AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) रेखाएँ $3x + y - 4 = 0$ और $3x + y + k = 0$ समांतर हैं,जो वर्ग की सम्मुख भुजाओं को दर्शाती हैं। ढाल $m_1 = -3$ और $m_2 = -3$ है।
चूँकि भुजाएँ लंबवत हैं,दूसरी भुजाओं के युग्म की ढाल $m_3 = \frac{1}{3}$ होनी चाहिए।
रेखा $x - \alpha y + 10 = 0$ के लिए,ढाल $\frac{1}{\alpha}$ है। अतः,$\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = 3$.
रेखा $\beta x + 2y + 4 = 0$ के लिए,ढाल $-\frac{\beta}{2}$ है। अतः,$-\frac{\beta}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \beta = -\frac{2}{3}$.
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|k + 4|}{\sqrt{10}}$ है।
दूसरी भुजाओं के बीच की दूरी $d = \frac{16}{\sqrt{10}}$ है।
वर्ग होने के कारण,दूरियाँ समान होनी चाहिए: $|k + 4| = 16$.
अतः,$\alpha \beta (k + 4)^2 = (3) \left(-\frac{2}{3}\right) (16)^2 = -2 \times 256 = -512$.

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $(\alpha+1)x + \alpha y + \alpha - 1 = 0$ है।
$\alpha$ के गुणांकों को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\alpha(x + y + 1) + (x - 1) = 0$।
इस रेखा के सभी $\alpha$ के लिए एक निश्चित बिंदु $(h, k)$ से गुजरने के लिए,$\alpha$ का गुणांक और अचर पद स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए:
$x + y + 1 = 0$ और $x - 1 = 0$।
$x - 1 = 0$ से,हमें $x = h = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ को $x + y + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + y + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = k = -2$।
अतः,निश्चित बिंदु $(1, -2)$ है।
अंत में,$h^2 + k^2 = (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$।

(C) माना रेखा $L$,$P(-5, -4)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m = \tan \theta$ है। रेखा का प्राचलिक समीकरण $\frac{x+5}{\cos \theta} = \frac{y+4}{\sin \theta} = r$ है। अतः,$x = -5 + r \cos \theta$ और $y = -4 + r \sin \theta$।
रेखा $x-y-5=0$ पर स्थित बिंदु $Q$ के लिए: $(-5 + PQ \cos \theta) - (-4 + PQ \sin \theta) - 5 = 0$ $\Rightarrow PQ(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ $\Rightarrow \frac{6}{PQ} = \cos \theta - \sin \theta$।
$3$ से गुणा करने पर,$\frac{18}{PQ} = 3 \cos \theta - 3 \sin \theta$ ... $(i)$।
रेखा $x+3y+2=0$ पर स्थित बिंदु $R$ के लिए: $(-5 + PR \cos \theta) + 3(-4 + PR \sin \theta) + 2 = 0$ $\Rightarrow PR(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15$ $\Rightarrow \frac{15}{PR} = \cos \theta + 3 \sin \theta$ ... $(ii)$।
दी गई शर्त $\frac{18}{PQ} + \frac{15}{PR} = 2$ में $(i)$ और $(ii)$ का मान रखने पर: $(3 \cos \theta - 3 \sin \theta) + (\cos \theta + 3 \sin \theta) = 2$ $\Rightarrow 4 \cos \theta = 2$ $\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$।
ढाल $m = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \pm \sqrt{3}$।

(D) बिंदु $(x, y)$ का $X$-अक्ष में प्रतिबिंब $(x, -y)$ होता है।
अतः,$B$ के निर्देशांक $(2, -3)$ हैं।
बिंदु $(x, y)$ का रेखा $x+y=0$ में प्रतिबिंब $(-y, -x)$ होता है।
अतः,$C$ के निर्देशांक $(3, -2)$ हैं।
बिंदु $(x, y)$ का रेखा $x-y=0$ में प्रतिबिंब $(y, x)$ होता है।
अतः,$D$ के निर्देशांक $(-2, 3)$ हैं।
रेखा $AB$,$(2, 3)$ और $(2, -3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $x=2$ है।
रेखा $CD$,$(3, -2)$ और $(-2, 3)$ से गुजरती है। ढाल $m = \frac{3 - (-2)}{-2 - 3} = -1$ है।
$CD$ का समीकरण $y - 3 = -1(x + 2) \Rightarrow x + y = 1$ है।
$x=2$ को $x+y=1$ में रखने पर,$2+y=1 \Rightarrow y=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1)$ है।

(B) चरण $1$: रेखाओं $3x + y - 4 = 0$ और $x - y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ ज्ञात करें। समीकरणों को जोड़ने पर,$4x = 4 \Rightarrow x = 1$. $x = 1$ को $x - y = 0$ में रखने पर,$y = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (1, 1)$.
चरण $2$: मान लीजिए कि आवश्यक रेखा की ढाल $m$ है। रेखा $x - 3y + 5 = 0$ की ढाल $m_1 = 1/3$ है।
चरण $3$: रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है। सूत्र $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)|$ का उपयोग करते हुए,$\tan 45^{\circ} = |(m - 1/3) / (1 + m/3)| = 1$.
चरण $4$: इससे $(m - 1/3) / (1 + m/3) = 1$ या $(m - 1/3) / (1 + m/3) = -1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $m = 2$.
स्थिति $2$: $m = -1/2$.
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,हम $m = -1/2$ चुनते हैं।
चरण $5$: $(1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -1/2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = -1/2(x - 1) \Rightarrow x + 2y = 3$ है।

(B) माना बिंदु $A(1, -2)$ और $B(\alpha, \beta)$ हैं। $AB$ का मध्य बिंदु $M$,$\left(\frac{\alpha + 1}{2}, \frac{\beta - 2}{2}\right)$ है।
चूंकि $M$,रेखा $2x - 3y + 5 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{\alpha + 1}{2}\right) - 3\left(\frac{\beta - 2}{2}\right) + 5 = 0$,जो $2\alpha - 3\beta + 18 = 0$ $(i)$ में सरल हो जाता है।
रेखा $AB$ की ढाल $m_1 = \frac{\beta + 2}{\alpha - 1}$ है। दी गई रेखा $2x - 3y + 5 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $AB$ दी गई रेखा के लंबवत है,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\left(\frac{\beta + 2}{\alpha - 1}\right) \times \frac{2}{3} = -1$,जो $2\beta + 4 = -3\alpha + 3$ या $3\alpha + 2\beta + 1 = 0$ $(ii)$ देता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर: $\alpha = -3$ और $\beta = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = -3 + 4 = 1$.

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: x+y+1=0$
$L_2: x-y-1=0$
$L_3: 3x+4y+5=0$
$L_1$ की ढाल $(m_1)$ $-1$ है।
$L_2$ की ढाल $(m_2)$ $1$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है और समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए $L_1$ और $L_2$ को हल करें:
$x+y+1=0$
$x-y-1=0$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
$x=0$ को $x+y+1=0$ में रखने पर,$0+y+1=0 \Rightarrow y = -1$.
इस प्रकार,लंबकेंद्र $(0, -1)$ है।

(A) माना $A = (1, -2)$ है। $AB$ का लंब समद्विभाजक $L_1: x-y+5=0$ है। $L_1$ की ढाल $1$ है,इसलिए $AB$ की ढाल $-1$ है। $AB$ का समीकरण $y - (-2) = -1(x - 1) \Rightarrow x+y+1=0$ है।
$AB$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x - (-x-1) + 5 = 0$ $\Rightarrow 2x = -6$ $\Rightarrow x = -3, y = 2$ है।
चूंकि $E$,$AB$ का मध्य बिंदु है,$\frac{x_B+1}{2} = -3 \Rightarrow x_B = -7$ और $\frac{y_B-2}{2} = 2 \Rightarrow y_B = 6$ है। अतः $B = (-7, 6)$ है।
$AC$ का लंब समद्विभाजक $L_2: x+2y=0$ है। $L_2$ की ढाल $-1/2$ है,इसलिए $AC$ की ढाल $2$ है। $AC$ का समीकरण $y - (-2) = 2(x - 1) \Rightarrow 2x-y-4=0$ है।
$AC$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x + 2(2x-4) = 0$ $\Rightarrow 5x = 8$ $\Rightarrow x = 8/5, y = -4/5$ है।
चूंकि $F$,$AC$ का मध्य बिंदु है,$\frac{x_C+1}{2} = 8/5 \Rightarrow x_C = 11/5$ और $\frac{y_C-2}{2} = -4/5 \Rightarrow y_C = 2/5$ है। अतः $C = (11/5, 2/5)$ है।
$(-7, 6)$ और $(11/5, 2/5)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण:
$y - 6 = \frac{2/5 - 6}{11/5 - (-7)} (x - (-7))
$ $\Rightarrow y - 6 = -\frac{14}{23} (x + 7)
$ $\Rightarrow 14x + 23y - 40 = 0$.

(C) माना बिंदु $P$ का निर्देशांक $(0, b)$ है क्योंकि यह $Y$-अक्ष पर स्थित है। अतः,$a = 0$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण और परावर्तन कोण बराबर होते हैं। इसका अर्थ है कि $Y$-अक्ष के सापेक्ष बिंदु $(2, 3)$ का प्रतिबिंब,जो $(-2, 3)$ है,परावर्तित किरण वाली रेखा पर स्थित है।
परावर्तित किरण $P(0, b)$ और $(3, 2)$ से गुजरती है।
$(-2, 3)$ और $(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 3 = \frac{2 - 3}{3 - (-2)} (x - (-2))$
$y - 3 = \frac{-1}{5} (x + 2)$
$5y - 15 = -x - 2$
$x + 5y = 13$
चूंकि बिंदु $P(0, b)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $x = 0$ और $y = b$ रखने पर:
$0 + 5b = 13$
$5b = 13$
चूंकि $a = 0$ है,हम $13 = a + 13$ लिख सकते हैं।
अतः,$5b = a + 13$.

(B) चूंकि $(a, b)$,$(3, 1)$ से रेखा $x + 3y + 4 = 0$ पर खींचे गए लंब का पाद है,इसलिए $a + 3b + 4 = 0$ $(i)$।
$(3, 1)$ से गुजरने वाली और $x + 3y + 4 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $3x - y - 8 = 0$ है,इसलिए $3a - b - 8 = 0$ $(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $(a, b) = (2, -2)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $(p, q)$,रेखा $3x - 4y + 11 = 0$ के सापेक्ष $(2, -2)$ का प्रतिबिंब है। मध्यबिंदु $P = \left(\frac{2+p}{2}, \frac{-2+q}{2}\right)$ रेखा $3x - 4y + 11 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $3(\frac{2+p}{2}) - 4(\frac{-2+q}{2}) + 11 = 0$,जो सरल होकर $3p - 4q + 36 = 0$ $(iii)$ हो जाता है।
$(2, -2)$ और $(p, q)$ को जोड़ने वाली रेखा $3x - 4y + 11 = 0$ के लंबवत है। दी गई रेखा की ढाल $\frac{3}{4}$ है,इसलिए $(2, -2)$ और $(p, q)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $-\frac{4}{3}$ है।
अतः,$\frac{q - (-2)}{p - 2} = -\frac{4}{3}$ $\Rightarrow 3(q + 2) = -4(p - 2)$ $\Rightarrow 4p + 3q - 2 = 0$ $(iv)$।
$(iii)$ और $(iv)$ को हल करने पर,हमें $p = -4$ और $q = 6$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\frac{p}{a} + \frac{q}{b} = \frac{-4}{2} + \frac{6}{-2} = -2 - 3 = -5$।

(C) माना $P = (x, y)$ है। दी गई शर्त $PA = 2PB$ है।
$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x+4)^2 + y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-4)^2 + y^2 = 4((x+4)^2 + y^2)$.
$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 + 8x + 16 + y^2)$.
$3x^2 + 3y^2 + 40x + 48 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 + \frac{40}{3}x + 16 = 0$.
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $O' = (-\frac{20}{3}, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{(-\frac{20}{3})^2 - 16} = \frac{16}{3}$ है।
दी गई रेखा $3y - 3x - 20 = 0$ है,जिसे $y - x - \frac{20}{3} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जाँच करें कि क्या केंद्र $(-\frac{20}{3}, 0)$ रेखा पर स्थित है: $0 - (-\frac{20}{3}) - \frac{20}{3} = 0$. हाँ,यह है।
चूंकि रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए जीवा $CD$ एक व्यास है।
दूरी $CD = 2r = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। चूंकि $P$,$x+y+5=0$ पर स्थित है,इसलिए $y = -x-5$ होगा। अतः,$P = (x, -x-5)$।
रेखा $Ax+By+C=0$ से बिंदु $(x_1, y_1)$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$2x+3y+3=0$ से दूरी $\sqrt{13}$ दी गई है,इसलिए:
$\frac{|2x+3(-x-5)+3|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \sqrt{13}$
$\frac{|2x-3x-15+3|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$
$|-x-12| = 13$
$|x+12| = 13$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) x+12 = 13 \Rightarrow x = 1$। तब $y = -1-5 = -6$। अतः,$P = (1, -6)$।
$2) x+12 = -13 \Rightarrow x = -25$। तब $y = -(-25)-5 = 20$। अतः,$P = (-25, 20)$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(1, -6)$ है।

(A) भुजा का समीकरण $x+y-2=0$ है।
शीर्ष $V(2,-1)$ है।
शीर्ष $(2,-1)$ से रेखा $x+y-2=0$ की लंबवत दूरी $h$ समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
$h = \frac{|2 + (-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
समबाहु त्रिभुज के लिए,ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ होती है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
अतः,$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a = \frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(D) $P(3,4)$ से गुजरने वाली और $30^{\circ}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{\cos 30^{\circ}} = \frac{y-4}{\sin 30^{\circ}} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ है।
चूंकि $Q$,$12x + 5y + 10 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$.
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$.
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$.
लंबाई $PQ = |r| = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.

(A) दिया गया समीकरण $2 x^2-3 x y-2 y^2=0$ को $(2 x+y)(x-2 y)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
मान लीजिए $L_1: 2 x+y=0$ और $L_2: x-2 y=0$ है।
दूसरा समीकरण $2 x^2-3 x y-2 y^2-x+7 y-3=0$ को $(2 x+y-1)(x-2 y+3)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
मान लीजिए $L_3: x-2 y+3=0$ और $L_4: 2 x+y-1=0$ है।
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर,$A = \left(-\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
$L_2$ और $L_4$ को हल करने पर,$B = \left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
$L_3$ और $L_4$ को हल करने पर,$C = \left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$ सूत्र का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल $\frac{3}{10}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=2, b=3, g=-2, f=-5, c=3$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1) = \left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}, \frac{af-gh}{h^2-ab}\right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x_1 = \frac{3(-2)-(-5)(2)}{4-3} = 4$ और $y_1 = \frac{1(-5)-(-2)(2)}{4-3} = -1$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -1)$ है।
$(4, -1)$ और $(2, 2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ है।
$y + 1 = \frac{2 + 1}{2 - 4}(x - 4) \Rightarrow y + 1 = -\frac{3}{2}(x - 4)$।
$2y + 2 = -3x + 12 \Rightarrow 3x + 2y - 10 = 0$।

(C) रेखाओं के प्रथम परिवार $(x-2y-1)+\lambda(3x+2y-11)=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x-2y-1=0$ और $3x+2y-11=0$ को हल करने पर $(3,1)$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के दूसरे परिवार $(3x+4y-11)+\mu(-x+2y-3)=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $3x+4y-11=0$ और $-x+2y-3=0$ को हल करने पर $(1,2)$ प्राप्त होता है।
दोनों परिवारों के लिए उभयनिष्ठ रेखा $(3,1)$ और $(1,2)$ से होकर गुजरती है।
$(3,1)$ और $(1,2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{y-1}{x-3} = \frac{2-1}{1-3} = \frac{1}{-2}$ है।
$-2(y-1) = x-3$ $\Rightarrow -2y+2 = x-3$ $\Rightarrow x+2y-5=0$.
$x+2y-5=0$ की तुलना $ax+by-5=0$ से करने पर,$a=1$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a+b = 2(1)+2 = 4$.

(B) सबसे पहले,$\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{6}$,$AC = 2\sqrt{6}$,$BC = \sqrt{26}$
चूंकि $AD$,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है,यह $BC$ को $AB:AC = 1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$D$ के निर्देशांक $\left( \frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3} \right)$ प्राप्त होते हैं।
$AD$ की लंबाई $\sqrt{(1 - 1/3)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 4/3)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{3}$ है।

(A) माना $P = (h, k)$,$A = (1, 0)$,और $B = (0, 1)$ है।
$AP$ की ढाल $m_1 = \frac{k}{h-1}$ है।
$BP$ की ढाल $m_2 = \frac{k-1}{h}$ है।
$AP$ और $BP$ के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{k}{h-1} - \frac{k-1}{h}}{1 + \left(\frac{k}{h-1}\right)\left(\frac{k-1}{h}\right)} \right|$
$1 = \left| \frac{h + k - 1}{h^2 + k^2 - h - k} \right|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$ या $h^2 + k^2 - 1 = 0$।
अतः,बिंदु पथ $(x^2 + y^2 - 1)(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$ है।

(A) चूँकि $\angle APB = 90^{\circ}$ है,बिंदु $P$ उस वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $AB$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (2, 3)$ और $(x_2, y_2) = (-1, 1)$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-2)(x+1) + (y-3)(y-1) = 0$
$x^2 + x - 2x - 2 + y^2 - y - 3y + 3 = 0$
$x^2 + y^2 - x - 4y + 1 = 0$

(B) माना $Q = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ वृत्त $x^2+y^2=9$ पर एक बिंदु है।
माना $P = (h, k)$ वह बिंदु है जो रेखाखंड $QA$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक हैं:
$h = \frac{1(4) + 2(3 \cos \theta)}{1+2} = \frac{4 + 6 \cos \theta}{3}$
$k = \frac{1(4) + 2(3 \sin \theta)}{1+2} = \frac{4 + 6 \sin \theta}{3}$
इन समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$3h - 4 = 6 \cos \theta$
$3k - 4 = 6 \sin \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h - 4)^2 + (3k - 4)^2 = (6 \cos \theta)^2 + (6 \sin \theta)^2$
$9(h - \frac{4}{3})^2 + 9(k - \frac{4}{3})^2 = 36$
$(h - \frac{4}{3})^2 + (k - \frac{4}{3})^2 = 4$
यह $r = \sqrt{4} = 2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
बिंदुपथ की परिधि $2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi$ है।

(B) माना $P(x, y)$ एक बिंदु है जो $A(2, 3)$ और $B(4, 5)$ से समान दूरी पर है।
समान दूरी की परिभाषा के अनुसार,$PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25)$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को हटाने पर:
$-4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$4x + 4y = 28$
$4$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y = 7$

(D) माना $C$ एक चर बिंदु है और $A, B$ दो निश्चित बिंदु हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times \text{ऊंचाई}$.
चूंकि $AB$ निश्चित है,इसलिए निश्चित क्षेत्रफल के लिए ऊंचाई समान रहनी चाहिए।
यह केवल तभी संभव है जब बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ के समांतर एक रेखा पर गति करे।
चूंकि बिंदु $C$,रेखा $AB$ के दोनों ओर समान दूरी पर हो सकता है,इसलिए $C$ का बिंदु पथ दो समांतर रेखाओं का एक युग्म है,जो $AB$ के दोनों ओर स्थित हैं।

(B) दी गई रेखा का समीकरण: $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ ...$(i)$
माना $P(h, k)$ निर्देशांक अक्षों द्वारा अंतःखंडित रेखा के भाग का मध्यबिंदु है।
जब $x = 0$,रेखा $y$-अक्ष को $y = \frac{p}{\sin \alpha}$ पर मिलती है। अतः,बिंदु $B$ $(0, \frac{p}{\sin \alpha})$ है।
जब $y = 0$,रेखा $x$-अक्ष को $x = \frac{p}{\cos \alpha}$ पर मिलती है। अतः,बिंदु $A$ $(\frac{p}{\cos \alpha}, 0)$ है।
मध्यबिंदु $P(h, k) = (\frac{p}{2 \cos \alpha}, \frac{p}{2 \sin \alpha})$ है।
अतः,$h = \frac{p}{2 \cos \alpha} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{p}{2h}$ और $k = \frac{p}{2 \sin \alpha} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{p}{2k}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{p}{2h})^2 + (\frac{p}{2k})^2 = 1$
$\frac{p^2}{4h^2} + \frac{p^2}{4k^2} = 1$
$\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{4}{p^2}$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{4}{p^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$2h' = h$,और $b = 6$ प्राप्त होता है।
माना कि दो रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
दिया गया है कि $m_1 = 3m_2$ है।
हम जानते हैं कि ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ होता है।
$m_1 = 3m_2$ को गुणनफल में रखने पर,$(3m_2)m_2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 3m_2^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m_2 = \pm \frac{1}{3}$।
अतः,$m_1 = 3(\pm \frac{1}{3}) = \pm 1$।
ढाल का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h'}{b} = -\frac{h}{6}$ है।
$m_1$ और $m_2$ के मान रखने पर: $\pm 1 \pm \frac{1}{3} = -\frac{h}{6}$।
धनात्मक स्थिति के लिए: $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = -8$।
ऋणात्मक स्थिति के लिए: $-1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = 8$।
अतः,$h = \pm 8$।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म: $xy-x-y+1=0$
$\Rightarrow x(y-1)-1(y-1)=0$
$\Rightarrow (x-1)(y-1)=0$
रेखाएँ $x=1$ और $y=1$ हैं।
माना अभीष्ट रेखा $y=mx+c$ है।
रेखा $y=mx+c$ और $x=1$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = |\frac{1}{m}| = 1 \Rightarrow m = \pm 1$
रेखा $y=mx+c$ और $y=1$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = |m| = 1 \Rightarrow m = \pm 1$
विकल्पों की जाँच करने पर,$x-y=5$ की ढाल $1$ है,जो शर्त को पूरा करती है।

(A) दिया गया समीकरण $8x^2 + axy + y^2 = 0$ है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
समघातीय समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ के लिए,ढालों का योग $m_1 + m_2 = -B/C$ और ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = A/C$ होता है।
यहाँ,$A = 8$,$B = a$,और $C = 1$ है।
अतः,$m_1 + m_2 = -a$ और $m_1 m_2 = 8$ है।
दिया गया है कि एक ढाल दूसरी की तीन गुनी है,इसलिए $m_1 = 3m_2$ लें।
गुणनफल समीकरण में मान रखने पर: $(3m_2) \times m_2 = 8$ $\Rightarrow 3m_2^2 = 8$ $\Rightarrow m_2^2 = 8/3$।
योग समीकरण में मान रखने पर: $3m_2 + m_2 = -a$ $\Rightarrow 4m_2 = -a$ $\Rightarrow m_2 = -a/4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m_2^2 = a^2/16$।
$m_2^2$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $a^2/16 = 8/3$ $\Rightarrow a^2 = 128/3$ $\Rightarrow a = \pm 8 \sqrt{2/3}$।
चूंकि विकल्पों में धनात्मक मान दिया गया है,इसलिए $a = 8 \sqrt{\frac{2}{3}}$।

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 + 3xy + Ky^2 = 0$ है।
$Ky^2$ से विभाजित करने पर,हमें ढाल $m = \frac{y}{x}$ के रूप में द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$Km^2 + 3m + 2 = 0$.
चूंकि एक ढाल $m_1 = 2$ है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$K(2)^2 + 3(2) + 2 = 0$ $\Rightarrow 4K + 8 = 0$ $\Rightarrow K = -2$.
$K = -2$ को $Km^2 + 3m + 2 = 0$ में रखने पर:
$-2m^2 + 3m + 2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - 3m - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2m + 1)(m - 2) = 0$.
अतः,ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ हैं।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं और उनके बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + xy - 6y^2 - 2x + 17y - 12 = 0$ है।
इसे रेखाओं के युग्म के व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$g = -1$,और $c = -12$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म द्वारा बनाए गए $x$-अंतःखंड की लंबाई का सूत्र $\frac{2\sqrt{g^2 - ac}}{a}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{लंबाई} = \frac{2\sqrt{(-1)^2 - 2(-12)}}{2} = \frac{2\sqrt{1 + 24}}{2} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$x$-अंतःखंड की लंबाई $5$ है।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण: $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ ...$(i)$
रेखा का दिया गया समीकरण: $x+y+2=0 \Rightarrow \frac{x+y}{-2}=1$ ...(ii)
समीकरण (ii) का उपयोग करके समीकरण $(i)$ को समघात बनाने पर:
$x^2+xy+y^2+x(1)+3y(1)+1(1)^2=0$
$1 = \frac{x+y}{-2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+xy+y^2+x(\frac{x+y}{-2})+3y(\frac{x+y}{-2})+(\frac{x+y}{-2})^2=0$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2+4xy+4y^2-2x(x+y)-6y(x+y)+(x+y)^2=0$
$3x^2-2xy-y^2=0$
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=3, 2h=-2, b=-1$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ है।
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = -xy$
$x^2+4xy-y^2=0$.

(C) दिया गया समीकरण: $x^2-y^2+2x+4y=0$
माना नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं और मूल बिंदु को $(-1, 2)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
रूपांतरण समीकरण $x = X - 1$ और $y = Y + 2$ हैं।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X-1)^2 - (Y+2)^2 + 2(X-1) + 4(Y+2) = 0$
$(X^2 - 2X + 1) - (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 + 4Y + 8 = 0$
$X^2 - Y^2 + 3 = 0$

(C) दिया गया समीकरण: $x^2-y^2+2x+4y=0$।
जब मूल बिंदु को $(h, k) = (-1, 2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण $x = X - 1$ और $y = Y + 2$ होते हैं।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X-1)^2 - (Y+2)^2 + 2(X-1) + 4(Y+2) = 0$।
पदों का विस्तार करने पर:
$(X^2 - 2X + 1) - (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 + 4Y + 8 = 0$।
सरल करने पर:
$X^2 - Y^2 + 3 = 0$।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2x+2y-5=0$ है।
मान लीजिए अक्षों को $\alpha$ कोण से घुमाया गया है। रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \alpha - Y \sin \alpha$ और $y = X \sin \alpha + Y \cos \alpha$ हैं।
इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X \cos \alpha - Y \sin \alpha)^2 + (X \sin \alpha + Y \cos \alpha)^2 + 2(X \cos \alpha - Y \sin \alpha) + 2(X \sin \alpha + Y \cos \alpha) - 5 = 0$.
द्विघात पदों को सरल करने पर:
$X^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + Y^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = X^2 + Y^2$.
रैखिक पदों को सरल करने पर:
$2X(\cos \alpha + \sin \alpha) + 2Y(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $X^2 + Y^2 + 2X(\cos \alpha + \sin \alpha) + 2Y(\cos \alpha - \sin \alpha) - 5 = 0$ है।
समीकरण में कोई रैखिक पद न होने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$\cos \alpha + \sin \alpha = 0 \implies \tan \alpha = -1$
$\cos \alpha - \sin \alpha = 0 \implies \tan \alpha = 1$
चूंकि $\tan \alpha$ एक साथ $1$ और $-1$ नहीं हो सकता,इसलिए $\alpha$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो दोनों शर्तों को पूरा करे।
अतः,$\alpha$ के मानों की संख्या $0$ है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2 + 11xy - 4y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x - y)(x + 4y) = 0$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = 3$ और $m_2 = -\frac{1}{4}$ है।
इनके लंबवत रेखाओं की ढाल $m_1' = -\frac{1}{3}$ और $m_2' = 4$ होगी।
चूंकि ये रेखाएं $(1, 1)$ से गुजरती हैं,उनके समीकरण हैं:
$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow x + 3y - 4 = 0$
$y - 1 = 4(x - 1) \Rightarrow 4x - y - 3 = 0$
संयुक्त समीकरण $(x + 3y - 4)(4x - y - 3) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $4x^2 + 11xy - 3y^2 - 19x - 5y + 12 = 0$।
तुलना करने पर $a = 4, h = \frac{11}{2}, b = -3, g = -\frac{19}{2}, f = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
$2(a - h + b - g + f - 12) = 2(4 - \frac{11}{2} - 3 + \frac{19}{2} - \frac{5}{2} - 12) = -19$।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $3x^2+11xy-4y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(3x-y)(x+4y)=0$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं की ढाल $m_1=3$ और $m_2=-\frac{1}{4}$ है।
इनके लंबवत रेखाओं की ढाल $m_1'=-\frac{1}{3}$ और $m_2'=-4$ होगी।
चूंकि ये रेखाएं $(1,1)$ से गुजरती हैं,उनके समीकरण हैं:
$y-1=-\frac{1}{3}(x-1) \Rightarrow x+3y-4=0$
$y-1=-4(x-1) \Rightarrow 4x-y-3=0$
संयुक्त समीकरण $(x+3y-4)(4x-y-3)=0$ है।
विस्तार करने पर: $4x^2+11xy-3y^2-19x-5y+12=0$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $a=4, h=\frac{11}{2}, b=-3, g=-\frac{19}{2}, f=-\frac{5}{2}$ मिलता है।
$2(a-h+b-g+f-12) = -19$.

(D) समीकरण $6x^2 - xy - 5y^2 = 0$ का गुणनखंड $(6x + 5y)(x - y) = 0$ है।
इससे दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $y = x$ और $y = -\frac{6x}{5}$।
स्थिति $1$: यदि $y = x$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो $3x^2 - 5xy + Py^2 = 0$ में $y = x$ रखने पर $3x^2 - 5x^2 + Px^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2(P - 2) = 0$,अतः $P = 2$।
स्थिति $2$: यदि $y = -\frac{6x}{5}$ एक उभयनिष्ठ रेखा है,तो $3x^2 - 5xy + Py^2 = 0$ में $y = -\frac{6x}{5}$ रखने पर $3x^2 - 5x(-\frac{6x}{5}) + P(-\frac{6x}{5})^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $3x^2 + 6x^2 + P(\frac{36x^2}{25}) = 0$ में सरल हो जाता है,जो $9x^2 + \frac{36Px^2}{25} = 0$ है।
$9x^2$ से भाग देने पर,$1 + \frac{4P}{25} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $P = -\frac{25}{4}$।
$P$ के सभी संभावित मानों का योग $2 + (-\frac{25}{4}) = \frac{8 - 25}{4} = -\frac{17}{4}$ है।

(A) मान लीजिए कि अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है। रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ हैं।
$3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2 = 0$ समीकरण के लिए,$XY$ का गुणांक $2(A-B)\sin \theta \cos \theta + 2H(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$ है।
यहाँ $A=3, H=\sqrt{3}, B=1$ है। नए $XY$ गुणांक को $0$ रखने पर,हमें $2\sin 2\theta + 2\sqrt{3}\cos 2\theta = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\tan 2\theta = -\sqrt{3}$,इसलिए $2\theta = 120^{\circ}$ या $\theta = 60^{\circ}$।
$x^2 + y^2 + 2xy = 2$ में $\theta = 60^{\circ}$ रखने पर,हमें रूपांतरित समीकरण $(2+\sqrt{3})X^2 + (2-\sqrt{3})Y^2 + 2XY = 4$ प्राप्त होता है।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $2x^2 + 3xy + ky^2 = 0$ है।
$x^2$ से विभाजित करने पर,$k(\frac{y}{x})^2 + 3(\frac{y}{x}) + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं का ढाल है। अतः $km^2 + 3m + 2 = 0$।
दिया गया है कि एक ढाल $m_1 = 2$ है,अतः $k(2)^2 + 3(2) + 2 = 0 \implies 4k + 8 = 0 \implies k = -2$।
समीकरण $2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$ हो जाता है।
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = -2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a + b = 2 - 2 = 0$ है,इसलिए रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) माना नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं जहाँ $x = X+h$ और $y = Y+k$ है।
समीकरण $x^2+2x+2y-7=0$ में इन मानों को रखने पर:
$(X+h)^2 + 2(X+h) + 2(Y+k) - 7 = 0$
$X^2 + 2hX + h^2 + 2X + 2h + 2Y + 2k - 7 = 0$
$X^2 + (2h+2)X + 2Y + (h^2+2h+2k-7) = 0$
$x$ पद को हटाने के लिए,$X$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$2h+2 = 0 \Rightarrow h = -1$
अचर पद को हटाने के लिए,अचर भाग शून्य होना चाहिए:
$h^2+2h+2k-7 = 0$
$h = -1$ रखने पर:
$(-1)^2 + 2(-1) + 2k - 7 = 0$
$1 - 2 + 2k - 7 = 0$
$2k - 8 = 0 \Rightarrow k = 4$
अतः,$2h+k = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2$.

(B) वृत्त के दो अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र होता है।
दिए गए अभिलंबों के समीकरण हैं:
$2x - 3y + 4 = 0$ ... $(i)$
$x + y - 3 = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$2x + 2y - 6 = 0$ ... $(iii)$
$(iii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(2x + 2y - 6) - (2x - 3y + 4) = 0$
$5y - 10 = 0 \implies y = 2$
$y = 2$ को $(ii)$ में रखने पर:
$x + 2 - 3 = 0 \implies x = 1$
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है।
वृत्त बिंदु $(4, 6)$ से गुजरता है।
त्रिज्या $r$,$(1, 2)$ और $(4, 6)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
वृत्त की परिधि $2 \pi r = 2 \pi (5) = 10 \pi$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x+1=0$ है।
इसे $(x-2)^2+y^2=3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,केंद्र $C = (2, 0)$ और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = 3$ है।
वृत्त के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ का प्रतिलोम बिंदु $Q(h, k)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$h = x_0 + \frac{r^2(x_1-x_0)}{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$ और $k = y_0 + \frac{r^2(y_1-y_0)}{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$.
यहाँ,$(x_0, y_0) = (2, 0)$,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,और $r^2 = 3$ है।
हर $(1-2)^2+(2-0)^2 = 1+4 = 5$ है।
इसलिए,$h = 2 + \frac{3(-1)}{5} = 2 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.
और $k = 0 + \frac{3(2)}{5} = \frac{6}{5}$.
अतः,$2h+k = 2(\frac{7}{5}) + \frac{6}{5} = \frac{14}{5} + \frac{6}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(D) दी गई रेखाएँ $3x + 4y - 18 = 0$ और $3x + 4y + 2 = 0$ वृत्त की समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं।
इन समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|2 - (-18)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{5} = 4$ है।
वृत्त का व्यास $4$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{4}{2} = 2$ है।
माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि केंद्र $2x + y + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2h + k + 3 = 0 \Rightarrow k = -2h - 3$ है।
केंद्र $(h, k)$ से स्पर्श रेखा $3x + 4y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 2$ के बराबर है:
$\frac{|3h + 4k + 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$ $\Rightarrow |3h + 4(-2h - 3) + 2| = 10$ $\Rightarrow |-5h - 10| = 10$।
इससे $h = -4$ या $h = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $h = -4$ है,तो $k = 5$ है। केंद्र $(-4, 5)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 8x - 10y + 37 = 0$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2\alpha x + 6y + \alpha^2 - 16 = 0$ है।
बिंदु $(4, 2)$ पर शक्ति $9$ है:
$16 + 4 - 8\alpha + 12 + \alpha^2 - 16 = 9
$ $\Rightarrow \alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0$ $\Rightarrow \alpha = 1, 7$.
स्थिति $1$: $\alpha = 1$ के लिए,$x$-अंतःखंड $8$ और $y$-अंतःखंड $4\sqrt{6}$ है।
स्थिति $2$: $\alpha = 7$ के लिए,$x$-अंतःखंड $8$ है और $y$-अंतःखंड वास्तविक नहीं है।
कुल योग $= 8 + 4\sqrt{6} + 8 = 16 + 4\sqrt{6}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -3$ और $f = -4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (3, 4)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$ है।
बिंदु $P(15, 9)$ और केंद्र $C(3, 4)$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(15 - 3)^2 + (9 - 4)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ है।
बिंदु $P$ से वृत्त की सबसे बड़ी दूरी $CP + r = 13 + 6 = 19$ है।

(A) $x^2+y^2+px+qy+r=0$ दिए गए वृत्त को $(-1,-1)$ पर स्पर्श करता है।
अतः $(-1)^2+(-1)^2-p-q+r=0$
$\Rightarrow p+q-r=2$.

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ है। इसका केंद्र $C_1 = (3, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = 1$ है।
रेखाएँ $x^2-3xy-3x+9y=0$ अभीष्ट वृत्त के अभिलंब हैं। गुणनखंड करने पर: $(x-3)(x-3y) = 0$। अतः,रेखाएँ $x=3$ और $y=x/3$ हैं। इन अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2 = (3, 1)$ है।
चूँकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = 4$ है।
बाह्य स्पर्श के लिए,$d = r_1 + r_2$। अतः,$4 = 1 + r_2$,जिससे $r_2 = 3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3, 1)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 3^2$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$।

(C) माना कि अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
ज्यामिति से,वृत्त का केंद्र $x$-अक्ष पर $(h, 0)$ पर स्थित है।
रेखाएँ $x+y=2$ और $x-y=2$ बिंदु $P(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
केंद्र $(h, 0)$ से रेखा $x+y-2=0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
$\frac{|h+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = r \Rightarrow \frac{|h-2|}{\sqrt{2}} = r$.
चूँकि वृत्त $P(2, 0)$ के बाईं ओर है,$h < 2$,इसलिए $\frac{2-h}{\sqrt{2}} = r \Rightarrow h = 2 - r\sqrt{2}$.
साथ ही,वृत्त $x^2+y^2=1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी $r_1+r_2$ है।
$(h, 0)$ और $(0, 0)$ के बीच की दूरी $h = 1+r$ है।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$1+r = 2 - r\sqrt{2}$
$r(1+\sqrt{2}) = 1$
$r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$.
तब $h = 1 + (\sqrt{2}-1) = \sqrt{2}$.
वृत्त का समीकरण $(x-\sqrt{2})^2 + y^2 = r^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 3-2\sqrt{2}$ है।

(D) वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (7, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
वृत्त $S_2 \equiv x^2+y^2+30x-2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-15, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 15$ है।
आंतरिक समानता का केंद्र $A$,$C_1C_2$ को $r_1:r_2 = 1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$A = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$।
बाह्य समानता का केंद्र $B$,$C_1C_2$ को $1:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$B = (18, -5)$।
$AB$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{39}{4}, \frac{-7}{2}\right)$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2=25$ है।
अतः,केंद्र $O$ $(0,0)$ है और त्रिज्या $r=5$ है।
अब,$QR$ की दूरी ज्ञात करें:
$QR = \sqrt{(-4-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
चूंकि $O$ केंद्र है,$OQ = OR = 5$.
$\triangle OQR$ में कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos(\angle QOR) = \frac{OQ^2 + OR^2 - QR^2}{2 \times OQ \times OR} = \frac{25 + 25 - 50}{2 \times 5 \times 5} = \frac{0}{50} = 0$.
इस प्रकार,$\angle QOR = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसी चाप द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle QOR = 2 \angle QPR$.
$\frac{\pi}{2} = 2 \angle QPR \implies \angle QPR = \frac{\pi}{4}$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $2x^2 + 2y^2 = 9$ है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $x^2 + y^2 = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।
यह $x^2 + y^2 = r^2$ के रूप में है,जहाँ $r^2 = \frac{9}{2}$,इसलिए $r = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए प्राचलिक समीकरण $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ होते हैं।
$r = \frac{3}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें $x = \frac{3}{\sqrt{2}} \cos \theta$ और $y = \frac{3}{\sqrt{2}} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $I = \int \sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} dx$.
$\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर,$1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$।
अतः,$\sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} = \sqrt{\frac{2}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}} = \frac{1}{|\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})|} = \sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$।
चूंकि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में है,जहाँ $\cos$ धनात्मक है।
अतः,$I = \int \sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) dx = -2 \log |\sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})| + C$।
$\sec \theta + \tan \theta = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})$ का उपयोग करते हुए,इसे $2 \log |\sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})| + C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$2 \log |A(x) - B(x)|$ के साथ तुलना करने पर,$B(x) = -\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।
तब $B(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}) = \tan(\frac{\pi}{8})$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{2 \tan(\pi/8)}{1 - \tan^2(\pi/8)} = 1$,$y = \tan(\frac{\pi}{8})$ लेने पर,$2y = 1 - y^2 \Rightarrow y^2 + 2y - 1 = 0$।
$y > 0$ के लिए हल करने पर,$y = \frac{-2 + \sqrt{4 + 4}}{2} = \sqrt{2} - 1$।
अतः $B(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}$।

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{3}{2 \cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2 x}} d x$ है।
$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करते हुए,$\sqrt{2 \sin 2x} = \sqrt{\frac{4 \tan x}{1 + \tan^2 x}} = \frac{2 \sqrt{\tan x}}{\sec x}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{3}{2 \cos^3 x \cdot \frac{2 \sqrt{\tan x}}{\sec x}} d x = \int \frac{3 \sec^2 x}{4 \sqrt{\tan x}} d x$.
चूंकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{3(1 + \tan^2 x)}{4 \sqrt{\tan x}} \sec^2 x d x$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x d x$.
$I = \frac{3}{4} \int (t^{-1/2} + t^{3/2}) dt = \frac{3}{4} [2t^{1/2} + \frac{2}{5} t^{5/2}] + c = \frac{3}{2} (\tan x)^{1/2} + \frac{3}{10} (\tan x)^{5/2} + c$.
दिए गए रूप $\frac{3}{2}(\tan x)^B + \frac{1}{10}(\tan x)^A + c$ के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) समाकल $I = \int \frac{dx}{x(x^4+1)}$ को हल करने के लिए,अंश और हर को $x^3$ से गुणा करें:
$I = \int \frac{x^3 dx}{x^4(x^4+1)}$
मान लीजिए $x^4 = t$,तो $4x^3 dx = dt$,जिसका अर्थ है $x^3 dx = \frac{dt}{4}$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t(t+1)}$
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$
$I = \frac{1}{4} [\log|t| - \log|t+1|] + C$
$I = \frac{1}{4} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$
$t = x^4$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^4}{x^4+1} \right) + C$

(D) $I = \int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos (x-\alpha)}}$
$\cos(x-\alpha) = \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^3 x (\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)}}$
कोष्ठक से $\sin x$ कॉमन लेने पर:
$I = \int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^4 x (\cot x \cos \alpha + \sin \alpha)}} = \int \frac{\csc^2 x}{\sqrt{\cot x \cos \alpha + \sin \alpha}} d x$
माना $t = \cot x \cos \alpha + \sin \alpha$.
तब $dt = -\csc^2 x \cos \alpha \, dx$,जिसका अर्थ है $\csc^2 x \, dx = -\frac{dt}{\cos \alpha}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-dt}{\cos \alpha \sqrt{t}} = -\frac{1}{\cos \alpha} \int t^{-1/2} dt$
$I = -\frac{1}{\cos \alpha} (2 \sqrt{t}) + C = -\frac{2}{\cos \alpha} \sqrt{\cot x \cos \alpha + \sin \alpha} + C$
वर्गमूल से $\cos \alpha$ कॉमन लेने पर:
$I = -\frac{2}{\cos \alpha} \sqrt{\cos \alpha (\cot x + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})} + C$
$I = -\frac{2}{\sqrt{\cos \alpha}} \sqrt{\cot x + \tan \alpha} + C$

(C) माना $I = \int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^{1/4}} dx$.
$t = (e^x+1)^{1/4}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^4 = e^x+1$,इसलिए $e^x = t^4-1$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$e^x dx = 4t^3 dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(t^4-1) \cdot (4t^3 dt)}{t} = 4 \int (t^4-1)t^2 dt$.
$I = 4 \int (t^6-t^2) dt = 4 \left( \frac{t^7}{7} - \frac{t^3}{3} \right) + C$.
$I = 4t^3 \left( \frac{t^4}{7} - \frac{1}{3} \right) + C$.
$t = (e^x+1)^{1/4}$ वापस रखने पर:
$I = 4(e^x+1)^{3/4} \left( \frac{e^x+1}{7} - \frac{1}{3} \right) + C$.
$I = 4(e^x+1)^{3/4} \left( \frac{3e^x+3-7}{21} \right) + C$.
$I = \frac{4}{21}(e^x+1)^{3/4}(3e^x-4) + C$.

(A) $I = \int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} dx$
माना $x = a \tan^2 t$,तब $dx = 2a \tan t \sec^2 t dt$।
समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \sin^{-1} \sqrt{\frac{a \tan^2 t}{a(1 + \tan^2 t)}} (2a \tan t \sec^2 t) dt$
$I = \int \sin^{-1} \sqrt{\frac{\tan^2 t}{\sec^2 t}} (2a \tan t \sec^2 t) dt$
$I = \int t (2a \tan t \sec^2 t) dt = 2a \int t \tan t \sec^2 t dt$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर:
$I = 2a \left[ t \int \tan t \sec^2 t dt - \int (1 \cdot \int \tan t \sec^2 t dt) dt \right]$
चूंकि $\int \tan t \sec^2 t dt = \frac{\tan^2 t}{2}$:
$I = 2a \left[ t \cdot \frac{\tan^2 t}{2} - \int \frac{\tan^2 t}{2} dt \right] = a t \tan^2 t - a \int (\sec^2 t - 1) dt$
$I = a t \tan^2 t - a (\tan t - t) + C = a t \tan^2 t - a \tan t + at + C$
$I = a t (\tan^2 t + 1) - a \tan t + C = a t \sec^2 t - a \tan t + C$
$t = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ और $\tan^2 t = \frac{x}{a}$ रखने पर:
$I = a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} (1 + \frac{x}{a}) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + C$
$I = (a+x) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + C$

(D) माना $I = \int \frac{x^2-1}{x^3 \sqrt{2 x^4-2 x^2+1}} d x$ है।
अंश और हर को $x^5$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^5}}{\sqrt{2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}}} d x$।
माना $t = 2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}$ है।
तब $dt = (\frac{4}{x^3} - \frac{4}{x^5}) d x$,जिसका अर्थ है कि $(\frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^5}) d x = \frac{dt}{4}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{4} (2\sqrt{t}) + c = \frac{\sqrt{t}}{2} + c$।
$t = 2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4} = \frac{2x^4 - 2x^2 + 1}{x^4}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2x^4 - 2x^2 + 1}{x^4}} + c = \frac{\sqrt{2x^4 - 2x^2 + 1}}{2x^2} + c$।

(A) माना $I = \int \frac{x^3 \tan^{-1} x^4}{1+x^8} dx$.
$t = x^4$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 4x^3 dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3 dx = \frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{4} \int \frac{\tan^{-1} t}{1+t^2} dt$ प्राप्त होता है।
अब,$u = \tan^{-1} t$ लेने पर,$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ प्राप्त होता है।
$u$ को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{4} \int u du$ प्राप्त होता है।
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{8} + c$ प्राप्त होता है।
अंत में $u = \tan^{-1} t$ और $t = x^4$ वापस रखने पर,$I = \frac{(\tan^{-1}(x^4))^2}{8} + c$ प्राप्त होता है।

(B) $I = \int \frac{2}{1+x+x^2} dx = \int \frac{2}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$
माना $x + \frac{1}{2} = v$,तब $dx = dv$.
सूत्र $\int \frac{1}{v^2 + a^2} dv = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{v}{a}) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$I = 2 \times \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}(\frac{v}{\frac{\sqrt{3}}{2}}) + c$
$I = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2v}{\sqrt{3}}) + c$
$v = x + \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2(x + \frac{1}{2})}{\sqrt{3}}) + c = \frac{4}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + c$

(A) माना $I = \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} dx$.
वर्गमूल से $x^2$ कॉमन लेने पर: $I = \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} dx = \int \frac{1}{x^3 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} dx$.
माना $1 + \frac{1}{x^2} = t^2$.
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-\frac{2}{x^3} dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^3} = -t dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int -t dt / t = -\int dt = -t + c$.
चूंकि $t = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|}$,इसलिए $x > 0$ के लिए,$I = -\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + c$.

(B) माना $I = \int e^{4 x^2+8 x-4}(x+1) \cos \left(3 x^2+6 x-4\right) d x$.
$t = x^2 + 2x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = (2x + 2) dx = 2(x+1) dx$,जिसका अर्थ है $(x+1) dx = \frac{dt}{2}$.
समाकलन $I = \frac{1}{2} \int e^{4t-4} \cos(3t-4) dt$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int e^{ax+k} \cos(bt+m) dt = \frac{e^{ax+k}}{a^2+b^2} [a \cos(bt+m) + b \sin(bt+m)] + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=4$ और $b=3$:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4t-4}}{4^2+3^2} [4 \cos(3t-4) + 3 \sin(3t-4)] + C$.
$I = \frac{e^{4t-4}}{2 \cdot 25} [4 \cos(3t-4) + 3 \sin(3t-4)] + C$.
$t = x^2 + 2x$ वापस रखने पर,$4t-4 = 4x^2+8x-4$ और $3t-4 = 3x^2+6x-4$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \frac{e^{4x^2+8x-4}}{50} [4 \cos(3x^2+6x-4) + 3 \sin(3x^2+6x-4)] + C$.

(A) माना $I = \int \frac{1}{(1+x^2) \sqrt{x^2+2}} dx$.
$x = \sqrt{2} \tan \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{(1 + 2 \tan^2 \theta) \sqrt{2 \tan^2 \theta + 2}} d\theta = \int \frac{\sec \theta}{1 + 2 \tan^2 \theta} d\theta$.
$1 + 2 \tan^2 \theta = 2 \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{\cos \theta}{1 + \sin^2 \theta} d\theta$ प्राप्त होता है।
$t = \sin \theta$ लेने पर,$dt = \cos \theta d\theta$ होता है।
$I = \int \frac{1}{1 + t^2} dt = \tan^{-1}(t) + c = \tan^{-1}(\sin \theta) + c$.
चूंकि $x = \sqrt{2} \tan \theta$,इसलिए $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$.
अतः,$I = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+2}} \right) + c$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-\tan^{-1} \frac{\sqrt{x^2+2}}{|x|} + c$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} dx$.
$u = \sqrt[4]{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = u^4$ और $dx = 4u^3 du$ प्राप्त होता है।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{u}{u^2+u} (4u^3 du) = 4 \int \frac{u^4}{u(u+1)} du = 4 \int \frac{u^3}{u+1} du$.
बहुपद विभाजन का उपयोग करने पर,$\frac{u^3}{u+1} = u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1}$.
$I = 4 \int (u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1}) du = 4 (\frac{u^3}{3} - \frac{u^2}{2} + u - \log|u+1|) + K$.
$I = \frac{4}{3}u^3 - 2u^2 + 4u - 4 \log(u+1) + K$.
$\frac{2}{3}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{2}{3} [2u^3 - 3u^2 + 6u - 6 \log(u+1)] + K$.
$u = \sqrt[4]{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{3} [2 \sqrt[4]{x^3} - 3 \sqrt[4]{x^2} + 6 \sqrt[4]{x} - 6 \log(1+\sqrt[4]{x})] + K$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A=2, B=-3, C=6, D=-6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{3}(A+B+C+D) = \frac{2}{3}(2 - 3 + 6 - 6) = \frac{2}{3}(-1) = -\frac{2}{3}$.

(C) माना $I = \int (\log x)^m x^n \, dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = e^t$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int t^m (e^t)^n \cdot e^t \, dt$
$I = \int t^m e^{nt} \cdot e^t \, dt$
$I = \int t^m e^{(n+1)t} \, dt$।
अतः,सही प्रतिस्थापन $x = e^t$ है और परिणामी समाकल $\int t^m e^{(n+1)t} \, dt$ है।

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x-a}{x}}\right) d x$.
$x = a \sec^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sec^2 \theta \tan \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{\frac{x-a}{x}} = \sin \theta$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \theta \cdot (2a \sec^2 \theta \tan \theta) \, d\theta = 2a \int \theta \sec^2 \theta \tan \theta \, d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$I = \theta \tan^2 \theta - \int \tan^2 \theta \, d\theta = \theta \tan^2 \theta - \int (\sec^2 \theta - 1) \, d\theta = \theta \sec^2 \theta - \tan \theta + C$.
चूंकि $x = a \sec^2 \theta$,इसलिए $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{a}{x}}$ और $\tan \theta = \sqrt{\frac{x-a}{a}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = x \cos^{-1} \sqrt{\frac{a}{x}} - \sqrt{ax-a^2} + C$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{\cos^4 x - \sin^4 x}} dx$ है।
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$ का उपयोग करने पर।
अतः,$I = \int \frac{\frac{1}{2} \sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}} dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x (\cos 2x)^{-1/2} dx$।
$t = \cos 2x$ लेने पर,$dt = -2 \sin 2x dx$,इसलिए $\sin 2x dx = -\frac{1}{2} dt$।
$I = \frac{1}{2} \int -\frac{1}{2} t^{-1/2} dt = -\frac{1}{4} \cdot 2 t^{1/2} + c = -\frac{1}{2} \sqrt{\cos 2x} + c$।
$-\frac{f(x)}{2} + c$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \sqrt{\cos 2x}$ प्राप्त होता है।
प्रांत के लिए,$\cos 2x \geq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $2n\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x \leq 2n\pi + \frac{\pi}{2}$।
$2$ से भाग देने पर,$n\pi - \frac{\pi}{4} \leq x \leq n\pi + \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
जो सामान्य रूप $[(4n-1)\frac{\pi}{4}, (4n+1)\frac{\pi}{4}]$ के अनुरूप है।

(A) माना $I = \int e^{2x+3} \sin 6x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = \sin 6x$ और $dv = e^{2x+3} \, dx$ लें।
अतः $du = 6 \cos 6x \, dx$ और $v = \frac{e^{2x+3}}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \int \frac{e^{2x+3}}{2} \cdot 6 \cos 6x \, dx = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - 3 \int e^{2x+3} \cos 6x \, dx$।
पुनः $\int e^{2x+3} \cos 6x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$u = \cos 6x, dv = e^{2x+3} \, dx \implies du = -6 \sin 6x \, dx, v = \frac{e^{2x+3}}{2}$।
$I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - 3 \left[ \frac{e^{2x+3}}{2} \cos 6x - \int \frac{e^{2x+3}}{2} (-6 \sin 6x) \, dx \right]$।
$I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \frac{3}{2} e^{2x+3} \cos 6x - 9 \int e^{2x+3} \sin 6x \, dx$।
$I = \frac{e^{2x+3}}{2} \sin 6x - \frac{3}{2} e^{2x+3} \cos 6x - 9I$।
$10I = \frac{e^{2x+3}}{2} (\sin 6x - 3 \cos 6x) + C$।
$I = \frac{e^{2x+3}}{20} (\sin 6x - 3 \cos 6x) + C = \frac{e^{2x+3}}{40} (2 \sin 6x - 6 \cos 6x) + C$।

(C) हमारे पास $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ है।
अंश को $(x+4-2)$ के रूप में लिखें:
$I = \int e^x \left(\frac{x+4-2}{x+4}\right)^2 dx = \int e^x \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 dx$.
वर्ग का विस्तार करने पर:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) dx + \int \frac{4 e^x}{(x+4)^2} dx$.
माना $f(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$ है। तब $f'(x) = -(-4)(x+4)^{-2} = \frac{4}{(x+4)^2}$ है।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + c = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + c = \frac{x e^x}{x+4} + c$.

(A) हम सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करते हैं।
माना $f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ है।
तब $f'(x) = 2x + 2 = 2(x+1)$ है।
यह सीधे इस रूप में फिट नहीं होता है।
वैकल्पिक रूप से,व्यंजक का विस्तार करें:
$\int e^x(x^2+2x+1) dx = \int e^x x^2 dx + \int e^x(2x+1) dx$।
$\int e^x x^2 dx$ पर खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$= x^2 e^x - \int 2x e^x dx + \int 2x e^x dx + \int e^x dx = x^2 e^x + e^x + c = e^x(x^2+1) + c$.

(C) माना $I = \int [(\ln x)^2 + 2 \ln x] dx$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx} [x(\ln x)^2] = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = (\ln x)^2 + 2 \ln x$.
अतः,समाकलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$\int [(\ln x)^2 + 2 \ln x] dx = x(\ln x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \log (6 \sin^2 x + 17 \sin x + 12)^{\cos x} dx$.
$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \log (6t^2 + 17t + 12) dt = \int \log ((2t+3)(3t+4)) dt = \int (\log(2t+3) + \log(3t+4)) dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$\int \log(2t+3) dt = t \log(2t+3) - \int \frac{2t}{2t+3} dt = t \log(2t+3) - \int (1 - \frac{3}{2t+3}) dt = (t + \frac{3}{2}) \log(2t+3) - t$.
इसी प्रकार,$\int \log(3t+4) dt = (t + \frac{4}{3}) \log(3t+4) - t$.
अतः,$f(t) = (t + \frac{3}{2}) \log(2t+3) + (t + \frac{4}{3}) \log(3t+4) - 2t$.
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए,$t = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$f(1) = (1 + \frac{3}{2}) \log(5) + (1 + \frac{4}{3}) \log(7) - 2(1) = \frac{5}{2} \log 5 + \frac{7}{3} \log 7 - 2 = \frac{15 \log 5 + 14 \log 7 - 12}{6}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$।
मान लीजिए $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,अर्थात $x dx = \frac{1}{2} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$f(x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(t+1)(t+3)} dt$।
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$।
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{4} [\log|t+1| - \log|t+3|] + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right) + C$।
दिया गया है $f(3) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{5}{6} \right)$,इसलिए:
$\frac{1}{4} \log \left( \frac{3^2+1}{3^2+3} \right) + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{10}{12} \right) + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{5}{6} \right) + C$।
इसकी तुलना करने पर,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right)$।
अंत में,$f(0) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{0^2+1}{0^2+3} \right) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{1}{3} \right)$।

(B) माना $I = \int \frac{2-\sin x}{2 \cos x+3} dx$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int \frac{2}{2 \cos x+3} dx - \int \frac{\sin x}{2 \cos x+3} dx = I_1 + I_2$.
$I_1 = \int \frac{2}{2 \cos x+3} dx$ के लिए,अर्ध-कोण प्रतिस्थापन $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ का उपयोग करें,जहाँ $t = \tan(x/2)$ और $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ है।
$I_1 = \int \frac{2}{2(\frac{1-t^2}{1+t^2})+3} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = \int \frac{4}{2-2t^2+3+3t^2} dt = \int \frac{4}{t^2+5} dt$.
$I_1 = \frac{4}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{5}}) = \frac{4}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}} \tan \frac{x}{2}) + C_1$.
$I_2 = \int \frac{-\sin x}{2 \cos x+3} dx$ के लिए,$u = 2 \cos x + 3$ लें,तो $du = -2 \sin x dx$,इसलिए $-\sin x dx = \frac{1}{2} du$.
$I_2 = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log|2 \cos x + 3| = \log \sqrt{2 \cos x + 3} + C_2$.
इन दोनों को मिलाने पर,$I = \frac{4}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}} \tan \frac{x}{2}) + \log \sqrt{2 \cos x + 3} + C$.

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x^4+1}{x^6+1} \, dx$ है।
सबसे पहले,अंश को $x^4+1 = (x^4-x^2+1) + x^2$ के रूप में लिखें।
चूंकि $x^6+1 = (x^2)^3 + 1^3 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{x^4+1}{x^6+1} = \frac{x^4-x^2+1}{x^6+1} + \frac{x^2}{x^6+1} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x^2}{(x^3)^2+1}$.
अब,पद-दर-पद समाकलन करें:
$\int \frac{1}{x^2+1} \, dx + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} \, dx$.
पहला समाकलन $\tan^{-1} x$ है।
दूसरे समाकलन के लिए,मान लें $u = x^3$,तो $du = 3x^2 \, dx$,जिसका अर्थ है $x^2 \, dx = \frac{1}{3} du$.
अतः,$\int \frac{1}{3} \frac{du}{u^2+1} = \frac{1}{3} \tan^{-1} u = \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3$.
इन दोनों को जोड़ने पर,हमें $\tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3 + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$.
$A = \int_0^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ के लिए,अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$A = \int_0^{\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 2} dx$.
माना $t = x - \frac{1}{x}$,तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
जब $x \to 0, t \to -\infty$ और जब $x \to \infty, t \to \infty$.
$A = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$B = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ के लिए,$x = \frac{1}{u}$ रखने पर,$dx = -\frac{1}{u^2} du$.
$B = \int_{\infty}^1 \frac{1 + \frac{1}{u^2}}{1 + \frac{1}{u^4}} (-\frac{1}{u^2}) du = \int_1^{\infty} \frac{u^2 + 1}{u^4 + 1} du$.
चूंकि $A = \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} dx + \int_1^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} dx = B + B = 2B$.
अतः,$2B = A$.

(B) दिया गया है,$I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx$.
हम जानते हैं कि $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx$ के लिए,रिडक्शन सूत्र $I_n + I_{n-2} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2} x (\tan^2 x + 1) \, dx = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx$ है।
मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$ होगा।
जब $x = 0, u = 0$ और जब $x = \pi/4, u = 1$।
अतः,$I_n + I_{n-2} = \int_0^1 u^{n-2} \, du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$।
$I_{13} + I_{11}$ के लिए,हम $n = 13$ रखते हैं।
इस प्रकार,$I_{13} + I_{11} = \frac{1}{13-1} = \frac{1}{12}$।

(B) दिया गया समाकलन $\int_1^n [x] dx = 120$ है।
हम समाकलन को इकाई लंबाई के अंतरालों में विभाजित कर सकते हैं:
$\int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \int_3^4 3 dx + \dots + \int_{n-1}^n (n-1) dx = 120$.
यह प्रथम $(n-1)$ प्राकृतिक संख्याओं के योग में बदल जाता है:
$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = 120$.
प्रथम $k$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{k(k+1)}{2}$,जहाँ $k = n-1$:
$\frac{(n-1)n}{2} = 120$.
$(n-1)n = 240$.
$n^2 - n - 240 = 0$.
$(n - 16)(n + 15) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 16$.

(B) माना $I = \int \frac{x^2}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$.
हम समाकल्य को $I = \int (x \sec x) \left( \frac{x \cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} \right) dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = x \sec x$ और $dv = \frac{x \cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$ लें।
तब $du = (\sec x + x \sec x \tan x) dx$ और $v = \frac{-1}{x \sin x + \cos x}$ प्राप्त होता है।
$I = (x \sec x) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) - \int (\sec x + x \sec x \tan x) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) dx$.
$I = \frac{-x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \int \frac{\sec x (1 + x \tan x)}{x \sin x + \cos x} dx$.
चूंकि $x \sin x + \cos x = \cos x (x \tan x + 1)$,समाकलन $\int \frac{\sec x \cdot \cos x (x \tan x + 1)}{\cos x (x \tan x + 1)} dx = \int \sec^2 x dx = \tan x$ हो जाता है।
अतः,$I = \frac{-x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \tan x = \frac{-x + \tan x (x \sin x + \cos x)}{\cos x (x \sin x + \cos x)} = \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x}$.
निश्चित समाकलन का मान: $\left[ \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x} \right]_0^{\pi / 4} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}} - 0 = \frac{1 - \pi/4}{1 + \pi/4} = \frac{4 - \pi}{4 + \pi}$.

(D) माना $I = \int_{\log 4}^{\log 5} \frac{e^{2x} + e^x}{e^{2x} - 5e^x + 6} dx$.
$e^x = t$ प्रतिस्थापन करने पर,$e^x dx = dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = \log 4$,तब $t = 4$ और जब $x = \log 5$,तब $t = 5$।
$I = \int_4^5 \frac{t+1}{(t-3)(t-2)} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{t+1}{(t-3)(t-2)} = \frac{4}{t-3} - \frac{3}{t-2}$.
$I = \int_4^5 \left( \frac{4}{t-3} - \frac{3}{t-2} \right) dt$.
$I = [4 \log|t-3| - 3 \log|t-2|]_4^5$.
$I = (4 \log 2 - 3 \log 3) - (4 \log 1 - 3 \log 2)$.
$I = 4 \log 2 - 3 \log 3 + 3 \log 2 = 7 \log 2 - 3 \log 3$.
$I = \log(2^7) - \log(3^3) = \log\left(\frac{128}{27}\right)$.

(D) माना $I = \int_{\frac{1}{\sqrt[5]{31}}}^{\frac{1}{\sqrt[5]{242}}} \frac{dx}{\sqrt[5]{x^{30}+x^{25}}}$.
हर से $x^{30}$ कॉमन लेने पर: $I = \int_{\frac{1}{\sqrt[5]{31}}}^{\frac{1}{\sqrt[5]{242}}} \frac{dx}{\sqrt[5]{x^{30}(1+x^{-5})}} = \int_{\frac{1}{\sqrt[5]{31}}}^{\frac{1}{\sqrt[5]{242}}} \frac{dx}{x^6(1+x^{-5})^{1/5}}$.
माना $t = 1 + x^{-5}$. तब $dt = -5x^{-6} dx$,जिसका अर्थ है $x^{-6} dx = -\frac{1}{5} dt$.
समाकलन की सीमाएं बदलने पर:
जब $x = \frac{1}{\sqrt[5]{31}}$,तब $t = 1 + (\sqrt[5]{31})^5 = 1 + 31 = 32$.
जब $x = \frac{1}{\sqrt[5]{242}}$,तब $t = 1 + (\sqrt[5]{242})^5 = 1 + 242 = 243$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{32}^{243} -\frac{1}{5} t^{-1/5} dt = -\frac{1}{5} \left[ \frac{t^{4/5}}{4/5} \right]_{32}^{243} = -\frac{1}{4} [t^{4/5}]_{32}^{243}$.
$I = -\frac{1}{4} (243^{4/5} - 32^{4/5}) = -\frac{1}{4} ((3^5)^{4/5} - (2^5)^{4/5}) = -\frac{1}{4} (3^4 - 2^4) = -\frac{1}{4} (81 - 16) = -\frac{65}{4}$.

(A) माना $I = 729 \int_1^3 \frac{1}{x^3(x^2+9)^2} dx$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $\frac{1}{x^3(x^2+9)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+9} + \frac{Fx+G}{(x^2+9)^2}$.
गुणांकों को हल करने पर,हमें $A = -\frac{2}{729}$,$B = 0$,$C = \frac{1}{81}$,$D = \frac{2}{729}$,$E = 0$,$F = \frac{1}{81}$,$G = 0$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 729 \int_1^3 \left( -\frac{2}{729x} + \frac{1}{81x^3} + \frac{2x}{729(x^2+9)} + \frac{x}{81(x^2+9)^2} \right) dx$
$I = \int_1^3 \left( -\frac{2}{x} + \frac{9}{x^3} + \frac{2x}{x^2+9} + \frac{9x}{(x^2+9)^2} \right) dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \left[ -2 \log|x| - \frac{9}{2x^2} + \log(x^2+9) - \frac{9}{2(x^2+9)} \right]_1^3$
$I = \left[ \log\left(\frac{x^2+9}{x^2}\right) - \frac{9}{2x^2} - \frac{9}{2(x^2+9)} \right]_1^3$
सीमाओं पर मूल्यांकन करने पर:
$I = \left( \log\left(\frac{18}{9}\right) - \frac{9}{18} - \frac{9}{36} \right) - \left( \log\left(\frac{10}{1}\right) - \frac{9}{2} - \frac{9}{20} \right)$
$I = \log 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \log 10 + \frac{9}{2} + \frac{9}{20}$
$I = \log\left(\frac{2}{10}\right) + \left( 4 - \frac{1}{4} + \frac{9}{20} \right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) + \left( \frac{80 - 5 + 9}{20} \right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) + \frac{84}{20} = \frac{21}{5} + \log\left(\frac{1}{5}\right)$
$a + \log b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{21}{5}$ और $b = \frac{1}{5}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$a - b = \frac{21}{5} - \frac{1}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(A) $\int_0^2 f(x) dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन को $x = 1$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 \frac{6 x^2 + 1}{4 x^3 + 2 x + 3} dx + \int_1^2 (x^2 + 1) dx$
पहले समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = 4 x^3 + 2 x + 3$,तो $du = (12 x^2 + 2) dx = 2(6 x^2 + 1) dx$।
अतः,$\int_0^1 \frac{6 x^2 + 1}{4 x^3 + 2 x + 3} dx = \frac{1}{2} \int_{u(0)}^{u(1)} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_3^9 = \frac{1}{2} (\log 9 - \log 3) = \frac{1}{2} \log 3$।
दूसरे समाकलन के लिए,$\int_1^2 (x^2 + 1) dx = [\frac{x^3}{3} + x]_1^2 = (\frac{8}{3} + 2) - (\frac{1}{3} + 1) = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$।
दोनों भागों को जोड़ने पर,$\int_0^2 f(x) dx = \frac{1}{2} \log 3 + \frac{10}{3}$।

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{x}{(1-x)^{3/4}} dx$.
$t = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -dx$ प्राप्त होता है। जब $x = 0, t = 1$ और जब $x = 1, t = 0$ होता है।
$I = \int_1^0 \frac{1-t}{t^{3/4}} (-dt) = \int_0^1 \frac{1-t}{t^{3/4}} dt$.
$I = \int_0^1 (t^{-3/4} - t^{1/4}) dt$.
$I = \left[ \frac{t^{1/4}}{1/4} - \frac{t^{5/4}}{5/4} \right]_0^1$.
$I = \left[ 4t^{1/4} - \frac{4}{5}t^{5/4} \right]_0^1 = 4 - \frac{4}{5} = \frac{20-4}{5} = \frac{16}{5}$.

(D) माना $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \, dx$.
समाकल्य का परिमेयकरण करने पर: $I = \int_0^1 \frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx = \int_0^1 \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} \, dx + \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
पहले भाग के लिए,$\int_0^1 \frac{2}{\sqrt{2^2-x^2}} \, dx = 2 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_0^1 = 2 \left( \sin^{-1} \frac{1}{2} - \sin^{-1} 0 \right) = 2 \left( \frac{\pi}{6} - 0 \right) = \frac{\pi}{3}$.
दूसरे भाग के लिए,माना $t = 4-x^2$,तो $dt = -2x \, dx$,इसलिए $x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$.
$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_4^3 \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{2} \int_3^4 t^{-1/2} \, dt = \frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_3^4 = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = \frac{\pi}{3} + 2 - \sqrt{3}$.

(D) दिया गया है कि $M = \int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} dt$ और $N = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} dt$.
$M$ के लिए,मान लीजिए $t = e^{-x}$,तो $dt = -e^{-x} dx$.
जब $t = 0, x = \infty$ और जब $t = \infty, x = -\infty$.
इन मानों को $M$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \int_{\infty}^{-\infty} \frac{\log(e^{-x})}{1+(e^{-x})^3} (-e^{-x}) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-x}{1+e^{-3x}} e^{-x} dx$.
अंश और हर को $e^{3x}$ से गुणा करने पर:
$M = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-x e^{2x}}{e^{3x} + 1} dx = -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{2x}}{1+e^{3x}} dx$.
इसकी तुलना $N$ से करने पर,हमें $M = -N$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $N = -M$.

(B) चूँकि $f(x) = (4-x^2)^{5/2}$ एक सम फलन है, इसलिए $I = 2 \int_0^2 (4-x^2)^{5/2} dx$ होगा।
मान लीजिए $x = 2 \sin \theta$, तब $dx = 2 \cos \theta d\theta$ होगा।
जब $x = 0, \theta = 0$ और जब $x = 2, \theta = \frac{\pi}{2}$।
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (4 - 4 \sin^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta$.
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (4 \cos^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta = 2 \int_0^{\pi/2} (32 \cos^5 \theta) (2 \cos \theta) d\theta$.
$I = 128 \int_0^{\pi/2} \cos^6 \theta d\theta$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\int_0^{\pi/2} \cos^n \theta d\theta = \frac{(n-1)(n-3)...(1)}{n(n-2)...(2)} \times \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है)।
$I = 128 \times \frac{5 \times 3 \times 1}{6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} = 128 \times \frac{15}{48} \times \frac{\pi}{2} = 128 \times \frac{5}{16} \times \frac{\pi}{2} = 8 \times 5 \times \frac{\pi}{2} = 20 \pi$.

(D) माना $I = \int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx$.
चूँकि $f(x) = (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}}$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{5 \pi} (2 \sin^2 x)^{\frac{5}{2}} dx$.
$I = 2 \int_{0}^{5 \pi} 2^{\frac{5}{2}} |\sin x|^5 dx = 2 \times 4 \sqrt{2} \int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx = 8 \sqrt{2} \int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx$.
चूँकि $|\sin x|^5$ का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx = 5 \int_{0}^{\pi} \sin^5 x dx = 5 \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{4 \times 2}{5 \times 3} = \frac{8}{15}$.
अतः,$I = 8 \sqrt{2} \times 5 \times 2 \times \frac{8}{15} = 80 \sqrt{2} \times \frac{8}{15} = 16 \sqrt{2} \times \frac{8}{3} = \frac{128 \sqrt{2}}{3}$.

(A) माना $I = \int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो,तो $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जब $m, n$ सम हों) का उपयोग करने पर:
$I = \pi \left( \frac{3 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{45}{3840} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{3}{256} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3 \pi^2}{512}$.

(B) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$.
चूँकि $f(x) = \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x}$ एक सम फलन है (क्योंकि $f(-x) = f(x)$),इसलिए:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = 2 \pi \int_0^\pi \frac{\sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{(1-\cos^2 x) \sin x}{4-\cos ^2 x} d x$.
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\pi, t=-1$.
$I = -\pi \int_1^{-1} \frac{1-t^2}{4-t^2} dt = 2\pi \int_0^1 \frac{1-t^2}{4-t^2} dt$.
$I = 2\pi \int_0^1 (1 - \frac{3}{4-t^2}) dt = 2\pi [t - \frac{3}{4} \log |\frac{2+t}{2-t}|]_0^1 = 2\pi [1 - \frac{3}{4} \log 3]$.

(C) यह समाकलन $x = -3$ से $x = 3$ तक वक्र $y = |2-x|$ के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है।
हम समाकलन को उस बिंदु पर विभाजित कर सकते हैं जहाँ मापांक के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है,जो $x = 2$ है।
$\int_{-3}^3 |2-x| dx = \int_{-3}^2 (2-x) dx + \int_{2}^3 (x-2) dx$
पहले भाग का मूल्यांकन: $\int_{-3}^2 (2-x) dx = [2x - \frac{x^2}{2}]_{-3}^2 = (4 - 2) - (-6 - \frac{9}{2}) = 2 - (-10.5) = 12.5$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $\int_{2}^3 (x-2) dx = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^3 = (4.5 - 6) - (2 - 4) = -1.5 - (-2) = 0.5$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $12.5 + 0.5 = 13$.
वैकल्पिक रूप से,ग्राफ से ज्यामितीय व्याख्या का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल दो समकोण त्रिभुजों से बना है:
त्रिभुज $1$ (आधार $-3$ से $2$,$x=-3$ पर ऊँचाई $|2-(-3)|=5$ है): क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$.
त्रिभुज $2$ (आधार $2$ से $3$,$x=3$ पर ऊँचाई $|2-3|=1$ है): क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.
कुल क्षेत्रफल $= 12.5 + 0.5 = 13$.

(D) माना $I = \int_0^5 [x] \, dx$ है।
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर अपना मान बदलता है।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_0^1 [x] \, dx + \int_1^2 [x] \, dx + \int_2^3 [x] \, dx + \int_3^4 [x] \, dx + \int_4^5 [x] \, dx$
$I = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx + \int_2^3 2 \, dx + \int_3^4 3 \, dx + \int_4^5 4 \, dx$
$I = 0(1-0) + 1(2-1) + 2(3-2) + 3(4-3) + 4(5-4)$
$I = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} dx$ $\qquad ....(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} dx$ $\qquad ....(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$.
$I = \frac{\pi}{2} \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$
$I = \frac{\pi}{2} [\tan^{-1}(t)]_{-1}^1 = \frac{\pi}{2} [\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)]$
$I = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{2}] = \frac{\pi^2}{4}$

(C) माना $I = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx$.
$f(x) = \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}$ लें।
हम जाँचते हैं कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है:
$f(-x) = \sqrt{1+(-x)+(-x)^2} - \sqrt{1-(-x)+(-x)^2} = \sqrt{1-x+x^2} - \sqrt{1+x+x^2}$.
चूँकि $f(-x) = -(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
विषम फलन के लिए,$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx = 0$।

(C) हमें समाकलन $I = \int_{1}^{5} (|x-3| + |1-x|) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x$ का मान $1$ से $5$ के बीच है,इसलिए $|1-x| = x-1$ होगा क्योंकि $x \ge 1$ है।
अब,$|x-3|$ के कारण हम समाकलन को $x=3$ पर विभाजित करेंगे:
$1 \le x < 3$ के लिए,$|x-3| = 3-x$।
$3 \le x \le 5$ के लिए,$|x-3| = x-3$।
अतः,$I = \int_{1}^{3} (3-x + x-1) dx + \int_{3}^{5} (x-3 + x-1) dx$।
$I = \int_{1}^{3} 2 dx + \int_{3}^{5} (2x-4) dx$।
$I = [2x]_{1}^{3} + [x^2-4x]_{3}^{5}$।
$I = (6-2) + ((25-20) - (9-12))$।
$I = 4 + (5 - (-3)) = 4 + 8 = 12$।

(D) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
चूँकि $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$ एक सम फलन है,इसलिए:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - I$.
$2I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$.
$I = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{2}$.

(B) $L$.$H$.$S$. $= \int_0^{2 \pi} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx = 2 \int_0^{\pi} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx = 4 \int_0^{\pi/2} (\sin ^4 x + \cos ^4 x) dx$.
वालिस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^4 x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^4 x dx = \frac{3 \times 1}{4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$.
अतः,$L$.$H$.$S$. $= 4 \times (\frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}) = 4 \times \frac{6\pi}{16} = \frac{3\pi}{2}$.
$R$.$H$.$S$. $= K \int_0^{\pi} \sin^2 x dx + L \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx = K(2 \int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx) + L \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx$.
$\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ का उपयोग करते हुए।
$R$.$H$.$S$. $= K(2 \times \frac{\pi}{4}) + L(\frac{\pi}{4}) = \frac{K\pi}{2} + \frac{L\pi}{4} = \frac{(2K + L)\pi}{4}$.
$L$.$H$.$S$. और $R$.$H$.$S$. की तुलना करने पर: $\frac{3\pi}{2} = \frac{(2K + L)\pi}{4} \Rightarrow 6 = 2K + L$.
चूंकि $K, L \in N$ (प्राकृत संख्याएँ),हम $K$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
यदि $K=1$,तो $L = 6 - 2(1) = 4$.
यदि $K=2$,तो $L = 6 - 2(2) = 2$.
यदि $K=3$,तो $L = 6 - 2(3) = 0$ ($N$ में नहीं है)।
अतः,संभावित क्रमित युग्म $(K, L)$ $(1, 4)$ और $(2, 2)$ हैं।
ऐसे $2$ युग्म संभव हैं।

(A) $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{4 \cos^2(\pi - x) + 3 \sin^2(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx$
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{4 \cos^2 x + 3(1 - \cos^2 x)} dx$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{\cos^2 x + 3} dx$
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x dx$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\pi, t=-1$.
$2I = -\pi \int_1^{-1} \frac{dt}{t^2 + 3} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{t^2 + 3}$
$2I = \pi \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) \right]_{-1}^1 = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} - \tan^{-1} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right)$
$2I = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) \right) = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\pi^2}{3 \sqrt{3}}$
$I = \frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}$

(D) माना $I = \int \frac{(\cos ^n \theta-\cos \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos ^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta$.
अंश से $\cos^n \theta$ बाहर निकालने पर:
$I = \int \frac{(\cos^n \theta (1 - \cos^{1-n} \theta))^{\frac{1}{n}}}{\cos^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta$
$I = \int \frac{\cos \theta (1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta = \int \frac{(1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos^n \theta} \sin \theta d \theta$.
माना $t = 1 - \cos^{1-n} \theta$.
तब $dt = -(1-n) \cos^{-n} \theta (-\sin \theta) d \theta = (1-n) \cos^{-n} \theta \sin \theta d \theta$.
अतः,$\frac{dt}{1-n} = \frac{\sin \theta}{\cos^n \theta} d \theta$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{t^{\frac{1}{n}}}{1-n} dt = \frac{1}{1-n} \cdot \frac{t^{\frac{1}{n}+1}}{\frac{1}{n}+1} + c = \frac{1}{1-n} \cdot \frac{t^{\frac{n+1}{n}}}{\frac{n+1}{n}} + c$
$I = \frac{n}{(1-n)(n+1)} t^{\frac{n+1}{n}} + c = \frac{n}{1-n^2} (1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{n+1}{n}} + c$.

(C) दी गई सीमा: $\lim _{n \rightarrow \infty} n^4 \sum_{r=0}^n \frac{1}{\left(n^2+r^2\right)^{\frac{5}{2}}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^n \frac{n^5}{\left(n^2+r^2\right)^{\frac{5}{2}}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^n \frac{1}{\left(1+\left(\frac{r}{n}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}}$
$= \int_0^1 \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{\frac{5}{2}}} dx$
माना $x = \tan \theta$,तब $dx = \sec^2 \theta d\theta$. जब $x=0, \theta=0$ और जब $x=1, \theta=\frac{\pi}{4}$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 \theta d\theta}{(\sec^2 \theta)^{\frac{5}{2}}} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 \theta}{\sec^5 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 \theta d\theta$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) d\theta$
माना $\sin \theta = t$,तब $\cos \theta d\theta = dt$. जब $\theta=0, t=0$ और जब $\theta=\frac{\pi}{4}, t=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$I = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (1 - t^2) dt = \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3(2\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{6\sqrt{2}} = \frac{6-1}{6\sqrt{2}} = \frac{5}{6\sqrt{2}}$