AP EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम $(FLOT)$ से,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W = 0 + \Delta W = \Delta W$।
किया गया कार्य $\Delta W$,$P-V$ आरेख में चक्रीय प्रक्रिया द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r_P r_V$ है,जहाँ $r_P$ दबाव अक्ष के अनुदिश त्रिज्या है और $r_V$ आयतन अक्ष के अनुदिश त्रिज्या है।
$r_P = \frac{30 \text{ kPa} - 10 \text{ kPa}}{2} = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^{3} \text{ Pa}$।
$r_V = \frac{30 \text{ litre} - 10 \text{ litre}}{2} = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}$।
अतः,$\Delta Q = \pi \times (10 \times 10^{3} \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}) = \pi \times 100 \text{ J} = 100 \pi \text{ J} = 10^{2} \pi \text{ J}$।

(B) एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा अन्य रूपों जैसे ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए,अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ हमेशा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ से कम होती है।
$K_f < K_i$ या $K_i > K_f$।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 7 \text{ m/s}$, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.75$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$.
प्रारंभिक ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{7^2}{2 \times 10} = \frac{49}{20} = 2.45 \text{ m}$.
गेंद $v_1 = eu = 0.75 \times 7 = 5.25 \text{ m/s}$ के वेग से वापस उछलती है।
पहले उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $H_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2 H = (0.75)^2 \times 2.45 = 0.5625 \times 2.45 = 1.378125 \text{ m}$.
गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $S = H + 2H_1 + 2H_2 + \dots = H + 2(e^2H + e^4H + \dots) = H(1 + 2e^2(1 + e^2 + e^4 + \dots))$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर, $S = H(1 + 2e^2(\frac{1}{1-e^2})) = H(\frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2}) = H(\frac{1+e^2}{1-e^2})$.
मान रखने पर: $S = 2.45 \times \frac{1 + (0.75)^2}{1 - (0.75)^2} = 2.45 \times \frac{1 + 0.5625}{1 - 0.5625} = 2.45 \times \frac{1.5625}{0.4375} = 2.45 \times 3.5714 = 8.75 \text{ m}$.

(B) दिया गया है: $m_1 = 2 \,kg$, $m_2 = 4 \,kg$, टक्कर से पहले सापेक्ष वेग $u_{rel} = u_1 - u_2 = 10 \,ms^{-1}$, टक्कर के बाद सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_2 - v_1 = 4 \,ms^{-1}$.
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = \frac{v_{rel}}{u_{rel}} = \frac{4}{10} = 0.4$.
टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_{rel})^2 (1 - e^2)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \times 4}{2 + 4} \right) (10)^2 (1 - (0.4)^2)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{6} \right) (100) (1 - 0.16)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 100 \times 0.84$.
$\Delta K = \frac{2}{3} \times 84 = 56 \,J$.

(D) माना $H_0 = 6.25 \ m$ प्रारंभिक ऊँचाई है और $H_2 = 81 \ cm = 0.81 \ m$ दूसरे उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई है।
एक कठोर सतह पर उछलती हुई गेंद के लिए,$n$ उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $H_n = H_0 \cdot e^{2n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
दिया गया है $n = 2$,$H_0 = 6.25 \ m$,और $H_2 = 0.81 \ m$।
मान रखने पर:
$0.81 = 6.25 \cdot e^{2 \times 2}$
$0.81 = 6.25 \cdot e^4$
$e^4 = \frac{0.81}{6.25} = \frac{81}{625}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$e^2 = \sqrt{\frac{81}{625}} = \frac{9}{25} = 0.36$
पुनः वर्गमूल लेने पर:
$e = \sqrt{0.36} = 0.6$
अतः,प्रत्यावस्थान गुणांक $0.6$ है।

(A) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ के दो पिंडों के बीच एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,पिंड अपने वेगों की अदला-बदली कर लेते हैं।
दिया गया है:
$u_1 = 20 \ ms^{-1}$
$u_2 = -30 \ ms^{-1}$ (विपरीत दिशा में गति कर रही है)
समान द्रव्यमान की प्रत्यास्थ टक्कर के गुणधर्म के अनुसार:
$v_1 = u_2 = -30 \ ms^{-1}$
$v_2 = u_1 = 20 \ ms^{-1}$
अतः,टक्कर के बाद पहले पिंड का वेग $-30 \ ms^{-1}$ और दूसरे पिंड का वेग $20 \ ms^{-1}$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 250 \text{ g} = 0.25 \text{ kg} = \frac{1}{4} \text{ kg}$.
प्रारंभिक वेग $\vec{u} = -22 \hat{i} \text{ ms}^{-1}$.
अंतिम वेग $\vec{v} = 30 \cos 53^{\circ} \hat{i} + 30 \sin 53^{\circ} \hat{j} = 30(\frac{3}{5}) \hat{i} + 30(\frac{4}{5}) \hat{j} = 18 \hat{i} + 24 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$.
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = m(\vec{v} - \vec{u}) = \frac{1}{4} [(18 \hat{i} + 24 \hat{j}) - (-22 \hat{i})] = \frac{1}{4} [40 \hat{i} + 24 \hat{j}] = 10 \hat{i} + 6 \hat{j} \text{ Ns}$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{P}| = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \text{ Ns}$.
औसत बल $\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t} = \frac{\sqrt{136}}{0.01} = 100 \sqrt{136} \approx 100 \times 11.66 = 1166 \text{ N}$.

(B) संवेग $P$ और द्रव्यमान $m$ वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_H = K_L$।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{P_H^2}{2 m_H} = \frac{P_L^2}{2 m_L}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{P_H^2}{P_L^2} = \frac{m_H}{m_L}$,जिसका अर्थ है $\frac{P_H}{P_L} = \sqrt{\frac{m_H}{m_L}}$।
चूंकि पिंड भारी है,$m_H > m_L$,जिसका अर्थ है कि $\frac{m_H}{m_L} > 1$।
इसलिए,$\frac{P_H}{P_L} > 1$,जिससे यह सिद्ध होता है कि $P_H > P_L$।

(B) माना ब्लॉकों का त्वरण $a$ है। ढलान पर कार्य करने वाले बल $Mg \sin 60^{\circ}$ और $Mg \sin 30^{\circ}$ हैं।
गति का समीकरण $Mg \sin 60^{\circ} - Mg \sin 30^{\circ} = (M+M)a$ है।
$a = \frac{g(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ})}{2} = \frac{10(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})}{2} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2} \text{ ms}^{-2}$.
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{M\vec{a}_1 + M\vec{a}_2}{2M} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ है।
दो ढलानों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए इसका परिमाण $a_{cm} = \frac{\sqrt{a^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ होगा।
$a = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$ का मान रखने पर,$a_{cm} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो उसकी आवृत्ति केवल तरंग के स्रोत पर निर्भर करती है और बदलती नहीं है।
हालाँकि,माध्यम के अपवर्तनांक के आधार पर तरंग का वेग और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं।
इसलिए,तरंग की आवृत्ति स्थिर रहती है।

(A) दिया गया है: $h_1 = 6400 \,km$ ऊँचाई पर $g_1 = 2.5 \,ms^{-2}$। पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \,km$ है।
ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
इसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{(R+h)^2}$।
ऊँचाई $h_1 = 6400 \,km$ के लिए, केंद्र से दूरी $r_1 = R + h_1 = 6400 + 6400 = 12800 \,km = 2R$ है।
ऊँचाई $h_2 = 12800 \,km$ के लिए, केंद्र से दूरी $r_2 = R + h_2 = 6400 + 12800 = 19200 \,km = 3R$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{g_2}{g_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{2R}{3R} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$।
अतः, $g_2 = \frac{4}{9} \times g_1 = \frac{4}{9} \times 2.5 = \frac{10}{9} \approx 1.11 \,ms^{-2}$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$ है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R_E$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $g_h = \frac{g}{4}$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{g}{4} = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{R_E}{R_E + h}$
$R_E + h = 2R_E$
$h = R_E$
चूँकि $R_E = 6400 \ km$ दिया गया है,इसलिए $h = 6400 \ km$ होगा।

(C) रॉकेट की प्रारंभिक गति $v_i = 0.5 v_e = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,अंतिम वेग $v_f = 0$ होता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m v_i^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v_i^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{2GM}{R} \right) = \frac{GM}{2R}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2} m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$

(A) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की पृथ्वी की सतह (त्रिज्या $R$) पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
जब पिंड को $h = 150\% \text{ of } R$ की ऊँचाई पर ले जाया जाता है,तो $h = 1.5R$ होता है।
इस ऊँचाई पर पृथ्वी के केंद्र से पिंड की दूरी $R' = R + h = R + 1.5R = 2.5R$ होती है।
नई गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $E'$ का मान $E' = -\frac{GMm}{R'} = -\frac{GMm}{2.5R}$ है।
$E = -\frac{GMm}{R}$ को $E'$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E' = \frac{E}{2.5} = 0.4E$ प्राप्त होता है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto r^3$
पहले उपग्रह के लिए, कक्षीय त्रिज्या $r_1 = R$ है (जहाँ $R$ ग्रह की त्रिज्या है)।
दूसरे उपग्रह के लिए, ऊंचाई $h = 3R$ है, इसलिए कक्षीय त्रिज्या $r_2 = R + 3R = 4R$ होगी।
अनुपात का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{4R}{R}\right)^3 = 4^3 = 64$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$
दिया गया है कि $T_1 = 80 \text{ मिनट}$, इसलिए:
$T_2 = 8 \times 80 \text{ मिनट} = 640 \text{ मिनट}$।

(D) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m_s$ द्रव्यमान के उपग्रह द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M_E m_s}{r^2}$ है।
पहले उपग्रह के लिए: द्रव्यमान $m_1 = m$,ऊंचाई $h_1 = R_E$,अतः दूरी $r_1 = R_E + R_E = 2 R_E$। बल $F_1 = \frac{G M_E m}{(2 R_E)^2} = \frac{G M_E m}{4 R_E^2}$।
दूसरे उपग्रह के लिए: द्रव्यमान $m_2 = 1.5 m$,ऊंचाई $h_2 = 2 R_E$,अतः दूरी $r_2 = R_E + 2 R_E = 3 R_E$। बल $F_2 = \frac{G M_E (1.5 m)}{(3 R_E)^2} = \frac{1.5 G M_E m}{9 R_E^2} = \frac{G M_E m}{6 R_E^2}$।
अधिकतम बल $F_{\max} = F_1 + F_2 = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{3+2}{12}) = \frac{5}{12} \frac{G M_E m}{R_E^2}$।
न्यूनतम बल $F_{\min} = F_1 - F_2 = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{3-2}{12}) = \frac{1}{12} \frac{G M_E m}{R_E^2}$।
अनुपात $\frac{F_{\min}}{F_{\max}} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5} = 1: 5$।

(D) $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमण कर रहे उपग्रह का आवर्तकाल $T$,केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $R^3 \propto T^2$,या $R \propto T^{2/3}$।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2R}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $G$,$M$,और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $K \propto \frac{1}{R}$ होता है।
संबंध $R \propto T^{2/3}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K \propto \frac{1}{T^{2/3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$K \propto T^{-2/3}$।

(D) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अनंत दूरी पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}$
दिया गया प्रारंभिक वेग $v_{i} = 2 v_{e}$,जहाँ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R_{E}}}$ पलायन वेग है।
सतह पर: $K_{i} = \frac{1}{2} m(2 v_{e})^2 = 2 m v_{e}^2$ और $U_{i} = -\frac{GMm}{R_{E}} = -m v_{e}^2$।
अनंत पर: $U_{f} = 0$ और $K_{f} = \frac{1}{2} m v^2$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 m v_{e}^2 - m v_{e}^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$m v_{e}^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 v_{e}^2$
$v = \sqrt{2} v_{e}$

(B) '$r$' त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में स्थित उपग्रह के लिए,गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ और स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ होती है।
अतः,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_{total} = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} = -K = -E$ होती है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन करने के लिए,उपग्रह की अंतिम कुल ऊर्जा कम से कम $0$ होनी चाहिए।
माना कि जोड़ी जाने वाली ऊर्जा $\Delta E$ है।
$E_{final} = E_{initial} + \Delta E = 0$.
$-E + \Delta E = 0$.
$\Delta E = E$.

(B) द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_{v_1} = \frac{f_1 R}{2} = \frac{5 R}{2}$ है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_{p_1} = C_{v_1} + R = \frac{5 R}{2} + R = \frac{7 R}{2} = C$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_{v_2} = \frac{f_2 R}{2} = \frac{3 R}{2}$ है।
अब,अनुपात लेने पर $\frac{C}{C_{v_2}} = \frac{\frac{7 R}{2}}{\frac{3 R}{2}} = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_{v_2} = \frac{3 C}{7}$ होगा।

(C) दिया गया है: $n_1 = 1 \text{ mole}$,$n_2 = 1 \text{ mole}$,$\gamma_1 = \frac{7}{5}$,$\gamma_2 = \frac{4}{3}$.
गैसों के मिश्रण के लिए,समतुल्य रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{\text{mix}}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{n_1 + n_2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
मान रखने पर:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{\frac{7}{5} - 1} + \frac{1}{\frac{4}{3} - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{\frac{2}{5}} + \frac{1}{\frac{1}{3}}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{5}{2} + 3 = \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2}$
$\gamma_{\text{mix}} - 1 = \frac{4}{11}$
$\gamma_{\text{mix}} = 1 + \frac{4}{11} = \frac{15}{11}$.

(A) विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए: $f=3$,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$। अतः,$A-II$।
द्विपरमाणुक (दृढ़) गैस के लिए: $f=5$,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$। अतः,$B-III$।
द्विपरमाणुक (अदृढ़) गैस के लिए: $f=7$,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$। अतः,$C-IV$।
बहुपरमाणुक गैस के लिए: $\gamma$ का सामान्य सूत्र $\frac{4+f}{3+f}$ है। अतः,$D-I$।
इसलिए,सही मिलान $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
$\therefore (C_{p})_1 = (1 + \frac{f}{2}) R = (1 + \frac{3}{2}) R = \frac{5 R}{2}$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है।
$\therefore (C_{p})_2 = (1 + \frac{f}{2}) R = (1 + \frac{5}{2}) R = \frac{7 R}{2}$.
अतः,अनुपात $\frac{(C_{p})_1}{(C_{p})_2} = \frac{5 R / 2}{7 R / 2} = 5 : 7$ है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र एक-परमाणुक गैस के लिए $U = \frac{3}{2} PV$ होता है।
दिए गए मान $V = 3 \,m^3$ और $P = 3 \times 10^5 \,Pa$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{3}{2} \times (3 \times 10^5 \,Pa) \times (3 \,m^3)$
$U = \frac{3}{2} \times 9 \times 10^5 \,J$
$U = 1.5 \times 9 \times 10^5 \,J$
$U = 13.5 \times 10^5 \,J$.

(C) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रति अणु प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} K T$ होती है,जहाँ $K$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
यह दिया गया है कि गैस में $n$ स्वतंत्रता की कोटि हैं,इसलिए प्रति अणु कुल औसत गतिज ऊर्जा प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी गतिज ऊर्जा का योग है।
अतः,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $= n \times (\frac{1}{2} K T) = \frac{n K T}{2}$.

(D) गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K = \frac{f}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$NTP$ (कम तापमान) पर द्वि-परमाणुक गैस अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) होती है।
उच्च तापमान पर,कंपन मोड भी सक्रिय हो जाता है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 7$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन + $2$ कंपन) हो जाती है।
ऊर्जा अवस्थाओं की तुलना के लिए तापमान $T$ को समान मानते हुए,उच्च तापमान पर गतिज ऊर्जा और $NTP$ पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{high}}{K_{NTP}} = \frac{f_2}{f_1} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) किसी दिए गए तापमान $T$ पर $m$ द्रव्यमान वाले गैस अणु का rms वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ अणु के द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।

(A) गैस के अणु की rms चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होता है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 90^{\circ} C = 90 + 273 = 363 \ K$ है।
rms चाल का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{300}} = \sqrt{1.21} = 1.1$ है।
rms चाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{v_2 - v_1}{v_1} \times 100 = (\frac{v_2}{v_1} - 1) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$(1.1 - 1) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10 \%$ प्राप्त होता है।

(B) निकाय का त्वरण $a$,$a = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) g$ द्वारा दिया जाता है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $S = 3 \ m$,$u = 0$,और $t = 3 \ s$ है:
$3 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (3)^2$
$3 = \frac{1}{2} \times a \times 9$
$a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ ms^{-2}$.
अब,$a$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$\frac{2}{3} = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) \times 10$
$\frac{2}{30} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$\frac{1}{15} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = 15m_1 - 15m_2$
$16m_2 = 14m_1$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$.

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 2m + 4m + 6m = 12m$ है।
दाहिनी ओर के ब्लॉकों के लिए ढलान की दिशा में कार्य करने वाला प्रेरक बल $F_1 = (4m + 6m)g \sin 53^{\circ} = 10mg \sin 53^{\circ}$ है।
बाईं ओर के ब्लॉक के लिए ढलान की विपरीत दिशा में कार्य करने वाला बल $F_2 = 2mg \sin 37^{\circ}$ है।
निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर,$F_{net} = Ma$,जहाँ $F_{net} = F_1 - F_2$:
$10mg \sin 53^{\circ} - 2mg \sin 37^{\circ} = 12ma$
दिए गए मान $\sin 53^{\circ} = \frac{4}{5}$ और $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ रखने पर:
$10mg \left(\frac{4}{5}\right) - 2mg \left(\frac{3}{5}\right) = 12ma$
$8mg - 1.2mg = 12ma$
$6.8mg = 12ma$
$a = \frac{6.8}{12} g = \frac{68}{120} g = \frac{17}{30} g$.

(A) प्रणाली का त्वरण $a$ इस प्रकार दिया गया है:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g = \left( \frac{2m - m}{2m + m} \right) \times 10 = \frac{10}{3} \ ms^{-2}$
$t = 5.4 \ s$ समय के बाद,प्रत्येक ब्लॉक की चाल:
$v = at = \frac{10}{3} \times 5.4 = 18 \ ms^{-1}$
$m$ द्रव्यमान का ब्लॉक $v_1 = 18 \ ms^{-1}$ के वेग से ऊपर की ओर गति करता है (मान लीजिए यह धनात्मक दिशा है),और $2m$ द्रव्यमान का ब्लॉक $v_2 = -18 \ ms^{-1}$ के वेग से नीचे की ओर गति करता है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(18) + 2m(-18)}{m + 2m} = \frac{18m - 36m}{3m} = \frac{-18m}{3m} = -6 \ ms^{-1}$
चाल वेग का परिमाण है,जो $6 \ ms^{-1}$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10 \ ms^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \ ms^{-1}$,दूरी $S = 12.5 \ m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है,जहाँ $\mu$ गतिज घर्षण गुणांक है।
इस घर्षण बल द्वारा उत्पन्न मंदन $a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2aS$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 0$:
$0 = u^2 - 2aS$
$u^2 = 2aS$
$S = \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2 \mu g}$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$12.5 = \frac{(10)^2}{2 \times \mu \times 10}$
$12.5 = \frac{100}{20 \mu}$
$12.5 = \frac{5}{\mu}$
$\mu = \frac{5}{12.5} = \frac{50}{125} = 0.4$।
अतः,गतिज घर्षण गुणांक $0.4$ है।

(B) पिंड तब तक नहीं फिसलेगा जब तक कि अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल,बोर्ड के अधिकतम त्वरण को प्रदान करने के लिए आवश्यक बल से अधिक या उसके बराबर हो।
$F_{\text{friction, max}} \ge m a_{\max}$
$\mu m g \ge m \omega^2 A$
$\mu \ge \frac{\omega^2 A}{g}$
यहाँ,आयाम $A = 0.3 \ m$,आवर्तकाल $T = 4 \ s$,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$.
मान रखने पर:
$\mu = \frac{(\frac{\pi}{2})^2 \times 0.3}{10} = \frac{\frac{\pi^2}{4} \times 0.3}{10} \approx \frac{9.8696 \times 0.3}{40} \approx 0.07402$.
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{10 \times 0.3}{4 \times 10} = \frac{0.3}{4} = 0.075$.

(A) अधिकतम ऊँचाई पर,कीड़ा फिसलने की स्थिति में होता है। कीड़े पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर),अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर),और सीमांत घर्षण $f = \mu N$ (स्पर्शरेखा की दिशा में ऊपर की ओर) हैं।
भार $mg$ को घटकों में वियोजित करने पर,हमें अभिलंब दिशा में $mg \cos \theta$ और स्पर्शरेखा दिशा में $mg \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अभिलंब दिशा में संतुलन के लिए: $N = mg \cos \theta$.
स्पर्शरेखा दिशा में संतुलन के लिए: $f = mg \sin \theta$.
चूंकि $f = \mu N$,इसलिए $\mu N = mg \sin \theta$ है।
$N = mg \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu (mg \cos \theta) = mg \sin \theta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\tan \theta = \mu$ हो जाता है।
कटोरे के तल से कीड़े की ऊँचाई $H = R - R \cos \theta = R(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है।
सर्वसमिका $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ का उपयोग करते हुए और $\tan \theta = \mu$ रखने पर,हमें $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम ऊँचाई $H = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}\right)$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$,आरोपित बल $F = 60 \ N$,और $g = 10 \ ms^{-2}$।
सबसे पहले,ब्लॉक पर कार्य करने वाले सीमांत घर्षण बल $f_l$ की गणना करें:
$f_l = \mu N = \mu mg = 0.5 \times 5 \times 10 = 25 \ N$।
चूंकि आरोपित बल $F = 60 \ N$,सीमांत घर्षण बल $f_l = 25 \ N$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक गति करेगा।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_l = 60 - 25 = 35 \ N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$,त्वरण $a$ होगा:
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{35}{5} = 7 \ ms^{-2}$।

(B) $\theta$ कोण वाले नत समतल पर $m$ द्रव्यमान के पिंड पर विचार करें। पिंड पर कार्य करने वाले बल निम्नलिखित हैं:
$1$. नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक: $mg \sin \theta$.
$2$. समतल के लंबवत कार्य करने वाला अभिलंब बल: $N = mg \cos \theta$.
$3$. समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल: $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$.
नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $F_{\text{net}}$,गुरुत्वाकर्षण घटक और घर्षण बल का अंतर है:
$F_{\text{net}} = mg \sin \theta - f_k = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F_{\text{net}} = ma$ का उपयोग करते हुए:
$ma = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर,त्वरण $a$ प्राप्त होता है:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.

(B) कण पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f_r = \mu m g$ है।
चूंकि कण गति कर रहा है,इसलिए त्वरण $a = \frac{-f_r}{m} = \frac{-\mu m g}{m} = -\mu g$ है।
रुकने में लगा समय $v = u + at$ से प्राप्त होता है। $v = 0$ रखने पर,$0 = u - \mu g t$,जिससे $t = \frac{u}{\mu g}$ प्राप्त होता है।
घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_f = \Delta K = 0 - \frac{1}{2} m u^2 = -\frac{1}{2} m u^2$।
घर्षण द्वारा प्रदान की गई औसत शक्ति $P_{av} = \frac{|W_f|}{t} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{u}{\mu g}} = \frac{1}{2} \mu m g u$ है।

(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 18.5 \ kg$
बल $F = 40 \ N$
रस्सी की लंबाई $L = 3 \ m$
रस्सी का रैखिक घनत्व $\mu = 0.5 \ kg \ m^{-1}$
दूरी $s = 9 \ m$
रस्सी का द्रव्यमान $m_r = \mu \times L = 0.5 \times 3 = 1.5 \ kg$
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m_r = 18.5 + 1.5 = 20 \ kg$
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M_{total}} = \frac{40}{20} = 2 \ m \ s^{-2}$
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$9 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2$
$9 = t^2$
$t = 3 \ s$

(D) माना द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 4m$ हैं। दोनों पर समान बल $F$ लगाया जाता है।
पहली वस्तु का त्वरण: $a_1 = F/m$.
दूसरी वस्तु का त्वरण: $a_2 = F/(4m) = a_1/4$.
चूंकि वे विरामावस्था से शुरू होती हैं,$t$ समय बाद उनका वेग $v = at$ होगा।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(at)^2 = \frac{1}{2}ma^2t^2$.
पहली वस्तु के लिए: $K_1 = \frac{1}{2}m(a_1)^2t_1^2$.
दूसरी वस्तु के लिए: $K_2 = \frac{1}{2}(4m)(a_2)^2t_2^2 = \frac{1}{2}(4m)(a_1/4)^2t_2^2 = \frac{1}{2}(4m)(a_1^2/16)t_2^2 = \frac{1}{2}m(a_1^2/4)t_2^2$.
दिया गया है कि $K_1 = K_2$,इसलिए $\frac{1}{2}m a_1^2 t_1^2 = \frac{1}{2}m (a_1^2/4) t_2^2$.
सरल करने पर,$t_1^2 = t_2^2/4$,जिसका अर्थ है $t_1^2/t_2^2 = 1/4$.
अतः,$t_1/t_2 = 1/2$.

(B) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$M = 2 \,kg$
पानी के प्रवाह की दर,$\frac{dm}{dt} = 1 \,kg \,s^{-1}$
पानी की फुहार का वेग,$v = 5 \,ms^{-1}$
पानी की फुहार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \cdot \frac{dm}{dt}$
मान रखने पर:
$F = 5 \,ms^{-1} \times 1 \,kg \,s^{-1} = 5 \,N$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक का त्वरण $a$ होगा:
$a = \frac{F}{M} = \frac{5 \,N}{2 \,kg} = 2.5 \,ms^{-2}$

(D) कन्वेयर बेल्ट पर व्यक्ति का अधिकतम संभव त्वरण ढलान के अनुदिश कुल बल को द्रव्यमान से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$a_{\max} = \frac{\mu m g \cos \theta - m g \sin \theta}{m} = g(\mu \cos \theta - \sin \theta)$
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$,$\mu = \frac{5}{3 \sqrt{3}}$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,और $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है:
$a_{\max} = g \left( \frac{5}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) = g \left( \frac{5}{6} - \frac{3}{6} \right) = \frac{g}{3}$
कन्वेयर बेल्ट की लंबाई $L$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2h$ है।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का प्रारंभिक वेग $u = \sqrt{\frac{g h}{6}}$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करने पर:
$2h = \left( \sqrt{\frac{g h}{6}} \right) t + \frac{1}{2} \left( \frac{g}{3} \right) t^2$
$2h = \frac{t \sqrt{gh}}{\sqrt{6}} + \frac{gt^2}{6}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$12h = t \sqrt{6gh} + gt^2$
$gt^2 + t \sqrt{6gh} - 12h = 0$
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{-\sqrt{6gh} + \sqrt{6gh + 48gh}}{2g} = \frac{-\sqrt{6gh} + \sqrt{54gh}}{2g} = \frac{2\sqrt{6gh}}{2g} = \sqrt{\frac{6h}{g}}$

(D) दिया गया है: ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 4 \ kg$,पानी का वेग $v = 10 \ m \ s^{-1}$,और द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = 2 \ kg \ s^{-1}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पानी के जेट द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = v \cdot \left(\frac{dm}{dt}\right)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$F = 10 \times 2 = 20 \ N$
अब,ब्लॉक के लिए न्यूटन के दूसरे नियम $(F = Ma)$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{F}{M} = \frac{20 \ N}{4 \ kg} = 5 \ m \ s^{-2}$
अतः,ब्लॉक का त्वरण $5 \ m \ s^{-2}$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,त्वरण $a = 4 \ m/s^2$,कोण $\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
स्थिति $1$: पिंड नीचे की ओर फिसल रहा है।
समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta = 2 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 20 \times 0.5 = 10 \ N$ है।
माना $f$ ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल है। गति का समीकरण है:
$mg \sin \theta - f = ma$
$10 - f = 2 \times 4$
$10 - f = 8$
$f = 2 \ N$.
स्थिति $2$: पिंड उसी त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रहा है।
माना $F$ ऊपर की ओर लगाया गया बाहरी बल है। घर्षण बल $f$ अब नीचे की ओर कार्य करेगा।
गति का समीकरण है:
$F - mg \sin \theta - f = ma$
$F - 10 - 2 = 2 \times 4$
$F - 12 = 8$
$F = 20 \ N$.

(A) एक स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने के लिए आवश्यक कार्य $W$ का सूत्र है: $W = \frac{1}{2} k(x_2^2 - x_1^2)$।
दिया गया है:
स्प्रिंग नियतांक $k = 5 \times 10^3 \text{ Nm}^{-1}$।
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$।
अंतिम विस्तार $x_2 = 10 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$।
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^3 \times [(0.2)^2 - (0.1)^2]$
$W = 2500 \times [0.04 - 0.01]$
$W = 2500 \times 0.03 = 75 \text{ J}$।

(A) दिया गया है: $m = 3 \ kg$,$K_1 = 50 \ Nm^{-1}$,$K_2 = 150 \ Nm^{-1}$,$g = 10 \ ms^{-2}$.
चूंकि ब्लॉक दो समानांतर स्प्रिंगों के बीच जुड़ा हुआ है,इसलिए समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq} = K_1 + K_2 = 50 + 150 = 200 \ Nm^{-1}$ है।
संतुलन स्थिति वह है जहां स्प्रिंग बल भार को संतुलित करता है: $K_{eq} x_0 = mg \implies x_0 = \frac{mg}{K_{eq}} = \frac{3 \times 10}{200} = 0.15 \ m$.
ब्लॉक को बिना खिंची स्थिति से छोड़ा जाता है,इसलिए दोलन का आयाम $A = x_0 = 0.15 \ m$ है।
सबसे निचले स्थान पर,ब्लॉक संतुलन स्थिति से नीचे $x = 2A = 2 \times 0.15 = 0.3 \ m$ के विस्थापन पर होता है।
वहां कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = K_{eq} x - mg = 200(0.3) - 3(10) = 60 - 30 = 30 \ N$ है।
अतः त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{30}{3} = 10 \ ms^{-2}$ होगा।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \text{ kg}$,स्प्रिंग नियतांक $K = 8 \times 10^3 \text{ Nm}^{-1}$,$g = 10 \text{ ms}^{-2}$।
निचली घिरनी के फ्री बॉडी डायग्राम से,$4 \text{ kg}$ द्रव्यमान को सहारा देने वाली डोरी में तनाव $T = mg = 4 \times 10 = 40 \text{ N}$ है।
निचली घिरनी डोरी के दो भागों द्वारा समर्थित है,जिनमें से प्रत्येक में तनाव $T$ है। अतः,निचली घिरनी द्वारा ऊपरी घिरनी पर लगाया गया बल $2T = 2 \times 40 = 80 \text{ N}$ है।
ऊपरी घिरनी स्प्रिंग और जमीन से जुड़ी डोरी द्वारा समर्थित है। ऊपरी घिरनी पर कुल अधोगामी बल जमीन से जुड़ी डोरी का तनाव $(2T)$ और निचली घिरनी द्वारा लगाया गया बल $(2T)$ का योग है।
इसलिए,स्प्रिंग में कुल बल $F = 2T + 2T = 4T = 4 \times 40 = 160 \text{ N}$ है।
हुक के नियम का उपयोग करते हुए,स्प्रिंग में विस्तार $x = \frac{F}{K} = \frac{160}{8 \times 10^3} = 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $|\vec{P}+\vec{Q}|=|\vec{P}|=|\vec{Q}|$। मान लीजिए $|\vec{P}|=|\vec{Q}|=P$ है।
सदिश योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$|\vec{P}+\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ \cos \theta}$।
चूंकि $|\vec{P}+\vec{Q}|=P$,इसलिए $P = \sqrt{P^2+P^2+2P^2 \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$P^2 = 2P^2 + 2P^2 \cos \theta$।
$P^2$ से विभाजित करने पर,$1 = 2 + 2 \cos \theta$।
$2 \cos \theta = -1 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 120^{\circ}$।

(B) मान लीजिए कि दो सदिश $\overrightarrow{A} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{B} = 2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 4 \hat{k}$ हैं।
परिणामी सदिश $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = (2+2) \hat{i} + (3-7) \hat{j} + (4-4) \hat{k} = 4 \hat{i} - 4 \hat{j} + 0 \hat{k}$ है।
परिणामी सदिश का परिमाण $R = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
परिणामी सदिश द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{R_x}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R_x = 4$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,$\theta = 45^{\circ}$ है।

(A) दिया गया है: $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 4 \%$.
गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = 3 \% + 2(4 \%) = 3 \% + 8 \% = 11 \%$.
अतः,गतिज ऊर्जा में प्रतिशत त्रुटि $11 \%$ है।

(C) दिया गया है: विभवांतर $V = (30 \pm 0.3) \ V$ और धारा $I = (5 \pm 0.1) \ A$ है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I}$ होता है।
प्रतिरोध में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{0.3}{30} + \frac{0.1}{5}$।
$\frac{\Delta R}{R} = 0.01 + 0.02 = 0.03$।
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3 \%$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,दिए गए मान इस प्रकार हैं:
$L = 10 \ H$,$C = 40 \ \mu F$,$R = 60 \ \Omega$,और $V = 240 \ V$.
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है,जिसका अर्थ है कि परिपथ की कुल प्रतिबाधा $(Z)$ प्रतिरोध $(R)$ के बराबर होती है।
$Z = R = 60 \ \Omega$.
अनुनाद पर धारा $(I)$ का मान ओम के नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{240 \ V}{60 \ \Omega} = 4 \ A$.

(C) दिया गया वोल्टेज $V = 144 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2}\right) \text{ V}$ और धारा $I = 6 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{6}\right) \text{ A}$ है।
मानक रूपों $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_V)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_I)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $V_0 = 144 \text{ V}$,$I_0 = 6 \text{ A}$,और कलांतर $\phi = \phi_V - \phi_I = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ प्राप्त होता है।
$LR$ श्रेणी परिपथ में,कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan(60^\circ) = \frac{X_L}{R} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{X_L}{R} \Rightarrow X_L = \sqrt{3} R$.
प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{144}{6} = 24 \ \Omega$ है।
साथ ही,$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
$X_L = \sqrt{3} R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $24 = \sqrt{R^2 + (\sqrt{3} R)^2} = \sqrt{R^2 + 3R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = \frac{24}{2} = 12 \ \Omega$।

(A) परिपथ $A$ ($LR$ परिपथ) के लिए:
$R_{eq} = 4 + \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 + \frac{72}{18} = 4 + 4 = 8 \text{ } \Omega$.
$L_{eq} = 2 \text{ H}$.
समय नियतांक $\tau_{A} = \frac{L_{eq}}{R_{eq}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \text{ s}$.
परिपथ $B$ ($RC$ परिपथ) के लिए:
$R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \text{ } \Omega$.
$C_{eq} = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ F}$.
समय नियतांक $\tau_{B} = R_{eq} C_{eq} = 5 \times 1 = 5 \text{ s}$.

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है।
दिया गया है, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2R$ है।
अनुनाद की स्थिति में, $X_C = X_L = 2R$ होगा।
अनुनाद पर परिपथ की प्रतिबाधा $Z$, प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है, क्योंकि $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + 0} = R$ है।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर, $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, शक्ति गुणांक $1$ है और $X_C = 2R$ है।

(B) शक्ति गुणांक को इकाई $(\cos \phi = 1)$ बनाने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) और धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) बराबर होते हैं,अर्थात $X_L = X_C$.
इसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,जहाँ $\omega = 2 \pi f$.
मान रखने पर: $2 \pi f = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
यहाँ $f = 50 \text{ Hz}$,$L = 10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H}$ दिया गया है।
$2 \pi \times 50 = \frac{1}{\sqrt{10 \times 10^{-3} \times C}}$.
$100 \pi = \frac{1}{\sqrt{0.01 \times C}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(100 \pi)^2 = \frac{1}{0.01 \times C}$.
$10000 \times \pi^2 = \frac{1}{0.01 \times C}$.
$C = \frac{1}{10000 \times \pi^2 \times 0.01} = \frac{1}{100 \times \pi^2} \approx \frac{1}{100 \times 9.8696} \approx \frac{1}{986.96} \approx 1.0132 \times 10^{-3} \text{ F}$.
अतः,आवश्यक धारिता का मान लगभग $1.014 \times 10^{-3} \text{ F}$ है।

(A) दिया गया है: $R = 30 \, \Omega$, $X_{L} = 25 \, \Omega$, $X_{C} = 25 \, \Omega$, और $V_{rms} = 240 \, V$.
$LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_{L} - X_{C})^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $Z = \sqrt{30^2 + (25 - 25)^2} = \sqrt{30^2 + 0} = 30 \, \Omega$.
एमीटर का पाठ्यांक $rms$ धारा है: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{240}{30} = 8 \, A$.
वोल्टमीटर प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन के सिरों पर जुड़ा है। इस संयोजन पर वोल्टेज $V_{LC} = I_{rms} \times |X_{L} - X_{C}|$ है।
मान रखने पर, $V_{LC} = 8 \times |25 - 25| = 8 \times 0 = 0 \, V$.
अतः, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0 \, V$ और एमीटर का पाठ्यांक $8 \, A$ है।

(A) बल्ब $A$ के लिए जो इंडक्टर $L = 100 \ mH$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,धारा $I_1 = \frac{V_0}{X_L} = \frac{V_0}{\omega L} = \frac{V_0}{\omega \times 100 \times 10^{-3}} = \frac{10 V_0}{\omega}$ है।
बल्ब $B$ के लिए जो कैपेसिटर $C = 10 \ pF$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,धारा $I_2 = \frac{V_0}{X_C} = V_0 \omega C = V_0 \omega \times 10 \times 10^{-12}$ है।
चूंकि सामान्य आवृत्तियों पर इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L$,कैपेसिटिव रिएक्टेंस $X_C$ की तुलना में बहुत कम होता है,इसलिए बल्ब $A$ से प्रवाहित धारा $I_1$,बल्ब $B$ से प्रवाहित धारा $I_2$ से काफी अधिक है।
अतः,$I_1 > I_2$,जिसका अर्थ है कि बल्ब $A$ अधिक चमकीला जलेगा।

(D) दिया गया है: $R = 20 \Omega$,$V = 200 \sin (10 \pi t)$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R} = \frac{200}{20} \sin (10 \pi t) = 10 \sin (10 \pi t)$.
शिखर धारा $I_0 = 10 \text{ A}$ है।
rms धारा $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \text{ A}$ है।
शिखर मान पर,$10 = 10 \sin (10 \pi t_1) \Rightarrow \sin (10 \pi t_1) = 1 \Rightarrow 10 \pi t_1 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{20} \text{ s}$.
rms मान पर,$\frac{10}{\sqrt{2}} = 10 \sin (10 \pi t_2) \Rightarrow \sin (10 \pi t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 10 \pi t_2 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_2 = \frac{1}{40} \text{ s}$.
शिखर से rms तक बदलने में लगा समय $\Delta t = t_1 - t_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} = 0.025 \text{ s} = 2.5 \times 10^{-2} \text{ s}$.

(C) दी गई प्रत्यावर्ती धारा $i = 3 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ है।
हम इसे $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $I_0$ शिखर धारा (peak current) है।
$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$I_0 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ A$.
$rms$ धारा का सूत्र $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ होता है।
$I_0$ का मान रखने पर,हमें $I_{rms} = \frac{5}{\sqrt{2}} \ A$ प्राप्त होता है।

(D) जब किसी परमाणु के आंतरिक कोशों में इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निचले ऊर्जा स्तर में संक्रमण करते हैं,तो वे उच्च-ऊर्जा फोटॉन के रूप में विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करते हैं।
इन संक्रमणों में ऊर्जा का अंतर बहुत अधिक होता है,जो विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र के अनुरूप होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। न्यूनतम तरंगदैर्ध्य के लिए $n_2 = \infty$ लेने पर,
$\frac{1}{\lambda_{\text{min, Balmer}}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \Rightarrow \lambda_{\text{min, Balmer}} = \frac{4}{R}$।
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$। अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए $n_2 = 5$ लेने पर,
$\frac{1}{\lambda_{\text{max, Brackett}}} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25 - 16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$।
$\lambda_{\text{max, Brackett}} = \frac{400}{9R}$।
अनुपात $\frac{\lambda_{\text{min, Balmer}}}{\lambda_{\text{max, Brackett}}} = \frac{4/R}{400/9R} = \frac{4}{R} \times \frac{9R}{400} = \frac{36}{400} = \frac{9}{100}$।

(C) संक्रमण अवस्था $n$ से मूल अवस्था $(n=1)$ तक दो चरणों में होता है।
माना मध्यवर्ती अवस्था $n_2$ है।
प्रथम संक्रमण के लिए ($n_2$ से $n_1=1$),तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 304 \ \mathring{A}$ है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$He^{+}$ के लिए,$Z=2$,अतः $Z^2 = 4$.
$\frac{1}{304 \times 10^{-10}} = 1.097 \times 10^7 \times 4 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
गणना करने पर $n_2 = 2$ प्राप्त होता है।
दूसरे संक्रमण के लिए ($n$ से $n_2=2$),तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 1026 \ \mathring{A}$ है।
$\frac{1}{1026 \times 10^{-10}} = 1.097 \times 10^7 \times 4 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
इस समीकरण को हल करने पर $n^2 = 36$ प्राप्त होता है,अतः $n = 6$।

(D) ऊर्जा स्तर आरेख से,$C$ से $A$ तक के संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $C$ से $B$ और $B$ से $A$ तक के संक्रमणों के लिए ऊर्जा अंतर के योग के बराबर है।
$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
अतः,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।

(C) $barn$ नाभिकीय और कण भौतिकी में प्रयुक्त क्षेत्रफल का एक गैर-$SI$ मात्रक है,जिसका उपयोग नाभिकों और नाभिकीय अभिक्रियाओं के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (cross-sectional area) को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। $1 \ barn = 10^{-28} \ m^2$। इसलिए,इसका उपयोग प्रकीर्णन अनुप्रस्थ काट (scattering cross-section) को मापने के लिए किया जाता है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,बंधन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n=1)$ से हटाने के लिए आवश्यक है,जो $13.6 \ eV$ है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है।
$Li^{2+}$ की प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV = -13.6 \times \frac{9}{4} \ eV = -30.6 \ eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (बंधन ऊर्जा) वह ऊर्जा है जो उसे अनंत ($n = \infty$,जहाँ $E = 0$) तक ले जाने के लिए आवश्यक है।
अतः,$\Delta E = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-30.6 \ eV) = 30.6 \ eV$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के दौरान मुक्त ऊर्जा का सूत्र है: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$।
यहाँ,अंतिम कक्षा $n_1 = 1$ और प्रारंभिक कक्षा $n_2 = n$ है।
मुक्त ऊर्जा $\Delta E = 12.75 \text{ eV}$ है।
मान रखने पर: $12.75 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$।
दोनों पक्षों को $13.6$ से विभाजित करने पर: $\frac{12.75}{13.6} = 1 - \frac{1}{n^2}$।
$0.9375 = 1 - \frac{1}{n^2}$।
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.9375 = 0.0625$।
$n^2 = \frac{1}{0.0625} = 16$।
अतः,$n = 4$।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोहर कक्षा के लिए $(Z=1, m=m_e, n=1)$:
$r_1 = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2}$.
$\mu$-मेसॉन सिस्टम के लिए $(Z=3, m=208 m_e)$:
$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi (208 m_e) (3) e^2}$.
दोनों त्रिज्याओं को बराबर करने पर $(r_n = r_1)$:
$\frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi (208 m_e) (3) e^2} = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{n^2}{208 \times 3} = 1$.
$n^2 = 624$.
$n = \sqrt{624} \approx 24.98 \approx 25$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_n = v_1 / n$,जहाँ $v_1$ पहली कक्षा $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन का वेग है।
दिया गया है कि $v_1 = 2.18 \times 10^6 \ m/s$।
$n=3$ स्तर के लिए:
$v_3 = \frac{2.18 \times 10^6 \ m/s}{3}$
$v_3 = 0.7266 \times 10^6 \ m/s$
$v_3 \approx 7.3 \times 10^5 \ m/s$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए, कुल ऊर्जा $E_n$ को $E_n = K.E. + P.E.$ द्वारा दर्शाया जाता है।
बोर के मॉडल में, गतिज ऊर्जा $K.E. = -E_n$ और स्थितिज ऊर्जा $P.E. = 2E_n$ होती है।
मूल अवस्था ऊर्जा $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ दी गई है।
अतः, स्थितिज ऊर्जा $P.E. = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$ होगी।

(B) दिया गया है,स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = -6.8 \ eV$ है।
हम जानते हैं कि हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,कुल ऊर्जा $E_n$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच संबंध $E_n = \frac{U}{2}$ होता है।
इसलिए,$E_n = \frac{-6.8 \ eV}{2} = -3.4 \ eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{-13.6}{n^2} = -3.4$,जिसका अर्थ है कि $n^2 = 4$,इसलिए $n = 2$ है।
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की चाल $v_n = \frac{C}{137n}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ रखने पर,हमें $v_2 = \frac{C}{137 \times 2} = \frac{C}{274}$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
बूंदों के संयोजन के दौरान आयतन स्थिर रहता है:
बड़ी बूंद का आयतन $= 8 \times$ छोटी बूंद का आयतन
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8 r^3 \Rightarrow R = 2r$
गोलीय चालक की धारिता $C = 4 \pi \varepsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
बड़ी बूंद के लिए,धारिता $C'$ है:
$C' = 4 \pi \varepsilon_0 R$
$R = 2r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$C' = 4 \pi \varepsilon_0 (2r) = 2(4 \pi \varepsilon_0 r) = 2C$.

(A) $r_1$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोले की धारिता $C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 r_1$ द्वारा दी जाती है।
जब इस गोले को $r_2$ त्रिज्या वाले एक भू-संपर्कित संकेंद्री गोले द्वारा घेरा जाता है,तो धारिता $C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 \left( \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} \right)$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$C_2 = 5 C_1$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 \pi \varepsilon_0 \left( \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} \right) = 5 (4 \pi \varepsilon_0 r_1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $4 \pi \varepsilon_0 r_1$ को काटने पर,हमें $\frac{r_2}{r_2 - r_1} = 5$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $r_2 = 5(r_2 - r_1) = 5r_2 - 5r_1$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4r_2 = 5r_1$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{5}$ है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब $t$ मोटाई की एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t(1 - 1/K)}$ होती है,जहाँ $d'$ प्लेटों के बीच की नई दूरी है।
यह दिया गया है कि विभवांतर $V$ समान रहता है और आवेश $Q$ स्थिर है (क्योंकि बैटरी हटा दी गई है),इसलिए धारिता समान रहनी चाहिए,अर्थात $C = C'$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{(d + 1.6 \ mm) - 2 \ mm(1 - 1/K)}$।
इसे सरल करने पर: $d = d + 1.6 - 2(1 - 1/K)$।
$0 = 1.6 - 2 + 2/K$।
$0 = -0.4 + 2/K$।
$0.4 = 2/K$।
$K = 2 / 0.4 = 5$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाता है $(d' = d/2)$ और $K = 10$ सापेक्ष विद्युतशीलता वाला परावैद्युत माध्यम डाला जाता है,तो अंतिम धारिता $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'}$ होती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_2 = \frac{10 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{20 \varepsilon_0 A}{d}$।
अतः,अंतिम और प्रारंभिक धारिता का अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = \frac{20 \varepsilon_0 A / d}{\varepsilon_0 A / d} = 20$ है।

(A) यह परिपथ $5 \mu F$ के एक संधारित्र और तीन संधारित्रों $(4 \mu F, 8 \mu F, 4 \mu F)$ के समानांतर संयोजन के श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $(C_p)$ की गणना करें:
$C_p = 4 \mu F + 8 \mu F + 4 \mu F = 16 \mu F$.
अब,परिपथ $C_1 = 5 \mu F$ और $C_p = 16 \mu F$ का एक श्रेणी संयोजन है जो $63 V$ के स्रोत से जुड़ा है।
$5 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_1)$ संधारित्रों के लिए वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा दिया जाता है:
$V_1 = \left( \frac{C_p}{C_1 + C_p} \right) V_{total}$
$V_1 = \left( \frac{16}{5 + 16} \right) \times 63 V$
$V_1 = \left( \frac{16}{21} \right) \times 63 V = 16 \times 3 V = 48 V$.

(A) परिपथ आरेख का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि चारों संधारित्र बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 8 \mu F$ है,इसलिए समांतर संयोजन के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$
$C_{eq} = 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F = 32 \mu F$
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $32 \mu F$ है।

(C) श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $Q_1 = Q_2$ है।
माना बिंदु $D$ पर विभव $V$ है।
संधारित्र $C_1$ पर आवेश $Q_1 = C_1(V_1 - V)$ है।
संधारित्र $C_2$ पर आवेश $Q_2 = C_2(V - V_2)$ है।
आवेशों को बराबर करने पर: $C_1(V_1 - V) = C_2(V - V_2)$।
पदों का विस्तार करने पर: $C_1 V_1 - C_1 V = C_2 V - C_2 V_2$।
$V$ के लिए हल करने पर: $C_1 V_1 + C_2 V_2 = V(C_1 + C_2)$।
अतः,बिंदु $D$ पर विभव $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ होगा।

(A) संधारित्रों के समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = 4 + 6 + 12 = 22 \mu F$ है।
संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_s$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3+2+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$.
अतः,$C_s = 2 \mu F$.
श्रेणीक्रम और समानांतर क्रम में प्रभावी धारिता का अनुपात $\frac{C_s}{C_p} = \frac{2}{22} = 1: 11$ है।

(A) इस परिपथ में आठ संधारित्र हैं,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C = 2 \mu F$ है।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच परिपथ की समरूपता का विश्लेषण करने पर,हम व्यवस्था को इस प्रकार पहचान सकते हैं:
$1$. ऊपरी शाखा में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं: $C_{top} = C/2$।
$2$. निचली शाखा में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं: $C_{bottom} = C/2$।
$3$. दो मध्य शाखाओं में प्रत्येक में दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं: $C_{mid1} = 2C$ और $C_{mid2} = 2C$।
ये चारों शाखाएँ बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
अतः,तुल्य धारिता $C_{AB}$ होगी:
$C_{AB} = C_{top} + C_{bottom} + C_{mid1} + C_{mid2}$
$C_{AB} = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} + 2C + 2C = C + 4C = 5C$
चूंकि $C = 2 \mu F$ दिया गया है,इसलिए:
$C_{AB} = 5 \times 2 \mu F = 10 \mu F$।

(A) आयाम मॉडुलन के लिए,संदेश सिग्नल की आवृत्ति $f_{m} = 3 \text{ kHz} = 0.003 \text{ MHz}$ है और वाहक सिग्नल की आवृत्ति $f_{c} = 1 \text{ MHz}$ है।
ऊपरी साइडबैंड आवृत्ति $(f_{u})$ इस प्रकार दी जाती है:
$f_{u} = f_{c} + f_{m} = 1 \text{ MHz} + 0.003 \text{ MHz} = 1.003 \text{ MHz}$.
आयाम मॉडुलन के लिए बैंडविड्थ $(BW)$ इस प्रकार दी जाती है:
$BW = f_{u} - f_{l} = (f_{c} + f_{m}) - (f_{c} - f_{m}) = 2f_{m}$.
$BW = 2 \times 3 \text{ kHz} = 6 \text{ kHz}$.

(B) लाइन-ऑफ-साइट संचार के लिए अधिकतम रेंज $d$ का सूत्र इस प्रकार है: $d = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है,$h_t$ ट्रांसमिटिंग एंटेना की ऊंचाई है और $h_r$ रिसीविंग एंटेना की ऊंचाई है।
दिया गया है: $d = 57.6 \ km = 57.6 \times 10^3 \ m$,$h_r = 80 \ m$,$R = 6.4 \times 10^6 \ m$.
मान रखने पर:
$57.6 \times 10^3 = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times h_t} + \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 80}$
$57.6 \times 10^3 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_t} + \sqrt{1024 \times 10^6}$
$57.6 \times 10^3 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_t} + 32000$
$57.6 \times 10^3 - 32 \times 10^3 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_t}$
$25.6 \times 10^3 = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times h_t}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(25.6 \times 10^3)^2 = 12.8 \times 10^6 \times h_t$
$655.36 \times 10^6 = 12.8 \times 10^6 \times h_t$
$h_t = \frac{655.36}{12.8} = 51.2 \ m$.

(B) एम्पलीट्यूड मॉड्यूलेटेड $(A.M.)$ तरंग के लिए मॉड्यूलेशन कारक $m$ (या $\mu$) को अधिकतम और न्यूनतम वोल्टेज के अंतर और उनके योग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$m = \frac{V_{\max} - V_{\min}}{V_{\max} + V_{\min}}$

(C) दिया गया है कि मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu_1 = 0.3$ और $\mu_2 = 0.4$ हैं।
जब एक कैरियर तरंग को एक साथ कई साइन तरंगों द्वारा मॉड्यूलेट किया जाता है,तो कुल मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ व्यक्तिगत मॉड्यूलेशन इंडेक्स के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है।
$\mu = \sqrt{\mu_1^2 + \mu_2^2}$
मान रखने पर:
$\mu = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2}$
$\mu = \sqrt{0.09 + 0.16}$
$\mu = \sqrt{0.25}$
$\mu = 0.5$

(A) एम्प्लिट्यूड मॉड्यूलेशन $(AM)$ में,कैरियर तरंग का आयाम $A_c = 10 \ V$ है और साइडबैंड का आयाम $A_m = 2 \ V$ है।
मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{2 A_{sideband}}{A_c}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\mu = \frac{2 \times 2}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$.
यहाँ दिए गए विकल्पों के अनुसार,गणना में अंतर हो सकता है,लेकिन मानक पद्धति के अनुसार उत्तर $0.4$ आता है।

(B) दिया गया है:
सूचना सिग्नल की आवृत्ति,$f_s = 10 \text{ kHz}$
वाहक तरंग की आवृत्ति,$f_c = 3.61 \text{ MHz} = 3610 \text{ kHz}$
ऊपरी साइडबैंड आवृत्ति $(f_u)$ इस प्रकार दी जाती है:
$f_u = f_c + f_s = 3610 \text{ kHz} + 10 \text{ kHz} = 3620 \text{ kHz}$
निचली साइडबैंड आवृत्ति $(f_l)$ इस प्रकार दी जाती है:
$f_l = f_c - f_s = 3610 \text{ kHz} - 10 \text{ kHz} = 3600 \text{ kHz}$
अतः,ऊपरी साइडबैंड और निचली साइडबैंड आवृत्तियाँ क्रमशः $3620 \text{ kHz}$ और $3600 \text{ kHz}$ हैं।

(C) पल्स मॉड्यूलेशन एक ऐसी तकनीक है जिसमें निरंतर-समय के एनालॉग सिग्नल को पल्स की एक श्रृंखला द्वारा दर्शाया जाता है। पल्स मॉड्यूलेशन के प्राथमिक प्रकार पल्स एम्प्लीट्यूड मॉड्यूलेशन $(PAM)$,पल्स ड्यूरेशन मॉड्यूलेशन $(PDM)$ या पल्स विड्थ मॉड्यूलेशन $(PWM)$,और पल्स पोजीशन मॉड्यूलेशन $(PPM)$ हैं। पल्स बैंड मॉड्यूलेशन पल्स मॉड्यूलेशन तकनीक का एक मानक प्रकार नहीं है।

(D) दी गई आवृत्ति $f = 3 \text{ MHz} = 3 \times 10^6 \text{ Hz}$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^6} = 100 \text{ m}$ है।
प्रभावी संचरण के लिए,एंटीना का आकार कम से कम $\frac{\lambda}{4}$ होना चाहिए।
अतः,एंटीना का आकार $l = \frac{100}{4} = 25 \text{ m}$ होगा।

(D) $6 \ A$ की विद्युत धारा बिंदु $P$ पर प्रवेश करती है और बिंदु $R$ पर बाहर निकलती है।
बिंदु $P$ पर,धारा दो रास्तों में विभाजित हो जाती है:
रास्ता $1$: शाखा $PQ$ और $QR$ के माध्यम से श्रेणीक्रम में। इस रास्ते का प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega + 2 \ \Omega = 4 \ \Omega$ है।
रास्ता $2$: सीधे शाखा $PR$ के माध्यम से। इस रास्ते का प्रतिरोध $R_2 = 2 \ \Omega$ है।
ये दोनों रास्ते बिंदु $P$ और $R$ के बीच समानांतर हैं।
करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए:
$I_1 = I \times \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right) = 6 \times \left(\frac{2}{4 + 2}\right) = 6 \times \frac{2}{6} = 2 \ A$.
$I_2 = I \times \left(\frac{R_1}{R_1 + R_2}\right) = 6 \times \left(\frac{4}{4 + 2}\right) = 6 \times \frac{4}{6} = 4 \ A$.
अतः,$I_1 = 2 \ A$ और $I_2 = 4 \ A$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक सेल का $EMF$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। बाहरी प्रतिरोध $R = 2 \Omega$ है।
स्थिति $1$: सेल श्रेणी क्रम में।
कुल $EMF$ $2E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ है। धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{2E}{R + 2r}$ ... $(i)$
स्थिति $2$: सेल समांतर क्रम में।
कुल $EMF$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{2}$ है। धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{E}{R + \frac{r}{2}} = \frac{2E}{2R + r}$ ... (ii)
चूंकि दोनों स्थितियों में धारा $I$ समान है,हम $(i)$ और (ii) की तुलना करते हैं:
$\frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{2R + r}$
$R + 2r = 2R + r$
$r = R$
यहाँ $R = 2 \Omega$ दिया गया है,इसलिए $r = 2 \Omega$।

(D) दिया गया है: $E_1 = 1.2 \ V$,$r_1 = 2 \ \Omega$,$E_2 = 1.5 \ V$,$r_2 = 1 \ \Omega$।
जब दो सेलों को समान ध्रुवों के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य emf $E_{\text{eq}}$ का सूत्र है:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
मान रखने पर:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{1.2}{2} + \frac{1.5}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{0.6 + 1.5}{0.5 + 1} = \frac{2.1}{1.5} = 1.4 \ V$।

(A) परिपथ में धारा $I$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = \frac{V_{supply} - E}{R + r}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$I = \frac{120 - 8}{15.5 + 0.5} = \frac{112}{16} = 7 \ A$
चार्जिंग के दौरान,बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$ इस प्रकार होगा:
$V = E + Ir$
$V = 8 + (7 \times 0.5)$
$V = 8 + 3.5 = 11.5 \ V$

(A) चालक में इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग $(v_d)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_d = \frac{eE\tau}{m}$
जहाँ:
$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,
$E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है,
$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,
$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
चूंकि एक निश्चित तापमान पर चालक के लिए $e$,$\tau$ और $m$ स्थिर होते हैं,इसलिए अपवाह वेग विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के सीधे समानुपाती होता है।
अतः,$v_d \propto E$।

(D) एक धात्विक चालक में,विद्युत धारा $I$ को अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाले आवेश की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
असमान अनुप्रस्थ काट वाले चालक से प्रवाहित होने वाली स्थिर धारा के लिए,धारा $I$ पूरे चालक में स्थिर रहती है क्योंकि किसी भी बिंदु पर आवेश जमा नहीं हो सकता है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$I = nAev_d$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश है,और $v_d$ अनुगमन वेग (drift velocity) है।
चूंकि $I$ स्थिर है,यदि क्षेत्रफल $A$ बदलता है,तो धारा घनत्व $J = I/A$ और अनुगमन वेग $v_d = I/(nAe)$ दोनों को स्थिर धारा बनाए रखने के लिए बदलना होगा।
इसलिए,केवल विद्युत धारा $I$ ही स्थिर रहती है।

(A) जब $R$ प्रतिरोध वाले तार को एक वर्ग में मोड़ा जाता है, तो प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R/4$ होता है।
मान लीजिए वर्ग के कोने $A, B, C,$ और $D$ हैं। सेल को आसन्न कोनों $A$ और $D$ के बीच जोड़ा गया है।
पथ $A-B-C-D$ का कुल प्रतिरोध $R/4 + R/4 + R/4 = 3R/4$ है।
सीधे पथ $A-D$ का प्रतिरोध $R/4$ है।
ये दोनों पथ $12 \text{ V}$ के स्रोत के साथ समानांतर में हैं।
किसी भी विकर्ण (जैसे $A$ से $C$) के सिरों पर विभवांतर, पथ $A-B-C$ पर होने वाला वोल्टेज ड्रॉप है।
शाखा $A-B-C$ से बहने वाली धारा $I_1 = V / R_{branch} = 12 / (3R/4) = 16/R$ है।
विकर्ण $AC$ के सिरों पर विभवांतर, श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधों $AB$ और $BC$ पर वोल्टेज ड्रॉप है:
$V_{AC} = I_1 \times (R/4 + R/4) = (16/R) \times (R/2) = 8 \text{ V}$.

(D) प्रतिरोधक से गुजरने वाला आवेश $q = 3t^2 - 2t + 6$ द्वारा दिया गया है。
विद्युत धारा $I$ ज्ञात करने के लिए, हम आवेश का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$I = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 6) = 6t - 2$.
समय $t = 5 \, s$ पर, विद्युत धारा:
$I = 6(5) - 2 = 30 - 2 = 28 \, A$.
प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$ दिया गया है。
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, विभवांतर $V$:
$V = I \times R = 28 \, A \times 10 \, \Omega = 280 \, V$.

(A) दिया गया है: अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$, धारा $I = 1 \, A$, विभव प्रवणता $k = 7.5 \, V/m$ है।
विभव प्रवणता $k$ को $k = \frac{V}{l}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ $V$ लंबाई $l$ पर विभवांतर है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $V = I \cdot R$, जहाँ $R = \rho \frac{l}{A}$ है।
$k$ के व्यंजक में $V$ का मान रखने पर: $k = \frac{I \cdot \rho \cdot l}{A \cdot l} = \frac{I \cdot \rho}{A}$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\rho = \frac{k \cdot A}{I}$।
मान रखने पर: $\rho = \frac{7.5 \times 4 \times 10^{-4}}{1} = 30 \times 10^{-4} \, \Omega \cdot m = 3 \times 10^{-3} \, \Omega \cdot m$।

(D) दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 99 \Omega$.
माना मुख्य धारा $I$ है।
गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_g = I$ का $10 \% = \frac{I}{10}$.
शंट प्रतिरोध $S$ से प्रवाहित धारा $I_s = I - I_g = I - \frac{I}{10} = \frac{9I}{10}$.
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों के बीच विभवांतर समान होगा:
$I_g \cdot G = I_s \cdot S$
$\frac{I}{10} \cdot 99 = \frac{9I}{10} \cdot S$
$99 = 9S$
$S = \frac{99}{9} = 11 \Omega$.
अतः,आवश्यक शंट प्रतिरोध का मान $11 \Omega$ है।

(D) गैल्वेनोमीटर की वोल्टेज सुग्राहिता $(V_S)$ उसकी धारा सुग्राहिता $(I_S)$ और प्रतिरोध $(R)$ के साथ निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है: $V_S = \frac{I_S}{R}$।
गैल्वेनोमीटर $G_1$ के लिए: प्रतिरोध $R_1 = 100 \ \Omega$,धारा सुग्राहिता $I_{S1} = 10^8 \ \text{div/A}$।
$V_{S1} = \frac{10^8}{100} = 10^6 \ \text{div/V}$।
गैल्वेनोमीटर $G_2$ के लिए: प्रतिरोध $R_2 = 50 \ \Omega$,धारा सुग्राहिता $I_{S2} = 0.5 \times 10^5 \ \text{div/A}$।
$V_{S2} = \frac{0.5 \times 10^5}{50} = \frac{50000}{50} = 1000 = 10^3 \ \text{div/V}$।
दोनों की तुलना करने पर,$V_{S1} = 10^6 \ \text{div/V}$ और $V_{S2} = 10^3 \ \text{div/V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $10^6 > 10^3$,इसलिए $G_1$ में वोल्टेज सुग्राहिता अधिक है।

(D) जब लैंप उपयोग में होता है,तो प्रतिरोध $R$ को सूत्र $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $R = \frac{240 \times 240}{60} = 960 \ \Omega$.
मान लीजिए $R'$ ठंडे फिलामेंट का प्रतिरोध है (जब उपयोग में न हो)।
प्रश्न के अनुसार,$R = 20 \times R'$.
इसलिए,$R' = \frac{R}{20} = \frac{960}{20} = 48 \ \Omega$.

(B) सबसे पहले,किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करके परिपथ में धारा $I$ ज्ञात करें। कुल विद्युत वाहक बल $36 \ V - 12 \ V = 24 \ V$ है और कुल प्रतिरोध $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ है।
$I = \frac{24 \ V}{5 \ \Omega} = 4.8 \ A$.
धारा $36 \ V$ की बैटरी से $12 \ V$ की बैटरी की ओर प्रवाहित होती है,अर्थात ऊपरी शाखा में $B$ से $A$ की ओर।
बिंदु $B$ से शुरू करते हुए,जहाँ विभव $V_B = 24 \ V$ है,हम $A$ की ओर बढ़ते हैं:
$V_A = V_B - 12 \ V - I \times 3 \ \Omega$
$V_A = 24 \ V - 12 \ V - (4.8 \ A \times 3 \ \Omega)$
$V_A = 12 \ V - 14.4 \ V = -2.4 \ V$.