AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x-12y+\alpha=0$ है। केंद्र $(4, 6)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{4^2+6^2-\alpha} = \sqrt{52-\alpha}$ है।
चूंकि वृत्त अक्षों को छुए बिना प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,केंद्र से अक्षों की दूरी त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए: $r < 4$ और $r < 6$। अतः,$r < 4$,जिसका अर्थ है $\sqrt{52-\alpha} < 4$ $\Rightarrow 52-\alpha < 16$ $\Rightarrow \alpha > 36$।
चूंकि $(6, 6)$ एक आंतरिक बिंदु है,इसे वृत्त के समीकरण में रखने पर $6^2+6^2-8(6)-12(6)+\alpha < 0$ प्राप्त होता है।
$36+36-48-72+\alpha < 0$ $\Rightarrow \alpha - 48 < 0$ $\Rightarrow \alpha < 48$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $36 < \alpha < 48$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदु $A(4,2)$ वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+\alpha=0$ पर स्थित है।
$A$ के निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$16+4-8-8+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-4$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-4=0$ है।
बिंदु $P(5,3)$ की वृत्त के सापेक्ष शक्ति $PA \cdot PB$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए बिंदु $(x_0, y_0)$ की शक्ति $x_0^2+y_0^2+2gx_0+2fy_0+c$ होती है।
$P(5,3)$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$PA \cdot PB = 5^2+3^2-2(5)-4(3)-4 = 25+9-10-12-4 = 8$.

(B) वृत्त $x^2+y^2=1$ की जीवा $x+y-1=0$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: वृत्त और जीवा की पहचान करें।
वृत्त $x^2+y^2=1$ का केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और त्रिज्या $r=1$ है।
जीवा का समीकरण $x+y-1=0$ है।
चरण $2$: मूल बिंदु से जीवा की लंबवत दूरी $d$ ज्ञात करें।
$(0,0)$ से $x+y-1=0$ की दूरी $d = \frac{|1(0)+1(0)-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चरण $3$: कोण की गणना करें।
मान लीजिए जीवा वृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। समद्विबाहु त्रिभुज $OAB$ में,$O$ से $AB$ पर डाला गया लंब $\angle AOB$ को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए $\angle AOB = 2\theta$ है।
मूल बिंदु,जीवा के मध्य बिंदु और जीवा के एक अंतिम बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\cos(\theta) = \frac{d}{r} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\theta = 45^{\circ}$ या $\frac{\pi}{4}$ रेडियन है।
केंद्र पर अंतरित कुल कोण $\angle AOB = 2\theta = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4 x - 6 y + 9 = 0$ है।
केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
रेखा $6 x + 8 y + \alpha = 0$ वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या से कम हो।
दूरी $d = \frac{|36 + \alpha|}{10} < 2 \Rightarrow |36 + \alpha| < 20$.
अतः $-56 < \alpha < -16$.
चूंकि $\alpha = 8k$,इसलिए $-56 < 8k < -16 \Rightarrow -7 < k < -2$.
$k$ के संभावित मान $-6, -5, -4, -3$ हैं।
अतः $S$ में अवयवों की संख्या $4$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 8x - 6y - 24 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 49$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $C(-4, 3)$ और त्रिज्या $r = 7$ है।
दो रेखाएं $l_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $l_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (a_1h + b_1k + c_1)(a_2h + b_2k + c_2)$ हो।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = 3$ और $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = k$ है।
मान रखने पर: $49(2(1) + (-3)(2)) = (2(-4) - 3(3) + 3)(1(-4) + 2(3) + k)$.
$49(-4) = (-14)(2 + k)$.
$196 = 14(2 + k)$ $\Rightarrow 14 = 2 + k$ $\Rightarrow k = 12$.
बिंदु $\left(\frac{12}{4}, \frac{12}{3}\right) = (3, 4)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(x_1, y_1)}$ होती है।
$L = \sqrt{3^2 + 4^2 + 8(3) - 6(4) - 24} = \sqrt{9 + 16 + 24 - 24 - 24} = \sqrt{1} = 1$.

(B) वृत्त के व्यासों के समीकरण हैं:
$2x - 3y + 1 = 0$ ...$(i)$
$4x - 5y - 1 = 0$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें वृत्त का केंद्र $C = (-g, -f) = (3, 4)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g = -3$ और $f = -4$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = CQ = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$.
केंद्र $C(3, 4)$ और बिंदु $P(-2, -2)$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$.
समकोण त्रिभुज $\triangle CQP$ में,स्पर्श रेखा की लंबाई $PQ = \sqrt{CP^2 - CQ^2} = \sqrt{61 - 36} = \sqrt{25} = 5$.
चतुर्भुज $PQCR$ का क्षेत्रफल $\triangle CQP$ और $\triangle CRP$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$PQCR$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle CQP) = 2 \times (\frac{1}{2} \times CQ \times PQ) = 6 \times 5 = 30$ वर्ग इकाइयाँ।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-4=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2$ और $f=3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, -3)$ है।
वृत्त पर किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
अतः,अभिलंब वह रेखा है जो $(1, 1)$ और $(2, -3)$ से होकर गुजरती है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{-3-1}{2-1} = \frac{-4}{1} = -4$ है।
रेखा का समीकरण $(y-1) = -4(x-1)$ है।
$y-1 = -4x+4$.
$4x+y = 5$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y+12=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y+2)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $O(3,-2)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
बिंदु $A(2,3)$ से केंद्र $O(3,-2)$ की दूरी $d = \sqrt{(3-2)^2+(-2-3)^2} = \sqrt{26}$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का आधा कोण $\alpha$ है। समकोण त्रिभुज $AOP$ में,$\sin(\alpha) = \frac{r}{d} = \frac{1}{\sqrt{26}}$.
अतः $\cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{26}}$ और $\tan(\alpha) = \frac{1}{5}$.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कुल कोण $\theta = 2\alpha$ है।
$\tan(\theta) = \frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} = \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} = \frac{5}{12}$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.

(A) वृत्त की परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बिंदुपथ को निर्देशक वृत्त (director circle) कहा जाता है।
वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के लिए,निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2a^2$ है।
चूंकि बिंदु $(10,4)$ निर्देशक वृत्त पर स्थित है,इसलिए हमारे पास है:
$10^2+4^2 = 2a^2$
$100+16 = 2a^2$
$116 = 2a^2$
$a^2 = 58$
$a = \sqrt{58}$

(B) किसी वृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका निर्देशक वृत्त (director circle) कहलाता है।
$x^2+y^2=r^2$ समीकरण वाले वृत्त के लिए,निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2r^2$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2=10$ के लिए,$r^2=10$ है।
इस मान को निर्देशक वृत्त के सूत्र में रखने पर,हमें $x^2+y^2=2(10) = 20$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $x^2+y^2=20$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=25$ है,इसलिए त्रिज्या $r=5$ है।
माना $C(x_1, y_1)$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है जो मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर समकोण अंतरित करती है।
$\triangle OAB$ में,$OA=OB=5$ और $\angle AOB = 90^\circ$ है।
चूँकि $OC$ समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में कर्ण $AB$ पर माध्यिका है,इसलिए $OC = \frac{1}{2} AB$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\triangle OCB$ में,$\angle COB = 45^\circ$ और $\angle OCB = 90^\circ$ है।
अतः,$OC = OB \cos(45^\circ) = 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
मध्य बिंदु $C(x_1, y_1)$ की मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ है।
इसलिए,$\sqrt{x_1^2+y_1^2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $x_1^2+y_1^2 = \frac{25}{2}$।
$\frac{25}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x_1^2}{25/2} + \frac{y_1^2}{25/2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$a^2 = \frac{25}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|a| = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।

(C) जीवा का समीकरण $y = 2x + 3$ है।
इसे वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 4 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (2x + 3)^2 + 6x - 4(2x + 3) + 4 = 0$
$5x^2 + 10x + 1 = 0$.
मध्यबिंदु का $x$-निर्देशांक $a$ मूलों का औसत है: $a = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-10/5}{2} = -1$.
चूंकि $(a, b)$ जीवा $y = 2x + 3$ पर स्थित है,इसलिए $b = 2a + 3 = 2(-1) + 3 = 1$.
अतः,$2a + 3b = 2(-1) + 3(1) = -2 + 3 = 1$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ है।
जीवा का मध्य-बिंदु $(x_1, y_1) = (1,3)$ दिया गया है।
मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x(1) + y(3) - 2(x+1) - 4(y+3) + 16 = 1^2 + 3^2 - 4(1) - 8(3) + 16$.
$x + 3y - 2x - 2 - 4y - 12 + 16 = 1 + 9 - 4 - 24 + 16$.
$-x - y + 2 = -2$.
$-x - y = -4$,जो $x + y = 4$ में सरल हो जाता है।
यह जीवा निर्देशांक अक्षों को $A(0,4)$ और $B(4,0)$ पर काटती है।
जीवा और निर्देशांक अक्षों द्वारा बना त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,जिसका आधार $OB = 4$ और ऊँचाई $OA = 4$ है।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.

(B) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूँकि $S$ दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं।
$S_1: x^2+y^2-2x+6y=0$ के लिए,$g_1=-1, f_1=3, c_1=0$. अतः,$2g(-1) + 2f(3) = c + 0 \Rightarrow -2g + 6f = c$ $(i)$.
$S_2: x^2+y^2-4x-2y+6=0$ के लिए,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=6$. अतः,$2g(-2) + 2f(-1) = c + 6 \Rightarrow -4g - 2f = c + 6$ $(ii)$.
$S_3: x^2+y^2-12x+2y+3=0$ के लिए,$g_3=-6, f_3=1, c_3=3$. अतः,$2g(-6) + 2f(1) = c + 3 \Rightarrow -12g + 2f = c + 3$ $(iii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $2g + 8f = -6 \Rightarrow g + 4f = -3$ $(iv)$.
$(ii)$ में से $(iii)$ घटाने पर: $8g - 4f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $9g = 0 \Rightarrow g = 0$. अतः $4f = -3 \Rightarrow f = -3/4$.
$(i)$ में मान रखने पर: $c = -2(0) + 6(-3/4) = -18/4 = -9/2$.
अतः वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2 - \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0$ है।
बिंदु $(0,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ है।
$(0,3)$ रखने पर: $x(0) + y(3) + 0(x+0) - \frac{3}{4}(y+3) - \frac{9}{2} = 0$.
$3y - \frac{3}{4}y - \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = 0 \Rightarrow \frac{9}{4}y - \frac{27}{4} = 0 \Rightarrow 9y = 27 \Rightarrow y = 3$.

(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करने पर:
$x^2+y^2-4x-4y+7=0$ के लिए: $4g+4f+c=-7$ $(i)$.
$x^2+y^2+4x-4y+6=0$ के लिए: $4g-4f-c=6$ $(ii)$.
$x^2+y^2+4x+4y+5=0$ के लिए: $4g+4f-c=5$ $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को हल करने पर,$2c = -12 \Rightarrow c = -6$.
$g = -\frac{1}{8}$ और $f = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\frac{1}{64} + \frac{1}{64} + 6} = \frac{\sqrt{193}}{4\sqrt{2}}$.

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ हैं।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$S_1$ के लिए: $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = -3$.
$S_2$ के लिए: $g_2 = 4, f_2 = -2, c_2 = 11$.
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र: $\cos \theta = \frac{|2g_1g_2 + 2f_1f_2 - c_1 - c_2|}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$.
मान रखने पर:
अंश: $|-16 + 12 + 3 - 11| = 12$.
हर: $2\sqrt{16}\sqrt{9} = 24$.
अतः,$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2 \alpha x+2 y-8=0$ और $S_2: x^2+y^2-2 x+\alpha y-14=0$ हैं।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$(g_1, f_1, c_1) = (\alpha, 1, -8)$ और $(g_2, f_2, c_2) = (-1, \frac{\alpha}{2}, -14)$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
मान रखने पर: $2(\alpha)(-1) + 2(1)(\frac{\alpha}{2}) = -8 - 14$।
$-2\alpha + \alpha = -22$,जिससे $\alpha = 22$ प्राप्त होता है।
$S_1$ का केंद्र $C_1 = (-g_1, -f_1) = (-22, -1)$ है।
$S_2$ का केंद्र $C_2 = (-g_2, -f_2) = (1, -\frac{22}{2}) = (1, -11)$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-22))^2 + (-11 - (-1))^2} = \sqrt{(23)^2 + (-10)^2} = \sqrt{529 + 100} = \sqrt{629}$ है।

(D) दिया गया वृत्त $S \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x-7)^2 + (y+3)^2 = 49+9-33 = 25$।
अतः,केंद्र $C = (7, -3)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
वृत्त $S' \equiv x^2+y^2=a^2$ के लिए,केंद्र $C' = (0, 0)$ और त्रिज्या $r' = a$ है।
$4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए,वृत्तों को अलग होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि केंद्रों के बीच की दूरी $CC' > r + r'$ होनी चाहिए।
$CC' = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49+9} = \sqrt{58} \approx 7.616$।
शर्त: $7.616 > 5 + a$।
$a < 2.616$।
चूंकि $a \in \mathbb{N}$,$a$ के संभावित मान $1$ और $2$ हैं।
अतः,$a$ के लिए $2$ संभावित मान हैं।

(C) प्रथम वृत्त $S_1: x^2+y^2-8x-8y+28=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (4, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4^2+4^2-28} = 2$ है।
दूसरे वृत्त $S_2: x^2+y^2-8x-6y+25-\alpha^2=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4^2+3^2-(25-\alpha^2)} = |\alpha|$ है।
दो वृत्तों की केवल एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा तब होती है जब वे एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = \sqrt{(4-4)^2 + (4-3)^2} = 1$ है।
आंतरिक स्पर्श के लिए,$|r_1 - r_2| = C_1 C_2 \Rightarrow |2 - |\alpha|| = 1$।
इससे $|\alpha| = 1$ या $|\alpha| = 3$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\alpha = 1$ सही उत्तर है।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 2^2 \quad \dots(i)$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 + (y-1)^2 = 1^2 \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,केंद्र और त्रिज्याएँ हैं:
$C_1 = (3, -2), r_1 = 2$
$C_2 = (-1, 1), r_2 = 1$
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी की गणना करें:
$C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $AB$ की लंबाई का सूत्र है:
$AB = \sqrt{(C_1C_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$
$AB = \sqrt{5^2 - (2 - 1)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(A) वक्र का समीकरण $2x^2 - y^2 + 3x + 2y = 0$ है।
माना जीवा का समीकरण $y = mx + c$ है,जिसे $\frac{y - mx}{c} = 1$ लिखा जा सकता है।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 - y^2 + (3x + 2y)(\frac{y - mx}{c}) = 0$.
$c$ से गुणा करने पर:
$(2c - 3m)x^2 + (2 - c)y^2 + (3 - 2m)xy = 0$.
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(2c - 3m) + (2 - c) = 0 \Rightarrow c - 3m + 2 = 0$.
$c = 3m - 2$ को $y = mx + c$ में रखने पर:
$y = mx + 3m - 2 \Rightarrow y + 2 = m(x + 3)$.
यह समीकरण बिंदु $(-3, -2)$ से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार को दर्शाता है।
अतः,$(\alpha, \beta) = (-3, -2)$.

(B) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2=16$ है।
वृत्त $C_2$ का समीकरण $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=25$ है,जो $x^2-2\alpha x+\alpha^2+y^2-2\beta y+\beta^2=25$ के रूप में विस्तारित होता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_2-C_1=0$ द्वारा दिया जाता है,जो $-2\alpha x-2\beta y+\alpha^2+\beta^2=9$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का ढाल $m = -\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए $\alpha = -3\lambda$ और $\beta = 4\lambda$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की अधिकतम लंबाई के लिए,इसे छोटे वृत्त $C_1$ का व्यास होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि जीवा को $C_1$ के केंद्र $(0,0)$ से गुजरना चाहिए।
$(0,0)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर: $-2\alpha(0)-2\beta(0)+\alpha^2+\beta^2=9$,अतः $\alpha^2+\beta^2=9$।
$\alpha$ और $\beta$ को $\lambda$ के पदों में रखने पर: $(-3\lambda)^2+(4\lambda)^2=9$ $\Rightarrow 25\lambda^2=9$ $\Rightarrow \lambda = \pm \frac{3}{5}$।
यदि $\lambda = \frac{3}{5}$ है,तो $\alpha = -\frac{9}{5}$ और $\beta = \frac{12}{5}$,इसलिए $\alpha+\beta = \frac{3}{5}$।

(D) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + kS_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2-2x+2y-2) + k(x^2+y^2+2x-2y+1) = 0$
$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 + (2k-2)x + (2-2k)y + (k-2) = 0$
$(1+k)$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $x^2 + y^2 + \frac{2(k-1)}{k+1}x + \frac{2(1-k)}{k+1}y + \frac{k-2}{k+1} = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{k-1}{k+1}, -\frac{1-k}{k+1}\right) = \left(\frac{1-k}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $x-y+6=0$ पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1-k}{k+1} - \frac{k-1}{k+1} + 6 = 0$
$\frac{1-k-k+1}{k+1} = -6 \Rightarrow 2-2k = -6k-6$
$4k = -8 \Rightarrow k = -2$.
$k=-2$ रखने पर: $x^2+y^2+6x-6y+4=0$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+(-3)^2-4} = \sqrt{14}$.

(C) $S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 - 2x + y^2 - 4y - 4 + \lambda(x^2 + 2x + y^2 + 4y - 4) = 0$.
$(1 + \lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + 2(\lambda - 1)x + 4(\lambda - 1)y - 4(1 + \lambda) = 0$.
$(1 + \lambda)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 + \frac{2(\lambda - 1)}{1 + \lambda}x + \frac{4(\lambda - 1)}{1 + \lambda}y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(3, 3)$ से गुजरता है,$x = 3, y = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$9 + 9 + \frac{6(\lambda - 1)}{1 + \lambda} + \frac{12(\lambda - 1)}{1 + \lambda} - 4 = 0$.
$14 + \frac{18(\lambda - 1)}{1 + \lambda} = 0 \Rightarrow 14(1 + \lambda) + 18(\lambda - 1) = 0$.
$14 + 14\lambda + 18\lambda - 18 = 0$ $\Rightarrow 32\lambda = 4$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{8}$.
अब,$\alpha = \frac{2(\frac{1}{8} - 1)}{1 + \frac{1}{8}} = -\frac{14}{9}$.
$\beta = \frac{4(\frac{1}{8} - 1)}{1 + \frac{1}{8}} = -\frac{28}{9}$.
$\gamma = -4$.
$3(\alpha + \beta + \gamma) = 3(-\frac{14}{9} - \frac{28}{9} - 4) = -26$.

(A) माना दो वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-6x-7=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2-10x+16=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2-6x-7) - (x^2+y^2-10x+16) = 0$
$4x - 23 = 0 \Rightarrow x = \frac{23}{4}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $x = \frac{23}{4}$ को $S_1$ में रखने पर प्राप्त होते हैं:
$(\frac{23}{4})^2 + y^2 - 6(\frac{23}{4}) - 7 = 0$
$\frac{529}{16} + y^2 - \frac{138}{4} - 7 = 0$
$y^2 = \frac{135}{16}$.
अतः,$y = \pm \frac{3\sqrt{15}}{4}$.
व्यास के अंतिम बिंदु $(\frac{23}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{4})$ और $(\frac{23}{4}, -\frac{3\sqrt{15}}{4})$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।
$(x-\frac{23}{4})^2 + y^2 - \frac{135}{16} = 0$
$x^2 - \frac{23}{2}x + \frac{529}{16} + y^2 - \frac{135}{16} = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{23}{2}x + \frac{197}{8} = 0$
$8$ से गुणा करने पर: $8x^2 + 8y^2 - 92x + 197 = 0$.

(C) माना $P(r, s)$ वृत्त $x^2+y^2=25$ पर एक बिंदु है,अतः $r^2+s^2=25$ $(i)$ है।
वृत्त $x^2+y^2=9$ के सापेक्ष बिंदु $P$ की स्पर्श जीवा $L$ का समीकरण $xr+ys=9$ $(ii)$ है।
माना $(h, k)$ वृत्त $x^2+y^2=36$ के सापेक्ष रेखा $L$ का ध्रुव है। $(h, k)$ का ध्रुवीय समीकरण $xh+yk=36$ $(iii)$ है।
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर,हमें $\frac{r}{h} = \frac{s}{k} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r = \frac{h}{4}$ और $s = \frac{k}{4}$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\frac{h}{4})^2 + (\frac{k}{4})^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$\frac{h^2+k^2}{16} = 25 \Rightarrow h^2+k^2 = 400$ है।
अतः,ध्रुव $(h, k)$ का बिंदुपथ $x^2+y^2=400$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2-2x+2y-1=0$ के सापेक्ष बिंदु $(-1, 1)$ की ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x(-1) + y(1) - (x-1) + (y+1) - 1 = 0$ है।
यह $-2x + 2y + 1 = 0$ या $2x - 2y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
प्रतिलोम बिंदु $(p, q)$ वृत्त के केंद्र से ध्रुवीय रेखा पर डाले गए लंब का पाद (foot of perpendicular) है।
वृत्त का केंद्र $(1, -1)$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ पर बिंदु $(x_0, y_0) = (1, -1)$ से लंब का पाद $(p, q)$ निकालने के लिए $\frac{p-x_0}{a} = \frac{q-y_0}{b} = -\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $a=2, b=-2, c=-1$ है।
$\frac{p-1}{2} = \frac{q-(-1)}{-2} = -\frac{2(1)-2(-1)-1}{2^2+(-2)^2} = -\frac{3}{8}$।
अतः $p = \frac{1}{4}$ और $q = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$p^2+q^2 = (\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{8}$।

(C) माना $(h, k)$ वृत्त $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ के सापेक्ष रेखा $9x + y - 28 = 0$ का ध्रुव है।
वृत्त के सापेक्ष बिंदु $(h, k)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $T = 0$ है।
समीकरण $2hx + 2ky - \frac{3(x + h)}{2} + \frac{5(y + k)}{2} - 7 = 0$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$4hx + 4ky - 3x - 3h + 5y + 5k - 14 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(4h - 3)x + (4k + 5)y + (5k - 3h - 14) = 0$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $9x + y - 28 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{5k - 3h - 14}{-28}$.
समीकरणों को हल करने पर,हमें $(h, k) = (3, -1)$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2+y^2=4$ के सापेक्ष बिंदु $(3,2)$ के ध्रुव (polar) का समीकरण $T=0$ है,जो $3x+2y=4$ है।
चूंकि $P(\alpha, \beta)$ और $(3,2)$ संयुग्मी बिंदु हैं,इसलिए $(3,2)$ का ध्रुव $P(\alpha, \beta)$ से होकर गुजरता है।
अतः,$3\alpha+2\beta=4$ ...$(i)$।
दिया गया है कि $P(\alpha, \beta)$ रेखा $2x+y=1$ पर स्थित है,इसलिए $2\alpha+\beta=1$ ...(ii)।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
(ii) से,$\beta = 1-2\alpha$।
$(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3\alpha + 2(1-2\alpha) = 4$ $\Rightarrow 3\alpha + 2 - 4\alpha = 4$ $\Rightarrow -\alpha = 2$ $\Rightarrow \alpha = -2$।
तब $\beta = 1 - 2(-2) = 5$।
इसलिए,$\alpha+\beta = -2+5 = 3$।

(C) दिए गए दो वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2+4x-5=0 \Rightarrow (x+2)^2+y^2=3^2$
$x^2+y^2-6y+8=0 \Rightarrow x^2+(y-3)^2=1$
अतः,$C_1=(-2, 0), r_1=3$ और $C_2=(0, 3), r_2=1$.
आंतरिक समानता केंद्र $\left(\frac{r_2x_1+r_1x_2}{r_1+r_2}, \frac{r_2y_1+r_1y_2}{r_1+r_2}\right)$ द्वारा दिया जाता है:
$(a, b) = \left(\frac{1(-2)+3(0)}{3+1}, \frac{1(0)+3(3)}{3+1}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$.
बाह्य समानता केंद्र $\left(\frac{r_1x_2-r_2x_1}{r_1-r_2}, \frac{r_1y_2-r_2y_1}{r_1-r_2}\right)$ द्वारा दिया जाता है:
$(c, d) = \left(\frac{3(0)-1(-2)}{3-1}, \frac{3(3)-1(0)}{3-1}\right) = \left(1, \frac{9}{2}\right)$.
अब,$(a+d)(b+c) = \left(-\frac{1}{2} + \frac{9}{2}\right) \left(\frac{9}{4} + 1\right) = 4 \times \frac{13}{4} = 13$.

(A) दिया है,$S \equiv x^2+y^2-2x-4y+1=0$.
$y$-अक्ष के लिए,$x=0$ रखने पर,$y^2-4y+1=0$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए हल करने पर,$y = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
चूंकि $OA > OB$,इसलिए $A(0, 2+\sqrt{3})$ और $B(0, 2-\sqrt{3})$ है।
मूल अक्ष का समीकरण $S-S^{\prime}=0$ है।
$(x^2+y^2-2x-4y+1) - (x^2+y^2-4x-2y+4) = 0 \Rightarrow 2x-2y-3=0$.
$y$-अक्ष के लिए,$x=0$ रखने पर,$-2y-3=0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$.
अतः,$C$ बिंदु $(0, -\frac{3}{2})$ है।
माना $C, AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $-\frac{3}{2} = \frac{k(2-\sqrt{3}) + 1(2+\sqrt{3})}{k+1}$.
हल करने पर $k = \frac{7+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-7}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $(7+2\sqrt{3}) : (-7+2\sqrt{3})$ है।

(C) मान लीजिए वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$
$S_2: x^2+y^2+x-y+3=0$
$S_3: x^2+y^2-3x+2y+5=0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+x-y+3) = 0$
$x + 4y - 2 = 0 \quad \dots (i)$
$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2+x-y+3) - (x^2+y^2-3x+2y+5) = 0$
$4x - 3y - 2 = 0 \quad \dots (ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$x = 2 - 4y$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(2 - 4y) - 3y - 2 = 0$
$8 - 16y - 3y - 2 = 0$
$6 - 19y = 0 \Rightarrow y = \frac{6}{19}$
$y = \frac{6}{19}$ को $x = 2 - 4y$ में रखने पर:
$x = 2 - 4\left(\frac{6}{19}\right) = 2 - \frac{24}{19} = \frac{14}{19}$
अतः,रेडिकल केंद्र $\left(\frac{14}{19}, \frac{6}{19}\right)$ है।

(D) पहले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दूसरे वृत्त के समीकरण $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ प्राप्त होता है।
मूल अक्ष दोनों समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होती है: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$.
यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका केंद्र $(-1,-1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
रेखा $Ax+By=0$ के इस वृत्त को स्पर्श करने के लिए,केंद्र $(-1,-1)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ होनी चाहिए।
$\frac{|(2g-\frac{3}{2})(-1) + (2f-4)(-1)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-(2g-\frac{3}{2}) - (2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2 + (2f-4)^2$.
माना $A = 2g-\frac{3}{2}$ और $B = 2f-4$. तब $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जो $2AB = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$A=0$ या $B=0$.
यदि $A=0$,तो $2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$.
यदि $B=0$,तो $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

(B) माना पहले वृत्त का समीकरण $S_1 \equiv x^2+y^2-36=0$ है।
माना दूसरे वृत्त का समीकरण $S_2 \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की रेडिकल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$(x^2+y^2-36) - (x^2+y^2+2gx+2fy+c) = 0$,जो सरल होकर $-2gx-2fy-36-c=0$ हो जाता है।
दी गई रेडिकल अक्ष $x-4=0$ है,जिसे $x+0y-4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\frac{-2g}{1} = \frac{-2f}{0} = \frac{-36-c}{-4} = k$ प्राप्त होता है।
इससे $f=0$ और $2g = -k$ मिलता है,अतः $g = -k/2$। साथ ही $36+c = 4k$,अतः $c = 4k-36$।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है।
यहाँ $g_1=0, f_1=0, c_1=-36$ और $g_2=g, f_2=f, c_2=c$ है।
इन मानों को रखने पर,$2(0)(g) + 2(0)(f) = -36 + c$।
अतः,$0 = -36 + c$,जिसका अर्थ है $c = 36$।
$c = 4k-36$ से,$36 = 4k-36$,अतः $4k = 72$,जिससे $k = 18$ प्राप्त होता है।
तब $g = -k/2 = -18/2 = -9$।
दूसरे वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (9, 0)$ है।

(A) माना वृत्त $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ पर स्थित बिंदु $P(1,0)$ है।
$P(1,0)$ से गुजरने वाली किसी भी जीवा को $(1,0)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
वृत्त $x^2+y^2=4$ के सापेक्ष एक जीवा का ध्रुव एक बिंदु $Q(h,k)$ है,ताकि वह जीवा $x^2+y^2=4$ के सापेक्ष $Q$ की ध्रुवीय रेखा हो।
$x^2+y^2=4$ के सापेक्ष $Q(h,k)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $hx+ky=4$ है।
चूंकि यह ध्रुवीय रेखा $P(1,0)$ से गुजरती है,इसलिए हमें $h(1)+k(0)=4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h=4$।
अतः,ध्रुवों $(h,k)$ का बिंदुपथ $x=4$ है।

(A) दिया गया घूर्णन कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
माना नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = x' \cos 45^{\circ} - y' \sin 45^{\circ} = \frac{x'-y'}{\sqrt{2}}$
$y = x' \sin 45^{\circ} + y' \cos 45^{\circ} = \frac{x'+y'}{\sqrt{2}}$
इन्हें समीकरण $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}})^2 = 4a(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}})$
$\frac{(x'+y')^2}{2} = \frac{4a(x'-y')}{\sqrt{2}}$
$(x'+y')^2 = 4\sqrt{2}a(x'-y')$
अतः,रूपांतरित समीकरण $(x+y)^2 = 4\sqrt{2}a(x-y)$ है।

(A) परवलय का मानक रूप $y^2=4ax$ है। नाभि $(a, 0) = (\frac{1}{4}, k)$ दी गई है।
तुलना करने पर,$a = \frac{1}{4}$ और $k = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय $y^2 = x$ है।
रेखा $x - 2y - 3 = 0$ से $x = 2y + 3$ मिलता है।
परवलय के समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $y^2 = 2y + 3 \Rightarrow y^2 - 2y - 3 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(y-3)(y+1) = 0$,अतः $y = 3$ या $y = -1$ है।
यदि $y = 3$,तो $x = 9$ है। अतः $Q = (9, 3)$ है।
यदि $y = -1$,तो $x = 1$ है। अतः $P = (1, -1)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(9-1)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ है।
चूंकि $a = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $16a = 4$ होता है।
अतः,$PQ = 16a\sqrt{5}$।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
यहाँ,$4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
चूंकि यह बिंदु $(1, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $x = 1$ और $y = 3$ रखने पर:
$3 = m + \frac{2}{m}$
$m^2 - 3m + 2 = 0$
$(m - 1)(m - 2) = 0$
अतः,$m = 1$ या $m = 2$ है।
$m = 1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = x + 2$ है।
$m = 2$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 2x + 1$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$y = 2x + 1$ सही उत्तर है।

(B) माना $y=mx+c$ परवलय $y^2=8x$ और वृत्त $x^2+y^2=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c=\frac{a}{m}$ है। यहाँ $4a=8$,इसलिए $a=2$ है। अतः,$c=\frac{2}{m}$ $(i)$।
रेखा $y=mx+c$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को भी स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=3$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=3 \Rightarrow c^2=9(m^2+1)$।
$c=\frac{2}{m}$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{4}{m^2}=9(m^2+1)$ $\Rightarrow 4=9m^2(m^2+1)$ $\Rightarrow 9m^4+9m^2-4=0$।
माना $m^2=t$,तब $9t^2+9t-4=0 \Rightarrow (3t-1)(3t+4)=0$।
चूंकि $m^2=t > 0$,इसलिए $t=\frac{1}{3}$,जिससे $m^2=\frac{1}{3}$ और $m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
$m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$c=\frac{2}{1/\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$।
समीकरण $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \sqrt{3}y=x+6$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}y+6=0$ प्राप्त होता है।

(D) माना परवलय $y^2=4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
परवलय $x^2=-32y$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx-am^2$ है,जहाँ $x^2=4ay$ से $a=-8$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा $y=mx-(-8)m^2$ अर्थात $y=mx+8m^2$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं के समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{1}{m}=8m^2$ प्राप्त होता है।
इससे $m^3=\frac{1}{8}$,अर्थात $m=\frac{1}{2}$ मिलता है।
$m=\frac{1}{2}$ को पहले समीकरण में रखने पर: $y=\frac{1}{2}x+2$ प्राप्त होता है।
अतः $2y=x+4$,या $x-2y+4=0$।

(D) दिए गए परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,$4a = 8$,अतः $a = 2$ है।
परवलय पर स्थित बिंदु $(at^2, 2at)$ के लिए,$(2, -4) = (2t^2, 4t)$,जिससे $t = -1$ प्राप्त होता है।
प्राचल $t$ पर खींचा गया अभिलंब परवलय को पुनः प्राचल $t_2 = -t - \frac{2}{t}$ पर मिलता है।
$t = -1$ रखने पर,हमें $t_2 = -(-1) - \frac{2}{-1} = 1 + 2 = 3$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (2(3)^2, 2(2)(3)) = (18, 12)$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = 18 + 12 = 30$।

(B) परवलय का समीकरण $y^2=6x$ है। इसे $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=6$,अतः $a=1.5$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2=4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ है।
$x_1=24$,$y_1=12$,और $a=1.5$ के मान रखने पर:
$y-12 = -\frac{12}{2(1.5)}(x-24)$
$y-12 = -\frac{12}{3}(x-24)$
$y-12 = -4(x-24)$
$y-12 = -4x+96$
$4x+y = 108$.

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ है। बिंदु $P$ $(2a, 2a\sqrt{2})$ है।
$P(2a, 2a\sqrt{2})$ की तुलना $(at^2, 2at)$ से करने पर,$t = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ पर अभिलंब परवलय को $t_1 = -t - \frac{2}{t} = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ पर मिलता है।
$Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1) = (a(-2\sqrt{2})^2, 2a(-2\sqrt{2})) = (8a, -4a\sqrt{2})$ हैं।
शीर्ष $O(0, 0)$ है।
$OP$ की ढाल $m_1 = \frac{2a\sqrt{2}}{2a} = \sqrt{2}$ है।
$OQ$ की ढाल $m_2 = \frac{-4a\sqrt{2}}{8a} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = \sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$,रेखाएं $OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(A) दिए गए परवलय $y^2=12x$ के लिए,$4a=12$,अतः $a=3$ है। मान लीजिए बिंदुओं $P$ और $Q$ के प्राचल (parameters) क्रमशः $t_1$ और $t_2$ हैं। कोटियाँ $y_1=2at_1$ और $y_2=2at_2$ हैं। $y_1:y_2=1:2$ दिया गया है,इसलिए $t_1:t_2=1:2$,जिससे $t_2=2t_1$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $t_1=t$,तो $t_2=2t$ है।
$t_1$ और $t_2$ पर अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = 2a + a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2) = 6 + 21t^2$
$y = -at_1t_2(t_1+t_2) = -18t^3$
$x=6+21t^2$ से,$t^2 = \frac{x-6}{21}$ प्राप्त होता है,अतः $t = \left(\frac{x-6}{21}\right)^{1/2}$ है।
$y=-18t^3$ में $t$ का मान रखने पर,$y = -18 \left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}$,अर्थात $y+18\left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया परवलय $y^2=12x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=3$ प्राप्त होता है। नाभि $(3, 0)$ है।
माना $Q(3t^2, 6t)$ परवलय पर एक बिंदु है।
बिंदु $P(x, y)$,$(3, 0)$ और $(3t^2, 6t)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P(x, y) = \left(\frac{1(3t^2) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(6t) + 2(0)}{1+2}\right) = \left(\frac{3t^2+6}{3}, \frac{6t}{3}\right) = (t^2+2, 2t)$.
अतः,$x = t^2+2$ और $y = 2t$.
$y = 2t$ से,$t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर: $x = (\frac{y}{2})^2 + 2 = \frac{y^2}{4} + 2$.
$x - 2 = \frac{y^2}{4} \Rightarrow y^2 = 4(x-2)$.

(C) $\left(\frac{2x^2}{5} + \left(\frac{5}{x}\right)^{1/2}\right)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r \left(\frac{2x^2}{5}\right)^{10-r} \left(\frac{5^{1/2}}{x^{1/2}}\right)^r$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए:
$20 - 2r - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 8$
$r=8$ रखने पर,$T_9 = {}^{10}C_8 \cdot \frac{2^2}{5^{-2}} = 45 \cdot 4 \cdot 25 = 4500$
स्वतंत्र पद का वर्गमूल $\sqrt{4500} = 30\sqrt{5}$ है।

(B) माना $T_{r+1}$ सबसे बड़ा पद है,इसलिए $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$।
$(a+b)^n$ के विस्तार के लिए,शर्त $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r} \times |\frac{b}{a}| \geq 1$ है।
यहाँ $n=6$,$a=5$,$b=3x$ है। $x=1$ पर,$b=3$ है।
$\frac{6-r+1}{r} \times \frac{3}{5} \geq 1$
$\Rightarrow \frac{7-r}{r} \times \frac{3}{5} \geq 1$
$\Rightarrow 21 - 3r \geq 5r$
$\Rightarrow 8r \leq 21$
$\Rightarrow r \leq 2.625$।
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,सबसे बड़ा पद $r=2$ पर प्राप्त होता है,जो $T_{2+1} = T_3$ है।
$T_3 = {}^6C_2 \times 5^{6-2} \times (3 \times 1)^2$
$T_3 = 15 \times 5^4 \times 3^2$
$T_3 = (3 \times 5) \times 5^4 \times 3^2 = 3^3 \times 5^5$।

(B) दी गई व्यंजक $(3x - 2)^{2/3}$ है। द्विपद विस्तार के लिए,हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:
$(3x - 2)^{2/3} = [-2(1 - \frac{3x}{2})]^{2/3} = (-2)^{2/3} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3} = \sqrt[3]{4} (1 - \frac{3x}{2})^{2/3}$.
$(1+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} y^r$ होता है।
यहाँ $n = \frac{2}{3}$ और $y = -\frac{3x}{2}$ है।
$4^{th}$ पद $(T_4)$ के लिए $r = 3$ लेने पर:
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1)(\frac{2}{3}-2)}{3!} (-\frac{3x}{2})^3$
$T_4 = \sqrt[3]{4} \times \frac{\frac{2}{3} \times (-\frac{1}{3}) \times (-\frac{4}{3})}{6} \times (-\frac{27x^3}{8})$
$T_4 = -\frac{\sqrt[3]{4}}{6} x^3$.

(A) $(\sqrt{2} + 3^{1/5})^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{2})^{10-r} (3^{1/5})^r = {}^{10}C_r (2)^{(10-r)/2} (3)^{r/5}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(10-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए (जो सभी सम $r$ के लिए सत्य है) और $r/5$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
$0 \le r \le 10$ के लिए,$r = 0$ और $r = 10$ इन शर्तों को पूरा करते हैं।
$r = 0$ के लिए: $T_1 = {}^{10}C_0 (2)^5 (3)^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$r = 10$ के लिए: $T_{11} = {}^{10}C_{10} (2)^0 (3)^2 = 1 \times 1 \times 9 = 9$.
परिमेय पदों का योग $32 + 9 = 41$ है।

(B) मध्य पद $(\frac{12}{2}+1)$ वां पद है,अर्थात $7$ वां पद।
मध्य पद से समान दूरी पर स्थित पद $T_{7-k}$ और $T_{7+k}$ हैं।
$k=2$ के लिए,अनुपात $\frac{T_5}{T_9} = \frac{{}^{12}C_4 x^4}{{}^{12}C_8 x^8} = \frac{1}{256}$ है।
चूंकि ${}^{12}C_4 = {}^{12}C_8$,इसलिए $\frac{1}{x^4} = \frac{1}{256}$ $\Rightarrow x^4 = 256$ $\Rightarrow x = 4$।
$k=4$ के लिए,अनुपात $\frac{T_3}{T_{11}} = \frac{{}^{12}C_2 x^2}{{}^{12}C_{10} x^{10}} = \frac{1}{256}$ है।
चूंकि ${}^{12}C_2 = {}^{12}C_{10}$,इसलिए $\frac{1}{x^8} = \frac{1}{256}$ $\Rightarrow x^8 = 256$ $\Rightarrow x = \sqrt{2}$।
हालांकि $x \in N$ दिया गया है,$k=1$ के लिए जाँचने पर: $\frac{T_6}{T_8} = \frac{{}^{12}C_5 x^5}{{}^{12}C_7 x^7} = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{256} \Rightarrow x = 16$।
$(1+x)^{12}$ के विस्तार में सभी पदों का योग $(1+x)^{12}$ है।
$x=4$ के लिए,योग $(1+4)^{12} = 5^{12}$ है।
$x=2$ के लिए,योग $(1+2)^{12} = 3^{12}$ है।

(D) हमें दिया गया सीमा है: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}\right)^{77}$
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$
यहाँ,$f(x) = x^{77}$ है।
अतः,सीमा का मान होगा: $\int_{0}^{1} x^{77} dx$
समाकलन करने पर: $\left[ \frac{x^{78}}{78} \right]_{0}^{1} = \frac{1^{78}}{78} - \frac{0^{78}}{78} = \frac{1}{78}$

(C) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ है।
हर में वर्गमूल से $n$ को उभयनिष्ठ लेकर हम व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}}$.
यह $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(\frac{r}{n})$ के रूप का एक रीमान योग है,जो निश्चित समाकलन $\int_0^1 f(x) dx$ के बराबर है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
अतः,$L = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ है।
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ का समाकलन $\sin^{-1}(x)$ होता है।
$0$ से $1$ तक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$L = [\sin^{-1}(x)]_0^1 = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$।

(C) माना $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^3}{n^3}\right)^{\frac{r^2}{n^3}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3} \log \left(1+\frac{r^3}{n^3}\right)$.
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \left(\frac{r}{n}\right)^2 \log \left(1+\left(\frac{r}{n}\right)^3\right)$.
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$:
$\log I = \int_0^1 x^2 \log(1+x^3) dx$.
माना $t = 1+x^3$,तब $dt = 3x^2 dx$,या $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.
जब $x=0, t=1$. जब $x=1, t=2$.
$\log I = \frac{1}{3} \int_1^2 \log t dt = \frac{1}{3} [t \log t - t]_1^2$.
$\log I = \frac{1}{3} [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)] = \frac{1}{3} [2 \log 2 - 2 + 1] = \frac{2 \log 2 - 1}{3}$.
अतः,$I = e^{\left(\frac{2 \log 2 - 1}{3}\right)}$.

(A) माना $I = \int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x$.
समाकल्य को सरल करने पर: $\frac{x^4-1}{x^6-1} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)(x^4+x^2+1)} = \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}$.
ध्यान दें कि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{x^2+1}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2+x+1} + \frac{1}{x^2-x+1} \right)$.
समाकलन करने पर: $I = \frac{1}{2} \int_1^2 \left( \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} + \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \right) d x$.
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{x+1/2}{\sqrt{3}/2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x-1/2}{\sqrt{3}/2}\right) \right]_1^2$.
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) \right]_1^2$.
सीमाओं का मान रखने पर: $I = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ (\tan^{-1}(\frac{5}{\sqrt{3}}) + \tan^{-1}(\sqrt{3})) - (\tan^{-1}(\sqrt{3}) + \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) \right]$.
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \tan^{-1}(\frac{5}{\sqrt{3}}) - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) \right]$.
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{5/\sqrt{3} - 1/\sqrt{3}}{1 + 5/3} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{4/\sqrt{3}}{8/3} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

(D) माना $I = \int_{-1/24}^{1/24} \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right) dx$ है।
फलन $f(x) = \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ को परिभाषित करें।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचते हैं कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \sec(-x) \log \left(\frac{1-(-x)}{1+(-x)}\right) = \sec x \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$।
गुणधर्म $\log(a^{-1}) = -\log a$ का उपयोग करने पर:
$f(-x) = \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1} = -\sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right) = -f(x)$।
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
एक विषम फलन के लिए,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर समाकलन का मान हमेशा $0$ होता है।
अतः,$\int_{-1/24}^{1/24} f(x) dx = 0$।

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) \, dx$.
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$,इसलिए:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) \, dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1+\tan x)) \, dx$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1+\tan x) \, dx$.
$I = [x \log 2]_0^{\frac{\pi}{4}} - I$.
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$.
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(B) वक्र $y=x^3-19x+30$ दिया गया है। बहुपद का गुणनखंड करने पर,हमें $y=(x+5)(x-2)(x-3)$ प्राप्त होता है।
शून्यक $x=-5, 2, 3$ हैं। वक्र अंतराल $[-5, 2]$ पर $x$-अक्ष के ऊपर और अंतराल $[2, 3]$ पर $x$-अक्ष के नीचे है।
कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{-5}^{2} (x^3-19x+30) dx + \left| \int_{2}^{3} (x^3-19x+30) dx \right|$
$A = \int_{-5}^{2} (x^3-19x+30) dx - \int_{2}^{3} (x^3-19x+30) dx$
समाकलन $\int (x^3-19x+30) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x + C$ है।
पहले भाग के लिए: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x \right]_{-5}^{2} = (4 - 38 + 60) - (\frac{625}{4} - \frac{475}{2} - 150) = 26 - (\frac{625-950-600}{4}) = 26 + 231.25 = \frac{1029}{4}$.
दूसरे भाग के लिए: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{19x^2}{2} + 30x \right]_{2}^{3} = (\frac{81}{4} - \frac{171}{2} + 90) - (4 - 38 + 60) = (\frac{81-342+360}{4}) - 26 = \frac{99}{4} - 26 = -\frac{5}{4}$.
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{1029}{4} - (-\frac{5}{4}) = \frac{1034}{4} = \frac{517}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिए गए वक्र $x=y^2$ और $x=3-2y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y^2 = 3-2y^2$ रखें, जिससे $3y^2 = 3$ प्राप्त होता है, अतः $y^2 = 1$, जिसका अर्थ है $y = \pm 1$।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = 2 \int_{-1}^{1} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy = 2 \int_{-1}^{1} ((3-2y^2) - y^2) dy$
$= 2 \int_{-1}^{1} (3-3y^2) dy = 6 \int_{-1}^{1} (1-y^2) dy$
$= 6 \left[ y - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 6 \left( (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) \right)$
$= 6 \left( \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) \right) = 6 \left( \frac{4}{3} \right) = 8 \text{ वर्ग इकाई।}$

(B) दिए गए वक्र $x^2+y^2=2ax$ (जो $(x-a)^2+y^2=a^2$ है) और $y^2=ax$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=ax$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $x^2+ax=2ax \Rightarrow x^2-ax=0 \Rightarrow x(x-a)=0$. अतः,$x=0$ या $x=a$.
$x=a$ के लिए,$y^2=a^2 \Rightarrow y=a$ (चूंकि हम $X$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र पर विचार कर रहे हैं)।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=a$ तक वृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से परवलय के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_0^a (y_{circle} - y_{parabola}) dx = \int_0^a (\sqrt{a^2-(x-a)^2} - \sqrt{ax}) dx$.
क्षेत्रफल $= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \int_0^a \sqrt{ax} dx$.
पहला समाकलन $a$ त्रिज्या वाले वृत्त के एक चौथाई भाग का क्षेत्रफल दर्शाता है,जो $\frac{\pi a^2}{4}$ है।
दूसरा समाकलन $\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx = \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a = \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} a^{3/2} = \frac{2a^2}{3}$ है।
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $\frac{\pi a^2}{4} - \frac{2a^2}{3} = a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$ वर्ग इकाई है।

(C) दिए गए वक्र $y^2=8(x+2)$ और $y^2=4(1-x)$ हैं।
सबसे पहले,दोनों परवलयों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:
$8(x+2) = 4(1-x)$
$2(x+2) = 1-x$
$2x+4 = 1-x$
$3x = -3 \implies x = -1$.
$x=-1$ पर,$y^2 = 8(-1+2) = 8$,इसलिए $y = \pm 2\sqrt{2}$।
क्षेत्र दो परवलयों और $Y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{-2}^{0} |y| dx$ द्वारा प्राप्त होता है। विशेष रूप से,$x=-2$ से $x=-1$ तक,सीमा $y^2=8(x+2)$ है,और $x=-1$ से $x=0$ तक,सीमा $y^2=4(1-x)$ है।
$A = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{8(x+2)} dx + \int_{-1}^{0} \sqrt{4(1-x)} dx \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \int_{-2}^{-1} (x+2)^{1/2} dx + 2 \int_{-1}^{0} (1-x)^{1/2} dx \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \left[ \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right]_{-2}^{-1} + 2 \left[ -\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} \right]_{-1}^{0} \right]$
$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{4}{3} \left( (1-0)^{3/2} - (1-(-1))^{3/2} \right) \right]$
$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} (1 - 2\sqrt{2}) \right]$
$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{3} \right] = 2 \left[ \frac{12\sqrt{2}-4}{3} \right] = \frac{8}{3}(3\sqrt{2}-1)$.

(C) क्षेत्रफल $A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $\cos x \geq \sin x$ और $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए $\sin x \geq \cos x$ है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx$.
पहले भाग का मूल्यांकन: $[\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$ वर्ग इकाइयाँ।

(C) दिया गया वक्र $y=2x-x^2$ है।
स्थिर बिंदु के लिए,हम $\frac{dy}{dx}=0$ रखते हैं।
$\frac{dy}{dx} = 2-2x = 0 \Rightarrow x=1$.
अतः,$\alpha = 1$.
क्षेत्रफल $y=2^x, y=2x-x^2, x=0$ और $x=1$ द्वारा परिबद्ध है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \int_0^1 (2^x - (2x-x^2)) dx$.
$= \int_0^1 2^x dx - \int_0^1 (2x-x^2) dx$.
$= \left[ \frac{2^x}{\log 2} \right]_0^1 - \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$.
$= \left( \frac{2^1}{\log 2} - \frac{2^0}{\log 2} \right) - \left( (1^2 - \frac{1^3}{3}) - (0) \right)$.
$= \frac{2-1}{\log 2} - (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{\log 2} - \frac{2}{3}$.
$= \frac{3 - 2 \log 2}{3 \log 2} = \frac{3 - \log 4}{3 \log 2}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-\frac{7}{2}} \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-\frac{5}{2}} \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)$ है।
ऋणात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{7}{2}}$ से गुणा करने पर:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)$.
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^4 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)^2$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^4 y}{d x^4}$ है,इसलिए कोटि $4$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
कोटि और घात का अंतर $4 - 2 = 2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^4 y}{d x^4} = \{c + (\frac{d y}{d x})^2\}^{\frac{3}{2}}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$(\frac{d^4 y}{d x^4})^2 = \{c + (\frac{d y}{d x})^2\}^3$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो $4$ है।
घात उच्चतम अवकलज की वह शक्ति है जब समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में हो,जो $2$ है।
अतः,कोटि और घात का योग $4 + 2 = 6$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^3 y}{d x^3} = \left[1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{5/2}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left[1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^5$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो $3$ है ($\frac{d^3 y}{d x^3}$ से)।
घात उच्चतम अवकलज की वह शक्ति है जब समीकरण को रेडिकल और भिन्नों से मुक्त किया जाता है,जो $2$ है।
अतः,कोटि $3$ है और घात $2$ है।

(A) दिया गया व्यापक हल $y=a^3 e^{b^2 x+c}$ है।
हम इसे $y = (a^3 e^c) e^{b^2 x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $K = a^3 e^c$,जहाँ $K$ एक स्वेच्छ अचर है क्योंकि $a$ और $c$ स्वेच्छ अचर हैं।
अतः,समीकरण $y = K e^{b^2 x}$ बन जाता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = K e^{b^2 x} \cdot b^2$.
चूंकि $y = K e^{b^2 x}$,हम इस मान को अवकलज में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = b^2 y$.
यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है क्योंकि इसमें केवल प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ शामिल है।
इसलिए,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/2} = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^{4/3}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांकों को हटाना होगा।
सबसे पहले,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^{8/3}$.
इसके बाद,शेष भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करने पर: $x^6 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^8$.
अब,यह समीकरण अवकलजों के संदर्भ में बहुपद रूप में है।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
कोटि और घात का योग $2 + 3 = 5$ है।

(A) अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के कुल के सामान्य समीकरण में मौजूद स्वेच्छ अचरों (arbitrary constants) की संख्या के बराबर होती है।
विकल्प $A$ के लिए,मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है।
यहाँ,$g$ और $f$ दो स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं।
चूंकि इसमें $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए बनने वाला अवकल समीकरण $2$ कोटि का होगा।
विकल्प $B$ के लिए,समीकरण $y^2 = 4a(x-h)$ है,जिसमें दो अचर हैं,लेकिन मूल बिंदु से गुजरने और नाभि के $x$-अक्ष पर होने की शर्त इसे सीमित करती है।
विकल्प $C$ के लिए,समीकरण $y = mx$ है,जिसमें केवल $1$ स्वेच्छ अचर है।
विकल्प $D$ के लिए,समीकरण $x^2 - y^2 = k^2$ में केवल $1$ स्वेच्छ अचर $k$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $Y$-अक्ष पर $(0, b)$ केंद्र और $a$ त्रिज्या वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^2 + (y - b)^2 = a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2(y - b)y_1 = 0$
$x + (y - b)y_1 = 0$ ... $(i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 + (y - b)y_2 + y_1^2 = 0$
$(y - b)y_2 = -(1 + y_1^2)$
$y - b = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$ ... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + \left(-\frac{1 + y_1^2}{y_2}\right)y_1 = 0$
$x - \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2} = 0$
$xy_2 = y_1(1 + y_1^2)$

(D) दिया गया समीकरण: $y = a e^{2x} + b x e^{2x} = e^{2x}(a + bx)$.
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}(a + bx) + b e^{2x} = 2y + b e^{2x}$.
अतः $b e^{2x} = \frac{dy}{dx} - 2y$ ... $(i)$.
$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2b e^{2x}$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2(\frac{dy}{dx} - 2y)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2\frac{dy}{dx} + 2\frac{dy}{dx} - 4y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 4y = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y = A \cos 3x + B \sin 3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -3A \sin 3x + 3B \cos 3x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9A \cos 3x - 9B \sin 3x$
$-9$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9(A \cos 3x + B \sin 3x)$
चूँकि $y = A \cos 3x + B \sin 3x$ है,इसलिए $y$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -9y$
अतः,
$\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$

(A) मूल बिंदु पर केंद्र और निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अक्षों वाले अतिपरवलय के कुल का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} y_1 = 0 \Rightarrow \frac{x}{a^2} = \frac{y y_1}{b^2} \Rightarrow \frac{y y_1}{x} = \frac{b^2}{a^2} = k$ (अचर)।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y y_1}{x} \right) = 0$।
भागफल नियम का उपयोग करने पर: $\frac{x(y y_2 + y_1^2) - y y_1}{x^2} = 0$।
चूंकि $x \neq 0$,हमें $x y y_2 + x y_1^2 - y y_1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $y = (\tan^{-1} 2x)^2 + (\cot^{-1} 2x)^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = 2(\tan^{-1} 2x) \cdot \frac{2}{1 + 4x^2} + 2(\cot^{-1} 2x) \cdot \frac{-2}{1 + 4x^2}$
$y' = \frac{4(\tan^{-1} 2x - \cot^{-1} 2x)}{1 + 4x^2}$
$(1 + 4x^2) y' = 4(\tan^{-1} 2x - \cot^{-1} 2x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$8x y' + (1 + 4x^2) y'' = 4 \left( \frac{2}{1 + 4x^2} - \frac{-2}{1 + 4x^2} \right)$
$8x y' + (1 + 4x^2) y'' = 4 \left( \frac{4}{1 + 4x^2} \right) = \frac{16}{1 + 4x^2}$
दोनों पक्षों को $(1 + 4x^2)$ से गुणा करने पर:
$8x(1 + 4x^2) y' + (1 + 4x^2)^2 y'' = 16$
$(1 + 4x^2)^2 y'' - 16 = -8x(1 + 4x^2) y'$

(D) दिया गया समीकरण: $ax + by = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{a}{b}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$।
सरल करने पर,$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(v + \sqrt{v^2 + 1}) = \ln|x| + C = \ln|cx|$।
अतः,$v + \sqrt{v^2 + 1} = cx$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 1} = cx \Rightarrow y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$।
दिया गया है कि $y(\sqrt{3}) = 1$,इसलिए $1 + \sqrt{3 + 1} = c(\sqrt{3})^2 \Rightarrow 1 + 2 = 3c \Rightarrow c = 1$।
अतः,हल $y + \sqrt{x^2 + y^2} = x^2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y) y dx + (y-x) x dy = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(y-x) x dy = -(x+y) y dx$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+y) y}{(x-y) x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(x+vx) vx}{(x-vx) x} = \frac{v(1+v)}{1-v} = \frac{v+v^2}{1-v}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v+v^2}{1-v} - v = \frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} = \frac{2v^2}{1-v}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1-v}{v^2} dv = \int \frac{2}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$।
$-v^{-1} - \ln|v| = 2 \ln|x| + C$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{y} - \ln(\frac{y}{x}) = 2 \ln|x| + C$।
$-\frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = 2 \ln|x| + C$।
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + \ln|x| + C = \ln|xy| + C$।
$-y$ से गुणा करने पर: $x = -y \ln|xy| - yC$।
$x + y(\ln|xy| + C) = 0$।
$x + y \ln|cxy| = 0$,जहाँ $C = \ln|c|$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x} - x}{x \sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \operatorname{cosec} \frac{y}{x}$
माना $\frac{y}{x} = v$,तब $y = vx$,और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \operatorname{cosec} v$
$x \frac{dv}{dx} = -\operatorname{cosec} v$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\operatorname{cosec} v} = -\frac{dx}{x} \Rightarrow \sin v dv = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos v = -\log_e |x| + C$
$\cos v = \log_e |x| + C'$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\cos \frac{y}{x} = \log_e x + C$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan(\frac{y}{x})$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan(v)$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:
$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$.
चरों को पृथक करने पर:
$\int \cot(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|\sin(v)| = \ln|x| + \ln|C|$.
$\ln|\sin(v)| = \ln|Cx|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\sin(v) = Cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin(\frac{y}{x}) = Cx$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ है।
दोनों पक्षों को $x dx$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}$.
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 + v^2}$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:
$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
$\log |v + \sqrt{1 + v^2}| = \log |x| + \log |c|$.
$v + \sqrt{1 + v^2} = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$.
$\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$.
$y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - 2xy}$
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2}{1 - 2(\frac{y}{x})}$
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v} - v = \frac{v + v^2 - v + 2v^2}{1 - 2v} = \frac{3v^2}{1 - 2v}$
चरों को अलग करने पर: $(\frac{1 - 2v}{3v^2}) dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow (\frac{1}{3v^2} - \frac{2}{3v}) dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{3}v^{-2} - \frac{2}{3v}) dv = \int \frac{1}{x} dx$
$-\frac{1}{3v} - \frac{2}{3} \ln|v| = \ln|x| + C_1$
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{3y} - \frac{2}{3} \ln(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C_1$
$3$ से गुणा करने पर: $-\frac{x}{y} - 2(\ln y - \ln x) = 3\ln x + 3C_1$
$-\frac{x}{y} = 3\ln x + 2\ln y - 2\ln x + C_2 = \ln x + 2\ln y + C_2 = \ln(xy^2) + C_2$
$-\frac{x}{y} = \ln(Cxy^2) \Rightarrow e^{-\frac{x}{y}} = Cxy^2$
अतः,$Cxy^2 e^{\frac{x}{y}} = 1$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(\sin y \cos^2 y - x \sec^2 y) dy = \tan y dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan y \frac{dx}{dy} + x \sec^2 y = \sin y \cos^2 y$
$\tan y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} + x \frac{\sec^2 y}{\tan y} = \cos^3 y$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{\sec^2 y}{\tan y}$ और $Q(y) = \cos^3 y$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy} = e^{\ln(\tan y)} = \tan y$।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x \tan y = \int \cos^3 y \cdot \tan y dy = \int \cos^2 y \sin y dy$।
माना $u = \cos y$,तब $du = -\sin y dy$।
$x \tan y = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 y}{3} + C$।
$3$ से गुणा करने पर: $3x \tan y = -\cos^3 y + 3C$।
अतः,$3x \tan y + \cos^3 y = C$ (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है)।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ है।
$x dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। $y^2$ से भाग देने पर: $y^{-2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-1} = -1$।
माना $v = y^{-1}$,तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,अतः $- \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = -1$,जो सरल होकर $\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = 1$ हो जाता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ है।
हल $v \cdot \frac{1}{x} = \int 1 \cdot \frac{1}{x} dx = \log x + C$ है।
$v = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{xy} = \log x + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x = 1$ पर $y = 1$ है,तो $\frac{1}{1 \cdot 1} = \log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,$\frac{1}{xy} = \log x + 1$,जिससे $y = \frac{1}{x(1 + \log x)}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$।
$x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{y^2+x+1}{y+1} = \frac{y^2+1}{y+1} + \frac{x}{y+1}$।
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y+1} x = \frac{y^2+1}{y+1}$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y+1}$ और $Q(y) = \frac{y^2+1}{y+1}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y+1} dy} = e^{-\log(y+1)} = \frac{1}{y+1}$।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ है।
$x \cdot \frac{1}{y+1} = \int \frac{y^2+1}{(y+1)^2} dy + c$।
$y^2+1 = (y+1)^2 - 2(y+1) + 2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{y+1} = \int \left( 1 - \frac{2}{y+1} + \frac{2}{(y+1)^2} \right) dy + c$।
$\frac{x}{y+1} = y - 2 \log |y+1| - \frac{2}{y+1} + c$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x+2}{y+1} + 2 \log |y+1| = y + c$,अर्थात $\frac{x+2}{y+1} + \log (y+1)^2 = y + c$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin x \frac{dy}{dx} - y \cos x = 1$.
पूरे समीकरण को $\sin x$ से विभाजित करने पर,यह मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में इस प्रकार होगा:
$\frac{dy}{dx} - y \cot x = \operatorname{cosec} x$.
यहाँ,$P = -\cot x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ है।
$IF = e^{\int -\cot x dx} = e^{-\ln|\sin x|} = e^{\ln|\sin x|^{-1}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है।
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$।
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$।
$\frac{x}{y} = y^2 + c$।
अतः,$x = y(y^2 + c)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\tan y)(dx-dy)+2x dy=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+\tan y)dx = (1+\tan y - 2x)dy$ प्राप्त होता है।
$(1+\tan y)dy$ से भाग देने पर,$\frac{dx}{dy} = 1 - \frac{2x}{1+\tan y}$ मिलता है,जिसे $\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{1+\tan y}\right)x = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{2}{1+\tan y} = \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y)dy} = e^{\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy}$ है।
चूंकि $\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy = \int \frac{(\cos y - \sin y) + (\cos y + \sin y)}{\sin y + \cos y} dy = \int \left(\frac{\cos y - \sin y}{\sin y + \cos y} + 1\right) dy = \ln|\sin y + \cos y| + y$ है।
अतः,$I.F. = e^{\ln(\sin y + \cos y) + y} = e^y(\sin y + \cos y)$।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है।
$x e^y(\sin y + \cos y) = \int e^y(\sin y + \cos y) dy + c$।
सूत्र $\int e^y(f(y) + f'(y)) dy = e^y f(y) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(y) = \sin y$ और $f'(y) = \cos y$ है,हमें प्राप्त होता है:
$x e^y(\sin y + \cos y) = e^y \sin y + c$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $e^y(x \sin y + x \cos y - \sin y) = c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x-y-1}$.
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$,तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+h+k+1}{X-Y+h-k-1}$ प्राप्त होता है।
समीकरण को समघातीय बनाने के लिए,हम $h+k+1 = 0$ और $h-k-1 = 0$ रखते हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $h = 0$ और $k = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$ बन जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(X-Y) dY = (X+Y) dX$,जिसका अर्थ है $X dY - Y dX = X dX + Y dY$.
$X^2+Y^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{X dY - Y dX}{X^2+Y^2} = \frac{X dX + Y dY}{X^2+Y^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int d\left(\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)\right) = \frac{1}{2} \int d(\log(X^2+Y^2))$.
इससे $\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right) = \frac{1}{2} \log(X^2+Y^2) + C$ प्राप्त होता है।
$X = x$ और $Y = y+1$ रखने पर,$\tan^{-1}\left(\frac{y+1}{x}\right) = \frac{1}{2} \log(x^2+(y+1)^2) + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^{-1}\left(\frac{y+1}{x}\right) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2+2y+1) = C$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$.
इसे गुणनफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx}(y \cos x) = 6x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y \cos x = \int 6x \, dx = 3x^2 + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ का उपयोग करने पर:
$0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi^2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{-\pi^2}{3}$.
अतः,सामान्य हल $y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$ है।
अब,$y(\frac{\pi}{6})$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6}) = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3}$.
$y(\frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = \frac{-3\pi^2}{12} = \frac{-\pi^2}{4}$.
इसलिए,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{-\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{-\pi^2}{2 \sqrt{3}}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $e^x y dx + e^x dy + x dx = 0$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $d(ye^x) + x dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d(ye^x) + \int x dx = \int 0 dx$
$ye^x + \frac{x^2}{2} = C_1$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2ye^x + x^2 = 2C_1$
माना $2C_1 = C$,अतः हल $2ye^x + x^2 = C$ है।

(A) एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,केंद्र $O$ इस प्रकार है कि $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ और $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\vec{a}$ है।
साथ ही,$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}$ और $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$ है।
सदिश योग के बहुभुज नियम के अनुसार,एक बंद बहुभुज की भुजाओं के अनुदिश सदिशों का योग शून्य होता है:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA} = 0$
चूंकि $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{FA}$,इसलिए हमारे पास है:
$\vec{a} + \vec{b} + \overrightarrow{CD} - \vec{a} + \overrightarrow{EF} - \overrightarrow{CD} = 0$
वैकल्पिक रूप से,एक सम षट्भुज के गुण का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{FA} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $A(\alpha, 10, 13)$,$B(6, 11, 11)$ और $C(\frac{9}{2}, \beta, -8)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ आनुपातिक होने चाहिए।
$\vec{AB} = (6-\alpha)\hat{i} + (11-10)\hat{j} + (11-13)\hat{k} = (6-\alpha)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = (\frac{9}{2}-6)\hat{i} + (\beta-11)\hat{j} + (-8-11)\hat{k} = -\frac{3}{2}\hat{i} + (\beta-11)\hat{j} - 19\hat{k}$.
संरेखता के लिए,$\frac{6-\alpha}{-3/2} = \frac{1}{\beta-11} = \frac{-2}{-19}$.
$\frac{1}{\beta-11} = \frac{2}{19}$ से,हमें $2(\beta-11) = 19 \Rightarrow 2\beta - 22 = 19 \Rightarrow 2\beta = 41 \Rightarrow 6\beta = 123$ प्राप्त होता है।
$\frac{6-\alpha}{-3/2} = \frac{2}{19}$ से,हमें $19(6-\alpha) = -3 \Rightarrow 114 - 19\alpha = -3 \Rightarrow 19\alpha = 117$ प्राप्त होता है।
अतः,$(19\alpha - 6\beta)^2 = (117 - 123)^2 = (-6)^2 = 36$।

(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य होने के बराबर है:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & p & 5 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times p) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times p - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3p) + 1(5 + 9) + 1(p - 6) = 0$
$20 + 6p + 14 + p - 6 = 0$
$7p + 28 = 0$
$7p = -28$
$p = -4$

(A) दिया गया है,$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.
चूंकि $\vec{u}=\vec{a}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$,मान लीजिए $\theta$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है। तब $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos \theta$.
अतः,$\vec{u} = \vec{a} - \cos \theta \vec{b}$.
परिमाण का वर्ग ज्ञात करने पर: $|\vec{u}|^2 = |\vec{a}|^2 + \cos^2 \theta |\vec{b}|^2 - 2 \cos \theta (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
इस प्रकार,$|\vec{u}| = \sin \theta$ (क्योंकि गैर-संरेखीय सदिशों के लिए $\sin \theta > 0$)।
साथ ही,$|\vec{v}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = \sin \theta$.
इसलिए,$|\vec{v}| = |\vec{u}|$.
अब,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 - 0 = 0$.
अतः,$|\vec{v}| = |\vec{u}| + |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |\vec{u}| + 0 = |\vec{u}|$.

(D) दिया गया है: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\alpha \vec{d}$ ....$(i)$
दिया गया है: $\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\beta \vec{a}$ ....(ii)
$(i)$ से,$\vec{b}+\vec{c}=\alpha \vec{d}-\vec{a}$.
इस मान को (ii) में रखने पर: $(\alpha \vec{d}-\vec{a})+\vec{d}=\beta \vec{a}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\alpha+1)\vec{d} = (\beta+1)\vec{a}$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए समीकरण $(\alpha+1)\vec{d} = (\beta+1)\vec{a}$ तभी संभव है जब $\alpha+1=0$ और $\beta+1=0$ हो,अर्थात $\alpha=-1$ और $\beta=-1$.
$(i)$ में $\alpha=-1$ रखने पर: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = -\vec{d}$.
अतः,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = \vec{0}$.
इस प्रकार,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}| = |\vec{0}| = 0$.

(A) मान लीजिए $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ और $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ क्रमशः $\vec{a}$ और $\vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश हैं।
अतः,$|\vec{b}| \vec{a} + |\vec{a}| \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) = |\vec{a}| |\vec{b}| (\hat{a} + \hat{b})$.
चूंकि $\hat{a} + \hat{b}$ इकाई सदिशों $\hat{a}$ और $\hat{b}$ द्वारा निर्मित समचतुर्भुज का विकर्ण है,यह $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण का समद्विभाजक दर्शाता है।
इस प्रकार,$|\vec{b}| \vec{a} + |\vec{a}| \vec{b}$ एक सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के कोण समद्विभाजक के समानांतर है।

(C) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = -\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\overrightarrow{OC} = -3\hat{i} + 8\hat{j} - 5\hat{k}$,और $\overrightarrow{OD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,और $\overrightarrow{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = -2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + (\lambda + 4)\hat{k}$
अब,इन सदिशों के सारणिक को शून्य के बराबर रखें:
$\begin{vmatrix} 4 & -2 & -1 \\ -2 & 4 & -1 \\ -2 & -2 & \lambda + 4 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(4(\lambda + 4) - 2) + 2(-2(\lambda + 4) - 2) - 1(4 - 8) = 0$
$4(4\lambda + 14) + 2(-2\lambda - 10) - 12 = 0$
$16\lambda + 56 - 4\lambda - 20 - 12 = 0$
$12\lambda + 24 = 0$
$\lambda = -2$

(B) हमें दिया गया है $|\vec{f}|=10, |\vec{g}|=14$ और $|\vec{f}-\vec{g}|=15$।
गुणधर्म $|\vec{f}-\vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$ का उपयोग करने पर:
$15^2 = 10^2 + 14^2 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$225 = 100 + 196 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$225 = 296 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$2(\vec{f} \cdot \vec{g}) = 296 - 225 = 71$।
अब,हमें $|\vec{f}+\vec{g}|$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|\vec{f}+\vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 + 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{f}+\vec{g}|^2 = 10^2 + 14^2 + 71$
$|\vec{f}+\vec{g}|^2 = 100 + 196 + 71 = 367$
अतः,$|\vec{f}+\vec{g}| = \sqrt{367}$।

(D) दिया गया है कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{3}$।
दिए गए समीकरण $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2+(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})^2+(\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})^2=36$ का विस्तार करने पर:
$3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=3$ रखने पर:
$3(3+3+3) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36$।
$27 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$।
अब,$|2 \vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{c}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 12(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 8(\vec{a} \cdot \vec{c})$ की गणना करने पर उत्तर $75$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\alpha(1 - 4) - \beta(0 - 6) + 3(0 - 3) = 0$
$-3\alpha + 6\beta - 9 = 0$
$-3$ से भाग देने पर:
$\alpha - 2\beta + 3 = 0 \Rightarrow \alpha = 2\beta - 3$
दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{14}$,इसलिए:
$\alpha^2 + \beta^2 + 3^2 = 14$
$\alpha^2 + \beta^2 = 5$
$\alpha = 2\beta - 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\beta - 3)^2 + \beta^2 = 5$
$4\beta^2 - 12\beta + 9 + \beta^2 = 5$
$5\beta^2 - 12\beta + 4 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(5\beta - 2)(\beta - 2) = 0$
चूंकि $\beta$ एक पूर्णांक है,हम $\beta = 2$ लेते हैं।
तब $\alpha = 2(2) - 3 = 1$।
अतः,$\alpha + \beta = 1 + 2 = 3$।

(B) सबसे पहले,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करें।
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 7^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
$|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{4 \hat{i} + 7 \hat{j} - 4 \hat{k}}{9}$ और $\hat{b} = \frac{12 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{13}$ हैं।
आंतरिक कोण समद्विभाजक पर सदिश $\vec{v} = \lambda(\hat{a} + \hat{b})$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{a} + \hat{b} = \frac{13(4 \hat{i} + 7 \hat{j} - 4 \hat{k}) + 9(12 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})}{117} = \frac{(52 + 108) \hat{i} + (91 - 27) \hat{j} + (-52 + 36) \hat{k}}{117} = \frac{160 \hat{i} + 64 \hat{j} - 16 \hat{k}}{117} = \frac{16}{117}(10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$.
मान लीजिए $\vec{c} = k(10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$। इसका परिमाण $|\vec{c}| = |k| \sqrt{10^2 + 4^2 + (-1)^2} = |k| \sqrt{100 + 16 + 1} = |k| \sqrt{117} = |k| \sqrt{9 \times 13} = 3|k| \sqrt{13}$ है।
दिया गया है कि $|\vec{c}| = 3 \sqrt{13}$,इसलिए $3|k| \sqrt{13} = 3 \sqrt{13}$,जिसका अर्थ है $k = 1$।
अतः,$\vec{c} = 10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k}$।