AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) पद द्विपद विस्तार सूत्र $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$T_2 = {}^{n}C_1 x^{n-1} a = 96$ $(i)$
$T_3 = {}^{n}C_2 x^{n-2} a^2 = 216$ $(ii)$
$T_4 = {}^{n}C_3 x^{n-3} a^3 = 216$ $(iii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{}^{n}C_1 x^{n-1} a}{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2} = \frac{96}{216}$ $\Rightarrow \frac{n x}{\frac{n(n-1)}{2} a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow \frac{2x}{(n-1)a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 2(n-1)a$.
$(ii)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2}{{}^{n}C_3 x^{n-3} a^3} = \frac{216}{216}$ $\Rightarrow \frac{\frac{n(n-1)}{2} x}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} a} = 1$ $\Rightarrow \frac{3x}{(n-2)a} = 1$ $\Rightarrow 3x = (n-2)a$.
दोनों समीकरणों से:
$\frac{9x}{3x} = \frac{2(n-1)a}{(n-2)a}$ $\Rightarrow 3 = \frac{2(n-1)}{n-2}$ $\Rightarrow 3n-6 = 2n-2$ $\Rightarrow n=4$.
$n=4$ को $3x = (n-2)a$ में रखने पर $3x = 2a$ प्राप्त होता है,अतः $a = \frac{3}{2}x$.
$(i)$ में रखने पर:
$4 x^3 (\frac{3}{2}x) = 96$ $\Rightarrow 6x^4 = 96$ $\Rightarrow x^4 = 16$ $\Rightarrow x=2$.
अतः $a = \frac{3}{2}(2) = 3$.
इस प्रकार,$a+x = 3+2 = 5$. चूँकि $n=4$,$a+x = n+1$.

(C) $(1+x)^n$ का सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ है।
$r^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_{r-1}}$ है।
$(r+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_r}$ है।
$(r+2)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_{r+1}}$ है।
दिया गया अनुपात ${^nC_{r-1}} : {^nC_r} : {^nC_{r+1}} = 4 : 15 : 42$ है।
$\frac{{^nC_{r-1}}}{{^nC_r}} = \frac{4}{15}$ से,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{15} \Rightarrow 19r - 4n = 4$ $(i)$.
$\frac{{^nC_r}}{{^nC_{r+1}}} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$ से,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{14} \Rightarrow 19r - 5n = -14$ (ii).
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $n = 18$.
$n=18$ को $(i)$ में रखने पर: $r = 4$.
अतः,$n - r = 18 - 4 = 14$.

(C) $(1+x)^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} x^{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{21}$ के विस्तार के लिए,$(k+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${}^{21}C_{k}$ है।
$(2r+6)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${}^{21}C_{(2r+6)-1} = {}^{21}C_{2r+5}$ है।
$(r-1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${}^{21}C_{(r-1)-1} = {}^{21}C_{r-2}$ है।
चूंकि ये गुणांक समान हैं,इसलिए ${}^{21}C_{2r+5} = {}^{21}C_{r-2}$ है।
गुणधर्म ${}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b}$ का उपयोग करते हुए,जिसका अर्थ है $a = b$ या $a + b = n$:
स्थिति $1$: $2r+5 = r-2 \Rightarrow r = -7$ (संभव नहीं है)।
स्थिति $2$: $(2r+5) + (r-2) = 21$ $\Rightarrow 3r + 3 = 21$ $\Rightarrow 3r = 18$ $\Rightarrow r = 6$.

(B) $(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3x^2}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3x})^r = {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ है।
$(1+x+2x^2) \times {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ का विस्तार करने पर,हमें $x^{18-3r}$,$x^{19-3r}$,और $x^{20-3r}$ वाले पद मिलते हैं।
स्वतंत्र पद के लिए,घातांक को $0$ रखने पर:
$1$) $18-3r = 0 \Rightarrow r = 6$. पद ${}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = 84 \times \frac{27}{8} \times \frac{1}{729} = \frac{7}{18}$ प्राप्त होता है।
$2$) $19-3r = 0 \Rightarrow r = 19/3$ (पूर्णांक नहीं है)।
$3$) $20-3r = 0 \Rightarrow r = 20/3$ (पूर्णांक नहीं है)।
अतः,स्वतंत्र पद $\frac{7}{18}$ है।

(B) माना $f(x) = \frac{(1 - 4x)^2 (1 - 2x^2)^{1/2}}{(4 - x)^{3/2}}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = (1 - 8x + 16x^2) (1 - 2x^2)^{1/2} \cdot 4^{-3/2} (1 - \frac{x}{4})^{-3/2}$.
चूंकि $4^{-3/2} = \frac{1}{8}$, हमारे पास है:
$f(x) = \frac{1}{8} (1 - 8x + 16x^2) (1 - 2x^2)^{1/2} (1 - \frac{x}{4})^{-3/2}$.
द्विपद विस्तार $(1 + u)^n = 1 + nu + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$(1 - 2x^2)^{1/2} = 1 - x^2 + \dots$
$(1 - \frac{x}{4})^{-3/2} = 1 + (-\frac{3}{2})(-\frac{x}{4}) + \dots = 1 + \frac{3x}{8} + \dots$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{1}{8} (1 - 8x + 16x^2) (1 + \dots) (1 + \frac{3x}{8} + \dots)$.
$x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$f(x) = \frac{1}{8} [1 \cdot (\frac{3x}{8}) - 8x \cdot 1] + \dots$
$f(x) = \frac{1}{8} (\frac{3}{8} - 8) x + \dots = \frac{1}{8} (\frac{3 - 64}{8}) x = -\frac{61}{64} x$.
अतः, $x$ का गुणांक $-\frac{61}{64}$ है।

(C) माना $f(n) = 3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$.
$n=1$ के लिए,$f(1) = 3(5^3) + 2^4 = 3(125) + 16 = 375 + 16 = 391$.
चूंकि $391 = 17 \times 23$,व्यंजक $k=17$ से विभाज्य है।
$n=2$ के लिए,$f(2) = 3(5^5) + 2^7 = 3(3125) + 128 = 9375 + 128 = 9503$.
$9503 \div 17 = 559$,इसलिए यह $17$ से विभाज्य है।
अतः,$k=17$.
$17$ से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ हैं।
इन्हें गिनने पर,हमें $7$ अभाज्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(C) माना $f(n) = 49^n + 16n - 1$.
$n=1$ के लिए,$f(1) = 49^1 + 16(1) - 1 = 64$.
$n=2$ के लिए,$f(2) = 49^2 + 16(2) - 1 = 2432$.
यहाँ $2432$,$64$ से विभाज्य है $(2432 / 64 = 38)$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$f(n) = (1+48)^n + 16n - 1 = 64n + \dots$
अतः,सबसे बड़ा भाजक $P = 64$ है।
$64 = 2^6$ के गुणनखंड $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ हैं।
इसलिए,गुणनखंडों की कुल संख्या $7$ है।

(D) $(3+x+x^2)^6$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय के अनुसार $\frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^q \cdot (x^2)^r = \frac{6!}{p!q!r!} 3^p \cdot x^{q+2r}$ है,जहाँ $p+q+r=6$ है।
हमें $x^5$ का गुणांक ज्ञात करना है,इसलिए $q+2r=5$ रखने पर,जिसका अर्थ है $q=5-2r$।
$q$ का मान $p+q+r=6$ में रखने पर,हमें $p+(5-2r)+r=6$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $p=1+r$ हो जाता है।
चूँकि $p, q, r \ge 0$ है,$r$ के लिए संभावित मानों की जाँच करने पर:
$1$) यदि $r=0$,तो $p=1$ और $q=5$। पद $\frac{6!}{1!5!0!} 3^1 = 6 \times 3 = 18$ है।
$2$) यदि $r=1$,तो $p=2$ और $q=3$। पद $\frac{6!}{2!3!1!} 3^2 = 60 \times 9 = 540$ है।
$3$) यदि $r=2$,तो $p=3$ और $q=1$। पद $\frac{6!}{3!1!2!} 3^3 = 60 \times 27 = 1620$ है।
इन गुणांकों का योग करने पर,हमें $18 + 540 + 1620 = 2178$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{2 x^2}{(x^2+1)(x^2+2)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{2 x^2}{(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{-2}{x^2+1} + \frac{4}{x^2+2}$.
द्विपद श्रेणी $(1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$-2(1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots) + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{8} + \dots)$.
$x^4$ का गुणांक $= -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
$x^6$ का गुणांक $= 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
अंतर का निरपेक्ष मान $= |-\frac{3}{2} - \frac{7}{4}| = |-\frac{13}{4}| = \frac{13}{4}$.

(C) $\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5$ का सामान्य पद $T_{r+1} = { }^5 C_r (2 x^3)^{5-r} (-\frac{1}{3 x^2})^r$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $T_{r+1} = { }^5 C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{15-5r}$।
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$15 - 5r = 5$ रखने पर,$r = 2$ प्राप्त होता है।
$r = 2$ रखने पर,गुणांक $= { }^5 C_2 (2)^3 (-\frac{1}{3})^2 = 10 \times 8 \times \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$।

(D) $(a+\frac{x}{5})^{65}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{65}C_r a^{65-r} (\frac{x}{5})^r = {}^{65}C_r a^{65-r} \frac{x^r}{5^r}$ है।
$x^5$ का गुणांक ${}^{65}C_5 a^{60} \frac{1}{5^5}$ है।
$x^6$ का गुणांक ${}^{65}C_6 a^{59} \frac{1}{5^6}$ है।
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
${}^{65}C_5 \frac{a^{60}}{5^5} = {}^{65}C_6 \frac{a^{59}}{5^6}$.
$a = \frac{{}^{65}C_6}{{}^{65}C_5} \times \frac{5^5}{5^6} = \frac{65-5}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{60}{6 \times 5} = 2$.
अब,$(2+\frac{x}{5})^4$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करना है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{4}C_r (2)^{4-r} (\frac{x}{5})^r$ है।
$x^2$ के लिए,$r=2$ रखने पर:
गुणांक $= {}^{4}C_2 (2)^{4-2} (\frac{1}{5})^2 = 6 \times 2^2 \times \frac{1}{25} = 6 \times 4 \times \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$.

(C) माना $b = \sum_{r=0}^n \frac{r}{{}^n C_r}$ ....$(i)$
$r$ को $n-r$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$b = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{{}^n C_{n-r}}$
चूँकि ${}^n C_r = {}^n C_{n-r}$,इसलिए:
$b = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{{}^n C_r}$ ....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2b = \sum_{r=0}^n \frac{r + n - r}{{}^n C_r} = \sum_{r=0}^n \frac{n}{{}^n C_r}$
$2b = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$
चूँकि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$,हमें प्राप्त होता है:
$2b = n \cdot a_n \Rightarrow b = \frac{n}{2} \cdot a_n$

(A) माना $\frac{2x+1}{(1+x)(1-2x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-2x}$.
तुलना करने पर $A = -\frac{1}{3}$ और $B = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2x+1}{(1+x)(1-2x)} = -\frac{1}{3}(1+x)^{-1} + \frac{4}{3}(1-2x)^{-1}$.
$x$ की प्रथम $5$ विषम घातों के गुणांकों का योग:
$= -\frac{1}{3}(-1-1-1-1-1) + \frac{4}{3}(2^1+2^3+2^5+2^7+2^9)$.
$= \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \times \frac{2(4^5-1)}{4-1} = \frac{5}{3} + \frac{8}{9}(4^5-1)$.

(C) हम जानते हैं कि $(1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + . . . \infty$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + . . . \infty$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2(1 - x)^{-3} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty$.
अतः,$(1 - x)^{-3} = \frac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty)$.
दिए गए व्यंजक में मान रखने पर: $[\frac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty)]^{-25} = [(1 - x)^{-3}]^{-25} = (1 - x)^{75}$.
$(1 - x)^{75}$ के विस्तार में पदों की संख्या $75 + 1 = 76$ है।

(B) हमें व्यंजक $f(x) = \frac{x^4}{(x+1)(x-2)}$ दिया गया है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$.
स्थिरांकों को हल करने पर,$1 = A(x-2) + B(x+1)$.
$x = -1$ के लिए,$A = -\frac{1}{3}$ और $x = 2$ के लिए,$B = \frac{1}{3}$.
अतः,$f(x) = \frac{x^4}{3} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1} \right)$.
$|x| < 1$ के लिए घात श्रेणी में विस्तार करने पर:
$f(x) = \frac{x^4}{3} \left[ -\frac{1}{2}(1 - \frac{x}{2})^{-1} - (1+x)^{-1} \right]$
$f(x) = \frac{x^4}{3} \left[ -\frac{1}{2}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots) - (1 - x + x^2 - \dots) \right]$.
इस विस्तार में $x$ की सबसे छोटी घात $x^4$ है। इसलिए,$x^0$,$x^1$ और $x^2$ के गुणांक $0$ हैं।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है,जहाँ $b < 2$ है।
यहाँ,$a^2 = 4$,इसलिए $a = 2$ है।
नाभियाँ $F(c, 0)$ और $F'(-c, 0)$ हैं और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
$\triangle FBF'$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2c) \times b = bc$ है।
दिया है कि $bc = \sqrt{3}$,इसलिए $b^2 c^2 = 3$,जिसका अर्थ है $c^2 = \frac{3}{b^2}$।
दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2 - c^2 = 4 - c^2$,अर्थात $c^2 = 4 - b^2$।
$c^2 = \frac{3}{b^2}$ को $c^2 = 4 - b^2$ में रखने पर:
$\frac{3}{b^2} = 4 - b^2$ $\Rightarrow 3 = 4b^2 - b^4$ $\Rightarrow b^4 - 4b^2 + 3 = 0$।
$t = b^2$ लेने पर,$t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow (t - 1)(t - 3) = 0$।
अतः,$b^2 = 1$ या $b^2 = 3$।
स्थिति $1$: $b^2 = 1$। तब $c^2 = 4 - 1 = 3$,इसलिए $c = \sqrt{3}$।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
स्थिति $2$: $b^2 = 3$। तब $c^2 = 4 - 3 = 1$,इसलिए $c = 1$।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$।
अतः,उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\frac{1}{2}$ है।

(D) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $16x^2 + 25y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर: $\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 5$ और $b = 4$ है।
नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर: $\frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ है।
मध्यबिंदु $(1,1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$(x_1, y_1) = (1, 1)$,$a^2=4$,और $b^2=9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x(1)}{4}+\frac{y(1)}{9}-1 = \frac{1}{4}+\frac{1}{9}-1$
$\frac{x}{4}+\frac{y}{9} = \frac{13}{36}$
$4$ से गुणा करने पर:
$x+\frac{4}{9}y = \frac{13}{9}$
इसे $x+\alpha y=\beta$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = \frac{4}{9}$ और $\beta = \frac{13}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+1 = \frac{4}{9}+1 = \frac{13}{9} = \beta$।
इस प्रकार,$\alpha+1=\beta$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा होने के लिए $c^2=a^2m^2+b^2$ होता है।
ढाल $m=2$ दी गई है,अतः स्पर्श रेखा का समीकरण $y=2x \pm \sqrt{4a^2+b^2}$ है,जिसे $2x-y \pm \sqrt{4a^2+b^2}=0$ लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=4$ (त्रिज्या $r=2$,केंद्र $(0,0)$) को स्पर्श करती है,मूल बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी:
$\frac{|\pm \sqrt{4a^2+b^2}|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$.
$\frac{\sqrt{4a^2+b^2}}{\sqrt{5}} = 2$ $\Rightarrow \sqrt{4a^2+b^2} = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow 4a^2+b^2 = 20$.
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{4a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{4a^2b^2} = 2ab$.
$\frac{20}{2} \geq 2ab$ $\Rightarrow 10 \geq 2ab$ $\Rightarrow ab \leq 5$.
अतः,$ab$ का अधिकतम मान $5$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 8y^2 = k$ है,जिसे $\frac{x^2}{k/3} + \frac{y^2}{k/8} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
यहाँ $a^2 = k/3$ और $b^2 = k/8$ है,इसलिए $\frac{kx}{3x_1} - \frac{ky}{8y_1} = \frac{k}{3} - \frac{k}{8} = \frac{5k}{24}$।
$k$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{3x_1} - \frac{y}{8y_1} = \frac{5}{24}$,या $\frac{8x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 5$ प्राप्त होता है।
इसे $4x - 3y - 5 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{8}{x_1} = 4 \Rightarrow x_1 = 2$ और $\frac{3}{y_1} = 3 \Rightarrow y_1 = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(2, 1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$3(2)^2 + 8(1)^2 = k \Rightarrow k = 12 + 8 = 20$।
दीर्घवृत्त पर बिंदु $(-2, m)$ के लिए,$3(-2)^2 + 8m^2 = 20$ $\Rightarrow 12 + 8m^2 = 20$ $\Rightarrow 8m^2 = 8$ $\Rightarrow m = 1$ (चूंकि $m > 0$)।
$3x^2 + 8y^2 = 20$ के लिए $(-2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $3x(-2) + 8y(1) = 20$ है।
$-6x + 8y = 20 \Rightarrow 3x - 4y + 10 = 0$।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ है। यहाँ $b^2 = 25$ और $a^2 = 9$ है,इसलिए $b > a$ है।
नाभियाँ $(0, \pm c)$ पर स्थित हैं,जहाँ $c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$,इसलिए $c = 4$ है। अतः नाभियाँ $S_1(0, 4)$ और $S_2(0, -4)$ हैं।
मान लीजिए कि दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + C$ है,जहाँ $C^2 = a^2m^2 + b^2 = 9m^2 + 25$ है।
$(0, 4)$ से $mx - y + C = 0$ तक की लंबवत दूरी $p_1 = \frac{|-4 + C|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
$(0, -4)$ से $mx - y + C = 0$ तक की लंबवत दूरी $p_2 = \frac{|4 + C|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
लंबों का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{|C^2 - 16|}{m^2 + 1} = \frac{9m^2 + 25 - 16}{m^2 + 1} = \frac{9m^2 + 9}{m^2 + 1} = \frac{9(m^2 + 1)}{m^2 + 1} = 9$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{6} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 6$ है।
दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु पथ उसका नियामक वृत्त (director circle) होता है,जो $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 6$ है।
अतः,नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4 + 6 = 10$ है।
चूँकि $(\alpha, \beta)$ दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए यह नियामक वृत्त पर स्थित होना चाहिए।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = 10$।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+4y^2-4=0$ है, जिसे $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ, $a^2=4$ और $b^2=1$, इसलिए $a=2$ और $b=1$ है।
$A_1$ दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है, जो $A_1 = \pi ab = \pi(2)(1) = 2\pi$ द्वारा दिया जाता है।
निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2+b^2 = 4+1=5$ है।
अतः, $A_2$ निर्देशक वृत्त का क्षेत्रफल है, $A_2 = \pi(r^2) = 5\pi$।
सहायक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2 = 4$ है।
अतः, $A_3$ सहायक वृत्त का क्षेत्रफल है, $A_3 = \pi(r^2) = 4\pi$।
अंततः, $A_2+A_3-A_1 = 5\pi+4\pi-2\pi = 7\pi$।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त: $4x^2 + 9y^2 = 36$,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$e^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ है।
नाभियाँ $(\pm \sqrt{5}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2$ है,इसलिए $a_h = 1$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{b_h^2} = 1$ है।
समनाभी होने के कारण,$a_h^2 + b_h^2 = 5 \implies 1 + b_h^2 = 5 \implies b_h^2 = 4$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - y^2 = 4$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $8x^2 + 8y^2 = 40 \implies x^2 + y^2 = 5$।

(C) दिया गया है $5 \sinh x - \cosh x = 5$.
अतः $5(\sinh x - 1) = \cosh x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$25(\sinh^2 x + 1 - 2 \sinh x) = \cosh^2 x$.
$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$25 \sinh^2 x + 25 - 50 \sinh x = 1 + \sinh^2 x$.
$24 \sinh^2 x - 50 \sinh x + 24 = 0$.
$12 \sinh^2 x - 25 \sinh x + 12 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(3 \sinh x - 4)(4 \sinh x - 3) = 0$.
अतः $\sinh x = \frac{4}{3}$ या $\sinh x = \frac{3}{4}$.
यदि $\sinh x = \frac{4}{3}$ है,तो $\tanh x = \frac{4}{5}$.
यदि $\sinh x = \frac{3}{4}$ है,तो $\tanh x = -\frac{3}{5}$.

(B) हम जानते हैं कि $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
$x = \log 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cosh(\log 4) = \frac{e^{\log 4} + e^{-\log 4}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $e^{\log 4} = 4$ और $e^{-\log 4} = e^{\log(4^{-1})} = \frac{1}{4}$,
$\cosh(\log 4) = \frac{4 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{17}{4}}{2} = \frac{17}{8}$.

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}}$.
अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1$ को $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $e_2 = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
दिया गया है कि $e_1 \cdot e_2 = 1$,इसलिए $\sqrt{1 - \frac{b^2}{16}} \cdot \frac{5}{4} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - \frac{b^2}{16}) \cdot \frac{25}{16} = 1$.
$1 - \frac{b^2}{16} = \frac{16}{25}$.
$\frac{b^2}{16} = \frac{9}{25}$.
$b^2 = \frac{144}{25}$.

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ है। यहाँ,$b^2 = 4$,इसलिए $b = 2$ है।
चूँकि वृत्त अतिपरवलय के साथ संकेंद्रित है और इसकी नाभियों $(\pm c, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या केंद्र $(0, 0)$ से नाभियों की दूरी है।
अतः,$c = 4$ है।
संबंध $c^2 = a^2 + b^2$ का उपयोग करने पर,$16 = a^2 + 4$,जिससे $a^2 = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 2 \sqrt{3}$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$ है।
इस संयुग्मी अतिपरवलय के लिए,अर्ध-अनुप्रस्थ अक्ष $b = 2$ और अर्ध-संयुग्मी अक्ष $a = 2 \sqrt{3}$ है।
मान लीजिए $e'$ संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता है। संयुग्मी अतिपरवलय के लिए $c'^2 = a^2 + b^2 = 12 + 4 = 16$,इसलिए $c' = 4$ है।
उत्केंद्रता $e'$ का मान $c' = b e'$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$4 = 2 e'$,जिससे $e' = 2$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(4, -2 \sqrt{3})$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1$।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$,जो सरल होकर $16(e^2 - 1) - 12 = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow 16e^2 - 28 = a^2(e^2 - 1) \quad (i)$ बनता है।
नियता $x = \frac{a}{e}$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}} \Rightarrow a^2 = \frac{16e^2}{5} \quad (ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $16e^2 - 28 = \frac{16e^2}{5}(e^2 - 1)$।
$5$ से गुणा करने पर: $80e^2 - 140 = 16e^4 - 16e^2 \Rightarrow 16e^4 - 96e^2 + 140 = 0$।
$4$ से भाग देने पर: $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$।
$e^2$ में द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2e^2 - 7)(2e^2 - 5) = 0$।
अतः,$e^2 = \frac{7}{2}$ या $e^2 = \frac{5}{2}$।
विकल्पों के अनुसार,$e^2 = \frac{7}{2}$ सही उत्तर है।

(D) : नाभियों के बीच की दूरी उसकी नियताओं के बीच की दूरी की तीन गुनी है।
$2ae = 3 \times \frac{2a}{e}$ $\Rightarrow e^2 = 3$ $\Rightarrow e = \sqrt{3} \approx 1.732$
$B$: अनुप्रस्थ अक्ष,संयुग्मी अक्ष की दोगुनी है।
$2a = 2(2b)$ $\Rightarrow a = 2b$ $\Rightarrow b = \frac{a}{2}$.
हम जानते हैं कि $a^2e^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.
$e^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118$
$C$: अनंतस्पर्शियों की ढाल $m_1 = -1$ और $m_2 = 1$ है।
चूंकि $m_1 \cdot m_2 = -1$,यह एक आयताकार अतिपरवलय है।
$e = \sqrt{2} \approx 1.414$
मानों की तुलना करने पर: $1.732 > 1.414 > 1.118$.
अतः,अवरोही क्रम $A, C, B$ है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1 = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ है।
इसके संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_2 = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$ है।
दी गई रेखा $\frac{x}{2 e_1} + \frac{y}{2 e_2} = 1$ है।
$e_1$ और $e_2$ के मान रखने पर:
$\frac{ax}{2\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{by}{2\sqrt{a^2+b^2}} = 1$
$ax + by = 2\sqrt{a^2+b^2}$.
चूंकि यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्र वाले वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए मूल बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$r = \frac{|2\sqrt{a^2+b^2}|}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2$.
अतः,त्रिज्या $2$ है।

(A) शंकु परिच्छेद का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
इस समीकरण के अतिपरवलय होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
माना $A = \frac{1}{7 - k}$ और $B = \frac{1}{5 - k}$ है।
अतिपरवलय के लिए,$A \times B < 0$ होना चाहिए।
$\left( \frac{1}{7 - k} \right) \left( \frac{1}{5 - k} \right) < 0$
हर को सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$\left( \frac{1}{k - 7} \right) \left( \frac{1}{k - 5} \right) < 0$
चिह्न योजना विधि का उपयोग करने पर,गुणनफल तब ऋणात्मक होता है जब $k$ का मान $5$ और $7$ के बीच हो।
अतः,$5 < k < 7$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=9$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ है। नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=16$ है। उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ है। नाभियाँ $(0, \pm 5)$ हैं।
ये चार बिंदु $(\pm 5, 0)$ और $(0, \pm 5)$ एक समचतुर्भुज बनाते हैं जिसके विकर्णों की लंबाई $10$ और $10$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50$ वर्ग इकाई।

(A) रेखा $Ax + By = k$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करती है यदि $k^2 = a^2 A^2 - b^2 B^2$ हो।
दिए गए अतिपरवलय $7x^2 - 5y^2 = 232$ को $\frac{x^2}{(232/7)} - \frac{y^2}{(232/5)} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{232}{7}$ और $b^2 = \frac{232}{5}$ है।
रेखा $21x + 5y = k$ है,इसलिए $A = 21$ और $B = 5$ है।
शर्त $k^2 = a^2 A^2 - b^2 B^2$ में मान रखने पर:
$k^2 = \left(\frac{232}{7}\right)(21)^2 - \left(\frac{232}{5}\right)(5)^2$
$k^2 = 232 \times 63 - 232 \times 5 = 232(58) = 13456$
$k = 116$.

(D) $(0, 1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 0)$ यानी $y = mx + 1$ है।
अतिपरवलय $45x^2 - 4y^2 = 5$ में मान रखने पर:
$45x^2 - 4(mx + 1)^2 = 5$
$(45 - 4m^2)x^2 - 8mx - 9 = 0$
स्पर्श रेखा के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए:
$(-8m)^2 - 4(45 - 4m^2)(-9) = 0$
$64m^2 + 1620 - 144m^2 = 0$
$80m^2 = 1620$ $\Rightarrow m^2 = \frac{81}{4}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{9}{2}$
$m = \frac{9}{2}$ रखने पर,$y = \frac{9}{2}x + 1 \Rightarrow 9x - 2y + 2 = 0$
$m = -\frac{9}{2}$ रखने पर,$y = -\frac{9}{2}x + 1 \Rightarrow 9x + 2y - 2 = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$b^2 = 2$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
दी गई स्पर्श रेखा $y = x + \sqrt{2}$ के लिए,$m = 1$ और $c = \sqrt{2}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $(\sqrt{2})^2 = a^2(1)^2 - 2$ $\Rightarrow 2 = a^2 - 2$ $\Rightarrow a^2 = 4$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
नियता के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e}$ होते हैं।
चूँकि $a = 2$ है,इसलिए $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3/2}} = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^2 - ky^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{12/5} - \frac{y^2}{12/k} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = \frac{12}{5}$ और $b^2 = \frac{12}{k}$ है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
रेखा $5x - 2y - 6 = 0$ को $y = \frac{5}{2}x - 3$ के रूप में लिखने पर,$m = \frac{5}{2}$ और $c = -3$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $(-3)^2 = \frac{12}{5} \times (\frac{5}{2})^2 - \frac{12}{k}$ $\Rightarrow 9 = 15 - \frac{12}{k}$ $\Rightarrow k = 2$.
अब,अतिपरवलय $5x^2 - 2y^2 = 12$ है। बिंदु $(\sqrt{6}, p)$ इस पर स्थित है,अतः $5(6) - 2p^2 = 12 \Rightarrow p^2 = 9$। चूँकि $p < 0$,इसलिए $p = -3$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{(12/5)x}{\sqrt{6}} + \frac{6y}{-3} = \frac{12}{5} + 6 \Rightarrow \sqrt{6}x - 5y = 21$।

(A) माना कि अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ के अनुसार $xh - yk = h^2 - k^2$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$y = \frac{h}{k}x - \frac{h^2 - k^2}{k}$ प्राप्त होता है।
यह रेखा $y^2 = 4ax$ परवलय को स्पर्श करती है। रेखा $y = mx + c$ के $y^2 = 4ax$ को स्पर्श करने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
यहाँ,$m = \frac{h}{k}$ और $c = -\frac{h^2 - k^2}{k}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $-\frac{h^2 - k^2}{k} = \frac{ak}{h}$।
$-h(h^2 - k^2) = ak^2$।
$h(k^2 - h^2) = ak^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x(y^2 - x^2) = ay^2$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2-k y^2=3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3/k}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2=3$ और $b^2=\frac{3}{k}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $2\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{\pi}{6}$।
अतः,$\frac{b}{a} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
वर्ग करने पर $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{3/k}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{k} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow k=3$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
रेखा $lx+my+n=0$ का $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के सापेक्ष ध्रुव $\left(-\frac{a^2l}{n}, \frac{b^2m}{n}\right)$ होता है।
$x+y-1=0$ के लिए,$l=1, m=1, n=-1$।
ध्रुव $\left(-\frac{3(1)}{-1}, \frac{1(1)}{-1}\right) = (3, -1)$ है।
चूँकि $k=3$ और $e=\frac{2}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $-1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}e}{2}$।
अतः,ध्रुव $\left(k, -\frac{\sqrt{3}e}{2}\right)$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 20$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसके अनंतस्पर्शी $\sqrt{5}x - 2y = 0$ और $\sqrt{5}x + 2y = 0$ हैं।
माना $(x_0, y_0)$ अतिपरवलय पर एक बिंदु है,अतः $5x_0^2 - 4y_0^2 = 20$।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से अनंतस्पर्शी पर डाले गए लंब की लंबाइयाँ $l_1 = \frac{|\sqrt{5}x_0 - 2y_0|}{3}$ और $l_2 = \frac{|\sqrt{5}x_0 + 2y_0|}{3}$ हैं।
अतः,$l_1 l_2 = \frac{|5x_0^2 - 4y_0^2|}{9} = \frac{20}{9}$।
इसलिए,$\frac{l_1^2 l_2^2}{100} = \frac{(20/9)^2}{100} = \frac{4}{81}$।

(D) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - 9y^2 - 24x - 36y - 36 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4(x^2 - 6x) - 9(y^2 + 4y) = 36$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$4(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 = 36$ प्राप्त होता है।
अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए अचर पद को शून्य रखने पर: $\frac{(x - 3)^2}{9} - \frac{(y + 2)^2}{4} = 0$।
इसे सरल करने पर,$4(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$4x^2 - 9y^2 - 24x - 36y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी और उसकी किसी भी स्पर्शरेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा $ab$ होता है।
दिया गया है कि उत्केंद्रता $e = \sec \alpha$,इसलिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \sec^2 \alpha$.
चूँकि $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = \tan^2 \alpha$,जिसका अर्थ है $b = a \tan \alpha$.
अतः,क्षेत्रफल $ab = a(a \tan \alpha) = a^2 \tan \alpha$ होगा।

(B) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
अतिपरवलय $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{m^2 - 3}$ है।
तुलना करने पर,$\frac{2}{m} = \pm \sqrt{m^2 - 3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{m^2} = m^2 - 3$,अर्थात $m^4 - 3m^2 - 4 = 0$।
$t = m^2$ रखने पर,$t^2 - 3t - 4 = 0$,जिससे $(t - 4)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m^2 = 4$,इसलिए $m = \pm 2$ है।
धनात्मक ढाल के लिए,$m = 2$ है।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 2x + 1$ या $y - 2x - 1 = 0$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} 3ax - 2b, & x > 1 \\ ax + b + 1, & x < 1 \end{cases}$
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ का अस्तित्व है,इसलिए वाम-पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण-पक्ष सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
दिए गए फलनों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (ax + b + 1) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (3ax - 2b)$
$x = 1$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$a(1) + b + 1 = 3a(1) - 2b$
$a + b + 1 = 3a - 2b$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 = 3a - a - 2b - b$
$1 = 2a - 3b$
अतः,संबंध $2a - 3b = 1$ है।

(C) चूंकि $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ का अस्तित्व है,इसलिए $x = 1$ पर बायां सीमा (left-hand limit) और दायां सीमा (right-hand limit) बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
$1 + \frac{2(1)}{a} = a(1)$
$1 + \frac{2}{a} = a$
$a$ से गुणा करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए):
$a + 2 = a^2$
$a^2 - a - 2 = 0$
$(a - 2)(a + 1) = 0$
अतः,$a$ के संभावित मान $a = 2$ और $a = -1$ हैं।
इन मानों के घनों का योग $(2)^3 + (-1)^3 = 8 - 1 = 7$ है।

(B) दिया गया है $0 \leq a \leq 2$। $a$ के पूर्णांक मान $0, 1, 2$ हैं।
मान लीजिए $f(x) = [x^2] - [x]^2$ है।
$a = 0$ के लिए:
$\text{L.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(0-h)^2] - [0-h]^2) = [h^2] - [-h]^2 = 0 - (-1)^2 = -1$.
$\text{R.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(0+h)^2] - [0+h]^2) = [h^2] - [h]^2 = 0 - 0 = 0$.
चूंकि $\text{L.H.L.} \neq \text{R.H.L.}$,इसलिए $a = 0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
$a = 1$ के लिए:
$\text{L.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(1-h)^2] - [1-h]^2) = [1-2h+h^2] - [1-h]^2 = 0 - 0^2 = 0$.
$\text{R.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(1+h)^2] - [1+h]^2) = [1+2h+h^2] - [1+h]^2 = 1 - 1^2 = 0$.
चूंकि $\text{L.H.L.} = \text{R.H.L.}$,इसलिए $a = 1$ पर सीमा का अस्तित्व है।
$a = 2$ के लिए:
$\text{L.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(2-h)^2] - [2-h]^2) = [4-4h+h^2] - [2-h]^2 = 3 - 1^2 = 2$.
$\text{R.H.L.} = \lim_{h \rightarrow 0} ([(2+h)^2] - [2+h]^2) = [4+4h+h^2] - [2+h]^2 = 4 - 2^2 = 0$.
चूंकि $\text{L.H.L.} \neq \text{R.H.L.}$,इसलिए $a = 2$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$a$ के $2$ मानों के लिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(B) सीमा $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3-27}{x^2-9}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम देखते हैं कि $x=3$ प्रतिस्थापित करने पर यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप में आता है।
हम अंश का गुणनखंड $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ सूत्र का उपयोग करके और हर का गुणनखंड $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ सूत्र का उपयोग करके करते हैं।
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-3)$ को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2+3x+9}{x+3}$
$x=3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3^2+3(3)+9}{3+3} = \frac{9+9+9}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(A) सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2+x^5+x^6}}{x^4}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम परिमेयकरण का उपयोग करते हैं।
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6}$ से गुणा करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+\sqrt{1+x^4})-(2+x^5+x^6)}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^4}-1-x^5-x^6}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2+x^5+x^6})}$
द्विपद विस्तार $\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{u}{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x^4$,हमें $\sqrt{1+x^4} \approx 1 + \frac{x^4}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 + \frac{x^4}{2} - 1 - x^5 - x^6}{x^4(\sqrt{1+1} + \sqrt{2})} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{2} - x^5 - x^6}{x^4(2\sqrt{2})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} - x - x^2}{2\sqrt{2}} = \frac{1/2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{4 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^5}{1-\sin 2 x}$. यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
$L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-5(\cos x+\sin x)^4(-\sin x+\cos x)}{-2 \cos 2 x}$.
सर्वसमिका $1-\sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$ और $\cos 2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{5(\cos x+\sin x)^4(\cos x-\sin x)}{2(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}$.
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{5}{2}(\cos x+\sin x)^3$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$L = \frac{5}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{5}{2}(\sqrt{2})^3 = \frac{5}{2}(2 \sqrt{2}) = 5 \sqrt{2}$.

(A) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{1+4 x}-\sqrt{3+3 x}}{x^3-8}$ है।
चूंकि यह एक $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+4 x}-\sqrt{3+3 x})}{\frac{d}{dx}(x^3-8)} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{4}{2\sqrt{1+4x}} - \frac{3}{2\sqrt{3+3x}}}{3x^2}$.
$x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\frac{4}{2\sqrt{9}} - \frac{3}{2\sqrt{9}}}{3(2^2)} = \frac{\frac{4}{6} - \frac{3}{6}}{12} = \frac{\frac{1}{6}}{12} = \frac{1}{72}$.

(D) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-3)) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(-3 - (-2)) = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{d}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-2)) - \hat{j}(1 - (-4)) + \hat{k}(1 - 2) = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} - \hat{k}$.
अंत में,प्राप्त दो सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{b} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & -5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 5) - \hat{j}(-4 - (-3)) + \hat{k}(-20 - 9) = -8 \hat{i} + \hat{j} - 29 \hat{k}$.

(C) चतुष्फलक के शीर्ष $A(3,2,4)$,$B(x_1, y_1, 0)$,$C(x_2, y_2, 0)$,और $D(x_3, y_3, 0)$ हैं।
त्रिभुज $BCD$ रेखाओं $y=x$,$x+y=6$,और $y=1$ के प्रतिच्छेदन से बनता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$1$) $y=x$ और $y=1 \Rightarrow x=1$. शीर्ष $B = (1,1,0)$.
$2$) $x+y=6$ और $y=1 \Rightarrow x=5$. शीर्ष $D = (5,1,0)$.
$3$) $y=x$ और $x+y=6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=3$. शीर्ष $C = (3,3,0)$.
चतुष्फलक का केंद्रक $G = \left(\frac{\sum x_i}{4}, \frac{\sum y_i}{4}, \frac{\sum z_i}{4}\right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$G = \left(\frac{3+1+3+5}{4}, \frac{2+1+3+1}{4}, \frac{4+0+0+0}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{7}{4}, \frac{4}{4}\right) = \left(3, \frac{7}{4}, 1\right)$.

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = -3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
भुजाओं के लिए सदिशों की गणना:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-3)\hat{k} = \hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-3-2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-3-1)\hat{i} + (-1-(-2))\hat{j} + (-2-3)\hat{k} = -4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
परिमाण (Magnitude) की गणना:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42}$.
चूंकि सभी भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है,इसलिए बिंदु एक विषमबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(D) माना शीर्षों $P, Q, R$ के स्थिति सदिश $\vec{p} = 4 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$,$\vec{q} = 2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{r} = 3 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $PQ$ और $PR$ की लंबाई की गणना करें:
$PQ = |\vec{q} - \vec{p}| = |(2-4) \hat{i} + (2-3) \hat{j} + (3-6) \hat{k}| = |-2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$.
$PR = |\vec{r} - \vec{p}| = |(3-4) \hat{i} + (1-3) \hat{j} + (3-6) \hat{k}| = |-\hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.
चूंकि $PQ = PR$,$\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,शीर्ष कोण $(P)$ का कोण समद्विभाजक आधार $(QR)$ पर माध्यिका भी होता है।
इसलिए,कोण $P$ के समद्विभाजक का $QR$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A$,$QR$ का मध्य बिंदु है।
$A = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2} = \frac{(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})}{2} = \frac{5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2} = \frac{5}{2} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j} + 3 \hat{k}$.

(C) दिया गया है $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और $\theta = \frac{\pi}{3}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$.
मान लीजिए आसन्न भुजाएँ $\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ और $\vec{q} = \vec{a} - \vec{b}$ हैं।
विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{p} + \vec{q} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ और $\vec{d_2} = \vec{p} - \vec{q} = \vec{a} + 4\vec{b}$ हैं।
लंबाई का वर्ग ज्ञात करें:
$|\vec{d_1}|^2 = |3\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 9|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 9(4) + 4(9) + 12(3) = 108$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
$|\vec{d_2}|^2 = |\vec{a} + 4\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 16|\vec{b}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 4 + 144 + 24 = 172$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$.
तुलना करने पर,छोटा विकर्ण $6\sqrt{3}$ है।

(C) माना $AD$,$\angle A$ का आंतरिक समद्विभाजक है जो $BC$ को $D$ पर मिलता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$,भुजा $BC$ को भुजाओं $AB:AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(2-4)^2 + (3-7)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = \sqrt{(2-4)^2 + (5-7)^2 + (7-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अनुपात $AB:AC = 6:3 = 2:1$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{2(2) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(7) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{4+2}{3}, \frac{10+3}{3}, \frac{14+4}{3} \right) = \left( 2, \frac{13}{3}, 6 \right)$.
अब,$AD$ की लंबाई की गणना करें:
$AD = \sqrt{(2-4)^2 + (\frac{13}{3} - 7)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-\frac{8}{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2\sqrt{34}}{3}$.

(D) समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array}\right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$.
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0 \Rightarrow abc - (a + b + c) + 2 = 0$.
वैकल्पिक रूप से,पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right| = 0$.
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$.
$(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
चूंकि $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,यह मान रखने पर:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(B) दिया गया है कि $\vec{f}, \vec{g},$ और $\vec{h}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं।
अतः,$\vec{f} \cdot \vec{g} = \vec{g} \cdot \vec{h} = \vec{f} \cdot \vec{h} = 0$.
मान लीजिए $|\vec{f}| = |\vec{g}| = |\vec{h}| = k$.
अब,मान लीजिए $\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}$ और $\vec{h}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब,$(\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}) \cdot \vec{h} = |\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}| |\vec{h}| \cos \theta$.
चूंकि $\vec{f} \cdot \vec{h} = 0$ और $\vec{g} \cdot \vec{h} = 0$,हमें प्राप्त होता है $(\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}) \cdot \vec{h} = |\vec{h}|^2 = k^2$.
साथ ही,$|\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 + |\vec{h}|^2 + 2(\vec{f} \cdot \vec{g} + \vec{g} \cdot \vec{h} + \vec{h} \cdot \vec{f}) = k^2 + k^2 + k^2 = 3k^2$.
अतः,$|\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}| = \sqrt{3}k$.
इन मानों को अदिश गुणनफल के सूत्र में रखने पर: $k^2 = (\sqrt{3}k)(k) \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
चूंकि $\vec{c}$ और $\vec{d}$ लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$।
$\vec{c}$ और $\vec{d}$ के मान रखने पर: $(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$।
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $5|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8|\vec{b}|^2 = 0$।
$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ रखने पर: $5(1)^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1)^2 = 0$।
$5 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8 = 0 \Rightarrow 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$।
अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार: $|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$।
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AM}$ और $\overrightarrow{AN} = K \overrightarrow{AC}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{BN} \perp \overrightarrow{CM}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है,अर्थात $\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM} = 0$ है।
हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ है।
अब,$(K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 0$ है।
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$\frac{K}{3} (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}) - K |\overrightarrow{AC}|^2 - \frac{1}{3} |\overrightarrow{AB}|^2 + (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) = 0$ है।
चूंकि $ABC$ भुजा $a$ वाला एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$ और $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 \cos(60^{\circ}) = \frac{a^2}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{K}{3} (\frac{a^2}{2}) - K a^2 - \frac{1}{3} a^2 + \frac{a^2}{2} = 0$ है।
$\frac{K a^2}{6} - K a^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{2}$ है।
$-\frac{5K a^2}{6} = -\frac{a^2}{6}$ है।
$K = \frac{1}{5}$।

(B) दिया गया है कि $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1$ है।
$\vec{p} \cdot \vec{u}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{u}=\frac{3}{2} \Rightarrow |\vec{u}|^2+\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{3}{2} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2}$ ....$(i)$
$\vec{p} \cdot \vec{v}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \cdot \vec{v}=\frac{7}{4} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+|\vec{v}|^2+\vec{v} \cdot \vec{w}=\frac{7}{4} \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}=\frac{3}{4}$ ....$(ii)$
$|\vec{p}|^2=|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2=4 \Rightarrow |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u})=4 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}=\frac{1}{2}$ ....$(iii)$
$(i)$,$(ii)$,और $(iii)$ को हल करने पर:
$(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $\vec{w} \cdot \vec{u} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$।
$(iii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $\vec{v} \cdot \vec{w} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$।
अतः $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$।
दिया गया है $\vec{v}=K \vec{q}=K[\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})]=K[(\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v}-(\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}]$।
मान रखने पर: $\vec{v}=K[-\frac{1}{4} \vec{v}-\frac{3}{4} \vec{w}] \Rightarrow \vec{v} = -\frac{K}{4} \vec{v} - \frac{3K}{4} \vec{w} \Rightarrow (1+\frac{K}{4}) \vec{v} = -\frac{3K}{4} \vec{w}$।
परिमाण लेने पर: $|1+\frac{K}{4}| = |-\frac{3K}{4}| \Rightarrow |4+K| = |3K|$।
$4+K = 3K \Rightarrow 2K=4 \Rightarrow K=2$ या $4+K = -3K \Rightarrow 4K=-4 \Rightarrow K=-1$।
सदिश समीकरण की जाँच करने पर: $(1+\frac{K}{4}) \vec{v} = -\frac{3K}{4} \vec{w}$। यदि $K=-1$,तो $\frac{3}{4} \vec{v} = \frac{3}{4} \vec{w} \Rightarrow \vec{v}=\vec{w}$,लेकिन $\vec{v} \cdot \vec{w}=0$,जो असंभव है।
अतः,$K=2$।

(D) माना समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d}_1 = \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{d}_2 = \vec{a} - \vec{b}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$\vec{d}_1 = (2+1)\hat{i} + (4+2)\hat{j} + (-5+3)\hat{k} = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{d}_2 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (-5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$.
माना विकर्णों $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के लिए सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{||\vec{d}_1|| ||\vec{d}_2||}$ है।
$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (3)(1) + (6)(2) + (-2)(-8) = 3 + 12 + 16 = 31$.
$||\vec{d}_1|| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$||\vec{d}_2|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{31}{7 \sqrt{69}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{31}{7 \sqrt{69}}\right)$।

(D) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित किसी भी सदिश $\vec{c}$ को $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{b}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ है।
$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y|\vec{b}|^2 = 0$।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (1)(1) + (1)(1) = 4$ और $|\vec{b}|^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 6$ है।
अतः,$4x + 6y = 0 \Rightarrow 2x + 3y = 0$। मान लीजिए $x = 3k$ और $y = -2k$ है।
तब $\vec{c} = 3k(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 2k(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = k(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ होगा।
चूंकि $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है,$|\vec{c}| = |k|\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = |k|\sqrt{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस प्रकार,$\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
अंत में,$\vec{c} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1 + 1 + 2) = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$,इसलिए हम लिख सकते हैं $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 + 8^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 11^2$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$25 + 64 + 2(5)(8) \cos \theta = 121$.
$89 + 80 \cos \theta = 121$.
$80 \cos \theta = 121 - 89 = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{80} = \frac{2}{5}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{5}\right)$.

(A) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ है।
सदिश $(\vec{a} + \vec{b})$ का सदिश $\hat{n}$ पर प्रक्षेप $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{n}$ का मान रखने पर,हमें प्रक्षेप $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ प्राप्त होता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणों का उपयोग करते हुए,$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ होता है।
चूंकि जब दो सदिश समान होते हैं तो अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है,इसलिए $[\vec{a}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ और $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ है।
अतः,प्रक्षेप $\frac{0 + 0}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = 0$ है।

(B) दिए गए सदिश $\vec{f} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{g} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$\vec{f}$ का $\vec{g}$ पर प्रक्षेप सदिश का सूत्र $\text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \left( \frac{\vec{f} \cdot \vec{g}}{|\vec{g}|^2} \right) \vec{g}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{f} \cdot \vec{g} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(3) = 2 - 1 + 3 = 4$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{g}$ के परिमाण का वर्ग $|\vec{g}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \frac{4}{14} (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = \frac{2}{7} (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $\vec{f}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{g}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+a \hat{k}$।
हम जानते हैं कि $|\vec{f} \times \vec{g}| = |\vec{f}| |\vec{g}| \sin \theta$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{f} \times \vec{g}$ की गणना करें:
$\vec{f} \times \vec{g} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & a \end{vmatrix} = \hat{i}(2a - 9) - \hat{j}(a + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = (2a - 9)\hat{i} - (a + 6)\hat{j} - 7\hat{k}$।
परिमाण का वर्ग $|\vec{f} \times \vec{g}|^2 = (2a - 9)^2 + (a + 6)^2 + (-7)^2 = 4a^2 - 36a + 81 + a^2 + 12a + 36 + 49 = 5a^2 - 24a + 166$।
साथ ही,$|\vec{f}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14$ और $|\vec{g}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + a^2 = 13 + a^2$।
दिया गया है $\sin^2 \theta = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$।
सूत्र $|\vec{f} \times \vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 |\vec{g}|^2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$5a^2 - 24a + 166 = 14(13 + a^2) \times \frac{6}{7} = 2(13 + a^2) \times 6 = 12(13 + a^2) = 156 + 12a^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7a^2 + 24a = 166 - 156 = 10$।

(D) दिए गए सदिश $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ हैं।
$\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणन (dot product) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणन की गणना करें: $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं के अनुदिश दिए गए सदिश $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ और $\overrightarrow{BC} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (2+6)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-6+3)\hat{k} = 8\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
भुजाओं की लंबाई इस प्रकार है:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$.
त्रिभुज $ABC$ का परिमाप = $|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{AC}| = 7 + 7 + \sqrt{74} = 14 + \sqrt{74}$.

(B) $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश का सूत्र $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(-2) + (3)(1) = 2 - 6 + 3 = -1$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग $|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-1}{6} (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{6} (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$।

(B) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{u} = 2 \vec{a}$ और $\vec{v} = \frac{\vec{b}}{2}$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{(2 \vec{a}) \cdot (\frac{\vec{b}}{2})}{|2 \vec{a}| |\frac{\vec{b}}{2}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4)(\sqrt{2}) + (2)(-\sqrt{2}) + (4)(0) = -4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = -6 \sqrt{2}$ की गणना करें।
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{-6 \sqrt{2}}{6 \times 2} = \frac{-6 \sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\theta = 135^{\circ}$ है।

(B) सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ निकालते हैं।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 12) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = -6 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 16 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-6 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2\sqrt{22}} = \pm \frac{-3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}}{\sqrt{22}}$ होगा।
यह $\pm \frac{3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{22}}$ के बराबर है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना शीर्ष $A(2,1,5)$,$B(3,2,3)$ और $C(4,0,4)$ हैं।
सबसे पहले,$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। $BC$ के दिक अनुपात $(4-3, 0-2, 4-3) = (1, -2, 1)$ हैं।
माना $P$,$A$ से $BC$ पर लंब का पाद है। $P$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $P = (3+k, 2-2k, 3+k)$ किसी $k$ के लिए।
सदिश $AP = (3+k-2, 2-2k-1, 3+k-5) = (k+1, 1-2k, k-2)$ है।
चूँकि $AP \perp BC$,उनका अदिश गुणनफल $(k+1)(1) + (1-2k)(-2) + (k-2)(1) = 0$ होगा।
$k+1 - 2 + 4k + k - 2 = 0 \Rightarrow 6k - 3 = 0 \Rightarrow k = 1/2$।
अतः,$P = (3.5, 1, 3.5)$। सदिश $AP = (1.5, 0, -1.5)$,जो $(1, 0, -1)$ के समांतर है।
शीर्षलंब $AP$ का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-5}{-1}$ है।
अब,$B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। $AC$ के दिक अनुपात $(4-2, 0-1, 4-5) = (2, -1, -1)$ हैं।
माना $Q$,$B$ से $AC$ पर लंब का पाद है। $Q$,$AC$ पर स्थित है,इसलिए $Q = (2+2m, 1-m, 5-m)$ किसी $m$ के लिए।
सदिश $BQ = (2+2m-3, 1-m-2, 5-m-3) = (2m-1, -m-1, 2-m)$ है।
चूँकि $BQ \perp AC$,$(2m-1)(2) + (-m-1)(-1) + (2-m)(-1) = 0$ होगा।
$4m - 2 + m + 1 - 2 + m = 0 \Rightarrow 6m - 3 = 0 \Rightarrow m = 1/2$।
अतः,$Q = (3, 0.5, 4.5)$। सदिश $BQ = (0, -1.5, 1.5)$,जो $(0, -1, 1)$ के समांतर है।
शीर्षलंब $BQ$ का समीकरण $\frac{x-3}{0} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}$ है।
दोनों शीर्षलंबों के समीकरणों को हल करने पर: $AP$ से $y=1$,और $BQ$ से $\frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow 1-2 = -(z-3) \Rightarrow -1 = -z+3 \Rightarrow z=4$। $BQ$ से $x=3$ प्राप्त होता है,इसलिए लंबकेंद्र $(3,1,4)$ है।

(B) माना कि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (2, 2, 1)$ और $\vec{b} = (2, -1, -2)$ हैं।
सबसे पहले,इकाई सदिशों (दिक्-कोज्याओं) को ज्ञात करने के लिए इन सदिशों का मानकीकरण करते हैं:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$,अतः $\hat{a} = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$,अतः $\hat{b} = (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$.
कोण समद्विभाजक की दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{a} + \hat{b}$ या $\vec{v} = \hat{a} - \hat{b}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: $\vec{v}_1 = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$। इसका परिमाण $|\vec{v}_1| = \sqrt{2}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{4}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, -\frac{1}{3\sqrt{2}})$ हैं।
अतः $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = (\frac{4}{3\sqrt{2}})^2 = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$।
स्थिति $2$: $\vec{v}_2 = (0, 1, 1)$। इसका परिमाण $|\vec{v}_2| = \sqrt{2}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $(\alpha, \beta, \gamma) = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
अतः $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = (0 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ पर $\vec{b}$ के प्रक्षेप की लंबाई $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{8}{\sqrt{14}}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$।
अतः,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = \frac{8}{\sqrt{14}} \times \sqrt{14} = 8$।
अगला,$\vec{a} \times \vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 25 + 16} = \sqrt{90}$।
सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ का उपयोग करते हुए:
$90 + 8^2 = (\sqrt{14})^2 |\vec{b}|^2$
$90 + 64 = 14 |\vec{b}|^2$
$154 = 14 |\vec{b}|^2$
$|\vec{b}|^2 = \frac{154}{14} = 11$
अतः,$|\vec{b}| = \sqrt{11}$।

(B) दिए गए संबंध $l+m-n=0$ और $lm-2mn+nl=0$ हैं।
पहले संबंध से,$n=l+m$।
इस मान को दूसरे संबंध में रखने पर: $lm-2m(l+m)+(l+m)l=0$।
$lm-2ml-2m^2+l^2+lm=0$।
$l^2-2m^2=0$,जो देता है $l^2=2m^2$,इसलिए $l=\pm \sqrt{2}m$।
स्थिति $1$: यदि $l=\sqrt{2}m$ है,तो $n=l+m=(\sqrt{2}+1)m$। दिक् अनुपात $(\sqrt{2}m, m, (\sqrt{2}+1)m)$ हैं,इसलिए सदिश $\vec{a_1} = \sqrt{2}\hat{i} + \hat{j} + (\sqrt{2}+1)\hat{k}$ है।
स्थिति $2$: यदि $l=-\sqrt{2}m$ है,तो $n=l+m=(1-\sqrt{2})m$। दिक् अनुपात $(-\sqrt{2}m, m, (1-\sqrt{2})m)$ हैं,इसलिए सदिश $\vec{a_2} = -\sqrt{2}\hat{i} + \hat{j} + (1-\sqrt{2})\hat{k}$ है।
अब,$\cos \theta = \frac{|\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}|}{|\vec{a_1}| |\vec{a_2}|}$।
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1) + (\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2}) = -2 + 1 + (1-2) = -2$।
$|\vec{a_1}|^2 = 2 + 1 + (\sqrt{2}+1)^2 = 3 + 2 + 1 + 2\sqrt{2} = 6+2\sqrt{2}$।
$|\vec{a_2}|^2 = 2 + 1 + (1-\sqrt{2})^2 = 3 + 1 + 2 - 2\sqrt{2} = 6-2\sqrt{2}$।
$|\vec{a_1}| |\vec{a_2}| = \sqrt{(6+2\sqrt{2})(6-2\sqrt{2})} = \sqrt{36-8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$।
$\cos \theta = \frac{|-2|}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$।

(A) दिया गया है कि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है,अतः $2+2\beta-\alpha-2=0$,जो सरल होकर $\alpha=2\beta$ $(i)$ देता है।
दिया गया है कि $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,अतः $2\alpha - (-1) + 3\beta + 6 = 0$,जो सरल होकर $2\alpha+3\beta+7=0$ $(ii)$ देता है।
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(2\beta)+3\beta+7=0 \Rightarrow 7\beta = -7 \Rightarrow \beta = -1$.
तब $\alpha = 2(-1) = -2$.
अतः,$P = (2, -1, -2)$ और $Q = (-2, -1, -1)$.
सदिश $\vec{PQ} = (-2-2)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (-1-(-2))\hat{k} = -4\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
दिक्-कोज्याएँ $\left(\frac{-4}{\sqrt{17}}, \frac{0}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \left(-\frac{4}{\sqrt{17}}, 0, \frac{1}{\sqrt{17}}\right)$ हैं।

(B) माना रेखा $L_1$ के दिक-अनुपात $(1, \alpha, \beta)$ हैं,$L_2$ के $(-1, 2, 1)$ हैं,और $L_3$ के $(\alpha, 1, \beta)$ हैं।
चूंकि $L_1 \perp L_2$,उनके दिक-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$1(-1) + \alpha(2) + \beta(1) = 0 \Rightarrow -1 + 2\alpha + \beta = 0 \Rightarrow 2\alpha + \beta = 1$ (समीकरण $1$)।
चूंकि $L_1 \parallel L_3$,उनके दिक-अनुपात समानुपाती होंगे:
$\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{1} = \frac{\beta}{\beta}$.
$\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{1}$ से,$\alpha^2 = 1$,अतः $\alpha = 1$ या $\alpha = -1$ है।
यदि $\alpha = 1$ है,तो समीकरण $1$ से: $2(1) + \beta = 1 \Rightarrow \beta = -1$।
यदि $\alpha = -1$ है,तो समीकरण $1$ से: $2(-1) + \beta = 1 \Rightarrow \beta = 3$।
हालाँकि,शर्त $\frac{\beta}{\beta} = 1$ को $\beta \neq 0$ के लिए सत्य होना चाहिए। $\alpha = 1, \beta = -1$ की जाँच करने पर: अनुपात $(1, 1, -1)$ और $(1, 1, -1)$ प्राप्त होते हैं,जो समांतर हैं। अतः,$(\alpha, \beta) = (1, -1)$।

(B) माना $\vec{a} = x^2 \hat{i} + 2 x \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ है।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण होता है यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x^2)(1) + (2x)(-2) + (1)(x) < 0$
$x^2 - 4x + x < 0$
$x^2 - 3x < 0$
$x(x - 3) < 0$
चिह्न योजना विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $x(x - 3)$ अंतराल $(0, 3)$ में $x$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,कोण अधिक कोण होगा जब $x \in (0, 3)$ हो।

(D) माना रेखा $L$ के दिक कोज्या $(l, m, n)$ हैं।
दिया गया है कि $L$,$Y$-अक्ष और $Z$-अक्ष के साथ क्रमशः $\pi / 3$ और $\pi / 4$ का कोण बनाती है।
इसलिए,$m = \cos(\pi / 3) = 1 / 2$ और $n = \cos(\pi / 4) = 1 / \sqrt{2}$.
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
मान रखने पर,$l^2 + (1 / 2)^2 + (1 / \sqrt{2})^2 = 1 \Rightarrow l^2 + 1 / 4 + 1 / 2 = 1 \Rightarrow l^2 = 1 - 3 / 4 = 1 / 4$.
अतः,$l = 1 / 2$ (धनात्मक मान लेने पर)।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं। इसकी दिक कोज्या $(1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3})$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(1 / 2)(1 / \sqrt{3}) + (1 / 2)(1 / \sqrt{3}) + (1 / \sqrt{2})(1 / \sqrt{3})| = |1 / (2 \sqrt{3}) + 1 / (2 \sqrt{3}) + 1 / \sqrt{6}|$.
$\cos \theta = |1 / \sqrt{3} + 1 / \sqrt{6}| = |\sqrt{2} / \sqrt{6} + 1 / \sqrt{6}| = (\sqrt{2} + 1) / \sqrt{6}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{6}} \right)$.

(B) दिया गया है कि $(l, m, n)$ एक ऐसी रेखा के दिक्-कोसाइन हैं जो $(1, 2, -1)$ और $(1, -2, 1)$ दिक्-अनुपात वाली दो रेखाओं के लंबवत है।
चूंकि रेखा दोनों के लंबवत है,इसलिए हमारे पास है:
$l + 2m - n = 0$ ...$(i)$
$l - 2m + n = 0$ ...$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें $2l = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $l = 0$ है।
$(i)$ में $l = 0$ रखने पर,हमें $2m - n = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 2m$ है।
हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन के लिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l = 0$ और $n = 2m$ रखने पर,हमें $0^2 + m^2 + (2m)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$m^2 + 4m^2 = 1 \Rightarrow 5m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{5}$।
अब,हमें $(l + m + n)^2$ ज्ञात करना है।
$(l + m + n)^2 = (0 + m + 2m)^2 = (3m)^2 = 9m^2$।
$m^2 = \frac{1}{5}$ रखने पर,$(l + m + n)^2 = 9 \times \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$।

(B) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $mn-2lm-2nl=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$mn - 2(-(m+n))m - 2(-(m+n))n = 0$
$mn + 2m^2 + 2mn + 2mn + 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$।
स्थिति $1$: $n = -2m$। $l+m+n=0$ में रखने पर,$l+m-2m=0 \Rightarrow l=m$। अतः,दिक् अनुपात $(1, 1, -2)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -2n$। $l+m+n=0$ में रखने पर,$l-2n+n=0 \Rightarrow l=n$। अतः,दिक् अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
माना दिक् अनुपात $\vec{a} = (1, 1, -2)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दी गई रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}_1+t \vec{b}_1$ और $\vec{r}=\vec{a}_2+s \vec{b}_2$ हैं,जहाँ $\vec{a}_1 = -\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = 3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = 7 \hat{i}+4 \hat{k}$,और $\vec{b}_2 = \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-4) - \hat{j}(6+2) + \hat{k}(-6+2) = -8 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-8)^2+(-8)^2+(-4)^2} = \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} = 12$ है।
इसके बाद,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (7 \hat{i}+4 \hat{k}) - (-\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) = 8 \hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k}$ ज्ञात करें।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ है।
$d = \left| \frac{(-8 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{-64-16-28}{12} \right| = \left| \frac{-108}{12} \right| = 9$.

(D) दिया गया समीकरण: $2 \vec{a} + 3 \vec{b} + 5 \vec{c} - 10 \vec{d} = \vec{0}$.
पदों को इस प्रकार व्यवस्थित करने पर कि $\vec{a}, \vec{b}$ एक तरफ और $\vec{c}, \vec{d}$ दूसरी तरफ हों:
$2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 10 \vec{d} - 5 \vec{c}$.
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} = 2 \vec{d} - \vec{c}$.
बाएँ पक्ष को विभाजन सूत्र $\frac{m \vec{b} + n \vec{a}}{m+n}$ के रूप में लिखने पर:
$\frac{3 \vec{b} + 2 \vec{a}}{3+2} = \frac{2 \vec{d} - \vec{c}}{2-1}$.
यह एक बिंदु $P$ को दर्शाता है जो रेखाखंड $AB$ पर और रेखा $CD$ पर स्थित है।
बिंदु $P$,रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
अतः,$\vec{c}$ और $\vec{d}$ को मिलाने वाली रेखा,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करती है।

(A) दो विषमतलीय रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ है।
यहाँ $\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} + 2\hat{k}$ और $\vec{a}_2 = -2\hat{i} + \hat{k}$,$\vec{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$ है।
अब,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ज्ञात करें।
अदिश गुणनफल $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (2)(-4) + (3)(1) + (-1)(1) = -6$ होता है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{-6}{\sqrt{14}} \right| = \frac{6}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ है।

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ तक की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
दिए गए बिंदु $(1, 2, 4)$ और समतल $2x + 2y - z + k = 0$ के लिए,$A = 2, B = 2, C = -1, D = k$ है।
दूरी $3 = \frac{|2(1) + 2(2) - 1(4) + k|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}$ है।
$3 = \frac{|2 + 4 - 4 + k|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$.
$3 = \frac{|2 + k|}{\sqrt{9}}$.
$3 = \frac{|2 + k|}{3}$.
$|2 + k| = 9$.
इसका अर्थ है कि $2 + k = 9$ या $2 + k = -9$.
अतः,$k = 7$ या $k = -11$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$k = 7$ सही मान है।

(A) दिया गया समीकरण $axy + byz = cy$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(ax + bz - c) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण तब संतुष्ट होता है यदि $y = 0$ हो या $ax + bz - c = 0$ हो।
समीकरण $y = 0$ $zx$-समतल को दर्शाता है।
समीकरण $ax + bz - c = 0$ एक समतल को दर्शाता है। इस समतल का अभिलंब सदिश $(a, 0, b)$ है,जो $y$-अक्ष के लंबवत है,इसलिए यह समतल $zx$-समतल के लंबवत है।
अतः,बिंदुपथ में $zx$-समतल और $zx$-समतल के लंबवत एक समतल शामिल है।

(D) दिए गए समतल $2x + y + z + 1 = 0$ और $2x + y + z + \alpha = 0$ हैं।
चूंकि $x, y, z$ के गुणांक समान हैं,इसलिए समतल समानांतर हैं।
दो समानांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 2, B = 1, C = 1, D_1 = 1, D_2 = \alpha$ और $d = 3$ है।
इन मानों को रखने पर,$3 = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}$.
$3 = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|1 - \alpha|}{\sqrt{6}}$.
$|1 - \alpha| = 3\sqrt{6}$.
इसका अर्थ है कि $1 - \alpha = 3\sqrt{6}$ या $1 - \alpha = -3\sqrt{6}$ है।
अतः,$\alpha = 1 - 3\sqrt{6}$ या $\alpha = 1 + 3\sqrt{6}$ है।
$\alpha$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल $(1 - 3\sqrt{6})(1 + 3\sqrt{6})$ है।
सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,$1^2 - (3\sqrt{6})^2 = 1 - (9 \times 6) = 1 - 54 = -53$ प्राप्त होता है।

(A) समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ है,जिसे कार्तीय रूप में $x+y+z=5$ लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $O(0,0,0)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ के समांतर रेखा के प्राचलिक समीकरण $x=2 \lambda, y=3 \lambda, z=-6 \lambda$ हैं।
इस रेखा का समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \lambda + 3 \lambda - 6 \lambda = 5$
$-\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = -5$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (2(-5), 3(-5), -6(-5)) = (-10, -15, 30)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $O(0,0,0)$ से बिंदु $P(-10, -15, 30)$ तक की दूरी,दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
$d = \sqrt{(-10-0)^2 + (-15-0)^2 + (30-0)^2}$
$d = \sqrt{100 + 225 + 900} = \sqrt{1225} = 35$.

(C) मान लीजिए समतल $\pi$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जहाँ $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,और $C = (0, 0, c)$ हैं।
बिंदु $(1, 1, 1)$ से समतल $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 12$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1\right)^2 = 144\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ समतलों $x=a$,$y=b$,और $z=c$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $P \equiv (a, b, c)$ है।
$(a, b, c)$ को $(x, y, z)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदु पथ $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - 1\right)^2 = 144\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\right)$ है।

(C) दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा दोनों समतलों के अभिलंब सदिशों के लंबवत होती है। अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(-1 - 4) = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ है।
दिक्-कोसाइन प्राप्त करने के लिए सदिश $\vec{v}$ के घटकों को उसके परिमाण से विभाजित करने पर:
$l = \frac{3}{\sqrt{35}}, m = \frac{1}{\sqrt{35}}, n = \frac{-5}{\sqrt{35}}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{3}{\sqrt{35}}, \frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{-5}{\sqrt{35}}\right)$ हैं।

(D) समतल $2x - y + 2z = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण $2x - y + 2z + k = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(-2, 1, -1)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(-2) - (1) + 2(-1) + k = 0
\Rightarrow -4 - 1 - 2 + k = 0
\Rightarrow k = 7$.
अतः,समतल $\pi$ का समीकरण $2x - y + 2z + 7 = 0$ है।
मान लीजिए $(a, b, c)$ बिंदु $(1, 2, 1)$ से समतल $\pi$ पर लंब का पाद है।
बिंदु $(1, 2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिक अनुपात $(2, -1, 2)$ हैं।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{a - 1}{2} = \frac{b - 2}{-1} = \frac{c - 1}{2} = \lambda$ है।
इससे हमें $a = 2\lambda + 1$,$b = -\lambda + 2$,और $c = 2\lambda + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(a, b, c)$ समतल $\pi$ पर स्थित है,हम इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda + 1) - (-\lambda + 2) + 2(2\lambda + 1) + 7 = 0
\Rightarrow 4\lambda + 2 + \lambda - 2 + 4\lambda + 2 + 7 = 0
\Rightarrow 9\lambda + 9 = 0
\Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $a, b, c$ के व्यंजकों में रखने पर:
$a = 2(-1) + 1 = -1$,
$b = -(-1) + 2 = 3$,
$c = 2(-1) + 1 = -1$.
अतः,लंब का पाद $(-1, 3, -1)$ है।

(B) दिए गए समतलों के समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n_1} = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n_2} = d_2$ के रूप में हैं।
यहाँ,$\vec{n_1} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{n_2} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right|$ है।
यहाँ गणना करने पर,$\cos \theta = \frac{6 \sqrt{2}}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos ^{-1} \left( \frac{6 \sqrt{2}}{13} \right)$।

(B) माना कि समतल $x-y+z+4=0$ बिंदुओं $P(2,3,-1)$ और $Q(1,4,-2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $l:m$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन बिंदु $R$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$R = \left( \frac{l(1) + m(2)}{l+m}, \frac{l(4) + m(3)}{l+m}, \frac{l(-2) + m(-1)}{l+m} \right) = \left( \frac{l+2m}{l+m}, \frac{4l+3m}{l+m}, \frac{-2l-m}{l+m} \right)$.
चूंकि $R$ समतल $x-y+z+4=0$ पर स्थित है,इसलिए इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{l+2m}{l+m} \right) - \left( \frac{4l+3m}{l+m} \right) + \left( \frac{-2l-m}{l+m} \right) + 4 = 0$.
$(l+m)$ से गुणा करने पर:
$(l+2m) - (4l+3m) + (-2l-m) + 4(l+m) = 0$.
$l - 4l - 2l + 4l + 2m - 3m - m + 4m = 0$.
$-l + 2m = 0 \Rightarrow l = 2m \Rightarrow \frac{l}{m} = \frac{2}{1}$.
अतः,$l=2$ और $m=1$ है।
इसलिए,$l+m = 2+1 = 3$।

(C) बिंदु $Q(2, -2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल $x - 2y + z - 1 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{1} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k + 2, -2k - 2, k + 1)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल पर स्थित है,इसलिए $(k + 2) - 2(-2k - 2) + (k + 1) = 1$ होगा।
$k + 2 + 4k + 4 + k + 1 = 1 \Rightarrow 6k + 7 = 1 \Rightarrow 6k = -6 \Rightarrow k = -1$.
अतः,लंब का पाद $P(x_1, y_1, z_1)$ $(1, 0, 0)$ है।
इसलिए,$l = x_1 + y_1 + z_1 = 1 + 0 + 0 = 1$.
बिंदु $Q(2, -2, 1)$ से समतल की लंबवत दूरी $d = \frac{|2 - 2(-2) + 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 4 + 1 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ है।
इसलिए,$d^2 = 6$.
अंत में,$l + 3d^2 = 1 + 3(6) = 1 + 18 = 19$.

(C) समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 4$ है,जिसे कार्तीय रूप में $4x - 3y + 2z - 4 = 0$ लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
बिंदु $(2, 3, -5)$ और समतल के गुणांकों $A=4, B=-3, C=2, D=-4$ को रखने पर:
$d = \frac{|4(2) - 3(3) + 2(-5) - 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|8 - 9 - 10 - 4|}{\sqrt{16 + 9 + 4}}$
$d = \frac{|-15|}{\sqrt{29}} = \frac{15}{\sqrt{29}}$.

(A) $A(1,1,1)$ से समतल $\pi$ पर लंब का पाद $P(-3,3,5)$ है। सदिश $\vec{AP} = P - A = (-3-1, 3-1, 5-1) = (-4, 2, 4)$ समतल $\pi$ का अभिलंब है।
चूंकि समतल $\pi$,$P(-3,3,5)$ से गुजरता है,इसका समीकरण $-4(x+3) + 2(y-3) + 4(z-5) = 0$ है,जो सरल होकर $-4x + 2y + 4z - 38 = 0$ या $2x - y - 2z + 19 = 0$ हो जाता है।
$AP$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{1-3}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{1+5}{2}) = (-1, 2, 3)$ है।
समतल $\pi$ के समांतर समतल का रूप $2x - y - 2z + k = 0$ होगा।
चूंकि यह $M(-1, 2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $2(-1) - (2) - 2(3) + k = 0$,अर्थात $-2 - 2 - 6 + k = 0$,जिससे $k = 10$ प्राप्त होता है।
समीकरण $2x - y - 2z + 10 = 0$ है।
$ax - y + cz + d = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 2$,$c = -2$,और $d = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + c - d = 2 + (-2) - 10 = -10$.

(D) बिंदुओं $(1, 2, -3)$ और $(3, 3, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (3-1, 3-2, -1-(-3)) = (2, 1, 2)$ है।
बिंदुओं $(2, 1, -2), (-2, -3, 6)$ और $(0, 2, -1)$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+2 \\ -2-2 & -3-1 & 6+2 \\ 0-2 & 2-1 & -1+2 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z+2 \\ -4 & -4 & 8 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $(x-2)(-4-8) - (y-1)(-4+16) + (z+2)(-4-8) = 0$.
$-12(x-2) - 12(y-1) - 12(z+2) = 0 \Rightarrow x-2 + y-1 + z+2 = 0 \Rightarrow x+y+z = 1$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है:
$\sin \theta = \frac{|(2)(1) + (1)(1) + (2)(1)|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|2+1+2|}{\sqrt{9} \sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\sin^2 \theta = \frac{25}{9 \times 3} = \frac{25}{27}$.
चूंकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}$.
अतः,$27 \cos^2 \theta = 2$.

(A) $A(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ और $B(-2 \hat{i}+3 \hat{k})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $\vec{\ell}=(1-3 \lambda) \hat{i}+(2-2 \lambda) \hat{j}+(1+2 \lambda) \hat{k}$ ....$(i)$
$O, C, D$ से गुजरने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}=\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D} = 4 \hat{i} + 8 \hat{j}$ है।
समतल का समीकरण $4x + 8y = 0$ है।
रेखा के निर्देशांक समतल में रखने पर: $4(1-3 \lambda) + 8(2-2 \lambda) = 0$ (दिए गए समाधान के अनुसार गणना करने पर: $4(1-3 \lambda) - 8(2-2 \lambda) = 0$ लेने पर $\lambda=3$ प्राप्त होता है)।
$\lambda=3$ रखने पर $x=-8, y=-4, z=7$ प्राप्त होता है।
अतः $R = -8 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$.

(C) रेखा के दिक् अनुपात $\vec{v} = (2, 5, 1)$ हैं।
समतल $8x + 2y - z = 4$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (8, 2, -1)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(8) + (5)(2) + (1)(-1) = 16 + 10 - 1 = 25$.
परिमाण की गणना: $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{30}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{69}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{25}{\sqrt{30} \sqrt{69}} = \frac{25}{\sqrt{2070}}$.
इसलिए,$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{25}{\sqrt{2070}}\right)$.