AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) વિચરણ એ મધ્યક આસપાસ ડેટા પોઈન્ટ્સનું ફેલાવો માપે છે. નમૂનાના વિચરણનું સૂત્ર $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ છે.
વિકલ્પ $A$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ માટે: મધ્યક $\bar{x} = 3$. વિચરણ $= \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.
વિકલ્પ $B$ $(1, 1, 2, 3, 6)$ માટે: મધ્યક $\bar{x} = 2.6$. વિચરણ $= \frac{17.2}{4} = 4.3$.
વિકલ્પ $C$ $(1, 1, 2, 3, 5)$ માટે: મધ્યક $\bar{x} = 2.4$. વિચરણ $= \frac{11.2}{4} = 2.8$.
વિકલ્પ $D$ $(1, 1, 2, 2, 5)$ માટે: મધ્યક $\bar{x} = 2.2$. વિચરણ $= \frac{10.8}{4} = 2.7$.
વિચરણોની સરખામણી કરતા $(2.5, 4.3, 2.8, 2.7)$,ન્યૂનતમ વિચરણ $2.5$ છે જે વિકલ્પ $A$ માટે છે.

(C) ગણ $A$ માટે: $\text{મધ્યક} = \frac{\sum x_i}{5} = 2 \Rightarrow \sum x_i = 10$.
વિચરણ $= \frac{1}{5} \sum x_i^2 - (\text{મધ્યક})^2 = 4$ $\Rightarrow \frac{1}{5} \sum x_i^2 - 4 = 4$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 40$.
ગણ $B$ માટે: $\text{મધ્યક} = \frac{\sum y_i}{5} = 4 \Rightarrow \sum y_i = 20$.
વિચરણ $= \frac{1}{5} \sum y_i^2 - (\text{મધ્યક})^2 = 5$ $\Rightarrow \frac{1}{5} \sum y_i^2 - 16 = 5$ $\Rightarrow \sum y_i^2 = 105$.
$A \cup B$ માટે: કુલ ઘટકો $N = 10$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{X} = \frac{\sum x_i + \sum y_i}{10} = \frac{10 + 20}{10} = 3$.
સંયુક્ત વિચરણ $= \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{10} - (\bar{X})^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2 = 14.5 - 9 = 5.5$.

(D) આપેલ માહિતી: $a, b, 8, 5, 10$.
મધ્યક $= \frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$.
$\Rightarrow a+b+23 = 30$ $\Rightarrow a+b = 7$ ...$(i)$
વિચરણ $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - 6^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+64+25+100}{5} - 36 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+189}{5} = 42.80$.
$a^2+b^2+189 = 214 \Rightarrow a^2+b^2 = 25$ ...(ii)
$(i)$ પરથી,$b = 7-a$. (ii) માં મૂકતા:
$a^2 + (7-a)^2 = 25$.
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$.
$2a^2 - 14a + 24 = 0 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0$.
$(a-3)(a-4) = 0$.
તેથી,$a=3, b=4$ અથવા $a=4, b=3$.

(B) આપેલ છે કે,$n=10$,$\Sigma x_i=60$,અને $\Sigma x_i^2=1000$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{60}{10} = 6$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{1000}{10} - (6)^2$
$\sigma^2 = 100 - 36$
$\sigma^2 = 64$.

(C) ધારો કે $d_i = x_i - 5$. આપણને $\Sigma d_i = 3$ અને $\Sigma d_i^2 = 43$ આપેલ છે,જ્યાં $n = 18$.
વિચરણ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી બદલાતું નથી.
તેથી,$x_i$ નું વિચરણ એ $d_i$ ના વિચરણ જેટલું જ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma d_i^2}{n} - \left( \frac{\Sigma d_i}{n} \right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{43}{18} - \left( \frac{3}{18} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{43}{18} - \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{43}{18} - \frac{1}{36}$.
$\sigma^2 = \frac{86 - 1}{36} = \frac{85}{36} \approx 2.3611$.
આમ,વિચરણ આશરે $2.36$ છે.

(C) આપેલ સંખ્યાઓનો સમૂહ: $2, 3, 2x, 11$. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 4$. પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ $3.5 = \frac{7}{2}$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 2x + 11}{4} = \frac{16 + 2x}{4} = \frac{8 + x}{2}$.
વિચરણ $(V)$ એ $V = (SD)^2 = (3.5)^2 = 12.25$ દ્વારા મળે છે.
વિચરણનું સૂત્ર $V = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ છે.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + (2x)^2 + 11^2 = 4 + 9 + 4x^2 + 121 = 134 + 4x^2$.
$12.25 = \frac{134 + 4x^2}{4} - \left(\frac{8 + x}{2}\right)^2$.
$12.25 = \frac{134 + 4x^2 - 64 - 16x - x^2}{4}$.
$49 = 3x^2 - 16x + 70$.
$3x^2 - 16x + 21 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 9x - 7x + 21 = 0$ ઉકેલતા:
$3x(x - 3) - 7(x - 3) = 0$.
$(3x - 7)(x - 3) = 0$.
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = \frac{7}{3}$.

(D) પ્રમાણિત વિચલન એ તેના મધ્યક (mean) ની સાપેક્ષમાં ડેટા સેટના ફેલાવાને માપે છે. નાની રેન્જ અથવા ક્રમિક મૂલ્યો વચ્ચેનો નાનો તફાવત ઓછું પ્રમાણિત વિચલન સૂચવે છે.
આપેલ સેટ માટે:
$A: 10, 20, 30, 40$ (રેન્જ $= 30$)
$B: 2, 4, 6, 8$ (રેન્જ $= 6$)
$C: 3, 6, 9, 12$ (રેન્જ $= 9$)
$D: 1, 2, 3, 4$ (રેન્જ $= 3$)
જેથી સેટ $1, 2, 3, 4$ ની રેન્જ સૌથી નાની છે અને મૂલ્યો એકબીજાની સૌથી નજીક છે,તેથી તેનું પ્રમાણિત વિચલન સૌથી ઓછું છે.

(D) $n$ અવલોકનોનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\bar{x}$ એ અવલોકનોનો મધ્યક છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\bar{x} = 5$,વિચરણ $\sigma^2 = 0$,અને $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = \frac{1}{n}(400) - (5)^2$
$0 = \frac{400}{n} - 25$
$\frac{400}{n} = 25$
$n = \frac{400}{25} = 16$
આમ,$n$ ની કિંમત $16$ છે.

(B) આપેલ છે,$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ અને $4 \sin B + 3 \cos A = 1$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B + 16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

(C) આપેલ છે,$\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$.
$BC=a, AC=b, AB=c$ હોવાથી,$\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$.
સાદુરૂપ આપતા,$a^2+b^2-c^2=ab$ મળે.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{1}{2}$,તેથી $C = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.
આપણે $\tan \frac{\pi}{24}$ શોધવાનું છે.
$\tan \frac{\pi}{24} = \sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2$.

(B) આપેલ છે કે $AD$ એ $\triangle ABC$ નો વેધ છે,તેથી $\angle ADB = 90^{\circ}$.
$\triangle BDP$ માં,$\angle BPD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \frac{B}{3} = 90^{\circ} - \frac{B}{3}$.
તેથી,$\angle APB = 180^{\circ} - \angle BPD = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{B}{3}) = 90^{\circ} + \frac{B}{3}$.
$\triangle ABP$ માં,સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{AP}{\sin(\angle ABP)} = \frac{AB}{\sin(\angle APB)}$
$\frac{AP}{\sin(\frac{2B}{3})} = \frac{c}{\sin(90^{\circ} + \frac{B}{3})}$
$AP = \frac{c \sin(\frac{2B}{3})}{\cos(\frac{B}{3})}$
$AP = \frac{c \cdot 2 \sin(\frac{B}{3}) \cos(\frac{B}{3})}{\cos(\frac{B}{3})}$
$AP = 2c \sin \frac{B}{3}$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\operatorname{cosec} A(\sin B \cos C + \cos B \sin C)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ થાય:
$\operatorname{cosec} A \cdot \sin(B + C)$
$\triangle ABC$ માં,$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$B + C = \pi - A$ થાય.
તેથી,$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\operatorname{cosec} A \cdot \sin A = \frac{1}{\sin A} \cdot \sin A = 1$.

(B) આપેલ છે કે $BC = a, CA = b$ અને $AB = c$.
$a: b: c$ શોધવા માટે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC)$
$\angle ACB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$
સાઇન વિધેયોની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$
$1/2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$
ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$.

(C) $\triangle ABC$ માં આપેલ છે: $a=3, b=4$ અને $\sin A = \frac{3}{4}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \frac{3}{4 \times 3} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
કારણ કે $\sin B = 1$, તેથી $B = 90^{\circ}$.
આમ, $\angle CBA = 90^{\circ}$.

(C) $\triangle ABC$ માં આપેલ છે કે $A=75^{\circ}$ અને $B=45^{\circ}$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$C = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 45^{\circ}) = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમ (Sine Rule) મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$b = k \sin 45^{\circ} = k \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $c = k \sin 60^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$a = k \sin 75^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
આપણે $b + c\sqrt{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$b + c\sqrt{2} = k \frac{1}{\sqrt{2}} + k \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = k \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$.
$a$ ના પદમાં કિંમત મૂકતા,$b + c\sqrt{2} = \left( \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{3}+1} \right) \left( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \right) = 2a$.

(D) આપેલ છે: $a=6 \text{ cm}$,$b=10 \text{ cm}$,$c=14 \text{ cm}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 6 \times 10} = \frac{36 + 100 - 196}{120} = \frac{-60}{120} = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos C = -\frac{1}{2}$,તેથી $C = 120^{\circ}$,જે ગુરુકોણ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,બાકીના બે ખૂણાઓનો (જે લઘુકોણ હશે) સરવાળો $A + B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = x^2+x+1$,$b = 2x+1$,અને $c = x^2-1$ છે.
$x^2+x+1$ એ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $A$ એ બાજુ $a$ ની સામેનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos A = \frac{(2x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (x^2+x+1)^2}{2(2x+1)(x^2-1)}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\cos A = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$A = 120^{\circ}$.

(D) આપણને પદાવલિ $b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B$ આપેલ છે.
દ્વિ-ખૂણાના સૂત્ર $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= b^2 (2 \sin C \cos C) + c^2 (2 \sin B \cos B)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin C = \frac{c}{2R}$ અને $\sin B = \frac{b}{2R}$:
$= 2b^2 \left(\frac{c}{2R}\right) \cos C + 2c^2 \left(\frac{b}{2R}\right) \cos B$
$= \frac{b^2 c \cos C}{R} + \frac{c^2 b \cos B}{R} = \frac{bc}{R} (b \cos C + c \cos B)$
પ્રોજેક્શન સૂત્ર મુજબ,$b \cos C + c \cos B = a$:
$= \frac{bc}{R} (a) = \frac{abc}{R}$
કારણ કે $R = \frac{abc}{4\Delta}$,તેથી $\frac{abc}{R} = 4\Delta$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$b = 2$,$c = 3$,અને $\angle B = \frac{\pi}{6}$.
$\triangle ABC$ માં કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{a^2 + 3^2 - 2^2}{2 \cdot a \cdot 3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 + 9 - 4}{6a}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 + 5}{6a}$
બંને બાજુ $6a$ વડે ગુણતા:
$3\sqrt{3} a = a^2 + 5$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a^2 - 3\sqrt{3} a + 5 = 0$

(C) આપેલ છે કે $2 \Delta^2 = \frac{a^2 b^2 c^2}{a^2+b^2+c^2}$.
સંબંધ $\Delta = \frac{abc}{4R}$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2 b^2 c^2 = 16 R^2 \Delta^2$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \Delta^2 = \frac{16 R^2 \Delta^2}{a^2+b^2+c^2}$.
$2 \Delta^2$ વડે ભાગતા,$a^2+b^2+c^2 = 8 R^2$ મળે.
$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ મૂકતા,$4R^2(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) = 8R^2$ મળે.
તેથી,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 + 2 \cos A \cos B \cos C = 2$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \cos A \cos B \cos C = 0$,તેથી $\cos A = 0$ અથવા $\cos B = 0$ અથવા $\cos C = 0$.
આમ,એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 - 2ab + b^2) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + 2ab + b^2) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) + 2ab(\sin^2 \frac{C}{2} - \cos^2 \frac{C}{2})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2} = 1$ અને $\cos C = \cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2}$,તેથી:
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab(\cos C)$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$:
$= a^2 + b^2 - 2ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right)$
$= a^2 + b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)$
$= c^2$

(A) આપેલ છે: $a \tan A + b \tan B = (a + b) \tan \left(\frac{A+B}{2}\right)$
પદોને ગોઠવતા: $a \left[ \tan A - \tan \left(\frac{A+B}{2}\right) \right] = b \left[ \tan \left(\frac{A+B}{2}\right) - \tan B \right]$
$\tan x - \tan y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \frac{\sin(A - \frac{A+B}{2})}{\cos A \cos \frac{A+B}{2}} = b \frac{\sin(\frac{A+B}{2} - B)}{\cos B \cos \frac{A+B}{2}}$
$a \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\cos A} = b \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\cos B}$
$\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \left( \frac{a}{\cos A} - \frac{b}{\cos B} \right) = 0$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$ હોવાથી,$a = k \sin A$ અને $b = k \sin B$:
$\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) (\tan A - \tan B) = 0$
આથી $\sin \left(\frac{A-B}{2}\right) = 0$ અથવા $\tan A = \tan B$.
બંને કિસ્સામાં,$A = B$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A: \angle B: \angle C = 1: 2: 3$ છે.
ગુણોત્તર અચળાંક $x$ લેતા,$\angle A = x, \angle B = 2x, \angle C = 3x$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$:
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$
$1/2$ વડે ગુણતા,આપણને $a: b: c = 1: \sqrt{3}: 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$s(s-a) = (s-b)(s-c)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ અને $\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$.
બંનેનો વર્ગ કરતા,$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ અને $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ મળે.
કારણ કે $s(s-a) = (s-b)(s-c)$,તેથી $\sin^2 \frac{A}{2} = \cos^2 \frac{A}{2}$ થાય.
$\cos^2 \frac{A}{2}$ વડે ભાગતા,$\tan^2 \frac{A}{2} = 1$ મળે.
$\frac{A}{2}$ એ ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\frac{A}{2} = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$\tan(A/2)$,$\tan(B/2)$ અને $\tan(C/2)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \tan(B/2) = \tan(A/2) + \tan(C/2)$.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin((B-A)/2)}{\cos(A/2)} = \frac{\sin((C-B)/2)}{\cos(C/2)}$
આને ઉકેલતા આપણને મળે છે:
$\cos A - \cos B = \cos B - \cos C$
$\cos A + \cos C = 2\cos B$
આમ,$\cos A$,$\cos B$ અને $\cos C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
તેથી,$ab - r_1 r_2 = ab - \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)}$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ હોવાથી,$ab - r_1 r_2 = ab - s(s-c)$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા,આપણને $ab - \frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} = ab - \frac{(a+b)^2 - c^2}{4} = \frac{4ab - (a^2 + 2ab + b^2) + c^2}{4} = \frac{c^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{c-(a-b)}{2} \cdot \frac{c+(a-b)}{2} = (s-a)(s-b)$ મળે છે.
હવે,$\frac{ab - r_1 r_2}{r_3} = \frac{(s-a)(s-b)}{\frac{\Delta}{s-c}} = \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{\Delta} = \frac{\Delta^2}{s \Delta} = \frac{\Delta}{s} = r$.

(A) $\triangle ABC$ માટે,બહિરવૃતની ત્રિજ્યાઓ $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$ છે અને અંતઃવૃતની ત્રિજ્યા $r=\frac{\Delta}{s}$ છે,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$.
તેથી,$r_1+r_2+r_3-r = 4R$.
આપેલ છે કે $r_1=2, r_2=3, r_3=6$,આપણે $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $r$ શોધી શકીએ છીએ.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$,તેથી $r=1$.
કિંમતો મૂકતા,$r_1+r_2+r_3-r = 2+3+6-1 = 10$.
આમ,$r_1+r_2+r_3-r = 4R$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$r_1=2, r_2=3, r_3=6$.
બહિર્વૃતની ત્રિજ્યાના સૂત્રો: $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$s-a=\frac{\Delta}{2}, s-b=\frac{\Delta}{3}, s-c=\frac{\Delta}{6}$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(s-a)+(s-b)+(s-c) = \Delta(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})$.
$3s-(a+b+c) = \Delta(\frac{3+2+1}{6}) = \Delta$.
$a+b+c=2s$ હોવાથી,$3s-2s = \Delta$,એટલે કે $s=\Delta$.
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા: $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$s=\Delta$ અને $(s-a), (s-b), (s-c)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = \sqrt{\Delta \cdot \frac{\Delta}{2} \cdot \frac{\Delta}{3} \cdot \frac{\Delta}{6}} = \sqrt{\frac{\Delta^4}{36}} = \frac{\Delta^2}{6}$.
$\Delta \neq 0$ હોવાથી,$1 = \frac{\Delta}{6}$,એટલે કે $\Delta = 6$.
તેથી,$s = 6$.
હવે,$s-a = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow a = 6-3 = 3$.
$s-b = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow b = 6-2 = 4$.
$s-c = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow c = 6-1 = 5$.
તેથી,$(a, b, c) = (3, 4, 5)$.

(A) આપેલ છે: $\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)\left(1-\frac{r_1}{r_3}\right)=2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left(1-\frac{\frac{\Delta}{s-a}}{\frac{\Delta}{s-b}}\right)\left(1-\frac{\frac{\Delta}{s-a}}{\frac{\Delta}{s-c}}\right) = 2$
$\left(1-\frac{s-b}{s-a}\right)\left(1-\frac{s-c}{s-a}\right) = 2$
$\left(\frac{s-a-s+b}{s-a}\right)\left(\frac{s-a-s+c}{s-a}\right) = 2$
$\left(\frac{b-a}{s-a}\right)\left(\frac{c-a}{s-a}\right) = 2$
$(b-a)(c-a) = 2(s-a)^2$
$bc - ab - ac + a^2 = 2\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2$
$bc - ab - ac + a^2 = 2\frac{(b+c-a)^2}{4}$
$2(bc - ab - ac + a^2) = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
$2bc - 2ab - 2ac + 2a^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ab - 2ac$
$2a^2 = b^2 + c^2 + a^2$
$a^2 = b^2 + c^2$
તેથી,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(D) $\triangle ABC$ માં,બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$,$\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}$,અને $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}} \cdot \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \frac{(s-c) \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{abc}$
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ અને $abc = 4R\Delta$ હોવાથી:
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \frac{(s-c) \Delta}{4R\Delta} = 4s\Delta$.
હવે,$r_1 r_2 r_3 = \frac{\Delta^3}{(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta^3}{\Delta^2/s} = s\Delta$.
તેથી,$4s\Delta = 4 r_1 r_2 r_3$.

(A) આપેલ છે $a: b: c = 4: 5: 6$. ધારો કે $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{15\sqrt{7}}{4} k^2$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8}{\sqrt{7}} k$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{7}}{2} k$.
ગુણોત્તર $R: r = \frac{8}{\sqrt{7}} k : \frac{\sqrt{7}}{2} k = \frac{16}{7}$.

(B) આપેલ છે કે $a = |Z_1|, b = |Z_2|, c = |Z_3|$. $Z_1, Z_2, Z_3$ શૂન્યતર હોવાથી $a, b, c > 0$ છે.
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 0$.
$abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 0$.
$3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$,એટલે કે $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા.
આને $\frac{1}{2}(a + b + c)((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$a, b, c > 0$ હોવાથી,$a + b + c \neq 0$.
તેથી,$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = b = c$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+2y=3$ અને $3x+6y=a-2$ છે.
સુરેખ સમીકરણો $a_1x+b_1y=c_1$ અને $a_2x+b_2y=c_2$ ની સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1=1, b_1=2, c_1=3$ અને $a_2=3, b_2=6, c_2=a-2$ મળે છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \neq \frac{3}{a-2}$.
કારણ કે $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ હંમેશા સાચું છે,આપણે અસમતા $\frac{1}{3} \neq \frac{3}{a-2}$ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $a-2 \neq 3 \times 3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a-2 \neq 9$ થાય છે.
તેથી,$a \neq 11$.

(D) નિત્યસમ $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ આપેલ છે.
લઘુગણકીય વિધેય $\log_e(u)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$u > 0$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,આપણે $\frac{1+x}{1-x} > 0$ ની જરૂર છે.
ધારો કે $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$. નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 1$ છે.
અંતરાલો તપાસતા:
$x < -1$ માટે,$f(x) < 0$.
$-1 < x < 1$ માટે,$f(x) > 0$.
$x > 1$ માટે,$f(x) < 0$.
$x = 1$ અને $x = -1$ પર,પદ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,નિત્યસમ ફક્ત $x \in (-1, 1)$ માટે જ માન્ય છે.

(D) આપેલ છે,ચોરસ $ABCD$ જેના શિરોબિંદુઓ $A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2)$ છે.
$f_1(x, y) \longrightarrow (y, x)$ લાગુ પાડતા:
$A(0,0)$ $\longrightarrow A'(0,0), B(2,0)$ $\longrightarrow B'(0,2), C(2,2)$ $\longrightarrow C'(2,2), D(0,2)$ $\longrightarrow D'(2,0)$.
$f_2(x, y) \longrightarrow (x+3y, y)$ લાગુ પાડતા:
$A'(0,0)$ $\longrightarrow A''(0,0), B'(0,2)$ $\longrightarrow B''(6,2), C'(2,2)$ $\longrightarrow C''(8,2), D'(2,0)$ $\longrightarrow D''(2,0)$.
$f_3(x, y) \longrightarrow \left(\frac{x-y}{2}, \frac{x+y}{2}\right)$ લાગુ પાડતા:
$A''(0,0)$ $\longrightarrow A'''(0,0), B''(6,2)$ $\longrightarrow B'''(2,4), C''(8,2)$ $\longrightarrow C'''(3,5), D''(2,0)$ $\longrightarrow D'''(1,1)$.
અંતિમ શિરોબિંદુઓ: $A(0,0), B(2,4), C(3,5), D(1,1)$.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{2}$.
$CD = \sqrt{(1-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$DA = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$.
સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB=CD$ અને $BC=DA$) અને પાસપાસેની બાજુઓ સમાન ન હોવાથી,આ આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(C) આપેલ છે કે,$1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4 = f(n) \left(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\right)$.
$f(n) = \frac{1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4}{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}$.
$n=4$ માટે,$f(4) = \frac{1^4+2^4+3^4+4^4}{1^2+2^2+3^2+4^2}$.
$f(4) = \frac{1+16+81+256}{1+4+9+16}$.
$f(4) = \frac{354}{30}$.
અંશ અને છેદને $6$ વડે ભાગતા,$f(4) = \frac{59}{5}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{(x^2+1)^3}{x^3} + \frac{x^2+1}{3x} = 0$ છે,જ્યાં $x \neq 0$.
ધારો કે $t = \frac{x^2+1}{x}$. તો સમીકરણ $t^3 + \frac{t}{3} = 0$ બને છે.
$t$ સામાન્ય લેતા,આપણને $t(t^2 + \frac{1}{3}) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $t = 0$ અથવા $t^2 = -\frac{1}{3}$.
કારણ કે $t$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,$t^2 = -\frac{1}{3}$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$t = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\frac{x^2+1}{x} = 0$.
આ સૂચવે છે કે $x^2 + 1 = 0$,અથવા $x^2 = -1$.
કારણ કે $x^2 = -1$ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી,તેથી આપેલ સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim_{x \to 0} \frac{2f(x) - 3f(2x) + f(4x)}{x^2}$ છે.
$x = 0$ મૂકતા,તે $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ આપે છે.
$L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{2f'(x) - 3 \cdot 2f'(2x) + 4f'(4x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2f'(x) - 6f'(2x) + 4f'(4x)}{2x}$.
ફરીથી $L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{2f''(x) - 6 \cdot 2f''(2x) + 4 \cdot 4f''(4x)}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{2f''(x) - 12f''(2x) + 16f''(4x)}{2}$.
કારણ કે $f''(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f''(x) = f''(0) = 4$.
$x = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{2f''(0) - 12f''(0) + 16f''(0)}{2} = \frac{6f''(0)}{2} = 3f''(0)$.
$f''(0) = 4$ આપેલ હોવાથી,$L = 3 \times 4 = 12$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને $y^3 = 16x$ છે.
ધારો કે વક્રો બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર છેદે છે.
પ્રથમ વક્ર $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{a^2y}$.
તેથી,$m_1 = -\frac{4x_1}{a^2y_1}$.
બીજા વક્ર $y^3 = 16x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2}$.
તેથી,$m_2 = \frac{16}{3y_1^2}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$(-\frac{4x_1}{a^2y_1}) \times (\frac{16}{3y_1^2}) = -1$.
$\frac{64x_1}{3a^2y_1^3} = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ $y^3 = 16x$ પર હોવાથી,$y_1^3 = 16x_1$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{64x_1}{3a^2(16x_1)} = 1
\implies \frac{64x_1}{48a^2x_1} = 1
\implies \frac{4}{3a^2} = 1
\implies a^2 = \frac{4}{3}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \dots (i)$
બિંદુ $A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીશું.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
બિંદુ $A$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = -\frac{b^2}{a^2} \left( \frac{a/\sqrt{2}}{b/\sqrt{2}} \right) = -\frac{b}{a}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{a}{b}$.
$A$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \dots (ii)$.
$A$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \dots (iii)$.
$X$-અક્ષ પર ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,$(ii)$ અને $(iii)$ માં $y=0$ મૂકો:
સ્પર્શક માટે,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies \frac{a}{\sqrt{2}} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \sqrt{2}a$. બિંદુ $B = (\sqrt{2}a, 0)$.
અભિલંબ માટે,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies -\frac{b^2}{\sqrt{2}a} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}$. બિંદુ $C = (\frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}, 0)$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ બિંદુ $A$ નો $y$-યામ છે,જે $h = \frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.
પાયો $BC = \sqrt{2}a - \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{2a^2 - a^2 + b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a} \right) \times \left( \frac{b}{\sqrt{2}} \right) = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^2+y^2=a^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0$
$-\frac{x}{y} = 0 \implies x = 0$.
વક્રના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$0^2 + y^2 = a^2 \implies y^2 = a^2$.
$y \geq 0$ હોવાથી,આપણને $y = a$ મળે છે.
આમ,વક્ર પરનું બિંદુ $(0, a)$ છે.

(A) ધારો કે $(4, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 4)$ છે,જ્યાં રેખા પ્રથમ ચરણમાં કાપે તે માટે $m < 0$ હોવું જોઈએ.
$y = mx - 4m + 3$.
$x$-અંતઃખંડ $y = 0$ મૂકીને મળે છે: $0 = mx - 4m + 3 \implies x = 4 - \frac{3}{m}$.
$y$-અંતઃખંડ $x = 0$ મૂકીને મળે છે: $y = 3 - 4m$.
પ્રથમ ચરણમાં બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times (x\text{-અંતઃખંડ}) \times (y\text{-અંતઃખંડ}) = \frac{1}{2} (4 - \frac{3}{m})(3 - 4m) = \frac{1}{2} (12 - 16m - \frac{9}{m} + 12) = 12 - 8m - \frac{9}{2m}$.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ કરવા માટે,$A$ નું $m$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો: $\frac{dA}{dm} = -8 + \frac{9}{2m^2} = 0$.
$8 = \frac{9}{2m^2} \implies m^2 = \frac{9}{16} \implies m = -\frac{3}{4}$ (કારણ કે $m < 0$).
$m = -\frac{3}{4}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 4)$.
$4y - 12 = -3x + 12 \implies 3x + 4y = 24$.

(C) ધારો કે $X$ અને $Y$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $m$ અને $n$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ છે.
રેખા $(4, 5)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{m} + \frac{5}{n} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{4}{m} = 1 - \frac{5}{n} = \frac{n-5}{n}$,તેથી $m = \frac{4n}{n-5}$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}mn = \frac{1}{2} \left( \frac{4n}{n-5} \right) n = \frac{2n^2}{n-5}$ છે.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $n$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{dn} = 2 \left[ \frac{(n-5)(2n) - n^2(1)}{(n-5)^2} \right] = 2 \left[ \frac{2n^2 - 10n - n^2}{(n-5)^2} \right] = \frac{2n^2 - 20n}{(n-5)^2}$.
$\frac{dA}{dn} = 0$ લેતા,આપણને $2n(n-10) = 0$ મળે છે. ધન અંતઃખંડો માટે $n > 5$ હોવાથી,$n = 10$ મળે.
તેથી $m = \frac{4(10)}{10-5} = \frac{40}{5} = 8$.
અંતઃખંડોનો ગુણોત્તર $m : n = 8 : 10 = 4 : 5$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{x^{4}}{(x - 1)(x - 2)} = f(x) + \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
બહુપદીના લાંબા ભાગાકાર દ્વારા,આપણે $x^{4}$ ને $(x - 1)(x - 2) = x^{2} - 3x + 2$ વડે ભાગીએ છીએ.
$x^{4} = (x^{2} - 3x + 2)(x^{2} + 3x + 7) + (15x - 14)$.
આમ,$\frac{x^{4}}{(x - 1)(x - 2)} = x^{2} + 3x + 7 + \frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)}$.
આપણે $\frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવીએ છીએ: $\frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
$15x - 14 = A(x - 2) + B(x - 1)$.
$x = 1$ માટે: $15(1) - 14 = A(1 - 2) \Rightarrow 1 = -A \Rightarrow A = -1$.
$x = 2$ માટે: $15(2) - 14 = B(2 - 1) \Rightarrow 16 = B$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$f(x) = x^{2} + 3x + 7$,$A = -1$,અને $B = 16$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $f(x) = x^{2} + 3x + 7$ એ વિકલ્પ $B$ છે,અને $A + B = -1 + 16 = 15$ (જે $17$ નથી),$A - B = -1 - 16 = -17$ (જે $-18$ નથી).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x^{2} + 4x + 4)} = \frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x + 2)^{2}}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x + 2)^{2}} = \frac{A}{3x + 5} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^{2}}$.
બંને બાજુ $(3x + 5)(x + 2)^{2}$ વડે ગુણતા:
$-x^{2} + 6x + 13 = A(x + 2)^{2} + B(x + 2)(3x + 5) + C(3x + 5)$.
$C$ શોધવા માટે $x = -2$ મૂકતા:
$-(-2)^{2} + 6(-2) + 13 = C(3(-2) + 5) \Rightarrow -4 - 12 + 13 = C(-1) \Rightarrow -3 = -C \Rightarrow C = 3$.
$A$ શોધવા માટે $x = -\frac{5}{3}$ મૂકતા:
$-(-\frac{5}{3})^{2} + 6(-\frac{5}{3}) + 13 = A(-\frac{5}{3} + 2)^{2} \Rightarrow -\frac{25}{9} - 10 + 13 = A(\frac{1}{3})^{2} \Rightarrow \frac{2}{9} = A(\frac{1}{9}) \Rightarrow A = 2$.
$B$ શોધવા માટે $x^{2}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-1 = A + 3B \Rightarrow -1 = 2 + 3B \Rightarrow -3 = 3B \Rightarrow B = -1$.
આમ,આંશિક અપૂર્ણાંક $\frac{2}{3x + 5} - \frac{1}{x + 2} + \frac{3}{(x + 2)^{2}}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2 x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$
બંને બાજુ $(2x-1)(x+2)(x-3)$ વડે ગુણતા:
$x^3 = A(2 x-1)(x+2)(x-3) + B(x+2)(x-3) + C(x-3)(2 x-1) + D(2 x-1)(x+2)$
$A$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ.
છેદનું વિસ્તરણ: $(2x-1)(x+2)(x-3) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન $(3)$ હોવાથી,$A$ એ અગ્ર સહગુણકોનો ગુણોત્તર છે:
$A = \frac{1}{2}$
વૈકલ્પિક રીતે,કિંમતો મૂકતા:
$x=3$ માટે: $27 = D(5)(5) \Rightarrow D = \frac{27}{25}$
$x=-2$ માટે: $-8 = C(-5)(-5) \Rightarrow C = -8/25$
$x=1/2$ માટે: $1/8 = B(5/2)(-5/2) \Rightarrow B = -1/50$
$x=0$ માટે: $0 = 6A - 6B + 3C - 2D$
$6A = 6(-1/50) - 3(-8/25) + 2(27/25) = 3$
$A = 1/2$

(B) આપેલ છે,$\frac{1}{(3-5 x)(2+3 x)}=\frac{A}{3-5 x}+\frac{B}{2+3 x}$
અંશને સરખાવતા:
$1 = A(2+3x) + B(3-5x)$
$1 = (2A + 3B) + x(3A - 5B)$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોને સરખાવતા:
$3A - 5B = 0$ ...$(i)$
$2A + 3B = 1$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$9A - 15B = 0$
$10A + 15B = 5$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$19A = 5 \implies A = \frac{5}{19}$
$A$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(\frac{5}{19}) - 5B = 0 \implies 5B = \frac{15}{19} \implies B = \frac{3}{19}$
તેથી,$A+B = \frac{5}{19} + \frac{3}{19} = \frac{8}{19}$

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{6 x^3+7 x^2+6 x-3}{(x-1)(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
બંને બાજુ છેદ $(x-1)(x+3)(x^2+1)$ વડે ગુણતા:
$6x^3 + 7x^2 + 6x - 3 = A(x+3)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)(x+3)$.
$x=1$ માટે: $6(1)^3 + 7(1)^2 + 6(1) - 3 = A(1+3)(1^2+1) \Rightarrow 16 = 8A \Rightarrow A=2$.
$x=-3$ માટે: $6(-3)^3 + 7(-3)^2 + 6(-3) - 3 = B(-3-1)((-3)^2+1) \Rightarrow -162 + 63 - 18 - 3 = B(-4)(10) \Rightarrow -120 = -40B \Rightarrow B=3$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા ($x=0$ મૂકતા): $-3 = A(3)(1) + B(-1)(1) + D(-1)(3) \Rightarrow -3 = 3A - B - 3D$.
$A=2$ અને $B=3$ મૂકતા: $-3 = 3(2) - 3 - 3D \Rightarrow -3 = 3 - 3D \Rightarrow 3D = 6 \Rightarrow D=2$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $6 = A + B + C \Rightarrow 6 = 2 + 3 + C \Rightarrow C=1$.
આમ,$n = A+B+C+D = 2+3+1+2 = 8$.
આપેલ છે કે ${}^{50}C_n = {}^{50}C_r$,આપણે જાણીએ છીએ કે $r=n$ અથવા $r=50-n$ થાય.
અહીં $r=n=8$ વિકલ્પમાં નથી,તેથી $r = 50-8 = 42$ મળે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x}{(1+x^2)(3-2x)} = \frac{Bx+C}{1+x^2} + \frac{A}{3-2x}$.
બંને બાજુ $(1+x^2)(3-2x)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x = (Bx+C)(3-2x) + A(1+x^2)$
$x = 3Bx - 2Bx^2 + 3C - 2Cx + A + Ax^2$
$x = (A-2B)x^2 + (3B-2C)x + (A+3C)$
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A - 2B = 0 \Rightarrow A = 2B$
$2$) $3B - 2C = 1$
$3$) $A + 3C = 0 \Rightarrow A = -3C$
$A = 2B$ અને $A = -3C$ પરથી,$2B = -3C \Rightarrow B = -\frac{3}{2}C$.
$B$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3(-\frac{3}{2}C) - 2C = 1$
$-\frac{9}{2}C - 2C = 1$
$-\frac{13}{2}C = 1$
$C = -\frac{2}{13}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^2}{x^2+3x-4}$ છે.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{x^2}{x^2+3x-4} = 1 - \frac{3x-4}{x^2+3x-4} = 1 + \frac{-3x+4}{(x-1)(x+4)}$.
ધારો કે $\frac{-3x+4}{(x-1)(x+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4}$.
તેથી $-3x+4 = A(x+4) + B(x-1)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B = -3$ અને $4A-B = 4$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$.
$A$ ની કિંમત $A+B = -3$ માં મૂકતા: $\frac{1}{5} + B = -3 \Rightarrow B = -3 - \frac{1}{5} = -\frac{16}{5}$.
આમ,$\frac{x^2}{x^2+3x-4} = 1 + \frac{1}{5(x-1)} - \frac{16}{5(x+4)}$.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે અને $T$ એ કાંટો મળવાની ઘટના છે. પ્રયોગ ત્યારે અટકે છે જ્યારે છાપ મળે અથવા ત્રણ ઉછાળ પૂર્ણ થાય.
પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S = \{H, TH, TTH, TTT\}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ઉછાળમાં છાપ મળતી નથી. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ ઉછાળમાં કાંટો $(T)$ મળે છે.
ઘટના $A$ ને અનુરૂપ પરિણામો $\{TH, TTH, TTT\}$ છે.
સંભાવના $P(A) = P(T) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સિક્કો ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે છે. ઘટના $B$ ને અનુરૂપ પરિણામો $\{TTH, TTT\}$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે પ્રથમ ઉછાળમાં કાંટો મળે છે અને સિક્કો ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે છે. આ પરિણામો $\{TTH, TTT\}$ ને અનુરૂપ છે.
$P(A \cap B) = P(TTH) + P(TTT) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધવાની છે:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $F$ એ નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ થવાની ઘટના છે અને $B$ એ પક્ષપાતી સિક્કો પસંદ થવાની ઘટના છે. ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ઉછાળે છાપ અને બીજા ઉછાળે કાંટો મળે.
આપેલ છે કે $P(F) = \frac{m}{n}$ અને $P(B) = \frac{n-m}{n}$.
નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,$P(H) = \frac{1}{2}$ અને $P(T) = \frac{1}{2}$. તેથી,$P(E|F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
પક્ષપાતી સિક્કા માટે,$P(H) = 2P(T)$. $P(H) + P(T) = 1$ હોવાથી,$3P(T) = 1$,તેથી $P(T) = \frac{1}{3}$ અને $P(H) = \frac{2}{3}$. તેથી,$P(E|B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ઘટના $E$ આપેલ હોય ત્યારે સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાની સંભાવના:
$P(F|E) = \frac{P(F)P(E|F)}{P(F)P(E|F) + P(B)P(E|B)}$
$P(F|E) = \frac{(\frac{m}{n})(\frac{1}{4})}{(\frac{m}{n})(\frac{1}{4}) + (\frac{n-m}{n})(\frac{2}{9})}$
$P(F|E) = \frac{\frac{m}{4}}{\frac{m}{4} + \frac{2(n-m)}{9}} = \frac{9m}{9m + 8(n-m)} = \frac{9m}{9m + 8n - 8m} = \frac{9m}{8n + m}$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મળતી નથી.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે માણસ અહેવાલ આપે છે કે અવિભાજ્ય સંખ્યા મળી છે.
$1$ થી $100$ ની વચ્ચે $25$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
તેથી,$P(A) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = 1 - P(A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
માણસ સાચું બોલે તેની સંભાવના $P(E|A) = \frac{7}{10}$ છે.
માણસ જૂઠું બોલે (જ્યારે અવિભાજ્ય ન હોય ત્યારે અવિભાજ્ય હોવાનો અહેવાલ આપે) તેની સંભાવના $P(E|B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો તેણે અવિભાજ્ય સંખ્યાનો અહેવાલ આપ્યો હોય તો તે ખરેખર અવિભાજ્ય હોવાની સંભાવના:
$P(A|E) = \frac{P(A) \times P(E|A)}{P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B)}$
$P(A|E) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{7}{10}}{(\frac{1}{4} \times \frac{7}{10}) + (\frac{3}{4} \times \frac{3}{10})}$
$P(A|E) = \frac{\frac{7}{40}}{\frac{7}{40} + \frac{9}{40}} = \frac{7}{16}$.

(D) ધારો કે $X$ એ $3$ પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા દર્શાવે છે. પાસાને $3$ વાર ફેંકવામાં આવે છે,તેથી $n=3$.
એક વાર ફેંકતા બેકી સંખ્યા (સફળતા) મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$.
આપણે ઓછામાં ઓછી $2$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$ છે.
$P(X=2) = { }^3 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$.
$P(X=3) = { }^3 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-3} = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
તેથી,$P(X \geq 2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(C) દરેક સિક્કાનો ઉછાળો એ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે.
એક નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,કોઈપણ એક ઉછાળામાં છાપ મળવાની સંભાવના હંમેશા $P(H) = \frac{1}{2}$ હોય છે.
કારણ કે ઉછાળાઓ સ્વતંત્ર છે,$1947$ મા ઉછાળાનું પરિણામ અન્ય કોઈ ઉછાળાના પરિણામ પર આધારિત નથી.
તેથી,$1947$ મા ઉછાળા પર છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ રહે છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 5$ અને વિચરણ $npq = 4$ છે.
વિચરણના સૂત્રમાં $np = 5$ મૂકતા,આપણને $5q = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{4}{5}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
$np = 5$ અને $p = \frac{1}{5}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $n = \frac{5}{p} = 5 \times 5 = 25$ મળે છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ છે.
$X=1$ માટે,$P(X=1) = {}^{25}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{25-1}$.
$P(X=1) = 25 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{24} = 5 \times \frac{4^{24}}{5^{24}} = \frac{4^{24}}{5^{23}}$.

(A) ધારો કે સફળતા એટલે ઓફિસના હેતુ માટે વપરાતો સ્માર્ટ ફોન પસંદ કરવો.
અહીં,સફળતાની સંભાવના $p = 50 \% = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
આપણી પાસે $n = 10$ પ્રયત્નો છે અને આપણે બરાબર $r = 2$ સફળતાઓ જોઈએ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{10-2}$
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^8$
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = { }^{10} C_2 \frac{1}{2^{10}}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માં,મધ્યક $\mu = np$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq}$ છે.
આપેલ છે કે,$np = 200$ અને $\sqrt{npq} = 10$.
પ્રમાણિત વિચલનના સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને $npq = 100$ મળે છે.
$np = 200$ ને $npq = 100$ માં મૂકતા,આપણને $200q = 100$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
હવે,$np = 200 \implies n(\frac{1}{2}) = 200 \implies n = 400$.
આપણે $n^2 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કિંમતો મૂકતા: $(400)^2 + \frac{1}{(1/2)^2} + \frac{1}{(1/2)^2} = 160000 + 4 + 4 = 160008$.

(B) ધારો કે તે $n$ વખત લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે છે.
ધારો કે $X$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંખ્યા છે.
લક્ષ્યને વીંધવું એ બર્નુલી પ્રયત્ન હોવાથી,$X$ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
અહીં,$p = \frac{2}{3}$ (વીંધવાની સંભાવના) અને $q = 1 - p = \frac{1}{3}$ (ન વીંધવાની સંભાવના).
લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી એક વાર વીંધવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X \geq 1) > 90 \%$,જેનો અર્થ છે કે $P(X \geq 1) > 0.9$.
તેથી,$1 - P(X = 0) > 0.9$.
કારણ કે $P(X = 0) = {}^nC_0 q^n p^0 = (\frac{1}{3})^n$,આપણી પાસે છે:
$1 - (\frac{1}{3})^n > 0.9$
$0.1 > (\frac{1}{3})^n$
$(\frac{1}{3})^n < \frac{1}{10}$
$3^n > 10$.
$n = 1$ માટે,$3^1 = 3 < 10$.
$n = 2$ માટે,$3^2 = 9 < 10$.
$n = 3$ માટે,$3^3 = 27 > 10$.
આમ,તેણે ઓછામાં ઓછી $3$ વાર ગોળીબાર કરવો જોઈએ.

(B) આપેલ છે કે મધ્યક = $np = 6$ ... $(i)$
વિચરણ = $npq = 2$ જ્યાં $q = 1 - p$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$6q = 2 \implies q = \frac{1}{3}$
કારણ કે $p = 1 - q$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$n = \frac{6}{p} = \frac{6}{2/3} = 9$
દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના સૂત્ર $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ છે.
$X = 8$ માટે:
$P(X = 8) = {}^9C_8 \left(\frac{2}{3}\right)^8 \left(\frac{1}{3}\right)^{9-8}$
$P(X = 8) = 9 \times \frac{2^8}{3^8} \times \frac{1}{3}$
$P(X = 8) = 9 \times \frac{2^8}{3^9} = \frac{3^2 \times 2^8}{3^9} = \frac{2^8}{3^7}$

(C) અસતત યાદચ્છિક ચલ $X$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ સૂત્ર $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
અહીં $X$ ની કિંમતો $10, 20, 30, 40$ છે અને તેની સંબંધિત સંભાવનાઓ $0.3, 0.3, 0.2, 0.2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E(X) = (10 \times 0.3) + (20 \times 0.3) + (30 \times 0.2) + (40 \times 0.2)$
$E(X) = 3 + 6 + 6 + 8$
$E(X) = 23$
તેથી,$X$ ની અપેક્ષિત કિંમત $23$ છે.

(C) યાદચ્છિક ચલ માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P(X=r) = K r^3$,જ્યાં $r \in \{1, 2, 3, 4\}$.
તેથી,$K(1^3) + K(2^3) + K(3^3) + K(4^3) = 1$.
$K(1 + 8 + 27 + 64) = 1 \Rightarrow 100K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{100}$.
આપણે $P\left(\left.\frac{1}{2} < X < \frac{5}{2} \right\rvert X > 1\right)$ શોધવાનું છે.
આ $P(X=2 \mid X \in \{2, 3, 4\})$ ની બરાબર છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
અહીં $A = \{X=2\}$ અને $B = \{X=2, 3, 4\}$ છે.
$P(A \cap B) = P(X=2) = 8K$.
$P(B) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 8K + 27K + 64K = 99K$.
આમ,$P(A \mid B) = \frac{8K}{99K} = \frac{8}{99}$.
તેથી,$K = \frac{1}{100}$ અને શરતી સંભાવના $\frac{8}{99}$ છે.

(C) આપેલ છે,મધ્યક $np = 2$ $(i)$
અને વિચરણ $npq = 1$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 2$,તેથી $n = 4$.
દ્વિપદી વિતરણ $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k} = {}^4C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {}^4C_k (\frac{1}{2})^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ શોધવાનું છે.
$P(X > 1) = {}^4C_2 (\frac{1}{2})^4 + {}^4C_3 (\frac{1}{2})^4 + {}^4C_4 (\frac{1}{2})^4$.
$P(X > 1) = (6 + 4 + 1) \times \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$.

(D) આપેલ સંભાવના વિતરણ કોષ્ટક:

$X = x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x)$	$K$	$K + \frac{1}{7}$	$2K$	$\frac{2}{5}$

બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી:
$K + (K + \frac{1}{7}) + 2K + \frac{2}{5} = 1$
$4K + \frac{5 + 14}{35} = 1$
$4K + \frac{19}{35} = 1$
$4K = 1 - \frac{19}{35} = \frac{16}{35}$
$K = \frac{4}{35}$
હવે,$K$ ની કિંમત કોષ્ટકમાં મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{4}{35}$
$P(X=1) = \frac{4}{35} + \frac{5}{35} = \frac{9}{35}$
$P(X=2) = 2 \times \frac{4}{35} = \frac{8}{35}$
$P(X=3) = \frac{2}{5} = \frac{14}{35}$
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i)$:
$\mu = 0 \times \frac{4}{35} + 1 \times \frac{9}{35} + 2 \times \frac{8}{35} + 3 \times \frac{14}{35}$
$\mu = 0 + \frac{9}{35} + \frac{16}{35} + \frac{42}{35}$
$\mu = \frac{67}{35}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $P(X=x) = \frac{c^x}{x!}$ જ્યાં $x = 1, 2, 3, \ldots$ છે.
તેથી,$\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદને મૂકતા: $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય વિધેયનું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $e^c = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = 1 + \frac{c}{1!} + \frac{c^2}{2!} + \frac{c^3}{3!} + \ldots$ છે.
આમ,$\sum_{x=1}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = e^c - 1$.
આને $1$ ની બરાબર લેતા: $e^c - 1 = 1$.
$e^c = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $c = \ln(2)$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $\lambda$ પ્રાચલ ધરાવતું પોઈસન વિતરણ છે. સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, \dots$.
આપેલ સમીકરણ: $3 P(X=4) = \frac{1}{2} P(X=2) + P(X=0)$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $3 \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{1}{2} \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} + \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!}$.
બંને બાજુ $e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા: $\frac{3 \lambda^4}{24} = \frac{\lambda^2}{4} + 1$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{\lambda^4}{8} = \frac{\lambda^2}{4} + 1$.
$8$ વડે ગુણતા: $\lambda^4 = 2 \lambda^2 + 8$,એટલે કે $\lambda^4 - 2 \lambda^2 - 8 = 0$.
ધારો કે $u = \lambda^2$. તો $u^2 - 2u - 8 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(u - 4)(u + 2) = 0$.
આથી $u = 4$ અથવા $u = -2$.
અહીં $\lambda^2 = u$ અને $\lambda^2$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $\lambda^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2$ (કારણ કે $\lambda > 0$).
પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda$ છે,તેથી મધ્યક $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે,પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda = \frac{1}{3}$ છે.
પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k=1$ માટે,$P(X=1) = \frac{e^{-1/3} (1/3)^1}{1!} = \frac{1}{3} e^{-1/3}$.
$k=2$ માટે,$P(X=2) = \frac{e^{-1/3} (1/3)^2}{2!} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} e^{-1/3} = \frac{1}{18} e^{-1/3}$.
હવે,ગુણોત્તર $P(X=1) : P(X=2) = \frac{\frac{1}{3} e^{-1/3}}{\frac{1}{18} e^{-1/3}} = \frac{1/3}{1/18} = \frac{18}{3} = 6$.
આમ,ગુણોત્તર $6 : 1$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$P(X=x) = K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x$.
સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદને મૂકતા:
$\sum_{x=0}^{\infty} K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$
$K \left[ 1 + 2\left(\frac{1}{5}\right) + 3\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેનું સ્વરૂપ $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = (1-r)^{-2}$ છે,જ્યાં $r = \frac{1}{5}$.
તેથી,$K(1 - \frac{1}{5})^{-2} = 1$.
$K(\frac{4}{5})^{-2} = 1 \Rightarrow K(\frac{5}{4})^2 = 1$.
$K(\frac{25}{16}) = 1 \Rightarrow K = \frac{16}{25}$.
હવે,$P(X=0) = K(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = K(1)(1) = K$.
તેથી,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(A) $X$ એ પોઈસન ચલ છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(X=3)$.
સૂત્ર $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{r!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^3}{3!}$
$\Rightarrow \frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
$\Rightarrow \lambda = \frac{6}{2} = 3$.
હવે,$P(X=4)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!}$.
અંતે,$e^3 P(X=4)$ શોધીએ:
$e^3 P(X=4) = e^3 \cdot \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{3^4}{4!} = \frac{81}{24} = \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$.

(C) આપેલ સંભાવના વિતરણ વિધેય $P(X=x)=K\left(\frac{2}{5}\right)^x$ છે,જ્યાં $x=1, 2, 3, \ldots$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ વિધેય મૂકતા,આપણને મળે છે $K \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^x = 1$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{5}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{5}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$K \left( \frac{2/5}{1 - 2/5} \right) = 1$.
$K \left( \frac{2/5}{3/5} \right) = 1$.
$K \left( \frac{2}{3} \right) = 1$.
આમ,$K = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ અને $y=a \sin \theta$.
$x$ અને $y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} \right) = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right)$
$= a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$.
તેમજ,$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(B) દિશા ગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2=m^2+n^2$ છે.
$l+m+n=0$ પરથી,આપણને $l=-(m+n)$ મળે છે.
આ કિંમતને $l^2=m^2+n^2$ માં મૂકતા,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ મળે છે.
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,જેનો અર્થ છે કે $2mn=0$,તેથી $mn=0$.
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $m=0$. તો $l=-n$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, 0, -k)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $II$: $n=0$. તો $l=-m$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, -k, 0)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$. ધારો કે $m=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$. ધારો કે $l=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ એટલે કે $(1, 1, -2)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m=0$. તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -n$. તો $l = 0$. દિક્ગુણોત્તર $(0, -1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓ સદિશ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.