AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $E = \sin ^2 76^{\circ}+\sin ^2 16^{\circ}-\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$ है।
सर्वसमिका $2\sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [ (1 - \cos 152^{\circ}) + (1 - \cos 32^{\circ}) ] - \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$
$E = 1 - \frac{1}{2} [ \cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} ] - \sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cos 60^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cdot \frac{1}{2} = \cos 92^{\circ}$
साथ ही,$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin 76^{\circ} \sin 16^{\circ} = \frac{1}{2} [ \cos 60^{\circ} - \cos 92^{\circ} ] = \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} - \cos 92^{\circ} ] = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ}$
इन मानों को $E$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 - \frac{1}{2} [ \cos 92^{\circ} ] - [ \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} ]$
$E = 1 - \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(D) माना $f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3$.
$f(\theta) = \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta + 3$.
व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta$ का मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ और $\sqrt{a^2 + b^2}$ के बीच होता है।
यहाँ,$a = \frac{13}{2}$ और $b = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$-7 \leq \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta \leq 7$.
सभी पदों में $3$ जोड़ने पर:
$-4 \leq f(\theta) \leq 10$.

(A) दिया गया है $3 \sin (\alpha-\beta)=5 \cos (\alpha+\beta)$.
पदों का विस्तार करने पर,$3(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 5(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sin \alpha(3 \cos \beta + 5 \sin \beta) = \cos \alpha(5 \cos \beta + 3 \sin \beta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{5 \cos \beta + 3 \sin \beta}{3 \cos \beta + 5 \sin \beta} = \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}$.
अब,$\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{1 + \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}}{1 - \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}} = \frac{8(1 + \tan \beta)}{-2(1 - \tan \beta)} = -4 \tan \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)$.
इसलिए,$\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + 4 \tan \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = 0$.

(C) दिया गया है $\sin x + \sin y = \alpha$ और $\cos x + \cos y = \beta$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \alpha$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \beta$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{\alpha}{\beta}$
सर्वसमिका $\sin(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x+y) = \frac{2(\alpha/\beta)}{1 + (\alpha/\beta)^2} = \frac{2 \alpha \beta}{\beta^2 + \alpha^2}$
अतः,$\operatorname{cosec}(x+y) = \frac{1}{\sin(x+y)} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2 \alpha \beta}$।

(A) दिया गया है $A=10^{\circ}, B=16^{\circ}, C=19^{\circ}$.
तब $2A=20^{\circ}, 2B=32^{\circ}, 2C=38^{\circ}$.
योग $2A+2B+2C = 20^{\circ}+32^{\circ}+38^{\circ} = 90^{\circ}$.
किन्हीं तीन कोणों $X, Y, Z$ के लिए यदि $X+Y+Z=90^{\circ}$ है,तो $\tan X \tan Y + \tan Y \tan Z + \tan Z \tan X = 1$ होता है।
$X=2A, Y=2B, Z=2C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan 2A \tan 2B + \tan 2B \tan 2C + \tan 2C \tan 2A = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ सामान्य सर्वसमिका को दर्शाता है: यदि $X+Y+Z=90^{\circ}$ है,तो $\tan X \tan Y + \tan Y \tan Z + \tan Z \tan X = 1$.
यह कथन को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया गया सही गणितीय सिद्धांत है।
इसलिए,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) हम सर्वसमिका $\tan \theta - \cot \theta = -2 \cot 2 \theta$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $S = \tan \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$।
$\cot \alpha$ जोड़ने और घटाने पर:
$S = (\tan \alpha - \cot \alpha) + \cot \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = -2 \cot 2 \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -2(\cot 2 \alpha - \tan 2 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
चूंकि $\cot 2 \alpha - \tan 2 \alpha = 2 \cot 4 \alpha$,इसलिए:
$S = -2(2 \cot 4 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -4 \cot 4 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -4(\cot 4 \alpha - \tan 4 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
चूंकि $\cot 4 \alpha - \tan 4 \alpha = 2 \cot 8 \alpha$,इसलिए:
$S = -4(2 \cot 8 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha$
$S = -8 \cot 8 \alpha + 8 \cot 8 \alpha + \cot \alpha = \cot \alpha$।

(B) हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\tan (60^{\circ}-A) \tan A \tan (60^{\circ}+A) = \tan 3A$.
दी गई अभिव्यक्ति: $E = \tan 6^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 66^{\circ} \tan 78^{\circ}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E = (\tan 6^{\circ} \tan 66^{\circ}) \times (\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ})$.
सर्वसमिका $\tan (60^{\circ}-A) \tan (60^{\circ}+A) = \frac{\tan 3A}{\tan A}$ का उपयोग करते हुए:
पहले भाग के लिए: $\tan 6^{\circ} \tan 66^{\circ} = \tan 6^{\circ} \tan (60^{\circ}+6^{\circ}) = \frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 54^{\circ}}$.
दूसरे भाग के लिए: $\tan 42^{\circ} \tan 78^{\circ} = \tan (60^{\circ}-18^{\circ}) \tan (60^{\circ}+18^{\circ}) = \frac{\tan 54^{\circ}}{\tan 18^{\circ}}$.
इनका गुणा करने पर: $E = \left( \frac{\tan 18^{\circ}}{\tan 54^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\tan 54^{\circ}}{\tan 18^{\circ}} \right) = 1$.

(B) योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ और $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$.
इन सूत्रों को व्यंजक में लागू करने पर:
$\frac{\cos 10^{\circ} + \cos 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ} - \sin 10^{\circ}} = \frac{2 \cos \left( \frac{80^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \right) \cos \left( \frac{80^{\circ} - 10^{\circ}}{2} \right)}{2 \cos \left( \frac{80^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \right) \sin \left( \frac{80^{\circ} - 10^{\circ}}{2} \right)}$
$= \frac{\cos 45^{\circ} \cos 35^{\circ}}{\cos 45^{\circ} \sin 35^{\circ}}$
$= \cot 35^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 35^{\circ}) = \tan 55^{\circ}$.

(D) दिया गया है $540^{\circ} < A < 630^{\circ}$,जो $3\pi < A < \frac{7\pi}{2}$ है।
इस अंतराल में,$A$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos A < 0$ और $\tan A > 0$ है।
चूँकि $|\cos A| = \frac{5}{13}$ और $\cos A < 0$,इसलिए $\cos A = -\frac{5}{13}$ है।
$\tan A = \sqrt{\sec^2 A - 1}$ का उपयोग करने पर,$\tan A = \sqrt{(\frac{13}{5})^2 - 1} = \frac{12}{5}$ प्राप्त होता है।
$\tan \frac{A}{2}$ के लिए,$\cos A = \frac{1 - \tan^2(A/2)}{1 + \tan^2(A/2)}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$-\frac{5}{13} = \frac{1 - \tan^2(A/2)}{1 + \tan^2(A/2)}$ $\Rightarrow 8\tan^2(A/2) = 18$ $\Rightarrow \tan^2(A/2) = \frac{9}{4}$ है।
चूँकि $270^{\circ} < \frac{A}{2} < 315^{\circ}$ है,इसलिए $\frac{A}{2}$ चौथे चतुर्थांश में है,अतः $\tan \frac{A}{2} = -\frac{3}{2}$ है।
अतः,$\tan \frac{A}{2} \tan A = (-\frac{3}{2}) \times (\frac{12}{5}) = -\frac{18}{5}$।

(A) दी गई व्यंजक: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - \tan 63^{\circ} - \tan 27^{\circ}$ है।
$\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए:
$= (\cot 9^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\cot 27^{\circ} + \tan 27^{\circ})$.
$\cot \theta + \tan \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
$= 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$.
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right) = 4 \frac{\cos 36^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 54^{\circ} = \cos 36^{\circ}$ है,इसलिए उत्तर $4$ प्राप्त होता है।

(C) हमारे पास व्यंजक $E = \cos 6^{\circ} \sin 24^{\circ} \cos 72^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$,हम लिख सकते हैं $E = \cos 6^{\circ} \sin 24^{\circ} \sin 18^{\circ}$।
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $E = \frac{1}{2} (2 \sin 24^{\circ} \cos 6^{\circ}) \sin 18^{\circ}$।
सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} (\sin 30^{\circ} + \sin 18^{\circ}) \sin 18^{\circ}$।
$E = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 18^{\circ} + \sin^2 18^{\circ})$।
दिया गया है $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$,इसलिए $\sin^2 18^{\circ} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{5}-1}{8} + \frac{3-\sqrt{5}}{8}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{8}) = \frac{1}{8}$।

(A) माना $K = \sum_{k=1}^{7} \tan^2 \frac{k\pi}{16}$.
गुणधर्म $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = \frac{8}{1 - \cos 4\theta} - 2$ का उपयोग करते हुए.
पदों को इस प्रकार समूहित करें:
$K = (\tan^2 \frac{\pi}{16} + \cot^2 \frac{\pi}{16}) + (\tan^2 \frac{\pi}{8} + \cot^2 \frac{\pi}{8}) + (\tan^2 \frac{3\pi}{16} + \cot^2 \frac{3\pi}{16}) + 1$.
प्रत्येक समूह के लिए मान ज्ञात करने पर:
$\theta = \frac{\pi}{16}$ के लिए,योग $= 14 + 8\sqrt{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{8}$ के लिए,योग $= 6$.
$\theta = \frac{3\pi}{16}$ के लिए,योग $= 14 - 8\sqrt{2}$.
कुल योग $K = (14 + 8\sqrt{2}) + 6 + (14 - 8\sqrt{2}) + 1 = 35$.

(A) $\sin(180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ का उपयोग करके,पदों को सरल करने पर योग $\frac{11}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = 12 \sin x - 5 \cos x + 3$ है।
हम जानते हैं कि $a \sin x + b \cos x$ के रूप के किसी भी व्यंजक के लिए,परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 12$ और $b = -5$ है।
अतः,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ है।
इस प्रकार,$-13 \leq 12 \sin x - 5 \cos x \leq 13$ है।
सभी भागों में $3$ जोड़ने पर:
$-13 + 3 \leq 12 \sin x - 5 \cos x + 3 \leq 13 + 3$।
$-10 \leq f(x) \leq 16$।
अतः,$f(x)$ का अधिकतम मान $16$ है।

(C) दिया गया है,$\tan(\theta+100^{\circ})=\tan(\theta+50^{\circ}) \tan(\theta) \tan(\theta-50^{\circ})$.
सरल करने पर,$\frac{\sin(2\theta+50^{\circ})}{\sin(150^{\circ})} = \frac{\cos(50^{\circ})}{-\cos(2\theta+50^{\circ})}$.
$\Rightarrow \sin(4\theta+100^{\circ}) = -\cos(50^{\circ}) = \sin(220^{\circ})$.
$4\theta+100^{\circ} = 220^{\circ}$ $\Rightarrow 4\theta = 120^{\circ}$ $\Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
दिया है $4r_1 = 5r_2 = 6r_3 = \lambda$।
अतः $s-a = \frac{\lambda}{4}$,$s-b = \frac{\lambda}{5}$,और $s-c = \frac{\lambda}{6}$।
योग करने पर: $(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$।
अतः,$s = \lambda(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{37\lambda}{60}$।
इसलिए $a = s - (s-a) = \frac{22\lambda}{60}$,$b = \frac{25\lambda}{60}$,$c = \frac{27\lambda}{60}$।
सूत्र $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ आदि का उपयोग करने पर,योग $\frac{25}{33}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$r r_1 \cot \frac{A}{2} = \left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{s(s-a)}{\Delta}\right) = \Delta$.
इसी प्रकार,$r r_2 \cot \frac{B}{2} = \Delta$ और $r r_3 \cot \frac{C}{2} = \Delta$.
अतः,योग $\Delta + \Delta + \Delta = 3 \Delta$ है।

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ एक त्रिभुज के कोण हैं,अतः $A + B + C = \pi$.
सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2C = 2 \sin(A+C) \cos(A-C)$ का उपयोग करने पर।
चूँकि $A+C = \pi - B$,इसलिए $\sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ होगा।
अतः,$\sin 2A + \sin 2C = 2 \sin B \cos(A-C)$.
अब,व्यंजक है:
$\sin 2A - \sin 2B + \sin 2C = (\sin 2A + \sin 2C) - \sin 2B$
$= 2 \sin B \cos(A-C) - 2 \sin B \cos B$
$= 2 \sin B [\cos(A-C) - \cos B]$
चूँकि $B = \pi - (A+C)$,इसलिए $\cos B = \cos(\pi - (A+C)) = -\cos(A+C)$।
$= 2 \sin B [\cos(A-C) + \cos(A+C)]$
$\cos(A-C) + \cos(A+C) = 2 \cos A \cos C$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin B [2 \cos A \cos C] = 4 \cos A \sin B \cos C$.

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,अतः $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
$B = 60^{\circ}$ को समीकरण में रखने पर: $\cos A + \cos 60^{\circ} + \cos C = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$।
$\cos A + \cos C = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $2 \cos \left( \frac{A+C}{2} \right) \cos \left( \frac{A-C}{2} \right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$।
चूँकि $A+C = 120^{\circ}$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = 60^{\circ}$,अतः $\cos \left( \frac{A-C}{2} \right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \cos 75^{\circ}$।
इस प्रकार,$\frac{A-C}{2} = 15^{\circ}$,अर्थात $A-C = 30^{\circ}$।
$A+C = 120^{\circ}$ और $A-C = 30^{\circ}$ को हल करने पर $A = 75^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अंततः,$\tan A = \tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin ^2 \frac{A}{2}-\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2}-1}$
$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर,अंश $2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{C}{2})$ हो जाता है।
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$।
अंश $= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2}) = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$।
हर के लिए: $\sin ^2 \frac{A}{2} - \sin ^2 \frac{B}{2} + \sin ^2 \frac{C}{2} - 1 = \sin ^2 \frac{A}{2} - \sin ^2 \frac{B}{2} - \cos ^2 \frac{C}{2} = \sin(\frac{A-B}{2}) \sin(\frac{A+B}{2}) - \cos^2 \frac{C}{2}$।
$\sin(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर,हर $= \cos \frac{C}{2} (\sin \frac{A-B}{2} - \sin \frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} (-2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})$।
अंश को हर से विभाजित करने पर: $\frac{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}{-2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} = -2 \cot \frac{B}{2}$।

(A) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ है।
सबसे पहले,गुणनफल $P_1 = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7}$ पर विचार करें।
$\theta = \frac{\pi}{7}$ का उपयोग करते हुए,$P_1 = \frac{\sin(8\pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = \frac{\sin(\pi + \pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = \frac{-\sin(\pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,गुणनफल $P_2 = \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\cos \theta \cos 2\theta = \frac{\sin 4\theta}{4 \sin \theta}$ का उपयोग करते हुए,$P_2 = \frac{\sin(4\pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{\sin(\pi - \pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{\sin(\pi/5)}{4 \sin(\pi/5)} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल व्यंजक $4 \times P_1 \times P_2 = 4 \times (-\frac{1}{8}) \times (\frac{1}{4}) = -\frac{1}{8}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $a \cos x + a \sin x + a = 2K + 1$ है।
हम व्यंजक को $a(\cos x + \sin x) + a = 2K + 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$ का उपयोग करने पर,हमें $a[\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1] = 2K + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \leq \cos(x - \frac{\pi}{4}) \leq 1$,इसलिए $\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) + 1$ का परिसर $[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$ है।
$a$ से गुणा करने पर ($a > 0$ मानते हुए),हमें $a(1 - \sqrt{2}) \leq 2K + 1 \leq a(1 + \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
$K$ के लिए हल करने पर: $a - a\sqrt{2} - 1 \leq 2K \leq a + a\sqrt{2} - 1$।
अतः,$K \in \left[\frac{a - a\sqrt{2} - 1}{2}, \frac{a + a\sqrt{2} - 1}{2}\right]$।
यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 5x + 3 \sin 3x = 0$
सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3x \cos 2x + 3 \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 3) = 0$
चूँकि $2 \cos 2x + 3 = 0$ का अर्थ है $\cos 2x = -\frac{3}{2}$,जो असंभव है क्योंकि $-1 \le \cos 2x \le 1$,इसलिए $\sin 3x = 0$ होना चाहिए।
अतः,$3x = n\pi$,या $x = \frac{n\pi}{3}$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$\sin x$ के मानों का समुच्चय $\{\sin(0), \sin(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{2\pi}{3}), \sin(\pi), \sin(\frac{4\pi}{3}), \sin(\frac{5\pi}{3})\}$ है।
इनकी गणना करने पर: $\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ प्राप्त होता है।
भिन्न मानों का समुच्चय $\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \cos 2x - 4 \sqrt{3} \sin 2x + \cos 3x - \sqrt{3} \sin 3x + \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$
पदों को समूहित करने पर: $4(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x) + (\cos 3x + \cos x) - \sqrt{3}(\sin 3x + \sin x) = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $4(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x) + 2 \cos 2x \cos x - 2 \sqrt{3} \sin 2x \cos x = 0$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $2(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x)(2 + \cos x) = 0$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $2 + \cos x \neq 0$,इसलिए $\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x = 0$
$\Rightarrow \cos 2x = \sqrt{3} \sin 2x$ $\Rightarrow \tan 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 2x = n \pi + \frac{\pi}{6}$
$\Rightarrow x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{12}$

(A) दिया गया समीकरण: $2 \cos^2 x - 2 \tan x + 1 = 0$.
हम जानते हैं कि $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$1 + \cos 2x - 2 \tan x + 1 = 0$,जो $\cos 2x - 2 \tan x + 2 = 0$ में सरल होता है।
$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} - 2(\tan x - 1) = 0$.
$(\tan x - 1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$(\tan x - 1) [\frac{1 + \tan x}{1 + \tan^2 x} + 2] = 0$.
स्थिति $1$: $\tan x - 1 = 0$ $\Rightarrow \tan x = 1$ $\Rightarrow x = n \pi + \frac{\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $2 \tan^2 x + \tan x + 3 = 0$.
यहाँ विविक्तकर $D = 1^2 - 4(2)(3) = -23 < 0$ है,इसलिए इस स्थिति में कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,व्यापक हल $x = n \pi + \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cot \frac{x}{2} - \cot x = \operatorname{cosec} \frac{x}{2}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin(x/2)}$
$\sin(x/2)$ से गुणा करने पर (मान लीजिए $\sin(x/2) \neq 0$):
$\cos(x/2) - \frac{\cos x \cdot \sin(x/2)}{\sin x} = 1$
$\cos(x/2) - \frac{\cos x \cdot \sin(x/2)}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = 1$
$\cos(x/2) - \frac{\cos x}{2 \cos(x/2)} = 1$
$2 \cos^2(x/2) - \cos x = 2 \cos(x/2)$
चूंकि $2 \cos^2(x/2) = 1 + \cos x$:
$1 + \cos x - \cos x = 2 \cos(x/2)$
$1 = 2 \cos(x/2) \Rightarrow \cos(x/2) = \frac{1}{2}$
$\cos(x/2) = \cos(\frac{\pi}{3})$
$\frac{x}{2} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$x = 4n\pi \pm \frac{2\pi}{3}, n \in Z$

(D) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=\sin x$ है।
चूंकि योग $4+2 \sqrt{3}$ है,इसलिए $\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$ होगा।
व्युत्क्रम लेने पर,$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$0 < x < \pi$ के लिए,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{2 \pi}{3}$ हैं।

(D) दिए गए समीकरण $\sin x + \sin y = \sin(x + y)$ और $|x| + |y| = 1$ हैं।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$.
इसका अर्थ है $\sin \frac{x+y}{2} [\cos \frac{x-y}{2} - \cos \frac{x+y}{2}] = 0$.
$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin \frac{x+y}{2} [2 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}] = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \frac{x+y}{2} = 0$ या $\sin \frac{x}{2} = 0$ या $\sin \frac{y}{2} = 0$.
इससे $x + y = 0$ या $x = 0$ या $y = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x + y = 0$,तो $|x| + |-x| = 1$ $\Rightarrow 2|x| = 1$ $\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$. युग्म: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
स्थिति $2$: यदि $x = 0$,तो $|0| + |y| = 1$ $\Rightarrow |y| = 1$ $\Rightarrow y = \pm 1$. युग्म: $(0, 1), (0, -1)$.
स्थिति $3$: यदि $y = 0$,तो $|x| + |0| = 1$ $\Rightarrow |x| = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$. युग्म: $(1, 0), (-1, 0)$.
कुल भिन्न क्रमित युग्मों की संख्या $2 + 2 + 2 = 6$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta + 3 \cos^2 \theta = 5 \sin \theta$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^2 \theta + 3(1 - \sin^2 \theta) = 5 \sin \theta$
$\sin^2 \theta + 3 - 3 \sin^2 \theta = 5 \sin \theta$
$-2 \sin^2 \theta - 5 \sin \theta + 3 = 0$
$2 \sin^2 \theta + 5 \sin \theta - 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 3) = 0$
इससे $\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \le \sin \theta \le 1$,हम $\sin \theta = -3$ को छोड़ देते हैं।
$\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$ के लिए,व्यापक हल $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in Z$ है।

(A) दिया गया है कि $P+Q+R=\frac{\pi}{4}$.
त्रिकोणमितीय योग सूत्रों का उपयोग करने पर,परिणाम $4 \cos \frac{P}{2} \cos \frac{Q}{2} \cos \frac{R}{2}-\cos \frac{\pi}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \tan 2 \theta - \cot 2 \theta + 1 = 0$.
माना $x = \tan 2 \theta$. तब $\cot 2 \theta = \frac{1}{x}$.
समीकरण $2x - \frac{1}{x} + 1 = 0$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $2x^2 + x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x - 1)(x + 1) = 0$,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = -1$.
स्थिति $1$: $\tan 2 \theta = -1$.
$2 \theta = n \pi - \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} - \frac{\pi}{8}$.
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,संभावित मान $\theta = \frac{3 \pi}{8}$ $(n=1)$ और $\theta = \frac{7 \pi}{8}$ $(n=2)$ हैं।
स्थिति $2$: $\tan 2 \theta = \frac{1}{2}$.
$2 \theta = n \pi + \tan^{-1}(\frac{1}{2}) \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$.
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,संभावित मान $\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ $(n=0)$ और $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ $(n=1)$ हैं।
अतः,अंतराल $[0, \pi]$ में कुल $2 + 2 = 4$ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan x + \tan 2x - \tan 3x = 0$
हम जानते हैं कि $\tan 3x = \tan(x + 2x) = \frac{\tan x + \tan 2x}{1 - \tan x \tan 2x}$
अतः,$\tan x + \tan 2x = \tan 3x(1 - \tan x \tan 2x)$
$\tan x + \tan 2x = \tan 3x - \tan x \tan 2x \tan 3x$
$\tan x + \tan 2x - \tan 3x = -\tan x \tan 2x \tan 3x$
चूंकि दिया गया समीकरण $\tan x + \tan 2x - \tan 3x = 0$ है,इसलिए:
$-\tan x \tan 2x \tan 3x = 0$
इसका अर्थ है कि $\tan x = 0$ या $\tan 2x = 0$ या $\tan 3x = 0$
$\tan x = 0$ के लिए,$x = n\pi$
$\tan 2x = 0$ के लिए,$2x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{2}$
$\tan 3x = 0$ के लिए,$3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$
इन सबको मिलाने पर,हल का समुच्चय $\left\{x \mid x = \frac{n\pi}{3}, n \in Z\right\}$ है।

(D) दिया गया है $\tanh x = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \frac{3}{5}$.
$5e^{2x} - 5 = 3e^{2x} + 3$ $\Rightarrow 2e^{2x} = 8$ $\Rightarrow e^{2x} = 4$ $\Rightarrow e^x = 2$.
दिया गया है $\operatorname{sech} y = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{2}{e^y + e^{-y}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \frac{2e^y}{e^{2y} + 1} = \frac{3}{5}$.
$10e^y = 3e^{2y} + 3 \Rightarrow 3(e^y)^2 - 10e^y + 3 = 0$.
माना $t = e^y$,तब $3t^2 - 10t + 3 = 0$ $\Rightarrow (3t - 1)(t - 3) = 0$ $\Rightarrow t = 3$ या $t = \frac{1}{3}$.
चूंकि $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$,इसलिए $e^{x+y} = 2 \times 3 = 6$ या $e^{x+y} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $e^{x+y}$ एक पूर्णांक है,इसलिए $e^{x+y} = 6$.

(A) दिया गया है: $\cos \alpha+4 \cos \beta+9 \cos \gamma=0$ और $\sin \alpha+4 \sin \beta+9 \sin \gamma=0$.
माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,$z_3 = e^{i\gamma}$.
समीकरणों को $z_1 + 4z_2 + 9z_3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$4z_2 = -(z_1 + 9z_3)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16|z_2|^2 = |z_1 + 9z_3|^2 = |z_1|^2 + 81|z_3|^2 + 18 \text{Re}(z_1 \bar{z_3})$.
चूंकि $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$,हमारे पास $16 = 1 + 81 + 18 \cos(\alpha - \gamma)$ $\Rightarrow 18 \cos(\alpha - \gamma) = -66$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \gamma) = -\frac{11}{3}$ है।
इसी प्रकार,$9z_3 = -(z_1 + 4z_2)$ $\Rightarrow 81 = 1 + 16 + 8 \cos(\alpha - \beta)$ $\Rightarrow 8 \cos(\alpha - \beta) = 64$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \beta) = 8$ है।
अब,$81 \cos(2\gamma - 2\alpha) = 81(2 \cos^2(\gamma - \alpha) - 1) = 81(2(-\frac{11}{3})^2 - 1) = 2097$ है।
और $16 \cos(2\beta - 2\alpha) = 16(2 \cos^2(\beta - \alpha) - 1) = 16(2(8)^2 - 1) = 2032$ है।
अतः,$2097 - 2032 = 65$ है।
विकल्पों की जांच करने पर: $1 + 8 \cos(\beta - \alpha) = 1 + 8(8) = 65$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $8^{1+\cos ^2 x+\cos ^4 x+\ldots}=4^3$ है।
चूंकि घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=\cos^2 x$ है,जहाँ $|\cos^2 x| < 1$,योग $\frac{1}{1-\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $8^{\frac{1}{\sin^2 x}} = 4^3$.
दोनों पक्षों को आधार $2$ में व्यक्त करने पर: $(2^3)^{\frac{1}{\sin^2 x}} = (2^2)^3$.
$2^{\frac{3}{\sin^2 x}} = 2^6$.
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{3}{\sin^2 x} = 6$.
$\sin^2 x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
वर्गमूल लेने पर: $\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x \in (-\pi, \pi)$ के लिए,हल $x = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $H$,$\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है और $AH=x, BH=y, CH=z$ है।
किसी भी त्रिभुज में,लंबकेंद्र से शीर्षों की दूरी $AH=2R \cos A$,$BH=2R \cos B$,और $CH=2R \cos C$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,$x=2R \cos A, y=2R \cos B, z=2R \cos C$ है।
हम जानते हैं कि $a=2R \sin A, b=2R \sin B, c=2R \sin C$ है।
इसलिए,$\frac{a}{x} = \frac{2R \sin A}{2R \cos A} = \tan A$ है।
इसी प्रकार,$\frac{b}{y} = \tan B$ और $\frac{c}{z} = \tan C$ है।
हमें $\frac{abc}{xyz} = \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{y} \cdot \frac{c}{z} = \tan A \tan B \tan C$ का मान ज्ञात करना है।
किसी भी त्रिभुज में,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
अतः,$\frac{abc}{xyz} = \tan A + \tan B + \tan C = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ है।

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ है।
रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ और रेखा $lx + my + n = 0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:
$\text{Area} = \frac{n^2 \sqrt{h^2 - ab}}{|am^2 - 2hlm + bl^2|}$
यहाँ,$a = 23$,$h = -24$,$b = 3$,$l = 2$,$m = 3$,और $n = 5$ है।
सबसे पहले,$\sqrt{h^2 - ab} = \sqrt{(-24)^2 - (23)(3)} = \sqrt{576 - 69} = \sqrt{507} = 13 \sqrt{3}$ की गणना करें।
इसके बाद,हर $|am^2 - 2hlm + bl^2| = |23(3)^2 - 2(-24)(2)(3) + 3(2)^2| = |207 + 288 + 12| = 507$ की गणना करें।
अब,मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{25 \times 13 \sqrt{3}}{507} = \frac{25}{13 \sqrt{3}} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) चरण $1$: अक्षों का स्थानांतरण।
दिया गया मूल बिंदु $(x, y) = (-1, 2)$ और नया मूल बिंदु $(h, k) = (2, -1)$ है।
नए निर्देशांक $(a, b) = (x - h, y - k) = (-1 - 2, 2 - (-1)) = (-3, 3)$ हैं।
चरण $2$: अक्षों का घूर्णन।
अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाने पर,नए निर्देशांक $(c, d)$:
$c = a \cos 45^{\circ} + b \sin 45^{\circ} = -3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$d = -a \sin 45^{\circ} + b \cos 45^{\circ} = 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 3\sqrt{2}$.
अतः,$(c, d) = (0, 3\sqrt{2})$ है।
चरण $3$: $y = x$ पर परावर्तन।
बिंदु $(x, y)$ का $y = x$ पर परावर्तन $(y, x)$ होता है।
इसलिए,$(0, 3\sqrt{2})$ का परावर्तन $(3\sqrt{2}, 0)$ होगा।
अतः,$(e, f) = (3\sqrt{2}, 0)$।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $6 x^2+13 x y+6 y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(3 x+2 y)(2 x+3 y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: 3 x+2 y=0$ और $L_2: 2 x+3 y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+2 y+3=0$ है।
शीर्ष ज्ञात करने पर:
$1$) $L_1$ और $L_2$: $(0, 0)$।
$2$) $L_1$ और $L_3$: $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$।
$3$) $L_2$ और $L_3$: $(9, -6)$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| = \frac{45}{8}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया समीकरण: $x^2-y^2+2y-1=0$.
मान लीजिए कि मूलबिंदु को $(0, k)$ पर स्थानांतरित किया गया है ताकि $x=X$ और $y=Y+k$ हो।
समीकरण में मान रखने पर:
$X^2-(Y+k)^2+2(Y+k)-1=0$
$X^2-(Y^2+2kY+k^2)+2Y+2k-1=0$
$X^2-Y^2+Y(2-2k)-k^2+2k-1=0$.
$Y$-पद को हटाने के लिए,$Y$ के गुणांक को शून्य के बराबर रखें:
$2-2k=0 \Rightarrow k=1$.
$k=1$ का मान समीकरण में रखने पर:
$X^2-Y^2-(1)^2+2(1)-1=0$
$X^2-Y^2-1+2-1=0$
$X^2-Y^2=0$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $x^2-y^2=0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $2x^2 - 3y^2 + 4xy + 4x + 4y - 14 = 0$.
माना मूल बिंदु $(h, k)$ पर स्थानांतरित होता है,इसलिए $x = X + h$ और $y = Y + k$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2(X+h)^2 - 3(Y+k)^2 + 4(X+h)(Y+k) + 4(X+h) + 4(Y+k) - 14 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर: $2X^2 - 3Y^2 + 4XY + (4h + 4k + 4)X + (4h - 6k + 4)Y + (2h^2 - 3k^2 + 4hk + 4h + 4k - 14) = 0$.
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांकों को शून्य लेने पर:
$4h + 4k + 4 = 0 \Rightarrow h + k = -1$
$4h - 6k + 4 = 0 \Rightarrow 2h - 3k = -2$
इन समीकरणों को हल करने पर: $h = -1, k = 0$.
अतः,रूपांतरण $x = X - 1$ और $y = Y$ है।
अब,इन मानों को $x^2 + y^2 - 3xy + 4y + 3 = 0$ में रखने पर:
$(X - 1)^2 + Y^2 - 3(X - 1)Y + 4Y + 3 = 0$
$X^2 - 2X + 1 + Y^2 - 3XY + 3Y + 4Y + 3 = 0$
$X^2 + Y^2 - 3XY - 2X + 7Y + 4 = 0$.

(B) दी गई रेखाएँ हैं:
$x+y+2=0 \quad \dots(i)$
$2x+y+8=0 \quad \dots(ii)$
$x-y-2=0 \quad \dots(iii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x=-6, y=4$. अतः शीर्ष $(-6, 4)$ है।
$(i)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$x=0, y=-2$. अतः शीर्ष $(0, -2)$ है।
$(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$x=-2, y=-4$. अतः शीर्ष $(-2, -4)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(-6, 4), B(0, -2), C(-2, -4)$ हैं।
$AB$ की ढाल $= -1$ और $BC$ की ढाल $= 1$ है,इसलिए त्रिभुज $B$ पर समकोण है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $= \left(\frac{-6-2}{2}, \frac{4-4}{2}\right) = (-4, 0)$.

(D) त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0,0)$,$A(3,0,0)$,और $B(0,4,0)$ हैं।
मान लीजिए भुजाओं की लंबाई $a, b, c$ है जो क्रमशः शीर्ष $A, B, O$ के सम्मुख हैं।
$a = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = 5$.
$b = |\overrightarrow{OB}| = 4$.
$c = |\overrightarrow{OA}| = 3$.
अंतःकेंद्र $I$ के निर्देशांक $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c} \right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर: $I = \left( \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(0)}{5+4+3} \right)$.
$I = \left( \frac{12}{12}, \frac{12}{12}, \frac{0}{12} \right) = (1, 1, 0)$.

(B) माना कोण $3x, 2x, x$ हैं।
चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $3x + 2x + x = 180^{\circ}$।
$6x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,कोण $A = 90^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,भुजाओं का अनुपात $a: b: c = \sin A: \sin B: \sin C$ है।
$a: b: c = \sin 90^{\circ}: \sin 60^{\circ}: \sin 30^{\circ}$।
$a: b: c = 1: \frac{\sqrt{3}}{2}: \frac{1}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,$a: b: c = 2: \sqrt{3}: 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना भुजाएँ $a=BC=5$,$b=CA=6$,और $c=AB=7$ हैं।
शीर्ष $B$ से भुजा $AC$ पर खींची गई माध्यिका $m_b$ की लंबाई का सूत्र है:
$m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}}$
मान रखने पर:
$m_b = \sqrt{\frac{2(5)^2 + 2(7)^2 - (6)^2}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{2(25) + 2(49) - 36}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{50 + 98 - 36}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{112}{4}}$
$m_b = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

(B) माना भुजाएँ $c = 6k$,$a = 4k$,और $b = 5k$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{6k + 4k + 5k}{2} = \frac{15k}{2}$ है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \times \frac{7k}{2} \times \frac{5k}{2} \times \frac{3k}{2}} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$ है।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$ है।
अंतःवृत्त त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$ है।
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{16}{7}$।

(A) माना शीर्ष $A(2,2)$,$B(5,1)$,और $C(4,4)$ हैं।
लंबकेंद्र ज्ञात करने के लिए,हम दो शीर्षलंबों के समीकरण ज्ञात करते हैं।
$BC$ की ढाल $= \frac{4-1}{4-5} = \frac{3}{-1} = -3$ है।
$A(2,2)$ से $BC$ पर शीर्षलंब की ढाल $m_1 = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$ है।
$A$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y-2 = \frac{1}{3}(x-2)$ $\Rightarrow 3y-6 = x-2$ $\Rightarrow x-3y = -4 \quad \dots(i)$।
$AC$ की ढाल $= \frac{4-2}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$ है।
$B(5,1)$ से $AC$ पर शीर्षलंब की ढाल $m_2 = -\frac{1}{1} = -1$ है।
$B$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y-1 = -1(x-5)$ $\Rightarrow y-1 = -x+5$ $\Rightarrow x+y = 6 \quad \dots(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को $3$ से गुणा करके जोड़ने पर: $(x-3y) + 3(x+y) = -4 + 18$ $\Rightarrow 4x = 14$ $\Rightarrow x = \frac{7}{2}$।
$x = \frac{7}{2}$ को $(ii)$ में रखने पर: $\frac{7}{2} + y = 6 \Rightarrow y = 6 - \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$।
अतः,लंबकेंद्र $(\alpha, \beta) = (\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6$।

(A) दिए गए समीकरण $3x + y + 15 = 0$ $(i)$ और $3x^2 + 12xy - 13y^2 = 0$ (ii) हैं।
समीकरण (ii) मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म दर्शाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\frac{n^2 \sqrt{h^2 - ab}}{|am^2 - 2hlm + bl^2|}$ है।
यहाँ $a = 3, h = 6, b = -13, l = 3, m = 1, n = 15$ रखने पर,
क्षेत्रफल $= \frac{15^2 \sqrt{6^2 - 3(-13)}}{|3(1)^2 - 2(6)(3)(1) + (-13)(3)^2|} = \frac{225 \sqrt{75}}{150} = \frac{15\sqrt{3}}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0$.
मूलबिंदु को $(2,3)$ पर स्थानांतरित करने पर,$x=X+2, y=Y+3$ रखने पर:
$3(X+2)^2+2(X+2)(Y+3)+3(Y+3)^2-18(X+2)-22(Y+3)+50=0$.
सरल करने पर,$3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ प्राप्त होता है।
अब,अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने पर,$X=x'\cos\theta-y'\sin\theta$ और $Y=x'\sin\theta+y'\cos\theta$ रखने पर:
$(3+\sin 2\theta)x'^2 + (3-\sin 2\theta)y'^2 + (2\cos 2\theta)x'y' - 1 = 0$.
$4x^2+2y^2-1=0$ के साथ तुलना करने पर,$x'y'$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:
$2\cos 2\theta = 0$ $\Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना त्रिभुज $\triangle ABC$ है जिसका समकोण मूल बिंदु $A(0, 0)$ पर है। त्रिभुज का आधार रेखा $2x + 3y = 6$ पर स्थित है।
मूल बिंदु $A(0, 0)$ से रेखा $2x + 3y - 6 = 0$ पर लंबवत दूरी $p$ है:
$p = \frac{|2(0) + 3(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में,समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाला गया लंब कर्ण को समद्विभाजित करता है और इसकी लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
अतः,लंब $AL = p = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
त्रिभुज का आधार $BC = 2p$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2p) \times p = p^2$.
क्षेत्रफल $= \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 = \frac{36}{13}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया समीकरण $3 f(x)-2 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$ है ...$(i)$
समीकरण $(i)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3 f\left(\frac{1}{x}\right)-2 f(x)=\frac{1}{x}$ ...(ii)
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण (ii) को $2$ से गुणा करने पर:
$9 f(x)-6 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$ ...(iii)
$6 f\left(\frac{1}{x}\right)-4 f(x)=\frac{2}{x}$ ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर:
$5 f(x) = 3 x + \frac{2}{x} \Rightarrow f(x) = \frac{3}{5} x + \frac{2}{5 x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5 x^2}$
अब,$x=2$ रखने पर:
$f^{\prime}(2) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5(2^2)} = \frac{3}{5} - \frac{2}{20} = \frac{3}{5} - \frac{1}{10} = \frac{6-1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(A) कण का वेग $(v)$,समय $(t)$ के सापेक्ष दूरी $(s)$ के परिवर्तन की दर है,जिसे अवकलज $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
दी गई दूरी का समीकरण $s = 4t^2 + 2t + 3$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(4t^2 + 2t + 3) = 8t + 2$.
$t = 3$ सेकंड पर वेग ज्ञात करने के लिए,वेग समीकरण में $t = 3$ रखने पर:
$v = 8(3) + 2 = 24 + 2 = 26 \text{ unit/sec}$.

(B) दिया गया है $y = (x-1)(x+2)(x^2+5)(x^4+8)$.
अवकलन के लिए गुणन नियम $\frac{d}{dx}(uvwz) = u'vwz + uv'wz + uvw'z + uvwz'$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (1)(x+2)(x^2+5)(x^4+8) + (x-1)(1)(x^2+5)(x^4+8) + (x-1)(x+2)(2x)(x^4+8) + (x-1)(x+2)(x^2+5)(4x^3)$.
अब,$x \rightarrow -1$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करने पर:
$x = -1$ के लिए:
पद $1$: $(1)(-1+2)((-1)^2+5)((-1)^4+8) = (1)(1)(6)(9) = 54$.
पद $2$: $(-1-1)(1)((-1)^2+5)((-1)^4+8) = (-2)(1)(6)(9) = -108$.
पद $3$: $(-1-1)(-1+2)(2(-1))((-1)^4+8) = (-2)(1)(-2)(9) = 36$.
पद $4$: $(-1-1)(-1+2)((-1)^2+5)(4(-1)^3) = (-2)(1)(6)(-4) = 48$.
इन मानों का योग करने पर: $54 - 108 + 36 + 48 = 30$.

(B) दिया गया वक्र $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$ है।
माना $x=2 \cos^3 \theta$ और $y=2 \sin^3 \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,निर्देशांक $x = 2(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = -\tan \theta$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\frac{dy}{dx} = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$ है।
बिंदु $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -1(x - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है,जो $x + y = \sqrt{2}$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $y=0$ पर काटती है,जिससे $x = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है,अतः बिंदु $(\sqrt{2}, 0)$ है।
स्पर्श बिंदु $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ से $x$-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{2}, 0)$ तक स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (0 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 2ax^2 + 3(a+1)x + 5$ है।
$f(x)$ के अपने पूरे प्रांत में निरंतर वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 + 4ax + 3(a+1)$.
चूंकि $f'(x)$ एक द्विघात व्यंजक है जिसका अग्रणी गुणांक धनात्मक $(3 > 0)$ है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ होने के लिए इसका विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = (4a)^2 - 4(3)(3(a+1)) \leq 0$.
$16a^2 - 36(a+1) \leq 0$.
$4$ से विभाजित करने पर: $4a^2 - 9(a+1) \leq 0$.
$4a^2 - 9a - 9 \leq 0$.
गुणनखंड करने पर: $(4a+3)(a-3) \leq 0$.
यह असमिका तब सत्य है जब $a$ मूलों के बीच स्थित हो: $a \in [-\frac{3}{4}, 3]$.
निरंतर वर्धमान फलन के लिए,हमें अंतराल $a \in (-\frac{3}{4}, 3)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = ax^3 + b$ है।
चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $3^2 = a(2)^3 + b$,जिसका अर्थ है $9 = 8a + b$ या $b = 9 - 8a$।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$।
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 4x - 5$ दिया गया है,जिसकी ढाल $4$ है।
ढालों की तुलना करने पर,$2a = 4$,अतः $a = 2$।
$a = 2$ को $b = 9 - 8a$ में रखने पर,$b = 9 - 8(2) = 9 - 16 = -7$ प्राप्त होता है।
अंत में,$a^2 + b^2 = (2)^2 + (-7)^2 = 4 + 49 = 53$।

(C) दिए गए वक्र $y^2=2x$ और $x^2+y^2=8$ हैं।
दूसरे समीकरण में $y^2=2x$ रखने पर: $x^2+2x-8=0$.
गुणनखंड करने पर $(x+4)(x-2)=0$ प्राप्त होता है। चूँकि $y^2=2x$ के लिए $x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x=2$.
$x=2$ के लिए,$y^2=4$,अतः $y=2$ (धनात्मक प्रतिच्छेदन बिंदु लेने पर)।
$y^2=2x$ का अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 2$ प्राप्त होता है,अतः $(2, 2)$ बिंदु पर $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$.
$x^2+y^2=8$ का अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(2, 2)$ बिंदु पर $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = -\frac{2}{2} = -1$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{1/2 - (-1)}{1 + (1/2)(-1)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(C) दिया गया वक्र $y = (\frac{x}{2024})^k$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = k(\frac{x}{2024})^{k-1} \cdot \frac{1}{2024} = \frac{k x^{k-1}}{(2024)^k}$ प्राप्त होता है।
सबनॉर्मल की लंबाई का सूत्र $|y \frac{dy}{dx}|$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$|(\frac{x}{2024})^k \cdot \frac{k x^{k-1}}{(2024)^k}| = |\frac{k x^{2k-1}}{(2024)^{2k}}|$ प्राप्त होता है।
सबनॉर्मल की लंबाई को अचर होने के लिए,इसे $x$ से स्वतंत्र होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,अतः $2k - 1 = 0$।
$k$ के लिए हल करने पर,$k = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वक्र: $x^4 e^y + 2 \sqrt{y+1} = 3$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^4 e^y y' + 4x^3 e^y + \frac{2 y'}{2 \sqrt{y+1}} = 0$.
बिंदु $(1,0)$ पर,$x=1$ और $y=0$ रखने पर:
$(1)^4 e^0 y' + 4(1)^3 e^0 + \frac{y'}{\sqrt{0+1}} = 0$.
$y' + 4 + y' = 0 \Rightarrow 2y' = -4 \Rightarrow y' = -2$.
बिंदु $(1,0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण जिसका ढाल $m = -2$ है:
$y - 0 = -2(x - 1) \Rightarrow y = -2x + 2 \Rightarrow 2x + y = 2$.
अब,जांचें कि कौन सा बिंदु समीकरण $2x + y = 2$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $D$ $(-2, 6)$ के लिए: $2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.
अतः,बिंदु $(-2, 6)$ स्पर्श रेखा पर स्थित है।

(A) दिया गया वक्र $y=x^3-2x+7$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-2$.
बिंदु $(1,6)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 3(1)^2-2 = 3-2 = 1$.
बिंदु $(x_1, y_1) = (1,6)$ से गुजरने वाली और $m=1$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण है:
$y-y_1 = m(x-x_1)$
$y-6 = 1(x-1)$
$y-6 = x-1$
$y = x+5$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया वक्र $y=x^2+x$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$।
बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,2)} = 2(1)+1 = 3$ है।
अभिलंब की ढाल $m = \frac{-1}{\text{स्पर्श रेखा की ढाल}} = \frac{-1}{3}$ होगी।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 2 = \frac{-1}{3}(x - 1)$।
$3$ से गुणा करने पर: $3y - 6 = -x + 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x + 3y - 7 = 0$।

(D) किसी वक्र पर बिंदु $(x, y)$ पर उप-स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र है: $\text{उप-स्पर्शरेखा की लंबाई} = \left| \frac{y}{dy/dx} \right|$.
प्रश्न के अनुसार,उप-स्पर्शरेखा की लंबाई भुज $x$ के समानुपाती है। मान लीजिए समानुपाती स्थिरांक $k$ है,जिससे $\frac{y}{dy/dx} = kx$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{y}{dy/dx} = kx$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{1}{k} \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{k} \int \frac{dx}{x}$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \frac{1}{k} \ln|x| + \ln|C|$.
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|x^{1/k}| + \ln|C| = \ln|C x^{1/k}|$.
इसलिए,वक्र का समीकरण $y = C x^{1/k}$ है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = (3x^2 - 6x + 2) \frac{dx}{dt}$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dy}{dt} = 6 \text{ units/sec}$ और बिंदु $(2, -1)$ है,इसलिए $x = 2$.
इन मानों को अवकल समीकरण में रखने पर:
$6 = (3(2)^2 - 6(2) + 2) \frac{dx}{dt}$.
$6 = (12 - 12 + 2) \frac{dx}{dt}$.
$6 = 2 \frac{dx}{dt}$.
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{6}{2} = 3 \text{ units/sec}$.

(C) दिया गया है,$y = (1 + \alpha + \alpha^2 + \ldots) e^{nx}$.
माना $K = (1 + \alpha + \alpha^2 + \ldots)$,जो एक स्थिरांक है।
अतः,$y = K e^{nx}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = K \cdot n e^{nx} = n \cdot (K e^{nx}) = ny$.
अवकलज की अवधारणा का उपयोग करते हुए,$\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$.
इसलिए,$\Delta y = ny \Delta x$.
दोनों पक्षों को $y$ से विभाजित करने पर,हमें $y$ में सापेक्ष त्रुटि प्राप्त होती है:
$\frac{\Delta y}{y} = n \Delta x$.
अतः,$y$ में सापेक्ष त्रुटि $n \times (x \text{ में त्रुटि})$ है।

(C) दिया गया है $y = x - x^2$।
हमें $x^2$ के सापेक्ष $y^2$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।
माना $v = y^2 = (x - x^2)^2 = x^2 + x^4 - 2x^3$।
माना $u = x^2$।
हमें $\frac{dv}{du} = \frac{dv/dx}{du/dx}$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x^4 - 2x^3) = 2x + 4x^3 - 6x^2$।
इसके बाद,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$।
अब,$\frac{dv}{du} = \frac{2x + 4x^3 - 6x^2}{2x} = 1 + 2x^2 - 3x$।
$x = 2$ पर,परिवर्तन की दर $1 + 2(2)^2 - 3(2) = 1 + 8 - 6 = 3$ है।

(C) दिया गया सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln L - \frac{1}{2} \ln g$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$ प्राप्त होता है।
$T$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dT}{T}$ है।
$L$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dL}{L} \times 100$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{dT}{T} = k \times (\frac{dL}{L} \times 100)$ है।
इसकी तुलना $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$ से करने पर,हमें $k \times 100 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \frac{1}{200}$।
इस प्रकार,$\frac{1}{k} = 200$।

(A) माना कि $r$ त्रिज्या है और $A$ वृत्त का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ है,इसलिए $\frac{dr}{r} = 0.03$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dA = 2\pi r dr$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dA}{A} = \frac{2\pi r dr}{\pi r^2} = 2 \frac{dr}{r}$ है।
$\frac{dr}{r}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{dA}{A} = 2 \times 0.03 = 0.06$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dA}{A} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6\%$ है।

(C) दिया गया विस्थापन $s = 2t^3 - 9t$ है।
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 9t) = 6t^2 - 9$.
वेग तब शून्य होता है जब $v = 0$,इसलिए $6t^2 - 9 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 9) = 12t$.
त्वरण के समीकरण में $t = \sqrt{\frac{3}{2}}$ रखने पर:
$a = 12 \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$.

(B) यहाँ अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = 45^{\circ}$ और आधार की त्रिज्या $r = 14 \text{ cm}$ दी गई है।
तिर्यक ऊँचाई $l = \frac{r}{\sin 45^{\circ}} = r\sqrt{2}$ है।
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi r(r + l)$ होता है।
$l = r\sqrt{2}$ रखने पर,$A = \pi r(r + r\sqrt{2}) = \pi r^2(1 + \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
$A$ में अनुमानित त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dr} = 2\pi r(1 + \sqrt{2})$.
अनुमानित त्रुटि $dA = \frac{dA}{dr} \cdot dr$ है,जहाँ $dr = \frac{\sqrt{2}-1}{11} \text{ cm}$ है।
$dA = 2\pi r(1 + \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{11}\right)$.
$r = 14$ रखने पर:
$dA = 2\pi(14)(1 + \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{11}\right)$.
चूँकि $(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 1$ है,
$dA = 2\pi(14) \cdot \frac{1}{11} = \frac{28\pi}{11}$.
यदि हम $\pi \approx \frac{22}{7}$ लें,तो $dA = 28 \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{11} = 4 \times 2 = 8 \text{ sq. cm}$।

(C) माना $OA$ ऊँचाई $6 \ m$ का प्रकाश स्तंभ है और $FG$ ऊँचाई $1.8 \ m$ का व्यक्ति है। माना व्यक्ति की स्तंभ से दूरी $x$ है और उसकी छाया की लंबाई $y$ है।
समरूप त्रिभुजों $\triangle BGF$ और $\triangle BOA$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{FG}{OA} = \frac{BG}{BO}$
$\frac{1.8}{6} = \frac{y}{x+y}$
$1.8(x+y) = 6y$
$1.8x + 1.8y = 6y$
$1.8x = 4.2y$
$y = \frac{1.8}{4.2}x = \frac{18}{42}x = \frac{3}{7}x$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{7} \frac{dx}{dt}$
यह दिया गया है कि व्यक्ति $7 \ km/h$ की गति से स्तंभ से दूर जा रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 7 \ km/h$.
अतः,$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{7} \times 7 = 3 \ km/h$.
उसकी छाया की लंबाई के परिवर्तन की दर $3 \ km/h$ है।

(B) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $OP = 8$ है।
$M$,$P$ से $OA$ पर डाले गए लंब का पाद है,इसलिए $\triangle OMP$,$M$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle OMP$ में,हमारे पास $\cos \theta = \frac{OM}{OP}$ है।
दिया गया है $OM = 4$ और $OP = 8$,इसलिए $\cos \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
साथ ही,$PM = OP \sin \theta = 8 \sin \theta$ है।
समय $t$ के सापेक्ष $PM$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $PM$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d(PM)}{dt} = \frac{d}{dt}(8 \sin \theta) = 8 \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$।
दिया गया है $\frac{d\theta}{dt} = 6 \text{ रेडियन/सेकंड}$ और $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d(PM)}{dt} = 8 \times \frac{1}{2} \times 6 = 24 \text{ इकाई/सेकंड}$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 16x^2 + 20x - 5$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन निरंतर ह्रासमान है,हम इसका अवकलन करते हैं: $f'(x) = 3x^2 - 32x + 20$।
निरंतर ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$ होना चाहिए: $3x^2 - 32x + 20 < 0$।
गुणनखंड करने पर: $(3x - 2)(x - 10) < 0$।
यह असमिका $x \in (\frac{2}{3}, 10)$ के लिए सत्य है।
संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 3, 5, \dots, 59\}$ है। $S$ में अवयवों की संख्या $n(S) = 30$ है।
हमें समुच्चय $S$ से वे संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो अंतराल $(\frac{2}{3}, 10)$ में स्थित हैं।
ये संख्याएँ $E = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 5$ है।
प्रायिकता $P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$।
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।
चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ है,इसलिए $f'(x) \leq 0$ का अर्थ है $1 + \ln(x) \leq 0$।
इससे $\ln(x) \leq -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \leq e^{-1} = \frac{1}{e}$।
चूंकि $f(x) = x^x$ का प्रांत $x > 0$ है,इसलिए वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान है,वह $\left(0, \frac{1}{e}\right]$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही अंतराल $\left[0, \frac{1}{e}\right]$ है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$f(x)$ के परिभाषित होने के लिए,$x > 0$ होना आवश्यक है।
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{1/2} + x^{-1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} - \frac{1}{2} x^{-3/2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} (1 - \frac{1}{x}) = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x > 0$,हर $2x\sqrt{x}$ हमेशा धनात्मक रहेगा।
इसलिए,$f'(x) > 0$ तभी संभव है जब $x - 1 > 0$ हो,जिसका अर्थ है $x > 1$.
अतः,फलन अंतराल $(1, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

(A) माना $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x-1)(x^2+x+1) - (2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1)^2} = 0$.
अंश को सरल करने पर:
$(2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1) - (2x^3 - 2x^2 + 2x + x^2 - x + 1) = 0$.
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$.
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x = -1$ के लिए,$y = \frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = \frac{3}{1} = 3$.
$x = 1$ के लिए,$y = \frac{1^2 - 1 + 1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$.
अतः,अधिकतम मान $\alpha = 3$ और न्यूनतम मान $\beta = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

(B) माना आयताकार भाग की लंबाई $x$ है और अर्धवृत्ताकार सिरों की त्रिज्या $r$ है। ट्रैक का कुल परिमाप $P = 2x + 2\pi r = 500 \ ft$. द्वारा दिया गया है।
इससे,हमें $x + \pi r = 250$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 250 - \pi r$ है।
आयताकार भाग का क्षेत्रफल $A = x \times (2r) = (250 - \pi r)(2r) = 500r - 2\pi r^2$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 500 - 4\pi r = 0 \Rightarrow r = \frac{125}{\pi}$।
अब,$r$ का मान $x$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 250 - \pi \left(\frac{125}{\pi}\right) = 250 - 125 = 125 \ ft$।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए आयताकार भाग की लंबाई $125 \ ft$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}}$ अंतराल $[-3, 0]$ पर है।
चूंकि रोले का प्रमेय लागू होता है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = (2x + 3) e^{-\frac{x}{2}} + (x^2 + 3x) \left(-\frac{1}{2}\right) e^{-\frac{x}{2}}$
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( 2x + 3 - \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} \right) = e^{-\frac{x}{2}} \left( -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} + 3 \right)$
$f'(x) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} (x^2 - x - 6)$
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-3, 0)$ विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
$-\frac{1}{2} e^{-\frac{c}{2}} (c^2 - c - 6) = 0$
चूंकि $e^{-\frac{c}{2}} \neq 0$,इसलिए $c^2 - c - 6 = 0$ होगा।
$(c - 3)(c + 2) = 0$,जिससे $c = 3$ या $c = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (-3, 0)$ है,इसलिए $c = 3$ को अस्वीकार करते हुए $c = -2$ सही उत्तर है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{x^2-4}$ अंतराल $[2, 4]$ पर सतत है और $(2, 4)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $C \in (2, 4)$ विद्यमान है जिसके लिए $f'(C) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ होता है।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-4}} \times 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$.
इसके बाद,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें: $f(4) = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $f(2) = \sqrt{4-4} = 0$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{C}{\sqrt{C^2-4}} = \frac{2\sqrt{3} - 0}{4 - 2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{C^2}{C^2-4} = 3$.
$C^2 = 3(C^2 - 4) \Rightarrow C^2 = 3C^2 - 12 \Rightarrow 2C^2 = 12 \Rightarrow C^2 = 6$.
चूंकि $C \in (2, 4)$,हम धनात्मक मान लेंगे: $C = \sqrt{6}$.

(A) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(0, 4)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ हो।
सबसे पहले,$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ ज्ञात करें।
फिर,$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$ ज्ञात करें।
अतः,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$ होगा।
अब,$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$ ज्ञात करें।
$f'(c) = 3c^2 - 12c + 11 = 3$ रखने पर,
$3c^2 - 12c + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$c$ का मान $2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ है,जो विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(C) अंतराल $[0, 1]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,$f(0) = f(1)$ होना चाहिए।
दिए गए फलन $f(x) = x^3 + Px - 12$ के लिए:
$f(0) = 0^3 + P(0) - 12 = -12$
$f(1) = 1^3 + P(1) - 12 = 1 + P - 12 = P - 11$
$f(0) = f(1)$ रखने पर,$-12 = P - 11$,जिससे $P = -1$ प्राप्त होता है।
अब,अवकलज $f'(x) = 3x^2 + P = 3x^2 - 1$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$3c^2 - 1 = 0 \Rightarrow c^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $c$ को विवृत अंतराल $(0, 1)$ में होना चाहिए,इसलिए $c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$c = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(A) अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $f(x) = e^x + 24$ दिया गया है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = 0$ और $b = 1$ है।
सबसे पहले,$f(0) = e^0 + 24 = 1 + 24 = 25$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$f(1) = e^1 + 24 = e + 24$ ज्ञात करें।
अवकलन $f'(x) = e^x$ है,इसलिए $f'(c) = e^c$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $e^c = \frac{(e + 24) - 25}{1 - 0}$।
$e^c = e - 1$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $c = \log(e - 1)$ प्राप्त होता है।

(C) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए फलन $f(x)$ का $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।
विकल्प $C$ के लिए,$f(x) = \log(x^2-1)$ अंतराल $[\frac{1}{e}, e-2]$ पर दिया गया है।
यहाँ $e \approx 2.718$ है,इसलिए $\frac{1}{e} \approx 0.367$ और $e-2 \approx 0.718$ है।
$\log(x^2-1)$ के प्रांत के लिए $x^2-1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2 > 1$ या $|x| > 1$।
अंतराल $[\frac{1}{e}, e-2]$ में,सभी $x$ के लिए $x < 1$ है,अर्थात $x^2 < 1$।
अतः,इस अंतराल के सभी $x$ के लिए $x^2-1 < 0$ है।
चूंकि लघुगणक का तर्क ऋणात्मक है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[\frac{1}{e}, e-2]$ पर परिभाषित नहीं है (और इसलिए सतत भी नहीं है)।
इसलिए,$LMVT$ लागू नहीं होता है।

(B) $I = \int \sin ^4 x \cos ^4 x \, dx = \int \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^4 \, dx = \frac{1}{16} \int \sin ^4 2x \, dx$
$I = \frac{1}{16} \int \left(\frac{1 - \cos 4x}{2}\right)^2 \, dx = \frac{1}{64} \int (1 - 2\cos 4x + \cos^2 4x) \, dx$
$I = \frac{1}{64} \int \left(1 - 2\cos 4x + \frac{1 + \cos 8x}{2}\right) \, dx = \frac{1}{128} \int (2 - 4\cos 4x + 1 + \cos 8x) \, dx$
$I = \frac{1}{128} \int (3 - 4\cos 4x + \cos 8x) \, dx = \frac{1}{128} \left(3x - \sin 4x + \frac{\sin 8x}{8}\right) + c$
$\sin 8x = 2 \sin 4x \cos 4x$ और $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$,$\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{128} \left(3x - 2\sin 2x \cos 2x + \frac{2 \sin 4x \cos 4x}{8}\right) + c$
सरल करने पर: $I = \frac{1}{256} (-2 \sin^3 2x \cos 2x - 3 \sin 2x \cos 2x + 6x) + c$

(B) माना $I = \int \left( \frac{x}{x \cos x - \sin x} \right)^2 dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{x^2}{(x \cos x - \sin x)^2} dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \frac{x}{\sin x}$ और $dv = \frac{x \sin x}{(x \cos x - \sin x)^2} dx$ लें।
तब $du = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x} dx$ और $v = \frac{-1}{x \cos x - \sin x}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर:
$I = \left( \frac{x}{\sin x} \right) \left( \frac{-1}{x \cos x - \sin x} \right) - \int \left( \frac{-1}{x \cos x - \sin x} \right) \left( \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x} \right) dx$.
$I = \frac{-x}{\sin x(x \cos x - \sin x)} - \int \frac{x \cos x - \sin x}{(x \cos x - \sin x) \sin^2 x} dx$.
$I = \frac{-x}{\sin x(x \cos x - \sin x)} - \int \operatorname{cosec}^2 x dx$.
$I = \frac{-x \operatorname{cosec} x}{x \cos x - \sin x} - (-\cot x) + c$.
$I = \frac{x \operatorname{cosec} x}{x \cos x - \sin x} - \cot x + c$.

(A) माना $I = \int \frac{2 x^2-3}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)} d x$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,माना $\frac{2 x^2-3}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)} = \frac{P}{x^2-4} + \frac{Q}{x^2+1}$.
$2x^2 - 3 = P(x^2+1) + Q(x^2-4) = (P+Q)x^2 + (P-4Q)$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $P+Q = 2$ और $P-4Q = -3$.
समीकरणों को घटाने पर: $5Q = 5 \implies Q = 1$.
अतः $P = 1$.
इसलिए,$I = \int \frac{1}{x^2-4} d x + \int \frac{1}{x^2+1} d x$.
$I = \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + \tan^{-1} x + K$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \log (x-2) - \frac{1}{4} \log (x+2) + K$.
$A \tan^{-1} x + B \log (x-2) + C \log (x+2)$ से तुलना करने पर,हमें $A = 1$,$B = \frac{1}{4}$,$C = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः $6A + 7B - 5C = 6(1) + 7(\frac{1}{4}) - 5(-\frac{1}{4}) = 6 + \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = 6 + \frac{12}{4} = 6 + 3 = 9$.

(C) हम जानते हैं कि $1 - \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.
अतः,$\int \sqrt{1 - \sin 2x} \, dx = \int |\cos x - \sin x| \, dx$.
दिया गया है कि $x \notin [2n\pi - \frac{\pi}{4}, 2n\pi + \frac{3\pi}{4}]$,इस अंतराल में व्यंजक $\cos x - \sin x$ ऋणात्मक है।
इसलिए,$|\cos x - \sin x| = -(\cos x - \sin x) = \sin x - \cos x$.
इसका समाकलन करने पर,हमें $\int (\sin x - \cos x) \, dx = -\cos x - \sin x + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन: $\int \frac{1}{1-\cos x} dx = \int \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} dx$
$= \frac{1}{2} \left(-2 \cot \frac{x}{2}\right) + c = -\cot \frac{x}{2} + c$
हम जानते हैं कि $-\cot \theta = \tan \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)$ होता है।
अतः,$-\cot \frac{x}{2} = \tan \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}\right)$,जिसकी तुलना $\tan \left(\frac{x}{\alpha} + \beta\right)$ से करने पर।
इस प्रकार,$\alpha = 2$ और $\beta = -\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{\pi \alpha}{4} - \beta = \frac{\pi(2)}{4} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$।

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{\sin ^6 x}{\cos ^8 x} d x$ दिया गया है।
समाकल्य को इस प्रकार पुनः लिखें:
$I = \int \frac{\sin ^6 x}{\cos ^6 x} \cdot \frac{1}{\cos ^2 x} d x$.
चूंकि $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ और $\frac{1}{\cos x} = \sec x$,इसलिए:
$I = \int \tan ^6 x \sec ^2 x d x$.
मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec ^2 x d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int u ^6 d u = \frac{u ^7}{7} + c$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{\tan ^7 x}{7} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{x^5}{x^2+1} \, dx$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{x^5}{x^2+1} = \frac{x^3(x^2+1) - x^3}{x^2+1} = x^3 - \frac{x^3}{x^2+1}$।
आगे,$\frac{x^3}{x^2+1} = \frac{x(x^2+1) - x}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}$।
अतः,$\frac{x^5}{x^2+1} = x^3 - x + \frac{x}{x^2+1}$।
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int (x^3 - x + \frac{x}{x^2+1}) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx$।
प्रतिस्थापन $u = x^2+1$ और $du = 2x \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \log(x^2+1) + c$।

(B) हम जानते हैं कि चरघातांकी फलन के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $e^u = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{u^r}{r!}$ होता है।
$u = 3x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=0}^{\infty} \frac{(3x)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!} = e^{3x}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $\int \left(\sum_{r=0}^{\infty} \frac{x^r 3^r}{r!}\right) dx$ का मान ज्ञात करना है।
श्रेणी को $e^{3x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,समाकलन $\int e^{3x} dx$ हो जाता है।
समाकलन के सूत्र $\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$ का उपयोग करने पर,हमें $\int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + c$ प्राप्त होता है।

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin 7x}{\sin 2x \sin 5x} dx$ है।
सर्वसमिका $\sin 7x = \sin(5x + 2x)$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{\sin(5x + 2x)}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
सूत्र $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 2x + \cos 5x \sin 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sin 5x \cos 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx + \int \frac{\cos 5x \sin 2x}{\sin 2x \sin 5x} dx$.
$I = \int \cot 2x dx + \int \cot 5x dx$.
मानक समाकलन $\int \cot(ax) dx = \frac{1}{a} \log |\sin(ax)| + c$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{2} \log |\sin 2x| + \frac{1}{5} \log |\sin 5x| + c$.

(C) माना $I = \int \frac{1}{x^5 \sqrt[5]{x^5+1}} dx$.
रेडिकल से $x^5$ बाहर निकालने पर: $\sqrt[5]{x^5+1} = \sqrt[5]{x^5(1 + x^{-5})} = x(1 + x^{-5})^{1/5}$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{1}{x^5 \cdot x(1 + x^{-5})^{1/5}} dx = \int \frac{1}{x^6 (1 + x^{-5})^{1/5}} dx$.
माना $t = 1 + x^{-5}$. तब $dt = -5x^{-6} dx$,जिसका अर्थ है $x^{-6} dx = -\frac{1}{5} dt$.
समाकलन में $t$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{-1/5}{t^{1/5}} dt = -\frac{1}{5} \int t^{-1/5} dt$.
समाकलन करने पर: $I = -\frac{1}{5} \cdot \frac{t^{4/5}}{4/5} + C = -\frac{1}{4} t^{4/5} + C$.
$t = 1 + x^{-5} = \frac{x^5+1}{x^5}$ वापस रखने पर: $I = -\frac{1}{4} \left(\frac{x^5+1}{x^5}\right)^{4/5} + C = -\frac{(x^5+1)^{4/5}}{4(x^5)^{4/5}} + C = -\frac{(x^5+1)^{4/5}}{4x^4} + C$.

(D) माना $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx$.
हम अंश को $\frac{1}{2}(2x+1) + \frac{1}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x+1) + \frac{1}{2}}{\sqrt{x^2+x+1}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx$.
माना $I_1 = \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx$. $u = x^2+x+1$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = (2x+1)dx$ प्राप्त होता है,जिससे $I_1 = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} (2\sqrt{u}) = \sqrt{x^2+x+1}$.
माना $I_2 = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{(x+1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2}} dx$. सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर,$I_2 = \frac{1}{2} \sinh^{-1}\left(\frac{x+1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \frac{1}{2} \sinh^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \sqrt{x^2+x+1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C$.

(A) माना $I = \int (\tan^7 x + \tan x) dx$.
हम $\tan x$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$I = \int \tan x (\tan^6 x + 1) dx$.
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\tan^6 x = (\sec^2 x - 1)^3$.
वैकल्पिक रूप से,व्यंजक को इस प्रकार सरल करें:
$I = \int (\tan^5 x(\tan^2 x + 1) - \tan^3 x(\tan^2 x + 1) + \tan x(\tan^2 x + 1)) dx$.
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$:
$I = \int (\tan^5 x \sec^2 x - \tan^3 x \sec^2 x + \tan x \sec^2 x) dx$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$.
$I = \int (u^5 - u^3 + u) du = \frac{u^6}{6} - \frac{u^4}{4} + \frac{u^2}{2} + C$.
$\frac{u^2}{12}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{u^2}{12} (2u^4 - 3u^2 + 6) + C$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\tan^2 x}{12} (2 \tan^4 x - 3 \tan^2 x + 6) + C$.

(B) माना $I = \int \frac{\operatorname{cosec} x}{3 \cos x + 4 \sin x} dx$.
अंश और हर को $\sin x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{3 \cot x + 4} dx$.
माना $t = 3 \cot x + 4$.
तब $dt = -3 \operatorname{cosec}^2 x dx$,जिसका अर्थ है $\operatorname{cosec}^2 x dx = -\frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-1/3}{t} dt = -\frac{1}{3} \ln |t| + C$.
$t = 3 \cot x + 4$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{3} \ln |3 \cot x + 4| + C = -\frac{1}{3} \ln \left| \frac{3 \cos x + 4 \sin x}{\sin x} \right| + C$.
$-\ln |x| = \ln |1/x|$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{\sin x}{3 \cos x + 4 \sin x} \right| + C$.

(D) हमें समाकलन $I = \int \frac{2 x^2 \cos \left(x^2\right)-\sin \left(x^2\right)}{x^2} d x$ दिया गया है।
हम भिन्न को अलग करके समाकल्य को फिर से लिख सकते हैं:
$I = \int \left( 2 \cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) dx$.
वैकल्पिक रूप से,भागफल नियम का उपयोग करके $\frac{\sin(x^2)}{x}$ का अवकलन देखें:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x^2)) - \sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$= \frac{x \cdot (\cos(x^2) \cdot 2x) - \sin(x^2) \cdot 1}{x^2}$
$= \frac{2x^2 \cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2}$.
अतः,$\int \frac{2 x^2 \cos \left(x^2\right)-\sin \left(x^2\right)}{x^2} d x = \frac{\sin \left(x^2\right)}{x} + c$.

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{\log (1+x^4)}{x^3} d x$ दिया गया है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log (1+x^4)$ और $dv = x^{-3} dx$ लें।
तब $du = \frac{4x^3}{1+x^4} dx$ और $v = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ प्राप्त होता है।
$I = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \frac{4x^3}{1+x^4} dx = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + \int \frac{2x}{1+x^4} dx$.
मान लीजिए $t = x^2$,तो $dt = 2x dx$.
$I = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + \int \frac{dt}{1+t^2} = -\frac{1}{2x^2} \log (1+x^4) + \tan^{-1}(x^2) + c$.
इसकी तुलना $f(x) \log \left(\frac{1}{g(x)}\right) + \tan^{-1}(h(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{2x^2}$,$g(x) = 1+x^4$,और $h(x) = x^2$ प्राप्त होता है।
अब,$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2(1/x)^2} = \frac{x^2}{2}$.
अतः $h(x) \left[f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = x^2 \left(\frac{1}{2x^2} + \frac{x^2}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{x^4}{2} = \frac{1+x^4}{2} = \frac{g(x)}{2}$.

(D) माना $I = \int \frac{2 \cos 2 x}{(1+\sin 2 x)(1+\cos 2 x)} d x$.
सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$,$\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$,और $1+\cos 2x = \frac{2}{1+\tan^2 x}$.
$I = \int \frac{2 \left(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\right)}{\left(1+\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}\right) \left(\frac{2}{1+\tan^2 x}\right)} d x$
$I = \int \frac{1-\tan^2 x}{(1+\tan x)^2} d x = \int \frac{(1-\tan x)(1+\tan x)}{(1+\tan x)^2} d x$
$I = \int \frac{1-\tan x}{1+\tan x} d x$.
यहाँ $\tan x = t$ रखने पर,$\sec^2 x d x = d t$ होता है,परंतु इस व्यंजक के लिए सीधा सरलीकरण करने पर:
$I = \int \frac{1-t}{1+t} d t = \int (-1 + \frac{2}{1+t}) d t$
$I = -t + 2 \ln(1+t) + c = 2 \ln(1+\tan x) - \tan x + c$.

(B) माना $I = \int \frac{3 x^9+7 x^8}{(x^2+2 x+5 x^8)^2} dx$.
अंश और हर को $x^{16}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{3 x^9+7 x^8}{x^{16} (x^{-6} + 2x^{-7} + 5)^2} dx = \int \frac{3 x^{-7} + 7 x^{-8}}{(x^{-6} + 2x^{-7} + 5)^2} dx$.
माना $t = x^{-6} + 2x^{-7} + 5$.
तब $dt = (-6x^{-7} - 14x^{-8}) dx = -2(3x^{-7} + 7x^{-8}) dx$.
अतः,$(3x^{-7} + 7x^{-8}) dx = -\frac{1}{2} dt$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{-1/2}{t^2} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-2} dt = -\frac{1}{2} (\frac{t^{-1}}{-1}) + C = \frac{1}{2t} + C$.
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2(x^{-6} + 2x^{-7} + 5)} + C = \frac{1}{2(\frac{x+2+5x^7}{x^7})} + C = \frac{x^7}{2(5x^7+x+2)} + C$.

(B) माना $I = \int \frac{\cos x + x \sin x}{x(x + \cos x)} dx$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\cos x + x \sin x = (x + \cos x) - x(1 - \sin x)$.
अतः,$I = \int \frac{(x + \cos x) - x(1 - \sin x)}{x(x + \cos x)} dx$.
समाकलन को अलग करने पर: $I = \int \frac{x + \cos x}{x(x + \cos x)} dx - \int \frac{x(1 - \sin x)}{x(x + \cos x)} dx$.
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1 - \sin x}{x + \cos x} dx$.
माना $u = x + \cos x$,तो $du = (1 - \sin x) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \ln |x| - \int \frac{1}{u} du$.
$I = \ln |x| - \ln |u| + C$.
$I = \ln |x| - \ln |x + \cos x| + C$.
$I = \ln \left| \frac{x}{x + \cos x} \right| + C$.