AP EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{2 x+1}+\sqrt{2 x-1})^8+(\sqrt{2 x+1}-\sqrt{2 x-1})^8(P x^4-16)}{(x+\sqrt{x^2-2})^8+(x-\sqrt{x^2-2})^8} = 1$.
$x \rightarrow \infty$ के लिए,$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-1})^8 \approx 256x^4$ और $(x+\sqrt{x^2-2})^8 \approx 256x^8$.
अतः,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{256x^4 + \frac{1}{16x^4}(Px^4-16)}{256x^8} = 1$ हो जाता है।
गणना करने पर $P = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1} \left( \frac{x+x^2+x^3+\ldots+x^n-n}{x-1} \right)$.
हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $(x-1) + (x^2-1) + (x^3-1) + \ldots + (x^n-1)$.
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 1} \left( \frac{(x-1) + (x^2-1) + (x^3-1) + \ldots + (x^n-1)}{x-1} \right)$.
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} \left( \frac{x-1}{x-1} + \frac{x^2-1}{x-1} + \frac{x^3-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^n-1}{x-1} \right)$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$L = 1 + 2(1)^{2-1} + 3(1)^{3-1} + \ldots + n(1)^{n-1}$.
$L = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$.
$L = \frac{n(n+1)}{2}$.

(A) $L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\cos 2x - \cos 3x)}{\frac{d}{dx}(\cos 4x - \cos 5x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin 2x + 3 \sin 3x}{-4 \sin 4x + 5 \sin 5x}$
चूंकि यह अभी भी $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम फिर से $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-4 \cos 2x + 9 \cos 3x}{-16 \cos 4x + 25 \cos 5x}$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{-4 \cos(0) + 9 \cos(0)}{-16 \cos(0) + 25 \cos(0)} = \frac{-4(1) + 9(1)}{-16(1) + 25(1)} = \frac{5}{9}$

(B) हमें सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x}{\sin ^2 x}$ का मूल्यांकन करना है।
सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करके अंश को फिर से लिखने पर:
$1 - \cos x(1 - 2\sin^2 x) = 1 - \cos x + 2\sin^2 x \cos x$.
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x + 2\sin^2 x \cos x}{\sin^2 x}$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x} + \frac{2\sin^2 x \cos x}{\sin^2 x} \right)$.
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1 - \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} + 2\cos x \right)$.
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{1 + \cos x} + 2\cos x \right)$.
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{1}{1 + 1} + 2(1) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{5x \operatorname{cosec}(\sqrt{x}) - 1}{(x - 2) \operatorname{cosec}(\sqrt{x})}$.
$x$ के स्थान पर $x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x^2) = \frac{5x^2 \operatorname{cosec}(x) - 1}{(x^2 - 2) \operatorname{cosec}(x)} = \frac{5x^2 \operatorname{cosec}(x)}{(x^2 - 2) \operatorname{cosec}(x)} - \frac{1}{(x^2 - 2) \operatorname{cosec}(x)}$.
$f(x^2) = \frac{5x^2}{x^2 - 2} - \frac{\sin(x)}{x^2 - 2}$.
अब,$x \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x^2) = \lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{5x^2}{x^2 - 2} - \frac{\sin(x)}{x^2 - 2} \right)$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x^2}{x^2 - 2} = 5$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin(x)}{x^2 - 2} = 0$ (क्योंकि $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ और $x^2 - 2 \rightarrow \infty$),
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x^2) = 5 - 0 = 5$.

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi \cos ^2 x)}{x^2}$
चूँकि $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,हमारे पास $\pi \cos ^2 x = \pi - \pi \sin ^2 x$ है।
सर्वसमिका $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin (\pi - \pi \sin ^2 x) = \sin (\pi \sin ^2 x)$ प्राप्त होता है।
अब,सीमा इस प्रकार है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin ^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{\pi \sin ^2 x} \right) \times \left( \frac{\pi \sin ^2 x}{x^2} \right)$.
जैसे $x \rightarrow 0$,$\sin ^2 x \rightarrow 0$,इसलिए $\frac{\sin (\pi \sin ^2 x)}{\pi \sin ^2 x} \rightarrow 1$.
साथ ही,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{x^2} = 1$.
अतः,सीमा का मान $1 \times \pi \times 1 = \pi$ है।

(D) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-a-\log (1+x)}{\sin x}=0$।
सीमा के अस्तित्व के लिए और परिमित होने के लिए,अंश को $0$ होना चाहिए जब $x \rightarrow 0$ हो क्योंकि हर $\sin x \rightarrow 0$ होता है।
अंश में $x=0$ रखने पर: $e^0 - a - \log(1+0) = 0$।
$1 - a - 0 = 0$।
अतः,$a = 1$।
$a=1$ के साथ जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1-\log (1+x)}{\sin x}$।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x - \frac{1}{1+x}}{\cos x} = \frac{1-1}{1} = 0$।
इस प्रकार,$a=1$ के लिए शर्त संतुष्ट होती है।

(D) दिया गया सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right] = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)} \right]$
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप में है।
$L'\text{Hopital}$ नियम लागू करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1 - x)}{\frac{d}{dx}(xe^x - x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{e^x + xe^x - 1}$
यह अभी भी $\frac{0}{0}$ रूप में है।
पुनः $L'\text{Hopital}$ नियम लागू करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(e^x + xe^x - 1)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x}{e^x + e^x + xe^x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x}{2e^x + xe^x}$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{e^0}{2e^0 + 0 \cdot e^0} = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$

(C) दिया गया सीमा $1^\infty$ के रूप में है।
हम सूत्र $\lim _{x \rightarrow \infty} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$f(x) = \frac{3x^2-2x+3}{3x^2+x-2}$ और $g(x) = 3x-2$ है।
$(f(x)-1) = \frac{3x^2-2x+3 - (3x^2+x-2)}{3x^2+x-2} = \frac{-3x+5}{3x^2+x-2}$.
अब,$\lim _{x \rightarrow \infty} (f(x)-1)g(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{-3x+5}{3x^2+x-2}\right)(3x-2)$.
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-9x^2+6x+15x-10}{3x^2+x-2} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-9x^2+21x-10}{3x^2+x-2}$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{-9}{3} = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमा $e^{-3}$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$y - 1 < [y] \leq y$ होता है।
$y = 2x - 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x - 3) - 1 < [2x - 3] \leq 2x - 3$
$2x - 4 < [2x - 3] \leq 2x - 3$
पूरी असमिका को $x$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ के लिए):
$\frac{2x - 4}{x} < \frac{[2x - 3]}{x} \leq \frac{2x - 3}{x}$
$2 - \frac{4}{x} < \frac{[2x - 3]}{x} \leq 2 - \frac{3}{x}$
$x \rightarrow \infty$ के रूप में सीमा (limit) लागू करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \infty} (2 - \frac{4}{x}) \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} \leq \lim_{x \rightarrow \infty} (2 - \frac{3}{x})$
$2 - 0 \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} \leq 2 - 0$
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[2x - 3]}{x} = 2$.

(A) दिया गया डेटा $20, 5, 15, 2, 7, 3, 11$ है। अवलोकनों की संख्या $n = 7$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{63}{7} = 9$.
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $m = \frac{38}{7}$.
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $2, 3, 5, 7, 11, 15, 20$. माध्यिका $= 7$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $M = \frac{36}{7}$.
$m$ और $M$ का माध्य $\bar{x}^{\prime} = \frac{37}{7}$.
$m$ और $M$ का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{1}{2} (|\frac{38}{7} - \frac{37}{7}| + |\frac{36}{7} - \frac{37}{7}|) = \frac{1}{7}$.

(A) सुसंगतता (consistency) को विचरण गुणांक $(CV)$ द्वारा मापा जाता है। कम $CV$ अधिक सुसंगतता का संकेत देता है।
बल्लेबाज $A$,$B$ की तुलना में अधिक सुसंगत है,इसलिए $CV_{A} < CV_{B}$।
इसका अर्थ है $\frac{\sigma_{A}}{\bar{x}} < \frac{\sigma_{B}}{\bar{y}}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}} < \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sigma_{A}, \sigma_{B}, \bar{x}, \bar{y} > 0$,इसलिए $0 < \frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}} < \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$।
$A$ के अधिक रन बनाने वाले होने के लिए,$\bar{x} > \bar{y}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\frac{\bar{x}}{\bar{y}} > 1$।

(D) दिए गए आँकड़ों $7, 8, 9, 7, 8, 7, \lambda, 8$ का माध्य $8$ है।
माध्य $= \frac{7+8+9+7+8+7+\lambda+8}{8} = 8$
$\Rightarrow \frac{54+\lambda}{8} = 8$
$\Rightarrow 54+\lambda = 64$
$\Rightarrow \lambda = 10$
अब,आँकड़ों का समूह $7, 8, 9, 7, 8, 7, 10, 8$ है।
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$
प्रसरण $= \frac{(7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2}{8}$
प्रसरण $= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2}{8}$
प्रसरण $= \frac{1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

(B) चरण $1$: वर्ग मध्य बिंदु $(x_i)$ ज्ञात कीजिए:
वर्ग अंतराल का मध्य बिंदु इस प्रकार निकाला जाता है: $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{उच्च सीमा}}{2}$
- $x_1 = 3, x_2 = 9, x_3 = 15, x_4 = 21, x_5 = 27$
चरण $2$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
- $\sum f_i = 9$
- $\sum f_i x_i = 135$
- $\bar{x} = \frac{135}{9} = 15$
चरण $3$: $|x_i - \bar{x}|$ और $f_i |x_i - \bar{x}|$ ज्ञात करें:
- गणना करने पर योग $\sum f_i |x_i - \bar{x}| = 48$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करें:
- $\text{माध्य विचलन} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$

(D) माध्य $(\mu) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{18}{9} = 2$
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \mu)^2}{\sum f_i}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
विचरण गुणांक $= \frac{\sigma}{\mu} \times 100 = \frac{2/\sqrt{3}}{2} \times 100 = \frac{100}{\sqrt{3}}$.

(D) प्रथम $n$ सम प्राकृत संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2n$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2(1+2+\dots+n)}{n} = \frac{2 \times n(n+1)}{2n} = n+1$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (2i)^2 - (n+1)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\sigma^2 = \frac{4}{n} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (n+1)^2 = \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - (n+1)^2$.
$\sigma^2 = (n+1) \left[ \frac{4n+2-3n-3}{3} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{3} = \frac{n^2-1}{3}$.
अतः,कथन-$I$ असत्य है।
$n=20$ के लिए,माध्य $20+1 = 21$ है।
प्रसरण $\frac{20^2-1}{3} = \frac{399}{3} = 133$ है।
अंतर $133 - 21 = 112$ है।
अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(B) हम जानते हैं कि विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र है:
$CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \times 100$
यहाँ $CV = 25$ और माध्य $\bar{x} = 44$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$25 = \frac{\sigma}{44} \times 100$
$\sigma = \frac{25 \times 44}{100} = \frac{1100}{100} = 11$
अब,प्रसरण मानक विचलन का वर्ग होता है:
$\text{Variance} = \sigma^2 = 11^2 = 121$

(D) सबसे पहले,हम माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{4(1) + 24(3) + 28(5) + 16(7) + 8(9)}{4 + 24 + 28 + 16 + 8} = \frac{400}{80} = 5$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $m = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{128}{80} = \frac{8}{5} = 1.6$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2 = \frac{2352}{80} - 25 = 29.4 - 25 = 4.4 = \frac{22}{5}$ है।
अंत में,$m + \sigma^2 = \frac{8}{5} + \frac{22}{5} = \frac{30}{5} = 6$ है।

(A) दिया गया है कि $\sum(x_i+2)^2 = 28n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 + 4\sum x_i + 4n = 28n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 + 4\sum x_i = 24n$ $... (i)$
इसी प्रकार,$\sum(x_i-2)^2 = 12n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 - 4\sum x_i + 4n = 12n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 - 4\sum x_i = 8n$ $... (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2\sum x_i^2 = 32n \Rightarrow \sum x_i^2 = 16n$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$8\sum x_i = 16n \Rightarrow \sum x_i = 2n$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$
$\sigma^2 = \frac{16n}{n} - \left(\frac{2n}{n}\right)^2 = 16 - 4 = 12$

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$ है।
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ होता है।
माना $\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c} = \frac{1}{K}$ है।
अतः $s-a = K$,$s-b = 2K$,और $s-c = 3K$ होगा।
इनका योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = K + 2K + 3K = 6K$ प्राप्त होता है।
$3s - (a+b+c) = 6K$ $\Rightarrow 3s - 2s = 6K$ $\Rightarrow s = 6K$।
इस प्रकार,$a = s - K = 5K$,$b = s - 2K = 4K$,और $c = s - 3K = 3K$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 5K : 4K : 3K = 5 : 4 : 3$।

(C) दिया है,$\triangle ABC$ में,$B=90^{\circ}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{1}{2R}$.
चूंकि $B=90^{\circ}$,$\frac{\sin 90^{\circ}}{b} = \frac{1}{2R} \implies b = 2R$.
अंतःत्रिज्या $r$ का सूत्र $r = (s-b) \tan(\frac{B}{2})$ है।
$B=90^{\circ}$ रखने पर,$r = (s-b) \tan(45^{\circ}) = s-b$.
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $r = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a-b+c}{2}$.
अतः,$2r = a-b+c$.
अंत में,$2(r+R) = 2r + 2R = (a-b+c) + b = a+c$.

(B) दिया गया है $(a+c)^2 = b^2 + 3ca$,बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $a^2 + c^2 + 2ac = b^2 + 3ca$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $a^2 + c^2 - b^2 = ca$ प्राप्त होता है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{ca}{2ac} = \frac{1}{2}$.
अतः,$B = 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{B}{2} = 30^{\circ}$.
साइन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{2R} = \sin A$ और $\frac{c}{2R} = \sin C$,इसलिए $\frac{a+c}{2R} = \sin A + \sin C$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,$\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$.
इसलिए,$\frac{a+c}{2R} = 2 \sin \left(90^{\circ} - \frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
$B/2 = 30^{\circ}$ रखने पर,हमें $2 \cos 30^{\circ} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $r: R: r_2 = 1: 3: 7$. मान लीजिए $r = k, R = 3k, r_2 = 7k$.
हम जानते हैं कि $r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos \left( \frac{A+C}{2} \right)$.
मान रखने पर: $7k - k = 4(3k) \sin \frac{B}{2} \sin \frac{B}{2}$.
$6k = 12k \sin^2 \frac{B}{2} \Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः $\cos B = 0$,जिसका अर्थ है $B = 90^{\circ}$.
अब,$\sin(A+C) + \sin B = \sin(\pi - B) + \sin B = 2 \sin 90^{\circ} = 2$.

(C) ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = K$ है।
अतः,$a = K \sin A$ और $b = K \sin B$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 \sin 2B + b^2 \sin 2A = (K \sin A)^2 (2 \sin B \cos B) + (K \sin B)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 2K^2 \sin A \sin B (\sin A \cos B + \cos A \sin B)$
$= 2(K \sin A)(K \sin B) \sin(A + B)$
$= 2ab \sin(A + B)$
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C$ है।
अतः,व्यंजक का मान $2ab \sin C$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी $\triangle ABC$ में,$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)$ होता है।
अंतःत्रिज्या $r = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)$ के सर्वसमिका का उपयोग करके,हम साइन के गुणनफल को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{r}{R}$ होता है।
इसलिए,$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$।

(D) $\triangle ABC$ में दिया गया है:
$a=26, b=30, \cos C=\frac{63}{65}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$\frac{63}{65} = \frac{26^2+30^2-c^2}{2 \times 26 \times 30}$
$\frac{63}{65} = \frac{676+900-c^2}{1560}$
$c^2 = 1576 - \frac{63 \times 1560}{65}$
$c^2 = 1576 - (63 \times 24)$
$c^2 = 1576 - 1512 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$.

(B) माना त्रिभुज के कोण $A - d, A, A + d$ हैं। कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $3A = 180^{\circ}$,जिससे $A = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,कोण $60^{\circ} - d, 60^{\circ}, 60^{\circ} + d$ हैं।
इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ $a, b, c$ हैं। दी गई दो भुजाएँ $7$ और $8$ हैं। माना भुजाएँ $a, 7, 8$ हैं जहाँ $a$ सबसे छोटी भुजा है।
$60^{\circ}$ कोण के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
स्थिति $3$: यदि $60^{\circ}$ कोण $8$ भुजा के सम्मुख है,तो $7^2 = a^2 + 8^2 - 2(a)(8) \cos 60^{\circ}$ $\Rightarrow 49 = a^2 + 64 - 8a$ $\Rightarrow a^2 - 8a + 15 = 0$.
$a^2 - 8a + 15 = 0$ को हल करने पर $(a - 3)(a - 5) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 3$ या $a = 5$ है।
चूंकि $a$ सबसे छोटी भुजा है,इसलिए $3 < 7$ और $5 < 7$ दोनों मान्य हैं।
अतः,$a_1 = 3$ और $a_2 = 5$ है।
अंत में,$2 a_1 + 3 a_2 = 2(3) + 3(5) = 6 + 15 = 21$।

(C) दिया गया है $a=13, b=14$ और $\cos \frac{C}{2}=\frac{3}{\sqrt{13}}$.
सूत्र $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{s(s-c)}{ab} = \frac{9}{13}$ प्राप्त होता है।
$a=13, b=14$ रखने पर,$\frac{s(s-c)}{182} = \frac{9}{13}$,अतः $s(s-c) = 126$.
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{27+c}{2}$,इसलिए $s-c = \frac{27-c}{2}$.
अतः,$\left(\frac{27+c}{2}\right)\left(\frac{27-c}{2}\right) = 126$ $\Rightarrow 729-c^2 = 504$ $\Rightarrow c^2 = 225$ $\Rightarrow c=15$.
तब $s = \frac{13+14+15}{2} = 21$.
बहिःत्रिज्या $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ द्वारा दी जाती है।
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = 84$.
अतः,$r_1 = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = 10.5$.
इसलिए,$2r_1 = 2 \times 10.5 = 21 = s$.

(A) दिया गया है $b+c = 7k$,$c+a = 8k$,और $a+b = 9k$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर,$2(a+b+c) = 24k$,जिसका अर्थ है $a+b+c = 12k$.
$a+b+c = 12k$ में से दिए गए समीकरणों को घटाने पर:
$a = 12k - 7k = 5k$.
$b = 12k - 8k = 4k$.
$c = 12k - 9k = 3k$.
चूंकि $c < b < a$,सबसे छोटा कोण $C$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{(5k)^2 + (4k)^2 - (3k)^2}{2(5k)(4k)} = \frac{32k^2}{40k^2} = \frac{4}{5}$.
अतः,सबसे छोटा कोण $C = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ है।

(C) दिया गया है $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$.
संबंध $s-a = \frac{\Delta}{r_1}$,$s-b = \frac{\Delta}{r_2}$,और $s-c = \frac{\Delta}{r_3}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $a-b = (s-b)-(s-a) = \Delta(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}) = \Delta \frac{r_1-r_2}{r_1 r_2}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta \frac{r_1-r_2}{r_1 r_2} \cdot \frac{\Delta}{r_3} = \Delta \frac{r_2-r_3}{r_2 r_3} \cdot \frac{\Delta}{r_1}$.
दोनों पक्षों से $\frac{\Delta^2}{r_1 r_2 r_3}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r_1-r_2 = r_2-r_3$.
अतः,$r_1+r_3 = 2r_2$.

(B) दिया गया है $r_1=4, r_2=8, r_3=24$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$.
अतः,$r = \frac{12}{5}$.
हम जानते हैं कि $\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3 = \frac{12}{5} \times 4 \times 8 \times 24 = \frac{9216}{5}$.
इसलिए,$\Delta = \frac{96}{\sqrt{5}}$.
$r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करने पर,$s = \frac{\Delta}{r} = 8\sqrt{5}$.
चूँकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,इसलिए $4 = \frac{96/\sqrt{5}}{8\sqrt{5}-a}$.
$4(8\sqrt{5}-a) = \frac{96}{\sqrt{5}} \Rightarrow 32\sqrt{5} - 4a = \frac{96}{\sqrt{5}}$.
$4a = \frac{64}{\sqrt{5}} \Rightarrow a = \frac{16}{\sqrt{5}}$.

(B) $\sum \cot A = \cot A + \cot B + \cot C = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{c^2+a^2-b^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta} = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$. अतः,$(A)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
$(B)$ $\sum \cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta} + \frac{s(s-b)}{\Delta} + \frac{s(s-c)}{\Delta} = \frac{s}{\Delta}(3s - (a+b+c)) = \frac{s}{\Delta}(3s - 2s) = \frac{s^2}{\Delta} = \frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$. अतः,$(B)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
$(C)$ दिया है $\tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3$. मान लीजिए $\tan A = k, \tan B = 2k, \tan C = 3k$. चूँकि $A+B+C = \pi$,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \Rightarrow 6k = 6k^3 \Rightarrow k=1$. अतः $\tan A = 1, \tan B = 2, \tan C = 3$. तब $\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin B = \frac{2}{\sqrt{5}}, \sin C = \frac{3}{\sqrt{10}}$. अनुपात $\sin A : \sin B : \sin C = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{2}{\sqrt{5}} : \frac{3}{\sqrt{10}} = \sqrt{5} : 2\sqrt{2} : 3$. अतः,$(C)$ का मिलान $(v)$ से होता है।
$(D)$ दिया है $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$. चूँकि $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,हमारे पास $(s-a) : (s-b) : (s-c) = 3 : 7 : 9$ है। मान लीजिए $s-a=3k, s-b=7k, s-c=9k$. जोड़ने पर $3s - (a+b+c) = 19k \Rightarrow s = 19k$ प्राप्त होता है। तब $a = 16k, b = 12k, c = 10k$. अनुपात $a : b : c = 16 : 12 : 10 = 8 : 6 : 5$. अतः,$(D)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।

(A) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
व्यंजक $rr_1 + r_2 r_3 = \frac{\Delta^2}{s(s-a)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)}$ पर विचार करें।
चूंकि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,हमारे पास $\frac{\Delta^2}{s(s-a)} = (s-b)(s-c)$ और $\frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} = s(s-a)$ है।
अतः,$rr_1 + r_2 r_3 = (s-b)(s-c) + s(s-a)$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $s^2 - s(b+c) + bc + s^2 - sa = 2s^2 - s(a+b+c) + bc$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s^2 - s(2s) + bc = 2s^2 - 2s^2 + bc = bc$ है।
अतः,$rr_1 + r_2 r_3 = bc$,जिसका अर्थ है कि $bc - r_2 r_3 = rr_1$।

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_2(r_1+r_3)}{\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1}} = \frac{\frac{\Delta}{s-b}(\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-c})}{\sqrt{\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}}}$
$= \frac{\frac{\Delta^2}{s-b} \cdot \frac{s-c+s-a}{(s-a)(s-c)}}{\Delta \sqrt{\frac{s-c+s-a+s-b}{(s-a)(s-b)(s-c)}}}$
$= \frac{\Delta \cdot b}{(s-a)(s-b)(s-c)} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{3s-(a+b+c)}}$
चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए वर्गमूल के अंदर हर $3s-2s = s$ है।
$= \frac{\Delta \cdot b}{(s-a)(s-b)(s-c)} \cdot \frac{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s}}$
$= \frac{\Delta \cdot b}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} = \frac{\Delta \cdot b}{\Delta} = b$.

(B) हम जानते हैं कि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
साथ ही,$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ है।
अतः,$(r_2+r_3) \operatorname{cosec}^2 \frac{A}{2} = \left(\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$.
$= \Delta \left(\frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)} = \Delta \left(\frac{a}{(s-b)(s-c)}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$.
$= \frac{\Delta abc}{(s-b)^2(s-c)^2} = \frac{4R \Delta^2}{(s-b)^2(s-c)^2}$.
$= 4R \left(\frac{\Delta}{(s-b)(s-c)}\right)^2 = 4R \left(\cot \frac{A}{2}\right)^2 = 4R \cot^2 \frac{A}{2}$.

(B) रेखा $2x + 5y + \alpha = 0$ निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। चूंकि त्रिभुज धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ बनता है,इसलिए अंतःखंड धनात्मक होने चाहिए। मान लीजिए $\alpha = -k$ जहाँ $k > 0$ है। समीकरण $2x + 5y = k$ या $\frac{x}{k/2} + \frac{y}{k/5} = 1$ बन जाता है।
इस प्रकार,समकोण त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(\frac{k}{2}, 0)$,और $B(0, \frac{k}{5})$ हैं।
कर्ण $AB$ परिवृत्त का व्यास है। कर्ण की लंबाई $d = \sqrt{(\frac{k}{2})^2 + (\frac{k}{5})^2} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{25}} = \sqrt{\frac{29k^2}{100}} = \frac{k\sqrt{29}}{10}$ है।
परिवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{k\sqrt{29}}{20}$ है।
परिवृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi \left(\frac{k^2 \cdot 29}{400}\right) = \frac{29\pi k^2}{400}$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{29\pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{29\pi k^2}{400} = \frac{29\pi}{4}$ है।
इसे सरल करने पर $k^2 = 100$,अतः $k = 10$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k = |\alpha|$ है,इसलिए $|\alpha| = 10$ है।

(D) भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s = \frac{3a}{2}$ है।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतःस्थापित वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,जो $2r$ है।
वर्ग का विकर्ण $= 2 \times \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ है।
$d$ विकर्ण वाले वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{d^2}{2}$ होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल $= \frac{(\frac{a}{\sqrt{3}})^2}{2} = \frac{\frac{a^2}{3}}{2} = \frac{a^2}{6}$.

(D) दिया गया है कि $(r_2-r_1)(r_3-r_1)=2 r_2 r_3$।
$r_2 r_3$ से भाग देने पर,हमें $(1-\frac{r_1}{r_2})(1-\frac{r_1}{r_3})=2$ प्राप्त होता है।
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर,$(1-\frac{s-b}{s-a})(1-\frac{s-c}{s-a})=2$ प्राप्त होता है।
यह $(\frac{s-a-s+b}{s-a})(\frac{s-a-s+c}{s-a})=2$ में सरल हो जाता है,जो $(b-a)(c-a)=2(s-a)^2$ है।
चूंकि $2(s-a) = b+c-a$,हमारे पास $(b-a)(c-a) = \frac{1}{2}(b+c-a)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर $b^2+c^2-a^2=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2=b^2+c^2$,जिसका अर्थ है $\angle A=90^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $2(r+R) = 2r+2R = (b+c-a) + a = b+c$।
चूंकि $b=2R \sin B$ और $c=2R \sin C$,$b+c = 2R(\sin B + \sin C) = 2R(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})$।
चूंकि $A=90^{\circ}$,$B+C=90^{\circ}$,इसलिए $\sin \frac{B+C}{2} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$2(r+R) = 4R(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \frac{B-C}{2} = 2 \sqrt{2} R \cos \frac{B-C}{2}$।

(C) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $A+C = 2B$। चूँकि $A+B+C = 180^{\circ}$ है,हमारे पास $3B = 180^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
$r_1 r_2 = r_3 r$ दिया गया है,हम सूत्रों $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करते हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} = \frac{\Delta^2}{s(s-c)}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(s-a)(s-b) = s(s-c)$ हो जाता है।
यह $\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ के बराबर है,इसलिए $\frac{C}{2} = 45^{\circ}$,जिसका अर्थ है $C = 90^{\circ}$।
चूँकि $B = 60^{\circ}$ और $C = 90^{\circ}$ है,तो $A = 30^{\circ}$ होगा।
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} (2R \sin A)(2R \sin B) \sin 90^{\circ} = 2R^2 \sin 30^{\circ} \sin 60^{\circ} = 2R^2 (\frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} R^2$।
$\Delta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sqrt{3}}{2} R^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिससे $R^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R = 1$।

(B) त्रिभुज की भुजाएँ $a=13, b=14, c=15$ दी गई हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
इसके बाद,हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
बहिःत्रिज्या $r_1$ का सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ है:
$r_1 = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = \frac{21}{2}$.

(C) $\triangle ABC$ में,$A+B+C=\pi$.
हम जानते हैं कि $r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ और $r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
इनका योग करने पर,$r_1+r_2 = 4R \cos \frac{C}{2} [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}]$.
सर्वसमिका $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर,हमें $r_1+r_2 = 4R \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A+B = \pi - C$,इसलिए $\sin(\frac{A+B}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cos \frac{C}{2}$.
अतः,$r_1+r_2 = 4R \cos^2 \frac{C}{2}$.
अब,$(r_1+r_2) \operatorname{cosec}^2 \frac{C}{2} = \frac{4R \cos^2 \frac{C}{2}}{\sin^2 \frac{C}{2}} = 4R \cot^2 \frac{C}{2}$.

(C) दिया गया है $n(A) = 8$.
$A$ के कम से कम $6$ अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या है:
$^8C_6 + ^8C_7 + ^8C_8$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$^8C_6 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$
$^8C_7 = \frac{8}{1} = 8$
$^8C_8 = 1$
कुल उपसमुच्चय $= 28 + 8 + 1 = 37$.

(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन का सूत्र इस प्रकार है:
$\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$
सूत्र में $x = 2$ रखने पर:
$\cosh^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{2^2 - 1})$
$\cosh^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{4 - 1})$
$\cosh^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{3})$

(C) दिया गया है $\cosh x = K$ और $\sinh x = \tan \theta$।
हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक फलनों के लिए सर्वसमिका: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ होती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $K^2 - \sinh^2 x = 1$।
अतः,$\sinh^2 x = K^2 - 1$,जिसका अर्थ है $\sinh x = \sqrt{K^2 - 1}$।
चूंकि $\sinh x = \tan \theta$,इसलिए $\tan \theta = \sqrt{K^2 - 1} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{1}$।
एक समकोण त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{1}$।
कर्ण $H = \sqrt{(\sqrt{K^2 - 1})^2 + 1^2} = \sqrt{K^2 - 1 + 1} = \sqrt{K^2} = K$।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{\sqrt{K^2 - 1}}{K}$।

(D) $I$. $(S1)$ का मूल्यांकन: $\sin 55^{\circ} + \sin 53^{\circ} - \sin 19^{\circ} - \sin 17^{\circ}$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= (\sin 55^{\circ} - \sin 17^{\circ}) + (\sin 53^{\circ} - \sin 19^{\circ})$
$= 2 \cos 36^{\circ} \sin 19^{\circ} + 2 \cos 36^{\circ} \sin 17^{\circ}$
$= 2 \cos 36^{\circ} (\sin 19^{\circ} + \sin 17^{\circ})$
$= 2 \cos 36^{\circ} (2 \sin 18^{\circ} \cos 1^{\circ})$
चूंकि $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$:
$= 2 \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \cdot 2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) \cos 1^{\circ}$
$= 4 \left(\frac{5-1}{16}\right) \cos 1^{\circ} = \cos 1^{\circ}$.
अतः,$(S1)$ असत्य है क्योंकि $\cos 1^{\circ} \neq \cos 2^{\circ}$.
$II$. $(S2)$ का मूल्यांकन: $f(x) = \frac{1}{3 - \cos 2x}$
चूंकि $-1 \leq \cos 2x \leq 1$,इसलिए $-1 \leq -\cos 2x \leq 1$.
$3$ जोड़ने पर: $2 \leq 3 - \cos 2x \leq 4$.
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{3 - \cos 2x} \leq \frac{1}{2}$.
अतः,$(S2)$ सत्य है।

(B) प्रथम व्यंजक के लिए,हम जानते हैं कि $-\sqrt{11^2 + 60^2} \leq 11 \cos 2x + 60 \sin 2x \leq \sqrt{11^2 + 60^2}$.
यह $-61 \leq 11 \cos 2x + 60 \sin 2x \leq 61$ में सरल होता है।
$\frac{1}{11 \cos 2x + 60 \sin 2x + 69}$ को अधिकतम करने के लिए,हमें हर (denominator) को न्यूनतम करना होगा।
हर का न्यूनतम मान $69 - 61 = 8$ है।
अतः,$M_1 = \frac{1}{8}$.
दूसरे व्यंजक के लिए,$3 \cos^2 5x + 4 \sin^2 5x = 3(\cos^2 5x + \sin^2 5x) + \sin^2 5x = 3 + \sin^2 5x$.
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin^2 5x = 1$ हो,इसलिए $M_2 = 3 + 1 = 4$.
अतः,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{1/8}{4} = \frac{1}{32}$.

(C) एक फलन $f(x)$ विषम होता है यदि $f(-x) = -f(x)$ हो।
$I. f(x) = x \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right)$
$f(-x) = (-x) \left( \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} \right) = (-x) \left( \frac{\frac{1}{e^x}-1}{\frac{1}{e^x}+1} \right) = (-x) \left( \frac{1-e^x}{1+e^x} \right) = x \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right) = f(x)$.
चूंकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए $I$ एक सम फलन है।
$II. f(x) = k^x + k^{-x} + \cos x$
$f(-x) = k^{-x} + k^x + \cos(-x) = k^{-x} + k^x + \cos x = f(x)$.
चूंकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए $II$ एक सम फलन है।
$III. f(x) = \log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$f(-x) = \log \left(-x+\sqrt{(-x)^2+1}\right) = \log \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$
अंश और हर को $\sqrt{x^2+1}+x$ से गुणा करने पर:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} \right) = \log \left( \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \right)$
$f(-x) = \log \left( (x+\sqrt{x^2+1})^{-1} \right) = -\log \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $III$ एक विषम फलन है।
अतः,केवल $III$ एक विषम फलन है।

(C) $\tan 5x$,$\cos 3x$,और $\sin 6x$ के आवर्तकाल क्रमशः $\frac{\pi}{5}$,$\frac{2\pi}{3}$,और $\frac{\pi}{3}$ हैं।
$f(x) = \frac{\tan 5x \cos 3x}{\sin 6x}$ का आवर्तकाल $\alpha$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$f(x) = \frac{\tan 5x \cos 3x}{2 \sin 3x \cos 3x} = \frac{\tan 5x}{2 \sin 3x}$.
$\tan 5x$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{5}$ है और $\sin 3x$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{3}$ है।
$f(x)$ का आवर्तकाल $\alpha$,$\frac{\pi}{5}$ और $\frac{2\pi}{3}$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $2\pi$ है।
अतः,$\alpha = 2\pi$.
हमें $f\left(\frac{\alpha}{8}\right) = f\left(\frac{2\pi}{8}\right) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan(5\pi/4)}{2 \sin(3\pi/4)} = \frac{1}{2 \times (1/\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया समीकरण $f(x) = x^4 + 2x^3 - 19x^2 - 8x + 60 = 0$ है।
$x^3$ वाले पद को हटाने के लिए,हम $x$ को $(x+h)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$(x+h)^4 + 2(x+h)^3 - 19(x+h)^2 - 8(x+h) + 60 = 0$ के विस्तार में $x^3$ वाला पद द्विपद प्रमेय से प्राप्त होता है।
$(x+h)^4 = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4$.
$2(x+h)^3 = 2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) = 2x^3 + 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3$.
रूपांतरित समीकरण में $x^3$ का गुणांक $4h + 2$ है।
$x^3$ वाले पद को हटाने के लिए,हम गुणांक को शून्य के बराबर रखते हैं:
$4h + 2 = 0$.
$4h = -2$.
$h = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = (2n-1)(2n+1)(2n+3) = 8n^3 + 12n^2 - 2n - 3$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 8 \sum k^3 + 12 \sum k^2 - 2 \sum k - 3 \sum 1$ है।
$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.
$S_n = n(n+1) [2n^2 + 6n + 1] - 3n$.
$n(n+1)f(n) - 3n$ के साथ तुलना करने पर,$f(n) = 2n^2 + 6n + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(1) = 2(1)^2 + 6(1) + 1 = 9$.

(C) चूंकि रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए उन्हें समाहित करने वाला समतल भी मूल बिंदु से होकर गुजरता है। ऐसे समतल का समीकरण $ax + by + cz = 0$ द्वारा दिया जाता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ का क्रॉस प्रोडक्ट है।
$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -5 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-15)) - \hat{j}(-3 - (-10)) + \hat{k}(9 - 2)$
$\vec{n} = 14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$
$7$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल का समीकरण $2(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$ है,जो सरल होकर $2x - y + z = 0$ हो जाता है।

(C) रेखा के दिक अनुपात $\vec{l} = (1, 2, 2)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, \sqrt{\lambda})$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$ है।
अदिश गुणनफल: $\vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda}) = 2 - 2 + 2\sqrt{\lambda} = 2\sqrt{\lambda}$.
परिमाण: $|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2} = \sqrt{5 + \lambda}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
दिया है $\sin \theta = \frac{1}{3}$,अतः $\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
सरल करने पर: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{\lambda}{5 + \lambda}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{\lambda}{5 + \lambda}$.
$5 + \lambda = 4\lambda \Rightarrow 3\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$.

(B) $7$ अलग-अलग गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में वितरित करने के कुल तरीके $4^7$ हैं।
पहले बक्से में ठीक $3$ गेंदें होने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $7$ में से $3$ गेंदों को ${}^7C_3$ तरीकों से चुनते हैं।
शेष $4$ गेंदों को अन्य $3$ बक्सों में $3^4$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल तरीकों की संख्या ${}^7C_3 \times 3^4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{}^7C_3 \times 3^4}{4^7} = \frac{35}{64} \left(\frac{3}{4}\right)^4$ है।

(C) माना $A$ दो विषम संख्याएँ प्राप्त करने की घटना है और $B$ सम योग प्राप्त करने की घटना है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ज्ञात करनी है।
यहाँ $5$ विषम अंक $(1, 3, 5, 7, 9)$ और $4$ सम अंक $(2, 4, 6, 8)$ हैं।
$9$ में से $2$ अंक चुनने के कुल तरीके ${}^9C_2 = 36$ हैं।
योग सम तब होता है जब या तो दोनों अंक विषम हों या दोनों अंक सम हों।
सम योग प्राप्त करने के तरीके $= {}^5C_2 + {}^4C_2 = 10 + 6 = 16$.
दोनों विषम अंक प्राप्त करने के तरीके $= {}^5C_2 = 10$.
अतः,$P(A|B) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$.

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $6$ के लिए,अनुकूल परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं,इसलिए $5$ परिणाम हैं। एक परीक्षण में योग $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p_1 = \frac{5}{36}$ है।
एक परीक्षण में योग $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q_1 = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ है।
$9$ परीक्षणों में कम से कम एक बार योग $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P_1 = 1 - (q_1)^9 = 1 - \left(\frac{31}{36}\right)^9$ है।
योग $8$ के लिए,अनुकूल परिणाम $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ हैं,इसलिए $5$ परिणाम हैं। एक परीक्षण में योग $8$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p_2 = \frac{5}{36}$ है।
एक परीक्षण में योग $8$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q_2 = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ है।
$9$ परीक्षणों में कम से कम एक बार योग $8$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P_2 = 1 - (q_2)^9 = 1 - \left(\frac{31}{36}\right)^9$ है।
चूंकि $P_1 = P_2$,अनुपात $P_1 : P_2 = 1 : 1$ है।

(C) एक पासे के लिए,संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
पासे पर $3$ के गुणज $\{3, 6\}$ हैं।
एक पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता $P(M) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
एक पासे पर $3$ का गुणज न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(M') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $12$ पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं,इसलिए $12$ पासों में से किसी पर भी $3$ का गुणज न आने की प्रायिकता $\left(\frac{2}{3}\right)^{12}$ है।

(D) मान लीजिए $W_A, W_B, W_C$ क्रमशः थैलियों $A, B, C$ से सफेद गेंद निकालने की घटनाएं हैं और $R_A, R_B, R_C$ क्रमशः लाल गेंद निकालने की घटनाएं हैं।
$P(W_A) = \frac{3}{7}, P(R_A) = \frac{4}{7}$
$P(W_B) = \frac{4}{9}, P(R_B) = \frac{5}{9}$
$P(W_C) = \frac{5}{11}, P(R_C) = \frac{6}{11}$
हमें एक सफेद और दो लाल गेंदें चाहिए। यह तीन परस्पर अनन्य स्थितियों में हो सकता है:
स्थिति $I$: $A$ से सफेद,$B$ से लाल,$C$ से लाल: $P_1 = \frac{3}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{6}{11} = \frac{90}{693}$
स्थिति $II$: $A$ से लाल,$B$ से सफेद,$C$ से लाल: $P_2 = \frac{4}{7} \times \frac{4}{9} \times \frac{6}{11} = \frac{96}{693}$
स्थिति $III$: $A$ से लाल,$B$ से लाल,$C$ से सफेद: $P_3 = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{5}{11} = \frac{100}{693}$
कुल प्रायिकता $= P_1 + P_2 + P_3 = \frac{90+96+100}{693} = \frac{286}{693}$.

(D) कुल प्रश्नों की संख्या $n = 8$ है। चूँकि प्रत्येक प्रश्न सही या गलत प्रकार का है,इसलिए सही उत्तर की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और गलत उत्तर की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
माना $X$ सही उत्तरों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(8, \frac{1}{2})$ का पालन करता है।
छात्र उत्तीर्ण होता है यदि $X \ge 6$ हो।
$P(\text{Pass}) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$
$P(\text{Pass}) = \binom{8}{6}(\frac{1}{2})^8 + \binom{8}{7}(\frac{1}{2})^8 + \binom{8}{8}(\frac{1}{2})^8$
$P(\text{Pass}) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.
छात्र के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(\text{Fail}) = 1 - P(\text{Pass})$ है।
$P(\text{Fail}) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256}$.

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 2 + 3 + 5 = 10$ है।
मान लीजिए $R_3$ वह घटना है कि तीसरी निकाली गई गेंद लाल है।
बिना प्रतिस्थापन के गेंद निकालने की प्रक्रिया में समरूपता (symmetry) के कारण,$k$-वीं गेंद के किसी विशेष रंग का होने की प्रायिकता थैले में उस रंग के प्रारंभिक अनुपात के बराबर होती है।
किसी भी स्थान $k$ (जहाँ $1 \le k \le 10$) के लिए,$k$-वीं गेंद के लाल होने की प्रायिकता $P(R_k) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$P(R_3) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$।

(D) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(E/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$.
दिया गया व्यंजक: $P(A / A \cap B) + P(B / A \cap B)$
$= \frac{P(A \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)} + \frac{P(B \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)}$
चूंकि $A \cap (A \cap B) = A \cap B$ और $B \cap (A \cap B) = A \cap B$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)} + \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)}$
$= 1 + 1 = 2$

(C) मान लीजिए $E_A$ योग $6$ प्राप्त करने की घटना है और $E_B$ योग $7$ प्राप्त करने की घटना है।
योग $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_A) = \frac{5}{36}$ है।
योग $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_A^c) = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ है।
योग $7$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
योग $7$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_B^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$A$ जीतता है यदि वह अपने पहले प्रयास में $6$ प्राप्त करता है,या यदि $A$ विफल रहता है,$B$ विफल रहता है,और फिर $A$ अपने दूसरे प्रयास में $6$ प्राप्त करता है,इत्यादि।
$P(A \text{ wins}) = P(E_A) + P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A) + P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A) + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = P(E_A^c)P(E_B^c) = \frac{31}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{155}{216}$ है।
$P(A \text{ wins}) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{155}{216}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{61}{216}} = \frac{5}{36} \times \frac{216}{61} = \frac{30}{61}$.

(A) $I$. $A, B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं $\Rightarrow P(A \cap B) = 0$. अतः,$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. यह $(iv)$ से मेल खाता है।
$II$. $A, B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं $\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. तब $P(\frac{\bar{A}}{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\bar{A}) \cdot P(B)}{P(B)} = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. यह $(iii)$ से मेल खाता है।
$III$. $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$. यह $(ii)$ से मेल खाता है।
$IV$. $A \cup B = S \Rightarrow P(A \cup B) = 1$. चूँकि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1$,हमारे पास $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 1$ है। चूँकि $P(A) = 1 - P(\bar{A})$,हमें $P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A}) + P(B) - 1 = P(B) - P(\bar{A})$ प्राप्त होता है। यह $(i)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(I)$-$(iv)$,$(II)$-$(iii)$,$(III)$-$(ii)$,$(IV)$-$(i)$ है।

(B) दिया गया है: $P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_1 \cup E_2) = \frac{2}{3}$।
चूँकि $E_1$ और $E_2$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) = \frac{1}{2}P(E_2)$।
$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + P(E_2) - \frac{1}{2}P(E_2)$
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}P(E_2)$
$\frac{1}{6} = \frac{1}{2}P(E_2) \implies P(E_2) = \frac{1}{3}$। ($A-iii$ से मेल खाता है)
अब,$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$।
$P(\frac{E_1}{E_2}) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$। ($B-i$ से मेल खाता है)
$P(\frac{\bar{E}_2}{E_1}) = \frac{P(\bar{E}_2 \cap E_1)}{P(E_1)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)} = \frac{1/2 - 1/6}{1/2} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$। ($C-v$ से मेल खाता है)
$P(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2) = P(\overline{E_1 \cap E_2}) = 1 - P(E_1 \cap E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$। ($D-ii$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-iii, B-i, C-v, D-ii$ है।

(C) $P(A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$,इसलिए $P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$,इसलिए $P(\bar{B}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
यह दो तरीकों से हो सकता है: ($A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है) या ($A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है)।
$P(\text{खंडन}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
$P(\text{खंडन}) = (P(A) \times P(\bar{B})) + (P(\bar{A}) \times P(B))$
$P(\text{खंडन}) = (\frac{3}{4} \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} \times \frac{4}{5})$
$P(\text{खंडन}) = \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$.

(A) दिया गया है कि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएं हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$ है।
$P(A) = 0.30$ और $P(B) = 0.50$ दिया गया है,अतः $P(C) = 1 - (0.30 + 0.50) = 0.20$ प्राप्त होता है।
सशर्त प्रायिकताएं $P(E \mid A) = 0.6$,$P(E \mid B) = 0.3$,और $P(E \mid C) = 0.1$ हैं।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(C \mid E)$ इस प्रकार है:
$P(C \mid E) = \frac{P(C) P(E \mid C)}{P(A) P(E \mid A) + P(B) P(E \mid B) + P(C) P(E \mid C)}$
मान रखने पर:
$P(C \mid E) = \frac{0.20 \times 0.1}{(0.30 \times 0.6) + (0.50 \times 0.3) + (0.20 \times 0.1)}$
$P(C \mid E) = \frac{0.02}{0.18 + 0.15 + 0.02} = \frac{0.02}{0.35} = \frac{2}{35}$.

(C) $1$ से $100$ तक $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $N = {}^{100}C_2 = 4950$ हैं।
घटना $A$: गुणनफल सम है। यह तब होता है जब कम से कम एक संख्या सम हो। पूरक घटना यह है कि दोनों संख्याएँ विषम हैं। विषम संख्याएँ $50$ हैं।
$n(A) = {}^{100}C_2 - {}^{50}C_2 = 4950 - 1225 = 3725$.
घटना $B$: गुणनफल $4$ से विभाज्य है। यह तब होता है जब (दोनों सम हों और कम से कम एक $4$ का गुणज हो) या (एक विषम हो और एक $4$ का गुणज हो)।
$E_2$ वे सम संख्याएँ हैं जो $4$ से विभाज्य नहीं हैं ${2, 6, \dots, 98}$ ($25$ संख्याएँ) और $O$ विषम संख्याएँ हैं ${1, 3, \dots, 99}$ ($50$ संख्याएँ)।
गुणनफल सम है लेकिन $4$ से विभाज्य नहीं है,इसके लिए एक संख्या $E_2$ से और दूसरी $O$ से होनी चाहिए।
$n(A \cap \bar{B}) = {}^{25}C_1 \times {}^{50}C_1 = 25 \times 50 = 1250$.
$P(A \cap \bar{B}) = \frac{1250}{4950} = \frac{25}{99}$.

(A) लड़कियों की कुल संख्या $= 30$ है।
दिया गया है कि $40 \%$ लड़कियाँ गणित में अच्छी हैं।
गणित में अच्छी लड़कियों की संख्या $= \frac{40}{100} \times 30 = 12$.
गणित में अच्छी न होने वाली लड़कियों की संख्या $= 30 - 12 = 18$.
चूंकि चुना गया छात्र पहले से ही एक लड़की है,इसलिए हम केवल लड़कियों के प्रतिदर्श समष्टि (sample space) पर विचार करेंगे।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{गणित में अच्छी न होने वाली लड़कियों की संख्या}}{\text{लड़कियों की कुल संख्या}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.

(C) माना $B_1$ पहला थैला है और $B_2$ दूसरा थैला है।
थैले $B_1$ में $4$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं (कुल = $9$)।
थैले $B_2$ में $3$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं (कुल = $9$)।
हम $B_1$ से $1$ गेंद और $B_2$ से $2$ गेंदें निकालते हैं। कुल निकाली गई गेंदें = $3$।
हमें $2$ काली और $1$ लाल गेंद चाहिए। दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $I$: $B_1$ से निकाली गई गेंद लाल हो और $B_2$ से निकाली गई दोनों गेंदें काली हों।
$P(Case I) = P(R_1) \times P(B_2, B_2) = \frac{4}{9} \times \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{27}$।
स्थिति $II$: $B_1$ से निकाली गई गेंद काली हो और $B_2$ से निकाली गई दो गेंदों में से एक लाल और एक काली हो।
$P(Case II) = P(B_1) \times P(R_2, B_2) = \frac{5}{9} \times \frac{\binom{3}{1} \times \binom{6}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{36} = \frac{5}{18}$।
कुल प्रायिकता = $P(Case I) + P(Case II) = \frac{5}{27} + \frac{5}{18} = \frac{10 + 15}{54} = \frac{25}{54}$।

(C) मान लीजिए $C$,$B$,और $T$ वे घटनाएँ हैं जिनमें व्यक्ति क्रमशः कार,बस और ट्रेन से यात्रा करता है। मान लीजिए $L$ वह घटना है जिसमें व्यक्ति कॉलेज देर से पहुँचता है,और $L'$ वह घटना है जिसमें व्यक्ति कॉलेज समय पर पहुँचता है।
दी गई प्रायिकताएँ: $P(C) = \frac{1}{5}$,$P(B) = \frac{2}{5}$,$P(T) = \frac{3}{5}$।
देर से पहुँचने की प्रायिकताएँ: $P(L|C) = \frac{2}{7}$,$P(L|B) = \frac{4}{7}$,$P(L|T) = \frac{1}{7}$।
समय पर पहुँचने की प्रायिकताएँ: $P(L'|C) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$,$P(L'|B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$,$P(L'|T) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि वह समय पर पहुँचता है तो उसके कार से यात्रा करने की प्रायिकता है:
$P(C|L') = \frac{P(L'|C)P(C)}{P(L'|C)P(C) + P(L'|B)P(B) + P(L'|T)P(T)}$
$P(C|L') = \frac{(\frac{5}{7} \times \frac{1}{5})}{(\frac{5}{7} \times \frac{1}{5}) + (\frac{3}{7} \times \frac{2}{5}) + (\frac{6}{7} \times \frac{3}{5})}$
$P(C|L') = \frac{\frac{5}{35}}{\frac{5}{35} + \frac{6}{35} + \frac{18}{35}} = \frac{5}{5 + 6 + 18} = \frac{5}{29}$.

(A) मान लीजिए $B_1$ पहले समूह से थैला चुनने की घटना है और $B_2$ दूसरे समूह से थैला चुनने की घटना है।
कुल थैले = $2 + 4 = 6$.
$P(B_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ और $P(B_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद काली है।
पहले समूह के लिए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|B_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ है।
दूसरे समूह के लिए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|B_2) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद काली है तो उसके पहले थैलों के समूह से होने की प्रायिकता:
$P(B_1|B) = \frac{P(B_1)P(B|B_1)}{P(B_1)P(B|B_1) + P(B_2)P(B|B_2)}$
$P(B_1|B) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{8}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{5}} = \frac{\frac{5}{24}}{\frac{5}{24} + \frac{4}{15}} = \frac{\frac{5}{24}}{\frac{25 + 32}{120}} = \frac{5}{24} \times \frac{120}{57} = \frac{5 \times 5}{57} = \frac{25}{57}$.

(B) माना $K$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता एक राजा है,और $K^c$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता राजा नहीं है। माना $R$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि पत्ता एक राजा है।
दिया गया है:
$P(K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
$P(K^c) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$
माना $T$ वह घटना है कि व्यक्ति सच बोलता है। $P(T) = \frac{3}{4}$ और $P(T^c) = \frac{1}{4}$ है।
यदि पत्ता राजा है और व्यक्ति के राजा होने की रिपोर्ट करने की प्रायिकता $P(R|K) = P(T) = \frac{3}{4}$ है।
यदि पत्ता राजा नहीं है और व्यक्ति के राजा होने की रिपोर्ट करने की प्रायिकता $P(R|K^c) = P(T^c) = \frac{1}{4}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,व्यक्ति की रिपोर्ट के आधार पर इसके वास्तव में राजा होने की प्रायिकता:
$P(K|R) = \frac{P(R|K)P(K)}{P(R|K)P(K) + P(R|K^c)P(K^c)}$
$P(K|R) = \frac{(\frac{3}{4} \times \frac{1}{13})}{(\frac{3}{4} \times \frac{1}{13}) + (\frac{1}{4} \times \frac{12}{13})}$
$P(K|R) = \frac{\frac{3}{52}}{\frac{3}{52} + \frac{12}{52}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

(C) माना $A$ वह घटना है कि हम तीन हरी गेंदें निकालते हैं। माना $E_k$ वह घटना है कि थैली में $k$ हरी गेंदें हैं,जहाँ $k \in \{3, 4, 5, 6\}$ है। यह मानते हुए कि हरी गेंदों की प्रत्येक संख्या समान रूप से संभावित है,$P(E_k) = \frac{1}{4}$ है।
$k$ हरी गेंदें होने पर $3$ हरी गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(A|E_k) = \frac{{}^k C_3}{{}^6 C_3}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$3$ हरी गेंदें निकाले जाने पर $5$ हरी गेंदें होने की प्रायिकता:
$P(E_5|A) = \frac{P(A|E_5)P(E_5)}{\sum_{k=3}^{6} P(A|E_k)P(E_k)}$
चूंकि सभी $k$ के लिए $P(E_k) = \frac{1}{4}$ है,इसलिए यह सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:
$P(E_5|A) = \frac{{}^5 C_3}{\sum_{k=3}^{6} {}^k C_3} = \frac{10}{1 + 4 + 10 + 20} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$.

(A) हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(A \cap B) = P(B \mid A) \times P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अब,$P(A \mid B)$ के लिए सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$P(B)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \mid B)}$.
मानों को रखने पर,$P(B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(C) $E_1$: थैली $A$ से एक गेंद निकाली जाती है।
$E_2$: थैली $B$ से एक गेंद निकाली जाती है।
$F$: निकाली गई गेंद लाल है।
दिया गया है:
$P(E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_2) = \frac{1}{2}$.
$P(F|E_1) = \frac{3}{5}$ (थैली $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता)।
$P(F|E_2) = \frac{5}{9}$ (थैली $B$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता)।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|F) = \frac{P(F|E_2) \cdot P(E_2)}{P(F|E_1) \cdot P(E_1) + P(F|E_2) \cdot P(E_2)}$
$P(E_2|F) = \frac{\frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}$
$P(E_2|F) = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{3}{5} + \frac{5}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{27 + 25}{45}} = \frac{5}{9} \times \frac{45}{52} = \frac{25}{52}$.

(A) माना $X$ चुने गए खराब बल्बों की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = 20\% = \frac{1}{5}$ है।
तब $q = 1 - p = \frac{4}{5}$ होगा।
ठीक $k$ खराब बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = k) = { }^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 3$ के लिए,हमारे पास है:
$P(X = 3) = { }^5C_3 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^{5-3}$
$P(X = 3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \cdot (\frac{1}{125}) \cdot (\frac{16}{25})$
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{16}{3125}$
$P(X = 3) = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(B) दिया गया है कि माध्य और प्रसरण के बीच का अंतर $1$ है:
$np - npq = 1 \Rightarrow np(1-q) = 1 \Rightarrow np^2 = 1$ $\qquad (i)$
साथ ही,उनके वर्गों के बीच का अंतर $11$ है:
$(np)^2 - (npq)^2 = 11$ $\qquad (ii)$
$n^2p^2 - n^2p^2q^2 = 11 \Rightarrow n^2p^2(1-q^2) = 11$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{n^2p^2(1-q^2)}{np^2} = 11 \Rightarrow n(1-q^2) = 11$
चूंकि $n=36$,$36(1-q^2) = 11 \Rightarrow 1-q^2 = \frac{11}{36} \Rightarrow q^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36} \Rightarrow q = \frac{5}{6}$
अतः,$p = 1 - q = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
अब,$P(X=2) = {}^{36}C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m\left(\frac{5}{6}\right)^{36}$
$\frac{36 \times 35}{2} \times \frac{1}{36} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m\left(\frac{5}{6}\right)^{36}$
$\frac{35}{2} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} \times \left(\frac{5}{6}\right)^2$
$m = \frac{35}{2} \times \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{35}{2} \times \frac{36}{25} = \frac{7 \times 18}{5} = 25.2$
अतः,$m : n = 25.2 : 36 = 252 : 360 = 7 : 10$.

(A) मान लीजिए कि $p$ लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है और $q$ लक्ष्य को भेदने में विफल होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $q = \frac{1}{3}$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
प्रयासों की संख्या $n = 4$ है।
हमें कम से कम तीन बार लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 3) = {}^4C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$.
$P(X = 4) = {}^4C_4 \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{16}{81} \times 1 = \frac{16}{81}$.
अतः,$P(X \geq 3) = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$.

(C) $n=7$ और $p=q=\frac{1}{2}$ वाले द्विपद वितरण के लिए:
$\mu = np = 7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
$\sigma^2 = npq = 7 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$
$P(X=3) = {}^{7}C_{3} \times (\frac{1}{2})^{3} \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times (\frac{1}{2})^{7} = 35 \times \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$
$\frac{\mu \sigma^2}{P(X=3)} = \frac{(\frac{7}{2}) \times (\frac{7}{4})}{\frac{35}{128}} = \frac{49}{8} \times \frac{128}{35} = \frac{7}{1} \times \frac{16}{5} = \frac{112}{5}$

(D) दिया गया है: $n = 300$,$p = 0.01$.
माना $m$ दोषपूर्ण वस्तुओं की औसत संख्या है।
$m = n \times p = 300 \times 0.01 = 3$.
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे,जहाँ पैरामीटर $m = 3$ है।
$X$ दोषपूर्ण वस्तुओं की प्रायिकता $P(X = k) = \frac{e^{-m} m^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या अधिकतम एक हो,अर्थात $P(X \leq 1)$।
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
$P(X = 0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = \frac{e^{-3} \times 1}{1} = \frac{1}{e^3}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-3} 3^1}{1!} = \frac{3}{e^3}$.
अतः,$P(X \leq 1) = \frac{1}{e^3} + \frac{3}{e^3} = \frac{4}{e^3}$.

(C) दिया गया है $X \sim B(5, p)$.
$P(X=3) = P(X=4)$
$\Rightarrow { }^5 C_3 p^3(1-p)^2 = { }^5 C_4 p^4(1-p)$
$\Rightarrow 10(1-p) = 5p$
$\Rightarrow 10 - 10p = 5p \Rightarrow 15p = 10 \Rightarrow p = \frac{2}{3}$.
अब,हमें $P(|X-3| < 2)$ ज्ञात करना है।
$P(|X-3| < 2) = P(-2 < X-3 < 2) = P(1 < X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
चूंकि $P(X=3) = P(X=4)$,हमारे पास $P(X=2) + 2P(X=3)$ है।
$P(X=2) = { }^5 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$.
$P(X=3) = { }^5 C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$.
$P(|X-3| < 2) = \frac{40}{243} + 2(\frac{80}{243}) = \frac{40 + 160}{243} = \frac{200}{243}$.

(C) माना माध्य $\mu = np$ और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया है,$\mu - \sigma = 3 \Rightarrow \mu - 3 = \sigma$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\mu - 3)^2 = \sigma^2 = npq$।
यह भी दिया है कि,$\mu^2 - \sigma^2 = 21$।
पहले समीकरण में $\sigma^2 = \mu^2 - 21$ रखने पर:
$(\mu - 3)^2 = \mu^2 - 21$
$\mu^2 - 6\mu + 9 = \mu^2 - 21$
$-6\mu = -30 \Rightarrow \mu = 5$।
चूँकि $\mu = np = 5$,इसलिए $\sigma^2 = 5^2 - 21 = 25 - 21 = 4$।
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = npq = 5q = 4$,इसलिए $q = \frac{4}{5}$ और $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$।
चूँकि $np = 5$,इसलिए $n(\frac{1}{5}) = 5 \Rightarrow n = 25$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ है।
$\frac{P(X=1)}{P(X=2)} = \frac{{}^{25}C_1 p^1 q^{24}}{{}^{25}C_2 p^2 q^{23}} = \frac{25 \cdot q}{300 \cdot p} = \frac{1}{12} \cdot \frac{4/5}{1/5} = \frac{1}{12} \cdot 4 = \frac{1}{3}$।

(A) मान लीजिए $X$ वह संख्या है जितनी बार रडार $n = 4$ स्कैन में विमान का पता लगाता है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 4$ और $p = 0.1$ (पता लगाने की प्रायिकता) है।
विमान का पता न लगाने की प्रायिकता $q = 1 - p = 0.9$ है।
हम वह प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं कि यह कम से कम दो बार विमान का पता न लगा सके,जो $1 - P(\text{विमान का } 2, 3, \text{ या } 4 \text{ बार पता लगाने की प्रायिकता})$ के बराबर है।
$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
$P(X=2) = {}^{4}C_{2} (0.1)^{2} (0.9)^{2} = 6 \times 0.01 \times 0.81 = 0.0486$.
$P(X=3) = {}^{4}C_{3} (0.1)^{3} (0.9)^{1} = 4 \times 0.001 \times 0.9 = 0.0036$.
$P(X=4) = {}^{4}C_{4} (0.1)^{4} (0.9)^{0} = 1 \times 0.0001 \times 1 = 0.0001$.
$P(X \ge 2) = 0.0486 + 0.0036 + 0.0001 = 0.0523$.
आवश्यक प्रायिकता $1 - P(X \ge 2) = 1 - 0.0523 = 0.9477$ है।

(C) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है:
योग: $np + npq = 5 \Rightarrow np(1+q) = 5$ ...$(i)$
गुणनफल: $(np)(npq) = n^2p^2q = 6$ ...(ii)
$(i)$ से,$np = \frac{5}{1+q}$। इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{5}{1+q}\right)^2 q = 6 \Rightarrow 25q = 6(1+q)^2 \Rightarrow 25q = 6(1+2q+q^2) \Rightarrow 6q^2 - 13q + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $6q^2 - 9q - 4q + 6 = 0 \Rightarrow 3q(2q-3) - 2(2q-3) = 0 \Rightarrow (3q-2)(2q-3) = 0$.
चूंकि $q < 1$,इसलिए $q = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है। अतः $p = 1 - q = \frac{1}{3}$।
$q = \frac{2}{3}$ को $(i)$ में रखने पर: $np(1 + \frac{2}{3}) = 5 \Rightarrow np(\frac{5}{3}) = 5 \Rightarrow np = 3$.
चूंकि $p = \frac{1}{3}$,इसलिए $n(\frac{1}{3}) = 3 \Rightarrow n = 9$।
अंततः,$6(n+p-q) = 6(9 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 6(9 - \frac{1}{3}) = 54 - 2 = 52$।

(D) $5$ के माध्य $\lambda = 5$ वाले पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर:
$P(X = 0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5}$
$P(X = 1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5}$
$P(X = 2) = \frac{e^{-5} 5^2}{2!} = \frac{25}{2}e^{-5}$
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(X < 3) = e^{-5} \left( 1 + 5 + \frac{25}{2} \right) = e^{-5} \left( 6 + 12.5 \right) = 18.5 e^{-5} = \frac{37}{2} e^{-5}$.

(B) माना $X$ निकाले गए राजाओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
कुल पत्ते = $52$। राजाओं की संख्या = $4$। गैर-राजा पत्तों की संख्या = $48$।
हम $2$ पत्ते निकालते हैं। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
$P(X=0) = \frac{{}^{48}C_2}{{}^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$।
$P(X=1) = \frac{{}^{4}C_1 \times {}^{48}C_1}{{}^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$।
$P(X=2) = \frac{{}^{4}C_2}{{}^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$।
$E(X) = 0 + \frac{32}{221} + 2 \times \frac{1}{221} = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$।

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = \frac{1}{10} + (K + \frac{2}{10}) + (K + \frac{3}{10}) + (K + \frac{3}{10}) + (K + \frac{4}{10}) + (K + \frac{2}{10}) = 1$
$\Rightarrow 5K + \frac{15}{10} = 1$
$\Rightarrow 5K + 1.5 = 1$
$\Rightarrow 5K = -0.5$
$\Rightarrow K = -0.1 = -\frac{1}{10}$
अब,तालिका में $K = -\frac{1}{10}$ रखने पर:
$x = -2$ के लिए,$P = \frac{1}{10}$
$x = -1$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$
$x = 0$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10}$
$x = 1$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10}$
$x = 2$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$
$x = 3$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$
माध्य $\mu = \sum x P(x) = (-2)(\frac{1}{10}) + (-1)(\frac{1}{10}) + (0)(\frac{2}{10}) + (1)(\frac{2}{10}) + (2)(\frac{3}{10}) + (3)(\frac{1}{10})$
$\mu = \frac{-2 - 1 + 0 + 2 + 6 + 3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

(B) माना $X$ निकाली गई लाल गेंदों की संख्या है। गेंदों की कुल संख्या $3 + 5 = 8$ है। हम $8$ में से $3$ गेंदें निकालते हैं,इसलिए कुल तरीके ${}^8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
यादृच्छिक चर $X$ के मान $0, 1, 2, 3$ हो सकते हैं।
$P(X=0) = \frac{{}^5 C_0 \times {}^3 C_3}{56} = \frac{1 \times 1}{56} = \frac{1}{56}$
$P(X=1) = \frac{{}^5 C_1 \times {}^3 C_2}{56} = \frac{5 \times 3}{56} = \frac{15}{56}$
$P(X=2) = \frac{{}^5 C_2 \times {}^3 C_1}{56} = \frac{10 \times 3}{56} = \frac{30}{56}$
$P(X=3) = \frac{{}^5 C_3 \times {}^3 C_0}{56} = \frac{10 \times 1}{56} = \frac{10}{56}$
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{56} + 1 \times \frac{15}{56} + 2 \times \frac{30}{56} + 3 \times \frac{10}{56} = \frac{0 + 15 + 60 + 30}{56} = \frac{105}{56} = \frac{15}{8}$.

(D) दिया गया है कि $P(X=k) = k^2 P$ जहाँ $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
चूँकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए:
$\sum_{k=1}^6 P(X=k) = 1$
$P(1^2) + P(2^2) + P(3^2) + P(4^2) + P(5^2) + P(6^2) = 1$
$P(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1$
$91P = 1 \Rightarrow P = \frac{1}{91}$.
$X$ का माध्य $E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot P(X=k)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot (k^2 P) = P \sum_{k=1}^6 k^3$.
$E(X) = \frac{1}{91} (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3)$.
$E(X) = \frac{1}{91} (1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216) = \frac{441}{91}$.

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = 1$
$0.05 + 0.1 + 2K + 0 + 0.3 + K + 0.1 = 1$
$0.55 + 3K = 1 \Rightarrow 3K = 0.45 \Rightarrow K = 0.15$.
अब,वितरण इस प्रकार है:

$X$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$0.05$	$0.1$	$0.3$	$0$	$0.3$	$0.15$	$0.1$

माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-3)(0.05) + (-2)(0.1) + (-1)(0.3) + (0)(0) + (1)(0.3) + (2)(0.15) + (3)(0.1)$
$\mu = -0.15 - 0.2 - 0.3 + 0 + 0.3 + 0.3 + 0.3 = 0.25$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - (0.25)^2$.
$E(X^2) = (-3)^2(0.05) + (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.3) + (0)^2(0) + (1)^2(0.3) + (2)^2(0.15) + (3)^2(0.1)$
$E(X^2) = 9(0.05) + 4(0.1) + 1(0.3) + 0 + 1(0.3) + 4(0.15) + 9(0.1)$
$E(X^2) = 0.45 + 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.6 + 0.9 = 2.95$.
प्रसरण $= 2.95 - (0.25)^2 = 2.95 - 0.0625 = 2.8875$.

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\Sigma P(X=x) = 1$
$2k + 4k + 3k + k = 1$
$10k = 1$
$k = \frac{1}{10}$

(A) माना $r$ त्रिज्या है और $A$ वृत्त का क्षेत्रफल है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ दी गई है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{dr}{r} \times 100)$ है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times 3\% = 6\%$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $6\%$ है।

(A) मूल बिंदु $O(0,0,0)$ के सापेक्ष बिंदुओं $P$ और $Q$ के स्थिति सदिश $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ हैं।
कोण $\theta = \angle POQ$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणन (dot product) सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणन की गणना करें:
$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।