{ m/s}^2$.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{7^2}{2 \times 10} = \frac{49}{20} = 2.45 \text{ m}$.
દડો $v_1 = eu = 0.75 \times 7 = 5.25 \text{ m/s}$ ના વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે.
પ્રથમ ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $H_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2 H = (0.75)^2 \times 2.45 = 0.5625 \times 2.45 = 1.378125 \text{ m}$.
દડા દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $S = H + 2H_1 + 2H_2 + \dots = H + 2(e^2H + e^4H + \dots) = H(1 + 2e^2(1 + e^2 + e^4 + \dots))$.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા, $S = H(1 + 2e^2(\frac{1}{1-e^2})) = H(\frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2}) = H(\frac{1+e^2}{1-e^2})$.
કિંમતો મૂકતા: $S = 2.45 \times \frac{1 + (0.75)^2}{1 - (0.75)^2} = 2.45 \times \frac{1 + 0.5625}{1 - 0.5625} = 2.45 \times \frac{1.5625}{0.4375} = 2.45 \times 3.5714 = 8.75 \text{ m}$.

(B) આપેલ છે: $m_1 = 2 \,kg$, $m_2 = 4 \,kg$, અથડામણ પહેલાં સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = u_1 - u_2 = 10 \,ms^{-1}$, અથડામણ પછી સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_2 - v_1 = 4 \,ms^{-1}$.
પ્રત્યાવસ્થાન ગુણાંક $e = \frac{v_{rel}}{u_{rel}} = \frac{4}{10} = 0.4$.
અથડામણ દરમિયાન ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_{rel})^2 (1 - e^2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \times 4}{2 + 4} \right) (10)^2 (1 - (0.4)^2)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{6} \right) (100) (1 - 0.16)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 100 \times 0.84$.
$\Delta K = \frac{2}{3} \times 84 = 56 \,J$.

(D) ધારો કે $H_0 = 6.25 \ m$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈ છે અને $H_2 = 81 \ cm = 0.81 \ m$ એ બીજા ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ છે.
સખત સપાટી પર ઉછળતા દડા માટે,$n$ ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $H_n = H_0 \cdot e^{2n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક છે.
અહીં $n = 2$,$H_0 = 6.25 \ m$,અને $H_2 = 0.81 \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$0.81 = 6.25 \cdot e^{2 \times 2}$
$0.81 = 6.25 \cdot e^4$
$e^4 = \frac{0.81}{6.25} = \frac{81}{625}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$e^2 = \sqrt{\frac{81}{625}} = \frac{9}{25} = 0.36$
ફરીથી વર્ગમૂળ લેતા:
$e = \sqrt{0.36} = 0.6$
આમ,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $0.6$ છે.

(A) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
આપેલ છે:
$u_1 = 20 \ ms^{-1}$
$u_2 = -30 \ ms^{-1}$ (વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે)
સમાન દળની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના ગુણધર્મ મુજબ:
$v_1 = u_2 = -30 \ ms^{-1}$
$v_2 = u_1 = 20 \ ms^{-1}$
આમ,અથડામણ પછી પ્રથમ પદાર્થનો વેગ $-30 \ ms^{-1}$ અને બીજા પદાર્થનો વેગ $20 \ ms^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 250 \text{ g} = 0.25 \text{ kg} = \frac{1}{4} \text{ kg}$.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = -22 \hat{i} \text{ ms}^{-1}$.
અંતિમ વેગ $\vec{v} = 30 \cos 53^{\circ} \hat{i} + 30 \sin 53^{\circ} \hat{j} = 30(\frac{3}{5}) \hat{i} + 30(\frac{4}{5}) \hat{j} = 18 \hat{i} + 24 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{P} = m(\vec{v} - \vec{u}) = \frac{1}{4} [(18 \hat{i} + 24 \hat{j}) - (-22 \hat{i})] = \frac{1}{4} [40 \hat{i} + 24 \hat{j}] = 10 \hat{i} + 6 \hat{j} \text{ Ns}$.
વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \text{ Ns}$.
સરેરાશ બળ $\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t} = \frac{\sqrt{136}}{0.01} = 100 \sqrt{136} \approx 100 \times 11.66 = 1166 \text{ N}$.

(B) વેગમાન $P$ અને દળ $m$ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી $K_H = K_L$.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{P_H^2}{2 m_H} = \frac{P_L^2}{2 m_L}$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{P_H^2}{P_L^2} = \frac{m_H}{m_L}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_H}{P_L} = \sqrt{\frac{m_H}{m_L}}$.
કારણ કે પદાર્થ ભારે છે,$m_H > m_L$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{m_H}{m_L} > 1$.
તેથી,$\frac{P_H}{P_L} > 1$,જે સાબિત કરે છે કે $P_H > P_L$.

(B) ધારો કે બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ છે. ઢાળ પર લાગતા બળો $Mg \sin 60^{\circ}$ અને $Mg \sin 30^{\circ}$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $Mg \sin 60^{\circ} - Mg \sin 30^{\circ} = (M+M)a$ છે.
$a = \frac{g(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ})}{2} = \frac{10(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})}{2} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2} \text{ ms}^{-2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{M\vec{a}_1 + M\vec{a}_2}{2M} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ છે.
બે ઢાળ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $a_{cm} = \frac{\sqrt{a^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
$a = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$ કિંમત મૂકતા,$a_{cm} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}$ મળે.

(B) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ માત્ર તરંગના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને બદલાતી નથી.
જોકે,માધ્યમના વક્રીભવનાંકના આધારે તરંગનો વેગ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે.
તેથી,તરંગની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.

(A) આપેલ છે: $h_1 = 6400 \,km$ ઊંચાઈએ $g_1 = 2.5 \,ms^{-2}$. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \,km$.
ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
આથી $g \propto \frac{1}{(R+h)^2}$.
ઊંચાઈ $h_1 = 6400 \,km$ માટે, કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R + h_1 = 6400 + 6400 = 12800 \,km = 2R$.
ઊંચાઈ $h_2 = 12800 \,km$ માટે, કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + h_2 = 6400 + 12800 = 19200 \,km = 3R$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{g_2}{g_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{2R}{3R} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.
તેથી, $g_2 = \frac{4}{9} \times g_1 = \frac{4}{9} \times 2.5 = \frac{10}{9} \approx 1.11 \,ms^{-2}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R_E$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $g_h = \frac{g}{4}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{g}{4} = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{2} = \frac{R_E}{R_E + h}$
$R_E + h = 2R_E$
$h = R_E$
$R_E = 6400 \ km$ આપેલ હોવાથી,$h = 6400 \ km$ થાય.

(C) રોકેટની પ્રારંભિક ઝડપ $v_i = 0.5 v_e = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ વેગ $v_f = 0$ થાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m v_i^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v_i^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{2GM}{R} \right) = \frac{GM}{2R}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$

(A) પૃથ્વીની સપાટી (ત્રિજ્યા $R$) પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $E = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પદાર્થને $h = 150\% \text{ of } R$ ઊંચાઈ પર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે $h = 1.5R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર $R' = R + h = R + 1.5R = 2.5R$ થાય છે.
નવી ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $E'$ એ $E' = -\frac{GMm}{R'} = -\frac{GMm}{2.5R}$ છે.
$E = -\frac{GMm}{R}$ ને $E'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E' = \frac{E}{2.5} = 0.4E$ મળે છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પરિભ્રમણ સમયગાળાનો $(T)$ વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના $(r)$ ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે, કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1 = R$ છે (જ્યાં $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે)।
બીજા ઉપગ્રહ માટે, ઊંચાઈ $h = 3R$ છે, તેથી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = R + 3R = 4R$ થશે।
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{4R}{R}\right)^3 = 4^3 = 64$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$
આપેલ છે કે $T_1 = 80 \text{ મિનિટ}$, તેથી:
$T_2 = 8 \times 80 \text{ મિનિટ} = 640 \text{ મિનિટ}$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m_s$ દળના ઉપગ્રહ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M_E m_s}{r^2}$ છે.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે: દળ $m_1 = m$,ઊંચાઈ $h_1 = R_E$,તેથી અંતર $r_1 = R_E + R_E = 2 R_E$. બળ $F_1 = \frac{G M_E m}{(2 R_E)^2} = \frac{G M_E m}{4 R_E^2}$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: દળ $m_2 = 1.5 m$,ઊંચાઈ $h_2 = 2 R_E$,તેથી અંતર $r_2 = R_E + 2 R_E = 3 R_E$. બળ $F_2 = \frac{G M_E (1.5 m)}{(3 R_E)^2} = \frac{1.5 G M_E m}{9 R_E^2} = \frac{G M_E m}{6 R_E^2}$.
મહત્તમ બળ $F_{\max} = F_1 + F_2 = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{3+2}{12}) = \frac{5}{12} \frac{G M_E m}{R_E^2}$.
ન્યૂનતમ બળ $F_{\min} = F_1 - F_2 = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{3-2}{12}) = \frac{1}{12} \frac{G M_E m}{R_E^2}$.
ગુણોત્તર $\frac{F_{\min}}{F_{\max}} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5} = 1: 5$.

(D) $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T$,કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R^3 \propto T^2$,અથવા $R \propto T^{2/3}$.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $G$,$M$,અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,$K \propto \frac{1}{R}$ થાય.
સંબંધ $R \propto T^{2/3}$ ને મૂકતા,આપણને $K \propto \frac{1}{T^{2/3}}$ મળે છે.
તેથી,$K \propto T^{-2/3}$.

(D) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}$
આપેલ પ્રારંભિક વેગ $v_{i} = 2 v_{e}$,જ્યાં $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R_{E}}}$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે.
સપાટી પર: $K_{i} = \frac{1}{2} m(2 v_{e})^2 = 2 m v_{e}^2$ અને $U_{i} = -\frac{GMm}{R_{E}} = -m v_{e}^2$.
અનંત અંતરે: $U_{f} = 0$ અને $K_{f} = \frac{1}{2} m v^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$2 m v_{e}^2 - m v_{e}^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$m v_{e}^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 v_{e}^2$
$v = \sqrt{2} v_{e}$

(B) '$r$' ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ અને સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
આમ,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E_{total} = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} = -K = -E$ થાય.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે,ઉપગ્રહની અંતિમ કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી $0$ હોવી જોઈએ.
ધારો કે ઉમેરવાની ઊર્જા $\Delta E$ છે.
$E_{final} = E_{initial} + \Delta E = 0$.
$-E + \Delta E = 0$.
$\Delta E = E$.

(B) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_{v_1} = \frac{f_1 R}{2} = \frac{5 R}{2}$ છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_{p_1} = C_{v_1} + R = \frac{5 R}{2} + R = \frac{7 R}{2} = C$ છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_{v_2} = \frac{f_2 R}{2} = \frac{3 R}{2}$ છે.
હવે,ગુણોત્તર લેતા $\frac{C}{C_{v_2}} = \frac{\frac{7 R}{2}}{\frac{3 R}{2}} = \frac{7}{3}$ મળે છે.
તેથી,$C_{v_2} = \frac{3 C}{7}$ થાય.

(C) આપેલ છે: $n_1 = 1 \text{ mole}$,$n_2 = 1 \text{ mole}$,$\gamma_1 = \frac{7}{5}$,$\gamma_2 = \frac{4}{3}$.
વાયુઓના મિશ્રણ માટે,સમતુલ્ય એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{n_1 + n_2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{\frac{7}{5} - 1} + \frac{1}{\frac{4}{3} - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{\frac{2}{5}} + \frac{1}{\frac{1}{3}}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{5}{2} + 3 = \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2}$
$\gamma_{\text{mix}} - 1 = \frac{4}{11}$
$\gamma_{\text{mix}} = 1 + \frac{4}{11} = \frac{15}{11}$.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે: $f=3$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. આમ,$A-II$.
દ્વિપરમાણ્વીય (દ્રઢ) વાયુ માટે: $f=5$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$. આમ,$B-III$.
દ્વિપરમાણ્વીય (અદ્રઢ) વાયુ માટે: $f=7$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$. આમ,$C-IV$.
બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે: $\gamma$ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $\frac{4+f}{3+f}$ છે. આમ,$D-I$.
તેથી,સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(B) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
$\therefore (C_{p})_1 = (1 + \frac{f}{2}) R = (1 + \frac{3}{2}) R = \frac{5 R}{2}$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે.
$\therefore (C_{p})_2 = (1 + \frac{f}{2}) R = (1 + \frac{5}{2}) R = \frac{7 R}{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{(C_{p})_1}{(C_{p})_2} = \frac{5 R / 2}{7 R / 2} = 5 : 7$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે $U = \frac{3}{2} PV$ છે.
આપેલ કિંમતો $V = 3 \,m^3$ અને $P = 3 \times 10^5 \,Pa$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{3}{2} \times (3 \times 10^5 \,Pa) \times (3 \,m^3)$
$U = \frac{3}{2} \times 9 \times 10^5 \,J$
$U = 1.5 \times 9 \times 10^5 \,J$
$U = 13.5 \times 10^5 \,J$.

(C) ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,અણુ દીઠ દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} K T$ હોય છે,જ્યાં $K$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે વાયુ $n$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવે છે,તેથી અણુ દીઠ કુલ સરેરાશ ગતિઊર્જા એ દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
તેથી,અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $= n \times (\frac{1}{2} K T) = \frac{n K T}{2}$.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{f}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$NTP$ (નીચા તાપમાન) પર દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુના અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) હોય છે.
ઊંચા તાપમાને,કંપન મોડ પણ સક્રિય થાય છે,તેથી મુક્તિના અંશો $f_2 = 7$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય + $2$ કંપન) થાય છે.
ઊર્જા અવસ્થાઓની સરખામણી માટે તાપમાન $T$ સમાન છે તેમ ધારતા,ઊંચા તાપમાને ગતિઊર્જા અને $NTP$ એ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{high}}{K_{NTP}} = \frac{f_2}{f_1} = \frac{7}{5}$ મળે છે.

(D) આપેલ તાપમાન $T$ પર $m$ દળ ધરાવતા વાયુના અણુનો rms વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{rms}$ એ અણુના દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.

(A) વાયુના અણુની rms ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 90^{\circ} C = 90 + 273 = 363 \ K$.
rms ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{300}} = \sqrt{1.21} = 1.1$ થાય છે.
rms ઝડપમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{v_2 - v_1}{v_1} \times 100 = (\frac{v_2}{v_1} - 1) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમત મૂકતા,$(1.1 - 1) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10 \%$ મળે છે.

(B) તંત્રનો પ્રવેગ $a$ એ $a = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S = 3 \ m$,$u = 0$,અને $t = 3 \ s$ છે:
$3 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (3)^2$
$3 = \frac{1}{2} \times a \times 9$
$a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ ms^{-2}$.
હવે,$a$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{2}{3} = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) \times 10$
$\frac{2}{30} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$\frac{1}{15} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = 15m_1 - 15m_2$
$16m_2 = 14m_1$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = 2m + 4m + 6m = 12m$ છે.
જમણી બાજુના બ્લોક્સ માટે ઢાળની દિશામાં લાગતું પ્રેરક બળ $F_1 = (4m + 6m)g \sin 53^{\circ} = 10mg \sin 53^{\circ}$ છે.
ડાબી બાજુના બ્લોક માટે ઢાળની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું બળ $F_2 = 2mg \sin 37^{\circ}$ છે.
તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = Ma$,જ્યાં $F_{net} = F_1 - F_2$:
$10mg \sin 53^{\circ} - 2mg \sin 37^{\circ} = 12ma$
આપેલ કિંમતો $\sin 53^{\circ} = \frac{4}{5}$ અને $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ મૂકતા:
$10mg \left(\frac{4}{5}\right) - 2mg \left(\frac{3}{5}\right) = 12ma$
$8mg - 1.2mg = 12ma$
$6.8mg = 12ma$
$a = \frac{6.8}{12} g = \frac{68}{120} g = \frac{17}{30} g$.

(A) સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g = \left( \frac{2m - m}{2m + m} \right) \times 10 = \frac{10}{3} \ ms^{-2}$
$t = 5.4 \ s$ સમય પછી,દરેક બ્લોકની ઝડપ:
$v = at = \frac{10}{3} \times 5.4 = 18 \ ms^{-1}$
$m$ દળનો બ્લોક $v_1 = 18 \ ms^{-1}$ ના વેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે (ધારો કે આ ધન દિશા છે),અને $2m$ દળનો બ્લોક $v_2 = -18 \ ms^{-1}$ ના વેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(18) + 2m(-18)}{m + 2m} = \frac{18m - 36m}{3m} = \frac{-18m}{3m} = -6 \ ms^{-1}$
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,જે $6 \ ms^{-1}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ ms^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ ms^{-1}$,અંતર $S = 12.5 \ m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$.
બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ગતિક ઘર્ષણાંક છે.
આ ઘર્ષણ બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$:
$0 = u^2 - 2aS$
$u^2 = 2aS$
$S = \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2 \mu g}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$12.5 = \frac{(10)^2}{2 \times \mu \times 10}$
$12.5 = \frac{100}{20 \mu}$
$12.5 = \frac{5}{\mu}$
$\mu = \frac{5}{12.5} = \frac{50}{125} = 0.4$.
તેથી,ગતિક ઘર્ષણાંક $0.4$ છે.

(B) જો મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ બોર્ડના મહત્તમ પ્રવેગને પૂરો પાડવા માટે જરૂરી બળ કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલું હોય,તો પદાર્થ સરકશે નહીં.
$F_{\text{friction, max}} \ge m a_{\max}$
$\mu m g \ge m \omega^2 A$
$\mu \ge \frac{\omega^2 A}{g}$
અહીં,કંપનવિસ્તાર $A = 0.3 \ m$,આવર્તકાળ $T = 4 \ s$,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{(\frac{\pi}{2})^2 \times 0.3}{10} = \frac{\frac{\pi^2}{4} \times 0.3}{10} \approx \frac{9.8696 \times 0.3}{40} \approx 0.07402$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{10 \times 0.3}{4 \times 10} = \frac{0.3}{4} = 0.075$.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ,જીવડું સરકવાની સ્થિતિમાં હોય છે. જીવડા પર લાગતા બળો તેના વજન $mg$ (નીચેની તરફ),લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ (ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ),અને સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ (સ્પર્શકની દિશામાં ઉપરની તરફ) છે.
વજન $mg$ ના ઘટકો પાડતા,લંબ દિશામાં $mg \cos \theta$ અને સ્પર્શકની દિશામાં $mg \sin \theta$ મળે છે.
લંબ દિશામાં સંતુલન માટે: $N = mg \cos \theta$.
સ્પર્શકની દિશામાં સંતુલન માટે: $f = mg \sin \theta$.
$f = \mu N$ હોવાથી,$\mu N = mg \sin \theta$ મળે.
$N = mg \cos \theta$ મૂકતા,$\mu (mg \cos \theta) = mg \sin \theta$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\tan \theta = \mu$ થાય છે.
વાટકાના તળિયેથી જીવડાની ઊંચાઈ $H = R - R \cos \theta = R(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરીને અને $\tan \theta = \mu$ મૂકતા,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈ $H = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}\right)$ થશે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$,લગાડેલ બળ $F = 60 \ N$,અને $g = 10 \ ms^{-2}$.
સૌ પ્રથમ,બ્લોક પર લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_l$ શોધો:
$f_l = \mu N = \mu mg = 0.5 \times 5 \times 10 = 25 \ N$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 60 \ N$ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_l = 25 \ N$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક ગતિ કરશે.
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_l = 60 - 25 = 35 \ N$ થશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$,તેથી પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{35}{5} = 7 \ ms^{-2}$.

(B) $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર $m$ દળના પદાર્થનો વિચાર કરો. પદાર્થ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઢળતા સમતલની નીચેની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક: $mg \sin \theta$.
$2$. સમતલને લંબ રૂપે લાગતું લંબબળ: $N = mg \cos \theta$.
$3$. સમતલની ઉપરની દિશામાં લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ: $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$.
ઢળતા સમતલ પર નીચેની દિશામાં લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ઘટક અને ઘર્ષણ બળનો તફાવત છે:
$F_{\text{net}} = mg \sin \theta - f_k = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F_{\text{net}} = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ma = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા,પ્રવેગ $a$ મળે છે:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.

(B) કણ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_r = \mu m g$ છે.
કણ ગતિમાં હોવાથી,તેનો પ્રવેગ $a = \frac{-f_r}{m} = \frac{-\mu m g}{m} = -\mu g$ થાય.
અટકવા માટે લાગતો સમય $v = u + at$ પરથી મળે. $v = 0$ લેતા,$0 = u - \mu g t$,તેથી $t = \frac{u}{\mu g}$ મળે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_f = \Delta K = 0 - \frac{1}{2} m u^2 = -\frac{1}{2} m u^2$.
ઘર્ષણ દ્વારા આપવામાં આવતો સરેરાશ પાવર $P_{av} = \frac{|W_f|}{t} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{u}{\mu g}} = \frac{1}{2} \mu m g u$ થાય.

(A) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ $M = 18.5 \ kg$
બળ $F = 40 \ N$
દોરડાની લંબાઈ $L = 3 \ m$
દોરડાની રેખીય ઘનતા $\mu = 0.5 \ kg \ m^{-1}$
અંતર $s = 9 \ m$
દોરડાનું દળ $m_r = \mu \times L = 0.5 \times 3 = 1.5 \ kg$
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + m_r = 18.5 + 1.5 = 20 \ kg$
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M_{total}} = \frac{40}{20} = 2 \ m \ s^{-2}$
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$9 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2$
$9 = t^2$
$t = 3 \ s$

(D) ધારો કે દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 4m$ છે. બંને પર સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે.
પ્રથમ પદાર્થનો પ્રવેગ: $a_1 = F/m$.
બીજા પદાર્થનો પ્રવેગ: $a_2 = F/(4m) = a_1/4$.
તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી $t$ સમય પછી તેમનો વેગ $v = at$ થશે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(at)^2 = \frac{1}{2}ma^2t^2$.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $K_1 = \frac{1}{2}m(a_1)^2t_1^2$.
બીજા પદાર્થ માટે: $K_2 = \frac{1}{2}(4m)(a_2)^2t_2^2 = \frac{1}{2}(4m)(a_1/4)^2t_2^2 = \frac{1}{2}(4m)(a_1^2/16)t_2^2 = \frac{1}{2}m(a_1^2/4)t_2^2$.
આપેલ છે કે $K_1 = K_2$,તેથી $\frac{1}{2}m a_1^2 t_1^2 = \frac{1}{2}m (a_1^2/4) t_2^2$.
સાદું રૂપ આપતા,$t_1^2 = t_2^2/4$,જેનો અર્થ થાય છે $t_1^2/t_2^2 = 1/4$.
તેથી,$t_1/t_2 = 1/2$.

(B) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ,$M = 2 \,kg$
પાણીના પ્રવાહનો દર,$\frac{dm}{dt} = 1 \,kg \,s^{-1}$
પાણીના ફુવારાનો વેગ,$v = 5 \,ms^{-1}$
પાણીના ફુવારા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \cdot \frac{dm}{dt}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 5 \,ms^{-1} \times 1 \,kg \,s^{-1} = 5 \,N$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{F}{M} = \frac{5 \,N}{2 \,kg} = 2.5 \,ms^{-2}$

(D) કન્વેયર બેલ્ટ પર વ્યક્તિનો મહત્તમ શક્ય પ્રવેગ ઢાળની દિશામાં લાગતા ચોખ્ખા બળને દળ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$a_{\max} = \frac{\mu m g \cos \theta - m g \sin \theta}{m} = g(\mu \cos \theta - \sin \theta)$
અહીં $\theta = 30^{\circ}$,$\mu = \frac{5}{3 \sqrt{3}}$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,અને $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે:
$a_{\max} = g \left( \frac{5}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) = g \left( \frac{5}{6} - \frac{3}{6} \right) = \frac{g}{3}$
કન્વેયર બેલ્ટની લંબાઈ $L$ અને ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2h$ છે.
વ્યક્તિનો જમીનની સાપેક્ષે પ્રારંભિક વેગ $u = \sqrt{\frac{g h}{6}}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2h = \left( \sqrt{\frac{g h}{6}} \right) t + \frac{1}{2} \left( \frac{g}{3} \right) t^2$
$2h = \frac{t \sqrt{gh}}{\sqrt{6}} + \frac{gt^2}{6}$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$12h = t \sqrt{6gh} + gt^2$
$gt^2 + t \sqrt{6gh} - 12h = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{-\sqrt{6gh} + \sqrt{6gh + 48gh}}{2g} = \frac{-\sqrt{6gh} + \sqrt{54gh}}{2g} = \frac{2\sqrt{6gh}}{2g} = \sqrt{\frac{6h}{g}}$

(D) આપેલ છે: બ્લોકનું દળ $M = 4 \ kg$,પાણીનો વેગ $v = 10 \ m \ s^{-1}$,અને દળના વહનનો દર $\frac{dm}{dt} = 2 \ kg \ s^{-1}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પાણીના જેટ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = v \cdot \left(\frac{dm}{dt}\right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F = 10 \times 2 = 20 \ N$
હવે,બ્લોક માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા $(F = Ma)$:
$a = \frac{F}{M} = \frac{20 \ N}{4 \ kg} = 5 \ m \ s^{-2}$
તેથી,બ્લોકનો પ્રવેગ $5 \ m \ s^{-2}$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,પ્રવેગ $a = 4 \ m/s^2$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
કિસ્સો $1$: પદાર્થ નીચે તરફ સરકે છે.
ઢાળની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta = 2 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 20 \times 0.5 = 10 \ N$ છે.
ધારો કે $f$ એ ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ છે. ગતિનું સમીકરણ:
$mg \sin \theta - f = ma$
$10 - f = 2 \times 4$
$10 - f = 8$
$f = 2 \ N$.
કિસ્સો $2$: પદાર્થ તેટલા જ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
ધારો કે $F$ એ ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવતું બાહ્ય બળ છે. ઘર્ષણ બળ $f$ હવે નીચેની તરફ લાગશે.
ગતિનું સમીકરણ:
$F - mg \sin \theta - f = ma$
$F - 10 - 2 = 2 \times 4$
$F - 12 = 8$
$F = 20 \ N$.

(A) સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક લંબાઈ $x_1$ થી અંતિમ લંબાઈ $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે જરૂરી કાર્ય $W$ નું સૂત્ર: $W = \frac{1}{2} k(x_2^2 - x_1^2)$ છે.
આપેલ છે:
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 5 \times 10^3 \text{ Nm}^{-1}$.
પ્રારંભિક ખેંચાણ $x_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
અંતિમ ખેંચાણ $x_2 = 10 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^3 \times [(0.2)^2 - (0.1)^2]$
$W = 2500 \times [0.04 - 0.01]$
$W = 2500 \times 0.03 = 75 \text{ J}$.

(A) આપેલ છે: $m = 3 \ kg$,$K_1 = 50 \ Nm^{-1}$,$K_2 = 150 \ Nm^{-1}$,$g = 10 \ ms^{-2}$.
બ્લોક બે સમાંતર સ્પ્રિંગ વચ્ચે જોડાયેલ હોવાથી,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq} = K_1 + K_2 = 50 + 150 = 200 \ Nm^{-1}$ થાય.
સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ વજન બળને સંતુલિત કરે છે: $K_{eq} x_0 = mg \implies x_0 = \frac{mg}{K_{eq}} = \frac{3 \times 10}{200} = 0.15 \ m$.
બ્લોકને સ્પ્રિંગ ખેંચાયા વગરની સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી દોલનનો કંપવિસ્તાર $A = x_0 = 0.15 \ m$ છે.
સૌથી નીચલા સ્થાને,બ્લોક સંતુલન સ્થિતિથી નીચે $x = 2A = 2 \times 0.15 = 0.3 \ m$ ના સ્થાનાંતરે છે.
ત્યાં લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = K_{eq} x - mg = 200(0.3) - 3(10) = 60 - 30 = 30 \ N$.
તેથી પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{30}{3} = 10 \ ms^{-2}$ થાય.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \text{ kg}$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $K = 8 \times 10^3 \text{ Nm}^{-1}$,$g = 10 \text{ ms}^{-2}$.
નીચેની ગરગડીના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,$4 \text{ kg}$ દળને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $T = mg = 4 \times 10 = 40 \text{ N}$ છે.
નીચેની ગરગડી દોરીના બે ભાગો દ્વારા ટેકો પામે છે,જેમાં દરેકનું તણાવ $T$ છે. આમ,નીચેની ગરગડી દ્વારા ઉપરની ગરગડી પર લાગતું બળ $2T = 2 \times 40 = 80 \text{ N}$ છે.
ઉપરની ગરગડી સ્પ્રિંગ અને જમીન સાથે જોડાયેલી દોરી દ્વારા ટેકો પામે છે. ઉપરની ગરગડી પરનું કુલ અધોગામી બળ એ જમીન સાથે જોડાયેલી દોરીનું તણાવ $(2T)$ અને નીચેની ગરગડી દ્વારા લાગતું બળ $(2T)$ નો સરવાળો છે.
તેથી,સ્પ્રિંગમાં કુલ બળ $F = 2T + 2T = 4T = 4 \times 40 = 160 \text{ N}$ છે.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x = \frac{F}{K} = \frac{160}{8 \times 10^3} = 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{P}+\vec{Q}|=|\vec{P}|=|\vec{Q}|$. ધારો કે $|\vec{P}|=|\vec{Q}|=P$.
સદિશ સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$|\vec{P}+\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ \cos \theta}$.
કારણ કે $|\vec{P}+\vec{Q}|=P$,તેથી $P = \sqrt{P^2+P^2+2P^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$P^2 = 2P^2 + 2P^2 \cos \theta$.
$P^2$ વડે ભાગતા,$1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = -1 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 120^{\circ}$.

(B) ધારો કે બે સદિશો $\overrightarrow{A} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{B} = 2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 4 \hat{k}$ છે.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = (2+2) \hat{i} + (3-7) \hat{j} + (4-4) \hat{k} = 4 \hat{i} - 4 \hat{j} + 0 \hat{k}$ છે.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ છે.
પરિણામી સદિશ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{R_x}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R_x = 4$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,$\theta = 45^{\circ}$ મળે.

(A) આપેલ છે: $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 4 \%$.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = 3 \% + 2(4 \%) = 3 \% + 8 \% = 11 \%$.
તેથી,ગતિઊર્જામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $11 \%$ છે.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = (30 \pm 0.3) \ V$ અને પ્રવાહ $I = (5 \pm 0.1) \ A$.
ઓમના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R = \frac{V}{I}$.
અવરોધમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{0.3}{30} + \frac{0.1}{5}$.
$\frac{\Delta R}{R} = 0.01 + 0.02 = 0.03$.
ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3 \%$ છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,આપેલ કિંમતો નીચે મુજબ છે:
$L = 10 \ H$,$C = 40 \ \mu F$,$R = 60 \ \Omega$,અને $V = 240 \ V$.
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ એ અવરોધ $(R)$ જેટલો થાય છે.
$Z = R = 60 \ \Omega$.
અનુનાદ સમયે પ્રવાહ $(I)$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{240 \ V}{60 \ \Omega} = 4 \ A$.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 144 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2}\right) \text{ V}$ અને પ્રવાહ $I = 6 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ A}$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપો $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_V)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_I)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $V_0 = 144 \text{ V}$,$I_0 = 6 \text{ A}$,અને કળા તફાવત $\phi = \phi_V - \phi_I = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ મળે છે.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા કોણ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan(60^\circ) = \frac{X_L}{R} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \Rightarrow X_L = \sqrt{3} R$.
ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{144}{6} = 24 \ \Omega$ છે.
વળી,$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
$X_L = \sqrt{3} R$ મૂકતા,આપણને $24 = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$ મળે છે.
તેથી,$R = \frac{24}{2} = 12 \ \Omega$.

(A) પરિપથ $A$ ($LR$ પરિપથ) માટે:
$R_{eq} = 4 + \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 + \frac{72}{18} = 4 + 4 = 8 \text{ } \Omega$.
$L_{eq} = 2 \text{ H}$.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_{A} = \frac{L_{eq}}{R_{eq}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \text{ s}$.
પરિપથ $B$ ($RC$ પરિપથ) માટે:
$R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \text{ } \Omega$.
$C_{eq} = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ F}$.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_{B} = R_{eq} C_{eq} = 5 \times 1 = 5 \text{ s}$.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય.
આપેલ છે કે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2R$.
અનુનાદની સ્થિતિમાં, $X_C = X_L = 2R$.
અનુનાદ સમયે પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે, કારણ કે $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + 0} = R$.
પાવર ફેક્ટરને $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$.
તેથી, પાવર ફેક્ટર $1$ છે અને $X_C = 2R$ છે.

(B) પાવર ફેક્ટર એકમ $(\cos \phi = 1)$ થાય તે માટે,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi f = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
અહીં $f = 50 \text{ Hz}$,$L = 10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H}$ આપેલ છે.
$2 \pi \times 50 = \frac{1}{\sqrt{10 \times 10^{-3} \times C}}$.
$100 \pi = \frac{1}{\sqrt{0.01 \times C}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(100 \pi)^2 = \frac{1}{0.01 \times C}$.
$10000 \times \pi^2 = \frac{1}{0.01 \times C}$.
$C = \frac{1}{10000 \times \pi^2 \times 0.01} = \frac{1}{100 \times \pi^2} \approx \frac{1}{100 \times 9.8696} \approx \frac{1}{986.96} \approx 1.0132 \times 10^{-3} \text{ F}$.
આમ,જરૂરી કેપેસિટન્સનું મૂલ્ય આશરે $1.014 \times 10^{-3} \text{ F}$ છે.

(A) આપેલ છે: $R = 30 \, \Omega$, $X_{L} = 25 \, \Omega$, $X_{C} = 25 \, \Omega$, અને $V_{rms} = 240 \, V$.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_{L} - X_{C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા, $Z = \sqrt{30^2 + (25 - 25)^2} = \sqrt{30^2 + 0} = 30 \, \Omega$.
એમીટરનું રીડિંગ એ $rms$ પ્રવાહ છે: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{240}{30} = 8 \, A$.
વોલ્ટમીટર ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરની શ્રેણી જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે। આ સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ $V_{LC} = I_{rms} \times |X_{L} - X_{C}|$ છે।
કિંમતો મૂકતા, $V_{LC} = 8 \times |25 - 25| = 8 \times 0 = 0 \, V$.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $0 \, V$ અને એમીટરનું રીડિંગ $8 \, A$ છે।

(A) બલ્બ $A$ માટે જે ઇન્ડક્ટર $L = 100 \ mH$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,પ્રવાહ $I_1 = \frac{V_0}{X_L} = \frac{V_0}{\omega L} = \frac{V_0}{\omega \times 100 \times 10^{-3}} = \frac{10 V_0}{\omega}$ છે.
બલ્બ $B$ માટે જે કેપેસિટર $C = 10 \ pF$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,પ્રવાહ $I_2 = \frac{V_0}{X_C} = V_0 \omega C = V_0 \omega \times 10 \times 10^{-12}$ છે.
સામાન્ય આવૃત્તિઓ પર ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ કરતા ઘણો ઓછો હોવાથી,બલ્બ $A$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ એ બલ્બ $B$ માંથી વહેતા પ્રવાહ $I_2$ કરતા ઘણો વધારે છે.
તેથી,$I_1 > I_2$,જેનો અર્થ છે કે બલ્બ $A$ વધુ તેજસ્વી પ્રકાશશે.

(D) આપેલ છે: $R = 20 \Omega$,$V = 200 \sin (10 \pi t)$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R} = \frac{200}{20} \sin (10 \pi t) = 10 \sin (10 \pi t)$.
પીક પ્રવાહ $I_0 = 10 \text{ A}$ છે.
rms પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \text{ A}$ છે.
પીક મૂલ્ય માટે,$10 = 10 \sin (10 \pi t_1) \Rightarrow \sin (10 \pi t_1) = 1 \Rightarrow 10 \pi t_1 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{20} \text{ s}$.
rms મૂલ્ય માટે,$\frac{10}{\sqrt{2}} = 10 \sin (10 \pi t_2) \Rightarrow \sin (10 \pi t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 10 \pi t_2 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_2 = \frac{1}{40} \text{ s}$.
પીકથી rms સુધી બદલાતા લાગતો સમય $\Delta t = t_1 - t_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} = 0.025 \text{ s} = 2.5 \times 10^{-2} \text{ s}$.

(C) આપેલ અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $i = 3 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ છે.
આપણે તેને $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $I_0$ એ પીક કરંટ છે.
$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$I_0 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ A$.
$rms$ કરંટનું સૂત્ર $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે.
$I_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_{rms} = \frac{5}{\sqrt{2}} \ A$ મળે છે.

(D) જ્યારે પરમાણુની આંતરિક કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે તેઓ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન સ્વરૂપે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
આ સંક્રમણોમાં ઉર્જાનો તફાવત ઘણો મોટો હોય છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારને અનુરૂપ હોય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ માટે $n_2 = \infty$ લેતા,
$\frac{1}{\lambda_{\text{min, Balmer}}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\text{min, Balmer}} = \frac{4}{R}$.
બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,$n_1 = 4$. મહત્તમ તરંગલંબાઇ માટે $n_2 = 5$ લેતા,
$\frac{1}{\lambda_{\text{max, Brackett}}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$.
$\lambda_{\text{max, Brackett}} = \frac{400}{9R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{\text{min, Balmer}}}{\lambda_{\text{max, Brackett}}} = \frac{4/R}{400/9R} = \frac{4}{R} \times \frac{9R}{400} = \frac{36}{400} = \frac{9}{100}$.

(C) સંક્રમણ અવસ્થા $n$ થી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ સુધી બે તબક્કામાં થાય છે.
ધારો કે મધ્યવર્તી અવસ્થા $n_2$ છે.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે ($n_2$ થી $n_1=1$),તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 304 \ \mathring{A}$ છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$He^{+}$ માટે,$Z=2$,તેથી $Z^2 = 4$.
$\frac{1}{304 \times 10^{-10}} = 1.097 \times 10^7 \times 4 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
ગણતરી કરતા $n_2 = 2$ મળે છે.
બીજા સંક્રમણ માટે ($n$ થી $n_2=2$),તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = 1026 \ \mathring{A}$ છે.
$\frac{1}{1026 \times 10^{-10}} = 1.097 \times 10^7 \times 4 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $n^2 = 36$ મળે છે,તેથી $n = 6$.

(D) ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ પરથી,$C$ થી $A$ ના સંક્રમણ માટેનો ઉર્જા તફાવત એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણો માટેના ઉર્જા તફાવતોના સરવાળા જેટલો છે.
$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(C) $barn$ એ ન્યુક્લિયર અને કણ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં વપરાતો ક્ષેત્રફળનો એક બિન-$SI$ એકમ છે,જેનો ઉપયોગ ન્યુક્લિયસ અને ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓના ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયાને દર્શાવવા માટે થાય છે. $1 \ barn = 10^{-28} \ m^2$. તેથી,તેનો ઉપયોગ સ્કેટરિંગ ક્રોસ-સેક્શન માપવા માટે થાય છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,બંધન ઉર્જા એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે $13.6 \ eV$ છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
$Li^{2+}$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV = -13.6 \times \frac{9}{4} \ eV = -30.6 \ eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા (બંધન ઉર્જા) એ તેને અનંત ($n = \infty$,જ્યાં $E = 0$) સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
તેથી,$\Delta E = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-30.6 \ eV) = 30.6 \ eV$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઉર્જાનું સૂત્ર: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ છે.
અહીં,અંતિમ કક્ષા $n_1 = 1$ અને પ્રારંભિક કક્ષા $n_2 = n$ છે.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = 12.75 \text{ eV}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $12.75 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
બંને બાજુ $13.6$ વડે ભાગતા: $\frac{12.75}{13.6} = 1 - \frac{1}{n^2}$.
$0.9375 = 1 - \frac{1}{n^2}$.
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.9375 = 0.0625$.
$n^2 = \frac{1}{0.0625} = 16$.
તેથી,$n = 4$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે $(Z=1, m=m_e, n=1)$:
$r_1 = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2}$.
$\mu$-મેસોન સિસ્ટમ માટે $(Z=3, m=208 m_e)$:
$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi (208 m_e) (3) e^2}$.
બંને ત્રિજ્યાઓને સરખાવતા $(r_n = r_1)$:
$\frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi (208 m_e) (3) e^2} = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2}$.
સમીકરણનું સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{n^2}{208 \times 3} = 1$.
$n^2 = 624$.
$n = \sqrt{624} \approx 24.98 \approx 25$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_n = v_1 / n$,જ્યાં $v_1$ એ પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $v_1 = 2.18 \times 10^6 \ m/s$.
$n=3$ સ્તર માટે:
$v_3 = \frac{2.18 \times 10^6 \ m/s}{3}$
$v_3 = 0.7266 \times 10^6 \ m/s$
$v_3 \approx 7.3 \times 10^5 \ m/s$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, કુલ ઉર્જા $E_n$ એ $E_n = K.E. + P.E.$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલમાં, ગતિ ઉર્જા $K.E. = -E_n$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $P.E. = 2E_n$ હોય છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ આપેલ છે.
તેથી, સ્થિતિ ઉર્જા $P.E. = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$ થાય.

(B) આપેલ છે,સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = -6.8 \ eV$.
આપણે જાણીએ છીએ કે હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,કુલ ઊર્જા $E_n$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_n = \frac{U}{2}$ છે.
તેથી,$E_n = \frac{-6.8 \ eV}{2} = -3.4 \ eV$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{-13.6}{n^2} = -3.4$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 4$,તેથી $n = 2$.
$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v_n = \frac{C}{137n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ મૂકતા,આપણને $v_2 = \frac{C}{137 \times 2} = \frac{C}{274}$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ટીપાંના જોડાણ દરમિયાન કદ અચળ રહે છે:
મોટા ટીપાનું કદ $= 8 \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8 r^3 \Rightarrow R = 2r$
ગોળાકાર વાહકની કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \varepsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોટા ટીપા માટે,કેપેસિટન્સ $C'$ છે:
$C' = 4 \pi \varepsilon_0 R$
$R = 2r$ મૂકતા:
$C' = 4 \pi \varepsilon_0 (2r) = 2(4 \pi \varepsilon_0 r) = 2C$.

(A) $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ ગોળાનું કેપેસીટન્સ $C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 r_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ ગોળાને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્થિંગ કરેલા સમકેન્દ્રી ગોળા દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ $C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 \left( \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} \right)$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$C_2 = 5 C_1$ છે.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને $4 \pi \varepsilon_0 \left( \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} \right) = 5 (4 \pi \varepsilon_0 r_1)$ મળે છે.
બંને બાજુથી $4 \pi \varepsilon_0 r_1$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{r_2}{r_2 - r_1} = 5$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $r_2 = 5(r_2 - r_1) = 5r_2 - 5r_1$.
પદોને ગોઠવતા,$4r_2 = 5r_1$ મળે છે.
તેથી,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{5}$ થાય છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈની ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t(1 - 1/K)}$ થાય છે,જ્યાં $d'$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું નવું અંતર છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે અને ચાર્જ $Q$ અચળ છે (કારણ કે બેટરી દૂર કરવામાં આવી છે),તેથી કેપેસિટન્સ સમાન રહેવું જોઈએ,એટલે કે $C = C'$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{(d + 1.6 \ mm) - 2 \ mm(1 - 1/K)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $d = d + 1.6 - 2(1 - 1/K)$.
$0 = 1.6 - 2 + 2/K$.
$0 = -0.4 + 2/K$.
$0.4 = 2/K$.
$K = 2 / 0.4 = 5$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે $(d' = d/2)$ અને $K = 10$ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે,ત્યારે અંતિમ કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $C_2 = \frac{10 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{20 \varepsilon_0 A}{d}$.
તેથી,અંતિમ અને પ્રારંભિક કેપેસીટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1} = \frac{20 \varepsilon_0 A / d}{\varepsilon_0 A / d} = 20$ થાય છે.

(A) આ પરિપથમાં $5 \mu F$ નું કેપેસિટર ત્રણ કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ $(4 \mu F, 8 \mu F, 4 \mu F)$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_p)$ શોધો:
$C_p = 4 \mu F + 8 \mu F + 4 \mu F = 16 \mu F$.
હવે,પરિપથ $C_1 = 5 \mu F$ અને $C_p = 16 \mu F$ નું શ્રેણી જોડાણ છે જે $63 V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે.
$5 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$ કેપેસિટર માટેના વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_1 = \left( \frac{C_p}{C_1 + C_p} \right) V_{total}$
$V_1 = \left( \frac{16}{5 + 16} \right) \times 63 V$
$V_1 = \left( \frac{16}{21} \right) \times 63 V = 16 \times 3 V = 48 V$.

(A) આપેલ પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચારેય કેપેસીટર બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = 8 \mu F$ હોવાથી,સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$
$C_{eq} = 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F = 32 \mu F$
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $32 \mu F$ છે.

(C) શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે,તેથી $Q_1 = Q_2$.
ધારો કે બિંદુ $D$ આગળનું સ્થિતિમાન $V$ છે.
કેપેસિટર $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1(V_1 - V)$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2(V - V_2)$ છે.
વિદ્યુતભારોને સરખાવતા: $C_1(V_1 - V) = C_2(V - V_2)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $C_1 V_1 - C_1 V = C_2 V - C_2 V_2$.
$V$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $C_1 V_1 + C_2 V_2 = V(C_1 + C_2)$.
તેથી,બિંદુ $D$ આગળનું સ્થિતિમાન $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ થશે.

(A) કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = 4 + 6 + 12 = 22 \mu F$ છે.
કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3+2+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$.
તેથી,$C_s = 2 \mu F$.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં અસરકારક કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_s}{C_p} = \frac{2}{22} = 1: 11$ થાય છે.

(A) આ પરિપથમાં આઠ કેપેસિટરો છે,જે દરેકનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \mu F$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેના પરિપથની સંમિતિ તપાસતા,આપણે નીચે મુજબની ગોઠવણી જોઈ શકીએ છીએ:
$1$. ઉપરની શાખામાં બે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે: $C_{top} = C/2$.
$2$. નીચેની શાખામાં બે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે: $C_{bottom} = C/2$.
$3$. બે મધ્ય શાખાઓમાં દરેક જગ્યાએ બે કેપેસિટરો સમાંતર જોડાયેલા છે: $C_{mid1} = 2C$ અને $C_{mid2} = 2C$.
આ ચારેય શાખાઓ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલી છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{AB} = C_{top} + C_{bottom} + C_{mid1} + C_{mid2}$
$C_{AB} = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} + 2C + 2C = C + 4C = 5C$
અહીં $C = 2 \mu F$ આપેલ હોવાથી:
$C_{AB} = 5 \times 2 \mu F = 10 \mu F$.

(A) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશન માટે,મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ $f_{m} = 3 \text{ kHz} = 0.003 \text{ MHz}$ છે અને કેરિયર સિગ્નલની આવૃત્તિ $f_{c} = 1 \text{ MHz}$ છે.
અપર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $(f_{u})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{u} = f_{c} + f_{m} = 1 \text{ MHz} + 0.003 \text{ MHz} = 1.003 \text{ MHz}$.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશન માટે બેન્ડવિડ્થ $(BW)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$BW = f_{u} - f_{l} = (f_{c} + f_{m}) - (f_{c} - f_{m}) = 2f_{m}$.
$BW = 2 \times 3 \text{ kHz} = 6 \text{ kHz}$.

(B) લાઇન-ઓફ-સાઇટ સંચાર માટે મહત્તમ રેન્જ $d$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $d = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે,$h_t$ એ ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ છે અને $h_r$ એ રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $d = 57.6 \ km = 57.6 \times 10^3 \ m$,$h_r = 80 \ m$,$R = 6.4 \times 10^6 \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$57.6 \times 10^3 = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times h_t} + \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 80}$
$57.6 \times 10^3 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_t} + \sqrt{1024 \times 10^6}$
$57.6 \times 10^3 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_t} + 32000$
$57.6 \times 10^3 - 32 \times 10^3 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_t}$
$25.6 \times 10^3 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_t}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(25.6 \times 10^3)^2 = 12.8 \times 10^6 \times h_t$
$655.36 \times 10^6 = 12.8 \times 10^6 \times h_t$
$h_t = \frac{655.36}{12.8} = 51.2 \ m$.

(B) $A.M.$ તરંગ માટે મોડ્યુલેશન ફેક્ટર $m$ (અથવા $\mu$) એ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ વોલ્ટેજના તફાવત અને તેમના સરવાળાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$m = \frac{V_{\max} - V_{\min}}{V_{\max} + V_{\min}}$

(C) આપેલ છે કે,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu_1 = 0.3$ અને $\mu_2 = 0.4$ છે.
જ્યારે કોઈ કેરિયર તરંગને એકસાથે અનેક સાઈન તરંગો દ્વારા મોડ્યુલેટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ વ્યક્તિગત મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સના વર્ગોના સરવાળાના વર્ગમૂળ જેટલો હોય છે.
$\mu = \sqrt{\mu_1^2 + \mu_2^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2}$
$\mu = \sqrt{0.09 + 0.16}$
$\mu = \sqrt{0.25}$
$\mu = 0.5$

(A) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશન $(AM)$ માં,કેરિયર વેવનો એમ્પ્લિટ્યુડ $A_c = 10 \ V$ છે અને સાઇડબેન્ડનો એમ્પ્લિટ્યુડ $A_m = 2 \ V$ છે.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{2 A_{sideband}}{A_c}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{2 \times 2}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$.
અહીં આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગણતરીમાં તફાવત હોઈ શકે છે,પરંતુ પ્રમાણિત પદ્ધતિ મુજબ જવાબ $0.4$ આવે છે.

(B) આપેલ છે:
માહિતી સિગ્નલની આવૃત્તિ,$f_s = 10 \text{ kHz}$
કેરિયર તરંગની આવૃત્તિ,$f_c = 3.61 \text{ MHz} = 3610 \text{ kHz}$
અપર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $(f_u)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_u = f_c + f_s = 3610 \text{ kHz} + 10 \text{ kHz} = 3620 \text{ kHz}$
લોઅર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $(f_l)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_l = f_c - f_s = 3610 \text{ kHz} - 10 \text{ kHz} = 3600 \text{ kHz}$
આમ,અપર સાઇડબેન્ડ અને લોઅર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $3620 \text{ kHz}$ અને $3600 \text{ kHz}$ છે.

(C) પલ્સ મોડ્યુલેશન એ એક એવી તકનીક છે જેમાં સતત-સમયના એનાલોગ સિગ્નલને પલ્સની શ્રેણી દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. પલ્સ મોડ્યુલેશનના મુખ્ય પ્રકારો પલ્સ એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશન $(PAM)$,પલ્સ ડ્યુરેશન મોડ્યુલેશન $(PDM)$ અથવા પલ્સ વિડ્થ મોડ્યુલેશન $(PWM)$,અને પલ્સ પોઝિશન મોડ્યુલેશન $(PPM)$ છે. પલ્સ બેન્ડ મોડ્યુલેશન એ પલ્સ મોડ્યુલેશન તકનીકનો પ્રમાણભૂત પ્રકાર નથી.

(D) આપેલ આવૃત્તિ $f = 3 \text{ MHz} = 3 \times 10^6 \text{ Hz}$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^6} = 100 \text{ m}$ છે.
અસરકારક પ્રસારણ માટે,એન્ટેનાનું કદ ઓછામાં ઓછું $\frac{\lambda}{4}$ હોવું જોઈએ.
તેથી,એન્ટેનાનું કદ $l = \frac{100}{4} = 25 \text{ m}$ થાય.

(D) $6 \ A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ $P$ બિંદુએ પ્રવેશે છે અને $R$ બિંદુએ બહાર નીકળે છે.
$P$ બિંદુએ,પ્રવાહ બે માર્ગોમાં વહેંચાય છે:
માર્ગ $1$: $PQ$ અને $QR$ શાખામાંથી શ્રેણીમાં. આ માર્ગનો અવરોધ $R_1 = 2 \ \Omega + 2 \ \Omega = 4 \ \Omega$ છે.
માર્ગ $2$: સીધી $PR$ શાખામાંથી. આ માર્ગનો અવરોધ $R_2 = 2 \ \Omega$ છે.
આ બંને માર્ગો $P$ અને $R$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર છે.
કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = I \times \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right) = 6 \times \left(\frac{2}{4 + 2}\right) = 6 \times \frac{2}{6} = 2 \ A$.
$I_2 = I \times \left(\frac{R_1}{R_1 + R_2}\right) = 6 \times \left(\frac{4}{4 + 2}\right) = 6 \times \frac{4}{6} = 4 \ A$.
આમ,$I_1 = 2 \ A$ અને $I_2 = 4 \ A$ થાય.

(D) ધારો કે દરેક કોષનું $EMF$ $E$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે. બાહ્ય અવરોધ $R = 2 \Omega$ છે.
કિસ્સો $1$: કોષો શ્રેણીમાં.
કુલ $EMF$ $2E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ છે. પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{2E}{R + 2r}$ ... $(i)$
કિસ્સો $2$: કોષો સમાંતરમાં.
કુલ $EMF$ $E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{r}{2}$ છે. પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{E}{R + \frac{r}{2}} = \frac{2E}{2R + r}$ ... (ii)
બંને કિસ્સામાં પ્રવાહ $I$ સમાન હોવાથી,આપણે $(i)$ અને (ii) ને સરખાવીએ છીએ:
$\frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{2R + r}$
$R + 2r = 2R + r$
$r = R$
અહીં $R = 2 \Omega$ આપેલ છે,તેથી $r = 2 \Omega$.

(D) આપેલ છે: $E_1 = 1.2 \ V$,$r_1 = 2 \ \Omega$,$E_2 = 1.5 \ V$,$r_2 = 1 \ \Omega$.
જ્યારે બે કોષોને સમાન ધ્રુવો સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય emf $E_{\text{eq}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{1.2}{2} + \frac{1.5}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{0.6 + 1.5}{0.5 + 1} = \frac{2.1}{1.5} = 1.4 \ V$.

(A) પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$I = \frac{V_{supply} - E}{R + r}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{120 - 8}{15.5 + 0.5} = \frac{112}{16} = 7 \ A$
ચાર્જિંગ દરમિયાન,બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = E + Ir$
$V = 8 + (7 \times 0.5)$
$V = 8 + 3.5 = 11.5 \ V$

(A) વાહકમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_d = \frac{eE\tau}{m}$
જ્યાં:
$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,
$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,
$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,
$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
આપેલ તાપમાને વાહક માટે $e$,$\tau$ અને $m$ અચળ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$v_d \propto E$.

(D) ધાતુના વાહકમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને આડછેદમાંથી વહેતા વિદ્યુતભારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અસમાન આડછેદ ધરાવતા વાહકમાંથી વહેતા સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમગ્ર વાહકમાં અચળ રહે છે કારણ કે કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતભારનો સંગ્રહ થઈ શકતો નથી.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$I = nAev_d$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
જેহেতু $I$ અચળ છે,જો ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાય,તો વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J = I/A$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = I/(nAe)$ બંનેએ અચળ પ્રવાહ જાળવી રાખવા માટે બદલાવવું પડે છે.
તેથી,માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ જ અચળ રહે છે.

(A) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને ચોરસમાં વાળવામાં આવે, ત્યારે દરેક બાજુનો અવરોધ $R/4$ થાય છે।
ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $A, B, C,$ અને $D$ છે। કોષને પાસપાસેના ખૂણાઓ $A$ અને $D$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે।
$A-B-C-D$ માર્ગનો કુલ અવરોધ $R/4 + R/4 + R/4 = 3R/4$ થાય છે।
સીધો માર્ગ $A-D$ નો અવરોધ $R/4$ છે।
આ બંને માર્ગો $12 \text{ V}$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે।
કોઈપણ વિકર્ણ (દા.ત., $A$ થી $C$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $A-B-C$ માર્ગ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે।
$A-B-C$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = V / R_{branch} = 12 / (3R/4) = 16/R$ છે।
વિકર્ણ $AC$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ શ્રેણીમાં રહેલા અવરોધો $AB$ અને $BC$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે:
$V_{AC} = I_1 \times (R/4 + R/4) = (16/R) \times (R/2) = 8 \text{ V}$.

(D) અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $q = 3t^2 - 2t + 6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ શોધવા માટે, આપણે વિદ્યુતભારનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$I = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 6) = 6t - 2$.
$t = 5 \, s$ સમયે, વિદ્યુતપ્રવાહ:
$I = 6(5) - 2 = 30 - 2 = 28 \, A$.
અવરોધ $R = 10 \, \Omega$ આપેલ છે。
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$:
$V = I \times R = 28 \, A \times 10 \, \Omega = 280 \, V$.

(A) આપેલ છે: આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$, પ્રવાહ $I = 1 \, A$, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = 7.5 \, V/m$.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ને $k = \frac{V}{l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ લંબાઈ $l$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
ઓમના નિયમ મુજબ, $V = I \cdot R$, જ્યાં $R = \rho \frac{l}{A}$.
$k$ ના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા: $k = \frac{I \cdot \rho \cdot l}{A \cdot l} = \frac{I \cdot \rho}{A}$.
અવરોધકતા $\rho$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\rho = \frac{k \cdot A}{I}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{7.5 \times 4 \times 10^{-4}}{1} = 30 \times 10^{-4} \, \Omega \cdot m = 3 \times 10^{-3} \, \Omega \cdot m$.

(D) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 99 \Omega$.
ધારો કે મુખ્ય પ્રવાહ $I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g = I$ નો $10 \% = \frac{I}{10}$.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - \frac{I}{10} = \frac{9I}{10}$.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_g \cdot G = I_s \cdot S$
$\frac{I}{10} \cdot 99 = \frac{9I}{10} \cdot S$
$99 = 9S$
$S = \frac{99}{9} = 11 \Omega$.
આમ,જરૂરી શંટ અવરોધનું મૂલ્ય $11 \Omega$ છે.

(D) ગેલ્વેનોમીટરની વોલ્ટેજ સંવેદિતા $(V_S)$ તેની પ્રવાહ સંવેદિતા $(I_S)$ અને અવરોધ $(R)$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $V_S = \frac{I_S}{R}$.
ગેલ્વેનોમીટર $G_1$ માટે: અવરોધ $R_1 = 100 \ \Omega$,પ્રવાહ સંવેદિતા $I_{S1} = 10^8 \ \text{div/A}$.
$V_{S1} = \frac{10^8}{100} = 10^6 \ \text{div/V}$.
ગેલ્વેનોમીટર $G_2$ માટે: અવરોધ $R_2 = 50 \ \Omega$,પ્રવાહ સંવેદિતા $I_{S2} = 0.5 \times 10^5 \ \text{div/A}$.
$V_{S2} = \frac{0.5 \times 10^5}{50} = \frac{50000}{50} = 1000 = 10^3 \ \text{div/V}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$V_{S1} = 10^6 \ \text{div/V}$ અને $V_{S2} = 10^3 \ \text{div/V}$ મળે છે.
$10^6 > 10^3$ હોવાથી,$G_1$ માં વોલ્ટેજ સંવેદિતા વધારે છે.

(D) જ્યારે લેમ્પ ઉપયોગમાં હોય,ત્યારે અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{240 \times 240}{60} = 960 \ \Omega$.
ધારો કે $R'$ એ ઠંડા ફિલામેન્ટનો અવરોધ છે (જ્યારે ઉપયોગમાં ન હોય).
પ્રશ્ન મુજબ,$R = 20 \times R'$.
તેથી,$R' = \frac{R}{20} = \frac{960}{20} = 48 \ \Omega$.

(B) સૌ પ્રથમ,કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરીને પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ શોધો. કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $36 \ V - 12 \ V = 24 \ V$ છે અને કુલ અવરોધ $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
$I = \frac{24 \ V}{5 \ \Omega} = 4.8 \ A$.
પ્રવાહ $36 \ V$ ની બેટરીમાંથી $12 \ V$ ની બેટરી તરફ વહે છે,એટલે કે ઉપરની શાખામાં $B$ થી $A$ તરફ.
બિંદુ $B$ થી શરૂ કરીને,જ્યાં સ્થિતિમાન $V_B = 24 \ V$ છે,આપણે $A$ તરફ જઈએ છીએ:
$V_A = V_B - 12 \ V - I \times 3 \ \Omega$
$V_A = 24 \ V - 12 \ V - (4.8 \ A \times 3 \ \Omega)$
$V_A = 12 \ V - 14.4 \ V = -2.4 \ V$.