AP EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+3y-7=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x-7y+5=0$ છે.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ નું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે:
$(x^2+y^2+2x+3y-7) - (x^2+y^2+4x-7y+5) = 0 \implies -2x+10y-12 = 0 \implies x-5y+6 = 0$.
$\overline{AB}$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ ના સ્વરૂપમાં મળે છે.
ગણતરી કરતા,સાચું સમીકરણ $26x^2+26y^2+77x-47y-32=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2kx-2y-1=0$ છે.
$x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ સાથે સરખાવતા:
$g_1=1, f_1=2, c_1=-3$ અને $g_2=k, f_2=-1, c_2=-1$.
કેન્દ્રો $C_1(-1, -2)$ અને $C_2(-k, 1)$ છે,અને ત્રિજ્યાઓ $r_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ અને $r_2=\sqrt{k^2+2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d^2 = (k-1)^2 + 9 = k^2-2k+10$.
ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$.
$\frac{k^2-2k+10-8-(k^2+2)}{2(2\sqrt{2})\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \implies \frac{-2k}{4\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
$\frac{-k}{\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{k^2}{2(k^2+2)} = \frac{1}{3} \implies 3k^2 = 2k^2+4 \implies k^2=4$.

(B) બિંદુ $P(x_1, y_1)$ નો વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ની સાપેક્ષે પાવર શોધવાનું સૂત્ર $P = (x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2$ છે.
અહીં બિંદુ $P(-3, 7)$,કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 7)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = (-3 - 3)^2 + (7 - 7)^2 - 2^2$
$P = (-6)^2 + (0)^2 - 4$
$P = 36 + 0 - 4$
$P = 32$.
આમ,બિંદુનો પાવર $32$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ છે.
તેને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -2$,$f = -3$,અને $c = 9$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 9} = 2$ છે.
ધારો કે $P(1, 3)$ એ આપેલ બિંદુ છે.
વર્તુળના સંદર્ભમાં $P$ નું પ્રતિવર્તી બિંદુ $P'(x', y')$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$x' - h = \frac{r^2(x_1 - h)}{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$ અને $y' - k = \frac{r^2(y_1 - k)}{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$,જ્યાં $(h, k) = (2, 3)$.
કિંમતો મૂકતા:
$x' - 2 = \frac{4(1 - 2)}{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = -4 \implies x' = -2$.
$y' - 3 = \frac{4(3 - 3)}{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = 0 \implies y' = 3$.
આમ,પ્રતિવર્તી બિંદુ $(-2, 3)$ છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્ર $(1, 1)$ થી રેખા $x+y+1=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $L = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી અડધી જીવાની લંબાઈ $a = \frac{L}{2} = 2\sqrt{2}$ છે.
સંબંધ $r^2 = d^2 + a^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$r^2 = (\frac{3}{\sqrt{2}})^2 + (2\sqrt{2})^2 = \frac{9}{2} + 8 = 12.5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 12.5$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x^2+2y^2-4x-4y-21=0$ થાય છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે. તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2, f=3, c=-12$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, -3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)} = \sqrt{4+9+12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(2, -3)$ થી રેખા $4x+3y+1=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|4(2)+3(-3)+1|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|8-9+1|}{\sqrt{16+9}} = \frac{0}{5} = 0$ છે.
લંબ અંતર $d=0$ હોવાથી,રેખા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે જીવા એ વ્યાસ છે.
જીવાની લંબાઈ $2 \times \sqrt{r^2-d^2} = 2 \times \sqrt{5^2-0^2} = 2 \times 5 = 10$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ ના સંદર્ભમાં $P(x_1, y_1)$ ની સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = a^2$ છે.
$\angle AOB = 90^{\circ}$ હોવાથી,ઉગમબિંદુ આગળ રેખાઓ લંબ છે.
આ શરત મુજબ,$x_1^2+y_1^2 = 2a^2$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+1=0$ માટે,$g=-2, f=-3, c=1$ છે.
બિંદુ $(2t, t-4)$ નો ધ્રુવ:
$x(2t) + y(t-4) - 2(x+2t) - 3(y+t-4) + 1 = 0$
$2tx + ty - 4y - 2x - 4t - 3y - 3t + 12 + 1 = 0$
$2tx + ty - 2x - 7y - 7t + 13 = 0$
$t$ ના પદોને અલગ કરતા:
$t(2x + y - 7) + (-2x - 7y + 13) = 0$
બધા $t \in R$ માટે આ સંગામી હોવા માટે,બંને ભાગ શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2x + y - 7 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$-2x - 7y + 13 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$-6y + 6 = 0 \implies y = 1$
$y=1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$2x + 1 - 7 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
સંગામી બિંદુ $(3, 1)$ છે.

(A) ધારો કે બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તેઓ $X$-અક્ષ સાથે કોટિકોણ બનાવે છે,તેથી $m_1 = \tan(\theta)$ અને $m_2 = \cot(\theta)$,એટલે કે $m_1 m_2 = 1$.
વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm a\sqrt{1+m^2}$ છે.
તેથી $(y-mx)^2 = a^2(1+m^2)$ અથવા $m^2(x^2-a^2) - 2mxy + (y^2-a^2) = 0$.
બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} = 1$.
આથી $y^2-a^2 = x^2-a^2$,એટલે કે $x^2-y^2=0$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y=0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-1$ અને $f=2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (1, -2)$ છે.
ધારો કે $A(3, -1)$ એ વ્યાસનું એક અંત્યબિંદુ છે અને $B(x_1, y_1)$ એ બીજું અંત્યબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $C$ એ વ્યાસ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$(1, -2) = (\frac{3+x_1}{2}, \frac{-1+y_1}{2})$.
$B$ માટે ઉકેલતા,$x_1=-1$ અને $y_1=-3$ મળે છે.
તેથી,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $B(-1, -3)$ છે.
$B(-1, -3)$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $CB$ ને લંબ હોય છે.
ત્રિજ્યા $CB$ નો ઢાળ $m_{CB} = \frac{-3-(-2)}{-1-1} = \frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -2$ થાય.
$B(-1, -3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y+3 = -2(x+1)$ એટલે કે $2x+y+5=0$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ છે. કેન્દ્ર $C(1,1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
$P(4,4)$ થી $C(1,1)$ નું અંતર $d = 3\sqrt{2}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{d^2-r^2} = 3$ છે.
સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $x+y=5$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{RL^3}{R^2+L^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R=3$ અને $L=3$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{3 \times 27}{9+9} = \frac{81}{18} = 4.5$ ચોરસ એકમ.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-1$,$f=-2$,અને $c=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2-0} = \sqrt{5}$ છે.
બિંદુ $P(4,3)$ થી કેન્દ્ર $C(1,2)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2} = \sqrt{10}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ત્રિજ્યા અને સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = \frac{\theta}{2}$ છે.
કાટ
કાટ્રાયંગલના ગુણધર્મ મુજબ,$\sin(\alpha) = \frac{r}{d} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 8 = 0$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(a, b)$ છે. બિંદુ $P(a, b)$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$xa + yb - (x + a) - 3(y + b) - 8 = 0$
$(a - 1)x + (b - 3)y - (a + 3b + 8) = 0$
આ સ્પર્શજીવા એ આપેલી રેખા $5x + y + 1 = 0$ સમાન છે.
બંને સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a - 1}{5} = \frac{b - 3}{1} = \frac{-(a + 3b + 8)}{1}$
$\frac{a - 1}{5} = \frac{b - 3}{1}$ પરથી,$a - 1 = 5b - 15 \Rightarrow a - 5b = -14$ $(i)$
$\frac{b - 3}{1} = -(a + 3b + 8)$ પરથી,$b - 3 = -a - 3b - 8 \Rightarrow a + 4b = -5$ (ii)
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $(a - 5b) - (a + 4b) = -14 - (-5)$ $\Rightarrow -9b = -9$ $\Rightarrow b = 1$
(ii) માં $b = 1$ મૂકતા: $a + 4(1) = -5 \Rightarrow a = -9$
આમ,બિંદુ $(-9, 1)$ છે.
$5a + b = 5(-9) + 1 = -45 + 1 = -44$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ છે. કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વર્તુળના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $L_1$ નો ધ્રુવ $L_2$ પર આવેલો હોય.
રેખા $2kx + 3y - 1 = 0$ નો ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ શોધતા અને તેને $2x + y + 5 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2$ છે અને જીવાનું સમીકરણ $x+y=1$ છે.
ઉગમબિંદુને વર્તુળ અને જીવાના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ મેળવવા માટે,જીવાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2=a^2(1)^2$
$x^2+y^2=a^2(x+y)^2$
$x^2+y^2=a^2(x^2+y^2+2xy)$
$(1-a^2)x^2 - 2a^2xy + (1-a^2)y^2 = 0$.
જીવા ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(1-a^2) + (1-a^2) = 0$
$2(1-a^2) = 0$
$1-a^2 = 0$
$a^2 = 1$
$a$ એ ત્રિજ્યા દર્શાવે છે,તેથી $a=1$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(-g_1, -f_1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-14y+28=0$ માટે,$g_1=2, f_1=-7, c_1=28$. કેન્દ્ર $C_1(-2, 7)$,$r_1 = \sqrt{4+49-28} = 5$.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-12x-6y-4=0$ માટે,$g_2=-6, f_2=-3, c_2=-4$. કેન્દ્ર $C_2(6, 3)$,$r_2 = \sqrt{36+9-(-4)} = 7$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \left| \frac{25+49-80}{2 \times 5 \times 7} \right| = \left| \frac{-6}{70} \right| = \frac{3}{35}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{3}{35}\right)$.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-6y-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2+8x-4y+\lambda=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(2, 3)$ અને $C_2(-4, 2)$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1=4$ અને $r_2=\sqrt{20-\lambda}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d=\sqrt{37}$ છે.
ખૂણાના સૂત્ર $\cos 60^{\circ} = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{1}{2} = \frac{37-16-(20-\lambda)}{8\sqrt{20-\lambda}} \implies 1+\lambda = 4\sqrt{20-\lambda}$.
વર્ગ કરતા,$\lambda^2+18\lambda-319=0$ મળે છે.
ઉકેલતા $\lambda = -29$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2hx+2ky=0$ અને $C_2: x^2+y^2+2h'x+2k'y=0$ છે.
કેન્દ્રો $O_1 = (-h, -k)$ અને $O_2 = (-h', -k')$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{h^2+k^2}$ અને $r_2 = \sqrt{h'^2+k'^2}$ છે.
બંને વર્તુળો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેઓ એકબીજાને સ્પર્શે છે જો અને માત્ર જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(h-h')^2 + (k-k')^2}$ છે.
સ્પર્શવાની શરત $d^2 = (r_1 \pm r_2)^2$ છે.
સાદું રૂપ આપતા,$(hk' - kh')^2 = 0$ મળે છે.
તેથી,$hk' = kh'$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h'k}{hk'} = 1$.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2+kx+4y+2=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-\frac{3}{2}y+\frac{k}{2}=0$
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = \frac{k}{2}, f_1 = 2, c_1 = 2$ અને $g_2 = -1, f_2 = -\frac{3}{4}, c_2 = \frac{k}{2}$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2(\frac{k}{2})(-1) + 2(2)(-\frac{3}{4}) = 2 + \frac{k}{2}$
$-k - 3 = 2 + \frac{k}{2}$
$-5 = k + \frac{k}{2}$
$-5 = \frac{3k}{2}$
$k = -\frac{10}{3}$.

(A) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2px=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2qy=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2-2px) + \lambda(x^2+y^2-2qy) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2px - 2\lambda qy = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $x^2+y^2 - \frac{2p}{1+\lambda}x - \frac{2\lambda q}{1+\lambda}y = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{p}{1+\lambda}, \frac{\lambda q}{1+\lambda})$ છે.
કેન્દ્ર $\frac{x}{p} - \frac{y}{q} = 2$ પર હોવાથી,યામ મૂકતા:
$\frac{1}{p} \cdot \frac{p}{1+\lambda} - \frac{1}{q} \cdot \frac{\lambda q}{1+\lambda} = 2$
$\frac{1-\lambda}{1+\lambda} = 2 \implies 1-\lambda = 2+2\lambda \implies \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ કિંમત મૂકતા,સમીકરણ $x^2+y^2-3px+qy = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે. દરેક વર્તુળ બીજાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો $c_1$ અને $c_2$ વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યા જેટલું છે,એટલે કે $c_1 c_2 = r_1 = r_2 = d$.
બે કેન્દ્રો $c_1, c_2$ અને એક છેદબિંદુ $P$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો. આ ત્રિકોણની બાજુઓ $c_1 P = r_1$,$c_2 P = r_2$,અને $c_1 c_2 = d$ છે.
$r_1 = r_2 = d$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ છે જેની તમામ બાજુઓ $d$ છે.
આમ,ખૂણો $\angle P c_1 c_2 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ અને $\angle P c_2 c_1 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ છે.
છેદબિંદુ $P$ પર સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો એ બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો છે. આ ગોઠવણીમાં,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ = \frac{2 \pi}{3}$ છે.

(D) વર્તુળ $C_1$ માટે કેન્દ્ર $O_1(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
વર્તુળ $C_2$ માટે કેન્દ્ર $O_2(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$.
બાહ્ય સમાનતા કેન્દ્ર $S$ એ $O_1O_2$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજિત કરે છે,તેથી $S = (-5, -7)$.
$S$ માંથી પસાર થતી રેખા $mx-y+5m-7=0$ છે.
$O_1$ થી અંતર $2$ લેતા,$8m^2-24m+15=0$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $15(x+5)^2 - 24(x+5)(y+7) + 8(y+7)^2 = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $15x^2-24xy+8y^2-18x-8y-73=0$ થાય છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=3^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O_1(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=3$ છે.
બીજું વર્તુળ $C_2: x^2+y^2-8x-6y+n^2=0$ છે,જેને $(x-4)^2+(y-3)^2 = 25-n^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,કેન્દ્ર $O_2(4,3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{25-n^2}$ છે.
વર્તુળોને બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય તે માટે,તેઓ બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવા જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં,$d = \sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2} = 5$.
શરત $|3-\sqrt{25-n^2}| < 5 < 3+\sqrt{25-n^2}$ સંતોષાવી જોઈએ.
$5 < 3+\sqrt{25-n^2}$ પરથી,$\sqrt{25-n^2} > 2$ મળે,તેથી $25-n^2 > 4$,એટલે કે $n^2 < 21$.
$|3-\sqrt{25-n^2}| < 5$ પરથી,$-5 < 3-\sqrt{25-n^2} < 5$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ $-8 < -\sqrt{25-n^2} < 2$ થાય.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{25-n^2} < 8$ અને $\sqrt{25-n^2} > -2$ (હંમેશા સત્ય).
ત્રિજ્યા વાસ્તવિક હોવા માટે,$25-n^2 > 0$,એટલે કે $n^2 < 25$.
$n^2 < 21$ અને $n^2 < 25$ ને જોડતા,$n^2 < 21$ મળે.
$n \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$n^2 \in \{0, 1, 4, 9, 16\}$.
$n$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ છે.
કુલ $9$ મૂલ્યો મળે છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2+2x+8y-23=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 - (-23)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-4x-10y+19=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(2)^2 + (5)^2 - 19} = \sqrt{10}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$ હોવાથી,$d = r_1 + r_2$ થાય છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે,ત્યારે તેમને કુલ $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+3x+5y+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+5x+3y+4=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+3x+5y+4) - (x^2+y^2+5x+3y+4) = 0$.
$-2x + 2y = 0$,જે $y = x$ માં પરિણમે છે.
$y = x$ ને $S_1$ માં મૂકતા,$x^2 + x^2 + 3x + 5x + 4 = 0$,એટલે કે $2x^2 + 8x + 4 = 0$ અથવા $x^2 + 4x + 2 = 0$.
ઉકેલ $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$ છે.
$y = x$ હોવાથી,છેદબિંદુઓ $P(-2+\sqrt{2}, -2+\sqrt{2})$ અને $Q(-2-\sqrt{2}, -2-\sqrt{2})$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{(-2-\sqrt{2} - (-2+\sqrt{2}))^2 + (-2-\sqrt{2} - (-2+\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+6y+4=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે:
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+4x+6y+4) = 0$
$-2x - 4y - 3 = 0 \Rightarrow 2x + 4y + 3 = 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(L) = 0$ સ્વરૂપમાં લેતા:
$x^2+y^2+2x+2y+1 + \lambda(2x+4y+3) = 0$
$x^2+y^2+2x(1+\lambda) + 2y(1+2\lambda) + (1+3\lambda) = 0$.
કેન્દ્ર $(- (1+\lambda), -(1+2\lambda))$ છે.
વ્યાસ સામાન્ય જીવા પર હોવાથી,કેન્દ્ર $2x+4y+3=0$ પર આવેલું છે:
$2(-(1+\lambda)) + 4(-(1+2\lambda)) + 3 = 0$
$-10\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{10}$.
કિંમત મૂકતા:
$10x^2+10y^2+14x+8y+1=0$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે. ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ માટે ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1+yy_1-2(x+x_1)+3(y+y_1)-12=0$ થાય. આપેલ રેખા $x+y+2=0$ સાથે સરખાવતા,ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1+yy_1=r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વર્તુળ $x^2+y^2=16$ છે,તેથી $r^2=16$.
બિંદુ $A(2, c)$ નો ધ્રુવ $2x+cy=16$ છે.
આ ધ્રુવ $B(d, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=d$ અને $y=2$ મૂકીએ છીએ:
$2(d)+c(2)=16$
$2d+2c=16$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $d+c=8$ મળે છે.
તેથી,$c+d=8$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x=2a$ રેખાને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખા $x-2a=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$r = |h-2a|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$r^2 = (h-2a)^2 = h^2 - 4ah + 4a^2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2hx-2ky+c=0$ છે,જ્યાં $c = h^2+k^2-r^2$.
$r^2$ ની કિંમત મૂકતા,$c = h^2+k^2-(h^2-4ah+4a^2) = k^2+4ah-4a^2$.
વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ ને લંબચ્છેદે છે,તેથી $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$.
અહીં,$g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = c$ અને $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -a^2$.
તેથી,$0 + 0 = c - a^2$,એટલે કે $c = a^2$.
$c$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $k^2+4ah-4a^2 = a^2$.
$k^2+4ah = 5a^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2+4ax-5a^2=0$ મળે છે.

(B) શિરોબિંદુ $V(4,3)$ છે અને નિયામિકા $3x+2y-7=0$ છે.
પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને લંબ હોય છે અને શિરોબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ગણતરી કરતા નાભિલંબનું સમીકરણ $3x+2y-29=0$ મળે છે.

(B) $X$-અક્ષને સમાંતર ધરી ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $x = Ay^2 + By + C$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(-2, 1)$,$(1, 2)$ અને $(-1, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-2, 1)$ માટે: $A + B + C = -2 \quad (i)$
$(1, 2)$ માટે: $4A + 2B + C = 1 \quad (ii)$
$(-1, 3)$ માટે: $9A + 3B + C = -1 \quad (iii)$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $A = -\frac{5}{2}$,$B = \frac{21}{2}$ અને $C = -10$ મળે છે.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $x = -\frac{5}{2}y^2 + \frac{21}{2}y - 10$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા $5y^2 + 2x - 21y + 20 = 0$ મળે છે.

(A) $X$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $x = ay^2 + by + c$ છે.
પરવલય $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 0$.
તે $(0,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = a(-2)^2 + b(-2) + c \implies 4a - 2b + c = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $3a - 3b = 0 \implies a = b$.
$a + b + c = 0$ માં $b = a$ મૂકતા,$2a + c = 0 \implies c = -2a$.
પરવલય $(3,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 3$.
આમ,$c = 3$,$a = -\frac{3}{2}$,અને $b = -\frac{3}{2}$.
સમીકરણ $x = -\frac{3}{2}y^2 - \frac{3}{2}y + 3$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(A) (3,-1)$ માટે,$3 = -\frac{3}{2}(-1)^2 - \frac{3}{2}(-1) + 3 = 3$. આ બિંદુ પરવલય પર છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,બિંદુ $(x, y)$ નું નાભિ અંતર $x + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $y^2 = 32x$ પરથી,$4a = 32$,તેથી $a = 8$.
નાભિ અંતર $x + 8 = 10$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
પરવલયના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા: $y^2 = 32(2) = 64$,તેથી $y = \pm 8$.
આમ,બિંદુઓ $(2, 8)$ અને $(2, -8)$ છે.
અહીં,$x_1 = 2, y_1 = 8$ અને $x_2 = 2, y_2 = -8$.
આપણે $2(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 2^2 + 2^2 + 8^2 + (-8)^2 = 4 + 4 + 64 + 64 = 136$.
તેથી,$2(136) = 272$.

(C) પરવલય $y^2=4ax$ નું નાભિ $S(a, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ અને $Q$ ના યામ $(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ છે.
$SP = \alpha$ હોવાથી,$S(a, 0)$ થી $P(at^2, 2at)$ નું અંતર $\alpha = a(t^2+1)$ થાય.
તે જ રીતે,$SQ = \alpha^{\prime}$ માટે,$S(a, 0)$ થી $Q(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ નું અંતર $\alpha^{\prime} = \frac{a(1+t^2)}{t^2}$ થાય.
હવે,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^{\prime}} = \frac{1}{a(t^2+1)} + \frac{t^2}{a(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{a(1+t^2)} = \frac{1}{a}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 9x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{9}{4}$ મળે.
નાભિ $S = (\frac{9}{4}, 0)$ છે.
બિંદુ $P(9, 9)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -2x + 27$ મળે છે.
આ રેખા પરવલયને બીજા બિંદુ $Q(\frac{81}{4}, -\frac{27}{2})$ માં છેદે છે.
$SP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{4}{3}$ અને $SQ$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{3}{4}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,નાભિ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ પરનું બિંદુ $P = (2t^2, 4t)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (-2, 0)$,ધારો કે $Q = (h, k)$ એ $\overline{AP}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{2t^2 - 2}{2} = t^2 - 1$ અને $k = \frac{4t + 0}{2} = 2t$.
$k = 2t$ પરથી,આપણને $t = \frac{k}{2}$ મળે છે.
$t$ ની કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $h = (\frac{k}{2})^2 - 1 = \frac{k^2}{4} - 1$.
ગોઠવતા $k^2 = 4(h + 1)$ મળે છે.
$Q$ નો બિંદુપથ $y^2 = 4(x + 1)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y$,$X = x + 1$,અને $4a = 4$,આપણને $a = 1$ મળે છે.
આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $(-1, 0)$ છે.
તેથી નાભિ $(X + a, Y) = (-1 + 1, 0) = (0, 0)$ થશે.

(B) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 25y^2 - 90x - 150y + 225 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 10x) + 25(y^2 - 6y) = -225$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x^2 - 10x + 25) + 25(y^2 - 6y + 9) = -225 + 225 + 225$.
$9(x - 5)^2 + 25(y - 3)^2 = 225$.
$225$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 5)^2}{25} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ મળે.
આ ઉપવલય (ellipse) નું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$ થાય.

(D) ધારો કે $P$ માંથી પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના સ્પર્શ બિંદુઓ $A(at_1^2, 2at_1)$ અને $B(at_2^2, 2at_2)$ છે.
સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P$ એ $P(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $P = (x, y)$,તેથી $x = at_1t_2$ અને $y = a(t_1 + t_2)$.
$A(at_1^2, 2at_1)$ પરના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \tan \theta_1 = \frac{1}{t_1}$ છે.
$B(at_2^2, 2at_2)$ પરના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = \tan \theta_2 = \frac{1}{t_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta_1 + \tan \theta_2 = b$,તેથી $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = b$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{t_1 + t_2}{t_1t_2} = b$ થાય છે.
$P$ ના યામો મૂકતા,આપણને $\frac{y/a}{x/a} = b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y}{x} = b$.
તેથી,$y = bx$.

(A) પરવલય $y^2 = 32x$ માટે,સ્પર્શક $y = mx + \frac{8}{m}$ છે.
પરવલય $x^2 = 256y$ માટે,સ્પર્શક $y = \frac{1}{m}x + 64m^2$ છે.
બંને સમીકરણો સરખાવતા,$\frac{8}{m} = -64m^2$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + 2y + 32 = 0$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $t_1$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + t_1x = 2at_1 + at_1^3$ છે.
આ અભિલંબ પરવલયને બિંદુ $t_2 = (at_2^2, 2at_2)$ પર મળે છે,તેથી આ બિંદુ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = at_2^2$ અને $y = 2at_2$ મૂકતા:
$2at_2 + t_1(at_2^2) = 2at_1 + at_1^3$.
$a$ વડે ભાગતા:
$2t_2 + t_1t_2^2 = 2t_1 + t_1^3$.
પદોને ગોઠવતા:
$t_1(t_2^2 - t_1^2) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$(t_2 - t_1)$ વડે ભાગતા:
$t_1(t_2 + t_1) + 2 = 0$.
$t_1t_2 + t_1^2 + 2 = 0$.
તેથી,$t_1t_2 = -2 - t_1^2$.

(D) પરવલય $x^2=4ay$ માટે,અભિલંબના છેદબિંદુનો બિંદુપથ $x^2=a(y-3a)$ છે.
અહીં $4a=8$ હોવાથી $a=2$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $x^2=2(y-3(2)) = 2(y-6) = 2y-12$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2 = 4x$ માટે, $a = 1$ છે। બિંદુ $P(-1, 2)$ છે।
સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે।
$x_1 = -1, y_1 = 2, a = 1$ મૂકતા, $2y = 2(x - 1)$, એટલે કે $y = x - 1$ અથવા $x - y - 1 = 0$ મળે.
સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ $L = \frac{\sqrt{(y_1^2 - 4ax_1)^3}}{2a} = \frac{\sqrt{(2^2 - 4(1)(-1))^3}}{2(1)} = \frac{\sqrt{8^3}}{2} = 8\sqrt{2}$ છે.
બિંદુ $(-1, 2)$ થી જીવા $x - y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $h = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{h^3}{2a} = \frac{(2\sqrt{2})^3}{2} = 8\sqrt{2}$ થાય.

(A) $(\sqrt{2}+\sqrt[5]{3})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{10}{r} (\sqrt{2})^{10-r} (\sqrt[5]{3})^r = \binom{10}{r} 2^{(10-r)/2} 3^{r/5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$(10-r)/2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
વળી,$r/5$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 10$ હોવાથી,$r$ માટે શક્ય કિંમતો $r = 0$ અને $r = 10$ છે.
$r = 0$ માટે,$T_1 = \binom{10}{0} 2^5 3^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$r = 10$ માટે,$T_{11} = \binom{10}{10} 2^0 3^2 = 1 \times 1 \times 9 = 9$.
સંમેય પદોનો સરવાળો $32 + 9 = 41$ થાય છે.

(C) $(1+bx)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + n(bx) + \frac{n(n-1)}{2!}(bx)^2 + \dots$ છે.
આપેલ પદો $1, 6x, 6x^2$ ને વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા:
$nb = 6$
$\frac{n(n-1)}{2} b^2 = 6$
ગણતરી કરતા $b+n = \frac{29}{3}$ મળે છે.

(D) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $t_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ છે.
$(2^x + 4^{-x})^8$ ના વિસ્તરણ માટે,$n=8$,$a=2^x$,અને $b=4^{-x} = 2^{-2x}$ છે.
$t_2 = t_{1+1} = \binom{8}{1} (2^x)^7 (2^{-2x})^1 = 8 \cdot 2^{5x}$.
$t_3 = t_{2+1} = \binom{8}{2} (2^x)^6 (2^{-2x})^2 = 28 \cdot 2^{2x}$.
આપેલ છે કે $t_3 = 7t_2$,તેથી:
$28 \cdot 2^{2x} = 7 \cdot (8 \cdot 2^{5x}) = 56 \cdot 2^{5x}$.
બંને બાજુ $28 \cdot 2^{2x}$ વડે ભાગતા:
$1 = 2 \cdot 2^{3x} = 2^{3x+1}$.
$1 = 2^0$ હોવાથી,$3x + 1 = 0$,એટલે કે $x = -1/3$.

(B) ધારો કે $f(n) = n^5 - 5n^3 + 4n + 139$.
આપણે $n^5 - 5n^3 + 4n$ પદાવલિના અવયવ પાડી શકીએ: $n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 139$ મળે છે.
ગુણાકાર $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ એ $5$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $5! = 120$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$f(n) = 120k + 139$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
જ્યારે $f(n)$ ને $120$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે $139 \pmod{120}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$139 = 120 \times 1 + 19$.
આમ,શેષ $19$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{(3-5x)^{1/2}}{(5-3x)^2} = (3-5x)^{1/2} \cdot (5-3x)^{-2}$ છે.
આને $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{25}(1-\frac{5x}{3})^{1/2}(1-\frac{3x}{5})^{-2}$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિપદી અંદાજ $(1+u)^n \approx 1+nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-\frac{5x}{3})^{1/2} \approx 1 - \frac{5x}{6}$ અને $(1-\frac{3x}{5})^{-2} \approx 1 + \frac{6x}{5}$.
ગુણાકાર કરતા અને $x^2$ ના પદોને અવગણતા:
$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{25}(1 + \frac{11x}{30})$.
$x = \frac{1}{11\sqrt{3}}$ મૂકતા:
$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{25}(1 + \frac{1}{30\sqrt{3}}) = \frac{30\sqrt{3}+1}{750}$.

(D) $(1+x^2-x^3)^8$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x^2)^{n_2} (-x^3)^{n_3}$ છે,જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 8$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (-1)^{n_3} x^{2n_2 + 3n_3}$ મળે છે.
આપણે $x^{10}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $2n_2 + 3n_3 = 10$ લઈએ.
$(n_2, n_3)$ માટે શક્ય ઉકેલો:
$1$) જો $n_3 = 0$,તો $2n_2 = 10 \implies n_2 = 5$. તેથી $n_1 = 3$. પદ $\frac{8!}{3! 5! 0!} (-1)^0 = 56$ છે.
$2$) જો $n_3 = 2$,તો $2n_2 = 4 \implies n_2 = 2$. તેથી $n_1 = 4$. પદ $\frac{8!}{4! 2! 2!} (-1)^2 = 420$ છે.
કુલ સહગુણક: $56 + 420 = 476$.

(D) ધારો કે $f(x) = (1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $f(1) = (1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}$ મળે છે.
$x = -1$ મૂકતા,આપણને $f(-1) = (1 - 1 + 1)^n = 1^n = 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n}$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$f(1) + f(-1) = 3^n + 1 = (a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}) + (a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{2n})$.
$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n})$.
તેથી,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=0}^{n} (3 + 4r) C_r$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r = \binom{n}{r}$.
તેથી,$S = 3 \sum_{r=0}^{n} C_r + 4 \sum_{r=0}^{n} r C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ અને $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $S = 3(2^n) + 4(n 2^{n-1})$ મળે છે.
$S = 3 \cdot 2^n + 2n \cdot 2^n = (2n + 3) 2^n$.

(C) કારણ કે $\bar{\alpha}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\bar{\alpha}$ એ $\bar{a} \times \bar{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 5 & -1 \\ 1 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \bar{i}(25-4) - \bar{j}(20+1) + \bar{k}(-16-5) = 21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}$.
ધારો કે $\bar{\alpha} = k(21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}) = 21k(\bar{i} - \bar{j} - \bar{k})$.
આપેલ છે કે $\bar{\alpha} \cdot \bar{c} = 63$,તેથી $21k(\bar{i} - \bar{j} - \bar{k}) \cdot (3 \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}) = 63$.
$21k(3 - 1 + 1) = 63 \implies 21k(3) = 63 \implies 63k = 63 \implies k = 1$.
તેથી,$\bar{\alpha} = 21 \bar{i} - 21 \bar{j} - 21 \bar{k}$.

(C) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\bar{r} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$ છે.
આપેલ છે કે $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ એકમ સદિશો છે.
$\bar{a} = \frac{1}{3}(\bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k})$,$|\bar{a}| = 1$.
$\bar{b} = \frac{1}{5}(-4\bar{i}-3\bar{k})$,$|\bar{b}| = 1$.
$\bar{c} = \bar{j}$,$|\bar{c}| = 1$.
ધારો કે $\bar{r}$ અને દરેક સદિશ $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તેથી $\bar{r} \cdot \bar{a} = \bar{r} \cdot \bar{b} = \bar{r} \cdot \bar{c} = |\bar{r}| \cos \theta = \sqrt{51} \cos \theta = k$.
$\frac{1}{3}(x-2y+2z) = k \implies x-2y+2z = 3k$.
$\frac{1}{5}(-4x-3z) = k \implies -4x-3z = 5k$.
$y = k$.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\bar{r} = -5\bar{i}+\bar{j}+5\bar{k}$,$|\bar{r}| = \sqrt{25+1+25} = \sqrt{51}$.
$\bar{r} \cdot \bar{a} = \frac{1}{3}(-5+2+10) = 1$. $\bar{r} \cdot \bar{b} = \frac{1}{5}(20-15) = 1$. $\bar{r} \cdot \bar{c} = 1$. બધા ડોટ ગુણાકાર સમાન હોવાથી,સાચો સદિશ $-5\bar{i}+\bar{j}+5\bar{k}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
વળી,$|\bar{v}| = |\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin \theta = \sin \theta$.
હવે,$\bar{u} = \bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{b} = \bar{a} - (\cos \theta) \bar{b}$ લો.
તેથી $|\bar{u}|^2 = |\bar{a} - (\cos \theta) \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + \cos^2 \theta |\bar{b}|^2 - 2 \cos \theta (\bar{a} \cdot \bar{b})$.
$|\bar{u}|^2 = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
આમ,$|\bar{u}| = \sin \theta$.
કારણ કે $|\bar{v}| = \sin \theta$ અને $|\bar{u}| = \sin \theta$,તેથી $|\bar{v}| = |\bar{u}|$ થાય.

(B) $2\bar{a}+\bar{b}$ માંથી પસાર થતી અને $\bar{b}-\bar{c}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = (2\bar{a}+\bar{b}) + t(\bar{b}-\bar{c})$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $2\bar{a} + (1+t)\bar{b} - t\bar{c}$ સ્વરૂપનું છે.
સમતલ $\bar{a}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\bar{b}+\bar{c}$ તથા $\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}) = -\bar{a} \times \bar{b} - 3\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\bar{r}-\bar{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
રેખા પરના બિંદુને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $t=1$ મળે છે,જેનાથી $P = 2\bar{a}+2\bar{b}-\bar{c}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\bar{r} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{a}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\bar{r} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $(\bar{r} - \bar{b}) \times \bar{a} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(\bar{r} - \bar{b})$ એ $\bar{a}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\bar{r} - \bar{b} = k\bar{a}$ અથવા $\bar{r} = \bar{b} + k\bar{a}$ લખી શકીએ.
આપણને $\bar{r} \cdot \bar{c} = 0$ પણ આપેલ છે.
$\bar{r}$ માટેના આ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $(\bar{b} + k\bar{a}) \cdot \bar{c} = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\bar{b} \cdot \bar{c} + k(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 0$ મળે છે.
$k$ માટે ઉકેલતા,$k = -\frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{c}}$ મળે છે.
$k$ ની આ કિંમતને $\bar{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\bar{r} = \bar{b} - \left(\frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{c}}\right) \bar{a}$ મળે છે.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\bar{d_1}$ અને $\bar{d_2}$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\bar{d_1} \times \bar{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{d_1} \times \bar{d_2}$ શોધો:
$\bar{d_1} \times \bar{d_2} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \bar{i}(-4 - 3) - \bar{j}(-2 - (-6)) + \bar{k}(1 - (-4))$
$= -7\bar{i} - 4\bar{j} + 5\bar{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\bar{d_1} \times \bar{d_2}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 16 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
છેલ્લે,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{10} = \frac{3}{2} \sqrt{10} = 3\sqrt{\frac{10}{4}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\lambda \bar{a} = \bar{b} - 2\bar{c}$.
બંને બાજુ માન લેતા: $|\lambda \bar{a}|^2 = |\bar{b} - 2\bar{c}|^2$.
$\lambda^2 |\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 + 4|\bar{c}|^2 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
અહીં $|\bar{a}|=1, |\bar{c}|=1, |\bar{b}|=4$ હોવાથી,$\lambda^2 = 16 + 4 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 20 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
વળી,$|\bar{b} \times \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 |\bar{c}|^2 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$.
$15 = (4)^2(1)^2 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$.
$15 = 16 - (\bar{b} \cdot \bar{c})^2$,જેનો અર્થ છે કે $(\bar{b} \cdot \bar{c})^2 = 1$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $\bar{b} \cdot \bar{c} = 1$.
$\lambda^2 = 20 - 4(1) = 16 \implies \lambda = \pm 4$.
કિસ્સો $2$: $\bar{b} \cdot \bar{c} = -1$.
$\lambda^2 = 20 - 4(-1) = 24 \implies \lambda = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\pm 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|\bar{u}|=1, |\bar{v}|=2, |\bar{w}|=3$.
$\bar{v}$ નો $\bar{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\bar{w}$ નો $\bar{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ હોવાથી,$\frac{\bar{v} \cdot \bar{u}}{|\bar{u}|} = \frac{\bar{w} \cdot \bar{u}}{|\bar{u}|}$.
$|\bar{u}|=1$ હોવાથી,$\bar{v} \cdot \bar{u} = \bar{w} \cdot \bar{u}$ મળે,એટલે કે $(\bar{v}-\bar{w}) \cdot \bar{u} = 0$.
વળી,$\bar{v} \perp \bar{w}$ હોવાથી $\bar{v} \cdot \bar{w} = 0$.
હવે,$|\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}|^2 = (\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}) \cdot (\bar{u}-\bar{v}+\bar{w})$.
$= |\bar{u}|^2 + |\bar{v}|^2 + |\bar{w}|^2 - 2(\bar{u} \cdot \bar{v}) + 2(\bar{u} \cdot \bar{w}) - 2(\bar{v} \cdot \bar{w})$.
$\bar{u} \cdot \bar{v} = \bar{u} \cdot \bar{w}$ અને $\bar{v} \cdot \bar{w} = 0$ હોવાથી,$-2(\bar{u} \cdot \bar{v}) + 2(\bar{u} \cdot \bar{w})$ પદો ઉડી જશે.
$= |\bar{u}|^2 + |\bar{v}|^2 + |\bar{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
તેથી,$|\bar{u}-\bar{v}+\bar{w}| = \sqrt{14}$.

(A) આપેલ શરત $|\bar{a}-\bar{c}| = |\bar{b}-\bar{c}|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\bar{a}-\bar{c}|^2 = |\bar{b}-\bar{c}|^2$ મળે.
ગુણધર્મ $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\bar{a}-\bar{c}) \cdot (\bar{a}-\bar{c}) = (\bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b}-\bar{c})$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $|\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) + |\bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 - 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) + |\bar{c}|^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2 = 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 2(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c}$ મળે.
હવે,પદાવલિ $E = (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \left(\bar{c}-\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
$E = (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \bar{c} - (\bar{b}-\bar{a}) \cdot \left(\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}\right)$.
$E = -(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} - \frac{1}{2}(\bar{b}-\bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{a})$.
નિત્યસમ $(\bar{b}-\bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{a}) = |\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = -(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} - \frac{1}{2}(|\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2)$.
અગાઉના પરિણામ પરથી,$(\bar{a}-\bar{b}) \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}(|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2)$.
આ કિંમત મૂકતા: $E = -\frac{1}{2}(|\bar{a}|^2 - |\bar{b}|^2) - \frac{1}{2}(|\bar{b}|^2 - |\bar{a}|^2) = -\frac{1}{2}|\bar{a}|^2 + \frac{1}{2}|\bar{b}|^2 - \frac{1}{2}|\bar{b}|^2 + \frac{1}{2}|\bar{a}|^2 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $\overline{A} + \overline{B} = \bar{a}$ અને $\overline{A} \times \overline{B} = \bar{b}$.
પ્રથમ સમીકરણનો $\overline{A}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\overline{A} \times (\overline{A} + \overline{B}) = \overline{A} \times \bar{a}$.
આનું સાદું રૂપ $\overline{A} \times \overline{A} + \overline{A} \times \overline{B} = \overline{A} \times \bar{a}$ થાય છે.
કારણ કે $\overline{A} \times \overline{A} = 0$ અને $\overline{A} \times \overline{B} = \bar{b}$,તેથી $\bar{b} = \overline{A} \times \bar{a}$,જે $\bar{b} = -(\bar{a} \times \overline{A})$ છે.
હવે,$\bar{b} = \overline{A} \times \bar{a}$ નો $\bar{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{a} \times (\overline{A} \times \bar{a})$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{a} \times \bar{b} = (\bar{a} \cdot \bar{a})\overline{A} - (\bar{a} \cdot \overline{A})\bar{a}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \overline{A} = 1$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{a}^2 \overline{A} - 1 \cdot \bar{a}$.
$\overline{A}$ ને કર્તા બનાવતા:
$\bar{a}^2 \overline{A} = (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a}$.
તેથી,$\overline{A} = \frac{(\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a}}{\bar{a}^2}$.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ અને $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$.
પ્રથમ સમીકરણનું માન લેતા: $|\bar{a} \times \bar{c}| = |\bar{b}| \implies |\bar{a}| |\bar{c}| \sin \theta = |\bar{b}|$,જ્યાં $\theta$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બીજા સમીકરણનું માન લેતા: $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{a}| \implies |\bar{b}| |\bar{c}| \sin \phi = |\bar{a}|$,જ્યાં $\phi$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $|\bar{b}|$ ની કિંમત બીજામાં મૂકતા: $(|\bar{a}| |\bar{c}| \sin \theta) |\bar{c}| \sin \phi = |\bar{a}|$.
$\bar{a} \neq \bar{o}$ હોવાથી,આપણે $|\bar{a}|$ વડે ભાગી શકીએ: $|\bar{c}|^2 \sin \theta \sin \phi = 1$.
વળી,$\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ પરથી,$\bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે. $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ પરથી,$\bar{a}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે.
આમ,$\theta = 90^\circ$ અને $\phi = 90^\circ$,તેથી $\sin \theta = 1$ અને $\sin \phi = 1$.
તેથી,$|\bar{c}|^2 = 1 \implies |\bar{c}| = 1$.
હવે,$|\bar{a}| |\bar{c}| = |\bar{b}|$ અને $|\bar{b}| |\bar{c}| = |\bar{a}|$.
કારણ કે $|\bar{c}| = 1$,આપણને $|\bar{a}| = |\bar{b}|$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે: $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 2$,$|\bar{c}| = 3$.
કારણ કે $\bar{b} \perp \bar{c}$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
$\bar{b}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \bar{b} \cdot \bar{a}$ થાય (કારણ કે $|\bar{a}| = 1$).
$\bar{c}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \bar{c} \cdot \bar{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $\bar{b} \cdot \bar{a} = \bar{c} \cdot \bar{a} = k$.
હવે,$|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
કિંમતો મૂકતા: $|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2k + 2k - 2(0) = 1 + 4 + 9 = 14$.
તેથી,$|\bar{a} - \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{14}$.

(B) ધારો કે $XZ$-સમતલ,$A(-2, 3, 4)$ અને $B(1, 2, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $P$ આગળ વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $P$ એ $XZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ $P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{k(1) + 1(-2)}{k+1}, \frac{k(2) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(4)}{k+1} \right)$.
$y$-યામને $0$ લેતા:
$\frac{2k + 3}{k+1} = 0 \implies 2k + 3 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$.
હવે,$k = -\frac{3}{2}$ ની કિંમત $x$ અને $z$ યામમાં મૂકતા:
$x = \frac{-\frac{3}{2}(1) - 2}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} = 7$.
$z = \frac{-\frac{3}{2}(3) + 4}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{9}{2} + 4}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1$.
આમ,બિંદુના યામ $(7, 0, 1)$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
આપેલ છે કે $L, M, N$ એ $BC, CA, AB$ ને અનુક્રમે $1:2, 2:3, 3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન સદિશો:
$L = \frac{1\vec{c} + 2\vec{b}}{1+2} = \frac{\vec{c} + 2\vec{b}}{3}$
$M = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c}}{2+3} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c}}{5}$
$N = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a}}{3+5} = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a}}{8}$
બિંદુ $K$ એ $AB$ ને $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $K = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{5+3} = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a}}{8}$.
હવે,સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AL} = L - A = \frac{2\vec{b} + \vec{c} - 3\vec{a}}{3}$
$\vec{BM} = M - B = \frac{2\vec{a} + 3\vec{c} - 5\vec{b}}{5}$
$\vec{CN} = N - C = \frac{3\vec{b} + 5\vec{a} - 8\vec{c}}{8}$
$\vec{CK} = K - C = \frac{5\vec{b} + 3\vec{a} - 8\vec{c}}{8}$
આમ,$\left| \frac{\vec{AL} + \vec{BM} + \vec{CN}}{\vec{CK}} \right| = \frac{1}{15}$.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + by + cz = 0$ છે,જે $ax + by + cz = a$ તરીકે લખી શકાય. તે $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(0) + b(1) + c(0) = a$,એટલે કે $b = a$. સમીકરણ $ax + ay + cz = a$ અથવા $x + y + \frac{c}{a}z = 1$ બને છે. ધારો કે $k = \frac{c}{a}$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ છે. $x + y - 3 = 0$ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ છે. બે સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,જેનો અર્થ છે કે $2+k^2 = 4$,તેથી $k^2 = 2$ અને $k = \pm \sqrt{2}$. $k = \sqrt{2}$ માટે,અભિલંબ $(1, 1, \sqrt{2})$ મળે છે.

(D) આપેલ સંબંધો $l+m+n=0$ અને $lm=0$ છે.
$lm=0$ પરથી,કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $m+n=0$,તેથી $n=-m$. દિકકોસાઇન $(0, m, -m)$ છે. $l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$0^2+m^2+(-m)^2=1$,જે $2m^2=1$ આપે છે,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $l+n=0$,તેથી $n=-l$. દિકકોસાઇન $(l, 0, -l)$ છે. તેવી જ રીતે,$l^2+0^2+(-l)^2=1$,જે $2l^2=1$ આપે છે,તેથી $l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે.
ધારો કે બે રેખાઓના દિક સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $(l, m, n) = (pq, q, q)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(pq)^2 + q^2 + q^2 = 1$,જેનું સાદું રૂપ $p^2q^2 + 2q^2 = 1$ અથવા $q^2(p^2 + 2) = 1$ થાય છે.
વળી,દિકકોસાઇન $l = \cos(\alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$,તેથી $l = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
$l = pq$ હોવાથી,$pq = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $p^2q^2 = \frac{1}{4}$.
$p^2q^2 = \frac{1}{4}$ ને સમીકરણ $p^2q^2 + 2q^2 = 1$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{4} + 2q^2 = 1$
$2q^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$q^2 = \frac{3}{8}$.
હવે,$p^2q^2 = \frac{1}{4}$ નો ઉપયોગ કરીને $p^2$ શોધો:
$p^2(\frac{3}{8}) = \frac{1}{4}$
$p^2 = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$.
અંતે,ગુણોત્તર $p^2 : q^2 = \frac{2}{3} : \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{8}{3} = \frac{16}{9}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ અને $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -2l - 2n$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{l}{n}$. તો $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ અને $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ છે.
તો $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
તે જ રીતે,$l = -\frac{m+2n}{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ મળે છે.
$n^2$ વડે ભાગતા,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
ધારો કે $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ અને $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. તો $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
બે રેખાઓ માટે જેમની દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x - 2) + b(y - 3) + c(z - 5) = 0$ છે.
સમતલ $(-3, -5, -7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(-3 - 2) + b(-5 - 3) + c(-7 - 5) = 0$,જે $-5a - 8b - 12c = 0$ અથવા $5a + 8b + 12c = 0$ માં પરિણમે છે.
સમતલ $x - y + z = 1$ ને લંબ છે,તેથી અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ $(1, -1, 1)$ ને લંબ છે. આમ,$a - b + c = 0$,એટલે કે $a = b - c$.
$a = b - c$ ને $5a + 8b + 12c = 0$ માં મૂકતા,આપણને $5(b - c) + 8b + 12c = 0$ મળે છે,તેથી $13b + 7c = 0$.
ધારો કે $b = 7$,તો $c = -13$ અને $a = 7 - (-13) = 20$.
સમતલનું સમીકરણ $20(x - 2) + 7(y - 3) - 13(z - 5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $20x + 7y - 13z + 4 = 0$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(1, 4, 4)$ માટે,$20(1) + 7(4) - 13(4) + 4 = 20 + 28 - 52 + 4 = 0$.
આમ,બિંદુ $(1, 4, 4)$ સમતલ પર આવેલું છે.

(C) બિંદુ $\vec{a} = x_1 \bar{i} + y_1 \bar{j} + z_1 \bar{k}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b} = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(1, -2, 1)$ છે,તેથી $x_1 = 1, y_1 = -2, z_1 = 1$.
આપેલ સમાંતર સદિશ $\bar{i} + \bar{j} + 3 \bar{k}$ છે,તેથી $a = 1, b = 1, c = 3$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x-1}{1} = \frac{y-(-2)}{1} = \frac{z-1}{3}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{3}$ થાય છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ છે,જ્યાં $\vec{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ છે,જ્યાં $\vec{a}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-16) - \hat{j}(10-12) + \hat{k}(8-9) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ છે.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (1)(-1) + (2)(2) + (2)(-1) = 1$.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ થાય.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(2,3,-1)$ અને $Q(3,5,-3)$ છે. રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $A(1,2,3)$ અને $B(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(\alpha-1, \beta-2, \gamma-3)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1(\alpha-1) + 2(\beta-2) - 2(\gamma-3) = 0$
$\alpha - 1 + 2\beta - 4 - 2\gamma + 6 = 0$
$\alpha + 2\beta - 2\gamma + 1 = 0$.
હવે,આપણે વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $D(3,5,7)$ માટે: $3 + 2(5) - 2(7) + 1 = 3 + 10 - 14 + 1 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1, 8, 4)$,$B(0, -11, 4)$ અને $C(2, -3, 1)$ છે.
પ્રથમ,$B(0, -11, 4)$ અને $C(2, -3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ મેળવો.
$BC$ ના દિશા ગુણોત્તર $(2-0, -3-(-11), 1-4) = (2, 8, -3)$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-4}{-3} = \lambda$ છે.
રેખા $BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D$ ને $(2\lambda, 8\lambda - 11, -3\lambda + 4)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
કારણ કે $AD \perp BC$,સદિશ $\vec{AD}$ અને $BC$ ના દિશા સદિશનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સદિશ $\vec{AD} = (2\lambda - 1, 8\lambda - 11 - 8, -3\lambda + 4 - 4) = (2\lambda - 1, 8\lambda - 19, -3\lambda)$.
$BC$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 8, -3)$ છે.
$\vec{AD} \cdot \vec{v} = 0$ લેતા:
$2(2\lambda - 1) + 8(8\lambda - 19) + (-3)(-3\lambda) = 0$
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 9\lambda = 0$
$77\lambda - 154 = 0$
$77\lambda = 154 \implies \lambda = 2$.
$D$ ના યામમાં $\lambda = 2$ મૂકતા:
$D = (2(2), 8(2) - 11, -3(2) + 4) = (4, 16 - 11, -6 + 4) = (4, 5, -2)$.

(C) બિંદુ $A(3, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4\hat{i} + 7\hat{j} - 4\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$4(x - 3) + 7(y + 2) - 4(z - 1) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$4x - 12 + 7y + 14 - 4z + 4 = 0$,એટલે કે $4x + 7y - 4z + 6 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $L = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$P = (1, 2, -1)$ અને સમતલ $4x + 7y - 4z + 6 = 0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$L = \frac{|4(1) + 7(2) - 4(-1) + 6|}{\sqrt{4^2 + 7^2 + (-4)^2}}$.
$L = \frac{|4 + 14 + 4 + 6|}{\sqrt{16 + 49 + 16}} = \frac{|28|}{\sqrt{81}} = \frac{28}{9}$.
આમ,$PM$ ની લંબાઈ $\frac{28}{9}$ એકમ છે.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n}_2 = (1, -1, 2)$ છે. માંગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ થશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 0)$ લઈ શકીએ.
બિંદુ $(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ એટલે કે $x + y + 1 = 0$ થાય.
બિંદુ $(1, 2, 2)$ થી સમતલ $x + y + 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|1(1) + 1(2) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(C) ધારો કે સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $a(x-2) + b(y-0) + c(z-1) = 0$ છે,જે $ax + by + cz = 2a + c$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમતલ $(3, -3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3a - 3b + 4c = 2a + c$,જે $a - 3b + 3c = 0$ આપે છે.
સમતલ $\pi$ એ $x - 2y + z = 6$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે,તેથી $a(1) + b(-2) + c(1) = 0$,જે $a - 2b + c = 0$ આપે છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$a - 3b + 3c = 0$
$a - 2b + c = 0$
બાદબાકી કરતા: $(-3b - (-2b)) + (3c - c) = 0 \implies -b + 2c = 0 \implies b = 2c$.
$b = 2c$ ને $a - 2b + c = 0$ માં મૂકતા: $a - 2(2c) + c = 0 \implies a - 3c = 0 \implies a = 3c$.
$c = 1$ લેતા,$a = 3$ અને $b = 2$ મળે છે.
સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $3x + 2y + z = 7$ છે.
કોઈ સમતલ $\pi$ ને લંબ હોય જો તેનો અભિલંબ સદિશ $\pi$ ના અભિલંબ સદિશ $(3, 2, 1)$ ને લંબ હોય.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: અભિલંબ સદિશ $(1, -1, -1)$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $(3)(1) + (2)(-1) + (1)(-1) = 3 - 2 - 1 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સમતલ $x - y - z + 1 = 0$ એ $\pi$ ને લંબ છે.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = d$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી લંબપાદ $(2, -3, 6)$ સુધીનો સદિશ છે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -3, 6)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 6z = d$ થશે.
બિંદુ $(2, -3, 6)$ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - 3(-3) + 6(6) = d$
$4 + 9 + 36 = d$
$d = 49$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y + 6z = 49$ છે,જેને $2x - 3y + 6z - 49 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) સદિશો $\hat{j}-\hat{k}$ અને $3\hat{j}-2\hat{k}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ $P_1$ નો અભિલંબ $\vec{n}_1$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{n}_1 = (\hat{j}-\hat{k}) \times (3\hat{j}-2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+3) = \hat{i}$.
સદિશો $2\hat{i}+3\hat{j}$ અને $\hat{i}-3\hat{j}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ $\vec{n}_2$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{n}_2 = (2\hat{i}+3\hat{j}) \times (\hat{i}-3\hat{j}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(-6-3) = -9\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાને સમાંતર છે,તેથી તે $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ ને સમાંતર છે:
$\vec{a} = k(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2) = k(\hat{i} \times -9\hat{k}) = k(9\hat{j}) = 9k\hat{j}$.
આપણે $\vec{a} = \pm\hat{j}$ લઈ શકીએ.
$\vec{a} = \hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
દિશા $\vec{a} = -\hat{j}$ ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) ધારો કે માંગેલ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે.
સમતલ $(4,4,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $a(x-4) + b(y-4) + c(z-0) = 0$ છે.
આ સમતલ $2x+y+2z+3=0$ અને $3x+3y+2z-8=0$ ને લંબ છે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle a, b, c \rangle$ એ આપેલ સમતલોના અભિલંબ $\vec{n_1} = \langle 2, 1, 2 \rangle$ અને $\vec{n_2} = \langle 3, 3, 2 \rangle$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(4-6) + \hat{k}(6-3) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle -4, 2, 3 \rangle$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $-4(x-4) + 2(y-4) + 3(z-0) = 0$ થશે.
$-4x + 16 + 2y - 8 + 3z = 0$.
$-4x + 2y + 3z + 8 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4x - 2y - 3z = 8$ થાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B$,અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p} = \bar{a}+\bar{b}$,$\vec{q} = \bar{a}-\bar{b}$,અને $\vec{r} = \bar{a}+k\bar{b}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{q} - \vec{p} = (\bar{a}-\bar{b}) - (\bar{a}+\bar{b}) = -2\bar{b}$.
$\vec{BC} = \vec{r} - \vec{q} = (\bar{a}+k\bar{b}) - (\bar{a}-\bar{b}) = (k+1)\bar{b}$.
કારણ કે $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ બંને સદિશ $\bar{b}$ ના અદિશ ગુણક છે,તેથી તેઓ $k$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે સમાંતર છે.
ચોક્કસ રીતે,$k \neq -1$ માટે $\vec{AB} = \left( \frac{-2}{k+1} \right) \vec{BC}$ થાય છે.
જો $k = -1$ હોય,તો $\vec{BC} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $C$ એ બિંદુ $B$ પર સંપાતી થાય છે,અને બિંદુઓ હજુ પણ સમરેખ ગણાય છે.
આમ,$k$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે બિંદુઓ સમરેખ છે.

(D) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,અને $\vec{d} = 4\hat{i}+5\hat{j}+\lambda\hat{k}$ છે.
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
હવે,આ સદિશોના નિશ્ચાયકને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(3(\lambda+1) - 21) - 5(-4(\lambda+1) - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-31) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(B) સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને લંબ છે અને તેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
પ્રથમ,રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો:
$M = \left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{3 + 1}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = (-1, 2, 1)$.
ત્યારબાદ,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધો,જે સદિશ $\vec{AB}$ છે:
$\vec{n} = \vec{AB} = (-4 - 2, 1 - 3, -2 - 4) = (-6, -2, -6)$.
અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગીને સરળ બનાવી શકાય:
$\vec{n}' = (3, 1, 3)$.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3(x - (-1)) + 1(y - 2) + 3(z - 1) = 0$
$3(x + 1) + (y - 2) + 3(z - 1) = 0$
$3x + 3 + y - 2 + 3z - 3 = 0$
$3x + y + 3z - 2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $P(A) = \frac{2}{3}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે તેમ ધારતા,બંનેમાં પાસ થવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એકમાં પાસ થવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{8+9-6}{12} = \frac{11}{12}$ છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A \cap B | A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)}$ શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1/2}{11/12} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{11} = \frac{6}{11}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $X$ એ $(2n+1)$ ફેંકમાં $1, 3,$ અથવા $4$ મળવાની સંખ્યા છે. એક ફેંકમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
પાસાને $(2n+1)$ વખત ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(2n+1, \frac{1}{2})$ ને અનુસરે છે.
આપણે $P(X \le n) = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} (\frac{1}{2})^{2n+1}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = \frac{1}{2} \times 2^{2n+1} = 2^{2n}$.
આમ,$P(X \le n) = 2^{2n} \times (\frac{1}{2})^{2n+1} = \frac{2^{2n}}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $1$ અથવા $2$ આવે છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $3, 4, 5,$ અથવા $6$ આવે છે.
$P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ અને $P(E_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે કાળો દડો કાઢવામાં આવે છે.
પ્રથમ પેટીમાં $4$ કાળા,$2$ સફેદ અને $6$ લાલ દડા છે (કુલ $12$). તેથી,$P(B|E_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
બીજી પેટીમાં $3$ કાળા અને $5$ સફેદ દડા છે (કુલ $8$). તેથી,$P(B|E_2) = \frac{3}{8}$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_1|B) = \frac{P(E_1)P(B|E_1)}{P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2)} = \frac{(1/3)(1/3)}{(1/3)(1/3) + (2/3)(3/8)} = \frac{1/9}{13/36} = \frac{4}{13}$.
પાસા પર $2$ આવવાની સંભાવના $P(2|E_1) = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,કાળો દડો હોય ત્યારે પાસા પર $2$ આવવાની સંભાવના $P(2|B) = P(2|E_1) \times P(E_1|B) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{13} = \frac{2}{13}$.

(B) આપેલ છે: $P(A)=0.6$,$P(B)=0.3$ અને $P(A \mid B)=0.5$.
સૌ પ્રથમ,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધો.
$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.3 = 0.15$.
આપણે $P(\bar{B} \mid \bar{A}) = \frac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$ શોધવાની જરૂર છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(\bar{B} \cap \bar{A}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 - 0.15 = 0.75$.
તેથી,$P(\bar{B} \cap \bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
વળી,$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$.
તેથી,$P(\bar{B} \mid \bar{A}) = \frac{0.25}{0.4} = \frac{25}{40} = 0.625$.

(D) આપેલ છે કે $P(E_1) = \frac{1}{4}$ અને $P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{2}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
આપણને $P(E_1 \mid E_2) = \frac{1}{4}$ પણ આપેલ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P(E_1 \mid E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$,તેથી $\frac{1}{4} = \frac{1/8}{P(E_2)}$.
આના પરથી $P(E_2) = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપણે $P(\bar{E}_1 \mid E_2)$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(\bar{E}_1 \mid E_2) = 1 - P(E_1 \mid E_2)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$P(\bar{E}_1 \mid E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(C) જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
ધારો કે $X$ એ ઇનામની રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. બે છાપ $(HH)$: $P(X = 2) = 1/4$. ઇનામ = $Rs. 2$.
$2$. એક છાપ ($HT$ અથવા $TH$): $P(X = 1) = 2/4 = 1/2$. ઇનામ = $Rs. 1$.
$3$. એક પણ છાપ નહીં $(TT)$: $P(X = -3) = 1/4$. ઇનામ = $-Rs. 3$ (નુકસાન).
મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$E(X) = \sum x_i p_i$
$E(X) = (2 \times 1/4) + (1 \times 1/2) + (-3 \times 1/4)$
$E(X) = 2/4 + 1/2 - 3/4$
$E(X) = 1/2 + 1/2 - 3/4 = 1 - 3/4 = 1/4$.
આમ,ઇનામની રકમનો મધ્યક $1/4$ છે.

(A) ધારો કે $W$ સફેદ લખોટીઓ અને $B$ કાળી લખોટીઓ દર્શાવે છે. થેલી $P$ માં $5W$ અને $3B$ છે. ચાર લખોટીઓ થેલી $Q$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે $1W$ અને $3B$ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે $2W$ અને $2B$ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $E_3$ એ ઘટના છે કે $3W$ અને $1B$ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $E_4$ એ ઘટના છે કે $4W$ અને $0B$ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે થેલી $Q$ માંથી કાળી લખોટી કાઢવામાં આવે છે.
$8$ માંથી $4$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_4 = 70$ છે.
$P(E_1) = \frac{^5C_1 \times ^3C_3}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70}$
$P(E_2) = \frac{^5C_2 \times ^3C_2}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70}$
$P(E_3) = \frac{^5C_3 \times ^3C_1}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70}$
$P(E_4) = \frac{^5C_4 \times ^3C_0}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70}$
$Q$ માંથી કાળી લખોટી કાઢવાની શરતી સંભાવનાઓ છે:
$P(A|E_1) = \frac{3}{4}, P(A|E_2) = \frac{2}{4}, P(A|E_3) = \frac{1}{4}, P(A|E_4) = 0$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $P(E_1|A)$ શોધીએ છીએ:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{\sum_{i=1}^4 P(E_i)P(A|E_i)}$
$P(E_1|A) = \frac{\frac{5}{70} \times \frac{3}{4}}{\frac{5}{70} \times \frac{3}{4} + \frac{30}{70} \times \frac{2}{4} + \frac{30}{70} \times \frac{1}{4} + \frac{5}{70} \times 0}$
$P(E_1|A) = \frac{15}{15 + 60 + 30 + 0} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $n=7$ અને $P(X=3) = P(X=4)$:
$\binom{7}{3} p^3 q^4 = \binom{7}{4} p^4 q^3$
કારણ કે $\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35$,તેથી $35 p^3 q^4 = 35 p^4 q^3$.
બંને બાજુ $35 p^3 q^3$ વડે ભાગતા ($p, q \neq 0$ ધારીને),આપણને $q = p$ મળે છે.
$p+q=1$ હોવાથી,$p = q = \frac{1}{2}$ મળે.
હવે,$P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \binom{7}{5} (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^{7-5} = \binom{7}{5} (\frac{1}{2})^7$.
$\binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
આમ,$P(X=5) = 21 \times \frac{1}{2^7} = \frac{21}{2^7}$.

(A) મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-3 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{2}) + (9 \times \frac{1}{3}) = -0.5 + 3 + 3 = 5.5 = \frac{11}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = ((-3)^2 \times \frac{1}{6}) + (6^2 \times \frac{1}{2}) + (9^2 \times \frac{1}{3}) = 1.5 + 18 + 27 = 46.5 = \frac{93}{2}$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{93}{2} - (\frac{11}{2})^2 = \frac{93}{2} - \frac{121}{4} = \frac{65}{4}$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{3^{ck}}{k!}$ જ્યાં $k = 1, 2, 3, \ldots$,તેથી:
$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(3^c)^k}{k!} = 1$.
ઘાતાંકીય વિધેય માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ યાદ કરો: $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$.
તેથી,$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x - 1$.
$x = 3^c$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$e^{3^c} - 1 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^{3^c} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$3^c = \log_e 2$.
બંને બાજુ આધાર $3$ વાળો લઘુગણક લેતા:
$c = \log_3(\log_e 2)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) મધ્યક $\lambda = 2$ ધરાવતા પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-2} 2^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X > \frac{3}{2})$ શોધવાની જરૂર છે. કારણ કે $X$ માત્ર અ-ઋણ પૂર્ણાંક કિંમતો લે છે,તેથી $X > \frac{3}{2}$ એ $X \geq 2$ ને સમાન છે.
પૂરક નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
વ્યક્તિગત સંભાવનાઓની ગણતરી:
$P(X = 0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}$.
તેથી,$P(X \geq 2) = 1 - [\frac{1}{e^2} + \frac{2}{e^2}] = 1 - \frac{3}{e^2} = \frac{e^2 - 3}{e^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) યાદચ્છિક ચલના તમામ શક્ય મૂલ્યો માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
આમ,$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)a}{3^k} = 1$.
$a$ ને અચળ લેતા: $a \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \left(\frac{1}{3}\right)^k = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^k$ જ્યાં $x = 1/3$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x$ વડે ગુણતા: $\sum_{k=1}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$.
તેથી $S = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^k = \sum_{k=0}^{\infty} k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{x + 1 - x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x = 1/3$ માટે,$S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{1}{4/9} = 9/4$.
તેથી,$a \times (9/4) = 1$,જે આપે છે $a = 4/9$.

(A) ધારો કે $X$ એ $n = 600$ બલ્બના જથ્થામાં ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા છે.
બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = \frac{1}{100} = 0.01$ છે.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું જ્યાં પેરામીટર $\lambda = np = 600 \times 0.01 = 6$ છે.
$k$ ખામીયુક્ત બલ્બ હોવાની સંભાવના $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \frac{e^{-6} 6^k}{k!}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા બે ખામીયુક્ત બલ્બ હોવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ છે.
સંભાવનાઓની ગણતરી કરતા:
$P(X = 0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} = e^{-6}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} = 6e^{-6}$.
તેથી,$P(X \ge 2) = 1 - (e^{-6} + 6e^{-6}) = 1 - 7e^{-6}$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X=x) = \lambda + 2\lambda + 3\lambda + 4\lambda = 10\lambda = 1$.
આમ,$\lambda = \frac{1}{10}$.
હવે,$\alpha$ અને $\beta$ ની ગણતરી કરો:
$\alpha = P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) = \lambda + 2\lambda = 3\lambda$.
$\beta = P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) = 3\lambda + 4\lambda = 7\lambda$.
તેથી,ગુણોત્તર $\alpha : \beta = 3\lambda : 7\lambda = 3 : 7$ થાય.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = \frac{4}{3}$ $(i)$ અને વિચરણ $npq = \frac{8}{9}$ $(ii)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{8/9}{4/3} \implies q = \frac{8}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p = \frac{1}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$n \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \implies n = 4$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k=2$ માટે,$P(X=2) = {}^4C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{4-2}$.
$P(X=2) = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_i) = k + 2k + 3k + 4k = 10k = 1 \implies k = 0.1$.
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P(X = x_i) = (3 \times 0.1) + (5 \times 0.2) + (7 \times 0.3) + (9 \times 0.4) = 0.3 + 1.0 + 2.1 + 3.6 = 7.0$.
હવે,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X = x_i) = (3^2 \times 0.1) + (5^2 \times 0.2) + (7^2 \times 0.3) + (9^2 \times 0.4) = (9 \times 0.1) + (25 \times 0.2) + (49 \times 0.3) + (81 \times 0.4) = 0.9 + 5.0 + 14.7 + 32.4 = 53.0$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 53.0 - (7.0)^2 = 53.0 - 49.0 = 4.0$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{4.0} = 2$.

(B) દિશા ગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2=m^2+n^2$ છે.
$l+m+n=0$ પરથી,આપણને $l=-(m+n)$ મળે છે.
આ કિંમતને $l^2=m^2+n^2$ માં મૂકતા,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ મળે છે.
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,જેનો અર્થ છે કે $2mn=0$,તેથી $mn=0$.
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $m=0$. તો $l=-n$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, 0, -k)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $II$: $n=0$. તો $l=-m$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, -k, 0)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$. ધારો કે $m=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$. ધારો કે $l=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.