यदि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $\left|\begin{array}{ccc} 1-x & -2 & 1 \\ -2 & 4-x & -2 \\ 1 & -2 & 1-x \end{array}\right|=0$ के मूल हैं,तो $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=$

यदि $a$ एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है जिसके लिए समीकरण निकाय $ax - a^2y + a^3z = 0$,$-a^2x + a^3y + az = 0$ और $a^3x + ay - a^2z = 0$ के अशून्य हल हैं,तो $|a|$ का मान क्या है?

यदि $P, Q$ और $R$ एक $\Delta PQR$ के कोण हैं,तो $\left|\begin{array}{ccc}-1 & \cos R & \cos Q \\ \cos R & -1 & \cos P \\ \cos Q & \cos P & -1\end{array}\right|$ का मान किसके बराबर है?

यदि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&1\\{{x_2}}&{{y_2}}&1\\{{x_3}}&{{y_3}}&1\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&1\\{{a_3}}&{{b_3}}&1\end{array}} \right|$ है,तो $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ और $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3)$ शीर्षों वाले दो त्रिभुज कैसे होने चाहिए?

मान लीजिए $x, y, z > 0$ क्रमशः $G.P.$ के $2^{nd}, 3^{rd}, 4^{th}$ पद हैं,और $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+1} & x^{k+2} \\ y^k & y^{k+1} & y^{k+2} \\ z^k & z^{k+1} & z^{k+2} \end{vmatrix} = (r-1)^2 \left(1 - \frac{1}{r^2}\right)$,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है। तो $k = \dots$

$\left|\begin{array}{ccc}\cos 3\pi & \sin 5\pi & \tan 7\pi \\ \sqrt{3} & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 1\end{array}\right| = $ . . . . . . .