रैखिक समीकरणों के निकाय $AX=B$ को क्रेमर के नियम का उपयोग करके हल करते समय,यदि $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|$,$\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}5 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 11 & 1 & 5\end{array}\right|$ और $X=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ 2 \\ \beta\end{array}\right]$ है,तो $\alpha^2+\beta^2=$

निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय $7x + 6y - 2z = 0$; $3x + 4y + 2z = 0$; $x - 2y - 6z = 0$ के लिए:

मान लीजिए $a$,$(1-2x+2x^2)^{2023}(3-4x^2+2x^3)^{2024}$ के विस्तार में सभी गुणांकों का योग है और $b = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{x^2} \right)$ है। यदि समीकरणों $cx^2+dx+e=0$ और $2bx^2+ax+4=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है,जहाँ $c, d, e \in \mathbb{R}$,तो $d:c:e$ किसके बराबर है?

एक आव्यूह $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,यदि $U_{1}, U_{2}$ और $U_{3}$ $3 \times 1$ स्तंभ आव्यूह हैं जो $A U_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A U_{2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A U_{3}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ को संतुष्ट करते हैं और $U$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके स्तंभ $U_{1}, U_{2}$ और $U_{3}$ हैं,तो $U^{-1}$ के अवयवों का योग है:

$a$ का वह धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समघात समीकरण निकाय $x+ay+z=0$,$ax+2y-z=0$,और $2x+3y+z=0$ के अशून्य हल हों।

मान लीजिए कि रैखिक समीकरण निकाय $x+y+\alpha z=2$,$3x+y+z=4$,और $x+2z=1$ का एक अद्वितीय हल $(x^{*}, y^{*}, z^{*})$ है। यदि $(\alpha, x^{*}), (y^{*}, \alpha)$ और $(x^{*}, -y^{*})$ संरेख बिंदु हैं,तो $\alpha$ के सभी संभावित मानों के निरपेक्ष मानों का योग है